【配套K12】高中数学第3章概率3.4互斥事件名师导航学案

3.4 互斥事件
名师导航
三点剖析
一、互斥事件
1．互斥事件的定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
例如，在一个盒子里放有大小相同的10个小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.从盒中摸出1个小球得到的结果可能是红球，也可能是绿球或黄球，并且只能是其中一种情况.
我们把“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A，“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B，“从盒中摸出1个小球，得到黄球”叫做事件C，那么这里的事件A、事件B、事件C中的任何两个是不可能同时发生的.事件A与事件B、事件B与事件C都是互斥事件.
从集合的角度来看，事件A与事件B是互斥事件，则事件A所包含的基本事件构成的集合与事件B所包含的基本事件构成的集合的交集是空集.
2．互斥事件有一个发生的概率
设A、B为互斥事件，当事件A、B有一个发生时，我们把这个事件记作A+B．事件A+B 发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和,即P（A+B）=P（A）+P（B），此公式也称概率和公式
例如上例中“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A，则P（A）=0.7；“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B，则P（B）=0.2．若记“从盒中摸出1个小球，得到红球或绿球”为事件D，则D=A+B，此时P（D）（A）（B）=0.7+0.2=0.9.
3．一般地，如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.
一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，则P（A1+A2+…+A n）=P（A1）+P（A2）+…+P （A n）.
二、对立事件
对立事件的定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为A．从集合的角度看，由事件A的对立事件A所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.此时，事件A和它对立事件的交集为空集，而并集为全集.
若对立事件A与A必有一个发生，则A+A是必然事件，从而P（A）+P（A）= P（A+A）=1 .
由此我们可以得到一个重要公式： P（A）= 1- P（A）.
由此可知，当从正面求一个事件的概率比较困难时，可以通过求其对立事件的概率来求解.
例如，一枚硬币连掷3次，则出现正面的概率是多少？
此题若从正面分析则有以下三种情况：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面二次反面.虽然它们是互斥事件，可以利用互斥事件有一个发生的概率公式来求解，但解题比较复杂.如果考虑其反面利用对立事件的概率来求解，则简单得多.
解：出现正面的对立事件是出现的三次都是反面，由于三次都是反面的概率为
81，则出现正面的概率为81 =8
7. 三、互斥事件和对立事件的区别与联系
两个事件若对立则必然互斥，且必有一个事件发生.因此，两个事件是对立事件需满足
两个条件：①互斥，②两个事件中必有一个发生.两个事件若是对立事件则一定是互斥事件，
但若是互斥事件则不一定是对立事件.
四、互斥事件有一个发生的概率的求解步骤
（1）确定这些事件是互斥事件；
（2）这些事件有一个发生；
（3）分别求每一个事件的概率，再相加.
前两条是使用互斥事件有一个发生的概率的概率和公式的前提条件，如果不符合这一点
就不能用概率和公式.
问题探究
问题1: 某人把外形相似的4把钥匙串在一起，其中两把是房门钥匙，但他忘记了开房
门的是哪两把，只好逐把试开，试后不放回.请你探究思考如下的问题：（1）此人一次就能
打开房门的概率是多少？（2）此人在两次内能打开房门的概率是多少？
探究：第（1）问显然是古典概型，每次拿哪把钥匙是等可能的，因此，此人一次就能打开房门的概率是2
1.在第（2）问中，记“恰好第i 次打开房门”为事件A i （i=1，2），显然题设事件A=A 1+A
2.
A 1表示第1次打开房门的事件，A 2表示第1次未打开，第2次打开房门的事件.
对事件A 1来说，其概率已由第（1）问求出来，但对事件A 2来讲，用我们现有的知识不
容易求出，因而用这种方法做有一定难度.
不妨换个角度来想，从反面入手，如果把“在两次内能打开房门”记为事件A ，则对
立事件A 就表示“在两次内不能打开房门”.
设a 、b 、c 、d 分别表示四把钥匙，其中a 、b 表示能打开房门的那两把钥匙，显然，共
有24种基本事件，它们分别为
a ，
b ，
c ，
d ；a ，b ，d ，c ；a ，c ，b ，d ；a ，c ，d ，b ；a ，d ，b ，c ；a ，d ，c ，b ；b ，a ，
c ，
d ；b ，a ，d ，c ；b ，c ，a ，d ；b ，c ，d ，a ；b ，d ，a ，c ；b ，d ，c ，a ；c ，a ，b ，d ；c ，
a ，d ，
b ；
c ，b ，a ，
d ；c ，b ，d ，a ；c ，d ，a ，b ；c ，d ，b ，a ；d ，a ，b ，c ；d ，a ，c ，b ；
d ，b ，a ，c ；d ，b ，c ，a ；d ，c ，a ，b ；d ，c ，b ，A ．而A 包含4个基本事件，分别为c ，
d ，a ，b ；c ，d ，b ，a ；d ，c ，a ，b ；d ，c ，b ，A ．
因而P （A ）=244=61，进而所求概率P （A ）=6
5. 问题2: 有3个 1 g 砝码，3个
3 g 砝码和2个 5 g 砝码，任意取出2个砝码，请探究如下的问题：
（1）两个砝码重量相同的概率是多大？
（2）两个砝码总重为6 g 的概率是多大？
（3）两个砝码总重量不超过8 g 的概率是多大？
探究：（1）记“两个砝码重量相同”为事件A ．
“两个砝码重量都是1g”为事件A 1，“两个砝码重量都是3g”为事件A 2，“两个砝码
重量都是5g”为事件A 3，A 1、A 2、A 3是互斥的.
显然A=A 1+A 2+A 3，由前面知识得P （A 1）=
283，P （A 2）=283，P （A 3）=28
1. 由互斥事件的加法公式，有P （A ）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）=283+283+281=41. （2）记“两个砝码总重量为6 g”为事件B ．
“两个砝码中一个砝码为1g ，另一个砝码为5g”为事件B 1，“两个砝码重量都为3g”
为事件B 2，B 1、B 2互斥.
显然B=B 1+B 2.
P （B 1）=
286=143，P （B 2）=28
3. ∴P（B ）=P （B 1）+P （B 2）=143+283=289. （3）正面去求比较复杂，故可考虑其对立事件.记“两个砝码总重量不超过8g”为事
件C ，设其对立事件为D ，则D 表示“两个砝码总重量超过8g”，则只有两个砝码都取5g
的，而由上可知“两个砝码重量都是5g”为事件A 3，P （A 3）=281.所以，P （C ）=1-281=2827
精题精讲
例1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么下列事件中互斥事件的个数是
( )
①至少有一个白球；都是白球 ②至少有一个白球；至少有一个红球 ③恰有一个白球；
恰有两个白球 ④至少有一个白球；都是红球 ．0 B ．1 C ．2 D ．3
思路解析
①当取出的两球都是白球时，两个事件同时发生，故①中的两个事件不是互斥事件.②
当取出的两球为一红一白时，两个事件同时发生，故②中两个事件不是互斥事件.③中的两
个事件不可能同时发生，故是互斥事件.④中的两个事件不可能同时发生，故是互斥事件.
答案：C
例2．某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表：
（1）求年降水量在［100，200)（mm ）范围内的概率；
（2）求年降水量在［150，300)（mm ）范围内的概率.
思路解析
这个地区的年降水量在各范围内是彼此互斥的，故可根据互斥事件的概率加法公式求
解.
答案：（1）记这个地区的年降水量在［100，150)，［150，200)，［200，250)，［250，
300)（mm ）范围内分别为事件A 、B 、C 、D ．这4个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率
加法公式，年降水量在［100，200)（mm ）范围内的概率是P （A+B ）= P （A ）+P （B ）=
0.12+0.25=0.37 .
由于热切地想要躲避过错，我们却常常更易陷入荒谬。

——贺拉斯 加几个空格，居中排
（2）年降水量在［150，300)（mm ）范围内的概率是
P （B+C+D ）= P （B ）+P （C ）+P （D ）=0.25+0.16+0.14=0.55 .
绿色通道
在用互斥事件的概率加法公式求概率时，一定要明确公式的前提是事件彼此互斥，否则
就可能出错.因此判断事件是否互斥就显得特别重要
例3．在一只袋子中装有4个红玻璃球、3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次
只取一个，试求：
（1）取得两个红球的概率；
（2）取得两个绿球的概率；
（3）取得两个同颜色的球的概率；
（4）至少取得一个红球的概率.
思路解析
首先知道各事件中的基本事件有多少，再确定事件之间是互斥事件，故可根据互斥事件
的概率加法公式求解.
答案：记四个红玻璃球为a 1、a 2、a 3、a 4，三个绿玻璃球为b 1、b 2、b 3，第一次抽取有7
种结果，对第一次抽取时的每种结果，第二次抽取时又有6种结果，故共有7×6=42种结果.
（1）记“取得两个红球”为事件A 1，A 1有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 2，a 3），（a 2，
a 4），（a 3，a 4），（a 2，a 1），（a 3，a 1），（a 4，a 1），（a 3，a 2），（a 4，a 2），（a 4，a 3）12种结果.
∴P（A 1）=4212=7
2. （2）记“取得两个绿球”为事件A 2，
A 2有（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3），（b 2，b 1），（b 3，b 1），（b 3，b 2）6种结果.
∴P（A 2）=426=7
1. （3）记“取得两个同颜色的球”为事件A ．
A=A 1+A 2，A 1、A 2互斥.
由互斥事件的概率加法公式得P （A ）=P （A 1）+P （A 2）=72+71=7
3. （4）记“至少取得一个红球”为事件B ，显然事件B 是事件A 2的对立事件.
∴P（B ）=1－P （A 2）=1－71=7
6.
绿色通道
袋中摸球问题是概率中的重要题型，课本中举了一些例子，主要考查概念，作定性分析.
本题把本节所学知识与前几节知识结合起来就一些随机事件作了定量分析，目的是加强知识
的综合应用，通过枚举法或画树形图找出随机事件的结果的个数，利用等可能性事件求出概
率，再通过互斥事件的概率公式，达到巩固概念的目的.
例4．将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a 、b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出的点数，若把点P （a ，b ）落在不等式
⎪⎩
⎪⎨⎧≤+>>4y x 0，y 0，x 组所表示的平面区域的事件记为A ，求P （A ）.
思路解析
分析各事件中的基本事件有多少，各基本事件的发生是等可能的，利用公式计算即可.
图7-13
答案：如图7-13，用直角坐标系中的点表示基本事件，落在不等式组所表示的平面区域内的点共有6个，所以（A ）=366=6
1.
绿色通道
如果随机事件可能发生的结果比较多时，可以把基本事件用直角坐标系中的点表示，利用数形结合的思想方法，更容易找到所求基本事件及总的基本事件的个数.。