Lorenz混沌系统的EWB仿真实现

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三维类Lorenz混沌系统的变形与超混沌实现

性动力学分析方法简要分析了该系统平衡点的稳定性、超混沌吸引子的相图、岔图、ｙｐｎｖ指数谱和Ｌａｕｏ分Ｌａｕｏｙｐｎｖ维数等基本动力学特性。结果发现新的四维系统随着新引入的两个参数（Ｐ和ｍ，ｕ为非线性控制器，ｐ “的变化率五＝眦）变化分别呈现周期、拟周期、混沌及超沌混动力学行为，动力学行为相同，随ｍ的变化范围较大。但关键词：超混沌实现
ＧＡ０ｉｚｏｇＺｈ —ｈｎ（ＣｌｇｃｎｅＡｈｉｃｎｅａｄＴｃｎｌｙＵｉｒｔ，ｅｇａｇ２３０ＡｈｉＣｉ）ｏｌｅｏｉｃ，ｎｕｉｎｅｈｏｏｎｖｓｙＦｎｙｎ３１０，ｎｕ，ｈｎｅｆＳｅＳｅｃｇｅｉａ
Ａｂｔａｔｈｅｏｒｄｍｅｓｏａｙｅｃａｓｓｓｅｗａｕｌｂｄｉｇａｄｉｏａｔｔｎｓｒｃ：Ｔｅｎｗｆｕ — ｉｎｉｎｌｈｐｒｈｏｙｔｍｓｂｉｙａｄｎｎａｄｔｎｌｓａｅａｄｔｔｉｗｏｐｒｍｅｅｓｉｔｈｈｅ — ｒｅｏｅｚｌｅｓｓｅａａｔｒｎｏｔｅｔｒｅｏｄｒＬｒｎ — ｋｙｔｍ．Ｉｓｂｓｃｄｎｍｉａｒｐｒｅｅｅｓｕｉｄｂｅｙｉｔａｉｙａｃｌｐｏｅｔｓｗｒｔｄｅｒｆ，ｉｉｌｓｃｓｔｅｓｂｌｙｏｑｉｂｕ，ｔｅｈｐｒｈｏｔｃｏ，ｂｆｒａｉｎｄａｒ，Ｌａｕｏｘｏｅｔｕｈａｔｉｔｆｅｕｌｒｍｈｙｅｃａｓａ￣ａｔｒｉｃｔｉｇａｈａｉｉｉｕｏｍｙｐｎｖｅｐｎｎｓｅｔｍｎａｔｌｉｎｉｎｂｏｌｅｒｅｈｉｕｓｈｅｕｔｓｏａｅｎｗｙｔｍ ’ ｙａｃｐｃｒｕａｄｆｃａｍｅｓｙｎｎｉａｃｎｑｅ．ＴｅｒｓｌｈｗｔｔｅｓｓｒｄｏｎｔｓｈｔｈｅＳｄｎｍｉｓｂｈｖｏａｅｐｒｄｃｕｓ— ｅｉｄｃ，ｃａｔｎｙｅｃａｔｓｔｅｎｗｉ￣ｄｃｄｔｏｐｒｍｅｅｓｅａｉｒｃｎｂｅｏｉ，ｑａｉｐｒｉｉｏｈｏｉａｄｈｐｒｈｏｉａｈｅｎｏｕｅｗａａｔｒｃｃ

基于ewb的三阶自治混沌系统电路设计

总694期第三十二期2019年11月河南科技Henan Science and Technology 基于EWB 的三阶自治混沌系统电路设计吕恩胜（河南应用技术职业学院，河南郑州450042）摘要：基于EWB 仿真软件，本研究设计了一个三阶自治混沌系统的物理电路，分析了该系统的混沌机理，在EWB 软件上仿真并获取了该混沌电路的二维相图，表明了电路设计的有效性。

关键词：EWB ；三阶自治混沌系统；混沌电路中图分类号：TP242.2文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2019）32-0029-02Circuit Design of Third-Order Autonomous Chaotic System Based on EWBLYU Ensheng （Henan Technical Institute ，Zhengzhou Henan 450042）Abstract:Based on EWB simulation software,this paperdesigned a physical circuit of a third-order autonomous cha⁃otic system and analyzed the chaotic mechanism of the system,then simulated and acquired the two-dimensional phase diagram of the chaotic circuit on the EWB software,which showed the effectiveness of the circuit design.Keywords:EWB ；third-order autonomous chaotic system ；chaotic circuit 自1983年蔡少棠发明蔡氏混沌电路（Chua ’s Circuit ）以来［1，2］，混沌电路的设计与研究就成了热点问题，为了研究混动动力学行为，学者通过搭建混沌电路或虚拟仿真测量等方式获取混沌相图［1］。

非现场答辩_Lorenz混沌系统的电路仿真

南昌校区2011年毕业设计（论文）工作中期检查评价表毕业设计（论文）成绩评审表1（理工科类）备注：其他学科门类可参照制定评分标准指导教师签字：年月日毕业设计（论文）成绩评审表2（理工科类）评阅人意见及评分备注：其他学科门类可参照制定评分标准，此表可自主延伸。

评阅人签字：年月日江西理工大学南昌校区毕业答辩记录及成绩表信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真(此表可自主延伸)详细答辩记录信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真论文自述：本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。

用实验室实验来研究混沌问题，上述混沌的特性均能在实验中加以验证，虽然从充实混沌概念这个角度来看，实验室实验的作用在目前似乎不如数值实验，然而，实验室实验毕竟证实了混沌是广泛存在的自然现象，是一种新认识到的运动形态。

计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。

这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。

答辩问题与解答：1、请说明你论文标题中与专业相关的内容是什么？文中论述的是关于混沌学的相关知识，与我们所学的专业当中自动控制方面的内容是相连在一起的。

它是基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。

混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象2、你论文中用到了所学的那些课程？我论文的设计是与所学课程是联系在一起的，它的论述是建立在混沌控制及其优化应用、Lorenz系统族的动力学分析、自动控制、系统仿真分析与设计等所学过课程的基础上，没有这些相关知识点的累积我是不可能完成这一设计的。

Lorenz混沌系统的电路仿真

毕业论文（设计）题目：Lorenz混沌系统的电路仿真指导教师：学生姓名：学生学号：信息工程系-电气自动化专业-08自动化2班2011年 04月 15日摘要混沌学研究从早期探索到重大突破,经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。

混沌学的研究是现代科学发展的新篇章.许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一,人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等内容的研究非常感兴趣.本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法,并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真.计算机仿真结果表明：在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小,较大的松弛系数导致较快的控制。

这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步,最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。

电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。

关键词：混沌同步；控制;祸合比例系数;电路实现ABSTRACTChaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics，and so many subject，the research achievement，not just added a new modern scientific disciplines branch，and almost permeates and affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter。

连续Lorenz混沌系统的DSP硬件实现_卞丽雅

技术创新中文核心期刊《微计算机信息》（嵌入式与ＳＯＣ）２００７年第２３卷第８－２期３６０元／年邮局订阅号：８２－９４６《现场总线技术应用２００例》ＤＳＰ开发与应用１引言２０世纪６０年代人们发现了一种特殊的自然现象———混沌。

近年来，混沌已经在数学、通信等科学和工程领域得到了深入的研究，国内外在这一领域的研究也已经取得了许多相关的成果，并提出了能产生混沌与超混沌吸引子的多种方法。

然而这些方法都是用模拟器件来实现的。

由于模拟器件存在参数的离散性，导致系统的硬件调试困难，甚至难以实现。

那么，能否利用数字器件来产生模拟混沌吸引子呢？回答是肯定的。

Ｅｇｕｃｈｉ等利用ＦＰＧＡ从蔡氏系统中获得了３－４个涡卷，Ｔａｎｇ等通过从离散化的蔡氏系统中获得了８涡卷混沌吸引子。

受此启发，本文以连续Ｌｏｒｅｎｚ系统为例，介绍了利用ＤＳＰ处理器实现连续混沌系统的方法，同时给出了相应的ｍａｔｌａｂ仿真实验结果。

实验表明，利用ＤＳＰ产生的实验结果与ｍａｔｌａｂ仿真产生的结果相吻合，证实了该方法的可行性。

２连续系统的数字化实现的基本原理要使连续系统能通过数字器件来实现，离散化是至关重要的一步。

将微分方程离散化，通常有以下三种方法：（１）差商逼近法，即用适当差商逼近导数值。

（２）数值积分法，其基本思想是将初值问题转化为积分方程，然后将其数值积分离散化，从而获得一个离散差分格式。

（３）Ｔａｙｌｏｒ展开法，其基本思想是首先构造一个关于真解及其有关信息的含参量算子，将算子中诸项在某点处按Ｔａｙｌｏｒ展式展开，合并该展式中的同类项并截去余项，然后令诸同类项系数为零，由此即可确定出原算子中的全部（或部分）参数，从而获得一个（或一类）关于数值解的差分方程。

在这里，我们采用第一种方法。

事实上，微分方程和差分方程在形式上有相似之处。

考察式（１），（１）对比上式（ａ）、（ｂ）两个方程可以看到，若ｙ（ｎ）与ｙ（ｔ）相当，则离散变量序号加１所得之序列ｙ（ｎ＋１）就与连续函数对变量ｔ取一阶导数ｄｙ（ｔ）／ｄｔ相对应，ｘ（ｎ）与ｘ（ｔ）分别表示各自的激励信号。

Lorenz系统的混沌同步控制及计算机仿真

２ａｙｎｅｈｏｇａＵｉｒｔ，３７８Ｓｎａｏｅ．ＮｎａｇＴｃｎｌｉｌｎｖｓｙ６９９ｉｐｒ）ｏｃｅｉｇ
ＡＢＳＴＲＡＣＴ：ｙｃｒｎｕｏｔｌｆｔｅｍａｔｒｓｓｅａｄｓａｅｓｓｅｒｈｙｔｍｆＬｒｎｎｏｕｅｕＳｎｈｏｏｓｃｎｒｓｙｔｍｎｌｖｙｔｍｓｆｅｓｓｅｏｏｅｚａｄｃｍｐｔｒｎ — ｏｏｈｅｏｔ
于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的Ｐ一同步，即通过加入微小的控制可以在
短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。数值仿真结果证实了所提新方法的有效性，可以按照并且
实际需要的耦合比例实现同步控制；计算机仿真
中图分类号：Ｐ９．Ｔ３１９文献标识码：Ｂ
ＳｎｈｒｎｕｎｒｌｉｙｃｏｏｓＣｏｔｏｎＣｈａｔｃＳｓｅｓｏｒｎｎｄｏｉｙｔｍｆＬｏｅｚａｔｅＣｏｐｅｉｕａｉｎｈｍｕｔｒＳｍｌｔｏ
ｐｏｅｔｅｓｎｈｏｉｔｎｔａｙｄｓｅｔ．ｔｌｗＳｏｕｅｉｙｏｔｌｎｕｓｏａｐｉｒｅｕｅｈｓｏｓｒｃｉｃｒｎａｏｎｅｉｄｒｉＩａｏｓｓｎｎｒｐｔｔｍｌｙｏｄｃｅｒｐｎｅｊｖｙｚｉｏｒａｏｌＵｔｔｃｏｉｆｒｔｅ
ｍｅｉａｉｌｔｎａｅｒａｉｅｎｔｉｐｐｒＴｅｃｍｐｔｒｎｍｅｃｌｓｍｕａｉｎｓｏｓｔａｈｒｎｉｎｅｏｆｒｃｓｍｕａｉｒｅｚｄｉｈｓａｅ．ｈｏｕｅｕｒａｉｌｔｈｗｈｔｔｅｔｓｅｔｐｒｄｏｌｏｌｉｏａｉｃｎｒｌｓｇｎｒｌｅｕｅｉｎｉｃｅｓｆｔｅｖｕｆｔｅｓａｋｃｎｔｎ．Ｃｅｒｏｔｅｅａｙｒｄｃｄｗｔａｎｒａｅｏｈａｅｏｈｌｃｏｓｔｌａｌｏｉｌｈｌａｙ，ｔｅｌｒｅｌｃｏｓｎｈａｇｒｓｋｃｎｔｔａａｌａｓｔｉｈｒｃｎｅｇｎｅｒｔｈｏｔ１ｈｏｔｌａｓｄｒｅｏＬａｕｏｔｂｌｙｔｅｒ．ｈｓｃｎｒｌｅｄｏｈｇｅｏｖｒｅｃａｅｉｔｅｃｎｒ．ＴｅｃｎｒｗｉｅｖｄｆｍｙｐｎｖｓａｉｔｈｏｙＴｉｏｔｎｏｏｌｉｒｉｏｍｅｈｄｃｕｄｂｍｐｏｅｏｍａｅａｎｎｙｃｒｎｕｙｔｍｅｓｎｈｏｉｅｔｏｏｌｅｅｌｙｄｔｋｏｓｎｈｏｏｓｓｓｅｂｙｃｒｎｚｄ，ａｄｍａｉｕａｅｔｅｕｔｔｔｔｆｎｎｐｌｔｌｍａｅｓａｅｏｈｉ

分数阶Lorenz超混沌系统及其电路仿真

０引
言
—ｔ一一ａｘ — ）＋优ｄ＂ — （Ｊ十
一一一
分数阶倒数与分数阶积分的最基本特征是记忆效应，得系统的历史信息对其现在和未来都产生影响，使因而可提高控制精度，扩展了整数阶微分方程的能它力，整数阶微分方程的推广。分数阶微分方程不仅为是
阶混沌系统更具有实际价值。自从２世纪６年代ＯＯＬｒｎｏｅｚ发现了第一个混沌的物理模型，为了后人研究混成沌的出发点和基石］本文通过对分数阶Ｌｒｎ。ｏｅｚ超混沌
（ＨｕａｎｎＵｎｖｒｉｙｏｃｅｃｎｄＴｅｈｏｏｉｅｓｔｆＳｉｎｅａｃｎｌｇｙ。ＳｈｏｌｆＩｆｒｔｏｎｅｔｉａｇｉｅｒｎｃｏｎｏｍａｉｎａｄＥｌｃｒｃｌＥｎｎｅｉｇ．Ｘｉｎｔｎ４１２１ｏａｇａ１０）
析了在不同参数条件下的吸引子相图。设计了硬件电路并运用ＥＷＢ软件对该电路进行仿真，电路仿真说明分数阶
电路是可以实现的。关键词：分数阶；混沌；ＷＢ超Ｅ中图分类号：Ｔ２Ｎ９文献标识码：Ａ
根据平衡点所对应的稳定性分析了系统（）平衡点，１的使系统（）左边等于零，１的即

一个新三维混沌系统的动力学分析与仿真研究

一个新三维混沌系统的动力学分析与仿真研究摘要：文章提出一个新的三维自治混沌系统，分析了系统的平衡点稳定性，计算出系统的Lyapunov指数，给出了系统变量的时域图、混沌吸引子相图和Lyapunov指数谱，理论分析证实新系统是混沌系统。

并对此新系统进行了电路仿真实验，所采用的是电子工作平台electronic workbench（EWB）仿真软件，仿真结果再次表明新系统是混沌系统。

关键词：混沌吸引子；三维自治混沌系统；Lyapunov指数；EWB引言第一个混沌吸引子是1963年被Lorenz发现的，发现于一个三维自治混沌系统，此后，非线性科学研究的热点中便包含了对混沌理论的研究、新混沌系统的构造和混沌控制及其应用。

许多新的混沌与超混沌系统被相继提出[1-7]，例如，chen系统的发现，此系统是一个在混沌系统反控制中与Lorenz系统并不拓扑等价的系统，是陈关荣等人发现的[1]；吕金虎等进一步发现了LV系统和链接Lorenz系统、Chen系统以及LV系统的统一混沌系统[2，3]；国内发布了有关新的离散与连续混沌系统的报道[4，5]；同时，还报道了两个不同的四维超混沌系统。

新混沌与超混沌系统的提出与实现[6，7]，为混沌理论的深入研究和混沌的应用，特别是在混沌保密通信系统和微弱信号检测以及电力系统谐波抑制等领域的应用方面，提供技术支持，并为此奠定了理论基础。

在文章提出的系统之上，进行基本动力学特性的理论分析与数值仿真，诸如平衡点稳定性、混沌吸引子、耗散性和维数与Lyapunov指数等；并把该系统转化为实际的物理电路模型，所采用的是模块化设计法，并采用电子工作平台EWB软件对新的混沌系统进行电路仿真实验来进行验证。

1 新混沌系统及其基本动力学特性分析文章提出的新三维混沌系统其状态方程为：（1）其中x，y，z为状态变量，a，b，c，d为系统参数，该系统存在一个非线性项y2，是一个三维二次自治系统。

系统中有一个混沌吸引子的条件是当a=2，b=0.18，c=2，d=2时，对该系统采用MATLAB工具进行数值仿真实验，即可得到三维空间xyz相图、y变量的时域波形和y-z平面相图，例三维空间相图如图1（a）所示。

Lorenz混沌系统的分析与电路实现

图５Ｌｏｒｅｎｚ系统电路模型实现的时域波形
图５为Ｌｏｒｅｎｚ系统电路模型实现的三个状
态变量，，的时域波形，可以实时动态观察其
波形的变化。
图３Ｌｏｒｅｎｚ系统的电路模型
Ｌｏｒｅｎｚ混沌系统的分析与电路实现
图１为Ｌｏｒｅｎｚ系统通过Ｍａｔｌａｂ编程实现的
—
在电路模型中设置元件的电阻值和电容值，启动仿真按钮，同时在示波器属性框设置合适的参数，如纵横轴的标度、起始值等，通过示波器模块可以观察到Ｌｏｒｅｎｚ系统相图如图４所示，时域
图４中为Ｌｏｒｅｎｚ系统电路模型实现的相，
运算放大器，型号采用ＬＦ３５３Ｄ，Ａ１和Ａ２为模拟乘法器，采用集成芯片ＡＤ６３３，ＶＣＣ和ＶＤＤ分
别为＋１２Ｖ和一１２Ｖ。
从电路仿真结果同样可以动态地观察到Ｌｏｒｅｎｚ系统的蝴蝶状混沌吸引子，双涡卷现象。仿真实验表明该电路设计是可行的。
电路与系统学报，２００９，１４（３）：１２１ — １２５．
［１Ｏ］张建忠．用Ｍａｔｌａｂ数值模拟非线性电路混沌实验［Ｊ］．实验技术与管理，２００７，２４（ｉ１）：８６ — ９１．［１１］姚齐国．Ｌｏｒｅｎｚ系统动力学行为的ＭＡＴＬＡＢ仿真与分析［Ｊ］．水电能源科学，２００７，２５（５）：１２１１２３．［１２］杨纪华．基于Ｍａｔｌａｂ混沌系统的数值仿真［Ｊ］．绵阳

洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计

洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计【摘要】本文基于Lorenz混沌系统的动力学方程，利用Matlab软件中的simulink模块搭建方程进行仿真，并将Lorenz方程进行标度变换为一个新的标准方程，使用Mutisim软件进行电路设计与模拟，得到了理想的结果。

【关键词】Lorenz混沌系统；Matlab仿真；模拟电路设计0 引言混沌系统对初始值非常敏感，并且具有类随机性，可控及同步性。

近年来，混沌保密通讯、混沌电路及加密发展成为一个前沿领域。

混沌加密等应用问题首先要解决的问题即混沌电路的设计。

本文基于Lorenz混沌系统，分析其基本特性，并进行了电路仿真及模拟电路的设计。

1963年著名的气象学家E.N.Lorenz研究大气热对流运动时发现了一种特殊的混沌现象，即蝴蝶效应。

Lorzen吸引子是目前文献记载最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成为“混沌之父”。

至今，Lorzen系统族的发展虽然有很长的历史，但是Lorzen系统族丰富的动力学行为依然值得更加深入的研究，并进行更多的应用发展。

lorenz系统的动力学方程为：■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）式中，x，y和z表示对流强弱，水平温差和与温差有关的变量；σ、γ和b 则分别为Rayleigh数、Rayleigh数和容器大小有关的参数。

当σ =10，b=8/3，γ=28时，lorenz系统出现混沌现象。

1999年，我国学者陈关荣等人提出了一个新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）当a=35，b=3，c=28时，Chen系统产生混沌现象。

2002年，吕金虎提出了LU系统，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）当a=36，b=3，c=20时，LU系统出现混沌现象。

这三个系统具有类似却不相同的动力学行为，被称为Lorzen系统族[1]，它对于混沌系统的理论研究以及控制、同步、加密应用等都具有重要的意义。

Lorenz系统动力学行为的MATLAB仿真与分析[1]

文章编号:100027709(2007)0520121204L o renz 系统动力学行为的M A TLAB 仿真与分析姚齐国1,2(1.华中科技大学水电与数字化工程学院,湖北武汉430074;2.武汉工程大学电气信息学院,湖北武汉430073)摘要:以L o renz 系统为例,采用相图和功率谱两种方法,借助M A TLAB 软件对之进行仿真研究,观察状态变量在时域和频域中的变化来了解系统的非线性特性。

通过调整控制参数,观察L o renz 系统动力学行为的演变过程,得知L o renz 系统可通过Pom eau -M anneville 途径走向混沌,间歇性与Hopf 分岔和倍周期分岔有关。

关键词:L o renz 系统;混沌;M A TLAB ;仿真与分析中图分类号:T P 391;O 415.5文献标志码:A收稿日期:2007207216,修回日期:2007208226作者简介:姚齐国(19662),男,副教授、博士,研究方向为系统建模与仿真、优化运算与运行、电路理论分析与应用、微机控制技术,E 2m ail :yaoqiguo @1　概述混沌是学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题。

混沌现象是指确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。

一个非线性动力学系统,在系统参数达到一定匹配时便会出现混沌现象。

在物质世界中,混沌现象无处不在。

一个确定的非线性系统,如果含有貌似噪声的有界行为,且又表现若干特性,便可称为混沌系统,其特性有如下几方面:①振荡信号的功率谱连续分布并可能为带状分布,表明振荡为非周期性,说明了信号貌似噪声的原因;②在相空间,该系统相邻轨道线彼此以指数规律迅速分离,从而导致对初始值的极端敏感性,使系统的行为长期不可预测;③在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内,轨线具有遍历性和混合性[1,2]。

追索混沌的发展历程,可以从Po incare’(庞加莱)开始,见文献[3]。

一个新类Lorenz混沌系统的动力学分析及电路仿真

第5卷第4期2007年12月1672-6553/2007/05 /324-6动力学与控制学报J OURNA L O F DYNAM ICS AND CONTROLV o.l 5N o .4D ec .20072007-03-23收到第1稿,2007-05-13收到修改稿.*甘肃省自然科学基金资助项目(3ZS042-B25-049);兰州交通大学科研基金(DXS -2006-74,DXS -2006-75)一个新类Lorenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真*李险峰1张建刚2褚衍东1常迎香2(1.兰州交通大学非线性研究中心,兰州 730070)(2.兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州 730070)摘要提出了一个新的三维自治类L orenz 系统.理论分析了该系统的动力学特性,并通过数值计算分析了系统在平衡点处的稳定性,以及产生H opf 分岔的条件.通过计算系统的时间序列的Lyapunov 指数谱、L ya -punov 维数、分岔图、Po i ncar 截面图等研究了系统的动力学特性.最后对该系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与仿真模拟.关键词新类Lo renz 系统, L yapunov 指数, 分数维数, P o i nca r 截面图, 电路仿真引言混沌振动是存在于自然界中的一种普遍运动形式,是在确定系统中产生的不规则运动,其基本特征是具有对初始条件的敏感性[1].人们在认识和研究混沌理论和应用的过程中,逐步认识到混沌的研究价值和应用价值.随着对混沌的深入研究和实际工程需要,各种非线性混沌系统也被相继提出,并得到了广泛的研究.特别是自从上世纪60年代提出Lorenz 系统[2]以来,许多新的自治混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究[3-8].其中最为著名的是Rossler 系统[3],在Lorenz 混沌系统反控制中被发现的Chen 系统[4,5]、L 系统[6]、统一混沌系统[7]、L i u 系统[8]以及Q i 系统[9-11]等,特别是L系统在Lorenz 系统和Chen 系统之间架起了一道桥梁,实现了从一个系统到另一个系统的过渡[6,7].本文提出了一个新的类Lorenz 系统,该系统含有2个非线性项,文中利用理论推导、数值仿真、Lyapunov 指数谱、Lyapunov 维数、分岔图、Po incar 截面图等分析了该系统的基本动力学特性,从数值和理论上分析了系统的混沌特性.结果表明该系统和Lorenz 系统族中[12-14]每一个系统有着类似的性质,并且奇怪吸引子都具有较低分数维数.最后设计了模拟该混沌系统的实际电路,同时基于E W B 软件平台及电子仪器进行了实际电路仿真验证.1 新的类Lorenz 系统的模型及基本动力学特性该系统是根据Lorenz 吸引子和Chen 吸引子线性部分系数的特征,构造了一个三维非线性动力学系统.系统的模型如下:x =a (y -x ) y =abx -axz z =xy -cz(1)其中x =(x,y,z )TR 3为系统的状态变量,a,b ,c 为参数,且a 0.系统(1)中共含有2个非线性项,分别是xz ,xy .可以通过严格的数学证明系统(1)与上述Lorenz 系统族中每一个系统都不具有拓扑等价性,是一个完全新的类Lorenz 系统.由于严格证明拓扑等价性是十分困难和繁琐的,故在此略去.1.1 几条最基本的性质(1)对称性和不变性首先,注意到系统(1)在变换S:(x,y ,z ) (-x ,-y,z)下对于所有的参数a,b ,c 具有不变性,则此变换表明系统关于z 轴是对称的,即若是系统的解,则在此意义下,S 也是系统的解.显然,z 轴本身也是系统的一条解轨线,也就是说,若t =0时有x =0,y =0,则对于所有的t >0,仍然有x =0,y =0.更进一步说,对于t 0,z 轴上所有的解轨线都趋向于原点.第4期李险峰等:一个新类L orenz混沌系统的动力学分析及电路仿真(2)耗散性和吸引子的存在性可以验证,系统(1)在a>0,b<0,c>0时是关于原点是全局,一致渐近稳定的.可以构造如下的正定的Lyapunov函数V(x,y,z)=-bx2+y2+az2(2)容易验证V (x,y,z)=-2b xx+2yy+2azz=-2bx(a(y-x))+2y(ax(b-z))+2az(xy-cz)=2a(bx2-cz2)<0(3)同时,考虑系统(1)的向量场散度(4),也就是系统的Jacob i n矩阵(5)的迹(6)V=1V d Vd t=div V=xx+yy+zz(4)J=-a a0a(b-z)0-axy x-c(5)Tr(J)=-(a+c)(6)又由于所有Lyapunov特征指数之和反映相空间体积元随时间演化的变化率,根据L i o uv ille定理,变化率反映为系统的Jacobin矩阵的迹,则有V=1V d Vd t=div V=xx+yy+zz=Tr(J)=-(a+c)= 3i=1i= LE s(7) V(t)=V(0)e-(a+c)t(8)其中, i(i=1,2,3)为矩阵(5)的特征根,LES为系统的3个Lyapunov特征指数.所以只要a+c>0,则系统(1)始终是耗散的,并以指数形式收敛.即d Vd t=e-(a+c)(9)也就是说,一个初始体积为V(0)的体积元在时间t 时收缩为体积元V(0)e-(a+c)t.这就意味着,当t 时,包含系统轨线的每一个体积元都以指数的速率-(a+c)收缩到0.因此,系统的所有轨线最终都会被限制在一个体积为0的点集合上,并且他的渐近动力学行为会被固定在一个吸引子上,这就说明了吸引子的存在性.并且当且仅当a+c=0,系统(1)是保守的,由L i o uv ill e定理可知,保守系统在运动过程中其相体积保持不变[15].当参数a=5,=4,c=2时,系统是耗散的,-(a+c)=-7<有一个混沌吸引子,如图1和图2所示,该混沌吸引子的三个Lyapunov指数分别为LE s=(0.6263,0,-7.6263),和 LE s=-7=-(a+c),由K aplan-Yorke猜想公式可求得Lyapunov维数D KY=2.0821.图1 3维相空间中的一个典型混沌吸引子F i g.1 Ph ase traj ectory of a typ ical chaotic attractor i n3-D space图2 图1中的混沌吸引子在不同平面上的投影F i g.2 Vari ous p rojecti ons of the chaotic attractor s ho w n i n F i g.11.2 平衡点稳定性分析如果bc>0系统的三个平衡点为O(0,0,0), P+(bc,bc,b),P-(-bc,bc,b),如果bc< 0,系统只有一个平衡点O(0,0,0).对于bc=0,有唯一的平衡点,形式为(0,0,b),b R.这里只考虑bc>0的条件下的三个平衡点为O,P+,P-的稳定性的情况,其中不动点P+和P-对称的落在z轴的两侧.命题1 如果a 0,b>0,则平衡点O都是不稳定的.证明:根据系统(1)的Jacobin矩阵(5),可得系统(1)在平衡点O处的线性化后的Jacob i n矩阵(10)和特征多项式(11)分别为325动力学与控制学报2007年第5卷3+(a+c) 2+(ac-a2b) -a2bc=0( +c)( 2+a -ba2)=0(11)三个特征值分别为1=-c, 2,3=-a2 ba2+a24所以对于a>0有 2=a2(-1+4b+1)>0,a<0有 3=a2(-1-4b+1)>0,得证.下面来讨论平衡点P+和P-的稳定性.由于系统(1)在变换S:(x,y,z) (-x,-y,z)下对于所有的参数a,b,c具有不变性,系统关于z轴对称,而且平衡点P+和P-也关于z轴对称,所以二者的性质完全相同,只需分析其中之一即可.考虑线性变换T:(x,y,z) (X,Y,Z)T:x=X+bcy=Y+bcz=Z+b(12)于是系统(1)就化为x=a(Y-X)y=-a(X+bc)Zz=(X+bc)(Y+bc)-c(Z+b)(13)经过坐标平移变化以后,原系统(1)的不动点P+在线性变换T的作用下新的系统(13)的坐标原点O (0,0,0).下面讨论新的平衡点O (0,0,0)的稳定性.系统(13)在平衡点O 处的线性化后的Jacob i n 矩阵(14)和特征多项式(15)分别为J o =-a a0-az0-a bc Y+bcX+bc-c(0,0,0)=-a a000-a bcbc bc-c(14)3+(a+c) 2+(ac+abc) +2a2bc>0(15)由Rout h-H ur w itz判据,当且仅当满足下列条件时a+c>0(a+c)(ac+abc)-2a2bc>0(16)特征方程(15)的根都有负实部.所以当且仅当条件(16)满足时,系统(1)的平衡点P+和P-才是渐近稳定的.并且还可以推证特征根方程(15)有一对纯虚根,另一个根具有负实部当且仅当以下条件成立a+c>0ac(b+1)>0a+c+bc=ab(17)并且其中的一个实特征根 1=-(a+c),一对纯虚根 2,3= i ac(b+1).于是可以得到下面的结论命题2 如果条件(17)满足时,系统(1)有一个负实根 1=-(a+c)和一对共轭的纯虚根 2,3= i2a2ca-c,并且R e(c(c)) 0,所以此时平衡点P+失稳,发生H op f分岔.证明:令 =(X,Y,Z)T,则有=xyz=a(Y-X)-a(X+bc)Z(X+bc)(Y+bc)-c(Z+b)=f( ,a,b,c)(18)容易验证对于 a,b,c R,有f(0,a,b,c)=0恒成立.并且由条件(17)可知,b 1,且参数a,b与c之间的相互关系为a=c(b+1)b-1,c=a(b-1)b+1,b=a+ca-c(19)于是从特征方程(15),可以得到c=-2+a(b+1) +2a2b3 2+2(a+c) +ac(b+1)(20)c=-2+a(b+1) +2a2b3 2+2(a+c) +ac(b+1)c=a(b-1)b+1=-(b+1)2+a(b+1)2 +2a2b(b+1)3(b+1) 2+4ab +a2(b2-1)(21)将 2,3= i ac(b+1)代入(21)中有R e( c(c))=-b3+b2-b-12b3+10b2-2b-2=-(b2-1)(b+1)2b3+10b2-2b-2I m( c(c))=b-1(b4-2b2+1)2b+8b-12b+2=b-1(b+1)2(b-1)22b+8b-12b+2于是可以得出,系统(13)在平衡点O (0,0,0)处发生了H op f分岔,所以系统(1)在平衡点P+b)处发生了H opf分岔,并且经过一系326第4期李险峰等:一个新类L orenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真列复杂的推导之后,可得H opf 分岔是亚临界的.2 数值仿真与电路实现2.1 分岔图、Lyapunov 指数谱、Lyapunov 维数、Po incar 截面图下面考虑系统(1)在特定参数下的动力学行为仿真情形1 考虑固定参数b =4,c =2,改变控制参数a 在区间[0,60]内连续变化.图3为系统(1)关于z 轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱.图3 控制参数a 变化时的关于z 轴的分岔图及Lyapunov 指数谱F i g .3 B if u rcati on d i agra m and Lyapunov-exponent spectrum f or specifi c val ues set(b =4,c =2)versus t h e con trol para m eter a情形2 固定参数b =4,a =5,c 作为分岔参数,c [0.1,0.6]系统关于轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱如图4所示.沿着控制参数增大的方向,系统由倍周期分岔通向混沌,混沌区域内含有数个较窄的周期窗口,并且每一个周期窗口又都是经由倍周期分岔走向混沌.并且通过K a -plan-Yorke 猜想计算系统的吸引子的Lyapunov 维数可知,系统(1)在这组参数下,随着控制参数的变化,分数维数数值都很小,D KY <2.1,如图4(c)所示.图4(d )为c =0.3时,在x -y (z =0)平面上的Po incar 映像,其中吸引子的叶片清晰可见,并且吸引子的叶片被折叠,这就导致了系统复杂的动力学行为.图4 系统(1)在控制参数c 变化时的动力学仿真F i g .4 Dyna m ics s i m u lati on s f orspeci fi c val ues s et(a=5,b=4)versus the con trol para m eter a情形3 考虑固定参数a =5,c =2,改变参数b ,b [1,20],系统关于z 轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱如图5所示.随着分岔控制参图5 控制参数b 变化的关于z 轴的分岔图及Lyapunov 指数谱F i g .5 B if u rcati on d i agra m and Lyapunov-exponen t spectrum for s p ecific values set(a=5,b =2)vers u s the control para m et er a数b 的逐渐增大,系统由不动点突然直接进入一个较长的含有数个周期窗口的混沌区域,在每一个区域长短不等的周期窗口内都内嵌着倍周期分岔序327动力学与控制学报2007年第5卷列,并且都是从周期到混沌的阵发过渡.最后,系统历经了一段较长的逆倍周期分岔,并且由Kap lan-Y or ke 猜想公式确定的系统吸引子的分数维数也很低,以上这两个特征与Lorenz 系统特别类似.2.2 电路实现下面设计一个电路来实现这个新的混沌系统的吸引子.这里设计的电路由三个部分组成,可实现系统(1)在确定参数下的吸引子,如图6所示.这三部分将三个状态标量连接成一个整体.运动放大器,模拟乘法器,线性电阻和电容器等来执行加、减、乘运算,为了明晰起见,各个电子元件参数标示在图上.图7为采用E W B 软件平台对电路进行仿真实验的结果.比较图2,图7,不难发现数值仿真与电路试验观测得到的不同平面上的相图是基本一致的.图6 基于EW B 软件平台的电路图F i g .6 C ircu it d i agra m f or realizi ngthe c h aotic attractor of syste m bas ed on E W B s oft ware图7 实际电路仿真实验图F i g .7 Experm i ental obs ervati ons of the c haoti c at tract or i n different p l anes3 结论本文构造并研究了一类新的类Lorenz 系统.较为细致地研究了该系统的一些非线性动力学行为,其中包括一些基本的动力学特征、分岔、周期窗口和通向混沌道路等,并对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路来仿真验证.但是需要指出的是该混沌系统仍然有许多复杂的动力学行为没有被揭示出来,因此该系统值得更进一步的研究.参考文献1 刘延柱,陈立群.非线性振动.北京:高等教育出版社,2001(L i u Y anzhu ,Chen L i qun .N on linear v i bration .Be-i ji ng :H i gher Educati on P ress ,2001(i n Chi nese))2L orenz E N.D ete r m inistic nonper i od i c flow .J.A t m os .Sci .,1963,20:130~1413 R ossler ,O E .A n equation fo r con tinuous chaos .P hys ics Let -ter A,1976,57:397~3984 Chen G R,U e ta T.Y et anothe r chao ti c a ttractor .Interna -tional Journal of B i furcation and Chao s ,1999,9:1465~14665 C eli kovsk y S ,Chen G R.On a genera li zed Lo renz canon ica lf o r m of chao ti c sy stem s v i a a nonli near obse rved approach .Interna tional Journal of B i furcation and Chaos,2002,8:1789~18126 L J H,Chen G R.A new chaotic a ttractor co ined .Interna -tional Journal of B ifurcati on and Chaos ,2002,3:659~6617 L JH,Chen G R,Cheng D Z et a.l Br i dge t he gap be -t w een the Lo renz sy stem and t he Chen system .Interna tional Journal of B i furcation and Chaos,2002,12:2917~29268 L i u C X,L i u T,L i u L.A new chaotic a ttractor .Chaos ,Solitons and F ractals ,2004,5:1031~10389 Q iG Y,Chen G R,Du S Z,Chen Z Q,Yuan Z Z .A na l y si sof a new chaotic syste m.P hy sica A,2005,352(2-4):295~30810 Q i G Y,Chen G R.Ana l ys i s and c ircu it i m ple m entati onof a ne w 4D chaotic syste m.Phys ics L etters A,2006,352:386~39711 王琳,倪樵,黄玉盈.Q i 四维系统的暂态混沌现象.动力学与控制学报,2007,5(1):18~22(W ang L i n ,N iQ i ao ,H uang Y uy i ng .Chao ti c transients i n Q i s 4D syste m.Journal of D yna m ics and C ontro l ,2007,5(1):18~22(i n Ch i nese))12 陈关荣,吕金虎.Lo renz 系统族的动力学分析、控制与同步.北京:科学出版社,2003(Chen G R,L J H.Dy -nam ics o f the L orenz sy stem fa m ily :ana lysis ,control and synchron izati on .Be iji ng :Sc ience P ress ,2003(i n Chinese))13 王琳,倪樵,刘攀,黄玉盈.一种新的类Lo renz 系统的混沌行为与形成机制.动力学与控制学报,2005,3(4):1~6(W ang L i n ,N i Q i ao ,L i u pan ,H uang Y uy i ng .Chaos and its for m i ng m echan i s m of a ne w Lo renz-like syste m.328第4期李险峰等:一个新类L orenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真Journal of Dy na m ics and Contro l ,2005,3(4):1~6(i n Ch i nese))14 严艳,张隆阁.L orenz 系统的分数阶控制算法.动力学与控制学报,2006,4(2):132~135(Y an Y an ,Zhang L ongge .F racti onal contro l a l gor ith m o fL orenz system.Jour -nal of D yna m ics and Control ,2006,4(2):132~135(i n Ch i nese))15 刘秉正,彭解华.非线性动力学.北京:高等教育出版社,2004(L i u B i ngzheng ,Peng Ji ehua .N on li nea r D ynam -i cs .Beiji ng :H i gher Educati on P ress ,2001(i n Chi nese))Received 23M arch 2007,revis ed 13M ay 2007.*Th is research i s s upported by t he Nature S cience Founderati on of Gansu Provi nce (3ZS -042-B25-049)and S ci en tifi c Research Foundati ons of L anz hou Jiaotong Un i versity (DXS -2006-74and DXS-2006-75)DYNA M ICS ANALYSIS AND CIRCU IT EXPER IM ENT SIMULAT I ONFOR A NE W LORENZ-LIKE CHAOTIC S YSTE M*LiX ianfeng 1Zhang Jiangang 2Chu Yandong 1Chang Y i n gx iang2(1.N onlinear S cience R esearc h C enter,Lanzhou J iao tong Universit y,Lanzhou 730070,China)(2.Schoo l of M athe m atics ,Phy sics and Soft ware Eng ineering,Lanzhou J iao t ong University,Lanzhou 730070,Ch i na)Abst ract A ne w Lorenz -like chaotic syste m w as presented.The non li n ear characteristic and basic dyna m ic pr op -erties o f th is t h ree -d i m ensional autono m ous syste m w ere stud i e d by m eans o f nonli n ear dyna m ics theory ,nu m er-i ca l si m u lation ,Lyapunov -exponent spectr um,Lyapunov d i m ensi o n ,b ifurcati o n diagra m and Poincar secti o n m ap .The osc illator circuit of the ne w chaoti c syste m w as designed by usi n g E W B so ft w are ,and a typical chaotic attrac-t or w as de m onstrated by circu it experi m en.tK ey w ords ne w Lorenz -like syste m , Lyapunov exponen,t fracta l d i m ensi o n, Po incar secti o n m ap ,circuit si m u lation329。

各类混沌的matlab程序实现

混沌同步模型驱动系统和响应系统都是Lorenz System,只不过初值不同。

驱动系统： dx/dt=a*(y-x)dy/dt=r*x-y-xzdz/dt=x*y-b*z初值（0.1，0.1，0.1）输出信号令S(t)=x(t)响应系统：将S(t)代替x(t)作为激励信号dx/dt=a*(y-x)dy/dt=r*x-y-xzdz/dt=x*y-b*z初值（0.1，0.1，1）最后求响应系统的输出x(t),y(t),z(t)程序：function [Y1] = Lorenz_response(tspan);%%计算处于响应地位的Lorenz系统的数值解，并由此画出其相图yinit = [0.1,0.1,1];% 初始化输入y(1:3) = yinit;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-1; % 时间步长wholetimes = 1e2; % 总的循环次数steps = 1; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数S=output;for i=1:iteratetimes;tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps);[T,Y1] = ode45(@Lorenz_driven, tspan, y);y = Y1(size(Y1,1),:);y(1)=S(i,1);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;endfigure(1)plot3(Y1(:,1),Y1(:,2),Y1(:,3))function s=output;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-1; % 时间步长wholetimes = 1e2; % 总的循环次数% options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);tspan=tstart:tstep:wholetimes*tstep[T,Y] = ode45(@Lorenz_driven,tspan,[0.1 0.1 0.1]);s=Yfigure(3)plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3))function dY=Lorenz_driven(t,Y);a=10;b=8/3;r=60;dY=zeros(3,1);dY=[a*(Y(2)-Y(1));-Y(1)*Y(3)+r*Y(1)-Y(2);Y(1)*Y(2)-b*Y(3)]MatLab常微分方程及常微分方程组的求解(2011-07-08 23:01:48)转载▼分类：编程之Matlab标签：杂谈最近参加了数学建模，对于老师说的Euler算法的不同步长的精度不一样，编写了一个M 函数文件来实现这个精度的比较，把函数附上：function [x,y]= Euler(varargin)%这里使用可变输出输入函数的%varargin{1}为求解常微分方程的表达式%varargin{2}为求解常微分方程的定解条件%需要给出的变量有常微分方程的范围a，b(varargin{3},varargin{4})%n为对这个区间的分割(varargin{5})%xlt写于7月8日%取得算法需要的变量，并附上容易理解的含义变量a = varargin{3};b = varargin{4};%自变量的范围n = varargin{5};%区间的分割次数h = (b - a)/n;%步长Dy = varargin{1}; %常微分方程的表达式y0 = varargin{2}; %常微分方程的定解条件表达式%首先求出所给常微分方程问题的精确解x1 = zeros(n+1,1);y1 = zeros(n+1,1);syms f1; syms x;f1 = dsolve(Dy,y0,'x');x1(1) = a;y1(1) = subs(f1,{x},{x1(1)});for i = 2:(n+1)x1(i) = x1(i-1) + h;y1(i) = double(subs(f1,{x},{x1(i)}));end%利用Euler方法求解近似数值微分解x2 = zeros(n+1,1);y2 = zeros(n+1,1);syms y;x2(1) = a;y2(1) = subs(f1,{x},{a});%获得原方程的初解for i = 2:(n+1)x2(i) = x2(i-1) + h;y2(i) = y2(i-1) + h .* double(subs(Dy(5:end),{x,y},{x2(i-1),y2(i-1)}));%特别记录Matlab中的字符串操作，提取子字符串即A（3：6）...end%返回经过Euler算法算出x与y的值x = x2;y = y2;%画图进行误差比较plot(x1,y1,'r');hold on;plot(x2,y2,'b');特此记录，以后写了新的算法再分享文 - 汉语汉字编辑词条文，wen，从玄从爻。

类LORENZ混沌系统及其电路实现

• 188•本文研究动力学特性更为复杂的新三维混沌系统。

首先利用数值建模分析了三维混沌系统的基本动力学特性，然后搭建新混沌系统硬件电路，通过Multisim软件进行硬件电路仿真模拟，最后验证了系统的物理可行性，结果表明仿真实验与理论分析结论吻合。

1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)气象学家Loren 发现已确定的三阶微分方程具有不规则的解，提出了“蝴蝶效应”理论，开启了研究混沌现象的序幕。

混沌作为非线性动力学的一个分支，在很多领域具有广泛应用。

复杂混沌系统的产生、分析和控制近年来引起了国内外同行的广泛关注。

经典的混沌系统诸如：Rössler 系统、Chen 系统及Lü系统等被提出，一些新的混沌系统被发现，它们具有更大的Lyapunov 指数和更强的混沌特性。

本文基于文献中Lorenz-Like 系统，搭建了新三维混沌系统，发现此系统的混沌特性比原系统复杂，在不同参数值下不仅折叠吸引子的涡卷数增加；并且发现在4.28＜b ＜10.5时，系统产生新的两翼折叠混沌吸引子，其最大Lyapunov 指数高达6.7872，比上述文献中混沌系统的Lyapunov 指数值均大。

1 混沌系统模型及特性分析1.1 混沌系统模型本文基于Lorenz-Like 系统构建了一个新三维自治混沌系统，该系统的数学模型可描述为：（1）式中，x ，y ，z 为状态变量。

当初值为(10，10，60)，参数a =10、b =3、c =50、h =-1时，系统存在一个典型混沌吸引子如图1所示。

图1 系统(1)相图1.2 三维系统参数的影响系统动力学特性随参数的变化而变化，系统的运行状态可以直观的由Lyapunov 指数谱及分岔图反映。

当固定参数a 、c 、h ，参数b 变化。

图2(a)反映在0＜b ≤2.256及b ＞12.39区域Lyapunov 指数谱符号为(-，-，-)或(0，-，-)，系统处于周期运动状态；在2.257＜b ≤12.35区域Lyapunov 指数谱符号为(+，0，-)，系统处于混沌运动状态。

一个新超混沌系统及其EWB电路仿真

一个新超混沌系统及其EWB电路仿真
申敏;刘娟
【期刊名称】《重庆邮电大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(022)001
【摘要】基于三维Lü混沌系统,提出了一个新超混沌系统,并对该超混沌系统的混沌吸引子、平衡点稳定性、Lya-punov指数谱、分岔图、Poincaré映射等基本动力学行为进行了深入分析.利用电路仿真软件(electronic workbench,EWB)对该超混沌系统的振荡电路进行了相图仿真,仿真结果表明,EWB仿真的混沌吸引子与计算机数值仿真的混沌吸引子是一致的.数值实验分析结果表明,借助该超混沌系统在参数较大范围内变化仍保持超混沌状态的特性,对解决基于超混沌的信号加密与安全通信这一实际问题具有较大的应用价值.
【总页数】5页(P71-74,93)
【作者】申敏;刘娟
【作者单位】重庆邮电大学通信与信息工程学院,重庆,400065;重庆邮电大学通信与信息工程学院,重庆,400065
【正文语种】中文
【中图分类】TM132
【相关文献】
1.一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真 [J], 周小勇;韩晓新
2.一个新超混沌系统的电路仿真与设计 [J], 张坦通
3.一个新超混沌系统的数值与电路仿真 [J], 曹永民;赵克奉;胡文亚
4.一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真 [J], 周小勇;韩晓新
5.一个新的四维超混沌系统及其电路仿真 [J], 高智中;韩新风;章毛连
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标度变换后Lorenz混沌系统的同步实现

标度变换后Lorenz混沌系统的同步实现熊丽;黄小娜;石玉军【摘要】首先对Lorenz混沌系统进行标度变换,这是因为在实际应用中,一些混沌系统的数值解是不能使用普通的电子元器件来实现的,往往需要利用标度变换的方式将这些变量的变化范围进行适当调整,使其符合电路设计的要求。

然后,采用主动控制法、自适应控制法和基于状态观测器的控制法分别实现标度变换的Lorenz混沌系统的同步,3种方法均可应用于具体的电路实验,具有较高的实用价值。

理论分析和仿真结果均表明这些同步方法是有效和可行的。

【期刊名称】《陕西理工大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2017(033)006【总页数】8页(P82-88)【关键词】混沌系统;标度变换;混沌同步;主动控制;自适应控制;状态观测器【作者】熊丽;黄小娜;石玉军【作者单位】[1]河西学院物理与机电工程学院,甘肃张掖734000;[2]复旦大学专用集成电路与系统国家重点实验室,上海200433;;[1]河西学院物理与机电工程学院,甘肃张掖734000;;[1]河西学院物理与机电工程学院,甘肃张掖734000;【正文语种】中文【中图分类】O415.5混沌同步是实现混沌保密通信的关键性问题，对混沌同步的研究具有广阔的应用前景。

自从Pecora[1]和Carrol[2]提出了一种驱动-响应同步方案，并通过电子电路实现了混沌同步，使得对混沌控制与同步的研究成为了混沌研究领域的热点，使得混沌研究者们受到了极大的鼓舞，加快了混沌研究的速度。

由于混沌运动蕴含着大量的信息，在保密通信、图像处理、激光物理、神经网络等诸多领域都具有广阔的应用前景，因而对混沌的理论研究发展到应用研究必将会产生巨大的经济价值。

目前，研究人员对混沌同步已经做了广泛而深入的研究，提出并实现了自适应同步、广义同步、基于状态观测器同步、基于耦合控制的同步等不同类型的混沌同步[3-9]。

近些年，混沌同步在保密通信领域的研究得到了快速发展，因为混沌同步是实现混沌保密通信的必要条件[10-13]。

EWB使用与仿真演示

多大公司的晶体管元器件、集成电路和数字门电路芯片，器件库中没
有的元器件，还可以由外部模块导入; • 在众多的电路仿真软件中，EWB是最容易上手的，它的工作界面非常直
观，原理图和各种工具都在同一个窗口内，未接触过它的人稍加学习
就可以很熟练地使用该软件; • 对于电子设计工作者来说，它是个极好的EDA工具，许多电路你无需动
♠节点的使用
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混沌系统的仿真实现

figure ( 2)
p lo t ( y1, y2, ’k’)
function yp rim e = duffing ( t, y)
yp rim e = [ y ( 2) ; - 0113 y (2) - y (1) ^3
+ 113 co s ( t) ] 当 F = 0151时 , x - t曲线见图 7,相图见图 8, 系统处于周期运动状态 ; 当 F = 11 时 ,系统 x - t 曲线见图 9,相图见图 10,此时该系统处于混沌运动状态.
u. = z
取 a = 011,Ω = 1,μ = 1, x ( 0) = y ( 0) = 1100,
F 取不同值时 , 系统处于不同状态. 设 y1 = x,
y2 = y则 , D uffing方程的 MATLAB 仿真实现程序
清单如下 :
function duffing ( )
第 21卷第 3期 Vol121 No13
钦州师范高等专科学校学报 JO URNAL O F Q INZHO U TEACHERS COLL EGE
2006年 6月 June1, 2006
混沌系统的仿真实现
陆安山
(钦州学院物理与电子工程系 ,广西钦州 535000)
[摘要 ] 利用 MATLAB软件 ,以程序的形式对 Lorenz、Duffing和 Rossler三种经典混沌系统相图、x - t曲线进行仿真 ,并对其进行分析 ,阐述混沌系统的特点. [关键词 ] 混沌 ;吸引子 ; MATLAB;仿真 [中图分类号 ] O41515 [文献标识码 ] A [文章编号 ] 1008 5629 (2006) 03 0084 04

一个新的混沌系统及其电路仿真

一个新的混沌系统及其电路仿真高智中;韩新风;章毛连【摘要】构造了一个新的三维自治混沌系统,该系统含有两个参数、两个非线性项.通过理论分析、数值仿真、Lyapunov指数谱和分岔图等非线性动力学分析方法分析了系统的丰富的动力学行为.结果表明系统是耗散的,系统存在两个不稳定平衡点,系统的轨线是有界的,当参数满足一定条件时,系统是混沌的.最后根据新混沌系统的数学模型设计具体的实际电子电路,给出系统处于混沌状态时的电路实验相图,与数值仿真结果是一致的.%A new three-dimensional autonomous chaotic system is constructed in this paper. The new system contains two parameters and two quadratic cross-product terms. The rich dynamics characteristics of the new system are analyzed by means of theoretical a-nalysis and nonlinear techniques, such as numerical simulations, bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum. Results show this system is dissipative and it has two unstable equilibrium points. The trajectory is bounded and the new system is chaotic when its parameters satisfy certain conditions. Finally, specific practical electronic circuit is designed according to mathematical model of the new chaotic system and the phase diagrams of the circuit under the chaotic state are given, which agree with the simulation results.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)002【总页数】5页(P288-292)【关键词】新混沌系统;理论分析;数值仿真;Lyapunov指数谱;分岔图;电路实验【作者】高智中;韩新风;章毛连【作者单位】安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;;安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;;安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;中国科学院等离子体物理研究所,安徽合肥230031【正文语种】中文【中图分类】O545由于混沌信号具有类随机、宽带功率谱和对初值敏感等特性，近40年来，混沌在非线性科学、工程和数学等领域中获得了广泛研究和应用.自从E.N.Lorenz［1］在分析气候数据时发现第一个混沌吸引子以来，G.Chen等［2］利用混沌反控制方法成功实现了一个与Lorenz相似但不拓扑等价的新混沌系统，即Chen系统，由此大大激发了人们对混沌生成的研究兴趣.除偶然遇到混沌系统外，有目的地产生混沌有2种办法：一是Sprott的计算机穷举搜索法［3］，二是Chen的混沌反控制法.近年来，人们不断地发现新的混沌系统［4-17］.本文构造了一个新的三维连续自治混沌系统，该系统含有2个参数，2个非线性项.通过理论推导、数值仿真、Lyapunov指数谱和分岔图分析了改变系统参数时系统动力学行为的变化，验证了系统的混沌特性.最后根据新混沌系统的数学模型设计具体的实际的电子电路，并给出系统处于混沌状态时的电路实验相图，与数值仿真结果是一致的.1 新混沌系统及其分析1.1 新混沌系统及其典型混沌吸引子本文构造的混沌系统的动力学方程为其中，x、y、z为系统的状态变量，a、b为系统的参数.当参数a=0.2，b=5时，利用Wolf方法数值计算系统的3个Lyapunov指数为LE1=0.303 9，LE2=0，LE3=-1.501 5，其分数维数为2.202 3，进一步说明此时系统处于混沌状态.由于系统的散度只要a＞-1，系统始终是耗散的，并以指数形式e-(a+1)收敛.也就是一个初始体积为V(0)的体积元在时刻t时收缩为体积元V(0)e-(a+1)t.这意味着，当t→∞时，包含系统轨线的每个小体积元以指数速率(-a-1)收缩到零，所有线最终会被限制在一个体积为零的极限子集上，其渐进运动将被固定在一个吸引子上，这就说明了吸引子的存在性.图1给出了在该参数下的混沌吸引子相图.从三维空间中的相图(图1(a))及在不同平面上的投影(图1(b)～(d))可以看出系统的混沌吸引子具有复杂的几何形状，具有很强的吸引性，具有复杂的折叠和拉伸轨线，系统的轨线是有界的.1.2 平衡点及其稳定性令系统右端为零，得系统的两个平衡点M(-2.236 1，-2.236 1，0.219 6)和N(2.236 1，2.236 1，0.183 6).首先分析平衡点M(-2.236 1，-2.236 1，0.219 6)，将系统在此点进行线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，得其特征根为λ1=-1.695 0，λ2=-6.666 2，λ3=7.161 2，显然平衡点M是一个鞍结点，不稳定.将系统在平衡点N进行线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，得其特征根为λ1=-1.716 0，λ2=-7.261 5，λ3=7.777 5，显然平衡点N也是一鞍结点，不稳定，所以这两个平衡点都不稳定.1.3 混沌吸引子的形成机制为了深入研究新系统的混沌吸引子结构的形成机制［18］，给系统的第二个方程右端加上一个常数控制器e，则受控系统为在受控系统中，控制器e的取值可以在一定范围内变化，随着e的变化，受控系统的混沌行为可以得到有效控制，在不同的e取值区间具有不同的动力学行为.在e由0逐渐增大过程中，当e=3.5时，受控系统对应的右半吸引子相图如图2(a)所示;当e=-3.5时，受控系统对应的左半吸引子相图如图2(b)所示.可见，新系统的混沌吸引子是由两个简单的混沌吸引子通过一个镜像映射相互融合而成.1.4 系统参数的影响随着系统参数的改变，系统平衡点的稳定性将会发生变化，从而系统也将处于不同的状态.系统的分岔图和Lyapunov指数谱图都可以较直观地反映非线性动力系统随系统参数变化的动态特性.当固定参数b=5，改变a，图3(a)和(b)给出了系统随参数a在a∈［-0.5， 1.5］上变化的分岔图和Lyapunov 指数谱图.由图3可知系统由倍周期分岔进入混沌状态，最后阵发性的离开混沌进入了大范围的周期运动.当系统的最大Lyapunov指数小于零时，对应系统处于周期运动.当最大Lyapunov指数大于零时，必将导致分岔图中的混沌区域.当固定参数a=0.2，改变b，图4(a)和(b)给出了系统随参数b在b∈［1，10］上变化的分岔图和Lyapunov指数谱图.由图4可知系统由混沌态经历倒倍周期分岔进入稳定的三周期态.由图3和图4知系统的分岔图和Lyapunov指数谱图是吻合的.1.5 时间相应图、功率谱图以及Poincaré截面图系统混沌运动的时间相应图具有非周期性，解的流对初值极为敏感，其时间相应图如图5(a)，混沌系统的功率谱是连续谱，如图5(b)，混沌系统的Poincaré截面上是沿一条直线段或一条曲线弧分布着的点的集合，如图5(c).由这些图都可以说明该新系统的确是一个混沌系统.2 电路仿真由于许多数值仿真能够得出的模拟结果并不一定能够在物理上实现，为了验证这个新混沌系统的性质以及前面所作的数值仿真结果，采用以下电路来实现这个新的混沌系统的吸引子，用电路软件Multisim设计实现该电路的原理图如图6所示.电路采用线性电阻、电容器、运算放大器(LM741)、模拟乘法器来设计实现.其中模拟乘法器用于实现系统中的非线性项，电容器用于实现积分运算，运算放大器及其相关电阻用于实现加、减运算.本电路设计中采取了优化设计，并且把电路优化到最简形式，采用更少的器件，以降低设计成本，便于工程上的实现.电路中各元件的具体参数见图6，利用软件中的示波器可以观察到混沌吸引子的相图如图7所示，结果与数值仿真图基本相同.3 结语本文构造了一个新的三维自治混沌系统，研究了新系统的耗散性和平衡点稳定性等相关问题，分析了系统参数变化时对整个系统的影响，给出了系统关于随参数变化的分岔图和Lyapunov指数谱图.结果表明，它具有一切混沌系统的共有特征：耗散性、有界性、对初值的极端敏感性、正的最大Lyapunov指数、一定频率范围内的连续谱等.该系统的电路实验结果和数值仿真结果是一致的，可作为混沌信号源应用于混沌通信和混沌信息加密之中.致谢安徽科技学院校自然科学基金(ZRC2010260)对本文给予了资助，谨致谢意. 参考文献［1］Lorenz E N.Deterministic non-periodic flow［J］.Atmo Sci，1963，20(2)：130-141.［2］Chen G R，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.Inter J Bifur Chaos，1999，9(7)：1465-1466.［3］Sprott J C.Some simple chaotic flows［J］.Physics Rev，1994，E50(2)：647-650.［4］Lü J，Chen G R.A new chaotic attractor cioned［J］.Inter J Bifur Chaos，2002，12(3)：659-661.［5］刘文波，陈关荣.4-涡卷(Four-scrolls)混沌系统的复合结构［J］.南京航空航天大学学报：英文版，2003，11(2)：192-195.［6］Liu C X，Liu T，Liu L，et al.A new chaotic attractor［J］.Chaos，Solitions and Fractals，2004，22(5)：1031-1038.［7］Qi G Y，Chen G R，Du S Z，et al.Analysis of a new chaotic system ［J］.Phys Lett，2005，A352(2/3/4)：295-308.［8］蔡国梁，谭振梅，周维怀，等.一个新的混沌系统的动力学分析及混沌控制［J］.物理学报，2007，56(11)：6230-6236.［9］禹思敏.四阶Colpitts混沌振荡器［J］.物理学报，2008，57(6)：3374-3379.［10］吴然超，郭玉祥.含一个非线性项混沌系统的线性控制及反控制［J］.物理学报，2010，59(8)：5293-5298.［11］许喆，刘崇新，杨韬.一种新型混沌系统的分析及电路实现［J］.物理学报，2010，59(1)：131-139.［12］乔晓华，包伯成.新三维分段线性混沌系统［J］.电子科技大学学报，2009，38(4)：564-568.［13］王杰智，陈增强，袁著祉.一个新的混沌系统及其性质研究［J］.物理学报，2006，55(8)：3956-3963.［14］谢国波，禹思敏，周武杰.一个新的三维二次混沌系统及其研究［J］.通讯技术，2009，42(1)：267-270.［15］刘凌，苏燕辰，刘崇新.新三维混沌系统及其电路仿真［J］.物理学报，2007，56(4)：1966-1971.［16］张建雄，唐万生，徐勇.一个新的三维混沌系统［J］.物理学报，2008，57(11)：6799-6809.［17］王光义，丘水生，许志益.一个新的三维二次混沌系统及其电路实现［J］.物理学报，2006，55(7)：3295-3301.［18］陈关荣，吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步［M］.北京：科学出版社，2003.。

混沌系统的电路实现与仿真分析

混沌系统的电路实现与仿真分析1. 设计思路混沌系统模块化设计方法的主要思路是，根据系统的无量纲状态方程，用模块化设计理念设计相应的混沌电路，其中主要的模块包括：反相器模块、积分器模块、反相加法比例运算模块和非线性函数产生模块。

2. 设计过程第一步，对混沌系统采用Matlab 进行数值分析，观察状态变量的时序图、相图，观察系统状态变量的动态范围；第二步，对变量进行比例压缩变换。

我们通常取电源电压为±15V ，集成运放的动态范围为±13.5V ，如果系统状态变量的动态范围超过±13.5，则状态变量的动态范围超过了集成运放的线性范围，需要进行比例压缩变换，如没有超出，则不需要进行变换。

举例：变换的基本方法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===w k z v k y uk x 321 代入原状态方程，然后重新定义u →x ，v →y ，w →z 得到的状态方程即为变量压缩后的状态方程。

第三步，作时间尺度变换。

将状态方程中的t 变换为τ0t ，其中τ0为时间尺度变换因子，设τ0=1/R 0C 0，从而将时间变换因子与积分电路的积分时间常数联系起来。

第四步，作微分-积分变换。

第五步，考虑到模块电路中采用的是反相加法器，将积分方程作标准化处理。

第六步，根据标准积分方程，可得到相应的实现电路。

第七步，采用Pspice 仿真软件或Multisim 仿真软件对电路进行仿真分析。

3. 设计举例：Lorenz 系统的电路设计与仿真Lorenz 系统的无量纲归一化状态方程为bz xy zy xz cx yay ax x--=--=+-= （1）其中当a=10，b=8/3，c=28时，该系统可以展现出丰富的混沌行为。

MATLAB 仿真程序如下：function dx=lorenz(t,x) %¶¨Òåº¯Êý a=10; b=8/3;c=28; %¶¨ÒåÏµÍ³²ÎÊý %***************************************** dx=zeros(3,1); dx(1)=a*(x(2)-x(1));dx(2)=c*x(1)-x(1).*x(3)-x(2); dx(3)=x(1).*x(2)-b*x(3);%*********************************¶¨Òå×´Ì¬·½³Ì clear;options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-6,1e-6,1e-6]); t0=[0 500]; x0=[1,0,0];[t,x]=ode45('Lorenz',t0,x0,options); n=length(t);n1=round(n/2);figure(1);plot(t(n1:n),x(n1:n,1)); %×´Ì¬xµÄÊ±ÐòÍ¼xlabel('t','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','normal'); ylabel('x1','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','normal');figure(2);plot(x(n1:n,1),x(n1:n,3)); %x-zÏàÍ¼xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); ylabel('Z','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');figure(3);plot3(x(n1:n,1),x(n1:n,2),x(n1:n,3)); %x-y-zÏàÍ¼xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); ylabel('y','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');zlabel('z','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic')；t x 1xzxyz图1 lorenz 系统的时序图和相图由于状态变量的范围超过了±13.5，所以先必须进行变量压缩，按均匀压缩10倍进行处理后得到的状态方程为z xy z y xz x yy x x)3/8(1010281010-=--=+-= （2）作时间尺度变换，令τ=τ0t ，τ0=100，得zy x z y xz x y y x x )3/800()(10001001000)(2800)(10001000---=----=---= （3）图2 lorenz 系统的电路实现根据图2可以得到电路的状态方程为zC R y x C R zy C R xz C R x C R y y C R x C R x 3931025262814111)(1011101)(1)(11---=----=---= （4）设电路中的电容C1=C2=C3=10nF ，比较(3)式、(4)式可得K R C R K R C R KR R C R C R K R C R K C R R C R C R 37513800100011001010110110007.351280010010001111000939525106310268281411411=→==→===→===→====→== Time0s200ms 400ms 500msV(x)V(y)V(z)-5.0V0V5.0VFrequency0Hz0.5KHz 1.0KHz 1.5KHz 2.0KHzV(x)0V250mV500mVV(x)-2.0V0V 2.0VV(z)0V 2.5V5.0VV(x)-2.0V0V 2.0VV(y)-2.0V0V2.0V图3 Pspice 仿真得到的时序图、频谱图和相图设计课题及要求共提供了10个典型的混沌系统，每个混沌系统的设计项目限选4人。

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毕业设计论文Lorenz混沌系统的EWB仿真实现教学单位:电子工程学院专业名称:学号:学生姓名:指导教师:指导单位:完成时间:Lorenz混沌系统的EWB仿真实现【摘要】本文首先介绍了混沌系统的定义、混沌的发生、混沌的特征以及研究混沌的几种常用的方法，接着，研究了混沌系统的非线性动力学特性，同时采用图形仿真和数值仿真来观察典型Lorenz混沌系统的奇怪吸引子，分析了运用运算放大器及阻容元件实现混沌系统的基本原理，并提出了运用运算放大器及阻容元件设计混沌系统的方法。

Multisim是一种功能比较强大的电子电路仿真软件，利用Multisim 软件可以使设计与仿真同步，一边设计一边实践，修改调试也比较方便；仿真实验中又不消耗实际的元器件和损伤测试仪器，试验成本极低，试验速度极快；仿真试验成功的电路可以直接在产品中使用。

最后通过Multisim仿真验证了Lorenz混沌系统理论分析的正确性。

【关键词】混沌，Lorenz系统，Multisim，仿真实验EWB Simulation Realization of LorenzChaotic System【Abstract】Firstly, definition of chaotic system, how to produce chaos, and chaotic features were Introduced. Then, the nonlinear dynamical nature of chaotic systems was studied, strange attractors were observed by graphics simulation and numerical simulation, basic principle to design chaotic circuit by operational amplifier, resistor and capacitor was analyzed, and a new method to design chaotic circuit by operational amplifier, resistor and capacitor was proposed. This paper mainly validates the powerful function of Multisim software. Multisim is a multifunctional electronic simulated circuit software, which can design and simulate at the same time. The modification of the circuits is very convenient. By Multisim simulation, cost of experiments can be reduced since no real devices are wasted during the test. Moreover, so the rate of experiments is very fast. The success of circuit simulation can be directly used in the product.Finally, multisim simulation result verified the correctness of theoretical analysis of the Lorenz chaotic system.【Key Words】Chaos，Lorenz system，Multisim，Simulation experiments目录第1章绪论 (1)1.1 选题的目的和意义 (1)1.2 混沌学 (1)1.2.1 混沌学的发展 (1)1.2.2 混沌的定义 (3)1.2.3 混沌的度量 (4)1.2.4 混沌系统的特征 (5)1.3 通向混沌的道路 (6)1.4 混沌的研究方法 (6)1.5 本文的主要工作 (7)第2章Lorenz混沌系统的分析 (8)2.1 Lorenz混沌系统的动力学分析 (8)2.1.1 Lorenz混沌系统的分析 (8)2.1.2 Lorenz混沌系统的Lyapunov指数 (10)2.2 Lorenz混沌系统的数学模型 (10)2.3 Lorenz混沌系统的电路实现 (13)2.4 本章小结 (15)第3章EWB仿真软件介绍 (16)3.1 Multisim (16)3.1.1 EDA在发达国家中的应用状况 (17)3.1.2 Multisim概貌 (17)3.1.3 Multisim对元器件的管理 (17)3.1.4 输入并编辑电路 (18)3、将元器件连接成电路 (22)3.1.5、multisim具有以下突出的特点 (23)第4章Lorenz混沌电路的仿真 (25)4.1 基于EWB的仿真结果及分析 (25)4.2 本章小结 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (31)图目录表目录第1章绪论1.1 选题的目的和意义混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。

混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。

许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一。

非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，具有广阔的应用的前景。

本文在汲取前人研究成果的基础上，对Lorenz混沌系统进行了详细的介绍和分析，加深人们对混沌的理解，是混沌的概念深入人心。

1.2 混沌学1.2.1 混沌学的发展20世纪60年代之前，根据牛顿理论，人们仍普通认为，确定性系统的行为是完全确定的、可以预言的。

不确定性行为只会产生在随机系统里。

然而，近30年来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪的、复杂的、随机的行为。

随着对这类现象的深入了解，人们与古代混沌概念相联系，就把确定性系统的这类复杂随机行为称为混沌。

Equation Chapter 1 Section 1最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家Poincare，他在研究三体问题时指出，在一定范围内其解是随机的，实际上它是保守系统中的混沌，但是在当时并没有引起人们多大的关注。

直到1954年，前苏联概率论大师Kolmogoror提出了一个环面不变定理，这一定理后来被Arnold和Mose论证，使得人们进一步认识扰动对系统产生的影响。

1963年，著名大气学家Lorenz研究了下表面受热，上表面冷却的薄层流体，通过对流方程进行模式截断，只保留一个速度模和两个温度模，给出了著名的Lorenz 方程：121212133123()x x x x x x x x x x x x σρβ⋅⋅⋅⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩(1.1)式中：1x ——代表对流的翻动速率；2x ——代表上流和下流的温度差；3x ——代表垂直方向温度梯度；,,σρβ——分别代表常数Prandtl ，瑞利常数和速度阻尼常数。

该方程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线，将参数设置成：10σ=，28ρ=，38/β=，系统处于混沌状态，各个变量之间相平面投影图如图1.1所示。

这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，人类从此揭开了对混沌现象的深入研究的序幕。

图1.1 Lorenz 系统混沌吸引子相图20世纪80年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入混沌及其混沌的性质和特点，借助于(单)多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。

控制混沌的研究兴起于1989年，与此同时有三种不同的控制方案在这一年问世，包括共振控制、反馈参数修改机制的控制和利用随机控制方法的混沌系统。

真正引起对控制混沌较广泛重视的是1990年Grebogi 和Yorke 发表的一篇短文，其中提出了利用参数反馈镇定构成混沌吸引子的任意不稳定周期性轨道的方法，即后来所被广泛应用的OGY 方法。

这种控制方法与实验有密切联系，因而很快便应用于实验室的实验中。

随后，国际上混沌控制方法及其实验的研究得到了迅速的发展，混沌同步也获得进一步的拓广，大大推进了在应用方面的研究。

进入90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，被很多人所认识，混沌学更是与其他学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、心理学、物理学、生理学、数学、信息科学、电子学，还是气象学、经济学、天文学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了前所未有的应用。

1.2.2 混沌的定义“混沌”一词，从古自今，毫不陌生。

混沌是一个物理概念，它是非线性动力学系统表现出来的一种复杂现象。

早在十九世纪末，法国数学家庞加莱在研究太阳系三体运动时就发现了混沌的现象，而最具有说服力和影响力的当属20世纪60年代初，美国气象学家洛伦兹提出的Lorenz方程，借助于计算机技术使人们对混沌有了更加深刻的理解。

近年来，随着人们对非线性混沌理论研究的不断深入，混沌的应用研究已成为非线性科学领域的热点问题之一。

但是至今为止，学术界对“混沌”尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，但是有以下几种从不同角度出发的混沌定义，较好地概括了混沌的定性行为。

第一种混沌定义是，基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。

气象学家洛伦兹给它做了一个形象的比喻成：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能两周之后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。

其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。

第二种混沌定义是基于Li-Yorke定理，是从数学上进行了严格的定义。

在1975年，李天岩和约克在《美国数学月刊》上发表的一篇论文《周期3意味着混沌》，第一次引入“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学定义，即现在所谓的Li-Yorke定义：设()a b上的子映射函数，如果它有3周期点，则对正整数n，f x为连续区间[,]它就有n个周期点。

()f x如果满足下面两个条件，就说明它能产生混沌。

(1)f周期点的周期没有上限；(2)闭区间上有不可数子集S ，,x y S ∀∈，满足：①当x y ≠时，有l i m s u p ()()0n n n f x f y →∞->；②l i mi n f ()()0n n n f x f y →∞-=；③对于f 任一周期点y ，满足limsup ()()0n n n f x f y →∞->。