信号与系统教案第4章(1)

信号与系统 电子教案
第4-2页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
第4-3页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
第4-4页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
第4-5页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的频域分析
信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
如三维空间中，以矢量
vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。
例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组合 表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号， 使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
f(t)a 2 0n 1anco n s t) (n 1b nsin n t)(
系数an , bn称为傅里叶系数。
第4-17页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
第4-10页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
思考：
三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是否为 区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集？
第4-11页
“三角型傅里叶级数”和“指数型傅里叶级数”统称为 傅里叶级数。
第4-16页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
4.2 傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当 满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三 角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数 。
f
2(t)dt
C2j Kj
j1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，
表明：在区间(t1,t2) 信号f(t)所含能量恒等于f(t)在完备 正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。
f (t) Cjj (t) j1
第4-15页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
如何选择各系数 Cj 使f(t)与近似函数之间的误差 在区间(t1，t2)内为最小？
通常使误差的均方值(称为均方误差)最小。
第4-12页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
均方误差为：
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1C j j(t)]2dt
2 1 [ t2t1
t1 t2f2(t)dtjn 1C 2 jKj]0
第4-14页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2 t1
第4-9页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
3. 完备正交函数集：
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外，
不存在函数φ(t)( 0 t22(t)dt)满足 t1 t1t2(t)i(t)dt 0 ( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
2. 正交函数集：
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t2)内满足
t1 t2i(t)j*(t)dt Ki0 ,0,
ij ij
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
4.1 信号分解为正交函数
一、矢量正交与正交分解
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即
3
VxVyT vxivyi 0 i1
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集。
第4-6页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
第4-7页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
二、信号正交与正交函数集
1. 定义：
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t1t21(t)2*(t)dt 0
即两函数的内积为0
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
第4-8页
信号与系统 电子教案
4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数
由上节可知，周期信号 f(t) 在区间(t0，t0+T)可以 展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。
如果完备的正交函数集是三角函数集，则周期信号 所展开的无穷级数就称为“三角型傅里叶级数”。
如果完备的正交函数集是指数函数集，则周期信号 所展开的无穷级数就称为“指数型傅里叶级数”。
4.1 信号分解为正交函数
C i t1 t2[ 2 C if(t)i(t)C i2i2(t)d ]t0
即 2t1 t2f(t)i(t)dt2 C i t1 t2 i2(t)dt0
求得
Ci
t2 t1
f(t)i(t)dt
1
t2
t1
i2(t)dt
Ki
t2 t1
f(t)i(t)dt
最终求得最小均方误差为：
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案
4.1 信号分解为正交函数
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为
f(t) ≈ C11+ C22+…+ Cnn
为使上式最小，
Fra Baidu bibliotek
C i C i
t1 t2[f(t)jn 1Cj
j(t)2 ]dt0
展开上式中的被积函数，注意到由序号不同的
正交函数相乘的各项，其积分均为零，而且所有不
包含Ci的各项对Ci求导也等于零。 这样，上式中只有两项不为0，写为
第4-13页
■
西安邮电学院通信与信息工程学院
信号与系统 电子教案