概率论第四章第五章第一次课
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k
= N 个人平均需化验的次数 为 1 = 由此可知 由此可知,
N (1 − q k + ). k
则 N 个人平均需化验的次数 < N .
只要选择 k 使
8
当 p 固定时, 可选取 k 使得
数
1 L = 1− q + k 小于 1 且取到最小值 , 这时就能得到最好的分组方法 这时就能得到最好的分组方法.
=减少化验的次数，并说 明 k 取什么值时最适宜 . 减少化验的次数， =
是相互独立的 . 较小时， 试说明当 p 较小时， 选取适当的 k , 按第二种方法可以
7
解: 各人的血呈阴性反应的 概率为 q = 1 − p, 数 字 特
因而 k 个人的混合血呈阴性反 应的概率为 q k ,
k个人的混合血呈阳性反 应的概率为 1 − q k .
这里2/20，4/20是“乘客数为 ， 乘客数为400人 这里 是 乘客数为390人”“乘客数为 人”“乘客数为 人”的频率， 征 若将其视为相应的概率, 则可建立如下模型 表示日乘客数 ： 则可建立如下模型(X表示日乘客数 表示日乘客数)：
X 390 400 410 420 5/20 430 440
xf ( x)dx
(2)
2、重要分布的期望值: 重要分布的期望值:
二项分布 X ~ B(n, p) 泊松分布 X ~ π (λ) 均匀分布 X ~ U(a, b) 正态分布 X ~ N(µ,σ 2 ) 指数分布
E( X ) = np E(X ) = λ a+b E( X) = 2 E(X ) = µ E(X ) = θ
∞
4
8
∞
…
2n 1/2n
… …
∞
征
pk 1/2
1/4 1/8 …
k k
E(X ) =
∑ kp
k =1
= =
1 = ∑ 2 = k 2 k =1
∑1
k =1
发散
②若E(X)存在，则是一个确定的实数. E(X)存在，则是一个确定的实数. 存在
6
P91 在一个人数很多的团体中普查某种疾病 为此要抽验 个人 在一个人数很多的团体中普查某种疾病, 为此要抽验N个人 例5 的血 可以用两种方法进行 的血, 可以用两种方法进行:
k
例如, 字 例如 特 征
p = 0.1, 则q = 0.9,
当k = 4时，N = 1000, 此时以k = 4 分组，则按第二种方法平均只需化验 分组，
1 1000(1 − 0.94 + ) = 594 (次) . 4
4
= =
这样平均来说, 这样平均来说 可以减少40%的工作量 .
9
二、连续型随机变量的数学期望
= =
数字。其中， 能描述随机变量某些方面特征的数字。其中， 最常用的是: 期望和方差 最常用的是
1
数 字 特 征
§1
数学期望
(Mathematical expectation) 一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量的函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、数学期望性质的应用
=
X = 390×
pk
2/20 4/20 7/20
1/20 1/20
=
2 4 7 5 1 1 + 400× + 410× + 420× + 430× + 440× = 411 20 20 20 20 20 20
3
定义1 设离散型r.vX的分布律为： r.vX的分布律为 P 定义1 设离散型r.vX的分布律为： {X = xk } = pk k = 1,2,...
E(X2)=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9 × × × × λ ke −λ X , k = 0 ,1, 2 ..... , 求 E ( X ) 征 例2： ~ π ( λ ), P { X = k } = ： k! +∞ +∞ +∞ λ k e −λ λ k −1 解：E( X ) = ∑k pk = ∑ k ⋅ =λ∑ ⋅e − λ k! = k =0 k =0 k = 1 ( k − 1 )!
数 (i) 将每个人的血分别去化 验 , 这就需化验 N 次. (ii) 按 k 个人一组进行分组 , 把这 k 个人的血混在一 起进行化验. 字 特 征 如果混合血液呈阴性反应, 就说明k个人的血都呈阴性反应 个人的血都呈阴性反应, 如果混合血液呈阴性反应 就说明 个人的血都呈阴性反应 这样这k 这样这 个人的血就只需验一次 . 若呈阳性, 则对这k个人的血液再分别进行化验 这样k个人 个人的血液再分别进行化验, 若呈阳性 则对这 个人的血液再分别进行化验 这样 个人 的血总共最多化验 k + 1 次 . 假设每个人化验呈阳性 的概率为 p , 且这些人的化验反应
k =0
∞
等比级数求和
求和与求导 k =0 交换次序 k =1 ∞ p 1 q k ′ = p⋅( ′= = ) = p ⋅ (∑q ) (1 − q ) 2 p 1− q k =1
k −1
∑kq
∞
p = p ⋅ ∑(q k )′
∞
不存在的例子： ① 不存在的例子 特 注： E(X)不存在的例子：
X 2
设圆盘面积为Y 设圆盘面积为Y，则 Y =
π
4 b π 1 π 2 π 2 E (Y ) = E ( X ) = ∫ x 2 ⋅ dx = (a + ab + b 2 ) a 4 4 b−a 12
X2
wenku.baidu.com= =
说明： 说明： 上述基本公式，可推广到两个或两个以上r.v的情况 的情况。 上述基本公式，可推广到两个或两个以上 的情况。
13
数 字 特 征
的分布， 2 、已知二维 r.v（X,Y）的分布，求Z=g(X,Y)的数学期望 的分布律为： （1）离散型r.v（X，Y）的分布律为：
P X = x i , Y = y j = pij
{
}
, i , j = 1,2, L
∞ ∞ i =1 j =1
绝对收敛
(5)
E(Z) = E[g( X,Y )] = ∑∑g( xi , y j ) pij
故乙的技术好。 故乙的技术好。
=
= λ∑
+∞
λm
m!
⋅e − λ
m =0
=λ
令m=k-1
5
数 字
服从几何分布， 例3： 设X服从几何分布，即 ： 服从几何分布 P{ X = k} = (1 − p)k −1 p = qk −1 p , k = 1,2,L 求 （ ） E X
解 E( X ) = ∑k pk =
设以 k 个人为一组时 , 组内每人的血化验的次 数为 X
则 X 为一随机变量 , 其分布律为
1 k k +1 k 1 − qk
X 的数学期望为
X pk q k
1 1 = q k + (1 + )(1 − q k ) E( X ) k k 征 1 k = 1− q + . k
1 1 − q + < 1, k
（2）连续型r.v(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则有
= =
要求: 要求: 能熟练验证; ①能熟练验证; 熟记结果. ②熟记结果.
10
若将这两个电子装置串联联接成整机, 求整机寿命(小时 小时) 若将这两个电子装置串联联接成整机 求整机寿命 小时 N的数学期望 的数学期望 因而 N 的概率密度为 字 解 X k ( k = 1,2)的分布函数为 2 −2 x θ e , x > 0, f min ( x ) = θ 1 − e − x θ , x > 0, 0, x ≤ 0, 特 F ( x) = x≤0 0, 于是 N 的数学期望为 ∞ 征 N = min{X1 , X 2 }的分布函数为
数 字
∞
若级数
∑x
k=1
∞
k
pk 绝对收敛，则称级数的和为r.vX的数学期望， 绝对收敛，则称级数的和为 的数学期望，
∞
记为E(X)，即 简称期望或均值，记为 ，
E( X ) = ∑ xk pk
k=1
(1)
） 绝对收敛， 特 注（1）级数 ∑ x k p k 绝对收敛，不仅保证了
k =1
∑x
k =1
2
= =
一、离散型随机变量的数学期望
为调整车辆,对某公共汽车站的乘客数进行了20天的观察, 20天的观察 引例:为调整车辆,对某公共汽车站的乘客数进行了20天的观察, 数 其结果为: 其结果为: 乘客数 390 400 410 420 430 440 求平均每天乘客数. 求平均每天乘客数.
天数 2 4 7 5 1 1
∞
k
pk 收敛， 收敛，
征
与求和顺序无关。 同时保证了 E(X)与求和顺序无关。
绝对收敛， 的数学期望不存在。 若级数 ∑ x k pk 不绝对收敛，则 X的数学期望不存在。 （2） ）
∞
= =
个可能值时， E （3） X只取n个可能值时， ( X) = ∑xk pk ）当
k =1
n
（4） E(X)反映了随机变量取值的平均水平. ） 反映了随机变量
k=1,2…
(3)
E(Y ) = E[g( X )] = ∑g( xk ) ⋅ pk
k=1
∞
⑵连续型r.vX的概率密度为f(x)
E(Y ) = E[g( X)] = ∫ g( x) f ( x)dx
+∞ −∞
简单函数 可列表运算
(4)
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 说明：该公式的重要性在于 当我们求 时 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了 这给计 的分布，而只需知道 的分布就可以了 的分布就可以了. 知道 的分布 函数的期望带来很大方便. 算r.v函数的期望带来很大方便 函数的期望带来很大方便
数
1 −x θ P89 有两个相互独立工作的电子装 e , x > 0, θ >0 它们的寿命X 置,它们的寿命 k(k=1,2)服从同 f ( x ) = θ 它们的寿命 服从同 例2 0, x≤0 一指数分布, 一指数分布 其概率密度为
Fmin( x) = 1 − [1 − FX ( x)]
字
天中,平均每天乘客数为 解: 20天中 平均每天乘客数为 X 天中
=390×2/20+400×4/20+410×7/20+420×5/20+430×1/20+440×1/20=411 × × × × × ×
× × × × × × X =(390×2+400×4+410×7+420×5+430×1+440×1)/20 特
数 字 特 征
1、定义2 设连续型 定义2 设连续型r.vX的概率密度为 的概率密度为f(x),若广义积分 的概率密度为 若广义积分
∫
即
E(X)= ( )=
+∞
−∞
xf ( x)dx
绝对收敛,则称此积分的值为r.vX的 绝对收敛,则称此积分的值为r.vX的数学期望,记为 E(X), r.vX
∫
+∞
−∞
2
E ( N ) = ∫ x f min ( x ) d x
−∞
∞ 0
= =
1 − e −2 x θ , x > 0, = x≤0 0,
=∫
2x
θ
e
−2 x θ
dx=
θ
2
11
三、随机变量的函数的数学期望
已知一维 X的分布,求其函数Y=g(X)的期望: 一维r. Y=g(X)的期望 数 1 、 已知一维 .vX的分布,求其函数Y=g(X)的期望: 字 特 征 的分布律为： ⑴离散型r.v X的分布律为：P{X=xk}=pk
= =
12
某车间生产的圆盘直径在(a, 上服从均匀分布 上服从均匀分布， 例4：某车间生产的圆盘直径在 b)上服从均匀分布，试 数 字 特 征 求圆盘面积的数学期望。 求圆盘面积的数学期望。 为某车间生产的圆盘直径，依题意， 解：设X为某车间生产的圆盘直径，依题意，X～U（a，b）
1 X的概率密度为 f ( x ) = b − a , 0 , a< x<b 其它
4
k=1
乙两工人在一天生产中出现废品的概率分别是： 例1： 甲、乙两工人在一天生产中出现废品的概率分别是： 数 字 特
工人 废品数 0 1 甲 X1 2 3 0 1 乙 X2 2 3 0 0.1 0.3 0.5 0.2
概率p 概率 k 0.4 0.3 0.2
设两人的日产量相等,问谁的技术更好 设两人的日产量相等 问谁的技术更好? 问谁的技术更好 解：E(X1)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1 × × × ×
第四章 随机变量的数字特征
数 字 特 征
•数学期望(均值) 数学期望(均值) 数学期望 (Mathematical expectation) •方差 方差 • (Variance) •协方差及相关系数 协方差及相关系数 协方差及 (Covariance, correlation coefficient) •矩 、协方差矩阵 矩 •(moment, Covariance matrix )
= N 个人平均需化验的次数 为 1 = 由此可知 由此可知,
N (1 − q k + ). k
则 N 个人平均需化验的次数 < N .
只要选择 k 使
8
当 p 固定时, 可选取 k 使得
数
1 L = 1− q + k 小于 1 且取到最小值 , 这时就能得到最好的分组方法 这时就能得到最好的分组方法.
=减少化验的次数，并说 明 k 取什么值时最适宜 . 减少化验的次数， =
是相互独立的 . 较小时， 试说明当 p 较小时， 选取适当的 k , 按第二种方法可以
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解: 各人的血呈阴性反应的 概率为 q = 1 − p, 数 字 特
因而 k 个人的混合血呈阴性反 应的概率为 q k ,
k个人的混合血呈阳性反 应的概率为 1 − q k .
这里2/20，4/20是“乘客数为 ， 乘客数为400人 这里 是 乘客数为390人”“乘客数为 人”“乘客数为 人”的频率， 征 若将其视为相应的概率, 则可建立如下模型 表示日乘客数 ： 则可建立如下模型(X表示日乘客数 表示日乘客数)：
X 390 400 410 420 5/20 430 440
xf ( x)dx
(2)
2、重要分布的期望值: 重要分布的期望值:
二项分布 X ~ B(n, p) 泊松分布 X ~ π (λ) 均匀分布 X ~ U(a, b) 正态分布 X ~ N(µ,σ 2 ) 指数分布
E( X ) = np E(X ) = λ a+b E( X) = 2 E(X ) = µ E(X ) = θ
∞
4
8
∞
…
2n 1/2n
… …
∞
征
pk 1/2
1/4 1/8 …
k k
E(X ) =
∑ kp
k =1
= =
1 = ∑ 2 = k 2 k =1
∑1
k =1
发散
②若E(X)存在，则是一个确定的实数. E(X)存在，则是一个确定的实数. 存在
6
P91 在一个人数很多的团体中普查某种疾病 为此要抽验 个人 在一个人数很多的团体中普查某种疾病, 为此要抽验N个人 例5 的血 可以用两种方法进行 的血, 可以用两种方法进行:
k
例如, 字 例如 特 征
p = 0.1, 则q = 0.9,
当k = 4时，N = 1000, 此时以k = 4 分组，则按第二种方法平均只需化验 分组，
1 1000(1 − 0.94 + ) = 594 (次) . 4
4
= =
这样平均来说, 这样平均来说 可以减少40%的工作量 .
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二、连续型随机变量的数学期望
= =
数字。其中， 能描述随机变量某些方面特征的数字。其中， 最常用的是: 期望和方差 最常用的是
1
数 字 特 征
§1
数学期望
(Mathematical expectation) 一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量的函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、数学期望性质的应用
=
X = 390×
pk
2/20 4/20 7/20
1/20 1/20
=
2 4 7 5 1 1 + 400× + 410× + 420× + 430× + 440× = 411 20 20 20 20 20 20
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定义1 设离散型r.vX的分布律为： r.vX的分布律为 P 定义1 设离散型r.vX的分布律为： {X = xk } = pk k = 1,2,...
E(X2)=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9 × × × × λ ke −λ X , k = 0 ,1, 2 ..... , 求 E ( X ) 征 例2： ~ π ( λ ), P { X = k } = ： k! +∞ +∞ +∞ λ k e −λ λ k −1 解：E( X ) = ∑k pk = ∑ k ⋅ =λ∑ ⋅e − λ k! = k =0 k =0 k = 1 ( k − 1 )!
数 (i) 将每个人的血分别去化 验 , 这就需化验 N 次. (ii) 按 k 个人一组进行分组 , 把这 k 个人的血混在一 起进行化验. 字 特 征 如果混合血液呈阴性反应, 就说明k个人的血都呈阴性反应 个人的血都呈阴性反应, 如果混合血液呈阴性反应 就说明 个人的血都呈阴性反应 这样这k 这样这 个人的血就只需验一次 . 若呈阳性, 则对这k个人的血液再分别进行化验 这样k个人 个人的血液再分别进行化验, 若呈阳性 则对这 个人的血液再分别进行化验 这样 个人 的血总共最多化验 k + 1 次 . 假设每个人化验呈阳性 的概率为 p , 且这些人的化验反应
k =0
∞
等比级数求和
求和与求导 k =0 交换次序 k =1 ∞ p 1 q k ′ = p⋅( ′= = ) = p ⋅ (∑q ) (1 − q ) 2 p 1− q k =1
k −1
∑kq
∞
p = p ⋅ ∑(q k )′
∞
不存在的例子： ① 不存在的例子 特 注： E(X)不存在的例子：
X 2
设圆盘面积为Y 设圆盘面积为Y，则 Y =
π
4 b π 1 π 2 π 2 E (Y ) = E ( X ) = ∫ x 2 ⋅ dx = (a + ab + b 2 ) a 4 4 b−a 12
X2
wenku.baidu.com= =
说明： 说明： 上述基本公式，可推广到两个或两个以上r.v的情况 的情况。 上述基本公式，可推广到两个或两个以上 的情况。
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数 字 特 征
的分布， 2 、已知二维 r.v（X,Y）的分布，求Z=g(X,Y)的数学期望 的分布律为： （1）离散型r.v（X，Y）的分布律为：
P X = x i , Y = y j = pij
{
}
, i , j = 1,2, L
∞ ∞ i =1 j =1
绝对收敛
(5)
E(Z) = E[g( X,Y )] = ∑∑g( xi , y j ) pij
故乙的技术好。 故乙的技术好。
=
= λ∑
+∞
λm
m!
⋅e − λ
m =0
=λ
令m=k-1
5
数 字
服从几何分布， 例3： 设X服从几何分布，即 ： 服从几何分布 P{ X = k} = (1 − p)k −1 p = qk −1 p , k = 1,2,L 求 （ ） E X
解 E( X ) = ∑k pk =
设以 k 个人为一组时 , 组内每人的血化验的次 数为 X
则 X 为一随机变量 , 其分布律为
1 k k +1 k 1 − qk
X 的数学期望为
X pk q k
1 1 = q k + (1 + )(1 − q k ) E( X ) k k 征 1 k = 1− q + . k
1 1 − q + < 1, k
（2）连续型r.v(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则有
= =
要求: 要求: 能熟练验证; ①能熟练验证; 熟记结果. ②熟记结果.
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若将这两个电子装置串联联接成整机, 求整机寿命(小时 小时) 若将这两个电子装置串联联接成整机 求整机寿命 小时 N的数学期望 的数学期望 因而 N 的概率密度为 字 解 X k ( k = 1,2)的分布函数为 2 −2 x θ e , x > 0, f min ( x ) = θ 1 − e − x θ , x > 0, 0, x ≤ 0, 特 F ( x) = x≤0 0, 于是 N 的数学期望为 ∞ 征 N = min{X1 , X 2 }的分布函数为
数 字
∞
若级数
∑x
k=1
∞
k
pk 绝对收敛，则称级数的和为r.vX的数学期望， 绝对收敛，则称级数的和为 的数学期望，
∞
记为E(X)，即 简称期望或均值，记为 ，
E( X ) = ∑ xk pk
k=1
(1)
） 绝对收敛， 特 注（1）级数 ∑ x k p k 绝对收敛，不仅保证了
k =1
∑x
k =1
2
= =
一、离散型随机变量的数学期望
为调整车辆,对某公共汽车站的乘客数进行了20天的观察, 20天的观察 引例:为调整车辆,对某公共汽车站的乘客数进行了20天的观察, 数 其结果为: 其结果为: 乘客数 390 400 410 420 430 440 求平均每天乘客数. 求平均每天乘客数.
天数 2 4 7 5 1 1
∞
k
pk 收敛， 收敛，
征
与求和顺序无关。 同时保证了 E(X)与求和顺序无关。
绝对收敛， 的数学期望不存在。 若级数 ∑ x k pk 不绝对收敛，则 X的数学期望不存在。 （2） ）
∞
= =
个可能值时， E （3） X只取n个可能值时， ( X) = ∑xk pk ）当
k =1
n
（4） E(X)反映了随机变量取值的平均水平. ） 反映了随机变量
k=1,2…
(3)
E(Y ) = E[g( X )] = ∑g( xk ) ⋅ pk
k=1
∞
⑵连续型r.vX的概率密度为f(x)
E(Y ) = E[g( X)] = ∫ g( x) f ( x)dx
+∞ −∞
简单函数 可列表运算
(4)
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 说明：该公式的重要性在于 当我们求 时 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了 这给计 的分布，而只需知道 的分布就可以了 的分布就可以了. 知道 的分布 函数的期望带来很大方便. 算r.v函数的期望带来很大方便 函数的期望带来很大方便
数
1 −x θ P89 有两个相互独立工作的电子装 e , x > 0, θ >0 它们的寿命X 置,它们的寿命 k(k=1,2)服从同 f ( x ) = θ 它们的寿命 服从同 例2 0, x≤0 一指数分布, 一指数分布 其概率密度为
Fmin( x) = 1 − [1 − FX ( x)]
字
天中,平均每天乘客数为 解: 20天中 平均每天乘客数为 X 天中
=390×2/20+400×4/20+410×7/20+420×5/20+430×1/20+440×1/20=411 × × × × × ×
× × × × × × X =(390×2+400×4+410×7+420×5+430×1+440×1)/20 特
数 字 特 征
1、定义2 设连续型 定义2 设连续型r.vX的概率密度为 的概率密度为f(x),若广义积分 的概率密度为 若广义积分
∫
即
E(X)= ( )=
+∞
−∞
xf ( x)dx
绝对收敛,则称此积分的值为r.vX的 绝对收敛,则称此积分的值为r.vX的数学期望,记为 E(X), r.vX
∫
+∞
−∞
2
E ( N ) = ∫ x f min ( x ) d x
−∞
∞ 0
= =
1 − e −2 x θ , x > 0, = x≤0 0,
=∫
2x
θ
e
−2 x θ
dx=
θ
2
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三、随机变量的函数的数学期望
已知一维 X的分布,求其函数Y=g(X)的期望: 一维r. Y=g(X)的期望 数 1 、 已知一维 .vX的分布,求其函数Y=g(X)的期望: 字 特 征 的分布律为： ⑴离散型r.v X的分布律为：P{X=xk}=pk
= =
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某车间生产的圆盘直径在(a, 上服从均匀分布 上服从均匀分布， 例4：某车间生产的圆盘直径在 b)上服从均匀分布，试 数 字 特 征 求圆盘面积的数学期望。 求圆盘面积的数学期望。 为某车间生产的圆盘直径，依题意， 解：设X为某车间生产的圆盘直径，依题意，X～U（a，b）
1 X的概率密度为 f ( x ) = b − a , 0 , a< x<b 其它
4
k=1
乙两工人在一天生产中出现废品的概率分别是： 例1： 甲、乙两工人在一天生产中出现废品的概率分别是： 数 字 特
工人 废品数 0 1 甲 X1 2 3 0 1 乙 X2 2 3 0 0.1 0.3 0.5 0.2
概率p 概率 k 0.4 0.3 0.2
设两人的日产量相等,问谁的技术更好 设两人的日产量相等 问谁的技术更好? 问谁的技术更好 解：E(X1)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1 × × × ×
第四章 随机变量的数字特征
数 字 特 征
•数学期望(均值) 数学期望(均值) 数学期望 (Mathematical expectation) •方差 方差 • (Variance) •协方差及相关系数 协方差及相关系数 协方差及 (Covariance, correlation coefficient) •矩 、协方差矩阵 矩 •(moment, Covariance matrix )