初中八年级奥数竞赛-专题01 整式的乘除_答案.doc

专题01 整式的乘除
例1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2 ＞216，n 的最小值为15．
(2)原式＝x 2(x 2＋x )＋x (x 2 ＋x )－2(x 2＋x ) ＋2005＝ x 2＋x －2＋2005＝2004
(3)令x ＝1时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ①
令x ＝－1时，a 12 –a 11＋a l 0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ②
由①＋②得：2(a 12＋a l 0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730．
∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365．
(4)所有式子的值为x 3项的系数，故其值为7．
例2 B 提示：25xy ＝2 000y ， ①
80xy ＝2 000x ， ②
①×②，得：(25×80)xy ＝2000x ＋y ，得：x ＋ y ＝xy ．
例3 设a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由c －a ＝19得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因19是质数，n ＋m 2，n －m 2是自然数，且n ＋m 2＞n －m 2，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m 2＝19
n －m 2＝1，解得n ＝10，m ＝3，所以
d －b ＝103－35 ＝757
例4 －78
提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3xy －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋mn ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－12n －m ＝8mn ＝－6
，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝3，∴m 3＋1n 2－1 ＝－78 倒5提示：假设存在满足题设条件的p ，q 值，设(x 4＋px 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x 2＋mx ＋n )，即
x 4＋px 2＋q ＝x 4＋(m ＋2)x 3＋(5＋n ＋2m )x 2
＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得⎩⎨⎧m ＋2＝05＋n ＋2m ＝p 2n ＋5m ＝05n ＝q ，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝5p ＝6q ＝25， 故存在常数p ，q 且p ＝6，q ＝25，使得x 4＋px 2＋q 能被x 2＋2x ＋5整除．
例6解法1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，
∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是A ．
则2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝A (x ＋2)(x －l )，
则x ＝－2和x ＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x ＝－2时，2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ①
当x ＝1时， 2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ②
①－②，得3a ＋36＝0，∴ a ＝－12，
∴ b ＝－6－a ＝6．
∴a b ＝－126
＝－2 解法2 列竖式演算，根据整除的意义解
2
243
243
232322
225(9)22372245(4)75510(9)3(9)(9)2(9)
(12)2(9)
x x a x x x x ax x b x x x x a x x b x x x
a x x
b a x a x a a x b a -+++--++++--++++--++-++-+-+--+++ ∵2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被x 2＋x －2整除，
∴⎩⎨⎧－12－a ＝0b ＋2(a ＋9)＝0，即⎩⎨⎧a ＝－12b ＝6
，∴a b ＝－2 A 级
1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11，c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝1
13． 提示：令x 3 ＋kx 2＋3＝(x ＋3) (x 2＋ax ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) (x 2＋cx ＋d )＋r 2，令x ＝－3，得r 1＝9k －24．令x ＝－1，得r 2＝k ＋2，由9k －24＋2＝k ＋2， 得k ＝3．
B 级
1． 189125
2． (1)949 提示：原式＝(73)1998×32000(1＋52000)72000(1＋52000)
＝(73)1998×(37)2000＝949 (2)12 3．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264．
(2) ＞ 提示：设32 000 ＝x ．
4．4 5．512 提示：令x ＝±2． 6．C 提示：由条件得a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝1
7．C 8．D
9．C 提示：设a 2＋a 3＋…a 1996＝x ，则M ＝（a 1＋x ）(x ＋a 1997)＝a 1x ＋x 2＋a 1a 1997＋a 1 997x ．
N ＝(a 1＋x ＋a 1 997)x ＝a l x ＋x 2＋a 1997x ．M ＝N ＝a 1a 1997＞0．
10．D
11．由ax 2＋by 2 ＝7，得(ax 2＋by 2)(x ＋y )＝7(x ＋y )，
即ax 3－ax 2y ＋bxy 2＋by 3 ＝7(x ＋y )，(ax 3＋by 3)－xy (ax ＋by )－7(x ＋y )．
∴16＋3xy ＝ 7(x ＋y )． ①
由ax 3 ＋by 3＝16，得(ax 3＋by 3)(x ＋y ) ＝16(x ＋y )，
即ax 4 ＋ax 3 y ＋bxy 3＋by 4 ＝16(x ＋y )，（ax 4＋by 4)＋xy (a 2x ＋b 2y )＝16(x ＋y ）．
∴42＋7xy ＝16(x ＋y ）． ②
由①②可得，x ＋y ＝－14，xy ＝－38．
由a 2x ＋b 2y ＝42，得（a 4x ＋b 4
y ）（x ＋y ）＝42×（－14），
（a 5x ＋b 5y ）＋xy （a 3x ＋b 3
y ）＝－588， 55ax by +＋16×（－38）＝－588．
故55ax by +＝20．
12．两边同乘以8得32x +＋32y +＋32z +＋32w +＝165． ∵x ＞y ＞z ＞w 且为整数，
∴x ＋3＞y ＋3＞z ＋3＞w ＋3，且为整数．
∵165是奇数，∴w ＋3＝0，∴w ＝－3．
∴32
x +＋32y +＋32z +＝164． ∴12
x +＋12y +＋12z +＝41，∴z ＋1＝0，∴z ＝－1． ∴12x +＋12y +＝40．
两边都除以8得：22x -＋22y -＝5．
∴y －2＝0，∴y ＝2．∴22
x -＝4． ∴x －2＝2，∴x ＝4．
∴()20101x y z w +++-＝()
201042131+---＝1． 13．（1）∵（x －1）（x ＋4)＝2x ＋3x －4，
令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋4＝0，得x ＝－4．
当x ＝1时，得1＋a ＋b ＋c ＝0； ① 当x ＝－4时，得－64＋16a －4b ＋c ＝0． ② ②－①，得15a －5b ＝65，即3a －b ＝13． ③ ①＋③，得4a ＋c ＝12．
（2）③－①，得2a －2b －c ＝14．
（3）∵c ≥a ＞1，4a ＋c ＝12，a ，b ，c 为整数， ∴1＜a ≤125
，则a ＝2，c ＝4． 又a ＋b ＋c ＝－1，∴b ＝－7，．∴c ＞a ＞b ．。