2015-2016年广东省深圳高中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)
2015年广东省深圳市罗湖外语学校高二上学期数学期中试卷和解析(文科)
2014-2015学年广东省深圳市罗湖外语学校高二（上）期中数学试卷（文科）一．单选题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）不等式的解集是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，1]∪（2，+∞） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．（5分）如果1、x1、x2、4成等差数列，1、y1、y2、4成等比数列，那么等于（）A．.B．C．D．3．（5分）若b＜0＜a，d＜c＜0，则（）A．ac＞bd B．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d4．（5分）已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项 D．第19项5．（5分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形6．（5分）若0＜a＜b且a+b=1，则下列四个数中最大的是（）A．B．b C．2ab D．a2+b27．（5分）在等比数列{a n}中，a7•a11=6，a4+a14=5，则等于（）A．B．C．或D．﹣或﹣8．（5分）已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（）A．8 B．6 C．D．9．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．﹣10 C．5 D．1010．（5分）在△ABC中，已知（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则∠A为（）A．30°B．45°C．60°D．120°二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）不等式3﹣2x﹣x2≤0的解集是．12．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=，则最短边的长是．13．（5分）数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则a18═．14．（5分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是（填序号）．三．解答题（满分80分）15．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A和角B、角C所对的边，a=，b=1，B为30°（1）求角A和角C的值；（2）求边c的大小．16．（13分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．17．（13分）已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（1）求通项a n及S n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．18．（14分）△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，S=5，求b的值．19．（14分）某工厂要制造A种电子装置41台，B种电子装置66台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2㎡，可做A、B的外壳分别为2个和7个，乙种薄钢板每张面积5㎡，可做A、B的外壳分别为7个和9个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？20．（14分）在等差数列{a n}中，a1=1，前n和S n满足条件=4，n=1，2，…，（1）求数列{a n）的通项公式和S n；（2）记b n=a n•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．2014-2015学年广东省深圳市罗湖外语学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．单选题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）不等式的解集是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，1]∪（2，+∞） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【解答】解：因为不等式的解集，等价于，解得x＜1或x≥2．所以不等式的解集为：（﹣∞，1）∪[2，+∞）．故选：D．2．（5分）如果1、x1、x2、4成等差数列，1、y1、y2、4成等比数列，那么等于（）A．.B．C．D．【解答】解：由1、x1、x2、4成等差数列，1、y1、y2、4成等比数列，可得：x1+x2=1+4=5，y1•y2=1×4=4，那么=．故选：A．3．（5分）若b＜0＜a，d＜c＜0，则（）A．ac＞bd B．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d【解答】解：A：由b＜0＜a，d＜c＜0可知，bd＞0，ac＜0，则bd＞ac，故A 不正确B：由d＜c＜0可知，又b＜0＜a∴∴，故B不正确C：∵b＜a，d＜c∴a+c＞b+d，故C正确D∵d＜c∴﹣d＞﹣c，又a＞b∴a﹣d＞b﹣c，故D不正确故选：C．4．（5分）已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项 D．第19项【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…2=3，则a n2﹣a n﹣1又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选：B．5．（5分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得，∴，sinAcosB﹣cosAsinB=0，sin（A﹣B）=0．由﹣π＜A﹣B＜π 得，A﹣B=0，故△ABC为等腰三角形，故选：D．6．（5分）若0＜a＜b且a+b=1，则下列四个数中最大的是（）A．B．b C．2ab D．a2+b2【解答】解：若0＜a＜b且a+b=1，不妨令a=0.4，b=0.6，则a2+b2=0.16+0.36=0.52，2ab=2×0.4×0.6=0.48，故b最大，故选：B．7．（5分）在等比数列{a n}中，a7•a11=6，a4+a14=5，则等于（）A．B．C．或D．﹣或﹣【解答】解：a7•a11=a4•a14=6∴a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2∴=或，故选：C．8．（5分）已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（）A．8 B．6 C．D．【解答】解：∵x+2y=1，则2x+4y=21﹣2y+22y≥2，当且仅当21﹣2y=22y时，等号成立，故选：C．9．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．﹣10 C．5 D．10【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣3），化目标函数z=2x+4y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣6．故选：A．10．（5分）在△ABC中，已知（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则∠A为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵（a+c）（a﹣c）=b（b+c），即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴根据余弦定理得：cosA==﹣，又A为三角形的内角，则∠A=120°．故选：D．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）不等式3﹣2x﹣x2≤0的解集是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【解答】解：不等式3﹣2x﹣x2≤0 即x2+2x﹣3≥0，即（x+3）（x﹣1）≥0．解得x≤﹣3，或x≥1，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），故答案为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．12．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=，则最短边的长是2．【解答】解：∵△ABC中，B=45°，C=60°，∴A=75°．由大角对大边可得，最短的边为b，由正弦定理可得=，即=，解得b=2，故答案为2．13．（5分）数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则a18═172．【解答】解：由数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+2=+1．∴a18=+1=172．故答案为：172．14．（5分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是①②④（填序号）．【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④三．解答题（满分80分）15．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A和角B、角C所对的边，a=，b=1，B为30°（1）求角A和角C的值；（2）求边c的大小．【解答】解：（1）在△ABC中，a、b、c分别是角A和角B、角C所对的边，a=，b=1，B为30°利用正弦定理：，解得：，由于：b＞asinB，所以：A=，①当A=时，C=．②当A=时，C=．（2）利用余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，解得：c=1或2．16．（13分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【解答】解：∵不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，∴和2是相应方程ax2+5x﹣2=0的两根，∴+2=﹣，解得a=﹣2，∴不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0分解因式可得（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜∴所求不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜}．17．（13分）已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（1）求通项a n及S n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．【解答】解：（1）因为a n是首项为a1=19，公差d=﹣2的等差数列，所以a n=19﹣2（n﹣1）=﹣2n+21，．（2）由题意b n﹣a n=3n﹣1，所以b n=a n+3n﹣1，=21﹣2n+3n﹣1T n=S n+（1+3+32+…+3n﹣1）=．18．（14分）△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，S=5，求b的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：=2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：=化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴∠B=；（2）∵a=4，sinB=，S=5∴S==×4c×=5解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．19．（14分）某工厂要制造A种电子装置41台，B种电子装置66台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2㎡，可做A、B的外壳分别为2个和7个，乙种薄钢板每张面积5㎡，可做A、B的外壳分别为7个和9个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？【解答】解：设甲乙两种薄钢板各用x，y张，用料总面积为z，则目标函数为z=2x+5y，…（2分）约束条件为：…（5分）作出约束条件的可行域如图：…（8分）作直线l：2x+5y=0，平移，观察知，当l经过点M时，z取到最小值．…（10分）解方程组，得M点坐标为x=3，y=5 …（12分）所以z min=2x+5y=31㎡…（13分）答：甲种钢板用3张，乙种钢板用5张，能够使总的用料面积最小．…（14分）20．（14分）在等差数列{a n}中，a1=1，前n和S n满足条件=4，n=1，2，…，（1）求数列{a n）的通项公式和S n；（2）记b n=a n•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，前n和S n满足条件=4，n=1，2，…，∴d=4，解得d=2．∴S n==n2．（2）由（1）可得：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．b n=a n•2n﹣1=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+3×2+5×22+7×23+…+（2n﹣1）•2n﹣1．2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n．∴﹣T n=1+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=2×﹣1﹣（2n﹣1）•2n．化为：T n=（2n﹣3）•2n+3．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
广东省高二上学期期中数学试卷含答案(共5套)
21．（本小题满分 12 分）
设函数
在点
处的切线方程为
.
（1）求 的值，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
.
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的标准方程为 （1）求椭圆的标准方程；
，该椭圆经过点
，且离心率为 ．
（2）过椭圆
长轴上一点
，证明：直线
恒过定点．
作两条互相垂直的弦
．若弦
的中点分别为
深圳市高级中学第一学期期中考试 高二数学参考答案
的最小值是
C． 恒过定点 A ．若直线
D． 过点 A ，其中 是正实
A．
B．
C．
D． 5
11．若
，
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
12．设 是定义在 上的奇函数 ,且
,当
时，有 f (x) xf ( x) 恒成立，则不等式
的
解集为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
当 n≤9 时， an＜ 0， 当 n＝10 时， an＝ 0，
当 n≥11 时， an＞ 0． 所以当 n＝ 9 或 n＝ 10 时，由 Sn＝－ 18n＋ n( n－1) ＝ n2－19n 得 Sn 取得最小值为 S9＝ S10＝－ 90．
(3) 记数列 { bn} 的前 n 项和为 Tn，由题意可知
联立
，消去 x，得 ky2+y–k=0．
如图，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1≠０， x2≠０，
2 A.
3
2 B. -
3
2015-2016年广东省深圳高级中学高二上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：共6小题，每小题5分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）的非空子集共有（）A．3个 B．4个 C．7个 D．8个2．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x3．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．36．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．二、填空题：本大题共两小题，每小题5分．7．（5分）已知||=3，||=5，=12，则在方向上的投影为．8．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．9．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．10．（12分）设f（x）=，且f（x）=x有唯一解，f（x1）=，x n+1=f （x n）（n∈N*）．（1）求实数a；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）若a n=﹣4009，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b n﹣b n﹣1是首项为1，公比为的等比数列，记c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．四、选择题：共6小题，每小题5分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．11．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i12．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．13．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．14．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b315．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．16．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．五、填空题：本大题共两小题，每小题5分．17．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是．18．（5分）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为．六、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．20．（12分）已知点P是圆O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足=．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M、N，使=（+）（O是坐标原点）．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．22．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共6小题，每小题5分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）的非空子集共有（）A．3个 B．4个 C．7个 D．8个【解答】解：∵集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，∴A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴C U（A∩B）={3，5，8}∴C U（A∩B）的真子集共有23﹣1=7故选：C．2．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．3．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1．故选：C．4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选：B．二、填空题：本大题共两小题，每小题5分．7．（5分）已知||=3，||=5，=12，则在方向上的投影为．【解答】解：∵．故答案为：．8．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．9．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1故函数f（x）的最大值等于2﹣1=1（Ⅱ）由f（x）=0得2sin xcos x=2sin2x，于是sin x=0，或cos x=sin x即tan x=由sin x=0可知x=kπ；由tan x=可知x=kπ+．故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k，k∈Z}10．（12分）设f（x）=，且f（x）=x有唯一解，f（x1）=，x n+1=f （x n）（n∈N*）．（1）求实数a；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）若a n=﹣4009，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b n﹣b n﹣1是首项为1，公比为的等比数列，记c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）f（x）=x即为f（x）﹣x=0，﹣x=0，即有=0，即x﹣ax（x+2）=0，f（x）=x有唯一解，即为x﹣ax（x+2）=0有唯一解，即ax2+（2a﹣1）x=0有唯一解．又∵a≠0．∴△=（2a﹣1）2=0，解得a=；（2）f（x1）==，解得x1=，x n+1=f（x n）=，取倒数可得=+，可得{}成等差数列，且=，则=+（n﹣1）=，即有x n=；（3）a n=﹣4009=2n+4008﹣4009=2n﹣1，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b n﹣b n是首项为1，公比为的等比数列，﹣1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1++…+（）n﹣1==﹣，c n=a n b n=（2n﹣1）（﹣）=3n﹣﹣（2n﹣1）•（）n﹣1，前n项和T n=3（1+2+…+n）﹣n﹣[1•（）0+3•（）+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1]，令P n=1•（）0+3•（）+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，①P n=1•（）+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，②①﹣②可得P n=1+2[（）+（）2+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n=1+2[]﹣（2n﹣1）•（）n，化简可得P n=[2﹣（2n+2）•（）n]，∴T n=3•﹣n﹣•[2﹣（2n+2）•（）n]=n2+n﹣n﹣+=n2﹣+．四、选择题：共6小题，每小题5分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．11．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．12．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．13．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），又k+与2﹣互相垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．故选：D．14．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选：D．16．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D．五、填空题：本大题共两小题，每小题5分．17．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是0＜k＜1．【解答】解：根据题意，x2+ky2=2化为标准形式为；根据题意，其表示焦点在y轴上的椭圆，则有＞2；解可得0＜k＜1；故答案为0＜k＜1．18．（5分）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为．【解答】解：如图，C到面GEF的距离是0到面GEF距离的3倍，设C到面GEF距离为h，则PG•h=GC•PC⇒h==，又BD∥EF，可得BD∥平面GEF，可得B到面GEF的距离等于0到面GEF的距离：==．故答案为：．六、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题P函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1（3分）又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2（2分）或，（3分）即﹣2＜a≤2（1分）∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是0＜a≤2，且a≠1（5分）20．（12分）已知点P是圆O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足=．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M、N，使=（+）（O是坐标原点）．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）（1分）∴（2分）又∴（4分）∵P在⊙O上，故x02+y02=9∴（5分）∴点Q的轨迹方程为（6分）（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则E（1，1）是线段MN的中点，且有又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上∴两式相减，得（12分）∴∴直线MN的方程为4x+9y﹣13=0将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x2﹣104x﹣155=0则△＞0有实根∴椭圆上存在点M、N满足，此时直线MN的方程为4x+9y﹣13=0（14分）21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD，连接AE，则四边形ABME为直角梯形，作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，设ME=x，则SE=x，AE==，MF=AE=，FB=2﹣x，由MF=FB•tan 60°，得，解得x=1，即ME=1，从而ME=，∴M为侧棱SC的中点．（Ⅱ）解：MB==2，又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM为等边三角形．又由（Ⅰ）知M为SC中点，SM=，SA=，AM=2，∴SA2=SM2+AM2，∠SMA=90°，取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则BG⊥AM，GH⊥AM，由此知∠BGH为二面角S﹣AM﹣B的平面角，连结BH，在△BGH中，BG=，GH=，BH==，∴cos∠BGH==﹣．∴二面角S﹣AM﹣B的余弦值为﹣．22．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而整理，得a2=3c2，故离心率（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③联立①③解得，将x1，x2代入②中，解得．（III）解法一：由（II）可知当时，得，由已知得．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．直线F2B的方程为，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组，由m ≠0，解得故当时，同理可得．解法二：由（II ）可知当时，得，由已知得由椭圆的对称性可知B ，F 2，C 三点共线， 因为点H （m ，n ）在△AF 1C 的外接圆上， 且F 1A ∥F 2B ，所以四边形AF 1CH 为等腰梯形． 由直线F 2B的方程为， 知点H 的坐标为．因为|AH |=|CF 1|，所以，解得m=c （舍），或．则，所以．当时同理可得赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F第21页（共21页）。
2015-2016学年广东省深圳高中高二上学期数学期中试卷带解析(文科)
2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=（）A．{}B．{2}C．{﹣，1，，2}D．{﹣2，1，，2}2．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）3．（5分）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）5．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣86．（5分）记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．77．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A．B．C．4 D．88．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分9．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．（10分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．四、选择题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的12．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．214．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．1515．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l 1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为．17．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是．六、解答题：共5小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈[1，2]时，函数f（x）=x+恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c 的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．20．（12分）河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）=F（x）的图象为曲线C．设点A（x 1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=（）A．{}B．{2}C．{﹣，1，，2}D．{﹣2，1，，2}【解答】解：A={x|x2=2}={﹣，}，B={1，，2}，则A∩B={}，故选：A．2．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．3．（5分）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：正弦函数的周期公式T=，∴y=sinax的最小正周期T=；对于A：T＞2π，故a＜1，因为y=a x的图象是减函数，故错；对于B：T＜2π，故a＞1，而函数y=a x是增函数，故错；对于C：T=2π，故a=1，∴y=a x=1，故错；对于D：T＞2π，故a＜1，∴y=a x是减函数，故对；故选：D．4．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．5．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【解答】解：∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．6．（5分）记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．7【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+d=25，联立解得a1=﹣1，d=3，故选：B．7．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A．B．C．4 D．8【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴xy==，当且仅当2x=y＞0，2x+y=1，即，y=时，取等号，此时，xy的最大值是．故选：B．8．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选：C．二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分9．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．（10分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．四、选择题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的12．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行，∴a2=1，解得a=±1，当a=1时，两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0，满足两直线平行．当两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0满足平行，a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件．故选：A．13．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．14．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15【解答】解：∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选：C．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为4．【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=2的标准形式为：∴a2=b2=2，可得c==2，双曲线的右焦点为F（2，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，∴=2，可得p=4故答案为：417．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是②③．【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案为：②③六、解答题：共5小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈[1，2]时，函数f（x）=x+恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c 的取值范围．【解答】解∵指数函数y=c x数为减函数，∴0＜c＜1，即p真时，0＜c＜1．函数f（x）=x+＞对x∈[1，2]恒成立，由对勾函数的性质可知f（x）=x+在x∈[1，2]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=，＜，得c＞，即q真时，c＞，∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．①p真q假时，0＜c≤；②p假q真时，c≥1．故c的取值范围为0＜c≤或c≥1．19．（12分）设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x3+2x2﹣x，得f（2）=﹣2，f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，f'（2）=﹣5，所以，曲线y=﹣x3+2x2﹣x在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0；（Ⅱ）f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x，f′（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a），令f′（x）=0，解得或x=a，由于a=3，即有x=1或x=3．当x＞3或x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．因此，函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣4，函数f（x）在x=3处取得极大值f（3）=0．20．（12分）河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？【解答】解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）．…（2分）将B（4，﹣5）代入得p=1.6，∴x2=﹣3.2y，…（6分）当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（2，y A），由22=﹣3.2 y A，得y A=﹣1.25，…（10分）因为船露出水面的部分高0.75米，…（12分）所以h=|y A|+0.75=2米．…（14分）答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行．…（16分）21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标．【解答】解：（1）因为椭圆C经过点，所以．①因为椭圆C的离心率为，所以，即a2=2b2．②联立①②解得，a2=2，b2=1．所以椭圆C的方程为．（2）由（1）得，椭圆C的方程为，所以F（1，0），B（0，1）．设A（x0，y0），则．③因为，且，所以x0﹣（y0﹣1）=2，即y0=x0﹣1．④联立③④解得，或，所以A（0，﹣1）或．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a ＜0时，函数f （x ）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f （x ）存在“中值相依切线”．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线y=f （x ）上的不同两点，且0＜x 1＜x 2， 则，．==…（8分）曲线在点M （x 0，y 0）处的切线斜率k=f'（x 0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t ＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t ＞1，显然g'（t ）＞0，所以g （t ）在（1，+∞）上递增， 显然有g （t ）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t ，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f （x ）不存在“中值相依切线”．…（14分）。
广东省深圳市红岭中学2015-2016学年高二上学期第一学段统一考试数学文试题
红岭中学2015－2016学年度第一学期高二年级第一学段统一考试文科数学试卷(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1 命题“若x<0,则x<1”的否命题是 （ ） A 若x<0,则x ≥1 B 若x <1,则x<0 C 若x ≥1，则 x 0≥ D 若x ≥0，则 x 1≥2 把黑红白3张纸牌分给甲乙丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A ．对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D. 必然事件3掷两颗均匀的骰子，则点数之和为4的概率是（ ） A.121 B.91 C. 21 D. 61 4. 下列命题中，真命题是（ ）A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 5已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为 ( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 2＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.y 24＋x 23＝1 6一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和 平均数分别是（ ）A.12和12B.11.5和11.5C.11和11.5D.11.5和127 已知双曲线2219x y a-=的右焦点为13,0)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．32y x =±B ．94y x =±C ．23y x =±D ．49y x =± 1 7 1 6 4 0 20 9 78 “21a >”是“方程2221x y a+=表示椭圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是 ( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定10. 有人收集了春节期间的平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：平均气温（℃） －2 －3 －5 －6 销售额（万元） 20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程^^^^2.4y b x a b =+=-的系数，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为（ ）A ．34．6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元11.已知点A B 、分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点与上顶点，点M 为线段AB 的中点，若30MOA ︒∠=，则椭圆的离心率是（ ）A.13B.23C.63D.22312．图l 是某县参加某年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依 次记为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身 高(单位：cm )在[150，155)内的学生人数)． 图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计身高在 160～180cm (含160cm ，不含180cm ) 的学生人数，那么在流程图中的判断框 内应填写的条件是（ ）A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i <第12题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 13 在区间[2,2]-任取一个实数，则该数是不等式21x >解的概率为 14 点P )8,(0x 在抛物线x y 42=上，该抛物线的焦点是F,PF = 15 甲，乙，丙三人随意坐一排座位，甲乙不相邻的概率为16已知直线1:4l y x =，2:4l y x =-，过3(,2)2M 的直线l 与12,l l 分别交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则||AB 等于三解答题：本大题共6小题，共70分，要求写出必要的解答过程17(本小题满分10分）已知命题p:,0],1,0[3≤-∈∀a x x 命题q: ,x R ∃∈满足210x ax ++=,若“p 且⌝q ”是真命题，求实数a 的取值范围。
2015年广东省深圳高中高二上学期数学期中试卷和解析(文科)
2014-2015学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=254．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣15．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3 B．C． D．58．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=09．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．410．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2014-2015学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假【解答】解：根据奇数和偶数的定义，得命题p是真命题，命题q是假命题．∵命题q是假命题∴命题“p且q”为假命题，故B错误命题“非q”为真命题，故D错误又∵命题p是真命题∴命题“p或q”是真命题，故A正确命题“非p”为假命题，故C错误故选：A．2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x2﹣x=0 则x=0或x=1．即x2﹣x=0推不出x=1．反之，若x=1，则x2﹣x=0，即x=1推出x2﹣x=0所以“x2﹣x=0”是“x=1”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=25【解答】解：设圆心C（2，m），根据圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），可得CA2=CB2，即4+（m+4）2=4+（m+2）2，求得m=﹣3，可得圆心为（2，﹣3）、半径为CA=，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5，故选：C．4．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣1【解答】解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，∴圆心（a，0）到直线x+y+a=0的距离等于圆的半径，∴，∴a=1或﹣1．故选：D．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选：C．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3 B．C． D．5【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的标准方程是（x﹣2）2+（x﹣3）2=1，∴圆心（2，3）到点P的距离是d==；圆的半径r=1，∴切线长为l===3．故选：A．8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0【解答】解：∵y=2x2 ∴y'=4x，∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，由4x=4得x=1，当x=1时，代入抛物线方程得y=2，∴切点坐标为（1，2）∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是y﹣2=4（x﹣1）即4x﹣y﹣2=0故选：C．9．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．4【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C．10．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）【解答】解：f（x）=|xe x|=，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣e x（x+1），故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；作其图象如下，且f（﹣1）=；故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则方程x2+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根，且x1∈（0，），x2∈（，+∞）∪{0}，故，或1=0解得，t∈（﹣∞，﹣），故选：B．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．【解答】解：，∴，故答案为：．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．【解答】解：当m＞5时，=，解得m=，当m＜5时，=解得m=3符合题意，故答案为：14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（）的周期是π且ω＞0∴T=，解得ω=2∴f（x）=sin（2x+）∴f（）=sin（）=sin=（2）∵﹣1∴当2x+=+2kπ（k∈Z）即x=时f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x/x=}．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【解答】解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2=4，圆心坐标为（1，0），半径r=2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而，∴．所以，由点斜式方程可得：，整理得：3x﹣2y﹣3=0．（2）圆心（1，0）到直线，故．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）令∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（6分）（2）令∴x=0和x=﹣2，…（8分）∴∴f（x）∈[0，2e2]…（11分）∴m＜0…（12分）18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2的距离之和等于4，∴2a=4，a=2．∴+=1，∴b2=3，∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），∵Q（0，），∴|PQ|2=4cos2θ+=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+=﹣sin2θ﹣sinθ+=﹣+5≤5．∴|PQ|的最大值为．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，，当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＞f（0）=a；f（x）在[，e]上单调递减，且．则f（x2）＞a，∵g′（x）=，①当0＜a＜e时，g（x）=alnx﹣x在（0，a）上单调递增，在[a，e]上单调递减；故g（x1）max=g（a）=alna﹣a；则alna﹣a﹣a=a（lna﹣2）＜0；故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立；②当a≥e时，g（x）=alnx﹣x在（0，e]上单调递增，故g（x1）max=g（e）=a﹣e；故a﹣e﹣a=﹣e＜0，故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2015-2016学年第二学期高二期中考试数学学科试题和参考答案(数学文)
2015-2016学年第二学期高二期中考试数学学科（文科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．命题0)(),2,0(:<∈∀x f x p π，则p ⌝： ．2．已知复数i Z 43+= （i 为虚数单位），则Z = ． 3．设全集{}3,2,1,0,1{},42-=≤≤-∈=A x Z x U ，若A C B U ⊆，则集合B 的个数是 ．4．已知复数i Z i Z 34,221-=+= 在复平面内的对应点分别为点A 、B ，则A 、B 的中点所对应的复数是 ．5．已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 ． 6．已知ni i+=-112，其中i R n ,∈ 是虚数单位，则n = ． 7．函数)3lg(1)(2x x x f --=的定义域为 ．8． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,10,2)(2x x x x f x 的值域为 ． 9．若函数2+-=x b x y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为),2(+∞，则=+b a ． 10．若命题“存在04,2≤++∈a x ax R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．11. 已知函数⎩⎨⎧≥<+-=-1,21,3)21()(1x x a x a x f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 12. 记12x x -为区间],[21x x 的长度．已知函数)0](,2[,2≥-∈=a a x y x，其值域为],[n m ，则区间],[n m 的长度的最小值是 ．13．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ． 14．设][x 表示不超过x 的最大整数，如2]5.1[,1]5.1[-=-=．若函数x xaa x f +=1)( )1,0(≠>a a ，则]21)-([]21)([)(-+-=x f x f x g 的值域为 ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分） 已知}42{},71{},9{2<-=≤<-=≥=x x C x x B x x A ．（1）求A ∩B 及A ∪C ；（2）若U=R ，求A ∩∁U （B ∩C ）16．（本小题满分14分）已知复数Z 满足：Z i Z -+=31，求Zi i 2)43()1(2++的值．17．（本小题满分15分）设a 为实数，给出命题:p 关于x 的不等式a x ≥-1)21(的解集为φ，命题:q 函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题""q p ∨为真，""q p ∧为假，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当204≤<x 时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．（1）当200≤<x 时，求v 关于x 的函数表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．19．（本小题满分16分）若)(x f 为二次函数，1-和3是方程04)(=--x x f 的两根，1)0(=f（1）求)(x f 的解析式；（2）若在区间]1,1[-上，不等式m x x f +>2)(有解，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数0(2log )(>-+=a x m x x f a且)1≠a 的定义域为2{>x x 或}2-<x ． （1）求实数m 的值；（2）设函数)2()(xf xg =，对函数)(x g 定义域内任意的21,x x ，若021≠+x x ，求证：)1()()(212121x x x x g x g x g ++=+； （3）若函数)(x f 在区间),4(r a -上的值域为),1(+∞，求r a -的值．2015-2016学年第二学期高二期中考试数学试题（文科）参考答案一、填空题： 1. 0)(),2,0(≥∈∃x f x π2. 53. 44. i -35. xx x f +=1)( 6. 1 7. 5]30[-2，（）， 8. ]1,(-∞ 9. 10- 10. ），（∞+2 11. )21,0[ 12. 3 13. )(),1(4)2(*22N n n n n ∈+=-+ 14. 1}-{0，二、解答题：15.解：（1）集合A 中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}；--2分 集合C 中的不等式解得：﹣2＜x ＜6，即C={x|﹣2＜x ＜6}，-------- -------------4分 ∴A∩B={x|3≤x≤7}，----------------------- ------------------------------6分 A∪C={x|x≤﹣3或x ＞﹣2}；-----------------------------------------------8分（2）∵B∩C={x|﹣1＜x ＜6}，-----------------------------------------------10分 全集U=R ，∴∁U （B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，--------------------------------12分 则A∩∁U （B∩C）={x|x≥6或x≤﹣3}．--------------------------------------14分16.解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），---------------------------------------------2分 而|z|=1+3i ﹣z ，即，-------------------------------4分 则-----------------------------------------------------6分 解得，z=﹣4+3i ，--------------------------------------------------8分 ∴==1．-------------14分17.解：命题p ：|x ﹣1|≥0，∴，∴a＞1；---------------------4分命题q ：不等式的解集为R ，∴，解得；---------------------------------------------------------------8分若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；----------------------10分p真q 假时，，解得a≥8；----------------------------------12分p假q 真时，，解得；-----------------------------------14分∴实数a 的取值范围为：．----------------------------15分18.解（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2； ----------------------------------2分当4＜x≤20时，设v=ax+b，由已知得：，解得：，所以v=﹣x+，---------------------4分故函数v=；-------------------------------------------6分（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由（1）可得f（x）=-----------------------8分当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=4×2=8；-----------------10分当4＜x≤20时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，f（x）max=f（10）=12.5．--------------------------------------------------12分所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．-------------------------------14分即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．--------------------------------------------------------------------15分19. 解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由f（0）=1可得c=1，------------------------------------------------------2分故方程f（x）﹣x﹣4=0可化为ax2+（b﹣1）x﹣3=0，∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣，﹣1×3=，解得a=1，b=﹣1，故f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+1；----------------------------------------8分（2）∵在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，∴m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，--------------------------------------10分故只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，由二次函数可知当x=﹣1时，函数g（x）取最大值5，--------------------------14分∴实数m的取值范围为（﹣∞，5）------------------------------------------16分20.解：（1）m=2时，解得，x＞2，或x＜﹣2；∴m=2；-----------------1分（2）证明：，；------------2分∴g（x1）+g（x2）==；=；∴；------------------------------------6分（3）；∴①若a＞1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递减；∴；∴；∴；∴；-----------------------------12分②若0＜a＜1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递增；∴；∴；∴，或（舍去）；∴．-----------------16分。
2015-2016学年广东省深圳市宝安区高二上学期期末文科数学试卷(带解析)
B． （1﹣
）
C． （1﹣ ）
D． （1﹣
）
【知识点】等比数列
难度：0.64 组卷：284 题型：单选题 更新：2016/4/15
10 . 已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（ ）
A．e
B．﹣e
【知识点】导数的概念和几何意义
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C．
D．﹣
难度：0.64 组卷：286 题型：单选题 更新：2016/4/15
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7 . 等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（ ）
A．3
B．5
C．7
【知识点】等差数列
D．9
难度：0.85 组卷：249 题型：单选题 更新：2016/4/15
8 . 在△ABC中，若sinBsinC=cos2 ，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 C．等边三角形 【知识点】两角和与差的三角函数 正弦定理 余弦定理
2015-2016学年广东省深圳市宝安区高二上学期期末文科数学试卷（带解析）
适用年级：高二 试卷类型：期末 试题总数：22 浏览次数：316 上传日期：2017/7/26
1 . 命题：“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定为（ ） A．∀x∈R，x2+x﹣1＜0 C．∃x∉R，x2+x﹣1=0
【知识点】全称量词与存在量词
11 . 已知f（x）=x2+2x×f′（1），则f′（0）=（ ）
A．0
B．﹣4
【知识点】导数的计算
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C．﹣2
D．2
难度：0.85 组卷：425 题型：单选题 更新：2016/4/15
广东省深圳中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷
2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C=，a=2，b=1，则c 等于（ ）A ．B ．C ．D ．1 2．下列结论不正确的是（ ）A ．若ab ＞bc ，则a ＞cB ．若a 3＞b 3，则a ＞bC ．若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bcD ．若＜，则a ＞b3．在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则此三角形必是 （ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．275．数列{a n }满足a n +1=，若a 1=，则a 2015=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cosBsinAsinC=sin 2B ，则（ ）A ．a ，b ，c 成等差数列B ．，，成等比数列C ．a 2，b 2，c 2成等差数列D ．a 2，b 2，c 2成等比数列7．已知函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣1|，则不等式f （x ）＞1的解集为（ ）A ．（，2）B ．（，2）C ．（，3）D ．（，3）8．在平面直角坐标系中，定义到点P n +1（x n +1，y n +1）的一个变换为“γ变换”，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），P n +1（x n +1，y n +1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n项和为S n，那么S10的值为（）A．B．C．D．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．10．已知等比数列{a n}的公比，则的值为．11．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．12．已知数列{a n}满足a1=3，a n=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．+113．已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是．14．以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．﹣1三、解答题（4大题，共44分）15．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．16．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+2（n≥1，n∈N*），数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若数列{c n}满足c n=，且{c n}的前n项和为K n，求证：K n＜3．18．设二次函数f（x）=（k﹣4）x2+kx（k∈R），对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；正项数列{a n}满足a n+1=f（a n）．数列{b n}，{c n}分别满足|b n+1﹣b n|=2，c n+12=4cn2．（1）若数列{b n}，{c n}为递增数列，且b1=1，c1=﹣1，求{b n}，{c n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若g（n）=（n≥1，n∈N*），求g（n）的最小值；（3）已知a1=，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3（）+log3（）+…+log3（）＞﹣1+（﹣1）n﹣12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．1【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosC，a与b的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【解答】解：∵C=，a=2，b=1，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3，又c为三角形的边长，则c=．故选B2．下列结论不正确的是（）A．若ab＞bc，则a＞c B．若a3＞b3，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若＜，则a＞b【考点】不等式比较大小．【分析】A．C．D．利用不等式的基本性质即可判断出正误．B．利用数f（x）=x3在R上单调递增即可判断出正误．【解答】解：A．ab＞bc，b＜0，则a＜c，因此不成立．B．由函数f（x）=x3在R上单调递增，则a3＞b3⇔a＞b，正确．C．a＞b，c＜0，则ac＜bc，正确．D．∵＜，则a＜b，正确．故选：A．3．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知的等式中，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到sin（A﹣B）=0，由A和B都为三角形的内角，得到A﹣B 的范围，利用特殊角的三角函数值得到A﹣B=0，即A=B，从而得到三角形必是等腰三角形．【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π﹣（A+B），∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB，∴sin（A+B）=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，又A和B都为三角形的内角，∴﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选A4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27【考点】等差数列的性质．【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．=，若a1=，则a2015=（）5．数列{a n}满足a n+1A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】求出数列的前几项，推出数列是周期数列，然后化简求解即可．【解答】解：a1=，代入到递推式中得a2=，同理可得a3=，a4=，a5=；因此{a n}为一个周期为4的一个数列．∴a2015=a4×503+3=a3=．故选：B．6．已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案．【解答】解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，根据正弦、余弦定理得，2••a•c=b2，化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C．7．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（，2）B．（，2）C．（，3）D．（，3）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式，解出取并集即可．【解答】解：当x≥1时，f（x）＞1⇒（x+1）﹣2（x﹣1）=﹣x+3＞1，解得：x ＜2，∴1≤x ＜2①，当﹣1≤x ＜1时，f （x ）＞1⇒（x +1）﹣2（1﹣x ）＞1，解得：x ＞，∴＜x ＜1②，当x ＜﹣1时，f （x ）＞1⇒﹣（x +1）+2（x ﹣1）＞1，解得：x ＞4无解③综上，不等式的解集为（，2），故选：A ．8．在平面直角坐标系中，定义到点P n +1（x n +1，y n +1）的一个变换为“γ变换”，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），P n +1（x n +1，y n +1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】由题设可求p 1（0，1），P 2（1，1），由已知，可寻求a n 与a n ﹣1的关系，来研究数列{a n }的性质．再结合得出的性质求和计算．【解答】解：由题设知p 1（0，1），P 2（1，1），a 1=|P 1P 2|=1，且当n ≥2时，a n 2=|P n P n +1|2=（x n +1﹣x n ）2﹣（y n +1﹣y n ）2=[（y n ﹣x n ）﹣x n ]2+[（y n +x n ）﹣y n ]2=5x n 2﹣4x n y n +y n 2a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=（x n ﹣x n ﹣1）2﹣（y n ﹣y n ﹣1）2①由得 有代入①计算化简得a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=+=（5x n 2﹣4x n y n +y n 2）=a n 2．∴=，（n≥2），∴数列{a n}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，∴a n=n﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=，∴S10==故选C二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．【考点】正弦定理．【分析】首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．10．已知等比数列{a n}的公比，则的值为﹣3．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式可得a n=a n﹣1q，故分母的值分别为分子的对应值乘以q，整体代入可得答案．【解答】解：由等比数列的定义可得：=====﹣3，故答案为：﹣311．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为560．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}与数列{b n}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{c n}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，由此能求出这个新数列的前10项之和．【解答】解：等差数列2，6，10，…，190的通项为a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2，等差数列2，8，10，14，…，200的通项为b n=2+（n﹣1）•6=6n﹣4，数列{a n}与数列{b n}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{c n}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，∴c n=2+（n﹣1）•12=12n﹣10，S n==，∴=560．故答案为：560．12．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1﹣1．【考点】等比关系的确定；数列的概念及简单表示法．【分析】将数列递推式两边同时加上1，化简后再作商可得数列{a n+1}是等比数列，代入通项公式化简，再求出a n．【解答】解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n﹣1=2n+1，∴a n=2n+1﹣1．13．已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是14．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将直线l：t=3x+4y﹣7对应的直线进行平移，观察截距的变化可得t的范围，由此可得|3x+4y﹣7|的最大值．【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（0，1），C（1，0）设t=F（x，y）=3x+4y﹣7，将直线l：t=3x+4y﹣7进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值；当l经过点B时，目标函数z达到最大值0，1）=﹣3，t最小值=F（﹣1，﹣1）=﹣14∴t最大值=F（∴|3x+4y﹣7|∈[3，14]，故Z=|3x+4y﹣7|的最大值是14．故答案为：14．14．以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．﹣1【考点】数列的应用；元素与集合关系的判断；进行简单的合情推理．【分析】由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论【解答】解：由题意a1=a2==﹣（）=﹣a1，a3=﹣a2﹣a1，…a n=﹣a n﹣…﹣a2﹣a1，﹣1由上推理可得a1+a2+…+a n==由等差数列的求和公式得a1+a2+…+a n==故答案为三、解答题（4大题，共44分）15．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理即可计算求值得解．（2）由余弦定理可求cosA，结合A的范围，由特殊角的三角函数值即可得解．（3）利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理所得==，可得：AC=AB×=3×=5．（2）由余弦定理所得cosA===﹣，又∵A∈（0，π），∴A=．=AB•AC•sinA==．（3）S△ABC16．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件求出池底面积，然后求解池壁面积S的表达式．（2）设水池总造价为y，推出y=（6x+）×120+1600×150，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）由题意得水池底面积为：=1600（平方米）池壁面积S=2（3x+3）=6x+（平方米）（2）设水池总造价为y，所以y=（6x+）×120+1600×150≥2．当且仅当6x=，即x=40米时，总造价最低为297600元．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n +1=S n +2（n ≥1，n ∈N *），数列{b n }满足b n =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）若数列{c n }满足c n =，且{c n }的前n 项和为K n ，求证：K n ＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得b n ==，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得所求和；（3）求得c n ==＜=2（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，注意从第四项放缩，化简整理即可得证．【解答】解：（1）∵a n +1=S n +2①∴a n =S n ﹣1+2②当n ≥2时①﹣②a n +1﹣a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ，即a n +1=2a n ，数列{a n }为公比q=2的等比数列．当n=1时，a 2=a 1+2=4，a 2=2a 1=4也满足a n +1=2a n ．∴a n =a 1q n ﹣1=2n ；（2）b n ==，前n 项和T n =1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n ﹣1）•（）n ，③T n =1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n ﹣1）•（）n +1，④③﹣④： T n =+2[（）2+（）3+…+（）n ]﹣（2n ﹣1）•（）n +1=+2•﹣（2n ﹣1）•（）n +1，化简可得T n =3﹣（2n +3）•（）n ；（3）证明：由（2）可得c n ==＜=2（﹣），前n 项和为K n =+++…+＜2+++2（﹣+﹣+…+﹣）=2++﹣，∵＜，﹣＜∴K n ＜2++=3，即K n ＜3．18．设二次函数f （x ）=（k ﹣4）x 2+kx （k ∈R ），对任意实数x ，有f （x ）≤6x +2恒成立；正项数列{a n }满足a n +1=f （a n ）．数列{b n }，{c n }分别满足|b n +1﹣b n |=2，c n +12=4c n 2．（1）若数列{b n }，{c n }为递增数列，且b 1=1，c 1=﹣1，求{b n }，{c n }的通项公式；（2）在（1）的条件下，若g （n ）=（n ≥1，n ∈N *），求g （n ）的最小值；（3）已知a 1=，是否存在非零整数λ，使得对任意n ∈N *，都有log 3（）+log 3（）+…+log 3（）＞﹣1+（﹣1）n ﹣12λ+nlog 32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）由题意，数列{b n }，{c n }为递增数列，即可求出{b n }，{c n }的通项公式（2）由题意可得，k﹣4＜0，且判别式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，解不等式可得k=2，可得f（x）的解析式，可得f（n）=﹣2n2+2n，代值计算即可求出g（n）的表达式，根据g（n）=为关于n的单调递增函数，即可求出最小值．（3）假设存在非零整数λ．运用构造数列，结合等比数列的定义和通项公式和求和公式，化简所求不等式，即为2n﹣1＞（﹣1）n﹣1λ恒成立，讨论n为奇数和偶数，即可得到所求．【解答】解：（1）数列{b n}为递增数列，则|b n+1﹣b n|=b n+1﹣b n=2，∴{b n}为公差d=2的等差数列b1=1．∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1（n∈N*）由c n+12=4cn2，∴=4又∵数列{c n}为递增数列，∴=2，∴数列{c n}公比q=2的等比数列，首先c1=﹣1，∴c n=（﹣1）•2n﹣1=﹣2n﹣1，（n∈N*）（2）对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立，即为（k﹣4）x2+（k﹣6）x﹣2≤0，k﹣4＜0，且判别式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，即为k2﹣4k+4≤0，即（k﹣2）2≤0，解得k=2，即有f（x）=﹣2x2+2x，∴f（n）=﹣2n2+2n，∴g（n）====2•=∴g（n）=为关于n的单调递增函数，又∵n≥1．∴g（n）min=g（1）==﹣2（3）由（2）得f（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+∵a n +1=f （a n ），又∵f （x ）≤，∴正项数列{a n }满足a n ∈（0，]令b n =﹣a n ，则b n +1=﹣a n +1=﹣（﹣2a n 2+2a n ）=2（﹣a n ）2，∴lgb n +1=lg2（﹣a n ）2=lg2+2lg （﹣a n ）=lg2+2lgb n ，∴lgb n +1+lg2=2（lg2+lgb n ），∵lg2+lgb 1=lg （﹣）+lg2=lg∴lg2+lgb n =（lg ）•2n ﹣1，∴lg2b n =lg （），∴b n =•（），∴log 3（）+log 3（）+…+log 3（）=log 32•+log 32•3+…+log 32•3=nlog 32+=nlog 32+2n ﹣1，要证2n +nlog 32﹣1＞﹣1+（﹣1）n ﹣1•2+nlog 32恒成立即证2n ＞（﹣1）n ﹣12λ恒成立∴2n ＞（﹣1）n ﹣12λ恒成立①当n 为奇数时，即λ＜2n ﹣1恒成立，当且仅当n=1时，2n ﹣1有最小值1为．∴λ＜1；②当n 为偶数时，即λ＞﹣2n ﹣1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值﹣2为．∴λ＞﹣2，所以，对任意n ∈N *，有﹣2＜λ＜1．又λ为非零整数，∴λ=﹣1．2017年3月23日。
高二上期中数学试卷文科
2015-2016学年广东省深圳市沙井中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•封开县校级模拟）关于x的不等式x2﹣x﹣5＞3x的解集是（）A．{x|x≥5或x≤﹣1}B．{x|x＞5或x＜﹣1}C．{x|﹣1＜x＜5}D．{x|﹣1≤x≤5}2．（5分）（2008•天津）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．153．（5分）（2017春•滨海新区期末）若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c4．（5分）（2011•云南模拟）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（）A．B．C．D．5．（5分）（2017秋•城关区校级期中）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列的第四项为（）A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣16．（5分）（2008•海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）（2017春•天长市期末）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．838．（5分）（2018春•佛山期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形9．（5分）（2008•海南）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．10．（5分）（2011秋•平阴县校级期末）设关于x的不等式：x2﹣ax﹣2＞0解集为M，若2∈M，∉M，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（﹣∞，）C．[，1）D．（，1）11．（5分）（2008春•宁波期末）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里12．（5分）（2015秋•宝安区校级期中）将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 19…按照以上排列的规律，第100 行从左向右的第20个数为（）A．9941 B．9901 C．9911 D．9939二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）（2018春•高安市校级期末）不等式（x﹣3）（x﹣2）＞0的解集是．14．（5分）（2015秋•宝安区校级期中）等差数列{a n}满足a2=12，a6=4，则其公差d=．15．（5分）（2015春•温州校级期末）在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A=．16．（5分）（2016春•石家庄期末）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是（填序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2012•密云县一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．18．（10分）（2011•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．19．（12分）（2012秋•盐津县期末）在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．20．（12分）（2015秋•宝安区校级期中）已知不等式x2+2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2﹣4x﹣5＜0的解集为B．（1）求A∪B，A∩B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求ax2+x+b＜0的解集．21．（12分）（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．22．（14分）（2011•上海校级模拟）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的“滞点”．已知函数f （x ）=．（I）试问f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；（II）已知数列{a n}的各项均为负数，且满足，求数列{a n}的通项公式；（III）已知b n=a n•2n，求{b n}的前项和T n．2015-2016学年广东省深圳市沙井中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•封开县校级模拟）关于x的不等式x2﹣x﹣5＞3x的解集是（）A．{x|x≥5或x≤﹣1}B．{x|x＞5或x＜﹣1}C．{x|﹣1＜x＜5}D．{x|﹣1≤x≤5}【分析】将不等式转化为一元二次不等式，利用因式分解法，可求得结论．【解答】解：不等式可化为：x2﹣4x﹣5＞0∴（x﹣5）（x+1）＞0∴x＞5或x＜﹣1∴不等式x2﹣x﹣5＞3x的解集是{x|x＞5或x＜﹣1}故选：B．【点评】一元二次不等式的求解关键在于，求出对应方程的根，能用因式分解法的就用因式分解法，属于基础题．2．（5分）（2008•天津）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．3．（5分）（2017春•滨海新区期末）若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c【分析】把不等式两边同时加上同一个实数﹣c，不等号不变．【解答】解：∵a＞b且c∈R，不等式两边同时加上﹣c 可得，a﹣c＞b﹣c．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的性质的应用，利用了不等式两边同时加上同一个实数，不等号不变．4．（5分）（2011•云南模拟）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（）A．B．C．D．【分析】由B=45°，C=60°可得A=75°从而可得B角最小，根据大边对大角可得最短边是b，利用正弦定理求b即可【解答】解：由B=45°，C=60°可得A=75°，∵B角最小，∴最短边是b，由=可得，b===，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和、大边对大角、正弦定理等知识的综合进行解三角形，属于基础试题．5．（5分）（2017秋•城关区校级期中）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列的第四项为（）A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣1【分析】解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得等差数列{a n}的前三项为0，1，2或2，1，0，由此能求出该数列的第四项．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，∴等差数列{a n}的前三项为0，1，2或2，1，0，∴该数列的第四项为3或﹣1．故选：D．【点评】本题考查数列的第四项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．（5分）（2008•海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先得到3边之间的关系，再由余弦定理可得答案．【解答】解：设顶角为C，因为l=5c，∴a=b=2c，由余弦定理得，故选：D．【点评】本题主要考查余弦定理的应用．余弦定理在解三角形中应用很广泛，应熟练掌握．7．（5分）（2017春•天长市期末）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．83【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，∴第三个n项的和为：=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．8．（5分）（2018春•佛山期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【分析】由条件可得sinCcosB=cosCsinB，故sin（C﹣B）=0，再由﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B=0，从而得到此三角形为等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，，则ccosB=bcosC，由正弦定理可得sinCcosB=cosCsinB，∴sin（C﹣B）=0，又﹣π＜C﹣B＜π，∴C﹣B=0，故此三角形为等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，得到sin（C﹣B）=0 及﹣π＜C ﹣B＜π，是解题的关键．9．（5分）（2008•海南）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【分析】根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．【解答】解：由于q=2，∴∴；故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用．等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，要予以高度重视．10．（5分）（2011秋•平阴县校级期末）设关于x的不等式：x2﹣ax﹣2＞0解集为M，若2∈M，∉M，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（﹣∞，）C．[，1）D．（，1）【分析】由2∈M，将x=2代入不等式得到关于a的不等式，由∉M，将x=代入不等式得到关于a的多项式小于等于0，列出关于a的另一个不等式，联立两不等式组成不等式组，求出不等式组的解集，即可得到a的范围．【解答】解：由题意得：，解得：≤a＜1，则实数a的取值范围为[，1）．故选：C．【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式组的解法，根据题意列出关于a的不等式组是解本题的关键．11．（5分）（2008春•宁波期末）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里【分析】如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，由此能求出这艘船的速度．【解答】解：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10（海里/小时）．故选：C．【点评】本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．12．（5分）（2015秋•宝安区校级期中）将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 19…按照以上排列的规律，第100 行从左向右的第20个数为（）A．9941 B．9901 C．9911 D．9939【分析】分析正奇数排列的正三角图表知，第i行（其中i∈N*）有i个奇数，且从左到右按从小到大的顺序排列，进而得到答案．【解答】解：由排列的规律可得，第99行结束的时候共排了1+2+3+…+99=4950个数，故第100 行从左向右的第20个数为第4970个正奇数，∵2×4970﹣1=9939，故选：D．【点评】本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用，属基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）（2018春•高安市校级期末）不等式（x﹣3）（x﹣2）＞0的解集是{x|x ＜2或x＞3} ．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，写出该不等式的解集即可．【解答】解：不等式（x﹣3）（x﹣2）＞0对应方程（x﹣3）（x﹣2）=0的实数根为2和3，∴该不等式的解集为{x|x＜2或x＞3}．故答案为：{x|x＜2或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．14．（5分）（2015秋•宝安区校级期中）等差数列{a n}满足a2=12，a6=4，则其公差d=﹣2．【分析】直接利用公式d=求得等差数列的公差．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2=12，a6=4，得d=．故答案为：﹣2．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．15．（5分）（2015春•温州校级期末）在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A=或．【分析】△ABC中，由余弦定理求得a的值，再利用正弦定理求得sinA的值，可得A的值．【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得b2==a2+8﹣4a•cos45°，求得a=2+，或a=2﹣．当a=2+，由正弦定理可得=，求得sinA=，∴A=+=．当a=2﹣，由正弦定理可得=，求得sinA=，∴A=﹣=，故答案为：或．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．16．（5分）（2016春•石家庄期末）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是①②④（填序号）．【分析】由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8﹣a7＜0，②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案．【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④【点评】本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2012•密云县一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．【分析】（1）由a，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用余弦定理表示出cosC，把a，b，c的值代入求出cosC的值，由C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值即可．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，且a=2，c=3，cosB=，（2分）代入得：b2=22+32﹣2×2×3×=10，（4分）∴b=．（6分）（2）由余弦定理得：cosC===，（10分）∵C是△ABC的内角，∴sinC==．（12分）【点评】此题的解题思想是利用余弦定理建立已知量与未知量间的联系，同时要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值．18．（10分）（2011•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．19．（12分）（2012秋•盐津县期末）在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．【分析】由2sin（A+B）﹣=0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出c2，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab 的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．【解答】解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，C=60°．（4分）又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，（6分）∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，∴c=，（10分）S△ABC=absinC=×2×=．（12分）【点评】此题综合考查了韦达定理、余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键．20．（12分）（2015秋•宝安区校级期中）已知不等式x2+2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2﹣4x﹣5＜0的解集为B．（1）求A∪B，A∩B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求ax2+x+b＜0的解集．【分析】（1）求出集合A，集合B，然后求解交集以及并集即可．（2）利用不等式的解集，求出a，b，然后求解二次不等式的解集．【解答】解：（1）由x2+2x﹣3＜0∴﹣3＜x＜1即A={x|﹣3＜x＜1}…（2分）由x2﹣4x﹣5＜0∴﹣1＜x＜5即B={x|﹣1＜x＜5}…（4分）∴A∩B={﹣1＜x＜1}…（5分）A∪B={﹣3＜x＜5}…（6分）（2）可知方程x2+ax+b=0的根是﹣1，1 …（7分）由…（9分）∴ax2+x+b=x﹣1＜0即∴x＜1…（10分）所以，不等式的解集为{x|x＜1}…（12分）【点评】本题考查不等式的解集，交集以及并集的解法，二次不等式的解法，考查计算能力．21．（12分）（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（14分）（2011•上海校级模拟）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的“滞点”．已知函数f （x ）=．（I）试问f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；（II）已知数列{a n}的各项均为负数，且满足，求数列{a n}的通项公式；（III）已知b n=a n•2n，求{b n}的前项和T n．【分析】（I）由，令f（x）=x，得x2﹣2x=0，解得x=0，或x=2．由此知f（x）存在两个滞点0和2．（II）由题得，所以2S n=a n﹣a n2，故2S n+1=a n+1﹣a n+12，由②﹣①得2a n+1=a n+1﹣a n+12﹣a n+a n2，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n+1）=0∵a n＜0∴a n+1﹣a n=﹣1，由此能求出数列{a n}的通项公式．（III）由T n=﹣1•2﹣2•22﹣3•23﹣…﹣n•2n，知2T n=﹣1•22﹣2•23﹣3•24﹣…﹣（n ﹣1）•2n﹣n•2n+1．由此能求出{b n}的前项和T n．【解答】解：（I）由，令f（x）=x，…（2分）得x2﹣2x=0，解得x=0，或x=2．即f（x）存在两个滞点0和2．…（4分）（II）由题得，∴2S n=a n﹣a n2…①…（5分）故2S n+1=a n+1﹣a n+12…②由②﹣①得2a n+1=a n+1﹣a n+12﹣a n+a n2，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n+1）=0，∵a n＜0，∴a n+1﹣a n=﹣1，即{a n}是等差数列，且d=﹣1…（9分）当n=1时，由2S1=a1﹣a12=2a1得a1=﹣1∴a n=﹣n…（11分）（III）∵T n=﹣1•2﹣2•22﹣3•23﹣…﹣n•2n…③∴2T n=﹣1•22﹣2•23﹣3•24﹣…﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1…④由④﹣③得T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=…（14分）【点评】本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的灵活运用．。
深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年广东省深圳市高级中学高二（上）期末数学试卷(文科）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．“x=1”是“x2﹣x=0”的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(）A．2 B．1 C．D．3．若偶函数f（x）在（﹣∞，0］内单调递减，则不等式f(﹣1）＜f（x)的解集是()A．（﹣∞,﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1,1）D．（﹣∞，﹣1）∩（1,+∞）4．已知向量，，如果向量与垂直,则的值为（)A．1 B．C．5 D．5．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合,且双曲线的离心率为,则此双曲线的方程为（)A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=16．设x＞0，y＞0,且2x+y=20，则lgx+lgy的最大值是（）A．50 B．2 C．1+lg5 D．17．一名小学生的年龄和身高(单位:cm）的数据如下表：年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8。
8x+，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153 C．152 D．1518．设集合A=［0，1），B=[1，2］，函数f（x)=｛x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是(）A．(）B．（log32,1) C．(）D．［0，]9．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域是Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称,对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB｜的最小值等于(）A．B．4 C．D．2二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）10．已知a，b,c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1,b=，三内角A，B，C成等差数列，则sinA=．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，求实数c的取值范围．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共48分)12．已知向量与互相垂直,其中．（1）求sinθ和cosθ的值；（2)若，求cosφ的值．13．已知数列｛a n｝是等差数列,｛b n｝是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1)求数列{a n｝和｛b n｝的通项公式；（2）数列｛c n｝满足c n=a n b n，求数列｛c n｝的前n项和S n．14．已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．(1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；(2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M,N两点,是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在,求出直线l的方程;若不存在，说明理由．15．已知函数f（x)=﹣+2ax2﹣3a2x+1，0＜a＜1．（Ⅰ）求函数f（x)的极大值;（Ⅱ)若x∈[1﹣a，1+a]时，恒有﹣a≤f′（x）≤a成立（其中f′(x)是函数f（x）的导函数）,试确定实数a的取值范围．一、选择题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）16．设z=1+i，则=(）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i17．阅读如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．0 B．C．D．18．张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐,若第二辆比第一辆舒服,则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是(）A．、B．、C．、D．、二、填空题（本大题共2小题，每小题5分,共10分）19．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为辆．20．观察下列数的特点：在1，2,2，3,3,3，4,4，4，4…中，第100项的值是．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,共22分）21．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：初一年级初二年级初三年级女生373 x y男生377 370 z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0。
广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试化学试卷Word版含答案
深圳高级中学2015-2016学年第一学期期中考试高二化学命题人：黄晓燕；审题人：吴云本试卷由二部分组成。
第一部分：高考基础知识与能力部分（占43分）；第二部分：本学期知识内容（占57分），全卷共计100分，考试时间为90分钟可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 Na-23 S-32 Cu-64 C-12 Cl-35.5 l-127 N-14注意事项：1、答第I卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后再涂其他答案，不能答在试卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡收回。
第一部分：高考基础知识与能力部分（占43分）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计15分）1、化学与生活、社会密切相关，下列说法不正确的是A．通信光缆的主要成分是SiO2，太阳能电池的材料主要是晶体SiB．K2FeO4能与水作用生成Fe（OH）3 胶体和O2 ，可用于净化自来水并杀菌消毒C．由于NaHCO3能与碱反应，所以常用作焙制糕点的膨松剂D．氨很容易液化，液氨气化吸收大量的热，所以液氨常用作致冷剂N表示阿伏伽德罗常数的数值，下列说法正确的是（）3、设AA ．标准状况下，22.4L SO 3中含有的分子数为N A 个B ．室温下，48.0g 氧气和臭氧的混合气体中含有的原子数目为3N AC ．过氧化钠与水充分反应生成0.1mol 氧气转移的电子数为0.4N AD ． 0.1mol•L -1的CuCl 2溶液中含有0.2N A 个Cl ―4、在固态金属氧化物电解池中，高温共电解H 2O —CO 2混合气体制备H 2和CO 是一种新的能源利用方式，基本原理如图所示。
下列说法不正确．．．的是 A ．X 是电源的负极B ．阴极的反应式是：H 2O ＋2eˉ＝H 2＋O 2ˉCO 2＋2eˉ＝CO ＋O 2ˉC ．总反应可表示为：H 2O ＋CO 2====通电H 2＋CO ＋O 2 D ．阴、阳两极生成的气体的物质的量之比是1︰15、短周期元素X 、Y 、Z 、W 在元素周期表中的相对位置如右下图所示，其中W 原子的质子数是其最外层电子数的三倍，下列说法不正确的是 A ．最简单气态氢化物的热稳定性：Y >X >W>Z B ．最高价氧化物对应水化物的酸性：X >W>Z C ．原子半径：W >Z >Y>XD ．元素X 、Z 、W 的最高化合价分别与其主族序数相等二、填空题：（每小题14分，共计28分）6、(14分)三氯化碘（ICl 3 ，I 的化合价为+3价）在药物合成中用途非常广泛，其熔点：33℃,沸点73℃。
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2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=（）A．{}B．{2}C．{﹣，1，，2}D．{﹣2，1，，2}2．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）3．（5分）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）5．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣86．（5分）记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．77．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A．B．C．4 D．88．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分9．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．（10分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．四、选择题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的12．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．214．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．1515．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为．17．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是．六、解答题：共5小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈[1，2]时，函数f（x）=x+恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c 的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．20．（12分）河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=（）A．{}B．{2}C．{﹣，1，，2}D．{﹣2，1，，2}【解答】解：A={x|x2=2}={﹣，}，B={1，，2}，则A∩B={}，故选：A．2．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．3．（5分）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：正弦函数的周期公式T=，∴y=sinax的最小正周期T=；对于A：T＞2π，故a＜1，因为y=a x的图象是减函数，故错；对于B：T＜2π，故a＞1，而函数y=a x是增函数，故错；对于C：T=2π，故a=1，∴y=a x=1，故错；对于D：T＞2π，故a＜1，∴y=a x是减函数，故对；故选：D．4．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．5．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【解答】解：∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．6．（5分）记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．7【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+d=25，联立解得a1=﹣1，d=3，故选：B．7．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A．B．C．4 D．8【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴xy==，当且仅当2x=y＞0，2x+y=1，即，y=时，取等号，此时，xy的最大值是．故选：B．8．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选：C．二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分9．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．（10分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．四、选择题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的12．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行，∴a2=1，解得a=±1，当a=1时，两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0，满足两直线平行．当两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0满足平行，a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件．故选：A．13．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．14．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15【解答】解：∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选：C．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为4．【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=2的标准形式为：∴a2=b2=2，可得c==2，双曲线的右焦点为F（2，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，∴=2，可得p=4故答案为：417．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是②③．【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案为：②③六、解答题：共5小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈[1，2]时，函数f（x）=x+恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c 的取值范围．【解答】解∵指数函数y=c x数为减函数，∴0＜c＜1，即p真时，0＜c＜1．函数f（x）=x+＞对x∈[1，2]恒成立，由对勾函数的性质可知f（x）=x+在x∈[1，2]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=，＜，得c＞，即q真时，c＞，∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．①p真q假时，0＜c≤；②p假q真时，c≥1．故c的取值范围为0＜c≤或c≥1．19．（12分）设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x3+2x2﹣x，得f（2）=﹣2，f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，f'（2）=﹣5，所以，曲线y=﹣x3+2x2﹣x在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0；（Ⅱ）f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x，f′（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a），令f′（x）=0，解得或x=a，由于a=3，即有x=1或x=3．当x＞3或x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．因此，函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣4，函数f（x）在x=3处取得极大值f（3）=0．20．（12分）河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？【解答】解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）．…（2分）将B（4，﹣5）代入得p=1.6，∴x2=﹣3.2y，…（6分）当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（2，y A），由22=﹣3.2 y A，得y A=﹣1.25，…（10分）因为船露出水面的部分高0.75米，…（12分）所以h=|y A|+0.75=2米．…（14分）答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行．…（16分）21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标．【解答】解：（1）因为椭圆C经过点，所以．①因为椭圆C的离心率为，所以，即a2=2b2．②联立①②解得，a2=2，b2=1．所以椭圆C的方程为．（2）由（1）得，椭圆C的方程为，所以F（1，0），B（0，1）．设A（x0，y0），则．③因为，且，所以x0﹣（y0﹣1）=2，即y0=x0﹣1．④联立③④解得，或，所以A（0，﹣1）或．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）。