线线垂直测试题

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线线垂直的证明及应用测试题(含答案)

线线垂直的证明及应用一、单选题(共8道，每道12分)1.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列能得出m⊥n的条件是( )A.m⊥α，n∥β，α⊥βB.m⊥α，n⊥β，α∥βC. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条直线垂直的判定2.在四面体ABCD中，∠ABC=∠ABD=∠ADC=90°，则下列一定是直角的是( )A.∠BCDB.∠BDCC.∠CBDD.∠ACD答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质3.如图，在正方体中，下列结论不正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，E 是底面的边BC上的动点，设，则满足PE⊥DE的λ值有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质5.在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是( )A.AB⊥BC且AB⊥BDB.AD⊥BC且AC⊥BDC.AC=AD且BC=BDD.AC⊥BC且AD⊥BD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质6.如图，在正方体中，E，F，G分别是线段上的动点，观察直线CE与，CE与，给出以下结论：①对于任意给定的点E，存在点F，使得；②对于任意给定的点F，存在点E，使得；③对于任意给定的点E，存在点G，使得；④对于任意给定的点G，存在点E，使得．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质7.已知ABCD是空间四边形，且AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC和BD的中点，则MN与( )A.AC，BD之一垂直B.AC，BD都垂直C.AC，BD都不垂直D.AC，BD不一定垂直答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：两条直线垂直的判定8.如图，在正方体中，E为AB的中点，P为侧面内一动点（含边界），若动点P始终满足，则动点P的轨迹是( )A.线段B.圆的一部分C.圆D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质。

网络综合布线理论测试题-3 (答案)

网络综合布线技术理论测试题ZHT-3组别姓名成绩一、单项选择题1. 在垂直干线布线中，一般不使用线缆类型是( )。

(C)A. 超5类4对双绞线B. 光纤C. 同轴电缆D. 6类双绞线2. 多模光纤传输1Gbit/s网络的最长传输距离是( )。

(B)A. 500mB. 550mC. 2000mD. 5000m3. 综合布线系统的六类线，在满足各项指标的情况下，传输带宽可达到( )。

(C)A. 100MHzB. 200MHzC. 250MHzD. 300MHz4. 无线局域网的标准802. 11 中制定了无线安全登记协议，简称( )。

(C)A. MACB. HomeRFC. WEPD. TDMA5. 1000BASE～LX表示( )。

(B)A. 1000兆多模光纤B. 1000兆单模长波光纤C. 1000兆单模短波光纤D. 1000兆铜线6. 水晶头，专业术语为连接器。

(C)A. RJ11B. RJ23C. RJ45D. RJ497. 综合布线系统设计中，大对数主干电缆的对数应在总需求线对的基础上至少预留( )备用线对。

(B)A. 5%B. 10%C. 20%D. 50%8.有线传输介质是指在两个通信设备之间实现的( )连接部分。

(A)A.物理B. 数据C. 光纤D. 理论9. 根据TIA/EIA568A 规定，信息插座引针1、2 脚应接到( )。

(C)A. 线对1B. 线对2C. 线对3D. 线对410. 根据TIA/EIA568B 规定，信息插座引针1、2 脚应接到( )。

(B)A. 线对1B. 线对2C. 线对3D. 线对411. 光纤规格62. 5/l25 中的62. 5 表示( )。

(A)A. 光纤芯的直径B. 光纤包层直径C. 光纤中允许通过的光波波长D. 允许通过的最高频率12. “62. 5/125µm多模光纤”的62. 5/125µm指的是( )。

(A)A. 光纤内外径B. 光纤可传输的光波波长C. . 光缆内外径D. 光缆可传输的光波波长13. 影响光纤熔接损耗的因素较多，影响最大的是( )。

2021年必修第二册《第六章立体几何初步》单元测试卷

《第六章立体几何初步》单元测试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设α，β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是()A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行C. α内有无数个点到β的距离相等D. α，β垂直于同一平面2.圆柱底面周长为4π，高为4，则它的体积为()A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π3.若一个圆锥的轴截面是边长为2√2的等边三角形，则这个圆锥的表面积为()A. 6πB. 5πC. 4πD. 3√2π4.如图，AB是圆的直径，PA⊥AC，PA⊥BC，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA=AC，则二面角P−BC−A的平面角为()A. ∠PACB. ∠CPAC. ∠PCAD. ∠CAB5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为()A. 若m//β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥α，n⊥β，则α//βC. 若m//α，n//β，α//β，则m//nD. 若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α6.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A=AB=AC=2，那么三棱锥A1−ABC的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 87.如图，ABCD−A1B1C1D1为正方体，下面结论：①BD//平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1.其中正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 38.如图，已知六棱锥P−ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是()A.B. 平面PAB⊥平面PBCC. 直线BC//平面PAED. 直线PD与平面ABC所成的角为45°二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是()A. 若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若m//β，n//β，m，n⊂α，则α//βD. 若n⊂α，n⊥β，则α⊥β第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10.三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，空间有一点P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为．11.设长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为______ ．12.在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=4，AB=3，则该四棱锥的外接球的表面积为______ ．13.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的体积为______ ．14.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠CAB=90°，AA1=2AB=2AC=2，则直线A1B与侧面B1C1CB所成角的正弦值是______．15.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为__________．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）16.如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．(1)求证：AF⊥EF；(2)求二面角A−PC−B的平面角的正弦值．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：(1)A1B1//平面DEC1；(2)BE⊥C1E.18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1C1⊥CC1，点E，F分别是BC，A1B1的中点，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1．(1)求证：B1C1⊥A1C；(2)求证：EF//平面A1C1CA．19.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC=60°，AC=2，侧面CBB1C1为正方形，平面ACC1A1⊥平面ABC.点M为A1C的中点，点N为AB的中点．(1)证明：MN//平面BCC1B1；(2)求三棱锥A1−ABC1的体积．20.如图，在棱长为2的正方体ACBD−A1C1B1D1中，M是线段AB上的动点．(1)证明：AB//平面A1B1C；(2)若M是AB的中点，证明：平面MCC1⊥平面ABB1A1；(3)求三棱锥M−A1B1C的体积．21.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别为棱AC，A1B1的中点，且AB=BC(1)求证：平面BMN⊥平面ACC1A1(2)求证：MN//平面BCC1B122.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD，AB//CD，CD=2AB，，E,F分别是CD和PC的中点，(1)证明：；(2)证明：平面BEF//平面PAD．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以A错误；对于B，α内有两条相交直线与β平行，根据两平面平行的判定定理知，α//β，所以B 正确；对于C，α内有无数个点到β的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面β，所以也能得出无数个点到平面β的距离相等，C错误；对于D，当α、β垂直于同一个平面时，α与β也可以相交，所以D错误．故选：B．根据平面平行的判定定理，即可得出正确的结论．本题考查了平面平行的判断问题，也考查了空间想象能力与推理能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：设圆柱底面半径为r，所以底面圆周长为2πr=4π，解得r=2；又圆柱的高为4，所以它的体积为V=πr2ℎ=π×22×4=16π．故选：D．设圆柱底面半径为r，根据底面圆周长求出r的值，再计算它的体积．本题考查了圆柱的结构特征与体积计算问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵一个圆锥的轴截面是边长为2√2的等边三角形，设等边三角形的边长为2r，则2r=2√2，则它的高为√3r，底面半径r=√2，所以这个圆锥的表面积为π⋅r2+πr⋅2r=6π，故选：A．由题意求得圆锥的底面半径，可得它的表面积．本题考查利用圆锥的轴截面，求圆锥的表面积，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵点C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC，又PA⊥BC，AC∩PA=A，AC、PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∵AC⊥BC，∴∠PCA为二面角P−BC−A的平面角．故选：C．由AC⊥BC，PA⊥BC，知BC⊥平面PAC，从而有BC⊥PC，而AC⊥BC，结合二面角的定义，即可得解．本题考查空间中的二面角，熟练掌握二面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m//β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m//α，n//β，α//β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵AB⊥AC，AB=AC=2，∴S△ABC=12×2×2=2，且A1A⊥底面ABC，A1A=2，∴V A1−ABC =13×2×2=43．故选：A．根据题意可求出三棱锥A1−ABC的底面积，且其高为2，再根据棱锥的体积公式，即可求出该三棱锥的体积．本题考查了三棱锥的体积公式，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，属于基础题．①由正方体的性质得BD//B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得答案；②由正方体的性质得AC⊥BD，再由线面垂直的判定和性质可得答案；③由正方体的性质得BD//B1D1，并且结合②可得AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到答案．【解答】解：由正方体的性质得，BD//B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得：BD//平面CB1D1；所以①正确．连接AC、A1C1，由正方体的性质得AC⊥BD，AA1⊥BD，又AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，因为AC1⊂平面AA1C1C，所以AC1⊥BD，所以②正确．由正方体的性质得BD//B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正确．故选：D．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：若，AD//BC，则PB⊥BC，∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，又PA、PB为平面PAB内两条相交直线，则BC⊥平面PAB，AB在平面PAB内，则BC⊥AB，与正六边形矛盾，∴A不正确；假设平面PAB⊥平面PBC，过A作AH⊥PB，垂足为H，平面PAB∩平面PBC=PB，则AH⊥平面PBC，BC在平面PBC内，则AH⊥BC，又PA⊥BC，PA、AH为平面PAB内两条相交直线，则BC⊥平面PAB，由A知不符合题意，∴B不正确；假设直线BC//平面PAE，∵AD//BC，AD不在平面PAE内，∴AD//平面PAE，显然不符合题意，∴C不正确；∵BC//AD，且AD=2BC，可得△PAD是等腰直角三角形，∴∠PDA=45°，直线PD与平面ABC所成的角为45°，∴D正确，故选D．9.【答案】AD【解析】解：对于A，m⊥α，α//β，则m⊥β，又n⊥β，则m//n，故A正确；对于B，由α⊥γ，β⊥γ，得α//β或α与β相交，故B错误；对于C，由m//β，n//β，m，n⊂α，若m与n相交，则α//β，若m//n，则α可能平行β，也可能与β相交，故C错误；对于D，由平面与平面垂直的判定，可得若n⊂α，n⊥β，则α⊥β，故D正确．故选：AD．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.【答案】5√2【解析】【分析】本题主要考查棱柱的结构特征，属于基础题．根据题意，以OP为对角线，P到三个平面的垂线段分别为长、宽、高，建立长方体，利用长方体的提对角长公式加以计算，即可得到OP的长．【解答】解：根据题意，过点P分别作三个平面的垂线，垂足分别为B、D、F，∵三个平面两两垂直，∴分别以PB、PD、PF为长、宽、高，作长方体OABC−EDPF，如图所示．∵点P到三个面的距离分别为3、4、5，∴长方体的对角线长为√3 2+4 2+5 2=5√2，即OP的长为5√2．故答案为：5√211.【答案】√142【解析】解：由长方体的对角线等于其外接球的直径2R可得：(2R)2=32+22+ 12，解得：R=√14，2．故答案为：√142由长方体的对角线与其外接球的直径之间的关系，求出外接球的半径．本题考查长方体的对角线与其外接球的直径之间的关系，属于基础题．12.【答案】34π【解析】【分析】直接利用锥体的性质，四棱锥体和外接球的关系，球的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：锥体的性质，四棱锥体和外接球的关系，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【解答】解：底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=4，AB=3，如图所示：设外接球的半径为R，所以(2R)2=42+32+32=34，解得R2=344，所以S球=4⋅π⋅344=34π．故答案为：34π．13.【答案】6π【解析】解：设圆柱上底面圆的半径为r，则根据题意得r2+1=4，∴r2=3，∴该圆柱的体积为V=3π⋅2=6π．故答案为：6π．可设圆柱的上底面圆的半径为r，根据题意即可求出r2=3，再求出该圆柱的体积．本题考查了圆柱体积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】√1010【解析】【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．取B1C1中点E，连结A1E，BE，则A1E⊥B1C1，A1E⊥BB1，从而A1E⊥平面BCC1B1，进而∠A1BE是直线A1B于平面B1C1CB所成的角，由此能出直线A1B与侧面B1C1CB所成角的正弦值．【解答】解：取B1C1的中点E，连接A1E，BE，由已知得A1B1=A1C1，所以A1E⊥B1C1，又因为BB1⊥平面A1B1C1，A1E⊂平面A1B1C1，所以A1E⊥BB1，又BB1∩B1C1=B1，因为BB1⊂平面B1C1CB，B1C1⊂平面B1C1CB，所以A1E⊥平面B1C1CB，所以∠A1BE是直线A1B与平面B1C1CB所成的角，由已知B1C1=√2，A1E=12B1C1=√22，A1B=√5，所以sin∠A1BE=A1EA1B=√22√5=√1010，故答案为：√1010．15.【答案】90°【解析】【分析】本题主要考查异面直线所成角以及线面垂直的性质与判定，属于基础题．先分析出BD1在平面ADD1A1上的射影是AD1，再根据其为正方体得到AD1⊥A1D；由线面垂直的性质与判定得到A1D⊥平面AD1B，即可得出结论．【解答】解：因为BD1在平面ADD1A1上的射影是AD1，又因为其为正方体，所以有：AD1⊥A1D.由AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，得AB⊥A1D.由AD1∩AB=A，AD1、AB⊂平面AD1B，∴A1D⊥平面AD1B，又D1B⊂平面AD1B，得A1D⊥D1B，即：异面直线BD1与A1D所成的角等于90°，故答案为90°．16.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，又BC⊂面ABCD，∴PA⊥BC，又四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC，∵AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥面PAB，又AF⊂平面PAB，∴BC⊥AF，∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点，∴AF⊥PB，又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AF⊥EF;(2)解：连接BD，交AC于O，过O作OM⊥PC，连接BM，因为ABCD为正方形，所以BO⊥AC，由(1)知PA⊥平面ABCD，又PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，又平面PAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC，所以BO⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BO⊥PC，又BO∩OM=O，BO，OM⊂平面BOM，所以PC⊥平面BOM，又BM⊂平面BOM，所以PC⊥BM，所以∠BMO为二面角A−PC−B的平面角，设PA=1，则由已知可得AC=√2,PC=√3,BO=√22，在Rt△PAC中，可以求得OM=√66，在Rt△BOM中可以求得BM=√12+16=√63，所以sin∠BMO=OBBM =√22√63=√32，∴二面角A−PC−B的平面角的正弦值为√32．【解析】本题考查线面垂直的判定与性质及面面垂直的判定与性质，同时考查二面角的求解．(1)由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，从而PA⊥BC，进而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能证明AF⊥EF．(2)利用线面垂直及面面垂直的判定与性质，作出二面角的平面角，然后解三角形求解即可．17.【答案】证明：(1)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE//AB，AB//A1B1，∴DE//A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1//平面DEC1．解：(2)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB=BC．∴BE⊥AC，且BE⊥AA1，又AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面ACC1A1，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E.【解析】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)推导出DE//AB，AB//A1B1，从而DE//A1B1，由此能证明A1B1//平面DEC1．(2)推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E. 18.【答案】证明：(1)因为BC1⊥C1C，又平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且平面A1C1CA∩平面BCC1B1=C1C，所以BC1⊥平面ACC1A1．又因为A1C⊂平面A1C1CA，所以BC1⊥A1C.(2)取A1C1中点G，连FG，连GC，如图所示：在△A1B1C1中，因为F，G分别是A1B1，A1C1中点，B1C1．所以FG//B1C1，且FG=12在平行四边形BCC1B1中，因为E是BC的中点，B1C1．所以EC//B1C1，且EC=12所以EC//FG，且EC=FG．所以四边形FECG是平行四边形．所以FE//GC．又因为FE⊄平面A1C1CA，GC⊂平面A1C1CA，所以EF//平面A1C1CA．【解析】(1)推导出BC1⊥平面ACC1A1.由此能证明BC1⊥A1C.(2)取A1C1中点G，连接FG、GC，证明四边形FECG是平行四边形，由此能证明EF//平面A1C1CA．本题考查了线线垂直、线面平行的证明问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题．19.【答案】(1)证明：连AC1，BC1，因为ACC1A1为菱形，点M为A1C的中点，所以AC1∩A1C=M．又点M为AC1的中点，点N为AB中点，所以MN//BC1，而BC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，所以MN//平面BCC1；(2)解：∵侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC=60∘，∴△AA1C为等边三角形，AA1=A1C=AC=2．取AC的中点H，连A1H，则A1H⊥AC．又∵平面ACC1A1⊥平面ABC，∴A1H⊥平面ABC．又BC⊂平面ABC．∴A1H⊥BC．而CBB1C1为正方形，∴BC⊥CC1．又AA1//CC1，∴BC⊥AA1，又AA1∩A1H=A1，AA1、A1H⊂平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1，又△AA1C1的面积S=12×2×2×sin120∘=√3，∴V A1−ABC1=V B−A1AC1=13×√3×2=2√33．【解析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，考查三棱锥的体积公式，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．(1)连AC1，BC1，由题可得AC1∩A1C=M.根据点M为AC1的中点，点N为AB中点，即可得到MN//BC1，再根据线面平行的判定定理即可得证MN//平面BCC1；(2)根据侧面ACC1A1为菱形可知∠A1AC=60∘，即可得到△AA1C为等边三角形，AA1= A1C=AC=2.取AC的中点H，连A1H，则A1H⊥AC.再证明A1H⊥BC，BC⊥AA1，根据线面垂直的判定定理即可得BC⊥平面ACC1A1，求出△AA1C1的面积，根据V A1−ABC1=V B−A1AC1即可得到三棱锥A1−ABC1的体积．20.【答案】证明：(1)∵在棱长为2的正方体ACBD−A1C1B1D1中，AB//A1B1，A1B1⊂平面A1B1C，AB⊄平面A1B1C，∴AB//平面A1B1C.(2)在棱长为2的正方体ACBD−A1C1B1D1中，∵BC=AC，M是线段AB中点，∴CM⊥AB，∵AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，则CM⊥AA1，∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，且AB∩AA1，∴CM⊥平面ABB1A1，∵CM⊂平面MCC1，∴平面MCC1⊥平面ABB1A1．解：(3)∵AB//平面A1B1C，∴点M，点A到平面A1B1C的距离相等，∴三棱锥M−A1B1C的体积：V M−B1A1C =V B1−ACA1=13×2×2×12×2=43．【解析】(1)推导出AB//A1B1，由此能证明AB//平面A1B1C.(2)推导出CM⊥AB，CM⊥AA1，从而CM⊥平面ABB1A1，由此能证明平面MCC1⊥平面ABB1A1．(3)三棱锥M−A1B1C的体积V M−B1A1C =V B1−ACA1，由此能求出结果．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】证明：(1)因为M为棱AC的中点，且AB=BC，所以BM⊥AC，又因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC因为BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM又因为AC，A1A⊂平面ACC1A1且AC∩A1A=A，所以BM⊥平面ACC1A1因为BM⊂平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1(2)取BC的中点P，连接B1P和MP因为M、P为棱AC、BC的中点，所以MP//AB，且MP=12AB，因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以A1B1//AB，AB=AB因为N为棱A1B1的中点，BA；所以B1N//BA，且B1N=12所以B1N//PM，且B1N=PM；所以MNB1P是平行四边形，所以MN//PB1又因为MN⊄平面BCC，PB1⊂平面BCC1B1所以MN//平面BCC1B1注意：也可以取C1B1的中点，同理用线面平行的判定定理证得)(说明：如用面面平行的性质定理证的话，一定先证线面平行，得到面面平行，再用面面平行的性质定理证得)．【解析】(1)利用线线垂直BM⊥AC，AA1⊥BM可得线面垂直BM⊥平面ACC1A1，再有线面垂直得平面BMN⊥平面ACC1A1(2)利用证明MNB1P是平行四边形得证MN//平面BCC1B1本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的性质和判定定理．考查证明平行垂直的线的关系，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD所以AB⊥PA，又AB⊥AD，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，故AB⊥PD(2)证明：因为CD=2AB，E是CD的中点，所以AB=DE，又AB//CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以BE//AD，又AD⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，故BE//平面PAD，又△PCD中，E，F分别是CD和PC的中点，所以EF//PD，又PD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，故EF//平面PAD，又因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，故平面BEF//平面PAD．【解析】本题考查空间中直线与直线、平面与平面的位置关系，属于中档题．(1)首先证明AB⊥PA，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，即可得到结论．(2)分别证明BE//平面PAD，EF//平面PAD，即可得到结论．第21页，共21页。

两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案

两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案两条直线平行与垂直的判定一、基础知识1.两条直线平行的判定(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2;当倾斜角都等90°时,斜率都不存在.(2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合.2.两直线垂直的判定(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.(2)若l1⊥l2,则有k1•k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2, 34求实数a 的值.变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD. 题型三平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 易错探究例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l 1⊥l 2k 1•k 2=-1,本题中直线l 2的斜率存在,而l 1的斜率不一定存在,因此要分l 1的斜率存在与不存在两种情况解答. 正解：三、基础强化训练1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等;121122:l l ,k k 1.35k ,,53351,53a a k a a a a --==-⊥∴⋅---∴⋅=---=-错解又③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直;④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB与直线y=0垂直,则m的值为( )A.2B.1C.0D.-13.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形4.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( )A.45°B.135°C.-45°D.120°5.经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=________.6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.7.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD是平行四边形,求D点的坐标.8.如果下列三点:A(a,2)､B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,试确定常数a的值.9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a 的值等于____.10. l 1过点A(m,1),B(-3,4),l 2过点C(0,2),D(1,1),且l 1∥l 2,则m=_______.题组练习一、选择题1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是 A 锐角不为450的直角三角形 B 顶角不为900的等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形7、已知△ABC 中，A （2,4），B （－6，－4），C （5，－8），则∠C 等于 A 2740arctanB -2740arctanC +π2740arctan D -π2740arctan8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)24(παπ<<的角是A 4πα-B απ-4C 43πα-D απ-45 二、填空题1、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为______＿＿；2、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿；3、直线过点A （1，)33且与直线x-y 3=0成600的角，则直线的方程为＿＿三、解答题1、直线过P （1,2）且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2，求这条直线的方程。

七年级下册相交线与垂直线练习题及答案

七年级下册相交线与垂直线练习题及答案第一部分相交线与垂直线的基础知识
1. 请为以下图形标出所有的垂线和水平线。

2. 以下哪条直线是垂直线？
A. 直线AB
B. 直线CD
C. 直线EF
D. 直线GH
3. 若线段AB ⊥线段BC，且角ABC = 78°，则角ABD 等于多少度？
第二部分题目练
1. 见以下图形，若线段AB ⊥线段CD，EF 与 GH 垂直，且角AED = 58°，则角FHB 等于多少度？
2. 见以下图形，线段AB ⊥线段CD，EF 垂直 BC 于点G，且角AED = 46°，则角ABF 等于多少度？
3. 见以下图形，若线段AB ⊥线段CD，角ABC = 50°，角EFG = 68°，则角EDF 等于多少度？
第三部分答案
第一部分
1. 垂线：AD, BC, FE 水平线：BE, DG
2. 直线CD 是垂直线
3. 角ABD = 12°
第二部分
1. 角FHB = 32°
2. 角ABF = 34°
3. 角EDF = 62°
希望以上内容能帮助您顺利完成七年级下册相交线与垂直线部分的练习题。

小学数学青岛版(五四)三年级下册第七单元交通中的线——平行与相交垂直-章节测试习题

章节测试题1.【答题】过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（）条．A.1B.2C.无数【答案】A【分析】过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此即可解答．【解答】因为过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直，所以过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条.选A.2.【答题】下列说法，错误的有（）．（1）两条直线相交，这两条直线互相垂直；（2）两条直线的交点，叫做这两条直线的垂足；（3）两条直线都与另一条直线相交，这两条直线一定平行．A.1个B.2个C.3个【答案】C【分析】根据题意，对各说法依次进行分析，进而得出结论．【解答】（1）说法错误，应为：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；（2）说法错误，应为：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，交点叫做垂足；（3）两条直线都与另一条直线相交，这两条直线不一定平行，说法错误.选C.3.【答题】直角的两条边互相（）.A.垂直B.平行C.相交D.无法判断【答案】A【分析】本题考查的是垂直的定义.【解答】如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线互相垂直.由此可知，直角的两条边互相垂直.选A.4.【答题】关于下图，下面的说法，正确的是（）.A.a与b互相垂直B.a与c互相垂直C.b与c互相垂直D.a与b互相平行【答案】C【分析】本题考查的是认识平行和垂直.【解答】图中，a与b既不平行也不垂直；a与c既不平行也不垂直；b与c相互垂直.选C.5.【答题】两条直线相交成（），就说这两条直线互相垂直.A.直角B.锐角C.钝角【答案】A【分析】本题考查的是垂直的定义.【解答】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直.选A.6.【答题】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相______，其中一条直线叫做另一条直线的______．这两条直线的交点叫做______．【答案】垂直,垂线,垂足【分析】本题考查的是垂直的定义.【解答】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．这两条直线的交点叫做垂足．故本题的答案是：垂直、垂线、垂足．7.【答题】当两条直线相交成直角时，这两条直线互相______．（填“平行”或“垂直”）【答案】垂直【分析】本题考查的是垂直的定义．【解答】根据垂直的定义可得：当两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.故本题的答案是：垂直．8.【答题】图中有______组线互相垂直．【答案】4【分析】本题考查的是垂直的定义．【解答】根据垂直的定义可以得出：DE⊥AC，BF⊥AC，DG⊥AB，AB⊥BC．所以共有4组线互相垂直.故本题的答案是4.9.【答题】两条直线永不相交，这两条直线互相垂直． ( )【答案】×【分析】根据垂直的定义：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；据此解答即可．【解答】在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直．所以原题的说法错误．10.【答题】在同一平面内，两条直线要么相交，要么垂直．( )【答案】×【分析】本题考查的是同一平面内两条直线的位置关系．【解答】同一平面内，两条直线要么相交，要么平行．故本题错误.11.【答题】平行线之间的垂直线段只有一条. ( )【答案】×【分析】本题考查的是平行线间的垂线段.【解答】直线上有无数个点，过两条平行线中的一条直线上的任意一点都可以向另一条直线画一条垂直线段，所以平行线之间的垂直线段有无数条.故本题错误.12.【答题】画已知直线的垂线，只能画一条． ( )【答案】×【分析】本题考查的是画已知直线的垂线．【解答】与一条直线垂直的线有无数条，所以可以画无数条已知直线的垂线.故本题错误．13.【答题】两条直线相交的交点叫做垂足. ( )【答案】×【分析】本题考查的是认识垂直.【解答】如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线, 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.故本题错误.14.【题文】作图题．（1）过点A画出已知直线的垂线．（2）过点A画出已知直线的平行线．【答案】见解答.【分析】本题考查的是过直线外一点画已知直线的垂线和平行线.【解答】（1）由题意知，从点A向直线作垂线，如下图所示：（2）先过点A作原直线的垂线a，然后作直线l垂直于直线a，则l就是已知直线的平行线，如下图所示：15.【题文】要画出直线AB的垂线，这样画对吗？为什么？【答案】这样画不对.应用三角尺的一条直角边与已知直线AB重合，沿三角尺的另一条直角边向已知直线AB画直线，即为直线AB的垂线.【分析】本题考查的是画垂线．【解答】这样画不对.应用三角尺的一条直角边的已知直线AB重合，沿三角尺的另一条直角边向已知直线AB画直线，即为直线AB的垂线．16.【题文】先过O点画射线AB的平行线，再过O点画射线AC的垂线．【答案】见解答.【分析】（1）把三角尺的一条直角边与已知直线AB重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺的原来和AB重合的直角边和O点重合，过O点沿三角尺的直角边画直线即可．（2）把三角尺的一条直角边与已知直线AC重合，沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和O点重合，过O点沿三角尺的直角边向已知直线画直线即可．【解答】画图如下：17.【题文】连接AB两点，再过点C作AB的垂线.【答案】见解答.【分析】（1）利用直尺连接A、B两点，并延长成一条直线；（2）把三角尺的一条直角边与直线AB重合，沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点C重合，过点C沿三角尺的直角边，向直线AB画直线即可．【解答】画图如下：18.【答题】过直线外一点，在同一个平面内只能画______条直线与已知直线垂直．（填数字）【答案】1【分析】利用定理“在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”解答即可．【解答】在一个平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直.故本题的答案是1.19.【答题】下面的图形由5条线组成，其中2和______互相平行，2和______互相垂直.【答案】1,3【分析】本题考查的是认识平行和垂直.【解答】同一平面内的两条直线，如果不相交，那么互相平行；一条直线与另一条直线相交成90°，这两条直线互相垂直.1和2没有相交，所以互相平行；2和3相交成直角，所以2和3互相垂直.故本题的答案是1、3.20.【答题】下图中，线段CD的垂线是（）.A.1B.2【答案】A【分析】本题考查的是认识垂线.【解答】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.由图可知，线段CD的垂线是1.选A.。

苏教版四年级数学上册8.垂线与平行线单元测试题 (含答案)

四年级数学上册8.垂线与平行线单元测试题一、单选题1.在同一平面内不重合的两条直线（）。

A. 相交B. 平行C. 不相交就平行D. 没有任何关系2.两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是（）。

A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角3.在两条平行线之间作了4条垂线，这4条垂线的长度（）。

A. 都相等B. 不相等C. 有的相等有的不相等4.图中有（）组平行线。

A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题5.同一平面内不相交的两条直线叫作________．6.图中有________组平行线．7.下面的图形由5条直线组成，________和________互相平行，________和________互相垂直．8.在下面的字母中找出互相平行或互相垂直的线段．(按题中字母顺序填写)E F H K L N Z________中有互相平行的线段；________中有互相垂直的线段．三、判断题9.判断对错（1）两条线段相等，它们一定平行．（2）从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短．10.判断对错.长方形相邻的两条边互相垂直．11.不相交的两条直线是平行线．12.火眼金睛辨对错．在同一平面内的两条直线不平行时，则一定互相垂直．四、解答题13.在下面的图形中，把每组互相平行的线段描上不同的颜色．14.画两条平行线，它们之间的距离为4cm5mm．五、作图题15.如图，从A点过马路，怎样走线路最短？请画出来．为什么？参考答案一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】在同一平面内不重合的两条直线不相交就平行。

【分析】根据垂直与平行的特征及性质，即得在同一平面内不重合的两条直线不相交就平行。

2.【答案】B【解析】【解答】两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是直角。

【分析】根据垂直与平行的特征及性质，即得两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是直角。

线面垂直判定定理测试题(含答案)

线面垂直判定定理测试题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．3.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E-BCF的体积．4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=√3．（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D的余弦值．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．7.如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：由PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB ∩BC =B ，可得PA ⊥平面ABC ，由BD ⊂平面ABC ，可得PA ⊥BD ；（2）证明：由AB =BC ，D 为线段AC 的中点，可得BD ⊥AC ，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ，又平面PAC ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）解:PA //平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE =DE ，可得PA //DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE =12PA =1，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2=1，则三棱锥E -BCD 的体积为13DE •S △BDC =13×1×1=13．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．2.【答案】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD ,又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF ;（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，又∵AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点,在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）证明：∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2 ∴AC=BC=√12+12=√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．（3）解：三棱锥E-BCF的体积：V E-BCF=V C-BEF=13×S△BEF×AD=1 3×12×BE×EF×AD=1 3×12×1×2×1=13．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E-BCF的体积V E-BCF=V C-BEF，由此能求出结果．4.【答案】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．（2）解：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，EC=EA，∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，∴EC=EA=√2=CD，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=√2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD =BC2+BE2−CE22BC⋅BE，即4+4−22×2×2=4+BE2−22×2×BE，解得BE=1或BE=2，∵BE＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．（2）连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.【答案】解：（I）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD（2分）AD⊥SD∴CD⊥平面ADS（II）矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．∴Rt△SDC中，SC=√(√3)2+22=√7∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，∴SC⊥BCtan∠SBC=SCCB =√71=√7cos∠SBC=√24从而SB与AD的成的角的余弦为√24．（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB∴SD⊥面ABCD．∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB又过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角在矩形ABCD中，对角线∵√12+22=√5BD=√5∴在△ABD中，AE=AB⋅CDBD =1⋅2√5=2√55由（2）知在Rt△SBC，SB=√(√7)2+12=√8．而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，∴AF=√22AB=√2∴sin∠AFE=AEAF =2√55√2=√105所以所求的二面角的余弦为√155【解析】（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；（2）要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角，解三角形可求AD与SB所成角的余弦值；（3）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，说明∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．6.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC．所以MN∥AB，又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．【解析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，又因为直角梯形ABCD中，AC=2√2，CD=2√2，所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，所以FG∥平面ACE，因为BC∥AD，所以BOOD =GEED，则OE∥BG，又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，因为BF⊂平面BFG，所以BF∥平面ACE．解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，在△DFG中，HE∥FG，则GEED =FHHD=12，在底面ABCD中，BC∥AD，所以BOOD =BCAD=12，所以FHHD =BOOD=12，故BF∥OH，又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，所以BF∥平面ACE．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，CD=2√2，PD=√PA2+AD2=2√5，所以sin∠DPC=CDPD =2√22√5=√105，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为√105．【解析】本题考查线面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．第11页，共11页。

直线与平面的垂直的判定性质单元测试题及答案

《直线与平面的垂直的判定、性质》单元测试卷一、选择题1.如果直线l 和平面α内的无数条直线都垂直,那么( )A.α⊥lB.l 与α相交C.α⊄lD.l 与α的关系不确定2.如图，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是（）。

A.4 B.3 C.2 D.13.两条异面直线在同一平面内的射影是( ).A.两条平行直线B.两条相交直线C.一个点和一条直线D.以上都有可能4.已知Rt △ABC 中，∠C=90°,点P 在平面ABC 外，且PA=PB=PC, PO ⊥平面ABC 于点O ，则O 是（）A.AC 边的中点B.BC 边的中点C.AB 边的中点D.以上都有可能5.a,b 表示两条直线，α表示平面，给出以下命题，其中正确的命题是（） ①a ⊥α,b ∥α⇒a ⊥b ②a ⊥α, a ⊥b ⇒ b ∥α③a ∥α, a ⊥b ⇒ b ⊥α ④a ⊥α,b ∥a ⇒b ⊥αA.①②B.②③C.③④D.①④6.已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，且P 到这个四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是（）。

A.圆内接四边形B.矩形C.圆外切四边形D.平行四边形7.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（）。

A.ACB.BDC.A 1D 1D.AA 18.下列命题中真命题是（）。

A.和平面的斜线垂直的直线也和这条斜线的射影垂直B.和斜线的射影垂直的直线也和斜线垂直C.如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行D.和斜线的射影不垂直的直线也和斜线不垂直9.从平面α外一点P 作与α相交的直线，使得P 与交点的距离为1，则满足条件的直线条数一定不可能是（）.A.0B.1C.2D.无数个10.已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，并且PA=6,AB=3,AD=4，则P 到BD 的距离是（）. A.5296 B.296 C.53 D.132 11. Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在α上的射影为D （不在AB 上），则△ABD 是（）。

(完整)两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案,推荐文档

两条直线平行与垂直的判定一、基础知识1.两条直线平行的判定(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2;当倾斜角都等90°时,斜率都不存在.(2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合.2.两直线垂直的判定(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.(2)若l1⊥l2,则有k1•k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值. 3 4变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD. 题型三平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 易错探究例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l 1⊥l 2k 1•k 2=-1,本题中直线l 2的斜率存在,而l 1的斜率不一定存在,因此要分l 1的斜率存在与不存在两种情况解答. 正解：三、基础强化训练1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB 与直线y=0垂直,则m 的值为( ) A.2B.1C.0D.-1121122:l l ,k k 1.35k ,,53351,53a a k a a a a --==-⊥∴⋅---∴⋅=---=-Q 错解又3.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形4.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( )A.45°B.135°C.-45°D.120°5.经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=________.6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.7.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD是平行四边形,求D点的坐标.8.如果下列三点:A(a,2)､B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,试确定常数a的值.9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于____.10. l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=_______.题组练习一、选择题1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是A 锐角不为450的直角三角形B 顶角不为900的等腰三角形C 等腰直角三角形D 等边三角形7、已知△ABC 中，A （2,4），B （－6，－4），C （5，－8），则∠C 等于 A 2740arctanB -2740arctanC +π2740arctan D -π2740arctan8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)24(παπ<<的角是A 4πα-B απ-4C 43πα-D απ-45二、填空题1、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为______＿＿；2、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿；3、直线过点A （1，)33且与直线x-y 3=0成600的角，则直线的方程为＿＿三、解答题1、直线过P （1,2）且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2，求这条直线的方程。

高中数学人教a版(2019)必修第二册《空间直线平面的垂直》测试卷

空间直线、平面的垂直同步题一．选择题（共15小题）1．三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n⊥β，α∥βD．m⊂α，n∥β，α⊥β3．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为AB的中点，沿着DE将△ADE翻折到△PDE，使平面PDE ⊥平面EBCD，则PC的长为（）A．2B．2C．4D．65．在如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DD1B．A1E⊥DB C．A1E⊥D1C1D．A1E⊥DB17．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．9．三棱锥V﹣ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC＝45°，VA＝VB，AC＝AB．则（）A．AC⊥BC B．VB⊥AC C．VA⊥BC D．VC⊥AB10．如图，P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面P AC B．AE⊥EF C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC11．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（）A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCDC．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC12．在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，F，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF13．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD14．如图1，已知P ABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△P AD沿AD折起，使平面P AD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面P AB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN15．四面体ABCD中，AB＝CD＝3，其余棱长均为4，E、F分别为AB、CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF二．填空题（共10小题）16．平行四边形ABCD中，AB＞AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'BD，则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是（填所有符合条件的序号）．①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线A'C．17．如图，平面ABC⊥平面α，平面ABC∩平面α＝AB，∠ACB＝，AC＝1，AB＝2，D为线段AB的中点．现将△ACD绕CD旋转至△A′CD，设直线A′C∩平面α＝P，则在旋转过程中，下列说法正确的是（1）三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值；（2）点P的轨迹为椭圆；（3）直线CB与平面CDP所成角的最大值为30°；（4）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为α，则∠PDB≥α．18．在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝．19．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．20．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．21．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α：③m⊂α；④α∥β；⑤α⊥β．当满足条件时，m⊥β．22．已知四边长均为2的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD＝，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为．23．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，PB＝PC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．24．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，则球O的表面积为．25．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面P AD是等边三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，E为棱PC上一点，若平面EBD⊥平面ABCD，则＝．三．解答题（共5小题）26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD ＝，AD＝2，AB＝BC＝1．（1）当四棱锥P﹣ABCD的体积为1时，求异面直线AC与PD所成角的大小；（2）求证：CD⊥平面P AC．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，并且BC＝2AD＝2AB，点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PBD；（Ⅱ）若PM＝AD，求直线P A与CD所成角的余弦值．28．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．29．如图，在矩形ABCD中，将△ACD沿对角线AC折起，使点D到达点E的位置，且AE⊥BE．（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；（2）若BC＝3，三棱锥B﹣AEC的体积为，求点E到平面ABC的距离．30．如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E，F分别为AD，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面BCE；（Ⅱ）求四面体CDEF的体积．人教A版（2019）必修第二册《8.6 空间直线、平面的垂直》2022年最热同步卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【分析】三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，根据线面垂直、线线垂直的转化，可得结论．【解答】解：由三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，由P A⊥PB，P A⊥PC，PB、PC⊂平面PBC，PB∩PC＝P，∴P A⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC．∴P A⊥BC．设点P在底面ABC的射影是O，则PO⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC．又P A、PO为平面P AO内两条相交直线，∴BC⊥平面P AO，AO在平面P AO内，则BC⊥OA；同理可证AB⊥OC，AC⊥OB，故O为△ABC的垂心．故选：D．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直、线线垂直的判定，以及棱锥的结构特征，属于中档题．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n⊥β，α∥βD．m⊂α，n∥β，α⊥β【分析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可．【解答】解：对于A，m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行，无法得出m⊥n，因此错误；对于B，m⊥α，n⊥β，α∥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此错误；对于C，m⊂α，n⊥β，α∥β，可得n⊥α，由线面垂直的性质定理可知，可得m⊥n，因此正确；对于D，m⊂α，n∥β，α⊥β，可得m与n相交或为异面直线，无法得出m⊥n，因此错误；故选：C．【点评】本题考查了空间中线面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理、性质定理是解题关键，考查了学生的空间立体感和论证推理能力，属于基础题．3．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，因为E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．③直线EF∥平面PBC；由E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．④因为△P AB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面P AB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面P AD，不正确．故选：C．【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．4．已知在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为AB的中点，沿着DE将△ADE翻折到△PDE，使平面PDE ⊥平面EBCD，则PC的长为（）A．2B．2C．4D．6【分析】取DE的中点M，连接PM，易知PM⊥DE，由面面垂直的性质可得PM⊥平面BCDE，可得PM ⊥MC，求得PM的长和CM的长，由勾股定理可得PC的长．【解答】解：（1）如图所示，取DE的中点M，连接PM，MC，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即有PM⊥MC，在等腰Rt△PDE中，PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝DE＝，在三角形CDM中，可得CM2＝DM2+CD2﹣2CD•MD•cos∠CDM＝（）2+42﹣2××4×＝10，则PC＝＝＝2，故选：A．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系，熟练运用空间中线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5．在如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】对四个图，分别运用异面直线所成角的定义和线面垂直的性质定理和判定定理，即可得到结论．【解答】解：对于①，由AD∥CE，且AB与CE成45°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，由于AB⊥DE，AB⊥CE，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE；对于③，AB与CE成60°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，连接BF，由正方形的性质可得DE⊥BF，而AF⊥平面EFDB，可得AF⊥DE，则DE⊥平面ABF，即有DE⊥AB，同理可得AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE．综上，②④满足题意．故选：B．【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，主要是线面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DD1B．A1E⊥DB C．A1E⊥D1C1D．A1E⊥DB1【分析】连结AE，BD，则＝＝，△ABD∽△DAE，从而∠DAE＝∠ABD，进而AE⊥BD，BD ⊥平面A1AE，由此得到A1E⊥DB．【解答】解：连结AE，BD，因为AB＝，所以＝＝，所以△ABD∽△DAE，所以∠DAE＝∠ABD，所以∠EAB+∠ABD＝90°，即AE⊥BD，所以BD⊥平面A1AE，所以A1E⊥DB．故选：B．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA【分析】在A中，推导出AC⊥SD，AC⊥BD，从而AC⊥平面SBD，由此得到AC⊥SB；在B中，推导出AD⊥CD，AD⊥SD，从而AD⊥平面SDC，由此得到AD⊥SC；在C中，推导出AC⊥平面SBD，从而平面SAC⊥平面SBD；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法摔倒导出BD与SA不垂直，【解答】解：由四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，知：在A中，∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD，∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；在B中，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，∴AD⊥CD，AD⊥SD，∵SD∩CD＝D，∴AD⊥平面SDC，∵SC⊂平面SCD，∴AD⊥SC，故B正确；在C中，∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD，∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∵AC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面SBD，故C正确；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝a，DS＝b，则D（0，0，0），B（a，a，0），A（a，0，0），S（0，0，b），＝（a，a，0），＝（a，0，﹣b），∵＝a2≠0，∴BD与SA不垂直，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱C1D1的最大值，代入三角形面积公式求解．【解答】解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，当P位于BB1的中点P1时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，BP 1＝B1P1＝1，，求得，OP 1＝，．∴，得OD1⊥OP1．又OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面OP1C，得到P的轨迹在线段P1C上．由C1P1＝CP1＝，可知∠C1CP1为锐角，而CC1＝2，知P到棱C1D1的最大值为．则△D1C1P面积的最大值为．故选：C．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．三棱锥V﹣ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC＝45°，VA＝VB，AC＝AB．则（）A．AC⊥BC B．VB⊥AC C．VA⊥BC D．VC⊥AB【分析】由题易知，△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠ABC＝45°，即选项A错误；过点V作VO⊥BC于O，连接OA，由面面垂直的性质定理可证得VO⊥平面ABC，即V在底面ABC上的投影为点O，从而得VO⊥BC；由VA＝VB和VO⊥平面ABC可推出OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，即OA⊥BC，结合线面垂直的判定定理得BC⊥平面VOA，从而得VA⊥BC，即选项C正确；由三垂线定理可知选项B和D均错误．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AC＝AB，∴△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AC与BC不垂直，即选项A错误；过点V作VO⊥BC于O，连接OA，∵侧面VBC⊥底面ABC，面VBC∩面ABC＝BC，∴VO⊥面ABC，即V在底面ABC上的投影为点O，∵BC⊂面ABC，∴VO⊥BC．∵VA＝VB，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴OA⊥BC，∵VO、OA⊂面VOA，VO∩OA＝O，∴BC⊥面VOA，∵VA⊂面VOA，∴VA⊥BC，即选项C正确；由三垂线定理知，若VB⊥AC，VC⊥AB，则BC⊥AC，BC⊥AB，这与∠ACB＝∠ABC＝45°相矛盾，即选项B和D均错误．故选：C．【点评】本题考查空间中线面的位置关系，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及理解三垂线定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．10．如图，P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面P AC B．AE⊥EFC．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC【分析】在A中，推导出BC⊥AC，P A⊥BC，从而BC⊥平面P AC，可得正确；在B中，由BC⊥平面P AC，可证BC⊥AE，又AE⊥PC，可证AE⊥平面PBC，即可证明AE⊥EF，可得正确；在C中，由AC⊥BC，得若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，与AC⊥P A矛盾，可得错误；在D中，由AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，即可证明平面AEF⊥平面PBC，可得正确．【解答】解：在A中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，∵P A⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，故A正确；在B中，∵BC⊥平面P AC，AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，故B正确；在C中∴若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥P A矛盾，故AC与PB不垂直，故C错误；在D中，∵AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（）A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCDC．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC【分析】运用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，结合条件和三角形的性质，可得结论．【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，且BC∩BD＝B，可得AD⊥平面BCD，由AD⊂平面ABD，可得平面ABD⊥平面BCD，由AD⊂平面ACD，可得平面ACD⊥平面BCD，故A正确；若平面ABC⊥平面BCD，又平面ACD⊥平面BCD，AC＝平面ABC∩平面ACD，可得AC⊥平面BCD，AC⊥CD，与AD⊥CD矛盾，故B错误；若平面ACD⊥平面ABD，又平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，CD⊥BD，不一定成立，故C 错误；若平面ABD⊥平面ABC，又平面ABD⊥平面BCD，可得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，不一定成立，故D错误．故选：A．【点评】本题考查空间面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于中档题．12．在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，F，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF【分析】对于A，D两项：当E，F分别是AB，CD的中点时，易证EF⊥CD，且平面CDE⊥平面ABF．对于B：可利用E在AB上移动时，∠CDE的范围判断．对于C：可将D看成三棱锥的顶点，则过D做底面的垂线只有一条，即高线，从而否定C．【解答】解：（1）对于A，D选项，取E，F分别为AB，CD的中点如图：因为A﹣BCD是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．所以CE＝DE，所以EF⊥CD，同理可证EF⊥AB．故A错误；又因为AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，故AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABF，所以平面ABF⊥平面CED．故D正确．（2）对于B选项，将C看成正三棱锥的顶点，易知当E在AB上移动时，∠CDE的最小值为直线CD 与平面ABD所成的角，即（1）中的∠CDE，显然为锐角，最大角为∠CDB＝∠CDA＝60°，故当E在AB上移动时，不存在E，使得DE⊥CD．故B错误．（3）对于C选项，将D看成顶点，则由D向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC的中心，不落在AB上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C错误．故选：D．【点评】本题考查了空间线线垂直、线面垂直以及面面垂直之间的相互转化．同时也考查了正四面体的性质，以及学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．属于中档题．13．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD【分析】画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出结果即可．【解答】解：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选：B．【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的结构特征的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．14．如图1，已知P ABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△P AD沿AD折起，使平面P AD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面P AB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN【分析】由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面PCD ⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；再证明AB⊥平面P AD，得到△P AB为直角三角形，判定D 正确；由错误的选项存在可知A错误．【解答】解：如图，图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，又∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；∵AB⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面P AD，则AB⊥P A，即△P AB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．因此错误的只能是A．故选：A．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．15．四面体ABCD中，AB＝CD＝3，其余棱长均为4，E、F分别为AB、CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF【分析】若E，F分别为AB，CD的中点，由三角形的全等和等腰三角形的性质可判断A；由线面垂直的判定和性质，可判断B；由线面垂直的性质和勾股定理的逆定理可判断C；由线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，可判断D．【解答】解：若E，F分别为AB，CD的中点，由△ABC和△ABD全等，可得CE＝DE，则EF⊥CD，故A错误；由等腰三角形的性质可得AB⊥DE，AB⊥CE，则AB⊥平面CDE，可得CD⊥AB，又若CD⊥DE，则CD⊥平面ABD，即CD⊥BD，不成立，故B错误；若DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，可得E为AB的中点，且DE⊥CE，而△CDE中，CD＝3，CE＝DE＝＝，不满足CE2+DE2＝CD2，故C错误；当E为AB的中点时，由等腰三角形的性质可得AB⊥DE，AB⊥CE，则AB⊥平面CDE，而AB⊂平面ABF，可得平面CDE⊥平面ABF，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是垂直的判定和性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．二．填空题（共10小题）16．平行四边形ABCD中，AB＞AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'BD，则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是①②（填所有符合条件的序号）．①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线A'C．【分析】若BC⊥BD，则可能垂直，可判断①；若∠ABD＞45°，∠A′BA为超过90°，故存在∠A′BA＝90°，可判断②，∠A′BD，∠BA′C始终为锐角可判断③④．【解答】解：对于①，若BC⊥BD，当平面ABD⊥平面BCD时，BC⊥平面A′BD，则此时BC⊥A'B，故①成立；对于②若∠ABD＞45°，则在翻折的过程中，∠A′BA为超过90°，故存在∠A′BA＝90°，∵AB∥CD，∴CD⊥A'B，故②成立；对于③，在△ABD中，∵AB＞AD，∴∠ABD为锐角，即∠A′BD为锐角，故直线BD不可能和直线A'B垂直，故③不成立；对于④，∵AB＞AD，∴△A′BC中，A′B＞BC，∴∠BA′C始终为锐角，故直线A′C不可能和直线A'B垂直，故④不成立．故答案为：①②．【点评】本题考查了线线垂直的判断，解题的关键是找到特殊情况，以及根据∠A′BD，∠BA′C始终为锐角进行判断，属于中档题．17．如图，平面ABC⊥平面α，平面ABC∩平面α＝AB，∠ACB＝，AC＝1，AB＝2，D为线段AB的中点．现将△ACD绕CD旋转至△A′CD，设直线A′C∩平面α＝P，则在旋转过程中，下列说法正确的是（1）（2）（3）（1）三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值；（2）点P的轨迹为椭圆；（3）直线CB与平面CDP所成角的最大值为30°；（4）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为α，则∠PDB≥α．【分析】当△A′DC所在平面与平面ABC垂直时，A′到平面BCD的距离最大，故A正确；由椭圆定义判断（2）正确；由线面角的定义及∠BCD＝30°判断（3）正确；由角在平面上的射影与已知角的大小关系判断（4）错误．【解答】解：由题意，△BDC的面积为定值，△ADC是边长为1的正三角形，在旋转过程中，△A′DC形状不变，当△A′DC所在平面与平面ABC垂直时，三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值，故（1）正确；在旋转过程中，射线CA′可看作是以CD为旋转轴的圆锥的母线，平面α是所得圆锥的斜截面，则P点的轨迹为椭圆，故（2）正确；CB是平面CPD的一条斜线，当CB在平面CPD上的射影与CD重合时，直线CB与平面CDP所成角的最大值为∠BCD＝30°，故（3）正确；当△ACD旋转时，首先是∠PDB＞α，当旋转到满足∠CDP为钝角时，一定有∠PDB＜α，故（4）错误．∴正确的结论是（1）（2）（3）．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18．在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝．【分析】取SA的中点E，连接PE，QE．由已知证明PE⊥AR，结合已知AR⊥PQ，可得AR⊥平面PEQ，得到AR⊥EQ，进一步得到AR⊥SD，在直角三角形SAD中，由等面积法求解AR．【解答】解：取SA的中点E，连接PE，QE．∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR．又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ．∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在直角三角形ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得．由等面积法可得．故答案为：．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算能力，是中档题．19．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，从而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，解得当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC的值【解答】解：显然BC⊥平面P AB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，所以，当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，不等式的解法及应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题20．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．【分析】①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，利用•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝0，即可得出λ．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．BM∥平面AB1N，可得BM∥EF．根据E点为A1B的中点，可得F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，∴•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝cos60°+λ﹣cos30°﹣λcos60°＝﹣+λ＝0．∴λ＝．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．∵BM∥平面AB1N，∴BM∥EF．∵E点为A1B的中点，∴F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．∵AA1∥DD1，A1F＝FM．∴AA1＝MP＝2D1P．∴＝＝2，∴＝．则λ＝．故答案为：﹣1，．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α：③m⊂α；④α∥β；⑤α⊥β．当满足条件②④时，m⊥β．【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项可得m⊥β时，应满足的条件．【解答】解：由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出m⊥β．即②④是m⊥β的充分条件，故当m⊥β时，应满足的条件是②④，故答案是：②④．【点评】本题主要考查直线和平面之间的位置关系，直线和平面垂直的判定方法，属于中档题．22．已知四边长均为2的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD＝，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为．【分析】根据题意画出图形，结合图形得出△ABD与△BCD均为等边三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，再计算外接球的体积．【解答】解：如图所示，设E是△ABD的外心，F是△BCD的外心，过E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线OE、OF，相交于O；由空间四边形ABCD的边长为2，∠BAD＝，所以△ABD与△BCD均为等边三角形；又平面ABD⊥平面CBD，所以O为四面体ABCD外接球的球心；又AE＝＝2，OE＝1，所以外接球的半径为R＝＝；所以外接球的体积为V＝＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了多面体外接球体积的计算问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．23．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，PB＝PC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为80π．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为O1，连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH．推导出AH⊥BC，PH⊥平面ABC，设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，外接球半径R满足，由此能求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为O1连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH．由题意可得AH⊥BC，且，．因为平面PBC⊥平面ABC，且PB＝PC，所以PH⊥平面ABC，且．设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，则外接球的半径R满足，即，解得OO1＝2，从而R2＝20，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝80π．故答案为：80π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，则球O的表面积为π．【分析】通过平面垂直，结合空间几何体的位置关系，判断外接球的球心求值，求出外接球的半径即可推出结果．【解答】解：由题意可知，几何体的图形，如图：△P AD为等边三角形，F为AD的中点，底面ABCD是等腰梯形，侧面P AD是正三角形与底面ABCD垂直，所以四棱锥的外接球的球心是O，在底面ABCD的外心E的垂直直线与侧面P AD的外心G的垂直直线的交点，因为AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，所以E是底面ABCD的外心，半径为2，OE＝GF，G是正三角形的外心，OE＝，EA＝2，所以外接球的半径为R＝＝，则球O的表面积为：4π×＝．故答案为：．。

北师大版七年级数学下册线段垂直平分线的性质测试题

1．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于( )A．60° B．50° C．40° D．30°2．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的垂直平分线，BD为∠ADE的角平分线，若∠A＝58°，则∠ABD的度数为何？( )A．58 B．59 C．61 D．623．如图，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC于E，交AB于D，则图中60°的角共有( )A．6个 B．5个 C．4个 D．3个4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC＝5cm，则AB＋BD＋DC＝cm；△ABC的周长是cm.5. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4.分别以点B和点C为圆心，以大于BC一半的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，直线MN交AB于点D，连接CD，则△ADC的周长为( )A．8 B．9 C．10 D．116. 线段是轴对称图形，它的一条对称轴是，线段本身所在的直线也是它的一条对称轴．7．线段垂直平分线的定义：一条线段，并且这条线段的直线，叫做该线段的垂直平分线(简称中垂线)．8．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的相等．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( ) A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC10．如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为()A．24° B．30° C．32° D．36°11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAD＝4∶1，则∠B ＝.12．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是.13. 如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请作出它的对称轴．14. 如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A、B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？15. 如图，M村、N村坐落在笔直的公路上，一条小河l在M村，N村同侧沿直线流过，现要在小河边修一座灌溉水坝P，要求水坝到M村、N村的距离相等，你认为水坝P应该修在什么位置，请在图中将P点画出来．16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.试说明：AB＝BC＋AD.17. 如图，△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC 于点E，BC＝10cm.求：(1)△ADE的周长；(2)∠DAE的度数．参考答案：1—3 DDB4. 12 175. C6. 线段的垂直平分7. 垂直平分8. 两端点的距离9. C10. C11. 40°12. 313. 解：连结BB′，作BB′的垂直平分线即可．14. 解：建在AB的垂直平分线与公路的交点P处．15. 解：作线段MN的垂直平分线与l的交点即为P点．16. 解：∵E是CD中点，∴易证△AED≌△FEC，∴AE＝EF，AD＝CF，∵BE⊥AE，∴BE垂直平分AF，∴AB＝BC＋CF＝BC＋AD.17. 解：(1)∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴AD＝BD，AE＝EC，所以△ADE的周长等于10cm；(2)∵AD＝BD，AE＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∴∠ADE＝2∠B，∠AED＝2∠C，而∠B ＋∠C＝70°，∴∠ADE＋∠AED＝140°，∴∠DAE＝40°.掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。

【单元AB卷】四年级上册数学分层训练B卷-第八单元垂直与平行线(单元测试) (苏教版,含答案)

四年级上册数学分层训练B卷-第八单元垂直与平行线（满分：100分，完成时间：60分钟）一、选择题（满分16分）1．下图中，这个角的度数是（）°。

A．90 B．60 C．120 D．302．如果把一张长方形纸对折两次后展开，两条折痕（）。

A．互相平行B．互相垂直C．可能互相平行，可能互相垂直3．王红在用量角器量角时，错误的把外圈刻度读成了内圈刻度，读的是45°，正确的度数应该是（）。

A．65°B．90°C．135°D．无法确定4．红领巾代表红旗的一角，是革命先烈的鲜血染成，每个队员都应该佩戴它和爱护它。

从数学的角度观察红领巾的三个角，发现有（）。

A．3个锐角B．1个直角和2个锐角C．1个钝角和2个锐角D．1个直角、1个钝角和1个锐角5．如图，如果直线a和直线b互相平行，那么，线段①的长度（）线段②的长度。

A．等于B．小于C．大于6．如图，点P到直线a的距离是（）。

A．PA的长度B．PB的长度C．PD的长度7．一个60°的角，用放大镜放大4倍，这个角是（）。

A．60°B．240°C．无法判断8．下面这个图形，有（）组互相平行的线段。

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（满分16分）9．10时整，钟面上时针与分针的夹角是( )°，这是一个( )角。

10．如图是一张长方形纸折起来形成的图形，∠1＝40°，那么∠2＝( )°。

11．如图，点A到点( )的长度叫作点A到直线的距离，量一量，它的长度是( )厘米。

12．如图，直线a与直线b互相( )，直线b与直线c互相( )，直线c与直线d互相( )。

13．两条直线相交，有一个角是钝角，则另外三个角分别是( )角、( )角、( )角。

14．在同一平面内，两条不相交的直线互相( )，相交成( )角时，两条直线互相垂直，两条直线的交点叫做( )。

15．图中的角是( )°。

角平分线与线段的垂直平分线测试题

角平分线与垂直平分线单元测试题一、填空题（每题3分）1．ΔABC中，AB－AC＝2，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14，则AB＝_____，AC_____. 2．ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；若AB＝5 cm，BC ＝3 cm，则ΔPBC的周长＝．3．∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．4．在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于____ _．5．在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____ ．6．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为.7．∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.8．在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.9.CD为Rt△ABC的高，∠BAC的平分线分交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.10.△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF=______二、选择题（每题3分）11．若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（）A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC12．在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（）A．mn31B．mn21C．mn D．2mn13．直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处B、2处C、3处D、4处14．如(第8题)图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能确定AC BE 第7题第8题第9题15．MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQT N T QPME DC BA F 第15题第16题16．已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③ 三、解答题10．已知：△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .求证：DE ＝DF ．11．已知： CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 、BE 交于O ，∠1＝∠2．求证：OB ＝OC .14．已知：如图，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD ．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．7．已知：如图9－7，A 、B 、C 、D 四点在∠MON 的边上，AB ＝CD ，P 为∠MON 内一点，并且△P AB 的面积与△PCD 的面积相等．求证：射线OP 是∠MON 的平分线．8．如图9－8，在ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若△BCD 与△BCA 的面积比为3∶8，求△ADE 与△BCA 的面积之比．9．已知：如图9－9，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ．（1）求证：AM 平分∠DAB ；（2）猜想AM 与DM 的位置关系如何？并证明你的结论．10．已知：如图9－10，在ΔABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别是AB 、AC 上一点，并且有∠EDF＋∠EAF ＝180°．试判断DE 和DF 的大小关系并说明理由．11．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。

冀教版四年级上册数学单元测试-7.垂线和平行线(含答案)

四年级上册数学单元测试-7。

垂线和平行线一、单选题1.在同一平面内，两条直线一定（）。

A. 相交B. 平行C. 相交或平行2.甲从A点出发向北偏东60°走了30米到达B点，乙从A点出发向西偏南30°走了40米到达C点，那么B、C两点距离是（）。

A. 90米B. 70米C. 40米D. 无法确定3.两条平行线间可以画( )条线段。

A. 1B. 2C. 3D. 无数条4.下面图形中，只有两组平行线的图形是( )。

A. B. C. D.二、判断题5.两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。

6.两条线段互相平行，它们也一定相等．7.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直。

8.在同一平面内分别有两条不重合的直线a、b分别和第三条直线互相垂直，直线a、b互相平行。

三、填空题9.过直线外一点能画________条这条直线的垂线．10.从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中最短的是和这条直线________的线段。

11.两条直线相交，组成4个角，如果其中一个角是90度，其他三个角都是________度，这两条直线叫做________，两条直线的交点叫做________．12.长方形、正方形________的两条边互相垂直，________的两条边互相平行。

四、解答题13.在下图上完成下列问题。

（1）科技馆在学校北偏东300方向2000米处。

请在图中标出科技馆的位置，并标出数据。

（2）南京路经过电影院，与上海路平行。

请用直线标出南京路的位置。

14.把直线外一点A与直线上任意一点连接起来，可以画出很多条线段，哪一条最短呢?如图所示，我们可以画好多条这样的线段，不过，最短的只有一条哦!五、应用题15.如图是一个梯形的广场①从A点走到对边CD，怎样走最近，在图上画出来．②过A点作BC边的平行线．③量出∠ADC的度数，并标在图中．答案一、单选题1.【答案】 C【解析】【解答】解：在同一平面内，两条直线一定相交或平行。

网络综合布线理论测试题_3(答案)

网络综合布线技术理论测试题ZHT-3组别成绩一、单项选择题1. 在垂直干线布线中，一般不使用线缆类型是( )。

(C)A. 超5类4对双绞线B. 光纤C. 同轴电缆D. 6类双绞线2. 多模光纤传输1Gbit/s网络的最长传输距离是( )。

(B)A. 500mB. 550mC. 2000mD. 5000m3. 综合布线系统的六类线，在满足各项指标的情况下，传输带宽可达到( )。

(C)A. 100MHzB. 200MHzC. 250MHzD. 300MHz4. 无线局域网的标准802. 11 中制定了无线安全登记协议，简称( )。

(C)A. MACB. HomeRFC. WEPD. TDMA5. 1000BASE～LX表示( )。

(B)A. 1000兆多模光纤B. 1000兆单模长波光纤C. 1000兆单模短波光纤D. 1000兆铜线6. 水晶头，专业术语为连接器。

(C)A. RJ11B. RJ23C. RJ45D. RJ497. 综合布线系统设计中，大对数主干电缆的对数应在总需求线对的基础上至少预留( )备用线对。

(B)A. 5%B. 10%C. 20%D. 50%8.有线传输介质是指在两个通信设备之间实现的( )连接部分。

(A)A.物理B. 数据C. 光纤D. 理论9. 根据TIA/EIA568A 规定，信息插座引针1、2 脚应接到( )。

(C)A. 线对1B. 线对2C. 线对3D. 线对410. 根据TIA/EIA568B 规定，信息插座引针1、2 脚应接到( )。

(B)A. 线对1B. 线对2C. 线对3D. 线对411. 光纤规格62. 5/l25 中的62. 5 表示( )。

(A)A. 光纤芯的直径B. 光纤包层直径C. 光纤中允许通过的光波波长D. 允许通过的最高频率12. “62. 5/125µm多模光纤”的62. 5/125µm指的是( )。

(A)A. 光纤外径B. 光纤可传输的光波波长C. . 光缆外径D. 光缆可传输的光波波长13. 影响光纤熔接损耗的因素较多，影响最大的是( )。

平行与垂直线的性质单元测试

平行與垂直線的性質單元測試平行与垂直线的性质单元测试第一部分：选择题1. 在平面直角坐标系中，已知直线 l1 的方程为 y = 2x + 3，直线 l2的方程为 y = -2x + 5，则 l1 和 l2 的关系是：A. 平行B. 垂直C. 相交D. 共面2. 已知在平面直角坐标系中，直线 l1 的斜率为-3，直线 l2 过点（1，2），则 l2 的方程可能是：A. y = 3x - 4B. y = -3x + 5C. y = -2x + 4D. y = 2x - 13. 已知直线 l1 过点（-1，4）和点（3，10），直线 l2 过点（2，-1）和点（-4，7），则 l1 和 l2 的关系是：A. 平行B. 垂直C. 相交D. 共面4. 若两直线的斜率互为倒数，则这两条直线的关系是：A. 平行B. 垂直C. 相交D. 共面5. 设直线 l1 过点（-1，3）和点（2，8），直线 l2 过点（3，-2）和点（-4，10），则 l1 和 l2 的关系是：A. 平行B. 垂直C. 相交D. 共面第二部分：填空题6. 直线过坐标原点的斜率为__________。

7. 若两条直线平行，则它们的斜率__________。

8. 直线上两点的坐标分别为（2，7）和（5，-1），则该直线的斜率为__________。

9. 若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积等于__________。

10. 过点（3，4）且斜率为2的直线方程为__________。

第三部分：解答题11. 证明在平面直角坐标系中，垂直线的斜率之积为-1。

12. 已知直线l1 过点（1，3）和点（4，8），直线l2 过点（2，-1）和点（-3，9），求证 l1 和 l2 的关系。

13. 求通过点（-2，5）且与直线 y = 3x + 1 平行的直线方程。

14. 判断直线 y = 2x + 4 和直线 y = -4x - 2 的关系，并给出理由。

15. 若两条直线之一经过点（3，-1），且与直线 y = 2x + 5 垂直，求另一直线的方程。

直线及其方程-测试

A．1
3 B. 2
C. 3
D.2
解析设曲线 C：xy＝ 3上任意一点 P(x，y)，则 y＝ x3，可得点 P
到直线 l：x＋
3y＝0 的距离为 d＝
12|x＋＋（3y3|）2＝x＋
3× 2
x3＝x＋2 3x，
由于x＋3x＝|x|＋|3x|≥2 |x|·|3x|＝2 3，当且仅当|x|＝|3x|时，即 x＝± 3时等号成立，所以点 P 到直线 l：x＋ 3y＝0 的距离的最小值为 3.故选 C.
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答案解析
5．直线 2ax＋y－2＝0 与直线 x－(a2－3)y＋2＝0 互相垂直，且两直
线的交点位于第三象限，则实数 a 的值为( )
A．1
B.3
C.－1
C．2x－3y＋12＝0 解析由 ax＋y＋3a－1＝0，可得
a(x＋D3．)＋2x(＋y－3y1＋)＝120＝，令0 xy＋－31＝＝00，，
可得xy＝＝－ 1，3，所以 M(－3，1)，M 不在直线 2x＋3y－6＝0 上，设直线
2x＋3y－6＝0 关于点 M 对称的直线方程为 2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则
D．4
解析抛物线的焦点坐标为p2，0，其到直线 x－y＋1＝0 的距离为 d
＝p2－10＋＋11＝ 2，解得 p＝2(p＝－6 舍去)．故选 B.
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答案解析
14．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线 y＝k(x＋1)距离的最大值为