2020年贵州省黔南州中考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年贵州省黔南州中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.2的相反数是()
A. 2
B. 1
2C. −2 D. −1
2
2.观察下列四个图形，中心对称图形是()
A. B. C. D.
3.2017年桂林市中考考生有37200人，将37200用科学记数法表示为()
A. 3.72×105
B. 3.72×104
C. 3.72×103
D. 0.372×105
4.下列几何体的左视图为长方形的是()
A. B. C. D.
5.下列运算中正确的是()
A. a2⋅a2=2a2
B. (a3)3=a9
C. a−a2=−a
D. (ab)2=ab2
6.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，DE交
BC于点F.若∠CFD=40°，则∠ABD的度数为()
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
7.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，
测得旗杆顶的仰角∠ACE=α；
(2)量得测角仪的高度CD=a；
(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为()
A. a+btanα
B. a+bsinα
C. a+b
tanαD. a+b
sinα
8.某商品每件标价是270元，按标价八折销售时，仍可获利20%，则这商品每件进价为()
A. 180元
B. 200元
C. 225元
D. 259.2元
9.已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为()
A. 13cm
B. 17cm
C. 13cm或17cm
D. 18cm
10.√79的值介于2个连续的整数n和n+1之间，则整数n为()
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.分解因式：m3−2m2+m=______．
12.若单项式−x m−2y3与2
3
x n y2m−3n的和仍是单项式，则m−n=______．
13.一组数据：1、3、4、5、x、8的众数是5，在这组数据的中位数是______．
14.一次函数y=2x−6的图像不经过第_____象限．
15.如图，一次函数y=x+b的图象过点A(1,2)，且与x 轴相交于点B ，
若点P 是x 轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P 的坐标
可以是______ ．
16.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，
若sin∠ACB=1
3
，则cos∠ADC=________．
17.已知，菱形的周长为20，对角线的和为14，则菱形的面积为______ ．
18.如图，正方形OABC的边长为2，反比例函数y=k
x
过点B，则该反比例函数的解析式为______．
19. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就
主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为_____．
20. 对于实数a ，b ，定义运算“﹡”：a ﹡b ={a 2−ab(a ≥b)ab −b 2(a <b).
.例如4﹡2，因为4>2，所以4﹡2=42−4×2=8.若x 1，
x 2是一元二次方程x 2−5x +6=0的两个根，则x 1﹡x 2=______．
三、解答题（本大题共7小题，共90.0分）
21. 解答下列各题
(1)计算：6cos45°+(13)−1+|5−3√2|+42019×(−0.25)2019
(2)解不等式组{x−32+3≥x +11−3(x −1)<8−x
22.如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且AN⏜=BN⏜，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，
MF⊥BD于点F．
(1)求证：MF是⊙O的切线；
(2)若CN=3，BN=4，求CM的长．
23.某校为了了解七年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了m名学生，将他们按体
重(均为整数，单位：kg)分成五组(A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；
E：67.5～74.5)，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)m=__________，n=__________；
(2)扇形统计图中，“D组”所对应的扇形的圆心角度数是__________度；
(3)请根据以上信息直接在答题卡中补全频数分布直方图；
(4)根据抽样调查的结果，请你估计该校七年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
24.5月初，持续强降雨的恶劣天气造成部分地区出现严重的洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部
分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同．
(1)甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元?
(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的
比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元?
25.如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设底面，请观察下列图形并解答有关问
题．
(1)第n幅图形，黑色瓷砖有多少块？(用含n的代数式表示)
(2)按上述铺设方案铺设一块地面，使得这块地面上的白色瓷砖的数量比黑色瓷砖多79块，求
此时n的值；
(3)是否存在某块地面，白色瓷砖的用量恰好是黑色瓷砖用量的3倍？若存在，求出此时的n；
若不存在，请说明理由．
26.如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于Q点，D为BC中点
(1)如图1，求证：DQ是⊙O的切线；
(2)如图2，连AD交CQ于P点．若AC=4，sinB=2√13
，求AP的长．
13
27.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)
两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，点P是抛物线上的一个动点，
过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问四边形CDPQ
是否能成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：根据相反数的含义，可得
2的相反数是：−2．
故选：C．
根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”，据此解答即可．此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”．
2.答案：C
解析：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.答案：B
解析：
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
解：将37200用科学记数法表示为：3.72×104.
故选B．
4.答案：C
解析：解：A.球的左视图是圆；
B.圆台的左视图是梯形；
C.圆柱的左视图是长方形；
D.圆锥的左视图是三角形．
故选：C．
找到各图形从左边看所得到的图形即可得出结论．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
5.答案：B
解析：解：A.a2⋅a2=a4，此选项错误；
B.(a3)3=a9，此选项正确；
C.a与a2不是同类项，不能合并，此选项错误；
D.(ab)2=a2b2，此选项错误；
故选：B．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方、合并同类项法则及积的乘方逐一计算可得．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，幂的乘方、合并同类项法则及积的乘方．
6.答案：C
解析：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°，
∴∠FDA=∠CFD=40°，
由翻折变换的性质得到∠ADB=∠EDB=20°，
∴∠ABD=70°．
故选：C．
根据矩形的性质和平行线的性质得到∠FDA=40°，根据翻折变换的性质得到∠ADB=∠EDB=20°，根据直角三角形的性质可求出∠ABD的度数，即可求出答案．
本题考查平行线的性质、图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
7.答案：A
解析：
本题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF=CD=a，CF=BD=b，
∵∠ACF=α，
∴tanα=AF
CF =AF
b
，
∴AF=b⋅tanα，
∴AB=AF+BF=a+btanα，
故选A．
8.答案：A
解析：
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设每件商品的进价为x元，根据利润=售价−进价，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可．解：设每件商品的进价为x元，
根据题意得：270×0.8−x=20%x．
解得x=180元，
故选A．
9.答案：B
解析：解：分两种情况：
当腰为3时，3+3<7，所以不能构成三角形；
当腰为7时，3+7>7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7=17(cm)．
故选：B．
等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；解题时注意：没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．10.答案：B
解析：解：∵64<79<81，
∴8<√79<9．
∴n=8．
故选：B．
根据被开方数越大对应的算术平方根越大可估算出√79的大小，从而可求得n的值．
本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出√79的取值范围是解题的关键．
11.答案：m(m−1)2
解析：解：m3−2m2+m=m(m2−2m+1)=m(m−1)2．
故答案为m(m−1)2．
先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12.答案：1
3
x n y2m−3n的和仍是单项式，
解析：解：∵单项式−x m−2y3与2
3
∴m−2=n，2m−3n=3，
解得：m=3，n=1，
∴m−n=3−1=1
；
3
．
故答案为：1
3
根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，可得出m和n的值，然后求得m−n的值．本题考查同类项的知识，比较简单，注意掌握同类项的定义．
13.答案：4.5
解析：解：∵这组数据的众数为5，
∴x=5，
则这组数据为1、3、4、5、5、8，
=4.5，
∴其中位数为4+5
2
故答案为：4.5．
先根据众数的定义求出x的值，再根据中位数的概念求解可得．
此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
14.答案：二
解析：
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，函数图象经过一、三象限，当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可.
解：∵一次函数y=2x−6中，k=2>0，
∴此函数图象经过一、三象限，
∵b=−6<0，
∴此函数图象与y轴负半轴相交，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为二．
15.答案：(3,0)，(2√2−1,0)，(−2 √2−1,0)，(1,0)
解析：
先把点A(1,2)代入一次函数y=x+b求出b 的值，故可得出B 点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
解：∵一次函数y=x+b图象过点A(1,2)，
∴2=1+b，解得b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1，
∴B(−1,0)．
当AB=AP时，
∵B(−1,0)，
∴P1(3,0)；
当AB=BP时，
∵AB=√(1+1)2+(2−0)2=2 √2，
∴P 1(2√2 −1,0)，P 3(−2√2 −1,0)；
当AP=BP时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的中点坐标为(0,1)，
设点P 所在的直线解析式为y=−x+c，则c=1，
∴直线解析式为y=−x+1，
∴当y=0时，x=1，
∴P 4(1,0)．
综上所述，P 点坐标为：(3,0)，(2√2−1,0)，(−2 √2−1,0)，(1,0)．
故答案为：(3,0)，(2√2−1,0)，(−2 √2−1,0)，(1,0)．
16.答案：解：∵∠B=90°，sin∠ACB=1
3
，
∴AB
AC =1
3
，
∵AB=2，
∴AC=6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴AD=√AC2+CD2=√36+64=10，
∴cos∠ADC=DC
AD =8
10
=4
5
．
故答案为4
5
．
解析：本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．
17.答案：24
解析：解：∵菱形的周长为20，
∴菱形的边长为5，
∵对角线的和为14，
∴AO+BO=7，
∴AO2+BO2=25，
∴(AO+BO)2=49，
∴AO2+BO2+2AO⋅BO=49，
∴2AO⋅BO=24=AC×1
2
BD，
∵S
四边形ABCD =1
2
AC×BD=24．
故答案为：24．
根据题意得出菱形的边长，进而利用勾股定理得出AO2+BO2=25，再利用完全平方公式求出即可．此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出2AO⋅BO=24是解题关键．
18.答案：y=−4
x
解析：
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y =k x (k 为常数，k ≠0)，利用正方形的性质得到B 点坐标，然后把B 点坐标代入y =k x 中求出k 即可． 解：∵正方形OABC 的边长为2，
∴B 点坐标为(−2,2)，
把B(−2,2)代入y =k x 得k =−2×2=−4，
∴该反比例函数的解析式为y =−4x ．
故答案为y =−4x ． 19.答案：{5x +2y =10
2x +5y =8
解析：
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
解：根据题意得：{5x +2y =102x +5y =8
, 故选A ．
20.答案：3或−3
解析：
首先解方程x 2
−5x +6=0，再根据a ﹡b ={a 2−ab(a ≥b)ab −b 2(a <b).，求出x 1﹡x 2的值即可． 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．
解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2−5x +6=0的两个根，
∴(x −3)(x −2)=0，
解得：x =3或2，
①当x 1=3，x 2=2时，x 1﹡x 2=32−3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2−32=−3．
故答案为：3或−3．
21.答案：解：(1)原式=6×√2
+3+5−3√2+(−0.25×4)2019
2
=3√2+3+5−3√2−1
=7；
+3≥x+1，得x≤1，
(2)解不等式x−3
2
解不等式1−3(x−1)<8−x，得：x>−2，
则不等式组的解集为−2<x≤1．
解析：(1)根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22.答案：解：(1)证明：连接OM，
∵OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM=∠MBF，
∴∠OMB=∠MBF，
∴OM//BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF=90°，
又OM 是圆的一条半径，
∴MF 是⊙O 的切线；
(2)如图，连接AN ，ON ，
∵AN
⏜=BN ⏜， ∴AN =BN =4，
∵AB 是直径，AN
⏜=BN ⏜， ∴∠ANB =90°，ON ⊥AB ，
∴AB =√AN 2+BN 2=4√2，
∴AO =BO =ON =2√2，
∴OC =√CN 2−ON 2=√9−8=1，
∴AC =2√2+1，BC =2√2−1，
∵∠A =∠NMB ，∠ACN =∠MCB ，
∴△ACN∽△MCB ，
∴AC CM =CN BC ，
∴AC ·BC =CM ·CN ，
∴7=3·CM
∴CM =73．
解析：本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求OC 的长是本题的关键，属于中档题．
(1)根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB =∠MBF ，得出OM//BF ，即可证得OM ⊥MF ，根据切线的判定可得证；
(2)由勾股定理可求AB 的长，可得AO ，BO ，ON 的长，由勾股定理可求CO 的长，通过证明△ACN∽△
MCB，可得AC
CM =CN
BC
，即可求CM的长．
23.答案：解：(1)50；32；
(2)72°；
(3)50−4−16−10−8=12，
补全频数分布直方图：
(4)(10+8)÷50=36%，
600×36%=216(名)，
所以该校初三年级体重超过60kg的学生大约有216名．
解析：
本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体．
(1)根据图中数据4÷8%=50，16÷50=32%，可得答案；
(2)利用360∘×10
50
=72∘÷50=32%，求得答案；
(3)先计算50−4−16−10−8=12，再补全频数分布直方图；
(4)根据(10+8)÷50=36%，600×36%=216，所以该校初三年级体重超过60kg的学生大约有216名．
解：(1)根据图中数据
4÷8%=50，
16÷50=32%，
故答案为m=50，n=32；
(2)360∘×10
50
=72∘÷50=32%，
故答案为72°；
(3)见答案；
(4)见答案．
24.答案：解：(1)设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是(x+10)元，
根据题意得，350
x+10=300
x
，
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解，
x+10=60+10=70．
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
(2)设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，
根据题意得，m+3m=2000，
解得m=500，
即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500+60×1500= 125000(元)．
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．
解析：本题考查分式方程、一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
(1)设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是(x+10)元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同列出方程，求解即可；
(2)设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可．
25.答案：解：(1)根据图形得到第n个图形中瓷砖总数为(n+1)2块，白瓷砖n2块，
则黑瓷砖数是：(n+1)2−n2=(n+1+n)(n+1−n)=2n+1(块)；
(2)根据题意得：n2−(2n+1)=79，
n2−2n−1=79，
n2−2n+1=81，
(n−1)2=81，
n−1=±9，
解得：n=10或n=−8(不合题意)
答：此时n的值为10；
(3)不存在；根据题意得：
n2=3(2n+1)，
n2−6n+9=12，
(n−3)2=12，
n−3=2√3非整数，n−3=−2√3(舍去)，
n−3=2√3非整数；
故不存在黑瓷砖与白瓷砖数量相等的情形．
解析：本题考查了一元二次方程的应用及图形的变化类问题．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
(1)观察可知第n个图形瓷砖总数为(n+1)2块，白瓷砖数是n2块，再让总数减去白瓷砖的数量即为黑瓷砖的数量；
(2)根据数量关系式：白瓷砖数量−黑瓷砖数量=79，列出方程求解即可；
(3)根据：白色瓷砖的用量恰好是黑色瓷砖用量的3倍，利用(1)中的代数式列方程求解，如果有整数解，就满足题意，否则不满足题意．
26.答案：(1)证明：如图1，连结OQ，OD，
∵OA=OQ，
∴∠A=∠OQA，
∵D是BC的中点，
∴OD//AB，
∴∠COD=∠A，∠DOQ=∠OQA，∴∠COD=∠DOQ，
在△COD和△QOD中，
∵{OC=OQ
∠COD=∠QOD OD=OD
，
∴△COD≌△QOD(SAS)，
∴∠OQD=∠ACB=90°，
∴DQ是⊙O的切线；
(2)△ABC中，∠ACB=90°，
∴sinB=2√13
13=AC
AB
，
∵AC=4，
∴AB=2√13，
由勾股定理得：BC=√(2√13)2−42=6，∴CD=BD=3，
过D作DG⊥CQ于G，则DG//BQ，
∴CG=QG，
∴AD=5，
cos∠B=BQ
BC =BC
AB
，
∴BQ
6=6
2√13
，BQ=18√13
13
，
∴AQ=2√13−18√13
13=8√13
13
，
DG=1
2BQ=9√13
13
，
∵∠AQP=∠DGP=90°，∠APQ=∠DPG，∴△AQP∽△DGP，
∴AP
PD =AQ
DG
=
8√13
13
9√13
13
=8
9
，
∵AP+PD=AD=5，
∴AP =817×5=4017． 解析：(1)连结OQ ，OD ，证明△COD≌△QOD(SAS)，得∠OQD =∠ACB =90°，根据切线的判定推出即可．
(2)先根据三角函数求得BC 和AB 的长，根据勾股定理得AD 的长，证明△AQP∽△DGP ，得AP PD =AQ DG =8√13
13
9√13
13=8
9，可得AP 的长． 本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．
27.答案：
解：(1)由OC =3OA ，得C(0,3)，将A(−1,0)，B(4,0)，C(0,3)代入y =ax 2
+bx +c 中，得：{a −b +c =016a +4b +c =0c =3
解得{a =−3
4b =94c =3
，
故抛物线的解析式为：y =−34x 2+94x +3；
(2)存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图1，
当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD =CQ ，PQ =PD ，∠PCQ =∠PCD ，
当点Q 落在y 轴上时，CQ//PD ，
∴∠PCQ =∠CPD ，
∴∠PCD =∠CPD ，
∴CD =PD ，
∴CD =DP =PQ =QC ，
∴四边形CDPQ 是菱形，
过D 作DG ⊥y 轴于点G ，
设P(n,−34n 2+94n +3)，则D(n,−34n +3)，G(0,−34n +3)，
在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[(−34n +3)−3]2+n 2=
25
16
n2，
而|PD|=|(−3
4n2+9
4
n+3)−(−3
4
n+3)|=|−3
4
n2+3n|，
∵PD=CD，
∴−3
4n2+3n=5
4
n①，
−3
4n2+3n=−5
4
n②，
解方程①得：n=7
3
或0(不符合条件，舍去)，
解方程②得：n=17
3
或0(不符合条件，舍去)，
当n=7
3时，P(7
3
,25
6
)，如图1，
当n=17
3时，P(17
3
,−25
3
)，如图2，
综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为(7
3,25
6
)或(17
3
,−25
3
).
解析：(1)利用待定系数法求二次函数的解析式；
(2)如图2，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ//PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形
CDPQ是菱形，表示P(n,3
4n2+9
4
n+3)，则D(n,−3
4
n+3)，G(0,−3
4
n+3)，利用勾股定理表示PD
和CD的长并列式可得结论．
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问题．。