基本初等函数复习资料学生版
基本初等函数知识点(一轮复习)
基本初等函数
中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。
一、一次函数
初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下……
画出以下解析式的图像：要求快
（1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x
根据以下条件，设出一次函数的解析式：
(1)直线经过(1,2)点
(2)直线的斜率是2
总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。
二、二次函数
二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质．
1、二次函数的三种表示形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))；
(3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0))
基本初等函数复习课知识总结[1]
![基本初等函数复习课知识总结[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/092fb10976232f60ddccda38376baf1ffc4fe3cf.png)
⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
底数互为
倒数的两个 指数函数
y = ax, y = (1)x a
的函数图像 关于y轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1
y
图
象
o
x
0＜a＜1
y
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
( ) 3
、
函
数
y=
1 2
x2
2
x1
的
单
调
递
增
区
间
,1。
例1. 求下列函数的定义域：
1
(1)y = 8 2x 1;
(2)y =
1
1 2
x
.
(3)y = logx 1(3 x )
(4)y
=
1
log3(3x
; 2)
(5)y = loga(1 x )2 (a 0,且a 1).
(6)y = loga(x 1)
(2) 已知 log2 3 = a,log3 7 = b,试用a,b表示 log14 56.
指数函数与对数函数 1、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
学业水平考试复习《第二章基本初等函数》
▲求函数解析式的基本方法 ：
(1).待定系数法. (2).换元法.
▲实战 导引P47 . A第26题，B第4题.
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★要点解读
3.分段函数.
▲分段函数是一个函数，只能有一个“=”.
▲分段函数中x的取值范围与表达式对应好.
2x , x 1 例题 若 f ( x) ,则 f f f (4) log 2 x , x 1
0 1
a b c
0 1
a b c
0 1
a b c
0 1
a b c
0 1
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★要点解读
5.函数的单调性与最大(小)值.
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意 两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有 f(x1) ＜ f(x2)， 那么就说f(x)在区间D上是增函数.
当x1＜x2时，都有 f(x1) > f(x2) ， 那么就说f(x)在区间D上是减函数.
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★要点解读
4.映射的概念.
按照某一个确定的对应关系f，使对于集 合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯 一确定的元素y和它对应. 称这个对应关系f为映射.
▲实战 导引P45 . A第4题.
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a b c
2022高考数学二轮复习讲义：专题1 第2讲 基本初等函数、函数与方程(学生版)
2022高考数学二轮复习讲义
专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程
【要点提炼】
考点一 基本初等函数的图象与性质
1．指数函数y ＝a x
(a>0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α
的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12
，－1五种情况．
【热点突破】
【典例】1 (1)已知f(x)＝2x
－1，g(x)＝1－x 2
，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值
(2)已知函数f(x)＝e x
＋2(x<0)与g(x)＝ln(x ＋a)＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，1e
B ．(－∞，e)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2
＋2)－e x －1
的大致图象可能是( )
(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x
，则不等式f(x)<－12的
解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
【要点提炼】
基本初等函数总复习
指数函数总复习
【知识点回顾】
一、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次
方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用
符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
n a =；
当n a =；当n 为偶数时， (0)
|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于
0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 二、指数函数及其性质 （4）指数函数
定义域R
值域（0,+∞）
过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
奇偶性非奇非偶
单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值
的变化情况y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x
＜0)
y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞
基本初等函数经典复习题+答案
必修1根本初等函数复习题
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
⑴偶次方根的被开方数不小于零；(2)对数式的真数必须大于零；⑶分式的分母不等于零；［4〕指数、对数式的底必须大于零且不等于1.4、函数单调区间与单调性的判定方法
（八）定义法：①任取xι,X 2∈D,且XKX2；Q)作差千(xι)—fa)；(3)变形〔通常是因式分解和配方］；④定号［即判断差千(x∣)-f(x2)的正负〕；
@下结论［指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性］.
(B)图象法(从图象上看升降)
⑹复合函数的单调性：复合函数Hg"］的单调性与构成它的函数u=g(x),y 二人。的单调性密切相关，其规律："同增异减〃 1、以下函数中，在区间(0,÷oo)不是增函数的是()
1、暴的运算性质 〔1〕a r ∙a s = a r+s (r,5 ∈ R)； 〔3〕a r ∙b r = (ab)r (r ∈ R) 2对数的运算性质 如果 α>0,且 awl, M >0, ① Iog“(M ・N)= Iogq M +log” N ； ③ IOg“M" =〃Iog"M,(Y ∈R). 换底公式：log” b = l°g 。■ 〔 a IogC α
(1)log b n
= —log rt ⅛ ; [2 〃7 〔2〕S)' =α" ; (r,StR)
(4)a" =yja n, (a>0,m,n E N ∖n> 1) a' = N Q IOga N = x N>0,那么：
② log 噂=log” M Tog” N ；
基本初等函数复习
基本初等函数复习
一、知识梳理
1．知识网络
2．要点归纳 (1)分数指数幂
①m n
a ＝n
a m (a >0、m 、n ∈N *、且n >1)． ②1m n m n
a
a
-=
(a >0、m 、n ∈N *、且n >1)．
(2)根式的性质 ①(n
a )n ＝a .
②当n 为奇数时、n
a n ＝a ；
当n 为偶数时、n
a n ＝|a |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≥0，
－a ，a <0.
(3)指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋
s (a >0、r 、s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a >0、r 、s ∈R )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0、b >0、r ∈R )． (4)指数式与对数式的互化式
log a N ＝b ⇔a b ＝N (a >0、且a ≠1、N >0)． (5)对数的换底公式
log a N ＝log m N
log m a
(a >0、且a ≠1、m >0、且m ≠1、N >0)．
推论：log m n
a b ＝n m log a b (a >0、且a ≠1、m 、n >0、且m ≠1、n ≠1、b >0)．
(6)对数的四则运算法则
若a >0、且a ≠1、M >0、N >0、则 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (7)指数函数
①理解指数函数概念及单调性．
②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点． (8)对数函数
基本初等函数复习(题型最全、最细、最精)
基本初等函数复习
一、基础复习：
1、a 的次方根： , x 叫a 的n 次方根
根式的性质：(1)n n a )(= ,(),1+∈>N n n 且；（2）⎩⎨
⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a n
n
|,|,
2、分数指数幂与根式：=m
n
a =-n a =1a =0a
3、幂的运算性质：=⋅s r a a =÷s r a a =s r a )( =r ab )(
4、指数式与对数式的互化：⇒=N a b
5、对数的性质：（1）N （2）=1log a （3）=a a log
6、对数恒等式：=N
a
a log
=b a a log
7、对数的运算法则：=⋅)(log N M a =)(
log N
M
a =αM a log 8、换底公式：=
b a log =b a log =n a b m
log 9、常用对数：=N 10log 自然对数：=N e log 10、幂、指、对函数函数的性质 二、典型例题： 1、指数、对数运算： 1
、
下
列
各
式
中
，
正
确
的
是
（ ）
A ．100=
B ．1)1(1=--
C ．7
4
4
71
a
a
=
-
D ．5
3
5
31
a
a
=
-
2. 计算：21
0319)4
1()2(4)21(-
---+-⋅- ＝ ；
3.化简)
31
()3)((65
613
1212132
b a b a b a ÷-的结果
（ ）
A ．a 6
B ．a -
C ．a 9-
D ．2
9a
4.已知
2x ＝72y ＝A ，且
1
x ＋1
y
＝2，则A 的值是 A ．7 B ．7 2 C ．±7 2 D ．98
5.
若
a 、
b 、
c ∈R +，则3a =4b =6c ，则
基本初等函数含答案,附上学生版
基本初等函数
1.若函数y ＝f (x )的定义域是[0, 2 018]，则函数g (x )＝
f (x ＋1)
x －1
的定义域是________． 解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定
义域为[－1,2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩
⎪⎨⎪
⎧
－1≤x ≤2 017x －1≠0，
解得－1≤x <1或1
3.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x (m
－2)(m ＋1)
的图象不经过原点，则实数m 的值为________．
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－3m ＋3＝1，(m －2)(m ＋1)≤0，解得m ＝1或2，经检验m ＝1或2都适合．
答案：1或2
4.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是________． A ．f (x )＝sin x
B ．f (x )＝x 3＋1
C ．f (x )＝log 2(
x 2＋1＋x )
D ．f (x )＝1－2x
1＋2x
解析：依题意，对于选项A ，注意到f (0)＝f (π)，因此函数f (x )＝sin x 在其定义域上不是增函数；对于选项B ，注意到f (x )的定义域为R ，但f (0)＝1≠0，因此函数f (x )＝x 3＋1不是奇函数；对于选项C ，注意到f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )＝log 2
1
x 2＋1＋x
＝－
log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )，因此f (x )是奇函数，且f (x )在R 上是增函数；对于选项D ，注意到f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－1＋21＋2x 在R 上是减函数．故选C. 5.函数f (x )＝|log 2 x |＋x －2的零点个数为_______．
专题02 函数概念与基本初等函数(新定义,高数观点,选填压轴题)(学生版)-2024年高考压轴专题复
专题02 函数概念与基本初等函数
（新定义，高数观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示 (1)
二、函数的基本性质 (2)
三、分段函数 (4)
四、函数的图象 (5)
五、二次函数 (7)
六、指对幂函数 (7)
七、函数与方程 (8)
八、新定义题 (9)
一、函数及其表示
二、函数的基本性质
三、分段函数
四、函数的图象．．
．．
2023春·广东韶关·高二统考期末）
e3
cosπ
e2
x
x
x
⎫
-⎛⎫
⋅+
⎪ ⎪
+⎝⎭
⎭
部分图象大致是（
．．
． ．
2023春·云南楚雄·高二统考期末）函数)32e e 1
x
x x =-的部分图象大致为（ ）
2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间致图象如图所示，则该函数是（
A ．322x
x
x x
y --=+B ．cos222x
x
x x
y -=+5．（2023春·河北沧州·高二统考期中）函数． ．
． ．
2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数2
1
sin x x -
在()π,0-
A．B．
C．D．
五、二次函数
六、指对幂函数
七、函数与方程
八、新定义题A．2
=-B．
4
y x x
第三章基本初等函数I复习
【例2】求定义域
（1）f (x)=
1 2
x
-1
（2）f
(x)=
log1
1 (x-1）+3
（3）f (x)= log2x+1 3x-2
【练习4】求定义域P82
（1）f
(x)=
log3
1 (3x-2）
（2）f (x)= loga (2-x)
（3）f (x)= loga (1-x)2
解：
（1）
1 2
在第一象限，沿箭头方向，指数越小.
88
（3）
2x+1>0 2x+1 1
x >
1 2
x 0
3x-2>0
x>
2
3
f (x)的定义域为（2 ,+) 3
【例4】已知f (x)在R上为偶函数,f (x)在区间（-，0]上为减函数，
若f
(
1 2
)=0，求不等式f
(log
4
x)>0的解集.
解： f (x)在R为偶函数，（-，0]为f (x)减区间
x
-1
0即
1 2
x
1 2
0
又y=
1 2
x
在区间R上为减函数
x 0即f (x)的定义域为[0,+)
（2）
基本初等函数复习
基本初等函数复习
1、指数与指数函数
【知识梳理】
一．根式与分数指数幂
1. 若n x a
=，则x叫做a的n n>1，且n N*
∈.
n次方根（*
1,
n n N
>∈
且）有如下恒等式：
n a
=
,
||,
a n
a n
⎧
⎨
⎩
为奇数
为偶数
；==
2. 规定正数的分数指数幂：
m
n
a=（0,,,1
a m n N n
*
>∈>
且）；
1
m
n
m
n
a
a
-
==
二、指数幂的运算律
m n
a a=()m n
a=m m
a b=
例1 化简（1）
2115
11
3366
22
(2)(6)(3)
a b a b a b
-÷-=
（2
例2函数()x b
f x a-
=的图象如图，其中a、b为常数，
则下列结论正确的是（）.
A．1,0
a b
>
a b
>>
C．01,0
a b
<<>D．01,0
a b
<<<
（2）在同一坐标系下，函数,,,
x x x x
y a y b y c y d
====的图，则,,,,1
a b c d之间从
小到大的顺序是__________．
★指数函数图像的排列规律：
例3. 比较下列各题中两个值的大小（用“<”或“>”填空）：
(1) 2.5
1.73
1.7； (2)0.1
0.8-0.2
0.8-； (3)0.3
1.7 3.1
0.9
★比较大小的方法：
例4. 求下列函数的值域
（1）
()
f x=
(2)1
93 5 [1,2]
x x
y x
+
=++∈（3）222
1
()
2
x x
y--
=
2、对数与对数函数
【知识梳理】
一．对数的概念与运算律
1. 定义：如果x a N
=(0,1)
a a
>≠，那么数x叫做以a为底N的对数记作log
a
x N
=
2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数
高三复习基本初等函数
高三复习基本初等函数 对数函数
1.生物机体内碳14的“半衰期”为m 年，即生物死亡后，每经过m 年碳14衰减为原来的 一半,若生物死亡年数t 时，体内碳14含量为p ，设生物体死亡时碳14含量作为一个单位， 一年后的残留量为x. ⑴由题意填表
⑵求x ⑶求p 与t 之间的关系 ⑷已知碳14含量占原始含量的
4
3
，求死亡年数. 2.已知函数f(x),函数f(x)与g(x)图象关于x 轴对称.⑴画出两函数图象简图⑵求g(x)表达式. ⑴()x x f 2
log = ⑵()x
e
x f -= ⑶()2
1x x f = ⑷()3x x f =
3.讨论下列函数的定义域、单调性、值域. ⑴()
x y -=15
log ⑵x y 3117
log
-= ⑶x
y 2
log 1=
⑷()
345.0log -=x y ⑸(
)
312
log
x y = ⑹()15
.02
log ++=x x y 4.比较下列各组数中两个值的大小 ⑴9.51
.5log
, log a
a
(a>0,且a ≠1) ⑵6776log
, log ⑶8.023log
, log π
⑷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+a a 12
log
,1 5.解下列不等式 ⑴2log
2
≥x
⑵()
21log 12
<-x ⑶log log 32
111
2≤-x ⑷32>x ⑸2ln >x 6.在同一直角坐标系画函数x
y 2
log =，x y 5
log =，x y lg =与log
2
1x y =
，log
5
1x
y =
，
log 10
1x
y =的图象
⑴说明底数变化，图象与x 轴关系 ⑵利用图象比较，当t n
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质
一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念
1、如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a
的n
次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n
的n
次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
2
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
3、根式的性质
：n
a =；当n 为奇数时
，
a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （二）分数指数幂的概念
1、
正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2
、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m
m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质
(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念
一般地，函数)1a ,0a (a y x
≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
注意：○
1 指数函数的定义是一个形式定义； ○
基本初等函数全章复习
二次函数的定义和性质
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c为常数，且a不等于0。它的图像是一个开口向上或向下的 抛物线。
二次函数的图像及其性质
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。顶点表示函数的最值，对 称轴是x=-b/(2a)。
一元二次方程的解法
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为常数，且a不等于0。可以使用公式或配方法求解。
指数函数的定义和性质
指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为常数且大于0且不等于1。指数函数的 图像是一个递增或递减的曲线。
指数函数的图像及其性质
指数函数的图像是一个递增或递减的曲线。底数a大于1时，曲线递增；底数a小于1时，曲线递减。过原点(0,1)。
对数函数的定义和性质
对数函数是指形如f(x)=loga(x)的函数，其中a为常数且大于0且不等于1。对数函数的图像是一个递增或递减的 曲线。
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对数函数的图像及其性质
对数函数的图像是一个递增或递减的曲线。底数a大于1时，曲线递增；底数a 小于1时，曲线递减。过原点(1,0)。
指数函数和对数函数的关系
指数函数和对数函数是互为反函数的关系。指数函数的反函数是对数函数， 对数函数的反函数是指数函数。
复合函数的定义和性质
基本初等函数基础题汇总(解析版)
基本初等函数基础题汇总(解析版)基本初等函数基础题汇总(解析版)
基本初等函数是数学中的重要概念，对于学习和理解其他数学领域，如微积分和代数等，都具有重要意义。本文将对基本初等函数中的一
些常见题目进行汇总，并提供解析，帮助读者更好地理解和掌握这些
函数的性质和应用。
一、线性函数
线性函数是最基本的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b
为常数。线性函数的图像为一条直线，斜率为k，截距为b。
例题1：已知直线y = 2x + 3，在x轴上的截距为多少？
解析：由于直线截距在x轴上时，y坐标为0，即当y = 0时，2x +
3 = 0。解得x = -1.5，因此直线在x轴上的截距为-1.5。
例题2：已知直线过点A(2, 5)和B(4, 7)，求直线的斜率。
解析：根据斜率的定义，斜率k等于直线上任意两点的纵坐标之差
与横坐标之差的比值。代入点A(2, 5)和B(4, 7)，得到k = (7 - 5) / (4 - 2) = 1。
二、指数函数
指数函数是以自然常数e为底的幂函数，其表达式为y = a * e^(kx)，其中a和k为常数。指数函数的图像为开口向上或向下的曲线。
例题3：已知指数函数y = 2 * e^x，求函数的值当x = 0时的值。
解析：当x = 0时，y = 2 * e^0 = 2。
例题4：已知指数函数过点A(1, 4)和B(2, 8)，求函数的底数。
解析：代入点A(1, 4)，得到4 = a * e^k。代入点B(2, 8)，得到8 = a * e^(2k)。将第一个等式除以第二个等式，消去a后得到0.5 = e^(-k)，
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〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次
当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：n a =；
当n a =；
当n 为偶数时， (0)
|| (0)
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
1()0,,,m m n
n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
第1讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算
1. 若n x a =，则x 叫做a 的n n >1，且n N *∈
n 次方根具有如下性质：
（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.
（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：
n a =,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数
为偶数
；（a ≥0）.
2. 规定正数的分数指数幂：m
n
a =（0,,,1a m n N n *
>∈>且）； 1m n
m n
a
a
-
=
=
.
¤例题精讲：
【例1】已知21n
a =，求33n n
n n
a a a a --++的值.
【例2】化简与求值：
（1
（2
+⋅⋅⋅+
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数值的 变化情况
1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< a 变化
对
图
象的影响
在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
第2讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）
1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .
2. 以函数2x y =与1
()2
x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，
总结如下性质：
定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当
01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域,和值域：
（1）1
32x
y -=； （2）51()3
x y -=；
【例2】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且. （1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.
第3讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）
¤知识要点：
以函数2x y =与1
()2
x y =的图象为例，得出这以下结论：
（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.
（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.
¤例题精讲：
【例2】已知21
()21
x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.
【例3】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）1
0.21
x y =-.
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x
a x N a N a a N =⇔=>≠>．
（2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质
如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a
M M N N
-= ③数乘：log log ()n
a a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤log log (0,)b n
a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =
>≠且 第4讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）
¤知识要点：
1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数