基本初等函数复习资料学生版
二、函数的概念与基本初等函数1(学生)
函数 第1页(共4页) 函数 第2页(共4页)专题二 函数的概念与基本初等函数I1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===,则A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e 1x -,则当x <0时,f (x )= A .e 1x -- B .e 1x -+ C .e 1x --- D .e 1x --+ 3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2π]的零点个数为 A .2 B .3 C .4D .54.【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为 A .c b a << B .a b c << C .b c a << D .c a b << 5.【2019年高考北京文数】下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 A .12y x = B .y =2x - C .12log y x =D .1y x=6.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A .B .C .D .7.【2019年高考北京文数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg Em m E =,其中星等为k m 的星的亮度为k E (k =1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为A .1010.1B .10.1C .lg10.1D .10−10.18.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中,函数1x y a =,1(2log )a y x =+(a >0,且a ≠1)的图象可能是9.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递减,则A .f (log 314)>f (322-)>f (232-) B .f (log 314)>f (232-)>f (322-)C .f (322-)>f (232-)>f (log 314) D .f (232-)>f (322-)>f (log 314)10.【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 .11.【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是 A .(-2,-1) B .(-1,0) C .(0,1)D .(1,2)12.【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是A .3x y =B .1ln||y x = C .||2x y =D .cos y x =13.【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩,则()3f -+()2log 3f =A .9B .11C .13D .1514.【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知是定义在上的周期为4的奇函数,当时,,则A .B .0C .1D .215.【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学】函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为 A .(,1)-∞- B .3(,)2-∞- C .3(,)2+∞D .(4,)+∞16.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试(一模)数学】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,1()14f =,当0x <时,2()log ()f x x m =-+,则实数m = A .1- B .0 C .1D .217.【北京市房山区2019届高三第一次模拟测试数学】关于函数,下列说法错误的是 A .是奇函数 B .在上单调递增C .是的唯一零点D .是周期函数函数 第3页(共4页) 函数 第4页(共4页)18.【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则三个数,,的大小关系为A .B .C .D .19.【北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模)数学】已知函数2,(),x x af x x x a ⎧≥=⎨-<⎩,若函数()f x 存在零点,则实数a 的取值范围是A .(),0-∞B .(),1-∞C .()1,+∞D .()0,+∞20.【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习(二)数学】已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =,则不等式()2log 1f x <的解集为A .1,82⎛⎫⎪⎝⎭ B .)8,1( C .10,(8,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .(,1)(8,)-∞+∞21.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】已知(2)f x +是偶函数,()f x 在(]2-∞,上单调递减,(0)0f =,则(23)0f x ->的解集是 A .2()(2)3-∞+∞,, B .2(2)3, C .22()33-,D .22()()33-∞-+∞,, 22.【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞,上单调递增,且()1y f x =-的图象关于1x =对称,若实数a 满足()()2log 2f a f <,则a 的取值范围是A .10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C .1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D .()4,+∞23.【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学】若定义在上的函数满足且时,,则方程的根的个数是A .B .C .D .24. 【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试(B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩,()22g x x x =--,设b 为实数,若存在实数a ,使得()()2g b f a +=成立,则b 的取值范围为 A .[]1,2- B .37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C .37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D .3,42⎛⎤- ⎥⎝⎦25.【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】若()f x =,则()f x 的定义域为____________.26.【山东省滨州市2019届高三第二次模拟(5月)考试数学】若函数为偶函数,则__________.27.【甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学】若函数()()212(0,0)f x mx n x m n =+-+>>的单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,则11m n+的最小值为__________. 28.【东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学】若函数在上单调递增,则的取值范围是__________.。
学业水平考试复习《第二章基本初等函数》
在[2,3]有最大值5和最小值2,求a,b的值.
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函数及其表 示
函数的基 本性质
b c c
b c
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★要点解读 对应法则. 1.函数的三要素 定义域 、 值域 、
▲判断两个函数相等(图象相同):
定义域和对应法则相同即可.
▲实战 导引P45 . A第5题,B第1题.
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★要点解读 列表法 、 图像法 . 2.函数的表示法 解析法 、
▲实战 导引P45 . A第25题.
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★要点解读
6.函数的奇偶性.
①对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 若f(-x)=f(x),则函数f(x)叫做 偶函数 .
若f(-x)= - f(x),则函数f(x)叫做 奇函数 . ②函数f(x)是偶函数等价于图像 关于y轴对称 . 函数f(x)是奇函数等价于图像 关于原点对称 .
2014年1月 学业水平考试总复习
第二章 基本初等函数
第1节
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★考试内容与考试要求
单元 知识条目 ▲1.函数的概念 ①函数的概念 ②函数符号y=f(x) ③函数的定义域 ④函数的值域 ⑤区间的概念及其表示法 ▲2.函数的表示法 ①函数的解析法表示 ②函数的图象法表示,描点法作图 ③函数的列表法表示 ④分段函数的意义与应用 ⑤映射的概念 ▲1.单调性与最大(小)值 ①增函数、减函数的概念 ②函数的单调性、单调区间 ③函数的最大值和最小值 ▲2.奇偶性 ①奇函数、偶函数的概念 ②奇函数、偶函数的性质 考试要求 b b b b a b b a b a
例7.函数f (x)=x2 +2 (a-1)x+2在区间 (-∞,4]上单调递减,则a的取值范围 是( B )
基本初等函数总复习
指数函数总复习【知识点回顾】一、指数与指数幂的运算 (1)根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号n 是偶数时,正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.n a =;当n a =;当n 为偶数时, (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 二、指数函数及其性质 (4)指数函数定义域R值域(0,+∞)过定点图象过定点(0,1),即当x=0时,y=1.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x<0)y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x>0)a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越高,越靠近y轴;在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x轴.在第一象限内,a越小图象越高,越靠近y轴;在第二象限内,a越小图象越低,越靠近x轴.【考点链接】考点一、指数的运算xay=xy(0,1)O1y=xay=xy(0,1)O1y=例1.化简:1114424111244()a b b a a b --=- .例2. 根据下列条件求值:已知32121=+-xx ,求23222323-+-+--x x x x 的值;练习1:计算:(1)1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-(2)120.750311(0.064)()16()2322----÷+-.(3) 2433221)(---⋅÷⋅a b b a(4)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点二、定义域例3. 求下列函数的定义域:21(1).2-=x y 31(2).3-⎛⎫= ⎪⎝⎭xy练习2.求下列函数的定义域:(1)1x 21y ()2-= (2)2x 3y 5-=考点三、值域例4. 函数11x x e y e -=+的值域练习3、(1)求函数2(0)21xxy x =>+的值域.(2)求下列函数的定义域、值域: (1)1218x y -= (2)11()2x y =-(3)3x y -=考点四、指数型函数例5. 已知函数3234+⋅-=x x y 的定义域为[0,1],则值域为 。
2022高考数学二轮复习讲义:专题1 第2讲 基本初等函数、函数与方程(学生版)
2022高考数学二轮复习讲义专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一 基本初等函数的图象与性质1.指数函数y =a x(a>0,a ≠1)与对数函数y =log a x(a>0,a ≠1)互为反函数,其图象关于y =x 对称,它们的图象和性质分0<a<1,a>1两种情况,着重关注两函数图象的异同. 2.幂函数y =x α的图象和性质,主要掌握α=1,2,3,12,-1五种情况.【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x 2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( ) A .有最小值-1,最大值1 B .有最大值1,无最小值 C .有最小值-1,无最大值 D .有最大值-1,无最小值(2)已知函数f(x)=e x+2(x<0)与g(x)=ln(x +a)+2的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,1eB .(-∞,e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1e ,eD.⎝⎛⎭⎪⎫-e ,1e 【拓展训练】1 (1)函数f(x)=ln(x 2+2)-e x -1的大致图象可能是( )(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-12的解集是( ) A .(-∞,-1) B .(-∞,-1] C .(1,+∞)D .[1,+∞)【要点提炼】考点二 函数的零点 判断函数零点个数的方法: (1)利用零点存在性定理判断法. (2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y =f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧xe x,x ≤0,2-|x -1|,x>0,若函数g(x)=f(x)-m 有两个不同的零点x 1,x 2,则x 1+x 2等于( )A .2B .2或2+1eC .2或3D .2或3或2+1e(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R ,都有f(x +2)=f(2-x),当x ∈[-2,0]时,f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫22x-1,则关于x 的方程f(x)-log 8(x +2)=0在区间(-2,6)上根的个数为( )A .1B .2C .3D .4【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于x 的方程9-|x -2|-4·3-|x -2|-a =0有实数根,则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x +3,x>a ,x 2+6x +3,x ≤a ,若函数g(x)=f(x)-2x 恰有2个不同的零点,则实数a 的取值范围为____________________.【拓展训练】2 (1)已知偶函数y =f(x)(x ∈R )满足f(x)=x 2-3x(x ≥0),若函数g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x>0,-1x,x<0,则y =f(x)-g(x)的零点个数为( )A .1B .3C .2D .4(2)(多选)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x +2a ,x<0,x 2-ax ,x ≥0,若关于x 的方程f(f(x))=0有8个不同的实根,则a 的值可能为( ) A .-6 B .8 C .9 D .12专题训练一、单项选择题1.(2020·全国Ⅰ)设alog 34=2,则4-a等于( )A.116B.19C.18D.162.函数f(x)=ln x +2x -6的零点一定位于区间( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(3,4) D .(4,5)3.在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax 和g(x)=log a (x +2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )4.(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ,b ,c 满足4a =6,b =12log 4,c 3=35,则( )A .a<b<cB .b<c<aC .c<a<bD .c<b<a5.(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位:天)的Logistic 模型:I(t)=K1+e-0.23t -53,其中K 为最大确诊病典例数.当I(t *)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln 19≈3)( ) A .60 B .63 C .66 D .696.(2020·泉州模拟)若函数y =log a (x 2-ax +1)有最小值,则a 的取值范围是( )A .1<a<2B .0<a<2,a ≠1C .0<a<1D .a ≥27.(2020·太原质检)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧e x,x>0,-2x 2+4x +1,x ≤0(e 为自然对数的底数),若函数g(x)=f(x)+kx 恰好有两个零点,则实数k 等于( ) A .-2e B .e C .-e D .2e 8.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧a ,x =0,⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|+1,x ≠0,若关于x 的方程2f 2(x)-(2a +3)f(x)+3a =0有五个不同的解,则a 的取值范围是( )A .(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2 二、多项选择题9.(2020·临沂模拟)若10a =4,10b=25,则( ) A .a +b =2 B .b -a =1 C .ab>8lg 22D .b -a>lg 610.已知函数f(x)=log a (x +1),g(x)=log a (1-x),a>0,a ≠1,则( ) A .函数f(x)+g(x)的定义域为(-1,1) B .函数f(x)+g(x)的图象关于y 轴对称 C .函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0 D .函数f(x)-g(x)在区间(0,1)上是减函数11.(2020·淄博模拟)已知函数y =f(x)是R 上的奇函数,对于任意x ∈R ,都有f(x +4)=f(x)+f(2)成立.当x ∈[0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是( )A .f(2)=0B .点(4,0)是函数y =f(x)图象的一个对称中心C .函数y =f(x)在区间[-6,-2]上单调递增D .函数y =f(x)在区间[-6,6]上有3个零点 12.对于函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ,x ∈[0,2],12f x -2,x ∈2,+∞,则下列结论正确的是( )A .任取x 1,x 2∈[2,+∞),都有|f(x 1)-f(x 2)|≤1B .函数y =f(x)在[4,5]上单调递增C .函数y =f(x)-ln(x -1)有3个零点D .若关于x 的方程f(x)=m(m<0)恰有3个不同的实根x 1,x 2,x 3,则x 1+x 2+x 3=132三、填空题13.(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a =________.14.已知函数f(x)=|lg x|,若f(a)=f(b)(a ≠b),则函数g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+22x +5,x ≤0,ax 2+2bx,x>0的最小值为________.15.定义在R 上的奇函数f(x),当x ≥0时,f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-2x x +1,x ∈[0,1,1-|x -3|,x ∈[1,+∞,则函数F(x)=f(x)-1π的所有零点之和为________.16.对于函数f(x)与g(x),若存在λ∈{x ∈R |f(x)=0},μ∈{x ∈R |g(x)=0},使得|λ-μ|≤1,则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”,现已知函数f(x)=ex -2+x -3与g(x)=x 2-ax -x +4互为“零点密切函数”,则实数a 的取值范围是________.。
函数与基本初等函数复习资料
第1讲函数及其表示【高考会这样考】1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法.2.考查分段函数的简单应用.3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查.【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键,函数的概念比较抽象,应通过适量练习弥补理解的缺陷,纠正理解上的错误.本讲复习还应掌握:(1)求函数的定义域的方法;(2)求函数解析式的基本方法;(3)分段函数及其应用.基础梳理1.函数的基本概念(1)函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合B的子集.(3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.2.函数的三种表示方法表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法.3.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.一个方法求复合函数y =f (t ),t =q (x )的定义域的方法:①若y =f (t )的定义域为(a ,b ),则解不等式得a <q (x )<b 即可求出y =f (q (x ))的定义域;②若y =f (g (x ))的定义域为(a ,b ),则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域. 两个防范(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 三个要素函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f :A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .双基自测1.(人教A 版教材习题改编)函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为( ). A .(0,+∞) B .[0,+∞) C .(1,+∞) D .[1,+∞)解析 ∵3x +1>1,∴f (x )=log 2(3x +1)>log 21=0. 答案 A2.(2011·江西)若f (x )=1log12x +,则f (x )的定义域为( ). A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞ D .(0,+∞)解析 由log 12(2x +1)>0,即0<2x +1<1,解得-12<x <0.答案 A3.下列各对函数中,表示同一函数的是( ). A .f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x B .f (x )=lg x +1x -1,g (x )=lg(x +1)-lg(x -1) C .f (u )=1+u1-u,g (v )= 1+v1-vD .f (x )=(x )2,g (x )=x 2 答案 C4.(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ). A .y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B .y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +310 C .y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +410 D .y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +510 解析 根据规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,即余数分别为7、8、9时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +310.故选B. 答案 B5.函数y =f (x )的图象如图所示.那么,f (x )的定义域是________;值域是________;其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________.解析 任作直线x =a ,当a 不在函数y =f (x )定义域内时,直线x =a 与函数y =f (x )图象没有交点;当a 在函数y =f (x )定义域内时,直线x =a 与函数y =f (x )的图象有且只有一个交点.任作直线y =b ,当直线y =b 与函数y =f (x )的图象有交点,则b 在函数y =f (x )的值域内;当直线y =b 与函数y =f (x )的图象没有交点,则b 不在函数y =f (x )的值域内.答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域: (1)f (x )=|x -2|-1log 2x -;(2)f (x )=x +-x 2-3x +4.[审题视点] 理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.解(1)要使函数f (x )有意义,必须且只须⎩⎨⎧|x -2|-1≥0,x -1>0,x -1≠1.解不等式组得x ≥3,因此函数f (x )的定义域为[3,+∞). (2)要使函数有意义,必须且只须⎩⎨⎧x +1>0,-x 2-3x +4>0,即⎩⎨⎧x >-1,x +x -,解得:-1<x <1.因此f (x )的定义域为(-1,1).求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零;(2)偶次方根的被开方式其值非负;(3)对数式中真数大于零,底数大于零且不等于1.【训练1】 (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,12,求函数y =f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2-x -12的定义域;(2)已知函数f (3-2x )的定义域为[-1,2],求f (x )的定义域. 解 (1)令x 2-x -12=t ,知f (t )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪-12≤t ≤12,∴-12≤x 2-x -12≤12,整理得⎩⎨⎧x 2-x ≥0,x 2-x -1≤0⇒⎩⎨⎧x ≤0或x ≥1,1-52≤x ≤1+52,∴所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-52,0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1,1+52. (2)用换元思想,令3-2x =t ,f (t )的定义域即为f (x )的定义域, ∵t =3-2x (x ∈[-1,2]),∴-1≤t ≤5, 故f (x )的定义域为[-1,5].考向二 求函数的解析式【例2】►(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +1=lg x ,求f (x );(2)定义在(-1,1)内的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求函数f (x )的解析式.[审题视点] (1)用代换法求解;(2)构造方程组求解. 解 (1)令t =2x +1,则x =2t -1,∴f (t )=lg2t -1,即f (x )=lg 2x -1. (2)x ∈(-1,1)时,有2f (x )-f (-x )=lg(x +1).① 以-x 代x 得,2f (-x )-f (x )=lg(-x +1).② 由①②消去f (-x )得f (x )=23lg(x +1)+13lg(1-x ),x ∈(-1,1).求函数解析式的方法主要有:(1)代入法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)解函数方程等.【训练2】 (1)已知f (x )是二次函数,若f (0)=0,且f (x +1)=f (x )+x +1,试求f (x )的表达式.(2)已知f (x )+2f (1x)=2x +1,求f (x ).解 (1)由题意可设f (x )=ax 2+bx (a ≠0),则a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1 ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1 ∴⎩⎨⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =12,b =12.因此f (x )=12x 2+12x .(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f x +2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =2x +1,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2f x =2x +1,消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ,得f (x )=4+x -2x 23x.考向三 分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f (x )=⎩⎨⎧21-x,x ≤1,1-log 2x ,x >1,则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ).A .[-1,2]B .[0,2]C .[1,+∞) D.[0,+∞) [审题视点] 对于分段函数应分段求解,最后再求其并集. 解析 f (x )≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1,21-x≤2或⎩⎨⎧x >1,1-log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x >1,故选D.答案 D分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,关键抓住在不同的段内研究问题,如本例中,需分x ≤1和x >1时分别解得x 的范围,再求其并集.【训练3】 (2011·江苏)已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎨⎧2x +a ,x <1,-x -2a ,x ≥1.若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为________. 解析 分类讨论:(1)当a >0时,1-a <1,1+a >1. 这时f (1-a )=2(1-a )+a =2-a ;f (1+a )=-(1+a )-2a =-1-3a . 由f (1-a )=f (1+a ),得2-a =-1-3a , 解得a =-32,不符合题意,舍去.(2)当a <0时,1-a >1,1+a <1, 这时f (1-a )=-(1-a )-2a =-1-a ;f (1+a )=2(1+a )+a =2+3a ,由f (1-a )=f (1+a ),得-1-a =2+3a , 解得a =-34.综合(1),(2)知a 的值为-34.答案 -34阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,根据同增异减的法则求解函数的单调区间.由于思维定势的原因,考生容易忽视定义域,导致错误.【防范措施】 研究函数的任何问题时,把求函数的定义域放在首位,即遵循“定义域优先”的原则.【示例】► 求函数y =log 13(x 2-3x )的单调区间.错因 忽视函数的定义域,把函数y =log 13t 的定义域误认为R 导致出错.实录 设t =x 2-3x .∵函数t 的对称轴为直线x =32,故t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,32上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞上单调递增.∴函数y =log 13(x 2-3x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,32,单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞.正解 设t =x 2-3x ,由t >0,得x <0或x >3,即函数的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞).函数t 的对称轴为直线x =32,故t 在(-∞,0)上单调递减,在()3,+∞上单调递增.而函数y =log 13t 为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数y =log 13(x 2-3x )的单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞).【试一试】 求函数f (x )=log 2(x 2-2x -3)的单调区间. [尝试解答] 由x 2-2x -3>0,得x <-1或x >3, 即函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞).令t =x 2-2x -3,则其对称轴为x =1,故t 在(-∞,-1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数. 又y =log 2t 为单调增函数.故函数y =log 2(x 2-2x -3)的单调增区间为(3,+∞),单调减区间为(-∞,-1).第2讲函数的单调性与最值【高考会这样考】1.考查求函数单调性和最值的基本方法.2.利用函数的单调性求单调区间.3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围.【复习指导】本讲复习首先回扣课本,从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念,复习中重点掌握:(1)函数单调性的判断及其应用;(2)求函数最值的各种基本方法;对常见题型的解法要熟练掌握.基础梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M满足条件 .①对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ; ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M .结论M 为最大值 M 为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数y =1x分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 两种形式设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1<x 2,那么 ①f x 1-f x 2x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;f x 1-f x 2x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数. 两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 四种方法函数单调性的判断(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论.(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数.(3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性.双基自测1.设f (x )为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f (-2)=0,则xf (x )<0的解集为( ).A .(-2,0)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(0,2)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-2,0)∪(0,2)答案 C2.(2011·湖南)已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x -3.若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为( ). A .[2-2,2+2] B .(2-2,2+2) C .[1,3]D .(1,3)解析 函数f (x )的值域是(-1,+∞),要使得f (a )=g (b ),必须使得-x 2+4x -3>-1.即x 2-4x +2<0,解得2-2<x <2+ 2. 答案 B3.(2012·保定一中质检)已知f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ). A .(-1,1) B .(0,1)C .(-1,0)∪(0,1)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)解析 由已知条件:⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1,不等式等价于⎩⎨⎧|x |<1,x ≠0,解得-1<x <1,且x ≠0.答案 C4.(2011·江苏)函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是______.解析 要使y =log 5(2x +1)有意义,则2x +1>0,即x >-12,而y =log 5u 为(0,+∞)上的增函数,当x >-12时,u =2x +1也为增函数,故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞5.若x >0,则x +2x的最小值为________.解析 ∵x >0,则x +2x≥2x ·2x=2 2 当且仅当x =2x,即x = 2时,等号成立,因此x +2x的最小值为2 2.答案 2 2考向一 函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f (x )=x x 2+1的单调性.[审题视点] 可采用定义法或导数法判断.解 法一 f (x )的定义域为R ,在定义域内任取x 1<x 2,都有f (x 1)-f (x 2)=x 1x 21+1-x 2x 22+1=x 1-x 2-x 1x 2x 21+x 22+,其中x 1-x 2<0,x 21+1>0,x 22+1>0.①当x 1,x 2∈(-1,1)时,即|x 1|<1,|x 2|<1,∴|x 1x 2|<1,则x 1x 2<1,1-x 1x 2>0,f (x 1)-f (x 2)<0,f (x 1)<f (x 2),∴f (x )为增函数. ②当x 1,x 2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时, 1-x 1x 2<0,f (x 1)>f (x 2),∴f (x )为减函数.综上所述,f (x )在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数.法二 ∵f ′(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2+1′=x 2+1-x x 2+x 2+2=x 2+1-2x 2x 2+2=1-x 2x 2+2,∴由f ′(x )>0解得-1<x <1.由f ′(x )<0解得x <-1或x >1,∴f (x )在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数.判断(或证明)函数单调性的主要方法有:(1)函数单调性的定义;(2)观察函数的图象;(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则;(4)利用函数的导数等. 【训练1】 讨论函数f (x )=ax x -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.解 设-1<x 1<x 2<1,f (x )=a x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎪⎫1+1x -1, f (x 1)-f (x 2)=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 1-1-a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 2-1 =ax 2-x 1x 1-x 2-当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上递增.考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f (x )=x 2+ax (a >0)在(2,+∞)上递增,求实数a 的取值范围.[审题视点] 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性.解 法一 设2<x 1<x 2,由已知条件f (x 1)-f (x 2)=x 21+a x 1-x 22+ax 2=(x 1-x 2)+ax 2-x 1x 1x 2=(x 1-x 2)x 1x 2-ax 1x 2<0恒成立.即当2<x 1<x 2时,x 1x 2>a 恒成立.又x 1x 2>4,则0<a ≤4.法二 f (x )=x +ax,f ′(x )=1-a x2>0得f (x )的递增区间是(-∞,-a ),(a ,+∞),根据已知条件a ≤2,解得0<a ≤4.已知函数的解析式,能够判断函数的单调性,确定函数的单调区间,反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围,可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解.【训练2】 函数y =x -5x -a -2在(-1,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ).A .a =-3B .a <3C .a ≤-3D .a ≥-3解析 y =x -5x -a -2=1+a -3x -a +,需⎩⎨⎧a -3<0,a +2≤-1,即⎩⎨⎧a <3,a ≤-3,∴a ≤-3.答案 C考向三 利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时,f (x )<0,f (1)=-23. (1)求证:f (x )在R 上是减函数;(2)求f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值.[审题视点] 抽象函数单调性的判断,仍须紧扣定义,结合题目作适当变形. (1)证明 法一 ∵函数f (x )对于任意x ,y ∈R 总有f (x )+f (y )=f (x +y ), ∴令x =y =0,得f (0)=0. 再令y =-x ,得f (-x )=-f (x ). 在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (x 1-x 2). 又∵x >0时,f (x )<0,而x 1-x 2>0,∴f (x 1-x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). 因此f (x )在R 上是减函数. 法二 设x 1>x 2,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2+x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2)+f (x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2). 又∵x >0时,f (x )<0,而x 1-x 2>0, ∴f (x 1-x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), ∴f (x )在R 上为减函数. (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数, ∴f (x )在[-3,3]上也是减函数,∴f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f (-3)与f (3). 而f (3)=3f (1)=-2,f (-3)=-f (3)=2. ∴f (x )在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x 1,x 2在所给区间内比较f (x 1)-f (x 2)与0的大小,或f x 1f x 2与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如x 1=x 2·x 1x 2或x 1=x 2+x 1-x 2等.【训练3】 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0. (1)求f (1)的值; (2)判断f (x )的单调性;(3)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值. 解 (1)令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. (2)任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1x 2>1, 由于当x >1时,f (x )<0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f (x )在[0,+∞)上是单调递减函数. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9).由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2)得,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为-2.规范解答2——如何解不等式恒成立问题【问题研究】 在恒成立的条件下,如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容,近年来在新课标地区的高考命题中,由于三角函数、数列、导数知识的渗透,使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度,因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间根的分布问题,进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解,常用方法还有函数性质法,分离参数法等.【示例】►(本题满分12分)已知函数f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈[-1,+∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围.利用函数性质求f (x )的最值,从而解不等式f (x )min ≥a ,得a 的取值范围.解题过程中要注意a 的范围的讨论.[解答示范] ∵f (x )=(x -a )2+2-a 2,∴此二次函数图象的对称轴为x =a (1分) (1)当a ∈(-∞,-1)时,f (x )在[-1,+∞)上单调递增, ∴f (x )min =f (-1)=2a +3.(3分)要使f (x )≥a 恒成立,只需f (x )min ≥a ,即2a +3≥a , 解得a ≥-3,即-3≤a <-1.(6分)(2)当a ∈[-1,+∞)时,f (x )min =f (a )=2-a 2.(8分) 要使f (x )≥a 恒成立,只需f (x )min ≥a , 即2-a 2≥a (10分)解得-2≤a ≤1,即-1≤a ≤1.(11分)综上所述,实数a 的取值范围为[-3,1](12分)本题是利用函数的性质求解恒成立问题,主要的解题步骤是研究函数的性质,由于导数知识的运用,拓展了这类问题深度和思维的广度,因此,解答问题时,一般的解题思路是先通过对函数求导,判断导函数的符号,从而确定函数在所给区间上的单调性,得到区间上对应的函数最值.【试一试】 当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立,则m 的取值范围是________.解析 法一 当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0可化为:m <-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x ,又函数f (x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x 在(1,2)上递增,则f (x )>-5, 则m ≤-5.法二 设g (x )=x 2+mx +4当-m 2≤32,即m ≥-3时,g (x )<g (2)=8+2m , 当-m 2>32,即m <-3时,g (x )<g (1)=5+m 由已知条件可得: ⎩⎨⎧m ≥-3,8+2m ≤0,或⎩⎨⎧m <-3,5+m ≤0.解得m ≤-5 答案 (-∞,-5]第3讲 函数的奇偶性与周期性【高考会这样考】 1.判断函数的奇偶性.2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题.基础梳理1.奇、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积都是偶函数;③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.两个性质(1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.三种方法判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x ),且f (2b -x )=f (x )(其中a <b ),则:y =f (x )是以2(b -a )为周期的周期函数. (3)若f (x +a )=-f (x )或f (x +a )=1f x或f (x +a )=-1f x,那么函数f (x )是周期函数,其中一个周期为T =2a ;(3)若f (x +a )=f (x +b )(a ≠b ),那么函数f (x )是周期函数,其中一个周期为T =2|a -b |.双基自测1.(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1-x ),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=( ).A.-12B.-14C.14D.12解析 因为f (x )是周期为2的奇函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-12.故选A. 答案 A2.(2012·福州一中月考)f (x )=1x-x 的图象关于( ).A .y 轴对称B .直线y =-x 对称C .坐标原点对称D .直线y =x 对称解析 f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f (-x )=1-x -(-x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -x =-f (x ),则f (x )为奇函数,图象关于原点对称. 答案 C3.(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ).A .f (x )+|g (x )|是偶函数B .f (x )-|g (x )|是奇函数C .|f (x )|+g (x )是偶函数D .|f (x )|-g (x )是奇函数解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错;C 项与D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选A. 答案 A4.(2011·福建)对于函数f (x )=a sin x +bx +c (其中,a ,b ∈R ,c ∈Z ),选取a ,b ,c 的一组值计算f (1)和f (-1),所得出的正确结果一定不可能是( ). A .4和6 B .3和1 C .2和4D .1和2解析 ∵f (1)=a sin 1+b +c ,f (-1)=-a sin 1-b +c 且c ∈Z ,∴f (1)+f (-1)=2c 是偶数,只有D 项中两数和为奇数,故不可能是D. 答案 D5.(2011·浙江)若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________. 解析 法一 ∵f (-x )=f (x )对于x ∈R 恒成立,∴|-x +a |=|x +a |对于x ∈R 恒成立,两边平方整理得ax =0对于x ∈R 恒成立,故a =0. 法二 由f (-1)=f (1), 得|a -1|=|a +1|,得a =0. 答案0考向一 判断函数的奇偶性【例1】►下列函数:①f (x )= 1-x 2+ x 2-1;②f (x )=x 3-x ;③f (x )=ln(x +x 2+1);④f (x )=3x -3-x 2;⑤f (x )=lg 1-x 1+x .其中奇函数的个数是( ).A .2B .3C .4D .5[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断.解析 ①f (x )=1-x 2+x 2-1的定义域为{-1,1},又f (-x )=±f (x )=0, 则f (x )=1-x 2+x 2-1是奇函数,也是偶函数; ②f (x )=x 3-x 的定义域为R ,又f (-x )=(-x )3-(-x )=-(x 3-x )=-f (x ), 则f (x )=x 3-x 是奇函数;③由x +x 2+1>x +|x |≥0知f (x )=ln(x +x 2+1)的定义域为R , 又f (-x )=ln(-x +-x2+1)=ln1x +x 2+1=-ln(x +x 2+1)=-f (x ), 则f (x )为奇函数;④f (x )=3x -3-x2的定义域为R ,又f (-x )=3-x -3x 2=-3x -3-x2=-f (x ),则f (x )为奇函数; ⑤由1-x 1+x >0得-1<x <1,f (x )=ln 1-x 1+x的定义域为(-1,1), 又f (-x )=ln1+x 1-x =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x -1=-ln 1-x 1+x =-f (x ), 则f (x )为奇函数. 答案 D判断函数的奇偶性的一般方法是:(1)求函数的定义域;(2)证明f (-x )=f (x )或f (-x )=-f (x )成立;或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆未做到是不能下任何结论的,切忌主观臆断. 【训练1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=4-x 2|x +3|-3;(2)f (x )=x 2-|x -a |+2.解 (1)解不等式组⎩⎨⎧4-x 2≥0,|x +3|-3≠0,得-2≤x <0,或0<x ≤2,因此函数f (x )的定义域是[-2,0)∪(0,2], 则f (x )=4-x 2x.f (-x )=4--x2-x =-4-x 2x=-f (x ),所以f (x )是奇函数.(2)f (x )的定义域是(-∞,+∞). 当a =0时,f (x )=x 2-|x |+2,f (-x )=x 2-|-x |+2=x 2-|x |+2=f (x ). 因此f (x )是偶函数; 当a ≠0时,f (a )=a 2+2,f (-a )=a 2-|2a |+2,f (-a )≠f (a ),且f (-a )≠-f (a ). 因此f (x )既不是偶函数也不是奇函数.考向二 函数奇偶性的应用【例2】►已知f (x )=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-1+12(x ≠0). (1)判断f (x )的奇偶性;(2)证明:f (x )>0.[审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定;(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.(1)解 法一 f (x )的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ∵f (x )=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1+12=x 2·2x +12x -1.∴f (-x )=-x 2·2-x +12-x -1=x 2·2x +12x -1=f (x ).故f (x )是偶函数.法二 f (x )的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f (1)=32,f (-1)=32,∴f (x )不是奇函数.∵f (x )-f (-x )=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-1+12+x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x -1+12=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1+2x 1-2x +1=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2x2x-1+1=x (-1+1)=0, ∴f (-x )=f (x ),∴f (x )是偶函数. (2)证明 当x >0时,2x >1,2x -1>0, 所以f (x )=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-1+12>0. 当x <0时,-x >0,所以f (-x )>0,又f (x )是偶函数, ∴f (-x )=f (x ),所以f (x )>0. 综上,均有f (x )>0.根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可.【训练2】 已知奇函数f (x )的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f (1-m )+f (1-m 2)<0的实数m 的取值范围. 解 ∵f (x )的定义域为[-2,2], ∴有⎩⎨⎧-2≤1-m ≤2,-2≤1-m 2≤2,解得-1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减,∴f (1-m )<-f (1-m 2)=f (m 2-1)⇒1-m >m 2-1, 即-2<m <1.②综合①②可知,-1≤m <1.考向三 函数的奇偶性与周期性【例3】►已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,且f (x )的图象关于x =1对称,当x ∈[0,1]时,f (x )=2x -1, (1)求证:f (x )是周期函数;(2)当x ∈[1,2]时,求f (x )的解析式;(3)计算f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2013)的值.[审题视点] (1)只需证明f (x +T )=f (x ),即可说明f (x )为周期函数;(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x=1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式;(3)由周期性求和的值.(1)证明函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],又f(x)的图象关于x=1对称,则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].(3)解∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.【训练3】已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 013)+f(2 015)的值为( ).A.-1 B.1 C.0 D.无法计算解析由题意,得g(-x)=f(-x-1),又∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的周期为4,∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1),又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2 013)+f(2 015)=0.答案 C规范解答3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既有区别又有联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,在命题时,常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为f-x与f x 的相等或相反关系,而根据周期函数的定义知,函数的周期性主要体现为f x +T与f x的关系,它们都与f x有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性来解决相关问题.【示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间.第(1)问先求函数f(x)的周期,再求f(π);第(2)问,推断函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,再结合周期画出图象,由图象易求面积;第(3)问,由图象观察写出.[解答示范] (1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,(2分)∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(4分)(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.(6分)又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.(8分)当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB =4×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×1=4.(10分)(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k +3](k∈Z).(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【试一试】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)[尝试解答] 由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递增,又f(x-4)=-f(x)⇒f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数f(x)以8为周期,f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故f(-25)<f(80)<f(11).故选D.答案 D第4讲指数与指数函数【高考会这样考】1.考查指数函数的图象与性质及其应用.2.以指数与指数函数为知识载体,考查指数的运算和函数图象的应用.3.以指数或指数型函数为命题背景,重点考查参数的计算或比较大小.【复习指导】1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础,较高的运算能力是高考得分的保障,所以熟练掌握这一基本技能是重中之重.2.本讲复习,还应结合具体实例了解指数函数的模型,利用图象掌握指数函数的性质.重点解决:(1)指数幂的运算;(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1.根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n >1且,n ∈N *),那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是,若x n=a ,则x 叫做a 的n 次方根,其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)根式的性质①当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时,a 的n 次方根用符号na 表示.②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-na 表示.正负两个n 次方根可以合写为±na (a >0). ③⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n =a . ④当n 为奇数时,na n =a ;当n 为偶数时,na n= |a |=⎩⎨⎧a a-a a <.⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂:a n =a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *);②零指数幂:a 0=1(a ≠0);③负整数指数幂:a -p =1ap (a ≠0,p ∈N *);④正分数指数幂:a m n=na m (a >0,m 、n ∈ N *,且n >1); ⑤负分数指数幂:a -m n=1am n=1na m(a >0,m 、n ∈N *且n >1).⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s=ar +s(a >0,r 、s ∈Q )②(a r )s =a rs (a >0,r 、s ∈Q ) ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 3.指数函数的图象与性质y=a x a >1 0<a <1图象定义域 R 值域 (0,+∞) 性质过定点(0,1)x <0时,0<y <1x <0时,y >1. 在(-∞,+∞)上是减函数当x >0时,0<y <1; 当x >0时,y >1; 在(-∞,+∞)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的,因此解题时通常对底数a 按:0<a <1和a >1进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围. 三个关键点画指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a ),(0,1),⎝⎛⎭⎪⎫-1,1a .双基自测1.(2011·山东)若点(a,9)在函数y =3x 的图象上,则tan a π6的值为( ).A .0 B.33C .1 D. 3解析 由题意有3a =9,则a =2,∴tan a π6=tanπ3= 3. 答案 D2.(2012·郴州五校联考)函数f (x )=2|x -1|的图象是( ).解析f (x )=⎩⎨⎧2x -1,x ≥1,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1,x <1,故选B.答案 B 3.若函数f (x )=12x +1,则该函数在(-∞,+∞)上是( ). A .单调递减无最小值 B .单调递减有最小值 C .单调递增无最大值 D .单调递增有最大值解析 设y =f (x ),t =2x +1, 则y =1t,t =2x +1,x ∈(-∞,+∞)t =2x +1在(-∞,+∞)上递增,值域为(1,+∞).。
基本初等函数复习
基本初等函数复习一、知识梳理1.知识网络2.要点归纳 (1)分数指数幂①m na =na m (a >0、m 、n ∈N *、且n >1). ②1m n m naa-=(a >0、m 、n ∈N *、且n >1).(2)根式的性质 ①(na )n =a .②当n 为奇数时、na n =a ;当n 为偶数时、na n =|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥0,-a ,a <0.(3)指数幂的运算性质 ①a r ·a s =a r +s (a >0、r 、s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a >0、r 、s ∈R ). ③(ab )r =a r b r (a >0、b >0、r ∈R ). (4)指数式与对数式的互化式log a N =b ⇔a b =N (a >0、且a ≠1、N >0). (5)对数的换底公式log a N =log m Nlog m a(a >0、且a ≠1、m >0、且m ≠1、N >0).推论:log m na b =n m log a b (a >0、且a ≠1、m 、n >0、且m ≠1、n ≠1、b >0).(6)对数的四则运算法则若a >0、且a ≠1、M >0、N >0、则 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a MN =log a M -log a N ;③log a M n =n log a M (n ∈R ). (7)指数函数①理解指数函数概念及单调性.②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点. (8)对数函数①理解对数函数概念及单调性.②会画具体对数函数图象并掌握图象通过的特殊点. ③了解y =a x 、y =log a x (a >0、且a ≠1)互为反函数. (9)幂函数①了解幂函数的概念.②结合y =x α、α=-1、12、1、2、3的图象、了解它们的性质.二、专题讲解1、 指数、对数的运算1、化简:(1)2932)-⨯ (2)2log 32-log 3329+log 38-5log 325.2、已知22(xxa a -+=为常数、)x Z ∈、求88x x -+的值3、计算80.25×42+(32×3)6+log 32×log 2(log 327)的值为________.4、22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5++⋅= 5、设,,a b c 都是正数、且346a b c ==、则下列正确的是( )111.A c a b =+ 221.B c a b =+ 122.C c a b =+ 212.D c a b =+ 6、已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28=2、函数的解析式1、函数()xa a a 33y 2+-=是指数函数、求a 的值。
基本初等函数含答案,附上学生版
基本初等函数1.若函数y =f (x )的定义域是[0, 2 018],则函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是________. 解析:要使函数f (x +1)有意义,则0≤x +1≤2 018,解得-1≤x ≤2 017,故函数f (x +1)的定义域为[-1,2 017],所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤2 017x -1≠0,解得-1≤x <1或1<x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[-1,1)∪(1,2 017]. 2解析:∵ƒ(x )=log 2(x 2+a )且ƒ(3)=1,∴1=log 2(9+a ),∴9+a =2,∴a =-7. 答案:-73.若幂函数y =(m 2-3m +3)·x (m-2)(m +1)的图象不经过原点,则实数m 的值为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m +3=1,(m -2)(m +1)≤0,解得m =1或2,经检验m =1或2都适合.答案:1或24.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是________. A .f (x )=sin xB .f (x )=x 3+1C .f (x )=log 2(x 2+1+x )D .f (x )=1-2x1+2x解析:依题意,对于选项A ,注意到f (0)=f (π),因此函数f (x )=sin x 在其定义域上不是增函数;对于选项B ,注意到f (x )的定义域为R ,但f (0)=1≠0,因此函数f (x )=x 3+1不是奇函数;对于选项C ,注意到f (x )的定义域是R ,且f (-x )=log 2(x 2+1-x )=log 21x 2+1+x=-log 2(x 2+1+x )=-f (x ),因此f (x )是奇函数,且f (x )在R 上是增函数;对于选项D ,注意到f (x )=1-2x 1+2x =-1+21+2x 在R 上是减函数.故选C. 5.函数f (x )=|log 2 x |+x -2的零点个数为_______.解析:函数f (x )=|log 2 x |+x -2的零点个数,就是方程|log 2 x |+x -2=0的根的个数.令h (x )=|log 2 x |,g (x )=2-x ,画出两函数的图象,如图.由图象得h (x )与g (x )有2个交点,∴方程|log 2 x |+x -2=0的解的个数为2.6.已知a =log 372,b =⎝⎛⎭⎫1413,c =log 1315,则a ,b ,c 的大小关系为 .A .a >b >cB .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b解析:∵ c =log 1315=log 35,a =log 372,又y =log3x 在(0,+∞)上是增函数, ∴ log35>log372>log33=1,∴ c >a >1.∵ y =14x 在(-∞,+∞)上是减函数,∴ 1413<140=1,即b <1.∴ c >a >b . 故选D.7.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意的0<x 1<x 2,f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0均成立,若a =f (334),b=f (943-),c =f (-543),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .b <a <cB .a <b <cC .c <b <aD .b <c <a解析:因为偶函数f (x )满足对任意的0<x 1<x 2,f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0均成立,所以f (x )在(0,+∞)上是增函数.因为幂函数y =x 43在(0,+∞)上是增函数,指数函数y =3x 在(0,+∞)上是增函数,所以343<543,943-=383-<334<343,故c =f (-543)=f (543)>a =f (334)>b =f (943-),故b <a <c ,故选A.8.已知f (x )是R 上的奇函数,且f (x )=则f = .[解析] f=-f =-f =-f =-log 2=-log 22-1=1.9.若函数y =⎝⎛⎭⎫12|1-x |+m 的图象与x 轴有公共点,则实数m 的取值范围是________. 解析:∵|1-x |≥0,∴0<⎝⎛⎭⎫12|1-x |≤1,由题意得0<-m ≤1,即-1≤m <0. 答案:[-1,0)10.已知函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对于任意x ∈(0,+∞),都有f =2,则f的值是 . 因为函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数,且f=2恒成立,所以f (x )-为一个大于0的常数,令这个常数为n (n>0),则有f (x )-=n ,且f (n )=2,所以f (n )=+n=2,解得n=1,所以f (x )=1+,11.设m ∈N ,若函数f (x )=2x -m 10-x +10存在整数零点,则符合条件的m 的个数为 .解析:由f (x )=0得m =2x +1010-x .又m ∈N ,因此有⎩⎪⎨⎪⎧10-x >0,2x +10≥0,解得-5≤x <10,x ∈Z ,∴x=-5,-4,-3,…,1,2,3,…,8,9,将它们分别代入m =2x +1010-x,一一验证得,符合条件的m 的取值为0,4,11,28,共4个.12.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x +2|,-3≤x <0,log a x ,x >0,其中a >0且a ≠1,若函数f (x )的图象上有且仅有一对点关于y 轴对称,则实数a 的取值范围是 . 解析:∵函数f (x )的图象上有且仅有一对点关于y 轴对称,∴f (x )=|x +2|(-3≤x <0)的图象关于y 轴对称的图象与f (x )=log a x (x >0)的图象有且只有一个交点.记f (x )=|x +2|(-3≤x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为g (x ),则g (x )=|x -2|(0<x ≤3),作出函数f (x )与g (x )的大致图象.当0<a <1时,如图(1),显然g (x )的图象与f (x )(x >0)的图象有且只有一个交点,符合题意;当a >1时,如图(2),要使g (x )的图象与f (x )(x >0)的图象有且只有一个交点,则需log a 3>1,∴ 1<a <3.综上a ∈(0,1)∪(1,3).13.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |,0<x <3,13x 2-103x +8,x ≥3,若存在实数a 、b 、c 、d ,满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),其中d >c >b >a >0,则abcd 的取值范围是 .解析:画出f (x )的图象,如图.由图象知0<a <1,1<b <3,则f (a )=|log 3a |=-log 3a ,f (b )=|log 3b |=log 3b ,∵f (a )=f (b ),∴-log 3a =log 3b ,∴ab =1.又由图象知,3<c <4,d >6,点(c ,f (c ))和点(d ,f (d ))均在二次函数y =13x 2-103x +8的图象上,故有c +d 2=5,∴d =10-c ,∴abcd =c (10-c )=-c 2+10c =-(c -5)2+25,∵3<c <4,∴21<-(c -5)2+25<24,即21<abcd <24.14.已知f (x )=2|x |+x 2+a 有唯一的零点,则实数a 的值为________.解析:设函数g (x )=2|x |+x 2,因为g (-x )=g (x ),所以函数g (x )为偶函数,当x ≥0时,g (x )=2x +x 2,为增函数;当x <0时,g (x )=⎝⎛⎭⎫12x +x 2,为减函数,所以g (x )≥g (0)=1.因为f (x )=2|x |+x 2+a 有唯一的零点,所以y =g (x )与y =-a 有唯一的交点,即a =-1. 答案:-115.已知函数f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm=________.解析:∵f (x )=|log 3x |,正实数m ,n 满足m <n ,且f (m )=f (n ),∴-log 3m =log 3n ,∴mn =1.∵f (x )在区间[m 2,n ]上的最大值为2,函数f (x )在[m 2,1)上是减函数,在(1,n ]上是增函数,∴-log 3m 2=2或log 3n =2.若-log 3m 2=2,得m =13,则n =3,此时log 3n =1,满足题意.那么n m =3÷13=9.同理:若log 3n =2,得n =9,则m =19,此时-log 3m 2=4,不满足题意.综上,可得nm=9.答案:916.函数f (x )的定义域为D ,若满足f (x )在D 内是单调函数,且存在[a ,b ]⊆D ,使得f (x )在[a ,b ]上的值域为,则称函数f (x )为“成功函数”.若函数f (x )=log m (m x +2t )(其中m>0且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为 .[解析] 无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m(m x+2t)都是R上的增函数,故应有则问题可转化为已知f(x)=,即log m(m x+2t)=,即m x+2t=在R上有两个不相等的实数根,求实数t的取值范围.令λ=(λ>0),则m x+2t=可化为2t=λ-λ2=-+,结合图像(图略)可得t∈.。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第1节:函数及其表示(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第1节函数及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数;3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不超过三段).1.函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B或y=f(x),x∈A,此时x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.(2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.(3)表示函数的常用方法有:列表法、图像法和解析法.2.分段函数(1)若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数.(2)分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.1.函数是特殊的映射,是定义在非空数集上的映射.2.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图像至多有1交点.3.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.(3)f (x )为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f (x )=x 0,则定义域为{x |x ≠0}.(5)正切函数y =tan x x |x ≠k π+π2,k ∈Z1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y =1与y =x 0是同一函数.()(2)对于函数f :A →B ,其值域是集合B .()(3)f (x )=x -3+2-x 是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图像可能是()3.(2021·贵阳诊断)已知函数f (x )3x(x ≤0),log 3x (x >0),则f 12=()A.-1B.2C.3D.124.(2020·北京卷)函数f (x )=1x +1+ln x 的定义域是__________.5.(易错题)已知f (x )=x -1,则f (x )=________.6.已知函数f (x )x 2+2,x ≤1,1x,x >1,则f (x )的值域为________.考点一函数的定义域1.函数y =1-x 2+log 2(tan x -1)的定义域是________.2.函数f(x)=12-x+ln(x+1)的定义域为()A.(2,+∞)B.(-1,2)∪(2,+∞)C.(-1,2)D.(-1,2]3.(2021·西安检测)已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是()A.(-∞,-2)∪(-2,3]B.(-8,-2)∪(-2,1]C.-92,-2(-2,0]D.-92,-24.已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1],则f(2x+1)log2(x+1)的定义域是() A.(-1,0) B.(-1,0]C.[-1,0)D.[-1,0]考点二求函数解析式例1求下列函数的解析式:(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式;(2)已知x+1x x2+1x2,求f(x)的解析式;(3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;(4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式.训练1(1)已知2x+1lg x,则f(x)=________;(2)(2021·黄冈检测)已知x2+1x2=x4+1x4,则f(x)=________.(3)(2022·唐山模拟)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.考点三分段函数角度1分段函数的求值例2(1)已知函数f(x)2-x,x≥-1,log2(1-x),x<-1,则f(0)-f(-3)=________.(2)设函数f(x)a x,x≥0,f x+4a),x<0(a>0且a≠1),若f(2)=4,则f(-2023)=________.角度2分段函数与方程例3(1)(2021·浙江卷)已知a∈R,函数f(x)x2-4,x>2,|-3|+a,x≤2.若f(f(6))=3,则a=________.(2)(2022·长沙质检)已知函数f(x)log2(3-x),x≤0,2x-1,x>0,若f(a-1)=12a=________.角度3分段函数与不等式例4(2021·合肥模拟)已知函数f(x)log2x,x>1,x2-1,x≤1,则f(x)<f(x+1)的解集为()A.(-1,+∞)B.(-1,1)C.-12,+∞ D.-12,1训练2(1)函数f(x)e x-3,x<1,ln x,x≥1,则关于函数f(x)的说法不正确的是()A.定义域为RB.值域为(-3,+∞)C.在R上为增函数D.只有一个零点(2)(2021·郑州调研)已知函数f(x)2x-1,x>0,a x+1,x≤0,若f(-1)=3,则不等式f(x)≤5的解集为()A.[-2,1]B.[-3,3]C.[-2,2]D.[-2,3]函数的值域求函数值域的一般方法:(1)单调性法;(2)不等式法;(3)配方法;(4)换元法;(5)数形结合法;(6)分离常数法;(7)导数法.一、单调性法例1已知a>0,设函数f(x)=2023x+1+20222023x+1+2023x3(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为()A.2023B.2024C.4045D.4046二、不等式法主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常用的基本不等式有以下几种:a2+b2≥2ab(a,b为实数);a+b2≥ab(a≥0,b≥0);ab a+b22≤a2+b22(a,b为实数).例2设x,y,z为正实数,x-2y+3z=0,则y2xz的最小值为________.配方法是求二次函数最值的基本方法,如函数F(x)=af2(x)+bf(x)+c的最值问题,可以考虑用配方法.例3已知函数y=(e x-a)2+(e-x-a)2(a∈R,a≠0),求函数y的最小值.四、换元法换元法有两类,即代数换元和三角换元,我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法,以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题,从而求出原函数的最值.例4(1)函数f(x)=x+21-x的最大值为________;(2)函数y=x-4-x2的值域为________.五、数形结合法数形结合法,是指利用函数所表示的几何意义,借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法.例5对a,b∈R,记max{a,b},a≥b,,a<b,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________.六、分离常数法例6已知f(x)=2x+1x-3,求此函数的值域.例7已知f (x )=2x -ln x ,求f (x )的值域.1.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图像.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是()2.下列所给图像是函数图像的个数为()A.1B.2C.3D.43.已知函数f (x )x +1,x ≤0,-log 2x ,x >0,则f (f (8))等于()A.-1B.-12C.12D.24.设函数x ,则f (x )的表达式为()A.1+x1-x(x ≠-1) B.1+xx -1(x ≠-1)C.1-x1+x(x ≠-1) D.2xx +1(x ≠-1)5.已知函数f (x )x +1,x ≥0,x 2,x <0,且f (x 0)=3,则实数x 0的值为()A.-1B.1C.-1或1D.-1或-136.(2021·兰州质检)已知函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数g (x )=f (2x -1)ln (1-x )的定义域是()A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]7.(2021·成都检测)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数.例如:[-0.5]=-1,[1.5]=1.已知函数f (x )=12×4x -3×2x +4(0<x <2),则函数y =[f (x )]的值域为()A.-12,B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}8.已知函数f (x )2+x ,x ≥0,3x ,x <0,若a [f (a )-f (-a )]>0,则实数a 的取值范围为()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)9.函数f (x )=+1-x 2的定义域为________.10.(2022·西安质检)已知函数f(x)x2-2x+1,x<0,x,x≥0,则满足f(a)>1的实数a的取值范围是________.11.已知函数f(x)满足1xf(-x)=2x(x≠0),则f(-2)=________,________.12.具有性质:f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数满足“倒负”变换的函数的是________.①y=x-1x;②y=ln1-x1+x;③y=e1-xx;④f(x),0<x<1,,x=1,-1x,x>1.13.(2022·河南名校联考)已知函数f(x)+x2,x≤0,,x>0,若f(x-4)>f(2x-3),则实数x的取值范围是()A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,4)D.(-∞,1)14.已知函数f(x)1-2a)x+3a,x<1,x-1,x≥1的值域为R,则实数a的取值范围是________.15.若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列四个函数:①f(x)=1x;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cos(πx).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为________.16.已知函数f(x)=x2.1+x2(1)求f(2)与f(3)与(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f(3)求f(2)+f(3)+f(2022)+f.。
基本初等函数
基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念b a =N N b a log =⇔(a >0,a ≠1)2.指数与对数的性质 指数运算性质①r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ),②r a aa sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ),③∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ) (注)上述性质对r 、∈s R 均适用. 对数运算性质①log MN a =log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =(M 、N >0, a >0, a ≠1)推广:M mnMa na m log log =④换底公式:aNN b b a log log log =(a ,b >0,a ≠1,b ≠1)3.指数函数、对数函数的概念形如y =x a (a >0且a ≠1,x >0)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 形如y =x a log (a >0且a ≠1,x >0)的函数,叫做对数函数.(1) 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义,注意指数函数与幂函数的区别; (2) 注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质(略).5.幂函数(1)幂函数定义:一般地,形如αx y =()R α∈的函数称为幂函数,其中α为常数.(2)幂函数性质:① 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);②0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸;③0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;3.比较几个数(幂或对数值)的大小的常用方法有:①以0和1为桥梁;②利用函数的单调性;③作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例1】比较下列各数的大小:3312122,15lg ,53,25lg ,53,35.0log ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解析:∵35.0log 2<0 ,其他各数都大于零,故35.0log 2最小;又∵10lg =1,100lg =2, ∴ 1<15lg <25lg <2<32=8,对于2153⎪⎭⎫⎝⎛与3153⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,首先,它们都属于区间(0,1),且是同底的幂,考虑函数y =x⎪⎭⎫ ⎝⎛53 为减函数,∴2153⎪⎭⎫ ⎝⎛<3153⎪⎭⎫ ⎝⎛.于是有331212225lg 15lg 535335.0log <<<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛<.又例:比较下列各组数的大小:(1)7.06,67.0,6log 7.0;(2)7.0log 1.1,7.0log 2.1 解析:(1)∵7.06>1, 0<67.0<1,6log 7.0<0 ,∴6log 7.0<67.0<7.06.(2)∵1.1log 17.0log 7.01.1=,2.1log 17.0log 7.02.1=.又函数y =x 7.0log 为减函数,∴ 0>1.1log 7.0>2.1log 7.0.∴7.0log 1.1<7.0log 2.1.再例:当0<a <b <1,下列不等式正确的有( ) A.()()bba a ->-111 B.()()bab a +>+11C.()()211b ba a ->- D.()()bab a ->-11解析:∵0<()b -1<()a -1<1,又函数y =xb )1(- 为减函数,y =a x 在(0,1)上为增函数, ∴()bb -1<()ab -1<()aa -1,故选D.技巧提示:利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性,同时充分利用0和1为桥梁,能使比较大小的问题得到解决.【例2】已知函数y =122-+x x a a (a >0,a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14,求a 的值.解析:∵y =2)1(2-+x a =2)1(2-+u ,又11≤≤-x ,当a >1时,],1[a au ∈,1-≥u ,2)1(2-+u 为u 的增函数. ∴函数的最大值为)(5312142舍或-==⇒-+=a a a a 当0<a <1时,]1,[aa u ∈,1-≥u ,2)1(2-+u 为u 的增函数.∴函数的最大值为舍)或(51311121142-==⇒-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a综上得,331==a a 或. 技巧提示:指数函数与二次函数的复合函数,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径 又例:已知)(x f =)32(log 24x x -+.求 (1))(x f 的单调区间;(2)求函数)(x f 的最大值及对应的x 的值.解析:(1)由0322>-+x x ,得)(x f 的定义域为)3,1(-, 记u =232x x -+=-(x -1)2+4,对称轴为x =1.∴)(x f 的增区间为(-1,1】,减为区间【1,3).(2)∵u =-(x -1)2+4≤4,∴当x =1 时有最大值y =1.【例3】函数12311-⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 的定义域是( )A.),21[+∞B.]21,(-∞ C.),(+∞-∞ D.]1,(-∞解析:由 031112≥⎪⎭⎫⎝⎛--x ,得13112≤⎪⎭⎫⎝⎛-x ,即012)31(31≤⎪⎭⎫⎝⎛-x , 由x)31( 为减函数,∴012≥-x .故所求定义域为21≥x .选A. 技巧提示:这里充分利用指数函数的单调性,通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样,可以充分利用对数函数的单调性,通过解简单的对数不等式得到某些问题的解.又例:若132log <a,则a 的取值范围是 . 解析:由 132log <a,即 a a a log 32log <, 当a >1时,x a log 是增函数,于是 32>a ,∴a >1. 当0<a <1时,x a log 是减函数,于是 32<a ,∴0<a <32. 综上可知a 的取值范围是a >1或0<a <32. 再例:解不等式 0)1)(2(log 2221<+--x x xb ab a(a >0,b >0).解析:由0)1)(2(log 2221<+--x x xb ab a,得xxxb ab a22)(2-->0,即0122>-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛xxb a b a . ∴21+>⎪⎭⎫ ⎝⎛xb a 或21-<⎪⎭⎫⎝⎛xb a (舍去). 当a >b 时, )21(log +>ba x ; 当a <b 时,)21(log +<ba x ;当a =b 时,不等式无解.【例4】函数)2(log 221x x y +-=的单调递增区间是 .解析:由022>+-x x ,得20<<x ,而函数22)1(12--=+-=x x x u , 即u 在)1,0(上是增函数,在)2,1(上是减函数.又u y 21log =是减函数,∴)2(log 221x x y +-=单调递增区间是)2,1(.技巧提示:对于复合函数的单调性,一要注意在定义域内研究问题;二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断;最后根据复合函数的单调性原则做出结论.又例:求函数93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调递减区间.解析:显然93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域是R .设932-+-=x x u ,则427)23(2---=x u . ∴932-+-=x x u 的单调递增区间为)23,(-∞有93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y =u⎪⎭⎫⎝⎛21是u 的减函数, ∴93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调递减区间为)23,(-∞.再例:已知a >0且a ≠1,函数x x f a log )(=在定义域[2,3]上的最大值比最小值大1 ,则a 的值为 .解析:由题意,有12log 3log =-a a ,即 123log ±=a,∴a =32,23.【例5】当a >1时,证明函数)(x f =11-+x x a a 是奇函数.解析:由x a -1≠0得x ≠0.故函数定义域{x |x ≠0}是关于原点对称的点集.又)(x f -=1111)1()1(11-+-=-+=-+=-+----xx xx x x x x x x a a a a a a a a a a ,=-)(x f -11-+x x a a , ∴)(x f -=-)(x f .所以函数)(x f =11-+x x a a 是奇函数.技巧提示:对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明,在判定)(x f -与)(x f 关系时,也可采用如下等价证法.1)()()()(=-⇔=-x f x f x f x f ()(x f ≠0),1)()()()(-=-⇔-=-x f x f x f x f ()(x f ≠0). 如本题可另证如下:∵=-)()(x f x f 11111x x x x x x x xa a a a a a a a ----+--⋅==--+-,即)(x f -=-)(x f , ∴所以函数)(x f =11-+x x a a 是奇函数.又例:设a 是实数,)(x f =a -122+x (x ∈R ) (1)试证明对于任意a ,)(x f 为增函数; (2)试确定a 值,使)(x f 为奇函数. 解析:(1)设1x ,2x ∈R ,且1x <2x ,则)()(21x f x f -=()122()12221+--+-x x a a )12)(12()22(2122122212112++-=+-+=x x x x x x 由于指数函数x y 2=在R 上是增函数,且1x <2x ,所以12x <22x ,即12x -22x<0, 又由2x >0得12x+1>0,22x+1>0,所以)()(21x f x f -<0.即)()(21x f x f <. 因为此结论与a 取值无关,所以对于a 取任意实数,)(x f 为增函数. (2)若)(x f 为奇函数,则)(x f -=-)(x f ,即22()2121x xa a --=--++, 变形得:12)12(21222)12(222++=++⋅+⋅=-xx x x x x a ,解得a =1. 所以当a =1时,)(x f 为奇函数.【例6】已知0<x <1,a >0,a ≠1,比较)1(log x a -和)1(log x a +的大小.解析:方法一:当a >1时,)1(log x a --)1(log x a +=-)1(log x a --)1(log x a +=-)1(log 2x a ->0,∴)1(log x a ->)1(log x a +.当0<a <1时,)1(log x a --)1(log x a +=)1(log x a -+)1(log x a +=)1(log 2x a ->0,∴)1(log x a ->)1(log x a +.综上所述,在题设条件下,总有)1(log x a ->)1(log x a +.方法二:∵)1(log )1(log x x a a +-=)1(log )1(x x -+=)1(log )1(x x --+=xx -+11log )1( =2)1(11log xxx -++>)1(log )1(x x ++=1. ∴)1(log x a ->)1(log x a +.技巧提示:比较大小通常采取作差-变形-判定符号.如果比较两个正数的大小时,亦可采取作商-变形-与“1”比较的办法.又例:解不等式)1(log )3(log 238+>++x x x解析:原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧+>++>+>++333)1(30103x x x x x x , 即等价于⎩⎨⎧<-+>+0223012x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧+-<<--->3713711x x ,解得:3711+-<<-x , 所以原不等式的解集为{x ︱3711+-<<-x }. 【例7】(1)已知a =3log 2,b =7log 3,用a ,b 表示56log 42;(2)已知,6log ,3log ,2log ===c b a x x x 求x abc log 的值. 解析:(1)56log 42=42lg 56lg =,3lg 2lg 7lg 2lg 37lg +++又 ∵,3lg 2lg ,3lg 7lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ab b a ==⇒== ∴56log 42=131133lg 3lg 3lg 3lg 33lg +++=+++=+++a ab ab ab a b a b a b . (2)∵a =2x ,b =63,x c x =,∴111log log 11==x x x abc . 技巧提示:掌握对数与指数的运算性质,是本部分的基本要求.尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算,但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容,不能熟练的进行对数与指数的运算,会影响解题技巧的把握,至少会影响解题速度.又例:判断下列函数的奇偶性(1))(x f =1212+-x x ;(2))(x g =x1-)1ln(2++x x . 解析:(1))(121221212)12(2)12(1212)(x f x f x x xx x x x x x x -=+--=+-=+-=++=-----,∴)(x f 为奇函数. (2)--=+-x x g x g 1)()()1ln(2++-x x +x1-)1ln(2++x x =-)]1)(1ln[(22++++-x x x x =-1ln =0.∴)(x g 为奇函数.四、课后训练1.已知732log [log (log )]0x =,那么12x -等于( )A.132.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于( ) A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线y x =对称 3.函数(21)log x y -= )A.()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B.()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4.函数212log (617)y x x =-+的值域是( ) A.R B.[)8,+∞ C.(],3-∞- D.[)3,+∞5.下列函数中,在()0,2上为增函数的是( )A.12log (1)y x =+ B.2log y =C.21log y x = D.2log (45)y x x =-+ 6.已知|1|log )(+=x x g a )1,0(≠>a a 在()10-,上有()0g x >,则1()x f x a +=是( )A.在(),0-∞上是增加的B.在(),0-∞上是减少的C.在(),1-∞-上是增加的D.在(),1-∞-上是减少的 7.函数xa x f )1()(2-=是减函数,则实数a 的取值范围是 . 8.计算=+⋅+3log 22450lg 2lg 5lg .9.已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数 (其中)1,0≠>a a , (1)求m 的值;(2)讨论)(x f 的单调性; (3)求)(x f 的反函数)(1x f-;(4)当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时,)(x f 的值域为),1(+∞,求a 的值. 10.对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ,解答下述问题:(1)若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若函数的值域为R ,求实数a 的取值范围; (3)若函数在),1[+∞-内有意义,求实数a 的取值范围; (4)若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞Y ,求实数a 的值; (5)若函数的值域为]1,(--∞,求实数a 的值;(6)若函数在]1,(-∞内为增函数,求实数a 的取值范围.五、参考答案1.C.2.C.3.A.4.C.5.D.6.C.7.)2,1()1,2(Y --8.109.解析:(1)011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a aΘ 对定义域内的任意x 恒成立,∴10)1(11122222±=⇒=-⇒=--m x m xx m , 当1m =,()f x 无意义,舍去, 1-=∴m ,(2)∵11log )(-+=x x x f a, ∴ 定义域为),1()1,(+∞--∞Y , 而)121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a, ①当1>a 时,)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数; ②当10<<a 时,)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是增函数;(3)111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y y y y a a a x a x a x x a x x y , ∵ 001≠≠-y a y,,∴ )10,0(11)(1≠>≠-+=-a a x a a x f xx 且. (4))2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在Θ上为减函数,∴命题等价于1)2(=-a f ,即014131log 2=+-⇒=--a a a a a , 解得32+=a .10.解析:记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==,(1)R x u ∈>对0Θ恒成立,33032min <<-⇒>-=∴a a u ,∴a 的取值范围是)3,3(-;第 11 页 共 11 页 (2)这是一个较难理解的问题。
专题02 函数概念与基本初等函数(新定义,高数观点,选填压轴题)(学生版)-2024年高考压轴专题复
专题02 函数概念与基本初等函数
(新定义,高数观点,选填压轴题)
目录
一、函数及其表示 (1)
二、函数的基本性质 (2)
三、分段函数 (4)
四、函数的图象 (5)
五、二次函数 (7)
六、指对幂函数 (7)
七、函数与方程 (8)
八、新定义题 (9)
一、函数及其表示
二、函数的基本性质
三、分段函数
四、函数的图象..
..
2023春·广东韶关·高二统考期末)
e3
cosπ
e2
x
x
x
⎫
-⎛⎫
⋅+
⎪ ⎪
+⎝⎭
⎭
部分图象大致是(
..
. .
2023春·云南楚雄·高二统考期末)函数)32e e 1
x
x x =-的部分图象大致为( )
2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末)下列四个函数中的某个函数在区间致图象如图所示,则该函数是(
A .322x
x
x x
y --=+B .cos222x
x
x x
y -=+5.(2023春·河北沧州·高二统考期中)函数. .
. .
2023·内蒙古赤峰·统考二模)函数2
1
sin x x -
在()π,0-
A.B.
C.D.
五、二次函数
六、指对幂函数
七、函数与方程
八、新定义题A.2
=-B.
4
y x x。
基本初等函数知识点大一
基本初等函数知识点大一初等函数是数学中最基础的一类函数,也是我们在大一学习数学中首要接触的内容。
初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。
本文将以大一课程中的基本初等函数知识点为重点,进行全面的介绍和细致的解析。
一、常数函数常数函数是最简单的初等函数形式,其表达式为f(x) = c,其中c为常数。
常数函数的图像始终平行于x轴,例如当函数为f(x) = 3时,其图像为一条平行于x轴且与x轴距离为3的直线。
常数函数的特点是在定义域上的每一个点的函数值都相等。
二、幂函数幂函数是形如f(x) = x^n的函数,其中n为常数。
幂函数的图像形状与n的正负、奇偶有关。
当n为正数时,随着x的增大,函数值也随之增大,图像呈现出右上方向延伸的趋势;当n为负数时,随着x的增大,函数值变小,图像呈现出右下方向延伸的趋势;当n为偶数时,图像关于y轴对称;当n为奇数时,图像则不对称。
三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数,其中a为底数,且a不等于0且不等于1。
指数函数的图像与底数a的大小有关。
当0<a<1时,函数值随着x的增大而迅速减小,图像接近于x轴;当a>1时,函数值随着x的增大而迅速增大,图像上升较快。
指数函数的特点是它们增长或减小的速度非常快,因此在许多领域中有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指满足f(x) = logₐ(x)的函数,其中a为底数。
对数函数是指数函数的反函数,它们具有互为反函数的关系。
对数函数的图像与底数a的大小和函数定义域相关。
当0<a<1时,函数图像下降;当a>1时,函数图像上升。
对数函数的特点是其定义域为正实数集合,值域为实数集合。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数是以弧度为单位的角度度量的三角函数。
它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
基本初等函数专题复习(学)
基本初等函数专题复习一、函数的奇偶性、单调性1.(2014•新课标I)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数2.(2015•新课标I)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数.则a=.3.(2014•湖南)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.34.(2010•新课标)设偶函数f(x)满足f(x)=2x﹣4(x≥0),则{x|f(x﹣2)>0}=()A.{x|x<﹣2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<﹣2或x>2} 5.(2011•新课标)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1 C.y=﹣x2+1 D.y=2﹣|x|6.(2014•新课标II)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x 的取值范围是.7.(2015•福建)若函数f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1﹣x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于1.8.(2012•新课标文)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.二、比较大小9.(2014•辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 10.(2013•新课标Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 11.(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 12.(2009•辽宁)若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x﹣1)=5,x1+x2=()A.B.3 C.D.4三、分段函数13.(2015•新课标II)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=()A.3 B.6 C.9 D.1214.(2011•辽宁)设函数f(x)=,则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A.[﹣1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)15.(2009•宁夏)用min{a ,b ,c}表示a ,b ,c 三个数中的最小值,设f (x )=min{2x ,x+2,10﹣x}(x ≥0),则f (x )的最大值为( )A .7B .6C .5D .416.(2010•新课标)已知函数,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围是( )A .(1,10)B .(5,6)C .(10,12)D .(20,24) 17.(2015•山东)设函数f (x )=,则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A .[,1]B .[0,1]C .[,+∞)D .[1,+∞) 四、函数图象性质的应用18.(2015•安徽)函数f (x )=的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .a >0,b >0,c <0B .a <0,b >0,c >0C .a <0,b >0,c <0D .a <0,b <0,c <019.(2012•新课标)已知函数f (x )=,则y=f (x )的图象大致为( )20.(2013•新课标Ⅰ)函数f (x )=(1﹣cosx )sinx 在[﹣π,π]的图象大致为( )21.(2012•山东)函数y=的图象大致为( )22.(2015•新课标II )如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x .将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )的图象大致为( )A B CD A B CDA B C DA.B.C.D.五、函数图象的应用23.(2015•北京)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|﹣1<x≤0} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|﹣1<x≤2}24.(2011•新课标)函数y=的图象与函数y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2 B.4 C.6 D.8六、函数与方程25.(2013•重庆)若a<b<c,则函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(﹣∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(﹣∞,a)和(c,+∞)内26.(2015•湖南)若函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是.27.(2013•天津)函数f(x)=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.428.(2011•北京)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是.29.(2015•天津)已知函数f(x)=,函数g(x)=b﹣f(2﹣x),其中b∈R,若函数y=f(x)﹣g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.(,+∞)B.(﹣∞,)C.(0,)D.(,2)30.(2014•江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.七、函数性质的综合应用31.(2014•辽宁)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣5,﹣3]B.[﹣6,﹣]C.[﹣6,﹣2]D.[﹣4,﹣3]32.(2013•新课标Ⅰ)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为.。
基本初等函数复习
基本初等函数复习1、指数与指数函数【知识梳理】一.根式与分数指数幂1. 若n x a=,则x叫做a的n n>1,且n N*∈.n次方根(*1,n n N>∈且)有如下恒等式:n a=,||,a na n⎧⎨⎩为奇数为偶数;==2. 规定正数的分数指数幂:mna=(0,,,1a m n N n*>∈>且);1mnmnaa-==二、指数幂的运算律m na a=()m na=m ma b=例1 化简(1)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-=(2例2函数()x bf x a-=的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是().A.1,0a b><B.1,0a b>>C.01,0a b<<>D.01,0a b<<<(2)在同一坐标系下,函数,,,x x x xy a y b y c y d====的图,则,,,,1a b c d之间从小到大的顺序是__________.★指数函数图像的排列规律:例3. 比较下列各题中两个值的大小(用“<”或“>”填空):(1) 2.51.731.7; (2)0.10.8-0.20.8-; (3)0.31.7 3.10.9★比较大小的方法:例4. 求下列函数的值域(1)()f x=(2)193 5 [1,2]x xy x+=++∈(3)2221()2x xy--=2、对数与对数函数【知识梳理】一.对数的概念与运算律1. 定义:如果x a N=(0,1)a a>≠,那么数x叫做以a为底N的对数记作logax N=2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,并把常用对数10log N简记为lg N以e为底的对数叫自然对数,并把自然对数logeN简记作ln N(e=2.71828……)3.对数与指数间的互化关系:当0,1a a>≠时,log baN b a N=⇔=.4. 负数与零没有对数;log10a=,log1aa=5.对数的运算法则:log()aM N=,logaMN=,log naM=,练习:用log,log,loga a ax y z表示下列各式:①logaxyz;②log a6. 对数的换底公式logloglogbabNNa=. 如果令N=b,则得到了对数的倒数公式logab=同样,也可以推导出一些对数恒等式,如log lognnaaN N=,log logmnaanN Nm=二、对数函数1.定义:一般地,当a>0且a≠1时,函数ay=log x叫做对数函数,函数的定义域是(0,+∞).2.性质【典例分析】例1求下列各式的值:⑴lg100 ⑵2ln e - ⑶ 91log 529-⑷21log 32.51log 6.25lg 2100+++ (5)33(lg 2)(lg5)3lg 2lg5++(6)已知log 2,log 3,a a m n ==求2m na +的值例2.(1)已知0x y z ≠ ,346xyz==,求证1112z x y-=(2)已知18log 9,185b a ==,用,a b 表示36log 5例3.如右图是对数函数①log a y x =,②log b y x =,③log c y x =,④log d y x =的图象,则,,,a b c d 与1的大小关系是★指数函数图像的排列规律: 例4.比较大小(1)2log 3.4 2l o g 8.5 (2)0.3log 1.8 0.3l o g 2.7 (3)6log 7 7l o g 6 (4)3log 2 2l o g 0.9 (5)lg 0.1 l n 0.1 (6)30.40.4log 3 0.4 3 例5.求下列函数的值域(1)2lg(22)y x x =++; (2)()()1122log 1log 3y x x =-++ (3)()22log log 2884x xy x =≤≤例6.(1) 函数22log (2)y x x =++的单调增区间为 ,减区间为 (2) 函数2lg(235)y x x =--的单调增区间为 ,减区间为(3) 函数212log (23)y x x =-++的单调增区间为 ,减区间为(4)已知函数()2log 3y ax =-在[]0,2x ∈上是减函数,则实数a 的取值范围为3、幂函数【知识梳理】一. 幂函数的定义1. 幂函数的基本形式是y x α=,其中x 是自变量,α是常数. 要求掌握y x =,2y x =,3y x =,12y x =,1y x -=这五个常用幂函数的图象. 二、幂函数的图象和性质观察出幂函数的共性,总结如下:(1)当0α>时,图象过定点(0,0),(1,1);在(0,)+∞上是增函数. (2)当0α<时,图象过定点(1,1);在(0,)+∞上是减函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.【典例分析】例:已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3),试讨论其单调性.4、函数的应用【知识梳理】一、方程的根与函数的零点 1.方程的根与函数零点的关系2.零点存在性定理:【典例分析】例1.(1)若函数()2f x x ax b =--的两个零点是2和3,函数()21g x bx ax ==--的零点为_________(2)若函数()1f x ax a =-+在区间()1,2-内存在零点,则实数a 的取值范围是_________ 例2.(1)函数()333f x x x =--有零点的区间是( )A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,3 (2)函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( ) A.()2,3 B.(),e +∞ C.()1,2 D.()1,e 和(),e +∞ (3)求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.。
完整版)基本初等函数经典复习题+答案
完整版)基本初等函数经典复习题+答案1、幂的运算性质1) $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$,其中$r,s\in R$;2) $(a^r)^s=a^{rs}$,其中$r,s\in R$;3) $a^r\cdot b^r=(ab)^r$,其中$r\in R$;4) $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$,其中$a>0,n\in N^*,n>1$。
2、对数的运算性质若$a>0$且$a\neq 1$,$M>0,N>0$,则有:1) $a^x=N\iff \log_a N=x$;2) $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$;3) $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$;4) $\log_a M^n=n\log_a M$,其中$n\in R$;5) $\log_a 1=0$;6) 换底公式:$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$,其中$a>0,a\neq 1,c>0,c\neq 1,b>0$。
3、函数的定义域能使函数式有意义的实数$x$的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时,需要注意以下几点:1) 偶次方根的被开方数不小于零;2) 对数式的真数必须大于零;3) 分式的分母不等于零;4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.4、函数单调区间与单调性的判定方法A) 定义法:1.任取$x_1,x_2\in D$,且$x_1<x_2$;2.作差$f(x_1)-f(x_2)$;3.变形(通常是因式分解和配方);4.定号(即判断差$f(x_1)-f(x_2)$的正负);5.下结论(指出函数$f(x)$在给定的区间$D$上的单调性)。
B) 图象法(从图象上看升降)。
C) 复合函数的单调性:复合函数$f[g(x)]$的单调性与构成它的函数$u=g(x),y=f(u)$的单调性密切相关,其规律为“同增异减”。
基本初等函数全章复习
二次函数的定义和性质
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数,其中a、b和c为常数,且a不等于0。它的图像是一个开口向上或向下的 抛物线。
二次函数的图像及其性质
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。顶点表示函数的最值,对 称轴是x=-b/(2a)。
一元二次方程的解法
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程,其中a、b和c为常数,且a不等于0。可以使用公式或配方法求解。
基本初等函数全章复习
对基本初等函数进行全面复习,包括一次函数、二次函数、指数函数等内容。 整理如下:
一次函数的定义和性质
一次函数是指形如y=ax+b的函数,其中a和b为常数。它的图像是一条直线,斜率为a,截距为b。
一次函数的图像及其性质
一次函数的图像是一条直线,通过两个点即可确定。斜率大于0表示函数增长, 斜率小于0表示函数减小。
函数的极值和最值
函数的极值是指函数在某些特定点上取得的最大值或最小值。最值是函数的 最大值和最小值。
函数的单调性和区间
函数的单调性是指函数在某个区间上的增减性。区间是由函数图像上的点组 成的连续区域。
函数的导数及其意义
函数的导数是函数在某个点上的变化率。导数表示函数的斜率和曲线的曲率。
对数函数的图像及其性质
对数函数的图像是一个递增或递减的曲线。底数a大于1时,曲线递增;底数a 小于1时,曲线递减。过原点(1,0)。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
指数函数和对数函数的关系
指数函数和对数函数是互为反函数的关系。指数函数的反函数是对数函数, 对数函数的反函数是指数函数。
复合函数的定义和性质
复合函数是由一个函数和另一个函数组合而成的新函数。复合函数的性质有 层层嵌套、结果与顺序无关等。
基本初等函数复习-5页文档资料
指数函数与对数函数复习一.指数函数、对数函数的概念、图象和性质 1.定义一般地,函数x y a =(0>a ,且1≠a )叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(, )-∞+∞.一般地,函数x y a log =(0>a ,且1≠a )叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0, )+∞.2.图象和性质 二.典型例题分析 (一)基础训练1.已知函数()x f x a =(01a <<),对于下列命题:①若0x >,则0()1f x <<;1a > 01a << 图 象定义域R 值域 (0, )+∞性 质 ⑴过点(0,1),即当0x =时,1y =.⑵在(0, )+∞上是增函数. ⑵在(0, )+∞上是减函数.01a<< 1a >图象定义域 (0, )+∞ 值域 R性 质⑴过点(1,0),即当1x =时,0y =.⑵在(0, )+∞上是减函数.⑵在(0, )+∞上是增函数.②若1x <,则()0f x >;③若12()()f x f x >,则12x x <,其中正确的命题个数为 ( )A .0个;B .1个;C .2个;D .3个. 2.若121log <a,则a 的取值范围是( )A .210<<a ; B .21>a ; C .121<<a ; D .210<<a 或1>a . 3.(01年全国文)若定义在区间()1, 0-上的函数()()2log 1a f x x =+(0>a )满足()0f x >,则a 的取值范围是( )A .10, 2⎛⎫⎪⎝⎭; B .10, 2⎛⎤⎥⎝⎦; C .1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭; D .()1, +∞.4.(04年全国Ⅰ)已知函数1()lg1x f x x -=+,若1()2f a =,则()f a -= ( ) A .12; B .12-; C .2; D .2-.5.化简:(22lg5++= .6.(04年丰台区)若()1)xf x a =>,则129()()()101010f f f +++=L .7.已知34a b =,且111a b+=,则a = ,b = 。
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〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当n a =;当n 为偶数时, (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.(2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是:1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈第1讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算1. 若n x a =,则x 叫做a 的n n >1,且n N *∈n 次方根具有如下性质:(1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数;正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数,负数的偶次方根没有意义;零的任何次方根都是零.(2)n 次方根(*1,n n N >∈且)有如下恒等式:n a =,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数;(a ≥0).2. 规定正数的分数指数幂:mna =(0,,,1a m n N n *>∈>且); 1m nm naa-==.¤例题精讲:【例1】已知21na =,求33n nn na a a a --++的值.【例2】化简与求值:(1(2+⋅⋅⋅+【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低.第2讲 §2.1.2 指数函数及其性质(一)1. 定义:一般地,函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .2. 以函数2x y =与1()2x y =的图象为例,观察这一对函数的图象,总结如下性质:定义域为R ,值域为(0,)+∞;当0x =时,1y =,即图象过定点(0,1);当01a <<时,在R 上是减函数,当1a >时,在R 上是增函数.¤例题精讲:【例1】求下列函数的定义域,和值域:(1)132xy -=; (2)51()3x y -=;【例2】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且. (1)求该函数的图象恒过的定点坐标;(2)指出该函数的单调性.第3讲 §2.1.2 指数函数及其性质(二)¤知识要点:以函数2x y =与1()2x y =的图象为例,得出这以下结论:(1)函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.(2)指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内,图象由下至上,底数由下到大.¤例题精讲:【例2】已知21()21x x f x -=+. (1)讨论()f x 的奇偶性; (2)讨论()f x 的单调性.【例3】求下列函数的单调区间:(1)223x x y a +-=; (2)10.21x y =-.【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 第4讲 §2.2.1 对数与对数运算(一)¤知识要点:1. 定义:一般地,如果x a N =(0,1)a a >≠,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数(logarithm ).记作 log a x N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm ),并把常用对数10log N 简记为lg N在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数log e N 简记作ln N 3. 根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系:当0,1a a >≠时,log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数;log 10a =, log 1a a = ¤例题精讲:【例1】求证:(1)log n a a n =; (2)log log log a a a M M N N-=.【例2】试推导出换底公式:log log log c a c bb a=(0a >,且1a ≠;0c >,且1c ≠;0b >).第5讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)¤知识要点:1. 对数的运算法则:log ()log log a a a M N M N =+,log log log aa a MM N N=-,log log n a a M n M =,其中0,1a a >≠且,0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具,能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ,则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样,也可以推导出一些对数恒等式,如log log n n a a N N =,log log m n a a nN N m=,log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲:【例1】化简与求值:(1)21lg2lg5(lg 2++【例2】若2510a b ==,则11a b+= .【例3】 (1)方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________;(2)设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根,则12x x 的值是 .【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数第6讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一)¤知识要点:1. 定义:一般地,当a >0且a ≠1时,函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ; 函数的定义域是(0,+∞).2. 由2log y x =与12log y x =的图象,可以归纳出对数函数的性质:定义域为(0,)+∞,值域为R ;当1x =时,0y =,即图象过定点(1,0);当01a <<时,在(0,)+∞上递减,当1a >时,在(0,)+∞上递增.¤例题精讲:【例1】求下列函数的定义域:(1)y (2)y【例2】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <,求实数a 的取值范围.【例3】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第7讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二)¤知识要点:1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function ). 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究,口诀是“同增异减”,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是:(i )求定义域;(ii )拆分函数;(iii )分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性;(iv )按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲:【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系?第8讲 §2.3 幂函数知识要点:1. 幂函数的基本形式是y x α=,其中x 是自变量,α是常数. 要求掌握y x =,2y x =,3y x =,1/2y x =,1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性,总结如下:(1)当0α>时,图象过定点(0,0),(1,1);在(0,)+∞上是增函数.(2)当0α<时,图象过定点(1,1);在(0,)+∞上是减函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象,在第一象限内,直线1x =的右侧,图象由下至上,指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间,图象由上至下,指数α由小到大.¤例题精讲:【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3),试讨论其单调性.【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示,则( ).A .101n m -<<<<B .1,01n m <-<<C .10,1n m -<<>D .1,1n m <->〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q py x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x =是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--. ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2ba-+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba -+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=- ③判别式:∆ ④端点函数值符号.①k <x 1≤x 2⇔ ⎩⎨⎧△=b 2-4ac ≥0af (k )>0-b 2a >k②x 1≤x 2<k ⇔ ⎩⎨⎧△=b 2-4ac ≥0af (k )>0-b 2a <k③x 1<k <x 2 ⇔ af (k )<0第 11 页 共 13 页④k 1<x 1≤x 2<k 2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△=b 2-4ac ≥0a >0f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<-b 2a<k 2或⎩⎪⎨⎪⎧△=b 2-4ac ≥0a <0f (k 1)<0f (k 2)<0k 1<-b 2a<k 2⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a >0f (k 1)>0f (k 2)<0f (p 1)<0f (p 2)>0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0f (k 1)<0f (k 2)>0f (p 1)>0f (p 2)<0此结论可直接由⑤推出.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上)最小值① 若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a=-③若2bq a->,则()m f q =最大值① 若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p = xxxxx x(q)0x第 13 页 共 13 页(Ⅱ)当0a <时(开口向下)最大值①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a=-③若2bq a->,则()M f q =最小值①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a->,则()m f p =.xfxfxfxxx。