测量平差概要
测量平差期末总结
测量平差期末总结一、引言测量平差是地理信息系统(GIS)和工程测量领域非常重要的一部分，它涉及到对测量数据进行处理、分析和计算。
测量平差能够提高测量数据的准确性和精确度，使得测量结果更加可靠和可信。
本文将对测量平差的一些基本概念、方法和步骤进行总结和分析，以期加深对测量平差的理解和应用。
二、测量平差的基本概念1. 测量平差的定义测量平差是指通过一系列的数学模型和计算方法，对原始的测量数据进行处理和分析，以获取更加准确和精确的测量结果的过程。
测量平差的目的是消除测量误差，提高测量数据的可靠性和精度。
2. 测量平差的分类根据测量数据的性质和采集方式的不同，测量平差可以分为直接平差和间接平差。
直接平差是指对直接测量数据进行处理和分析，如经纬度测量、高程测量等；间接平差是指对间接测量数据进行处理和分析，如距离测量、角度测量等。
3. 测量平差的基本原理测量平差的基本原理是基于观测量的合理模型和模型的参数估计。
通过观测量的数学模型，利用最小二乘法或加权最小二乘法等方法，求解模型的未知参数，从而得到测量结果的最优估计。
三、测量平差的方法和步骤1. 校正平差校正平差是指对原始的测量数据进行检验和修正的过程。
校正平差的目的是通过剔除异常观测值和消除系统误差，得到更加准确和可靠的测量数据。
2. 数学模型的建立数学模型是测量平差的基础，它是通过观测量的几何关系和误差模型建立的。
数学模型可以根据测量任务的不同而定，常见的数学模型有三角形测量模型、高程测量模型等。
3. 参数估计参数估计是指根据观测量和数学模型，利用最小二乘法或其他的数学方法，求解模型的未知参数。
参数估计的目的是最小化观测量和模型的差异，得到最优估计。
4. 平差计算平差计算是指根据参数估计的结果，利用平差公式和计算方法，对测量数据进行处理和分析。
平差计算的目的是消除观测量和模型之间的差异，得到平差结果。
四、测量平差的应用1. 地理信息系统(GIS)测量平差在GIS中有广泛的应用。
测绘学概论--测量平差基础
测量平差的研究内容
因观测量不可避免带有误差，如何处理由于多余观测 引起的观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的 最佳估值并评定结果的精度是测量平差的基本任务； 由于多余观测值之间的不符来自观测的偶然误差，故 必须研究误差概率统计理论，包括偶然误差分布、评 定精度指标、误差传播律、误差检验与误差分析等；
Z = k1X1 + k2X2 + …+ knXn + k0
当Xi两两独立时，Z的方差可由下式计算得到：
σ2z = k21σ2x1 + k22σ2x2 + … + k2nσ2xn
传播律示例
例1： 1：500图上，量得某两点间距为d= 23.4mm, 量 测中误差为0.2mm，求该两点实地距离S的中误差
观测误差理论
偶然误差规律性及其统计分布
真误差为真值与观测值之差，即△=X – Li 偶然误差特性：
值有一定范围；满足正态分布[基于概率统计]；
衡量精度的指标
精度反映了测绘成果质量；由误差的大小表示 中误差是普遍采用的表达精度的指标，其平方称为方差 依据概率统计，中误差与真误差之间存在数学关系，如：
显然，精度越高，权越大，在平差中所占分量越大
协方差
描述两个相关观测量之间的相关精度的指标 也可以用相关系数描述两个变量之间的相关性
误差传播律
已知观测量的中误差，如何求观测量函数的中误差 设z=f(x, y),当x, y的中误差已知时，z的中误差为
σz = F(σx, σy)
设观测量序列Xi (i = 1, …,n), Z为线性函数，可表达为：
测量平差基本概念
一 测量平差内容 1. 求待估量的最或然值（最佳估值） 2. 评定精度
二 平差方法 数学方法：最小二乘法 1. 间接平差法： 2. 条件平差法
• 自由网平差、拟稳网平差、加权自由网平差
三. 间接平差原理
1. 间接平差数学模型
观测向量：L , 权阵：P ，未知数向量：X
nx1
nxn
tx1
BT PBX BT Pl 0
N BT PB,U BT Pl
NX U 0 X N 1U
2 精度评定
（1）单位权中误差
m0
V T PV nt
（2）未知数协因数阵： Qxx N 1
（3）未知数协方差阵： Dxx m02Qxx
Qx1x1 Qx1x2 ...... Qx1xn
1/ 2 0
0 2 1/ 3 9
0 4
3/2 1/ 2
1/ 2x1 5 / 6 x2
0 4
0
（4）解方程得：
x1 2,x2 6
x1 x10 x1 11.000 0.002 11.002m
1 0 0 1 0
N BT PB 10
1 1
0100
1/ 2 0
0 1 1/ 3 0
1
1
3/2 1/ 2
1/ 2
5/
6
1 0 0 1
U
BT Pl
1 0
1 1
0100
mx1 m0 Qx1x1 2.45 5 / 6 2.4mm mx2 m0 Qx2x2 2.45 3 / 2 3.0mm
测量平差 第一章
C
B
现象总结： 现象总结： 图2
(1)同一观测量之间的值不相等, (2)观测值与其理论值(真值)之间有差异.
原因: 原因
观测中存在观测误差。 观测中存在观测误差。
结论： 结论： • 测量误差是不可避免的，不同的是测量误差 测量误差是不可避免的， 的大小不同而已。 的大小不同而已。 • 在一定的条件下，精确度的提高总要受到一 在一定的条件下， 定的限制。 定的限制。测量数据不可避免地会有一定的 误差， 误差，只要误差在一定的范围内就认为是正 常的。 常的。 • “真值”是指被测量的客观真实值。一般来 真值”是指被测量的客观真实值。 说这一客观真值是未知的， 说这一客观真值是未知的，仅在一些特殊的 场合真值才是已知的（如一些理论分析值） 场合真值才是已知的（如一些理论分析值）. 国际计量大会规定的最高基准也可看作是真 这是约定真值。 值，这是约定真值。
近代测量平差的发展
20世纪70年代起，随着计算机技术的发展，和生 产实践中高精度的需要，测量平差的发展主要表现在以下 个方面： 1．从研究扩充到和粗差 2．1947年，提出相关观测值的平差理论。 3．从非随机参数随机参权最小二乘滤波推估 4．秩乡自由网平差 5．定权方法研究：方差协方差估计理论发展 6．统计假设检验理论发展 7．粗差理论的发展
测量误差的来源
三、观测条件、观测条件与观测质量的关系 观测条件、
1、观测条件 将测量仪器观测者，外界条件这三个方面的因素综 合起来，称为观测条件。 2、观测条件与观测质量的关系 观测条件好观测成果质量高；观测条件差观测成果 质量低；观测条件相同观测成果质量相同。 3、观测误差客观存在 不论观测条件好坏，观测误差总是客观存在的。
四、观测误差的分类
测量误差的 来源 仪器误差 环境误差 人员误差 方法误差
(整理)测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
(测量平差)第三章 测量平差原理
3.1 测量平差概述 3.2 最小二乘平差原理 3.3 测量平差的数学模型
什么叫测量平差？ 在多余观测的基础上，依据一定的数学模型 和某种平差原则，对观测结果进行合理的调整 （加改正数消除闭合差），从而得到一组最可靠 的结果并评定精度。 平差任务： （1）消除不符值，求出最或然值； （2）评定精度 L A0 0
r 1
r 1
1 2 3 180 0
13
r n n 1
A V W 0
2 0
r 1
A 1 1 1
V v1 v2 v3 31
T
T
nn
D Q
平差中： V
T
P V m in
P:权阵
最小二乘原理
“最佳”地拟合于各观测点的估计曲线，使各 观测点到该曲线的偏差的平方和达到最小，这种 方法叫最小二乘法。 针对偶然误差的测量平差中，利用最小二乘 法求得的估计量是最优估计量，具有以下性质： （1）一致性；（2）无偏性；（3）有效性
数学模型 ：用数学关系描述几何模型的几何关系和内在 联系 。 函数模型 ：几何关系，描述观测量之间或观测量与待定 量之间的数学函数关系式 。 随机模型 ：内在联系，是描述观测量及其相互间的统计 相关性质。实际上，测量平差中所谓的随机模型，就是 观测值向量的权阵。 函数模型
观测方程 L B X d ，平差时，
n1 nt t 1 n1
一般对参数 X 都要取近似值X
t 1
令 X = X x 代入上式，并令
t 1 t 1 t 1 n1
l L L = L(B X + d )
测量平差的基本原理和计算方法
测量平差的基本原理和计算方法测量平差是测量学中一个重要的概念，它用于消除测量误差，提高测量精度。
本文将介绍测量平差的基本原理和计算方法。
一、测量平差的基本原理测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，消除不可避免的误差，得到更为准确的结果。
在实际的测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往不是完全准确的。
而通过平差可以将这些误差分布在测量要素上，使得整个测量结果更为合理。
平差的基本原理包括以下几个方面：1. 观测误差的性质：观测误差是服从一定的概率分布的，一般满足正态分布或其近似分布。
2. 绘图、观测和计算误差的连接性：测量平差将绘图误差、观测误差和计算误差联系在一起，通过适当的方法进行计算处理。
3. 误差的耦合性：测量过程中的各个要素之间存在着一定的关系，其误差也会相互影响。
通过平差可以将这些误差合理地分配和补偿。
二、测量平差的计算方法测量平差的计算方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本思想是将误差的平方和最小化。
通过对误差进行建模和优化，可以得到一组最优解。
2. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种基于统计原理的测量平差方法。
它根据观测数据的概率分布，选择出最具可能性的结果。
通过最大化似然函数，可以得到一组最优解。
3. 权值平差法：权值平差法是一种根据观测精度的大小，给予不同权值的平差方法。
通过给观测数据引入权值，可以使得精度高的数据在计算过程中起到更大的作用，从而提高整体的测量精度。
4. 卡尔曼滤波法：卡尔曼滤波法是一种基于状态估计的测量平差方法。
它通过建立状态模型和测量模型，利用观测数据进行误差修正，从而得到更加准确的结果。
三、测量平差的应用测量平差在实际应用中有着广泛的应用。
以下通过几个领域的案例来说明。
1. 地理测量：在地理测量中，测量平差常用于大地测量和地图制图。
通过平差可以消除地球曲率、大地水准面等因素的影响，得到更加准确的测量结果，提高地图的精度和真实度。
高等测量平差
目录第一章测量平差概述 (2)1-1 测量平差的基本概念 (2)1-2 参数平差原理总述 (4)1-3 测量平差的若干进展 (6)第二章统计假设检验 (8)第三章回归模型的参数估计与假设检 (14)3-1 概述 (14)3-2 线性回归模型 (14)3-3 回归参数的最小二乘估计 (15)3-4 线性回归模型的统计分布和统计 (20)3-5 回归模型和回归系数的显著性检验 (22)3-6 预报值的标准差和区间估计 (30)3-7 自回归模型 (33)3-8 多项式拟合模型 (37)3-9 三角多项式模型 (39)3-10 多面函数模型 (44)第四章秩亏自由网平差 (47)4-1 概论 (47)4-2 广义逆与线性方程组解 (49)4-3 秩亏自由网平差原理 (54)4-4 自由网拟稳平差 (59)4-5 自由网平差及其基准变换 (63)4-6 用于变形分析的自由网平差 (67)第五章稳健估计 (71)5-1 概述 (71)5-2 稳健估计原理 (71)5-3 基于选权迭代法的稳健估计方法 (73)5-4 相关观测的稳健估计方法 (79)5-5 稳健回归分析 (83)第六章非线性模型平差 (90)6-1 问题的提出 (90)6-2 非线性模型平差原理 (90)6-3 非线性模型平差的算法 (92)6-4 非线性模型平差的精度评定 (102)第一章测量平差概述1-1 测量平差的基本概念一、测量平差问题测量误差，也称观测误差，是待观测量的真值与其观测值之差。
观测只是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取反映地球及其他实体与空间分布有关信息的过程和数据。
不论观测条件如何，测量误差总是不可避免的。
多余观测，为了确定一定的几何模型，并不需要知道该模型中所有元素大小，而只需要知道其中必要的部分元素的大小就行了。
例如确定一个平面三角形的形状，只需要知道其中任意二个内角的大小。
这二个内角观测值就称为必要观测。
《测量平差》学习概要论文
《测量平差》学习概要每一位同学拿到《测量平差》一书时，脑子里马上就有许多问题涌现：这是一门什么样的课程？学习这门课有什么用处呢？我应该怎样去学好它？……因此在这里，简单地向大家介绍一下本课程的基本情况。
《测量平差》是测绘类专业重要的专业基础课，主要讲授测量数据处理的基本理论和方法，是理论与实践并重的课程。
学生通过对本课程的学习，理解测量误差的来源、误差的分类、误差的性质、平差方法、平差结果的精度评定和统计性质，牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。
这对学习测绘其它专业课和从事测绘科研、生产工作都具有指导意义。
一、内容《测量平差》全书共有五章内容：1、绪论主要说明观测误差产生的和分类，测量平差法研究的内容以及本课程的任务。
观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。
建立有观测就有误差的理念。
2、误差理论与最小二乘原理本章是全书的基础知识，也是本书的重点。
重点是偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标；协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点是精度、准确度、精确度和不确定度等概念；权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
在学习观测误差与传播律的时候，要建立测量误差不可避免的理念和测量误差分类处理的思路，理解测量误差的性质，熟练掌握衡量精度的各种指标。
并且掌握广义传播律的理论，熟练掌握测绘中的应用方法。
要理解偶然误差的分布特性：(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值（界限性）。
(2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大（小误差占优性）。
(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等（对称性）。
要掌握两个重要概念：(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值。
(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
测量平差技术入门指南
测量平差技术入门指南一、引言测量平差技术是现代测量学中的一门重要技术，它通过利用数学模型和数据处理方法，对测量结果进行精确的分析和修正，以达到更为准确的测量成果。
本文将为初学者提供一份测量平差技术的入门指南，介绍测量平差的基本原理、方法和应用。
二、测量平差的基本原理1.1 精确性和可靠性测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，从而提高测量结果的精确性和可靠性。
精确性是指测量结果与真实值之间的接近程度，而可靠性则是指测量结果的稳定性和可信度。
通过测量平差技术，我们可以减小测量误差、消除随机误差和系统误差，提高测量精度和可靠性。
1.2 测量数据的模型化测量平差技术的另一个重要原理是将测量数据进行模型化。
对于不同类型的测量数据，我们可以通过建立相应的数学模型来描述它们的特征和关系。
基于这些模型，我们可以使用统计方法对测量数据进行分析和处理。
三、测量平差的基本方法2.1 最小二乘法最小二乘法是测量平差中最常用的方法之一。
其基本思想是最小化残差平方和，即寻找使得测量数据与模型之间的残差最小的解。
通过最小二乘法，我们可以消除一部分误差，并提高测量结果的精确性。
2.2 条件方程法条件方程法是另一种常用的测量平差方法。
它通过建立由观测数据和未知参数构成的条件方程组，使用数值方法求解该方程组，获得未知参数的估计值。
条件方程法适用于各种类型的测量问题，具有较好的通用性。
四、测量平差的应用领域3.1 地形测量测量平差技术在地形测量中具有广泛的应用。
通过对地形测量数据进行处理，我们可以绘制出精确的地形图和等高线图，为地质勘探、土地规划和交通规划等工作提供准确的基础数据。
3.2 工程测量在工程测量中，测量平差技术被广泛应用于土建工程、水利工程和交通工程等领域。
通过对测量数据进行精确处理，我们可以制定合理的工程设计方案，提高工程质量和效率。
3.3 大地测量大地测量是测量平差技术的重要应用领域之一。
通过对大地测量数据进行平差处理，可以获得准确的大地坐标和大地线网的形状、尺度和形变等信息，为地球物理研究、地震监测和测绘工作提供重要支持。
测绘技术中的测量平差原理解析
测绘技术中的測量平差原理解析测绘技术中的测量平差原理解析引言：测绘技术在现代社会发挥着重要的作用，它涉及到土地界定、地籍管理、基础设施规划等众多领域。
在测绘过程中，测量平差是一个关键的环节。
本文将探讨测绘技术中的测量平差原理及其应用。
1. 测量平差的概念和目的测量平差是指通过一定的数学方法，根据观测数据的误差特征和认定标准，对测量结果进行矫正和调整，以提高测量精度和可靠性的过程。
其主要目的是消除观测误差，减小测量结果的不确定性，使其更符合实际情况。
2. 测量平差的基本原理2.1 观测数据的模型化测量平差首先要对观测数据进行模型化，即将观测量表示为数学方程。
这些方程通常由测量的基本原理和几何关系得出。
例如，在高程测量中，可以利用水准差测量方程将观测数据进行模型化。
2.2 误差的传递与权系数的确定测量中的各种误差会通过观测数据的模型传递到测量结果上。
为了实现测量精度的提高，需要对各个误差源进行分析，并确定权系数。
权系数决定了各观测量对最终结果的影响程度，可以通过误差传递公式进行计算。
2.3 平差方程的建立和求解通过观测数据的模型化和误差分析，可以建立平差方程。
平差方程的求解是整个测量平差的核心环节，它通常是一个较为复杂的数学问题，需要运用矩阵运算、最小二乘法等数学方法进行求解。
2.4 结果的检验和精度评定平差结果的检验是测量平差的最后一步。
通过与实际情况对比，验证平差结果的准确性。
同时，还要评定平差结果的测量精度和可靠性，通常包括单位权中误差、最大误差等参数。
3. 测量平差的应用领域测量平差在实际测绘工作中有广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：3.1 地理信息系统（GIS）建设测量平差为GIS建设提供了精确的地理数据。
在将各种原始数据整合到GIS中时，需要进行数据匹配和转换，这就需要借助测量平差的方法来处理不同数据源的不一致性。
3.2 基础设施建设在基础设施建设中，测量平差可以用于道路设计、建筑物定位、矿山开采等过程中。
《测量平差基础》课件
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
测量平差理论及在检测中的应用
测量平差理论及在检测中的应用
测量平差理论是测量学中的重要理论体系，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍测量平差理论的基本原理以及其在检测中的应用。
测量平差是一种通过多次测量数据的处理和分析，消除误差和提高测量精度的方法。
它的基本原理是通过对测量数据进行加权处理，使之满足最小二乘原则，从而得到最优的测量结果。
在测量平差中，常用的方法有最小二乘法、最小二乘平差法、最小二乘递推平差法等。
测量平差理论在检测中有着广泛的应用。
首先，在工程测量中，测量平差可以用于调整测量仪器的误差，提高测量结果的准确性。
例如，在建筑工程中，通过对多次测量数据进行平差处理，可以得到更加精确的地面高程、坐标等信息，为工程施工提供准确的数据基础。
其次，在科学研究中，测量平差也是不可或缺的工具。
科学实验中，测量数据往往受到多种误差的影响，通过测量平差可以有效地减小误差，并提高实验结果的可靠性。
例如，地质学家在进行地质勘探时，通过对多次测量数据进行平差处理，可以得到更加准确的地层厚度、地下水位等信息，为地质研究提供有力的支持。
此外，在制造业中，测量平差也被广泛应用于质量控制和品质检测。
通过对产品尺寸、形状等特征进行测量，并对测量数据进行平差处理，可以及时发现产品的偏差和缺陷，从而保证产品质量和制造精度。
总之，测量平差理论在检测中具有重要的应用价值。
它不仅可以提高测量结果的准确性和可靠性，还可以为工程建设、科学研究和制造业提供有效的技术支持。
因此，学习和掌握测量平差理论，对于提高测量技术水平和推动相关领域的发展具有重要意义。
测量平差方法及误差分析技巧
测量平差方法及误差分析技巧引言：测量平差在各个领域中都起到了至关重要的作用，无论是土地测量、工程测量还是地理测量都离不开精确的测量平差。
本文将介绍测量平差的基本原理、方法以及误差分析技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、测量平差的基本原理1.1 测量平差的定义测量平差是指在测量中，通过对测量数据进行处理和分析，用数学方法将观测值修正为比较可靠的数值，并确定其精度和可靠度的过程。
1.2 测量平差的基本原理测量平差的基本原理是以观测数据为基础，通过适当的计算和修正方法，使测量结果达到满足一定精度要求的条件。
二、测量平差的方法2.1 误差的分类误差是指由于种种原因导致观测值与真值之间的差异。
根据产生误差的原因，可将误差分为系统误差和随机误差两类。
2.2 测量平差的方法2.2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本原理是通过构建误差方程，使误差的平方和最小化，从而得到最优的修正数值。
2.2.2 加权最小二乘法加权最小二乘法是在最小二乘法的基础上，引入权重因子，对观测值进行加权处理，以更好地反映各个观测值的可靠性。
2.2.3 置信椭圆法置信椭圆法是一种通过误差椭圆的几何性质，结合观测弥散矩阵，进行测量平差的方法。
通过确定椭圆的长轴、短轴和倾斜角度，可对误差进行合理的修正和分析。
三、误差分析技巧3.1 误差的传递规律误差在测量过程中具有传递性，即观测结果的误差会随着计算过程的推进而逐渐增大。
因此，在进行误差分析时，需要考虑不同环节中误差的传递规律，以准确评估测量结果的可靠性。
3.2 概略误差与精确误差概略误差是指由于设备精度、人为操作等因素导致的测量误差，通过一些常见的公式和方法可以进行较为粗略的估计。
精确误差是在概略误差的基础上，通过更加精细的计算和分析得到的误差值，更贴近实际测量结果的误差。
3.3 误差理论和误差估计误差理论是关于误差发生的规律的理论体系，包括误差分类、误差分布等。
测量平差概要
测量平差概要一、基本概念01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。
02、在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。
03、协方差与权互为倒数。
04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。
06、协因数阵与权阵互为逆阵。
07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。
08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。
09、偶然误差服从正态分布。
10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。
11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的个数等于必要观测数。
12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函数法。
13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。
14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。
15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中误差的3倍作为极限误差。
16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。
17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。
18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。
19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。
20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。
21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。
22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。
23、测角精度与角度的大小无关。
24、观测值的权通常是没有量纲的。
25、在山地，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比。
26、测角网的必要观测个数等于待定点个数的2倍。
27、仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件28、独立水准网的条件方程式只有闭合水准路线。
29、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
30、观测值的协因数与方差成正比，观测值的权与方差反比。
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测量平差概要一、基本概念01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。
02、在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。
03、协方差与权互为倒数。
04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。
06、协因数阵与权阵互为逆阵。
07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。
08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。
09、偶然误差服从正态分布。
10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。
11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的个数等于必要观测数。
12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函数法。
13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。
14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。
15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中误差的3倍作为极限误差。
16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。
17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。
18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。
19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。
20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。
21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。
22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。
23、测角精度与角度的大小无关。
24、观测值的权通常是没有量纲的。
25、在山地，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比。
26、测角网的必要观测个数等于待定点个数的2倍。
27、仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件28、独立水准网的条件方程式只有闭合水准路线。
29、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
30、观测值的协因数与方差成正比，观测值的权与方差反比。
31、观测值的权是其协因数的倒数。
32、误差传播律的作用是求观测值函数的中误差。
33、条件方程的个数等多余观测值个数。
34、以待定点的坐标为未知参数的间接平差称为坐标平差。
35、单一附合导线的多余观测始终是3。
36、消除或削弱系统误差的影响方法是在观测过程中采取一定的措施或在观测结果中加入改正数。
37、同一个量多次等精度观测值的最或是值等于其算术平均值。
38、没有已知点的水准网，其必要观测值的个数等于待定点的个数减一。
39、有已知点的水准网，其必要观测个数等于待定点个数。
40、在相同的观测条件下得到的一组观测值称为同精度观测值。
42、条件方程式之间必须函数独立。
44、应用误差传播律时观测值间应相互独立。
45、以待定点的高程作为未知参数，它们之间总是函数独立的。
46、观测值与平差值之差不是真误差。
47、应用权倒数传播律求平差值函数的权倒数时，应先将平差值化为误差独立的观测值。
48、在间接平差中，将平差值方程等号左边的观测值移到等号右边就得到了误差方程。
49、加权平均值的权等于各观测值的权之和。
50、观测量的真值指的是一个能反映其真正大小的数值。
51、观测值与真值之差是真误差。
52、水准网的条件方程式只有闭合水准路线和附合水准路线两种。
53、根据三角形的闭合差计算测角中误差的公式叫菲列罗公式。
54、对于同一个平差问题，间接平差和条件平差的结果是相同的。
55、若观测值间的互协因数为零，表示观测值之间不相关，也称为独立观测值。
56、精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
57、间接平差与条件平差一定可以相互转换。
58、在间接平差中，未知数参数的个数等于必要观测的个数。
59、图形条件的个数等于互不重叠的三角形个数加上实对角线的条数。
60、系统误差不能用平差的方法进行消除或减弱。
61、水准测量中，高差的方差与距离成正比，高差的权与距离成反比。
62、条件平差的函数模型是条件方程，间接平差的函数模型是误差方程。
63、等于1的权称为单位权，权为1的中误差称为单位权中误差。
二、误差传播律的应用1、已知单位权中误差为21''±，观测值1L 、2L 、3L 的中误差为2''、3''、4''，求观测值的权。
【解：】94121631236212222320322222022221201=========σσσσσσp p p2、水准测量中每站高差的中误差为3mm ，现从已知点A 测至待定点P 共观测了36个测站，求该测段的高差中误差。
【解：】mm n AB 18336=⨯==站σσ3、如图，已知AB 方位角为20381155''±'''︒，导线角30281651''±'''︒=β，664042382''±'''︒=β，试求CD 边方位角及其中误差。
【解：】63719918018021'''︒=+︒-+︒+=ββAB CD T T"=++±=++±==763222222221ββm m m m AB CD T T 4、有一矩形场地，测得长mm m a 2050±=，宽mm m b 1240±=，计算该矩形的面积P 及其中误差P σ。
【解：】⑴ 220004050m ab P =⨯==⑵ 2222222221020.040012.050m b a a b p =⨯+⨯=+=σσσ5、有一角度，4测回的中误差为6''，要使其中误差为3''，需要再增加多少个测回？【解：】 21641''=''==σσσx163123322222===''==σσσn nx16 – 4=12需要再增加12个测回。
6、在三角形ABC 中，已知角A 的观测中误差为3''，角B 的观测中误差为4''，问角C 的中误差为多少？ 【解：】 B A C --︒=180254322222=+=+=B A C σσσ5''=C σ角C 的中误差为5''。
三、平差计算题1、如图，A 、B 、C 三点均为待定点，试按条件平差法求各高差的平差值。
试按条件平差法求各高差的平差值。
【解：】⑴ 列改正数条件方程，闭合差以毫米为单位：014321=-++v v v⑵ 定权 令1=C ，则有i iS p =1， 高差观测值的权倒数：211=p ，212=p ，313=p ⑶ 法方程的组成与解算：7323222121=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p a p a p a p aa 0147=-a k 解得：2=a k 。
⑷ 计算改正数kmS h km S h km S h 3399.22053.12332.1332211=-==+==+=621314212142121333222111=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==a a a k a p v k a p v k a p v ⑸ 计算观测值的平差值m v h hm v h h m v h h 393.2006.0399.2ˆ057.1004.0053.1ˆ336.1004.0332.1ˆ333222111-=+-=+==+=+==+=+= 2、设对某个三角形的3个内角作同精度观测，得观测值为3055781'''︒=L ，2133582'''︒=L ，9313423'''︒=L ，试按条件平差法求三个内角的平差值。
【解：】⑴ 列改正数条件方程，闭合差以秒为单位：06321=-++v v v⑵ 组成并解算法方程：法方程的系数： [aa]=3组成法方程为： 063=-a k 解得：2=a k 。
⑶ 计算改正数222332211''==''==''==a a a k a v k a v k a v⑷ 计算观测值的平差值141342ˆ413358ˆ505578ˆ333222111'''︒=+='''︒=+='''︒=+=v L Lv L L v L L 3、如图为单一水准路线，P 为待定点，已知点m H m H B A 193.7,530.5==，高差观测值m h m h 498.0,157.121==为等精度观测值。
试按间按平差法求待定点高程的平差值。
【解：】(1) 本题只有一个待定点，t =1，选取待定点P 1的高程为未知数Xˆ，选取未知的近似值为：xx X X h H X A δδ+=+==+=+=687.6ˆ687.6157.1530.5ˆ01(2) 列立平差值方程，并转化为误差方程。
⎩⎨⎧+-==⇒⎩⎨⎧++-+-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧--=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+8)(ˆˆˆˆ21212122112211x v x v h h H H x v x v h X H v h H X v X H v h H X v h A B B A B A δδδδ 式中常数项以mm 为单位。
其中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=80l(3) 组成法方程：),(082l B W B B N x T T BB ===-其中δ(4) 解算法方程得：mm x 4=δ(5) 计算待定点的平差值高程：m x X X691.6004.0687.6ˆ0=+=+=δ 四、综合应用题1、写出下图所示三角网的各类条件的个数。
答：观测值个数 n =20，待定点个数t =5，多余观测个数102=⋅-=t n r① 图形条件（三角形）7个 ② 圆周条件1个； ③ 极条件2个2、什么是观测条件？答：仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。
3、怎样消除或削弱系统误差的影响？答：一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。
4、证明加权平均值的权][P P x =。
证明：n n L P P L P P L P PP PL x ][][][][][2211+++==应用权倒数传播律，有：][1][1)][(1)][(1)][(12212222121P P P P P P P P P P P P P P P nnn x =+++=+++=故：][P P x =5、写出下图所示三角网的各类条件的个数。
解：观测值个数 n =16，待定点个数t =4，多余观测个数82=⋅-=t n r① 图形条件（三角形）5个 ② 圆周条件1个； ③ 极条件2个6、对于一个具体的平差问题，如何确定选择条件平差还是间接平差？答：一般而言，如果多余观测数少，选择条件平差简捷些；如果必要观测数少，选择间接平差方便些。