测量平差概要
测量平差
• DXY为观测向量X关于Y的互协方差阵。 •DYX为观测向量Y关于X的互协方差阵。
DXY = DYX
n, m m ,n
T
•两个向量组合的协方差阵 设两个观测向量组：
n ,1
X = ( X1 X 2 X n )
T
m ,1
Y = (Y1 Y2 Ym )
T
则有：
DZZ DXX = DYX
σx x
展开
1 ,1
n 2
σ x1 xn k 1 σ x2 xn k2 2 σ xn kn
2 2 2 2 DZZ = σ Z = k12σ x + + k nσ n + 2k1 k2σ x1 ,x2 + 2k1 k3σ x1 ,x3 1
称DXX为向量X的方差-协方差阵，简称为方差阵或 协方差阵 方差阵为对称方阵 独立观测时，方差阵为对角阵
协方差阵 设观测向量组
y11 y Y = 21 m ,m yn1
m ,1
Y = (Y1 Y2 Ym )
2 σy 1 σ y2 y1 = σ y x m1
2 2 k ∑ i σ ii i =1 n
当Xi 独立时
DZZ = [ k1 k2
展开
1 ,1
2 2 2 2 DZZ = σ Z = k12σ 12 + k2 σ 2 + + k12nσ n =
测量平差基本概念
2 9
2 3
（6）求单位权中误差
m0 pvv 6 2.45mm
32
（7）评定精度
Dxx
m02 Qxx
2.452
N
1
2.452
3/2 1/ 2
1/ 2
5
/
6
1
2.452
5 1
/ /
6 2
1/ 2 3/ 2
x2 x20 x2 13.000 0.006 13.006m
（5）求改正数
v1 1
v2
1
v3 0
0
1 1
11xx12
2 9
1 0
0 1 1
1162
mx1 m0 Qx1x1 2.45 5 / 6 2.4mm mx2 m0 Qx2x2 2.45 3 / 2 3.0mm
Qxx
Qx 2 x1 ...
Qx 2 x 2 ...
...... ......
Qx
2
xn
...
QXnx1
Qxnxx2
......
Qxnxn
Dxx
mmx 2x21x1 ...
第一章 测量平差总论
第一章测量平差总论
§1-1 测量平差的基本概念
一、测量平差问题
测量误差，也称观测误差，是待观测量的真值与其观测值之差。观测只是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取反映地球及其他实体与空间分布有关信息的过程和数据。不论观测条件如何，测量误差总是不可避免的。
多余观测，为了确定一定的几何模型，并不需要知道该模型中所有元素大小，而只需要知道其中必要的部分元素的大小就行了。例如确定一个平面三角形的形状，只需要知道其中任意二个内角的大小。这二个内角观测值就称为必要观测。在几何模型中多于必要观测数的观测数称为多余观测数，如三角形中共观测了三个内角，则多余观测数为1。为了检查观测值中是否存在错误，并提高观测成果的精度，一定要进行多余观测。
不可避免的测量误差和一定要进行的多余观测这两个原因导致了观测值之间，或观测值与已知值之间出现矛盾（不符值）。比如，对同一量的多次观测，其观测结果不相等；观测值或观测值的函数与其理论值不相等（最典型的是三角形的三内角观测值之和不等于理论值1800）。观测值之间的这种矛盾（不符值），使得测量问题的解不惟一。为了消除这种矛盾（不符值），得到测量问题的惟一解，就要对引起这种矛盾（不符值）的主要原因——测量误差进行研究和处理。处理带有误差的观测值，按最小二乘原理消除观测值之间的矛盾，求出测量问题的惟一解并评定精度的理论和方法被称为“测量平差”。
“测量平差”一词在我国最早出现在夏坚白、王之卓和陈永龄三位教授合著的我国第一本测量方面的教材。“二十八年秋，著者三人同在昆明，分别任教于同济大学、西南联大及中山大学。教学之际，深感国内关于测量课本及参考书之缺乏，学者苦之，乃有编辑测量学丛书之决心，而以《测量平差法》[1]一书为始。”（引自《学部委员夏坚白》）。“测量平差”主要研究测量误差的理论、测量平差的方法和测量成果的精度评定。
(整理)测量平差
测量平差
一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的
在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。 2.协方差传播律及
协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：
Y=F(X) Z=K(X)
其误差向量为：
ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX
则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为
⎪⎪
⎪
⎭⎪⎪⎪
⎬
⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D T
X
ZY
T
X
YZ
T
X
Z
T
X
Y
②多个观测值线性函数的协方差阵
t
×n
×n ×t
×n T n XX t t ZZ K D K D =
③非线性的协方差传播
T XX ZZ K KD D =
3.权及常用的定权方法
①权
表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i i
i
P ,...,2,1220==
σ
σ
i P 为观测值i L 的权，
20
σ
是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差
权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个0σ，
令0σσ=i ，则得:
i
i
P ===02
2020
21σσ
σσ
上式说明2
0σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于2
0σ的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单
位权观测值。无论2
测量平差概要
测量平差概要
一、基本概念
01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。
02、在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。
03、协方差与权互为倒数。
04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。
06、协因数阵与权阵互为逆阵。
07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。
08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。
09、偶然误差服从正态分布。
10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。
11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的个数等于必要观测数。
12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函数法。
13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。
14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。
15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中误差的3倍作为极限误差。
16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。
17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。
18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。
19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。
20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。
21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。
22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。
23、测角精度与角度的大小无关。
24、观测值的权通常是没有量纲的。
《测量平差》课程标准（1）
《测量平差》课程标准（1）
课程标准
一、课程基本信息
课程编号：0406505
课程名称：测量平差
学时：60
实验学时：8
总学分: 5
课程类别：核心专业课
课程性质：必修课
先行课程：地形测量、地形测量实训、高等数学、工程数学。
后续课程: 控制测量、GPS测量技术、数字化测图技术、地籍测量、控制测量实训、工程测量实训、地理信息系统。
适用专业（方向）：测绘工程
学期周学时:4学时
制定人: 陈凡臣
制定时间: 2012年2月
授课对象: 工程测量与监理专业
二、课程定位
《测量平差》是工程测量与监理技术专业的核心课程，在工程测量技术专业的整个课程体系中占有重要地位，主要培养学生测量内业的基本技能。通过本课程的学习，学生应掌握控制测量数据的处理能力和工程测量成果精度的分析能力，具有工程建设一线的工程测量能力，同时为测量专业《控制测量》、《GPS测量》、《工程测量》等课程的学习奠定良好的基础。
三、课程设计
打破传统学科课程以知识为主线构建知识体系的模式，采用以测量平差的工作单元为引领，通过工作单元来整合相关知识与技能，将该课程设计成以能力为核心的学习领域课程体系，进行教学做一体化
的情境化教学。本课程所设计的相关工作单元是以工程测量员工作岗位作为课程主线，将本课程分解为误差传播、条件平差、间接平差、误差椭圆、软件平差五个学习情景，有利于学生循序渐进地从误差基本理论入手进而详细的掌握测量平差的具体方法。学习过程是一个从简到繁，从整体到局部的过程。教学活动设计中安排了多种训练活动。同时按照岗位工作单元的操作要求，倡导学生在“做”中“学”。通过实践训练，以培养学生胜任工程测量岗位的平差能力，适应学生职业生涯发展的需要。
(测量平差)第三章 测量平差原理
n 1
L = B X + d 为观测值的近似值，
所以 l 是观测值与近似值的差 而 V = L L 由此得误差方程： V = B x l
n1 n1 n 1 n1 nt t 1 n1
间接平差的函数模型举例 (1)
观测值：L1、L2、L3
A
X
L1 L2 L3
参数：
n 6
~ ~
~ ~
t 3
~
~
r nt 3
h 2 h 3 h 4 0
A
h6 D h5 h4
h2 h3
h1 h 2 h 6 0 h1 h 2 h 6 0
h 2 h 3 h 4 0
~ ~ ~
C
h6 h 4 h5 0 h6 h 4 h5 0
匀速直线运动的质点在时刻的位置y表示为：
X
B
间接平差的函数模型举例 (2)
间接平差的函数模型举例 答案： (2) (1)
h1 X 1 H A h2 X 1 H B h3 X 2 H A h4 X 2 H B h5 X 1 X 2
L1 X L2 X L3 X
s2
s3
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观 测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。
测量平差的基本原理和计算方法
测量平差的基本原理和计算方法
测量平差是测量学中一个重要的概念，它用于消除测量误差，提高测量精度。本文将介绍测量平差的基本原理和计算方法。
一、测量平差的基本原理
测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，消除不可避免的误差，得到更为准确的结果。在实际的测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往不是完全准确的。而通过平差可以将这些误差分布在测量要素上，使得整个测量结果更为合理。
平差的基本原理包括以下几个方面：
1. 观测误差的性质：观测误差是服从一定的概率分布的，一般满足正态分布或其近似分布。
2. 绘图、观测和计算误差的连接性：测量平差将绘图误差、观测误差和计算误差联系在一起，通过适当的方法进行计算处理。
3. 误差的耦合性：测量过程中的各个要素之间存在着一定的关系，其误差也会相互影响。通过平差可以将这些误差合理地分配和补偿。
二、测量平差的计算方法
测量平差的计算方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本思想是将误差的平方和最小化。通过对误差进行建模和优化，可以得到一组最优解。
2. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种基于统计原理的测量平差方法。它根据观测数据的概率分布，选择出最具可能性的结果。通过最大化似然函数，可以得到一组最优解。
3. 权值平差法：权值平差法是一种根据观测精度的大小，给予不同权值的平差
方法。通过给观测数据引入权值，可以使得精度高的数据在计算过程中起到更大的作用，从而提高整体的测量精度。
4. 卡尔曼滤波法：卡尔曼滤波法是一种基于状态估计的测量平差方法。它通过
《测量平差》学习概要论文
《测量平差》学习概要
每一位同学拿到《测量平差》一书时，脑子里马上就有许多问题涌现：这是一门什么样的课程？学习这门课有什么用处呢？我应该怎样去学好它？……因此在这里，简单地向大家介绍一下本课程的基本情况。
《测量平差》是测绘类专业重要的专业基础课，主要讲授测量数据处理的基本理论和方法，是理论与实践并重的课程。学生通过对本课程的学习，理解测量误差的来源、误差的分类、误差的性质、平差方法、平差结果的精度评定和统计性质，牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。这对学习测绘其它专业课和从事测绘科研、生产工作都具有指导意义。
一、内容
《测量平差》全书共有五章内容：
1、绪论
主要说明观测误差产生的和分类，测量平差法研究的内容以及本课程的任务。观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。建立有观测就有误差的理念。
2、误差理论与最小二乘原理
本章是全书的基础知识，也是本书的重点。重点是偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标；协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。难点是精度、准确度、精确度和不确定度等概念；权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，
定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
在学习观测误差与传播律的时候，要建立测量误差不可避免的理念和测量误差分类处理的思路，理解测量误差的性质，熟练掌握衡量精度的各种指标。并且掌握广义传播律的理论，熟练掌握测绘中的应用方法。
要理解偶然误差的分布特性：(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值（界限性）。(2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大（小误差占优性）。(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等（对称性）。要掌握两个重要概念：(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值。(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
测量平差的基本原则
测量平差的基本原则
测量平差是指利用测量方法和原理，对测量结果进行处理和计算，消除误差和精度损失，得到更为准确的测量结果的过程。而测量平差的基本原则是指在进行测量平差过程中，需要遵循的一些基本规律和原则，以确保测量结果的准确性和可靠性。下面，我们将对测量平差的基本原则进行详细介绍。
一、观测数据的准确性
观测数据的准确性是进行测量平差的基础。在进行观测时，要保证仪器的精度、环境的稳定性、观测人员的素质等方面的要求，尽可能减小误差的产生。同时，在进行数据处理时，要注意数据的检查和筛选，排除异常值和明显误差点，以得到更为准确的测量数据。
二、平差模型的正确性
平差模型是指用于对测量结果进行处理和计算的数学模型，其正确性对于测量结果的准确性和可靠性至关重要。在进行平差模型的选择和建立时，要根据实际情况选择合适的模型，并考虑各种误差因素的影响，确保模型的正确性和可行性。
三、平差精度的控制
平差精度是指测量结果与实际值之间的误差大小，是衡量测量结果准确性和可靠性的重要指标。在进行测量平差时，要根据测量任务
的要求和实际情况确定平差精度的要求，并采取适当的措施进行控制，以保证平差结果的准确性和可靠性。
四、平差计算的合理性
平差计算是指对测量数据进行处理和计算，得到测量结果的过程。在进行平差计算时，要遵循科学的计算方法和原则，确保计算过程的合理性和准确性。同时，在计算结果的分析和判断时，要结合实际情况进行综合考虑，避免误判和错误判断。
五、测量过程的记录和保留
测量过程的记录和保留是保证测量结果可追溯和可复现的重要手段。在进行测量过程时，要认真记录测量数据、观测参数、环境条件等相关信息，并采取适当的措施进行保留，以便于后续的数据分析和处理。
高等测量平差
目录
第一章测量平差概述 (2)
1-1 测量平差的基本概念 (2)
1-2 参数平差原理总述 (4)
1-3 测量平差的若干进展 (6)
第二章统计假设检验 (8)
第三章回归模型的参数估计与假设检 (14)
3-1 概述 (14)
3-2 线性回归模型 (14)
3-3 回归参数的最小二乘估计 (15)
3-4 线性回归模型的统计分布和统计 (20)
3-5 回归模型和回归系数的显著性检验 (22)
3-6 预报值的标准差和区间估计 (30)
3-7 自回归模型 (33)
3-8 多项式拟合模型 (37)
3-9 三角多项式模型 (39)
3-10 多面函数模型 (44)
第四章秩亏自由网平差 (47)
4-1 概论 (47)
4-2 广义逆与线性方程组解 (49)
4-3 秩亏自由网平差原理 (54)
4-4 自由网拟稳平差 (59)
4-5 自由网平差及其基准变换 (63)
4-6 用于变形分析的自由网平差 (67)
第五章稳健估计 (71)
5-1 概述 (71)
5-2 稳健估计原理 (71)
5-3 基于选权迭代法的稳健估计方法 (73)
5-4 相关观测的稳健估计方法 (79)
5-5 稳健回归分析 (83)
第六章非线性模型平差 (90)
6-1 问题的提出 (90)
6-2 非线性模型平差原理 (90)
6-3 非线性模型平差的算法 (92)
6-4 非线性模型平差的精度评定 (102)
第一章测量平差概述
1-1 测量平差的基本概念
一、测量平差问题
测量误差，也称观测误差，是待观测量的真值与其观测值之差。观测只是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取反映地球及其他实体与空间分布有关信息的过程和数据。不论观测条件如何，测量误差总是不可避免的。
现代测量平差简介
2
0 0 1
3. 方差-协方差阵
设有观测值向量 X 和 Y ，它们的数学期望分别为 X
n ,1 r ,1
n ,1
和 Y
r ,1
。令：Z
X
Y
;则
Z
的方差阵为： DZZ
DZZ
DXX
DYX
DXY
DYY
DXY
x1 y1 x2 y1
n,n
KT n ,t
Z的协方差阵：
DZZ
t ,t
K
t ,n
DXX
n,n
KT n ,t
协方差传播律
三、多个观测值线性函数的协方差阵
设另有Ｘ的r个线性函数：
Y1 f11X1 f12 X 2 f1n X n f10 Y2 f21X1f22 X2 f2n Xn f20 Yr fr1X1 fr2 X 2 frn X n fr0
由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是 服从正态分布的随机变量， “不相关”与“独立 ”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测 值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。
3. 方差-协方差阵
假定有 n 个不同精度的相关观测值 X i ，数学期望和方差分
别为
Xi和
测量平差定义
测量平差定义
测量平差是指通过多次测量得到的观测数据，通过一定的计算方法，使得测量结果符合一定的规律，达到一定的精度要求的一种方法。在测量工程中，为了减小误差，提高测量的精度和可靠性，常常需要进行平差处理。
测量平差的目的是通过对观测数据进行处理，得到更加准确和可靠的测量结果。在实际测量过程中，由于测量仪器的误差、观测人员的操作误差、环境条件的变化等原因，测量结果往往存在一定的误差。通过测量平差可以将这些误差进行合理的分配和抑制，从而提高测量结果的精度和可靠性。
测量平差的方法有很多种，常见的包括最小二乘平差法、权中心平差法、条件平差法等。最小二乘平差法是一种常用的平差方法，它通过最小化观测数据与平差结果之间的残差平方和来确定平差结果。权中心平差法则是根据各观测数据的精度，将权重合理分配给每个观测数据，从而达到最优平差结果。
测量平差的过程主要包括观测数据的处理和平差计算两个步骤。观测数据的处理包括数据的录入、检查、筛选等步骤，其主要目的是保证观测数据的准确性和可靠性。平差计算则是在观测数据的基础上，根据平差模型和平差方法，进行平差计算，得到最终的平差结果。
在测量平差的过程中，需要注意一些常见的问题。首先是观测数据的选择和处理要合理，需要考虑到具体的测量任务和测量要求。其次是需要保证测量仪器的精度和稳定性，以及观测人员的操作准确性。此外，还需要注意数据的传输和存储过程中的数据保护和安全性。
测量平差在实际工程中有着广泛的应用。在土木工程中，测量平差可以用于测量建筑物、道路等工程的坐标和形状；在地理测量中，测量平差可以用于测量地球表面的形状和地理坐标；在电力工程中，测量平差可以用于电力线路的测量和设计等。通过测量平差，可以提高工程的精度和可靠性，为工程建设提供准确的基础数据。
测量平差重点内容个人总结
绪论
第一节观测误差
本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义及测量中常用的定权方法等
例子回顾：导线计算表
一、观测值中为什么存在观测误差？
观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。
有观测就有误差的结论。测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。
二、观测误差的计算
给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。
三、观测误差的分类及其处理
1、分类
给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。
◆系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者
在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。
◆偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即
从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。
2、处理
在测量学里，偶然误差处理是按照边长比例分配或直接平均分配。平差里则用平差的方法来处理，所处理的是一系列带有偶然误差的观测值，不包括系统误差的影响。
四、测量平差的任务
根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。
第二节测量平差学科的研究对象
研究对象为含有观测误差的各类观测值。举例说明。
第三节测量平差的简史和发展
一、测量平差理论的发展
测量平差的基本概念
必要元素数的性质
必要元素的个数T只取决于模型本身 所有的必要元素都是彼此函数独立的量 模型中所有的量都是必要元素的函数 一个模型中函数独立的量最多只有T个 模型中作为必要元素的"量"不是唯一 的
必要观测数的定义
外部配置:用于推算其它元素的平差前后不 发生改变的元素. 外部配置不需通过观测得到. 必要观测数:确定某个模型所必需的最少的 观测值的个数,称为必要观测数. 必要观测数用符号t表示. 必要元素 必要观测数的性质
外部配置 必要观测
平差问题存在的条件
总观测数用n表示: 当n<t时: 模型不能确定 当n=t时: 模型能唯一确定 当n>t时: 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是:n>t
间接平差函数模型
在实际计算中可以把观测量或待定量设为参数X 选定t个相互独立参数 t
n×1
~ ~ L = F(X )
t ×1
平差问题存在的前提条件.
必要元素数的概念
几何模型中包含多种"量"(真值) 以平面三角形为例: (1) 角度:三个内角∠A,∠B,∠C (2) 边长:三条边长a,b,c a b c (3) 高:三边上的高ha,hb,hc (4) 坐标:三点的平面坐标 Xa,Ya; Xb,Yb; Xc,Yc; (5) 方位角:TAB ;TBC ;TCA (6) 坐标差:XAB ,YAB ;…… (7) 面积,周长……
测量平差理论及在检测中的应用
测量平差理论及在检测中的应用
测量平差理论是测量学中的重要理论体系，它在各个领域中都有广泛的应用。本文将介绍测量平差理论的基本原理以及其在检测中的应用。
测量平差是一种通过多次测量数据的处理和分析，消除误差和提高测量精度的方法。它的基本原理是通过对测量数据进行加权处理，使之满足最小二乘原则，从而得到最优的测量结果。在测量平差中，常用的方法有最小二乘法、最小二乘平差法、最小二乘递推平差法等。
测量平差理论在检测中有着广泛的应用。首先，在工程测量中，测量平差可以用于调整测量仪器的误差，提高测量结果的准确性。例如，在建筑工程中，通过对多次测量数据进行平差处理，可以得到更加精确的地面高程、坐标等信息，为工程施工提供准确的数据基础。
其次，在科学研究中，测量平差也是不可或缺的工具。科学实验中，测量数据往往受到多种误差的影响，通过测量平差可以有效地减小误差，并提高实验结果的可靠性。例如，地质学家在进行地质勘探时，通过对多次测量数据进行平差处理，可以得到更加准确的地层厚度、地下水位等信息，为地质研究提供有力的支持。
此外，在制造业中，测量平差也被广泛应用于质量控制和品质检测。通过对产品尺寸、形状等特征进行测量，并对测量数据进行平差处理，可以及时发现产品的偏差和缺陷，从而保证产品质量和制造精度。
总之，测量平差理论在检测中具有重要的应用价值。它不仅可以提高测量结果的准确性和可靠性，还可以为工程建设、科学研究和制造业提供有效的技术支持。因此，学习和掌握测量平差理论，对于提高测量技术水平和推动相关领域的发展具有重要意义。
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测量平差概要
一、基本概念
01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。
02、在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。
03、协方差与权互为倒数。
04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。
06、协因数阵与权阵互为逆阵。
07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。
08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。
09、偶然误差服从正态分布。
10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。
11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的个数等于必要观测数。
12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函数法。
13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。
14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。
15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中误差的3倍作为极限误差。
16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。
17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。
18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。
19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。
20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。
21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。
22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。
23、测角精度与角度的大小无关。
24、观测值的权通常是没有量纲的。
25、在山地，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比。
26、测角网的必要观测个数等于待定点个数的2倍。
27、仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件
28、独立水准网的条件方程式只有闭合水准路线。
29、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
30、观测值的协因数与方差成正比，观测值的权与方差反比。
31、观测值的权是其协因数的倒数。
32、误差传播律的作用是求观测值函数的中误差。
33、条件方程的个数等多余观测值个数。
34、以待定点的坐标为未知参数的间接平差称为坐标平差。
35、单一附合导线的多余观测始终是3。
36、消除或削弱系统误差的影响方法是在观测过程中采取一定的措施或在观测结果中加入改正数。
37、同一个量多次等精度观测值的最或是值等于其算术平均值。
38、没有已知点的水准网，其必要观测值的个数等于待定点的个数减一。
39、有已知点的水准网，其必要观测个数等于待定点个数。
40、在相同的观测条件下得到的一组观测值称为同精度观测值。
42、条件方程式之间必须函数独立。
44、应用误差传播律时观测值间应相互独立。
45、以待定点的高程作为未知参数，它们之间总是函数独立的。
46、观测值与平差值之差不是真误差。
47、应用权倒数传播律求平差值函数的权倒数时，应先将平差值化为误差独立的观测值。
48、在间接平差中，将平差值方程等号左边的观测值移到等号右边就得到了误差方程。
49、加权平均值的权等于各观测值的权之和。
50、观测量的真值指的是一个能反映其真正大小的数值。
51、观测值与真值之差是真误差。
52、水准网的条件方程式只有闭合水准路线和附合水准路线两种。
53、根据三角形的闭合差计算测角中误差的公式叫菲列罗公式。
54、对于同一个平差问题，间接平差和条件平差的结果是相同的。
55、若观测值间的互协因数为零，表示观测值之间不相关，也称为独立观测值。
56、精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
57、间接平差与条件平差一定可以相互转换。
58、在间接平差中，未知数参数的个数等于必要观测的个数。
59、图形条件的个数等于互不重叠的三角形个数加上实对角线的条数。 60、系统误差不能用平差的方法进行消除或减弱。
61、水准测量中，高差的方差与距离成正比，高差的权与距离成反比。 62、条件平差的函数模型是条件方程，间接平差的函数模型是误差方程。 63、等于1的权称为单位权，权为1的中误差称为单位权中误差。 二、误差传播律的应用
1、已知单位权中误差为21''±，观测值1L 、2L 、3L 的中误差为2''、3''、4''，求观测值的权。
【解：】94
1216
31236
21222
2320322
2220222
21201=========σσσσσσp p p
2、水准测量中每站高差的中误差为3mm ，现从已知点A 测至待定点P 共观测了36个测站，求该测段的高差中误差。 【解：】mm n AB 18336=⨯=
=
站σσ
3、如图，已知AB 方位角为20381155''±'''︒，导线角30281651''±'''︒=β，
664042382''±'''︒=β，试求CD 边方位角及其中误差。
【解：】63719918018021'''︒=+︒-+︒+=ββAB CD T T
"=++±=++±==76322222
222
1ββm m m m AB CD T T 4、有一矩形场地，测得长mm m a 2050±=，宽mm m b 1240±=，计算该矩形的面积P 及其中误差P σ。
【解：】⑴ 220004050m ab P =⨯==
⑵ 2222222221020.040012.050m b a a b p =⨯+⨯=+=
σσσ
5、有一角度，4测回的中误差为6''，要使其中误差为3''，需要再增加多少个测回？