函数解析式的求法教案

函数解析式的求法
【教学目标】1．了解函数的表示方法
2．掌握函数解析式的求法
【教学重点】函数解析式的求法
【教学难点】实际问题的函数建模
【例题设置】例1（待定系数法），例2（换元法），例3（解方程组法），例4（抽象
函数），例5（实际问题建模）
【教学过程】
一、要点复习
1．函数的表示法
⑴ 解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
⑵ 列表法：就是列出表格来表出两个变量的函数关系；
⑶ 图象法：就是利用函数图象表示两个变量之间的函数关系．
注：一定注意写法，例21x +为代数式，而2
1y x =+才为解析式．
2．函数解析式的求法（求解析式一定不要漏掉定义域）
⑴ 待定系数法：有时题中给出函数的某些特征（如：已知一次函数……），可先设其解析式，再由已知条件确定系数．
⑵ 换元法（一定要注意元的取值范围），对于一些简单的亦可使用“拼凑法”． ⑶ 解方程组法，涉及抽象函数的常用此法．
⑷ 根据实际问题建立一种函数关系式，这种情况须引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式．其重点是找出等量关系．
〖例1〗 二次函数1()y f x =的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数2()y f x =的图象与直线y x =的两个交点间距离为8，若12()()()f x f x f x =+，求()f x 的解析式．
解：由二次函数1()y f x =的图象以原点为顶点可设21()(0)f x ax a =≠，再将(1,1)代
入上式解得1a =，故21()f x x = 设2()k f x x =，联立k y x y x
⎧=⎪⎨⎪=⎩解得交点
坐标为,,(,，其距离
8=，解得8k =，故28()f x x =
综上所述，28()(0)f x x x x
=+
≠ 〖例2〗 已知2
211()11x x f x x
--=++，求函数()f x 的解析式． 解：令111x t x -=≠-+，则11t x t -=+，故22211()21()111()1t t t f t t t t
--+==-+++ ∴ 2
2()(1)1x f x x x =≠-+
〖例3〗 已知13()5()21f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式．
解：∵ 1
3()5()21f x f x x
+=+ …………① ∴ 113()5()2
1f f x x x
+=+ …………② 联立①②，消去1()f x 得531()(0)888f x x x x =-+≠
〖例4〗 设()f x 是定义在R 上的函数，对一切x R ∈均有()(2)0f x f x ++=，当11x -<≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式．
解：∵()(2)0f x f x ++=
∴ (2)(22)0f x f x -+-+=，即()(2)f x f x =--
当13x <≤时，121x -<-≤，则
()(2)[2(2)1]25f x f x x x =--=---=-+
即 当13x <≤时()25f x x =-+
★ 点评：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。

在化归过程中还体现了整体思想。

〖例5〗A B
、两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A，写出该车离开A地的距离s（公里）关于时间t（小时）的函数关系式，并画出图象．
解：
5003
15035
4506057.5
t t
s t
t t
≤<
⎧
⎪
=≤≤
⎨
⎪-<≤
⎩
图象为：
【课堂小结】
求函数解析式时不要遗漏掉定义域．【教后反思】。