无穷个无穷小之积是无穷小吗——兼谈一种特殊无限个无穷小的积

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赛氪考研：为什么无限个无穷小之和(积)不一定是无穷小

为什么无限个无穷小之和（积）不一定是无穷小19世纪70年代，德国数学家维尔斯特拉斯严格定义极限概念后，无穷小也有了准确的定义，并一直沿用至今。

现在我们的数学分析或者高等数学课本中，无穷小的定义为：若()lim 0x f x →=，则称()f x 为x → 时的无穷小。

这里的可以是0x ，0x +，0x -或∞，+∞，-∞中的某一个。

我们单纯从无穷小的定义来看，有两点需要特别注意：（1）无穷小是一个函数，并不是一个数；（2）当谈论无穷小时，只有加上x → 这个条件才有意义。

由无穷小量的定义可以推出关于“有限个无穷小的和差积运算”与“无穷多个无穷小的和差积运算”的4个性质：（1）有限个无穷小之和仍是无穷小；（2）有限个无穷小之积仍是无穷小；（3）无穷多个无穷小之和不一定是无穷小；（4）无穷多个无穷小之积不一定是无穷小。

对于小伙伴们，上述性质让我们摸不着头脑，似懂非懂，云里雾里。

今天的这篇文章，我们主要讲述这4个性质。

“有限个无穷小之和仍然是无穷小”以及“有限个无穷小之积仍然是无穷小”比较容易理解，但“无穷多个无穷小之和不一定是无穷小”以及“无穷多个无穷小之积不一定是无穷小”为什么？这个问题涉及到收敛与一致收敛的问题。

我们先来直观解释一下：无穷小是一个函数，并不是一个数，它收敛到0的速度取决于函数自身的表达式；无穷多个无穷小相乘，本质上是无穷多个函数相乘，虽然每个函数在x → 时的极限都是0，但是它们趋向于0的速度不一定是一致的；可能任意时间都仍然有无穷多个项是不小于1的，这样总的和就可能不趋于0，总的乘积也可能不趋于0。

上面这段话直观理解看上去有道理，但我们不能满足现状。

对于数学而言，需要严格证明，这恰恰是数学的魅力所在。

有限个无穷小之和仍是无穷小令()()()12,,,n f x f x f x 均为0x x →时的无穷小，由无穷小的定义可得，()0lim 01,2,,k x x f x k n →== ，。

关于无穷小量乘积的讨论

第32卷第3期2002年5月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l132　N o13　M ay,2002　关于无穷小量乘积的讨论孟　健,　赵迁贵(中国矿业大学数学与系统科学系,江苏徐州　221008)摘要:　本文由有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量的证明入手,给出无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量的例子,并根据这种方法得到无穷多个无穷大量的和也不一定是无穷大量的结论.关键词:　无穷小量;无穷大量;无穷和;无穷乘积我们知道有限个无穷小量之和是无穷小量,而无穷多个无穷小量的和却不一定是无穷小量.那么关于它们的乘积结论又如何呢?首先有结论:在自变量同一变化中,有限个无穷小量的乘积是无穷小量.这里仅以自变量x趋于x0为例证明这个结论.设当x→x0时,函数f1(x),f2(x),…, f n(x)为无穷小量,由无穷小量的定义,对函数f i(x)(i=1,2,…,n)有对于任意给定的正数Ε,总存在正数∆i,使得对于适合不等式0< x-x0 <∆i的一切x,对应的函数值f i(x)都满足不等式f i(x) <nΕ取∆=m in1ΦiΦn{∆i},从而对适合0< x-x0 <∆的一切x,不等式∏n i=1f i(x)<∏ni=1nΕ=Ε都成立.故有限个无穷小量的乘积∏ni=1f i(x)是当x→x0时的无穷小量.有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量,那么无穷个无穷小量的乘积是否还是无穷小量呢?结论从直观上看似乎是肯定的,但是通过分析有限个乘积的证明看出,此时对无穷多个∆i(i=1,2,…),不一定能找到它们的最小值,从而结论不一定成立.事实上,我们从以下的两个例子中可以知道在自变量同一变化中,无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量.例1　考虑函数列f n(x)=x, x <1n, n, x Ε1n显然对每一个给定的n,函数f n(x)都是当x→0时的无穷小量,下面只需证明它们的无穷乘积当x→0时不是无穷小量.取定Ε0=1,对任意给定的正数∆,总存在自然数N,使得1N<∆,由函数f n(x)的定义f n1N=1N,当m<N时,m,当mΕN时故∏2Nn =1fn1N=∏N -1n =1fn(x )∏2Nn =Nfn(x )=1NN -1N (N +1)(N +2)…(N +N )Ε1注意到当m ΕN 时f m1N=m ,因此,函数列f n (x )(n =1,2,…)的无穷乘积也大于给定的正数Ε0,故它不是x →0时的无穷小量.例2　考虑函数列g n (x )=n ,x Φn ,1x,x >n 根据定义对每一个给定的n ,函数f n (x )都是当x →∞时的无穷小量,这里同样可证,它们的无穷乘积也不是当x →∞时的无穷小量.对任意给定的正数X (不妨设X >1),总存在自然数N >X,由g n (x )的定义知g m (N )=1N,当m <N 时,m ,当m ΕN 时故∏2Nn =1gn(N )=∏N -1n =1gn(x )∏2Nn =Ngn(x )=1NN -1N (N +1)(N +2)…(N +N )Ε1由于当m ΕN 时,g m (N )=m >1,故可取Ε0=1,对任意的X >1,总有适应 x >X 的N ,使得函数列g n (x )(n =1,2,…)的无穷乘积的值大于等于Ε0,因此结论成立.根据以上讨论,我们还容易得到无穷多个负(正)无穷大量的和不一定是负(正)无穷大量的例子.例3　设函数列h n (x )=ln x ,x <1n,ln n ,x Ε1n由无穷大量的定义,对每个给定的n ,函数h n (x )为x →0时的无穷大量,由例1的方法可以证明,它们的无穷和却不是当x →0时的无穷大量.参考文献:[1]　复旦大学数学系1数学分析[M ].上海:上海科学技术出版社,1979.[2]　同济大学数学教研室1高等数学[M ].北京:高等教育出版社,19971[3]　张晓宁等1高等数学习题课教程[M ]1徐州:中国矿业大学出版社,19881815数　学　的　实　践　与　认　识32卷第32卷第3期2002年5月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l132　N o13　M ay,2002　On the I nf i n ite Product of the I nf i n itely S mall Quan tityM EN G J ian,　ZHAO Q ian2gu i(D epartm en t of M athem atics,Ch ina U n iversity of M in ing and T echno logy,Xuzhou221008,Ch ina)Abstract:　In th is no te,w e con struct som e examp les to show that the infin itely p roduct of theinfin itely s m all quan tity m ay be no t infin itely s m all quan tity.Keywords:　infin itely s m all quan tity;infin itely large quan tity;infin itely sum;infin ite p roduct数字技术与科技进步李　冰(中央民族大学物理与电子工程系,北京　100081)摘要:　本文讨论并提出数字技术与数学科学的内在联系.并根据实际的分析和研究,认为数字化技术只是信息化促进科技发展的一个阶段,尽管数字技术已经并将继续推动科技和生产力的发展速度.关键词:　数字技术;数字化程序设计;应用数学;科技发展0　序言数字化和信息化有密不可分的联系,进而影响着科技进步的现代化进程.在上世纪末,美国麻省理工学院教授、媒体实验室负责人尼葛洛庞帝出版了《数字化生存》[4]一书,引起了世界范围的广泛讨论[6].在新千年到来之际,1999年12月,美国的副总统戈尔曾在加利福尼亚科学中心作了“数字地球——认识我们这颗星球”的演讲[6];2000年6月5日光明日报报道了中国国家主席江泽民在接见中科院、工程院部分院士时,也提到“数字地球”这一概念[6].在新世纪的新经济时代,推动时代发展的根本力量,仍必将是信息化和科技进步推动的全球经济一体化.对科技进步的现状(包括数字技术)与经济发展前景的联系,会引起人们的各种思考.一方面,数字技术对推动科技进步(以新颖性、创造性、实用性为标准)带来的机遇,不容忽略;另一方面,人类综合能力、实践能力和创新能力的提高,也会推动数字信息化在更宽阔的领域里有所新的创造.1　数字技术把数学和物理有机结合了起来李政道博士曾经讲过,(上世纪)的科学门类繁多,总体可以归于数学和物理两类.我们认为[1],数学可以被理解为指导思维(特别是创新思维)的科学;而人类对外部的物质世界的被称为“物理”的研究,可以归纳为对物质运动所表现出的信息进行“整理”和“条理”的工作.物质运动的信息,来自物体之间的相互作用,大致可以分为物体之间的力的相互作用、物质。

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。

它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。

本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。

一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。

通常用符号"ε"或者"δ"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。

无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。

2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。

3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。

4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。

这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。

二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。

通常用符号"∞"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。

无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。

2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。

3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。

无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。

三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。

当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。

[最新]无限大和无限小-一点数学上的常识

无穷大和无穷小-一点数学上的知识无穷小。

这个概念无疑常常困扰没有受过现代数学训练的阅读者们，这是很自然的事情，因为它可以从直觉上意识得到，却又难于精确地把握：无穷小是什么？是不是可以精确定义的数学概念？它是一个数？还是一段长度？能不能对无穷小做计算？诸如此类等等。

由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起，使得甚至哲学家们也对它颇为关注，——当然，还有数之不尽的民科们。

关于无穷小的讨论者，最著名的大概莫过于莱布尼茨，他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念并且以此作为整个微积分学的基石。

在莱布尼茨看来，无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量，对它可以做四则运算，尤为关键的是可以做除法：两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。

以此为基本语言他开始建立微积分学的基本理论，——他基本上成功了。

直至今天，数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨，而数学学科内部关于微积分学的专门称呼——“分析学”——也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法：无穷小分析。

尽管牛顿和莱布尼茨在微积分的发明权上争得不可开交，可是几个世纪过去，至少在这两件事情上莱布尼茨大获全胜。

可是，也许你想不到的一件吊诡的事情是：尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献，他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。

人们发现这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处，于是作为一种语言，它被丢弃了。

事实上，即使在莱布尼茨的同时期人看来，无穷小也是一个有点让人不舒服的词：比任何大于零的数都小，却不是零。

我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用，可是这样一个怪东西的存在，既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱，也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题（尽管它也确实带来了不少方便）。

在分析学蓬勃发展的十八世纪，一代又一代数学大师为此争论不休，大家混乱而各行其是地使用这个词，却没人能说清楚它的精确含义。

无穷小与无穷大的关系

1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.
f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x ) 时为无穷大, 记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.

无穷小无穷大极限运算法则

解:
原式

lim
n
n (n 1) 2n2

lim 1 (1 n 2
1) n

1 2
3题
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3. 求
解法 1
原式 = lim
x
x lim x2 1 x x
1
1
1
1 x2
1
2
解法 2 令 t 1 , 则 t 0 x
原式 = lim 1
推论
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推论 1 (P45) . lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 )
推论 2 (P45). lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
例2 (P46). 设 n 次多项式
试证
lim
xx0
Pn
当
时,有
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
因此

2

2

这说明当
时,
为无穷小量 .
说明
机动目录上页下页返回结束
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
(
x)

Pn
( x0
).
证
lim
x x0
Pn
(
x)

定理4
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定理4
(P45) .
若
lim
n

关于无限个无穷小量的乘积问题

关于无限个无穷小量的乘积问题
今天上高数课我们学到有限个无穷小量的乘积为无穷小量，但是对于无限个无穷小量乘积问题老师并未解释清楚，根据方法论，推到“无限个无穷小量乘积仍为无穷小量”这一错误命题，我们只需找到一个反例即可，网上有一不错例子，希望对大家有所帮助。

这个例子可能颇为复杂，我解释一下：
实际上这种方法为构造数列，以一个任意定值ｉ来作为载体，通过n与i的关系来达到构造一个无穷小数列的目的。

在n>i时，所有数列项均有极限0。

这样在求其乘积是只需对第三个大式子（红字）求极限即可（之前的两个比较简单），在此之后将其每一项展开，所得项可相消，最后求得其极限不是无穷小，故命题得证。

附带从1988年《高等数学》一书上摘下的一段话
希望以上资料能对大家对于“无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量”这一定理有更好的理解。

关于无穷小量的几个问题的解析

关于无穷小量的几个问题的解析作者：李丽芳杜娟宋庆凤来源：《教育教学论坛》2016年第34期摘要：本文以无穷小量的历史起源（即第二次数学危机）为载体，旨在介绍要用“运动”观点和极限思想学习无穷小理论，并给出了教学实践中常遇到的几个关于无穷小量问题的解析。

关键词：无穷小；数学危机；大学数学中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0178-02一、无穷小量的起源无穷小量是高等数学体系中的一个极其重要的概念。

历史上的第二次数学危机[1]就是由于对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。

牛顿创立的微积分基础就是无穷小量，这是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。

我们以一个浅显的例子来看牛顿的思考。

例：自由落体在时间t下落的距离为S（t）= gt ，求物体在的瞬时速度。

这可以先求平均速度，即用下落距离的改变量除以时间的改变量，易求 =gt + g·Δt，当Δt越小时，该平均速度就越接近物体在t 的瞬时速度；当Δt变成无穷小时，上式右端的g·Δt也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是gt ，牛顿认为这就是物体在t 的瞬时速度。

由于当Δt变成无穷小时，ΔS也是无穷小，因此牛顿认为，瞬时速度是两个无穷小的比。

尽管当时对于什么是无穷小并没有公认的一个精确定义，但牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题，所以由牛顿创立的微积分就被科技界广泛接受，并得以迅速发展。

但是，从上述例子中也可以看出，当时的微积分在推导上并不严谨，因此在当时遭到了以英国大主教贝克莱为代表的许多人的责难。

贝克莱的责难相当直接：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？具体说，上述例子中，牛顿从平均速度的表达式中，让Δt变成无穷小，得到物体的瞬时速度gt ，这在推导中有逻辑上的毛病。

贝克莱认为，式子=gt + g·Δt成立是以Δt≠0为前提的，那么，为什么又可以让Δt=0而求得瞬时速度呢？贝克莱还讽刺挖苦说：既然ΔS和Δt都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的灵魂”了！这就是著名的“贝克莱悖论”。

无穷小及无穷大

1.4 无穷小与无穷大无穷小1．无穷小量的定义定义：如果* →*0〔或* → ∞ 〕时, 函数f (*) 的极限为零 ,则把f (*) 叫做当* →*0〔或* → ∞ 〕时的无穷小量，简称无穷小。

例如：因为0)1(lim 1=-→x x ，所以函数*-1是*→1时的无穷小。

因为01lim =∞→xx ，所以函数x 1是当*→1时的无穷小。

因为011lim =--∞→x x ，所以函数x-11是当*→－∞时的无穷小。

以零为极限的数列｛*n ｝，称为当n →∞时的无穷小，n 1，n 32 都是n →∞时的无穷小。

注：⑴不能笼统的说*函数是无穷小，说一个函数f(*)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。

⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在*→*0〔或*→∞〕时，极限仍为常数本身，并不是零。

⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在*→*0〔或*→∞〕时，极限是零。

2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小〔无穷多个无穷小之和不一定是无穷小〕。

⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。

⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

〔常数与无穷小的乘积仍是无穷小〕。

⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。

例1．求x x x sin lim ∞→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数，而01lim =∞→x x∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

∴x x x sin lim ∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是该函数的极限。

4．无穷小的比拟例：当*→0时，*, 3*， *2, sin*, xx 1sin 2都是无穷小。

观察各极限：0320lim =→xx x *2比3*要快得多 1sin lim 0=→x x x sin* 与*大致一样 ∞=⋅=→→x x xx x x x sin 1sin lim lim 020sin*比*2慢的多 x x x x x x 1sin 1sin lim lim 0220→→= 不存在不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度〞是多样的。

无穷小和无穷大

2.切勿将 lim f ( x) 认为极限存在. x x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大.
例1 证明:当 x 0时,函数 y 1 sin 1 是一个无 xx
界变量, 但不是无穷大.
证
(1)
取
xn
1 2nπ
π
(n 0,1,2,3,)
2
则
y( xn )
1 sin 1 xn xn
例2 设 x 时, f ( x) 和 g( x) 都是无穷大量, 则当 x 时, 下列结论正确的是( ).
A. f ( x) g( x) 是无穷大量； B. g( x) 1; f (x)
C . f ( x) g( x) 0; f (x) g(x)
D. f ( x) g( x) 0.
1 cos x ~ 1 x2 , 2
n 1 x 1 ~ 1 x, n
a x 1 ~ x ln a (a 0, a 1).
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如, sin x x o( x), cos x 1 1 x2 o( x2 ). 2
无穷小与无穷大
一、无穷小与无穷大的定义二、无穷小的性质三、无穷小阶的比较四、无穷大与无穷小的关系
一、无穷小与无穷大的定义
1. 无穷小(infinitesimal)的定义
定义1 如果函数 f ( x)当 x x0 ( 或 x )时的极限为零, 那么称函数 f ( x) 为当 x x0 ( 或 x )时的无穷小. 特殊地,以零为极限的数列{ xn} 称为n 时的无穷小.
x0
sin x x2
,
x2 sin 1
lim
x0
x x2
lim sin 1 x0 x

高等数学中易错知识点总结

高等数学中易错知识点总结1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。

若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。

2, 在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。

但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。

3. 基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。

4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。

若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。

5. 在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。

但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。

6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。

函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。

在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。

7. 函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数证明如下：设可导函数为f(x),因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x),--->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T)所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数.b. 函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h} =lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)} =-f′(x) 二、根据复合函数的求导法则, 设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 对上式两边关于x求导数,则有8. 设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是: f(a)=0,f'(a)≠0证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 ①f(a)=0,f'(a)>0lim(x→a-)f'(x)=-f'(a)lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在②f(a)=0,f'(a)<0 lim(x→a-)f'(x)=f'(a)lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x)∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在9.闭区间上的单调函数必可积。

无穷小的发展及其认识

摘要微积分是高等数学的基本组成部分，它不仅在高等数学中占有重要地位，而且也是现代化建设和高科技发展不可缺少的有效工具。

而无穷小是微积分理论的最基本概念之一，在微积分理论体系中，无穷小是一个必须要弄清楚的概念。

然而，人们对无穷小的认识却经历了一个漫长的过程。

直到十八世纪，仍然没有较完善的解释无穷小概念。

无穷小是什么？无穷小究竟能不能是零？我们怎样确切地描述它？这些问题引起了数学界乃至哲学界的争论长达一个半世纪。

无穷小问题至关重要，若其不能解决，极限概念就无法建立，微积分理论就不会完善。

到十九世纪二十年代，无穷小概念才有了比较合理的解释。

为了更好地学习微积分理论，掌握现代化科学文化知识，正确认识无穷小量的历史发展根源及其内涵也是非常重要的。

本文主要通过无穷小的历史认识无穷小的地位和价值。

关键词：无穷小量，微积分，发展，认识Development and understanding of infinitesimal Abstract：Calculus is the basic part of higher mathematics, it not only occupies an important position in higher mathematics, and it is also an effective tool to modernization and high-tech development essential. But the infinitely small is one of the most basic concepts of calculus, calculus theory, infinitely small is a must to clarify the concept of. However, people's awareness of the infinitesimal has experienced a long process. Until eighteenth Century, there is no perfect interpretation of the concept of infinitesimal. Infinitesimal is what? Infinitesimal what can not be zero? How can we describe it exactly? These problems caused by the mathematics community and philosophical debate for 1.5 century. Essential infinitely small problem, if not solved, the concept of limit cannot be established, calculus theory is not perfect. In nineteenth Century twenty time, the idea of infinitesimal is relatively rational explanation. In order to better learning calculus theory, master the modern scientific and cultural knowledge, causes the historical development and connotation of the correct understanding of infinitesimal is also very important. In this paper,the historical understanding through infinitesimal infinitesimal status and value.Keywords: infinitesimal calculus, development, understanding目录一、引言 (1)二、无穷小的发展及历史过程 (1)（一）无穷小概念的产生 (1)（二）牛顿和莱布尼茨对无穷小量的认识 (2)1.牛顿与无穷小量 (2)2.莱布尼茨与无穷小量 (3)（三）莱布尼茨和牛顿对无穷小的异同 (6)（四）无穷小量在第二次数学危机中的原因 (6)（五）无穷小的最后完善 (8)三、无穷小在数学中的应用 (9)（一）定义中的无穷小 (9)（二）无穷小量性质 (9)（三）在近似计算中的无穷小 (10)（四）函数极限中的无穷小 (13)（五）无穷小的比较在判别正项级数的敛散性中的应用 (14)（六）无穷小量在1 型极限中的应用.............. 错误!未定义书签。

高等数学等价无穷小替换

无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。

【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。

难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。

最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。

下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义：当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。

显然，∞→n 时，、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。

极限的运算法则

(3)无穷大一定无界,但无界未必无穷大
定义若函数 f(x) 在某个极限过程中以零为极限, 则称f(x)为该过程中的无穷小量, 简称无穷小.
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
定理 2.5 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
特殊地，如果 lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
例如，因为 lim x2 0，即 x2 o(3x) ( x 0).
x0 3x
所以当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
因为lim
1 n 1
n n2

,所以当n

时, 1 是 n
(x 1)(x 2) (x 1)(x2 x 1)

lim
x1
x2 x2 x 1
3 1 3
例7 求 lim ( x 2 x ) (有理化法) x
解：原式
lim ( x 2 x )( x 2 x )
x
x2 x
lim x 2 x x x 2 x
所以当x

x0时,
f
1 为无穷大. (x)
类似地可证x 时的情形.
无穷小量 (0除外) 的倒数是无穷大量 (类似地,无穷大量的倒数是无穷小量).
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
4. 无穷小量阶的比较
例如,
当x0时,
3x,
x2,
sinx,x
2
sin
1 x
都是无穷小
但它们趋于零的快慢程度不同,我们
,且Q(x0)0,则有