面积与动点问题
列一元二次方程解应用题的四种类型 利润、增长率、面积、动点问题
列一元二次方程解应用题的四种类型（利润、增长率、面积、动点问题）1、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的盈利元；商场每天可以多销售件，则商场降价后每天售出的数量为件。
根据：利润=单件的利润╳数量，我们可以列出方程：解这个方程得：答：；例1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？练习：1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
初中数学动点产生的面积问题学习方法
初中数学动点产生的面积问题学习方法
函数中的动点问题是以函数为背景，充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决。
1.求不规则图形或难以同时求出底和高的三角形的面积，一般的思路是割补法：
①有一边“水平”或“竖直”的多边形，作垂线分割成直角三角形或直角梯形，如图1;
②“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常过顶点作铅垂线和水平线“补”成矩形，再减去各角上的直角三角形面积，如图2.
图1
图2
2.对于“斜”三角形可用“铅垂法”求面积：如图3，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
图3
3.底或高不明显，但已知边的关系，可用相似比间接求得.①如图4，同底三角形的面积比等于高的比同高三角形的面积比等于底的比;②如图5，同底等高三角形的面积相等.
图4
图5
【典型例题】
如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.。
利用面积解决动点问题
利用面积解决运点问题例1：已知如图是一个等边三角形木框：①如图1甲虫P 在边框AC 上爬行（A 、C 端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，请猜想d 与h 的大小关系怎样？②如图2当甲虫P 爬行到三角形木框内部时，P 到三角形三边的距离之和与h 的关系如何？ ③如图3当甲虫P 爬行到三角形外部时，P 到三角形三边的距离与h 之间存在怎样的关系？解：①如图1连接BP 、过A 作AE ⊥BC 于E ，则AE 为h ，设三角形的边长为a. S △ABC =S △ABP +S △BCP =12 a·PC+12 a·PD=12 a(PC+PD)=12ah∴PC+PD=h. ②连接AP 、BP 、CP ，过A 作AF ⊥BC 于F S △ABC =S △ABP +S △BCP +S △ACP =12 a·PC+12 a·PD+ 12 a·PE= 12a(PC+PD+PE)=12ah ∴PC+PD+PE=h. ③关系：PC+PD －PE=h.连接AP 、BP 、CP ，过A 作AF ⊥BC 于F S △ABC =S △ABP +S △BCP －S △ACP=12 a(PC+PD －PE) =12ah∴PC+PD －PE=h.·PA BCCD 图1·P ABCCD图2E ·P ABCCD图3EE F F点评：此题的关键在于利用面积问题求线段和的问题，图中将△ABC 的面积分成几部分，求和或做差，利用三角形的面积的不变性求出几条垂线段的和或差的不变性。
例2：如图已知矩形ABCD ，AB=6，BC=8，对角线交于O ，P 为BC 上的一动点，过P 作PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，当P 在BC 上运动时，试问PE+PF 的值是否变化？若不变化求出其值；若改变请说明理由。
解：连接OP 、过B 作BG ⊥AC 于G ∵四边形ABCD 是矩形∴△ABC 是直角三角形，AO=BO=CO=DO ∵AB=6，BC=8∴AC=62+82 =10，S △BCA = 12 ×6×8=24∴BO=CO=5 S △BCO = 12×24=12∴S △OBC =S △OBP +S △OCP = 12×5×PE+ 12 ×5×PF= 12 ×5×(PE+PF)=12∴PE+PF=245. 点评：此题关键是运用面积来解决线段和的问题，利用△BCO 的面积的不变性，将其分成两部分来求和，得出两小三角形的高之和等于大三角形的高，从而求出最后结果。
初中数学动点问题大全
初中数学动点问题大全动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。
题型一动点形成的面积问题1．面积公式：三角形面积用12S ah =来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。
2．面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。
3．相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。
角度1：利用公式法解决动点面积问题例题1：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点30A （，）和23B （，）．过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC ADC S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(,3)a （其中4a >），射线O 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S S ∆∆的值；如果变化，请说明理由．O x y （备用图）O xy解析：（1）∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ，∴点P 的坐标为（6，2）．设直线AO 的表达式为y kx =（0k ≠）．将点P （6，2）代入y kx =，解得13k =．∴所求反比例函数的解析式为13y x =．（2）∵AB //x 轴，∴点B 纵坐标为3，将3y =代入12y x=，得4x =．∴B 坐标为（4，3）．∵AB =BO ，∴224(40)(30)a -=-+-9a =．∴点A 坐标为（9，3）．（3）不变．延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，∴32ADO AEO S S a ∆∆==．∵点C 坐标为（a ，12a ）．∴6CEO S ∆=，同理6BDO S ∆=，∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABO ACO S S ∆∆=．∵△ABP 与△ABO 同高，∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=．同理ACP ACO S AP S AO ∆∆=．∴1ABP ACP S S ∆∆=．即当a 变化时，ABP ACPS S ∆∆的值不变，且恒为1变式2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(3,0)B ，(0,4)C ，点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上，∴设0P x （，）.∵A )0,1(-，∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中，222OA OC AC +=；又∵14OA OC ==，∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CM PM BC AB AC ∴= ；300B P x （，），（，）1点P 在点B 的左侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)12217x -=解得110x .P =∴（，）2点P 在点B 的右侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)122417x -=解得11x =+，21x =-（不合题意，舍去）∴P（1+0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+0）角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2：如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB DC ==，4AD =．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且//ME DN ，//MF AN ，联结EF ．（1）如图1，如果//EF BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38，求AM 的长；解析：（1）∵AD //BC ，EF //BC ，∴EF //A D ．又∵ME //DN ，∴四边形EF DM 是平行四边形．∴EF =DM ．同理可证，EF =AM ．∴AM =DM ．∵AD =4，∴122EF AM AD ===．（2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．∵ME //DN ，∴△AME ∽△AN D ．∴22AME ADN S AM S AD∆∆=．同理可证，△DM F ∽△DN A ．即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=．设AM =x ，则4DM AD AM x =-=-．∴22(4)516168x x -+=．即得2430x x -+=．解得11x =，23x =．∴AM 的长为1或3．A B CD M N EF （图1）AB C D M N E F变式3：已知直线1l 、2l ，12//l l ，点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC BC ⊥，60ABC ∠=︒，4AB =，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合．（1）如图1，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长；（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N ．①如图2，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长．解析：变式4：如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BC AC ⊥，4AD =cm ，︒=∠45D ，3=BC cm ．（1）求B ∠cos 的值；（2）点E 为BC 延长线上的动点，点F 在线段CD 上（点F 与点C 不重合），且满足ADE AFC ∠=∠，如图2，设x BE =，y DF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E 为射线BC 上的动点，点F 在射线CD 上，仍然满足ADE AFC ∠=∠，当AFD ∆的面积为2cm 2时，求BE 的长．解析：（1）∵//AD BC ，∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒，∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =，∴4AC =.∵3=BC ，∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.（2）∵//AD BC ，∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠，ADE FDA EDC ∠=∠+∠，又AFC ADE ∠=∠，∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DF DC CE =.在Rt ADC ∆中，222AC AD DC +=，又4==AC AD ，∴24=DC .∵x BE =，∴3-=x CE .y DF =，∴3244-=x y .22322-=x y .定义域为113<<x .（3）当点E 在BC 的延长线上，由（2）可得：ADF DCE ∆~∆，∴2(DC AD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=，4=AD ，24=DC ，∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21，∴44)3(21=⨯-⨯BE ，∴5BE =.当点E 在线段BC 上，同理可得：44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3：已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为(0)m m >，过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；解析：变式5：已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12．（1）求顶点D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标．解析：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=，∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -（2）设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式，得，1a =所以，这条抛物线的表达为223y x x =--（3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+解得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫ ⎪⎝⎭巩固1：如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，3AC =．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF OA ⊥，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D 的坐标．解析：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=a a x ，∴OC =1，OA =OC +AC =4，∴点A （4，0）．∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ，∴OBOC OA OB =，∴OB OB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．（2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ，由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24m FG -=，∴2:524:)22141(2=-++-m m m ，∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）巩固2：如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD DAF ∆∆∽；（2）若1BC =，设CD x =，AF y =；①求y 关于x 的函数解析式及定义域；②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒A C BO yx∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，∴BCD ∆∽DAF∆（2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CD AD AF=∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11x x y=-，∴()201y x x x =-<<（3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BF BC BD=，∵BE BD =，1BC =，∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，∴279BE BF ==，∴29AF =∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCDS BE S BC ∆∆==∵1BC =，BE BD =，∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ，∵60C ∠=︒，∴BH =16DH =，12CH =当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=．巩固3：在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．解析：（1）△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时，如图（1）：∵矩形ABCD ，==90D A ∠∠ ，∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ，∴1=3∠∠，∴△EAP ∽△PDC②当P 在AD 边上时，如图（2）：同理可得△EAP ∽△PDC（2）若点P 在边AD 上，据题意：PD x =6PA x =-4DC =AE y =又∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时，据题意PD x =，则6PA x =-，4DC =，AE y =，∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴()2664x x y x -=>（3）假如存在这样的点P ，使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAP PDC C C x =- ，∴()6:42x -=，∴2x =-不合题意舍去；②若点P 在边DA 延长线上，同理得()6:42x -=，∴14x =综上所述：存在这样的点P 满足题意，此时14PD =巩固4：如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--顶点为9(1,)2-（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA =OC =4，∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ，∠NBA =∠OM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN AB AB AM =又∵AN =2，AB =∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2，点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1．直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2．圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距．利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4：直线与圆相切问题例题4：如图，在ABC ∆中，10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上（点F 不与点A 、C 重合）//EF AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC x =．（1）求B ∠的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE DF 、分别交AB 于M 、N ，若MN y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC 1没有公共点时，求x 的取值范围．2一个公共点时，求x 的取值范围．3两个公共点时，求x 的取值范围．AE CB FA B D GC EF变式6：已知：矩形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ，分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点，BC ＝6．（1）当点F 为AD 中点时，求AB 的长；（2）联结AG ，设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在x 的值，使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点F 为AD 中点，且AD =BC =6，∴AF =3∵矩形ABCD 中，∠ABC =90°，BG ⊥AC 于点E ，∴∠ABE +∠EBC =90°，∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ，∴△ABF ∽△BCF ，∴AB AF BC AB =∴AB =23（2）由（1）可得△ABF ∽△BCF ∴AB AF BC AB =∵AB ＝x ，BC ＝6∴AF =62x ；同理可得：CG =x36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =x x x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。
九年级中考《一元二次方程与实际问题》(面积问题 动点问题)经典题型专题提升练习
《一元二次方程与实际问题》（面积问题+动点问题）经典题型专题提升练习题型一：面积问题1. 直角三角形的面积为24，两直角边长的和为14，则斜边长为( )A.2√37B.10C.2√38D.142.如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( )A.2-√3B.2+√3C.2+√5D.√5-23.如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为( )A.1米B.2米C.3米D.4米4. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是。
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为xm，若要求出未知数x，则应列出方程________________.(列出方程，不要求解方程).6.如图所示，使用墙的一边(墙长7m)，再用13m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20m2的矩形，设与墙相对的边长为xm，可得长、宽分别为。
7. 如图，已知点A是一次函数y=x-4的图象上的一动点，且矩形ABOC面积等于3，则点A的坐标为____________.8.如图,有一块矩形硬纸板,长30 cm,宽20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为200 cm2?9. 在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从A点开始沿着AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发：(1)经过多长时间，S△PQB =12S△ABC？(2)经过多长时间，P，Q间的距离等于4√2cm？题型二：动点问题1.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于( )A.0.5 cmB.1 cmC.1.5 cmD.2 cm2. 如图，过点A(2，4)分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是点M，N.若点P 从点O出发，沿OM做匀速运动，1min可到达M点.同时点Q从M点出发，沿MA 做匀速运动，1min可到达点A.若线段PQ的长度为2，则经过的时间为( )A.0minB.0.4minC.0.4min或0minD.以上都不对3. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm.动点P，Q分别从点A，B 同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动.下列瞬时间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是( )A.2 sB.3 sC.4 sD.5 s4. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发________s时，四边形DFCE的面积为20cm2.5. 如图，已知点A是一次函数y=x-4的图象上的一动点，且矩形ABOC面积等于3，则点A的坐标为____________.6. 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=√2cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B；点P出发秒后，点P，A的距离是点P，C距离的√3倍？7. 如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处.若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置.8. 小岛A在码头B的正西方向，A，B相距40n mi l e.上午9点，一渔船和一游艇同时出发，渔船以20n mi l e/h的速度从B码头向正北出海作业，游艇以25n mi l e/h的速度从A岛返回B码头.一段时间后，渔船因故障停航在C处并发出信号.游艇在D处收到信号后直接向渔船驶去，上午11点到达C处.游艇在上午几点收到信号？9. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q 分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，一直到点D为止.(1)P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2？(2)P，Q两点从出发开始，经过几秒时，点P，点Q间的距离是10cm？10. 如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P，Q分别从A，B 两点同时出发.分别沿AB，BC方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).求t 为多少时，△PBQ为直角三角形.。
湘教版九年级数学上册《图形面积与几何动点问题》精品教案
《图形面积与几何动点问题》精品教案回顾知识+导入新课a ：增长(或降低)前的量b ：增长(或降低)n 次后的量【导入新课】问题：如图，一块长和宽分别为40cm ，28cm 的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm 2.求截去的小正方形的边长.解：设截去的小正方形的边长为x cm ，则无盖长方体盒子的底面边长分别为：（40-2x ）cm ，（28-2x ）cm.根据题意，有（40-2x ）（28-2x ）=364．整理得，x 2-34x +189=0.解得x 1=27，x 2=7．如果截去的小正方形的边长为27cm ，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm ，这超过了矩形铁皮的长40cm.因此x 1=27不合题意，应当舍去．即所截去的小正方形的边长为7cm.学生思考并回答问题。
并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课+例题讲解对于一元二次方程与面积问题，我们需要注意三点：1.要把握好面积问题中有关的面积公式；2.挖掘题目中隐含的等量关系，根据等量关系列相关方程；3.计算面积问题时候，注意平移拼接结算面积.接下来，我们看一个具体的例子：【例1】如图，一长为32m 、宽为20m 的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.分析：虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算.若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了.结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握一元二次方程的应用。
讲授知识，讲授新课+例题讲解若设道路宽为x m ，则新矩形的长为（32-x ）m ，宽为（20-x ）m ，根据等量关系你能列出方程吗？解：根据题意可以可到方程：（32-x ）（20-x ）=540整理，得x²-52x+100=0解得x 1=2，x 2=50∵x 2=50＞32，∴不符合题意，舍去，故x=2.答：道路的宽为2米.【做一做】如图，在一块长为92m ，宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m 2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？分析：设水渠宽为x m ，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为（92–2x ）m ，宽（60-x ）m.利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.解：设水渠的宽应挖x m .（92-2x ）（60-x ）=6×885.解得x 1=105（舍去），x 2=1.答：水渠的宽为1cm.【例2】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm.点P 沿AC 边从点A 向终点C 以1cm/s 的速度移动；同时点Q 沿CB 边从点C 向终点B 以2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P ，Q 出发几秒后可使△PCQ 的面积为9cm²？老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
一次函数与面积的关系动点问题
一次函数与面积的关系
当函数的导数为常数时，函数的图像为
图像下面积的计算
2
直线，与x轴和y轴围成的图形面积与x轴 之间的积分成正比，即面积等于函数导
在一次函数的图像下方，面积与反比例
数在定义域上的积分。
函数成正比，可以通过用反比例函数来
计算函数面积。
3
图像上方面积的计算
在一次函数的图像上方，面积பைடு நூலகம்反比例
一次函数与面积的关系动 点问题
在本次的PPT中，我们将会一起探究一次函数与面积的关系动点问题。了解什 么是一次函数，如何求解函数的解析式以及如何计算面积的变化。让我们开 始吧！
什么是一次函数？
一次函数是指函数的最高次项为1的一类函数。它具有简单的线性关系，对于初学者来说是数学 中的基础。
1 定义和性质
将复杂图形分解成若干个简单图形，计算每个图形的面积，然后将它们相加起来。
2
特殊图形的面积计算
掌握特殊图形的计算公式，如扇形和梯形的面积计算公式。
3
应用例题
用面积的知识解决实际问题。
探究一次函数与面积的关系
了解一次函数与面积之间的关系，探究线性函数的图像和面积之间的联系，以及如何在图像上求解面积。
1
了解线性函数的基本概念和特点。
2 解析式的确定
掌握如何根据给定的条件来确定一次函数的解析式。
3 实际问题求解
学会如何用一次函数的知识解决实际问题。
面积的定义和性质
面积是二维图形所占的空间大小。它是一种抽象的概念，但是却具有广泛的应用。
面积的定义
通过正方形面积的概念引入面积的定义。
面积的性质
了解面积在几何学中的一些基本性质，比如面积叠 加和面积不变形。
中考经典抛物线中的动点问题最大面积
中考经典抛物线中的动点问题最大面积抛物线是函数曲线，出现在中学数学和高等数学教程中。
它是由x轴和y轴组成的二维坐标系，在抛物线中，x轴及y轴都定义了不同的概念。
在数学求解中，经常会用到抛物线，抛物线可以用来表示一些复杂的数学模型，用来研究一些特定的数学问题。
中考经典抛物线中的动点问题最大面积是指在抛物线上，给定抛物线的一个点，要找出一个最大的凸包，且该凸包的面积是最大的。
在实际求解中，这个问题可以看做一个凸优化问题，首先定义一个凸函数，然后对凸函数的极小值解进行求解，最后得到最大的凸包。
求解这个问题，可以利用梯度下降法以最小化成本函数，成本函数记作f（x），它是抛物线与给定点之间最大距离的函数。
每次迭代，在遍历整个抛物线函数时，都要选择正确的梯度方向以最小化成本函数，梯度方向由梯度，也就是函数对x求导得到，梯度即函数在当前点的斜率。
按照梯度下降原理，在每次迭代中，都可以使用梯度来预测当前的搜索方向，朝着梯度方向移动，其移动的距离与梯度的大小成正比，当梯度趋于零时，就得到最大的凸包，即答案。
通过梯度下降法求解中考经典抛物线中的动点问题最大面积，可以将复杂的数学模型简单化，使用简单的算法来解决复杂的数学问题，从而节省时间和成本。
此外，为了解决抛物线中的动点问题最大面积，还可以通过利用极坐标系来求解。
极坐标系，也称极模型，是一种描述抛物线的方法。
它使用两个变量，一个是极坐标系中的极距，另一个是极角，用来描述抛物线上每个点的位置。
极距定义为抛物线上某点到原点的距离，极角定义为抛物线上该点到x轴的夹角。
极坐标系在求解抛物线最大面积问题时，可以将原问题转换为极坐标系中的一个优化问题，以极坐标系中的极距为优化变量，最小化极距的平方和，从而获得最大的凸包。
上述的求解方法可以成功解出抛物线中的动点问题最大面积。
如果将其用于抛物线的其他问题，效果也会很好，甚至可以解决更复杂的数学问题。
它提供了一种新的抛物线研究方法，它将抛物线之间的关系更加可视化，从而使抛物线研究更加清晰和深入。
平面直角坐标系中面积动点问题
平面直角坐标系提升练习热身题：如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A坐标为a,0,点C的坐标为0,b,且a、b满足+|b﹣6|=0,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B ﹣A﹣O的线路移动．1a= ,b= ,点B的坐标为；2当点P移动4秒时,请指出点P的位置,并求出点P的坐标；3在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,求点P移动的时间．题型一:已知面积求点的坐标1．已知：A0,1,B2,0,C4,31在坐标系中描出各点,画出△ABC．2求△ABC的面积；3设点P在坐标轴上,且△ABP与△ABC的面积相等,求点P的坐标．2、已知：如图,△ABC的三个顶点位置分别是A1,0、B﹣2,3、C﹣3,0．1求△ABC的面积是多少2若点A、C的位置不变,当点P在y轴上时,且S△ACP =2S△ABC,求点P的坐标3若点B、C的位置不变,当点Q在x轴上时,且S△BCQ =2S△ABC,求点Q的坐标3、如图,在平面直角坐标系2、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点A8,6分别作x轴、y轴的平行线,交y轴于点B,交x轴于点C,点P是从点B出发,沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点,运动时间为t秒．1直接写出点B和点C的坐标B , 、C , ；2当点P运动时,用含t的式子表示线段AP的长,并写出t的取值范围；3点D2,0,连接PD、AD,在2条件下是否存在这样的t值,使S△APD =SABOC,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由．3、点Px,y在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为6,0,设△OPA的面积为S．1用含x的式子表示S,写出x的取值范围；2当点P的横坐标为5时,△OPA的面积为多少3当S=12时,求点P的坐标；4△OPA的面积能大于24吗为什么4、如图,在平面直角坐标系中,已知A0,a,Bb,0,Cb,c三点,其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+b﹣32=0,c ﹣42≤01求a、b、c的值；2如果在第二象限内有一点Pm,,请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；3在2的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．题型二：坐标系中转化角度1、已知：P4x,x﹣3在平面直角坐标系中．1若点P在第三象限的角平分线上,求x的值；2若点P在第四象限,且到两坐标轴的距离之和为9,求x的值．2、在平面直角坐标系中,O为原点,B0,6,A8,0,以点B为旋转中心把△ABO逆时针旋转,得△A′BO′,点O,A旋转后的对应点为O′,A′,记旋转角为β．1如图1,若β=90°,求AA′的长；2如图2,若β=120°,求点O′的坐标．3、如图,平面直角坐标系中,将线段AB平移,使点A0,3平移到A′5,0,B平移到B′1,﹣31则B点的坐标为；2求△AB′B的面积：3A′B′的延长线交y轴于C,点D、E分别是x轴、射线A′,B′上的点．若∠ABD的平分线BF的反向延长线交CE于点H,∠ECO的平分线交BH于点G,求∠HGC的度数．4、如图,在平面直角坐标系中,Aa,0,D6,4,将线段AD平移得到BC,使B0,b,且a、b满足|a﹣2|+=0,延长BC交x轴于点E．1填空：点A , ,点B , ,∠DAE= °；2求点C和点E的坐标；3设点P是x轴上的一动点不与点A、E重合,且PA＞AE,探究∠APC与∠PCB的数量关系写出你的结论并证明．题型三：规律题1、如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．1观察每次变换前后的三角形的变化规律,若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是,B4的坐标是．2若按第1题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAn Bn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An 的坐标是,Bn的坐标是．3若按第1题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAn Bn,则△OAnBn的面积S为 ;。
中考经典抛物线中的动点问题最大面积
中考经典抛物线中的动点问题最大面积
中考越来越近，学生对中考经典抛物线中的动点问题仍存在些许困惑，其实，这个问题本质上依然是一个计算最大面积的问题，也可以通过求和的方法来求解。
首先，我们需要明确抛物线的性质：抛物线的坐标表示为(X,Y)，其中X与Y之间存在一个线性关系，而Y即为抛物线上任意点的高度，Y值越高，说明抛物线越陡峭。
其次，我们可以使用坐标轴，将抛物线分割成一个个三角形，即把抛物线上任意一点当作顶点，分别求出它左右两边的斜边以及X轴构成的边。
接着，通过相应的数学公式，可以将这些三角形的面积全部加起来，以计算出抛物线的最大面积。
经过上述步骤，就可以用较简单的方式完成中考经典抛物线中的动点问题最大面积的求解。
但是，要计算出准确的最大面积，就需要深入地来探究它的性质，比如要充分利用抛物线当中的绝对极值点及拐点，用一些高等函数数学运算来分析抛物线最大面积，这对于学习者来说，正是一次令人激动的挑战。
总之，抛物线上的动点问题最大面积的求解，不论是从简单数学运算还是深度函数分析来看，都值得学生深入研究，从中学习奥秘的数学之美！最终，希望大家能够在中考中取得优异的成绩，获得自己的最佳科学成果！
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中考经典抛物线中的动点问题最大面积
中考经典抛物线中的动点问题最大面积抛物线是中考经典的数学知识，它是一种深受学生喜爱的函数，它可以让学生探索诸多有趣的数学问题。
其中，最大面积问题是抛物线函数中最有趣的数学问题之一，得到学生的广泛关注和深入研究。
最大面积问题的解法主要有两种，一种是利用解析方法，一种是利用数值计算方法。
其中，解析方法是一种比较容易准确求解的方法，可以快速解出动点的最大面积；而数值计算方法则是在解析方法不能求解的情况下，运用数值方法求解最大面积的一种方法。
针对抛物线中动点最大面积问题，使用解析方法时需要先求出抛物线的几何表达式。
一般来说，抛物线的几何表达式可以用如下的方程来表达：y=ax2+bx+c，其中a、b、c都是常数。
既然表达式已经确定，就可以算出动点的最大面积了。
由于一般高中学生对解析几何方法掌握还不够，所以更多情况下老师会让学生使用数值计算方法来解决动点最大面积问题。
使用数值计算方法来求解动点最大面积，一般采用delta x和delta y来代替动点x、y，即delta x=x2-x1，delta y=y2-y1。
用这种方法求出的最大面积为：s=delta x*delta y/2。
求解抛物线中动点最大面积的问题，无论是使用解析方法还是使用数值计算方法，都不能够完全满足学生的需求。
因此，老师需要为学生提供有效的学习教程和实验室设计，使学生能够充分掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。
有效的学习教程可以帮助学生更好的掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。
学生首先要学习和掌握抛物线的几何表达式，以及求出动点最大面积的过程，其次要掌握用数值计算解决问题的方法。
为了让学生更好地掌握求解抛物线中动点最大面积问题的方法，老师可以设计出实验室来帮助学生练习，让学生在实践中更好地学习和熟练掌握求解抛物线中动点最大面积的方法。
求解抛物线中动点最大面积问题，不仅对学生学习和认识抛物线函数有很大的帮助，而且可以帮助学生了解数学解决问题的思维方式，培养学生分析和解决实际问题的能力，从而提高学生的综合素质。
反比例函数动点问题,面积问题
环球雅思学科教师辅导教案学员编号：年级:九年级课时数：3学员姓名：李宣锐辅导科目：数学学科教师：庄阳海授课类型T(专题）反比例函数（动点，面积问题）星级★★★★授课日期及时段教学内容反比例函数（动点，面积问题）兴趣导入甲乙两个人爬楼梯，甲到了4层，乙到了3层，那么问甲到了16层，乙到了哪一层？（楼层没有上限要求）知识讲解1、已知反比例函数y=错误!未找到引用源。
的图象经过点A（﹣错误!未找到引用源。
，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，错误!未找到引用源。
m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是错误!未找到引用源。
，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2错误!未找到引用源。
n+9的值．2、已知：反比例函数错误!未找到引用源。
经过点B（1，1）．（1）求该反比例函数解析式；（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，错误!未找到引用源。
）（其中m＞0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM 的面积是错误!未找到引用源。
，求代数式错误!未找到引用源。
的值．3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数错误!未找到引用源。
的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式；（2）在反比例函数错误!未找到引用源。
的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：错误!未找到引用源。
平面极坐标系面积动点问题
平面极坐标系面积动点问题在平面极坐标系中，存在着一种有趣的问题，即关于面积动点的问题。
在这种问题中，我们通常要求确定一个动点所对应的面积大小。
问题描述考虑一个平面极坐标系，以原点为中心，从原点发出的一条射线上有一个动点P。
当动点P沿着射线移动时，射线P与两条半径为r1和r2的圆交于两个点A和B。
我们的目标是确定点A、B和动点P所构成的扇形的面积。
解决方法为了解决这个问题，我们可以使用几何分析的基本原理和性质。
根据平面极坐标系的特点，我们可以将扇形的面积计算为扇形对应的圆心角度量与圆的半径乘积的一半。
首先，我们可以计算扇形对应的圆心角度量。
根据动点P在射线上的位置，我们可以确定它与圆的交点A和B。
然后，我们可以计算圆心角AOB，其中O为原点。
圆心角的计算可以通过使用三角函数来获得。
接下来，我们需要计算圆的半径。
根据射线和圆的性质，我们可以得到射线与圆的交点A和B与原点O的距离r1和r2。
由此，我们可以确定圆的半径为r2 - r1。
最后，我们可以将圆心角度量和圆的半径代入扇形面积的计算公式，计算出最终的面积大小。
示例假设动点P沿着射线移动到与圆半径r1和r2相交的位置，此时我们可以进行如下计算：1. 确定与射线相交的点A和B的位置。
2. 计算圆心角度量AOB。
3. 计算圆的半径r2 - r1。
4. 根据扇形面积计算公式，计算出面积大小。
这样，我们就可以得到动点P对应的面积大小。
总结平面极坐标系中面积动点问题是一个有趣且富有挑战性的几何问题。
通过将几何原理和性质应用于该问题，我们可以计算出动点对应的面积大小。
这种问题的解决方法相对简单，但也需要一定的数学和几何知识。
通过分析和求解这类问题，我们可以提高自己的几何思维能力和问题解决能力。
动点问题之面积最值问题
不重合），过点������ 作������轴的平行线交������������于点������．
二 次
（1）求该二次函数的解析式： （2）若设点������的横坐标为������，用含m的代数式表示线段������������的长；
函
（3）求△ ������������������面积的最大值，并求此时点������的坐标．
练习1：如图，在平面直角坐标系中，点������、������的坐标分别为 −1 , 0 , (0 ,
−3 ) ，点������在������轴上．已知某二次函数的图象经过������、������、������三点，且它的对称轴
为直线 ������ = 1 ，点������为直线������������下方的二次函数图象上的一个动点（点 ������ 与 ������、������
动点问题之面积最值问题综述：动点问题是初中数学问题中的一个大类的问 题，因为其具有动态性、变化性的特点，特别能考查学生的数学能力，所以 备受中考出题老师的青睐。主要包括线段的最值问题、利润的最值问题、面 积的最值问题等，多数考查一次函数或二次函数的性质，题目难度中等偏难， 同学们感到这类问题棘手多数是因为没能掌握这类问题的解题套路（方法和 技巧）。昊南老师查阅大量的中考真题后发现，此类问题单独考查的情形比 较少，大多数会做为二次函数压轴题的第二问或第三问出现，分值为3分或4 分，本文昊南老师和大家一同探讨一下面积最值的问题。
数
最
值Hale Waihona Puke 问题【解析】 二 次 函 数 最 值 问 题
七年级上册数学动点问题
七年级上册数学动点问题
动点问题是指在几何图形中，点的坐标发生变化时，研究图形的变化规律的问题。
在七年级上册数学中，动点问题主要包括以下几种类型：
1. 动点轨迹问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点的轨迹。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A的轨迹。
2. 动点距离问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点到另一个固定点的距离。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A到定点P(a, b)的距离。
3. 动点面积问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点与另一个固定点围成的图形的面积。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A与定点P(a, b)围成的三角形的面积。
4. 动点角度问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点与另一个固定点连线与某个方向的夹角。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A与定点P(a, b)连线与x轴的夹角。
5. 动点对称问题：当一个点在平面内按照一定的规律移动时，求这个点关于某个固定点的对称点的坐标。
例如，已知点A(x, y)在直线y = kx + b上移动，求点A关于定点P(a, b)的对称点的
坐标。
解决动点问题的关键是找出动点的坐标变化规律，然后根据题目要求求解相应的几何量。
在解题过程中，要注意运用所学的几何知识，如平行线、垂直线、相似三角形等性质。
数学动点问题经典题型
动点问题1、如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）． （1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2、如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）． （1）求△ABC 的面积；（2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''；（3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACPABCS S=；（4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQABCSS=．3、如图，A 点坐标为（－2， 0）， B 点坐标为（0， －3）. (1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位， 得到△DEF ， 延长ED 交y 轴于C 点， 过O 点作OG ⊥CE ， 垂足为G ；(2) 在(1)的条件下， 求证: ∠COG ＝∠EDF ； （3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点分别是A （0，0），B （7，0），C （9，5），D （2，7） （1）在坐标系中，画出此四边形； （2）求此四边形的面积；（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC =50，若能，求出P 点坐标， 若不能，说明理由．y P O C B A图1y xH O F ED A C B yQP DACO5、在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24. （1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ；（2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，∠ECF 与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由.6.如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴 和y 轴建立平面直角坐标系，点A (0，a )，C (b ，0)220a b b --=．(1) 则A 点的坐标为___________，C 点的坐标为__________；(2) 已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是(1，2)，设运动时间为t (t ＞0)秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝ S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； (3) 点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE OEC ∠+∠∠的值是否OCE FHGy xA6、如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ．（1）求三角形ABC 的面积；（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图2，求∠AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．10、在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形．xy OCBAP QxyOCBA（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间，使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．11、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D 连结AC ，BD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结PA ，PB ，使S △PAB ＝S △PDB ，若存在这样一点，求出点P 点坐标，若不存在，试说明理由；（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 上移动，运动到B 点就停止，设移动的时间为t 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一？12、在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5，0）． （1）求△ABC 的面积（2）点D 为y是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=标；若不存在，请说明理由．（3）点F （5，n G 是x 轴上一点，若△ABG 点G 的坐标为 （用含n1、如图，正方形ABCD 的边长是１cm ，E 为CD 的中点．P 为正方形边上的一个动点，动点P 从A 出发沿A →B →C →E 运动，最终到达点E ，若点P 经过的路程为x cm ．备用图（1）当x ＝1cm 时，求△APE 的面积； （2）若△APE 的面积为31，求x 的值．2、如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．P 是AB 的中点，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿A →D →C →B 的方向运动，设Q 点运动的时间为x (秒)． （1）求AP 的长．（2）若△APQ 的面积为S (平方单位)，用含x 的代数式表示S （0<x <8）．（3）如果点M 与点Q 同时从点A 出发，点M 以每秒3个单位的速度沿A →B →C →D 的方向运动；当M 、Q 两点相遇时，它们同时停止运动.在整个运动过程中,△AQM 按角来分类可以是什么三角形，请写出相应x 的取值范围．AD CBE P xADCBE备用图A D CBE备用图。
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F D C E
b a
o
s
4 6 9
图乙
t
A 6cm B P 2cm/s
F
42 b
s
Hale Waihona Puke G HQ·M
8cm
a 6cm E 24 D 4cm
C o
4 6 9
图乙
· Nt ·
问题： 问题：
图甲
点坐标是否可以求出？ （7）M点坐标是否可以求出？△点 ） 图乙中的 的长是多少？ 点坐标是否可以求出 4）图甲中BC的长是多少 （3）图甲中 的长是多少？ N点 ） 图乙中的a在图甲中具有什么实 6）图甲中DE的长是多少 5）P点在整个的移动过程中 ABP 图乙中的b在图甲中具有什么实 在图甲中具有什么实 2）图甲中CD的长是多少 （1） 点在整个的移动过程中 ） 点在整个的移动过程中△ 坐标是否可以求出？ ？ 所在直线 坐标是否可以求出？MN所在直线 际意义？b的值是多少 的值是多少？ 际意义？a的值是多少 的值是多少 的面积是怎样变化的？ 的面积是怎样变化的 ？ 的函数关系式呢？ 的函数关系式呢？
8
F E
O A
3、如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和 如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和 OC 的函数关系式分别为y=x y=-2x+6,动点P(x,0)在OB上移动(0<x<3)，过点P 动点P(x,0) 上移动(0<x<3) y=-2x+6,动点P(x,0)在OB上移动(0<x<3)，过点P 轴垂直。 作直线 与x轴垂直。 轴垂直 l 求点C的坐标； （1）求点C的坐标； 点坐标为（ ），当点 当点P （2）若A点坐标为（0，1），当点P运动到什 么位置时，AP+CP最小 最小； 么位置时，AP+CP最小； OBC中位于直线 （3）设△OBC中位于直线 l 左侧部分的面积为S 左侧部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式。 之间的函数关系式。
1 2
l
A M O B x
2、如图，点A、B、C的坐标分别是（0，4）， 、如图， 的坐标分别是（ ， ）， 、 、 的坐标分别是
（2，4），（ ，0）.点M是折线 ， ），（6， ） 点 是折线ABC上一个 上一个 ），（ 是折线 动点， 轴于N 的长为x,MN左 动点，MN⊥x轴于 ，设ON的长为 ⊥ 轴于 的长为 左 侧部分多边形的面积为S. 侧部分多边形的面积为 的函数关系式； （1）写出 与x的函数关系式； ）写出S与 的函数关系式 的值. （2）当x=3时，求S的值 y ） 时 的值
4
A
M
B C
2 6
O N
x
经典例题 经典力题 3、已知，如图在边长为2的等边△ABC中，E是AB边上 、已知，如图在边长为 的等边 的等边△ 中 是 边上 不同于点A、 的一动点， 于点D， 不同于点 、点B的一动点，过点 作ED⊥BC于点 ，过 的一动点 过点E作 ⊥ 于点 于点H，过点H作 ⊥ 于点 于点F， 点D作DH⊥AC于点 ，过点 作HF⊥AB于点 ，设BE的 作 ⊥ 于点 的 长为x， 的长为 的长为y； 长为 ，AF的长为 ； 的函数关系式， （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量的范围； ） 与 的函数关系式 并写出自变量的范围； 为何值时， 与点F重合 （2）当x为何值时，点E与点 重合，判断这时△EDH为 ） 为何值时 与点 重合，判断这时△ 为 什么三角形（判断形状，不需证明） 什么三角形（判断形状，不需证明）.
小
自我检测
2 xy= − x-4 3
1、 、 轴于点A（ ， ）， 一次函数的图象交 x 轴于点 （-6，0），
轴交于B， 的面积为12， 与 y 轴交于 ，若△AOB的面积为 ，且 y 的面积为 随 x 的增大而减少，求一次函数的解析式. 的增大而减少，求一次函数的解析式
y 2.(2006河北省课改 直线 y =−x+2 与x 轴， 轴 河北省课改)直线 河北省课改 分别交于点A和点 和点B， 分别交于点 和点 ，另一直线 y = kx+ b 经过 ），且把 分成两部分面积相等， 点C（1，0），且把△AOB分成两部分面积相等， （ ， ），且把△ 分成两部分面积相等 的值. 求 和 k 的值 b
专题复习
面积与动点问题 面积与动点问题
1．如图，已知在平面直角坐标系中， ．如图，已知在平面直角坐标系中，
直线l 分别交两坐标轴于A、 直线 ：y= - x + 2分别交两坐标轴于 、B 分别交两坐标轴于 两点， 是线段 上一个动点， 是线段AB上一个动点 两点，M是线段 上一个动点，设M的横坐标为 的横坐标为 x,△OMB的面积为 。 的面积为S。 △ 的面积为 的函数关系式； （1）写出 与x的函数关系式； ）写出S与 的函数关系式 的面积为3，求点M的坐标 的坐标; （2）若△OMB的面积为 ，求点 的坐标 ） 的面积为 (3)当 OMB是以 (3)当△OMB是以OB为底的等腰三角形时,求它 是以OB为底的等腰三角形时 为底的等腰三角形时,求它 的面积. 的面积 y 图象. （4）画出函数 图象 ）画出函数s图象
如图，多边形 各角都为直角， 如图，多边形ABCDEF各角都为直角，动点 各角都为直角 P以2cm/s速度沿图甲的边框按 速度沿图甲的边框按 以 B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的 的路径移动， 的路径移动 的面积s关于时间 的函数图象如图乙。 △ABP的面积 关于时间 的函数图象如图乙。 的面积 关于时间t的函数图象如图乙 若AB=6cm，试回答下列问题 ， A 6cm B P 2cm/s
A Ds(cm)
30 a p 10cm
B P 图甲 C
o
5 8
图乙
？
t(s)
图乙中的a在图甲中具有什么实 点在整个的移动过程中△ （3）图甲中BC的长是多少 ）图乙中的 的长是多少？ 点在整个的移动过程中 在图甲中具有什么实 问题： 2）图甲中 的长是多少？ 问题： 1）P点在整个的移动过程中△ABP 际意义？ 的值是多少？ 的面积是怎样变化的？ 际意义？a的值是多少？ 的面积是怎样变化的？ 的值是多少
4、如图，直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点 、F， 、如图，直线 轴分别交于点E、 ， 与 轴 轴分别交于点 的坐标为（ ， ）， ），点 的坐标为 的坐标为（ ， ） 点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0） 的坐标为 （1）求 k的值 ） 的值 （2）若点 （x,y）是第二象限内的直线上的一个 ）若点P ） 动点，当点P运动过程中 试写出△ 运动过程中， 的面积S 动点，当点 运动过程中，试写出△OPA的面积 的面积 的函数关系式， 与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围 的函数关系式 运动到什么位置时， （3）当P运动到什么位置时， △OPA的面积 ） 运动到什么位置时 的面积 27 并说明理由。 为 ，并说明理由。
2,如图，矩形 如图， 如图 矩形ABCD中，AB=6cm，动点 以2cm/s速度 中 ，动点P以 速度
沿图甲的边框按B→C→D→A的路径移动，相应的 的路径移动， 沿图甲的边框按 的路径移动 的面积s关于时间 的函数图象如图乙． △ABP的面积 关于时间 的函数图象如图乙．根据下图 的面积 关于时间t的函数图象如图乙 回答问题： 回答问题：
y=- x+2 y=-2x+2