2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4.5.2 利用数量积计算长度和角度

4．5.2 利用数量积计算长度和角度

1．长度公式 |a |＝a ·a . 2．夹角余弦公式 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a ·b

a 2·

b 2

. 3．垂直条件 a ·b ＝0⇔a ⊥b .

已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π

6 B ．π4

C.π3

D ．π2

[提示] 设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，∴θ＝π

3

.

[例1] 已知向量a (1)|a ＋b |； (2)|3a －4b |； (3)|(a ＋b )·(a －2b )|.

[边听边记] 由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.

(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12， ∴|a ＋b |＝2 3.

(2)∵|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a －4b |＝419.

(3)∵(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2

＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a ＋b )·(a －2b )|＝12.

1．已知向量a ，b 满足：a 2＝9，a ·b ＝－12，求|b |的取值范围． 解：∵|a |2＝a 2＝9，∴|a |＝3. 又a ·b ＝－12，∴|a ·b |＝12. ∵|a ·b |≤|a ||b |， ∴12≤3|b |，∴|b |≥4.

故|b |的取值范围是[4，＋∞)．

[例2] 已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．

[思路点拨] 首先转化向量的两个垂直关系，得出中间结论与cos θ＝

a·b

|a ||b |

联立求解． [边听边记] 由已知条件得⎩

⎪⎨⎪⎧

(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

7a 2

＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0，

∴2a·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |， ∴cos θ＝a·b |a||b |＝12b

2

|b |2＝1

2.

∵θ∈[0，π]，∴θ＝π

3

.

2．已知向量a ，b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝1，求向量p ＝a ＋b 与q ＝a －b 的夹角θ的余弦值．

解：p ·q ＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝3－1＝2. ∵|p |＝|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3＋23cos 30°＋1＝7， |q |＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3－23cos 30°＋1＝1， ∴cos θ＝p ·q |p ||q |＝27×1

＝277.

1．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ． 2

解析：|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋1＝2，∴|a －b |＝ 2. 答案：D

2．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝( ) A ．5 B ．4 C ．3

D ．1

解析：∵|a ＋b |＝13，

∴(a ＋b )2＝13，即a 2＋2a·b ＋b 2＝13， 也就是|a |2＋2|a ||b |cos θ＋|b |2＝13.

将θ＝120°，|a |＝3代入可得|b |2－3|b |－4＝0. 解得|b |＝4或|b |＝－1(舍去)． 答案：B

3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π

3 B ．π2

C.2π3

D ．

5π6 解析：∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，

即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.

∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，

∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π

3.

答案：C

4．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )·a ＝0，则a ，b 的夹角为________． 解析：∵(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，cos 〈a ，b 〉＝－1|a ||b |＝－1

2，

∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°

5．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )． 解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭

⎫－1

2＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.

(2)∵(a ＋2b )⊥(ka －b )，∴(a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，

即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．

6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角； (2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)， ∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)， ∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉 ＝

(－2，6)·(4，－2)40×20＝－2040×20

＝－2

2.

又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]， ∴〈a ＋b ，a －b 〉＝

3π

4

. (2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， ∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0， 即1－3λ＋4＋8λ＝0，解得λ＝－1.