极限的四则运算1
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极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
高考数学极限的四则运算
利用函数极限的运算法则，
n
我们可以根据已知的几个简单
函数的极限，求出较复杂的函
数的极限.
( x 3x). 例1、求 lim x 2
2
解: lim ( x 3 x ) lim x 2 lim 3 x
2 x2
x2
x2
(lim x ) 3 lim x
2 x2 x2
2 3 2 10
0
2）当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 左极限，记作 lim f ( x) a.
x x 0
3）如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a . 的右极限，记作 xlim x
x
0.9
0.99 0.999 1
1.4995 1.5
1.001
1.50050
1.01
1.1
2x2 1 1.45556 1.49505 2x
1.50505 1.55455
观察该极限与上题极限之间存在关系吗?
2x 1 1 lim lim x lim x 1 x 1 x 1 2 x 2x
2
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
x x0
lim x x0
n
n
x x0
lim [Cf ( x)] C lim f ( x)
x x0
2 x2 x 1 例2、求 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1
n
我们可以根据已知的几个简单
函数的极限，求出较复杂的函
数的极限.
( x 3x). 例1、求 lim x 2
2
解: lim ( x 3 x ) lim x 2 lim 3 x
2 x2
x2
x2
(lim x ) 3 lim x
2 x2 x2
2 3 2 10
0
2）当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 左极限，记作 lim f ( x) a.
x x 0
3）如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a . 的右极限，记作 xlim x
x
0.9
0.99 0.999 1
1.4995 1.5
1.001
1.50050
1.01
1.1
2x2 1 1.45556 1.49505 2x
1.50505 1.55455
观察该极限与上题极限之间存在关系吗?
2x 1 1 lim lim x lim x 1 x 1 x 1 2 x 2x
2
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
x x0
lim x x0
n
n
x x0
lim [Cf ( x)] C lim f ( x)
x x0
2 x2 x 1 例2、求 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
极限的运算
无穷小因子分出法
2 x3 x 2 + 5 例7 求 lim 4 . 2 x →∞ x + 4 x 1
2 1 5 2+ 4 3 2 2x x + 5 x lim 4 = lim x x x →∞ x + 4 x 2 1 x →∞ 4 1 1+ 2 4 x x
解:
=0
当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
判断题 若 lim g ( x) = ∞ , lim f ( x) = ∞ 则 x →a x →a
lim kf ( x) = ∞(k为非零常数）
x →a
1 lim =0 x →a f ( x ) + g ( x )
lim[ f ( x) + g ( x)] = ∞
x →a
lim[ f ( x) g ( x)] = 0
说明： 说明：上述法则对自变量 时都成立。 时都成立。
x → x0 及x →∞
(2) lim[ f ( x) g( x)] = A B
推论1 推论1 如果lim f ( x)存 , 而c为常数,则 在
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
即常数因子可以提到极限记号外面. 即常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 推论2 如果lim f ( x)存在, 而n是正整数, 则
(x + 2) = lim 2 x→ (x + x +1 1 )
= 1
例9、 求 lim ( x(x + 3) x) 、
x→∞
解：原式= x→∞ 原式
= lim
x→∞
[x(x + 3)] lim
x2 x(x + 3) + x 3x x(x + 3) + x
极限的四则运算(1)
无限趋近于4的函数值有关，与x=4时 的函数值无关，因此可以先将分子、 分母约去公因式x-4以后再求函数的极 限。
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
极限的四则运算
极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。
设limf（x）和limg（x）存在，且令limf（x）=A，limg（x）=B，则有以下运算法则：
其中，B≠0；c是一个常数。
扩展资料：
极限的性质
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
3、保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则
（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
4、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
5、与子列的关系：数列{xₙ} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xₙ} 收敛的充要条件是：数列{xₙ} 的任何非平凡子列都收敛。
极限的四则运算
极限的四则运算（1）【目的要求】1. 掌握涵数极限四则运算法则的前提条件及涵数极限四则运算法则。
2. 会用极限四则运算法则求较复杂涵数的极限。
【教学过程】1. 提问入手，导入新课对简单涵数，我们可以根据它的图象或通过分析涵数值的变化趋势直接写出它们的极限。
如 1lim→x x21=21, limx=1.对于复杂一点的涵数, 如何求极限呢? 例如计算 1lim →x (x+x 21)1lim →x (x+x 21)即1lim→x x x 2122+，显然通过画图或分析涵数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的。
因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂涵数的极限问题转化为求简单涵数的极限。
板书课题：极限的四则运算。
2．特殊探路，发现规律 考察1lim→x x x 2122+，完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出1lim →x x x 2122+=23，与1lim →x x21=21、11lim →=x x 对此发现： 1lim→x x x 2122+=1lim →x （X+X 21）=1lim →x x +1lim→x x21=1+21=23.由此得出一般结论：涵数极限的四则运算法则： 如果0lim x x →f(x)=a, 0lim xx →g(x)=b, 那麽lim xx →[ f(x)+g(x)]=a +b 0lim xx →[f(X)•g(X)]=a b •][)()(0lim X g x f xx →=ba (b )0≠ 特别的 （1）0lim x x →[C )(X f •]=C •0lim xx →f(X) (C 为常数)（2）0lim x x →[f(X)]n =[0lim x x →f(X)]n (n ∈N *)（3）这些法则对X ∞→的情况仍然成立（4）两个常用极限0lim x x n x →=X n0, ∞→x limnx1=0 (n ∈N *)3．应用举例， 熟悉法则 例1 求1lim→x 12122232-+++x x x x问：已知涵数中含有哪些简单涵数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程。
极限四则运算
函数极限的四则运算： 如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k
练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4： 已知 lim b， 求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司 ；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭
2.4 极限的运算法则
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10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高 等 数 直接代入法 学 经 1 济 6 消零因子法 类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高 等 数 学 经 济 类
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2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1
8 x 3
x 1
x 1
11
lim
x 1 8 x 3
x 1
1 6
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极限的运算法则
高 3x x 1 等 例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数 学 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经 济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经 济 类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高 等 数 直接代入法 学 经 1 济 6 消零因子法 类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高 等 数 学 经 济 类
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2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1
8 x 3
x 1
x 1
11
lim
x 1 8 x 3
x 1
1 6
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极限的运算法则
高 3x x 1 等 例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数 学 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经 济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经 济 类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
极限的四则运算1
limf(x)=
x→ 0− x
f(x)= f(x) lim = a ⇔limf(x) a
x→ 0+ x x→ 0 x
上节课学习了可以从图象或通过分析函数值 的变化趋势直接分析一些简单函数的极限 简单函数的极限， 的变化趋势直接分析一些简单函数的极限，即当 自变量趋近于∞或某个点时它的极限主要看自变 自变量趋近于 或某个点时它的极限主要看自变 量按某种规定无限变化， 量按某种规定无限变化，相应的函数值的变化趋 势。 而一些复杂函数，图象不一定画得出来，函 而一些复杂函数，图象不一定画得出来， 复杂函数 数值的变化趋势也不容易看出来， 数值的变化趋势也不容易看出来，那它的极限怎 样求呢？ 样求呢？但是复杂函数则一般可由简单函数通过 四则运算也就是+、-、×、÷复合而成，那能否 四则运算也就是 、 、 复合而成， 类似地从简单的函数极限运算求出复杂函数的极 类似地从简单的函数极限运算求出复杂函数的极 限呢 ？
P90
1，2 ，
例3:求下列极限 3:求下列极限
1+2+3+L n + 1/2 lim n 4 7 3 +1 n + +L + ] lim[ n(n −1 n(n −1 ) ) n(n −1 )
n→ ∞ 2
n→ ∞
3/2 1/3
1 1 1 + +L + ] lim[ 1•4 4•7 (3 −2)(3 +1 n n )
2
x − 8 − 2 −2 x −8 2 变 ： 2、 式 lim lim ∞ x → 4 x→ x − 4 −4 x
2
2
分子有理化结合因式分 分子有理化结合因式分 2解法 解和分子分母同除x的 解和分子分母同除 的 最高次幂法
极限四则运算
实。像这样喝一杯咖啡，还有令你感到满足的指甲美容，令你身体放松的推拿，适当地去享受它，都可以为你的生活增添欢乐。 所以，在你的预算中要有"享乐开支"，即使它可能只是偶尔，即使你正在实行你的"节俭预算"，它是让你的生活保持平衡一个砝码。如果没有任何的娱乐，
你会有贫穷感，你只会嫉妒他人，会只注意到你经济上的窘迫。这会影响你的乐观向上的心态。适当的享乐开支会使你保持赚钱的进取心。 ? 想象人生 ? 一个23岁的女孩子，除了有着丰富的想象力之外，与别人相比没有什么不同，平常的父母，平常的相貌，上的也是平常的大学。
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求赞成你报复这破公司，一定要给它点颜色看看。不过你现在离开，还不是最好的时机。” A问：“为什么？” B说：“如果你现在走，公司的损失并不大。你应该趁着在公司的机会，拼命去为自己拉一些客户，成为公司独当一面的人物，然后带着这
些客户突然离开公司，公司才会受到重大损失，非常被动。” A觉得B说的非常在理，于是努力工作。事遂所愿，半年多的努力工作后，他有了许多忠实的客户。 再见面时B问A：“现在是时机了，要赶快行动哦！” ?A淡然笑道：“老总跟我长谈过，准备升我做总经理助理，我暂时没
的乐曲吸引了他。不远处，一位双目失明的老人正把弄着一件磨得发亮的乐器，向着寥落的人流动情地弹奏着。还有一点引人注目的是，盲人的怀中挂着一面镜子！ 年轻人好奇地上前，趁盲人一曲弹奏完毕时问道：“对不起，打扰了，请问这镜子是你的吗？” “是的，我的乐器和镜
1-5极限运算法则
0 0 ， 0 ， 0，1 型 不能用
二、求极限例子
例1 求 lim( x 2 3 x 5).
x 2
解
lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
x 2
x2 x2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
答案 正确 错误 错误
-例 分段函数在分段点处的极限
x 1 已知 f ( x) x 2 3 x 1 x3 1
x 0 x x
x0 x0
求 ： lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ) 解 ： lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1
x0 x0
x2 3x 1 1 lim f ( x ) lim 3 x0 x0 x 1
lim f ( x ) 1
x0
(极 限 存 在 的 充 要 条 件 )
x2 3x 1 lim f ( x ) lim 0 3 x x x 1
d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
f.利用复合运算法则求极限
作业
P45 1 (1),(2),(3), (6),(7),(8), (10),(11),(13),(14); 2; 3； 5
思考
例 xn 2 x 3 若 lim 2 2, 求n和c . x cx 3 x 1
x0
1 arctan x 2
上例表明，在利用复合函数极限运算法则时， 如果复合函数中间层的变化趋势有多种，而且 不同的变化趋势会导致外层的极限不同时，需 分情况讨论.
小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
极限四则运算
极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan 2 x
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求下列函数的极限。
例2：求下列极限
lim 1 2
n
( n2
) n
lim 2n2 n
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan 2 x
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求下列函数的极限。
例2：求下列极限
lim 1 2
n
( n2
) n
lim 2n2 n
极限的四则运算
极限的四则运算
极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。
设limf（x）和limg（x）存在，且令limf（x）=A，limg（x）=B，则有以下运算法则：
其中，B≠0；c是一个常数。
扩展资料：
极限的性质
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
3、保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则
（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
4、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{xₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
5、与子列的关系：数列{xₙ} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xₙ} 收敛的充要条件是：数列{xₙ} 的任何非平凡子列都收敛。
极限的运算法则
( lim x )2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3
商的极限等 于极限的商
3 2 x 1 1 7 x2 . lim 2 2 3 3 x2 x 3 x 5 lim ( x 3 x 5)
lim [ f ( x ) g( x )] A B
lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x x0
lim [ f ( x )]n [ lim f ( x )]n
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？
一定不存在.（可用反证法证明） 答：
n 1 2 3 2. lim 2 2 2 2 ? n n n n n
n ( n 1) 1 1 1 解 原式 lim lim ( 1 ) . 2 n 2n n 2 n 2
例5 分析 解
12 1 求 lim 3 . x 2 x 2 x 8
( 型 )
型，先通分，再用极限法则.
22 x (x 22 xx 8 4 ) 12 0 ( ) 原式 lim lim 3 0 2 2 x3 x x x8 8
2 x3 3 x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
分析
( 型)
x 时,分子,分母都 趋于 无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2 3 3 2 2x 3x 5 x x “ 抓大头” 解 lim lim 4 1 x x 7 x 3 4 x 2 1 7 3 x x 3 5 lim ( 2 3 ) 2 x x x . 4 1 lim (7 3 ) 7 x x x
极限运算的四则法则
极限运算的四则法则极限运算是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。
而四则法则是指在进行极限运算时，可以按照加法、减法、乘法和除法的规则进行计算。
本文将围绕极限运算的四则法则展开，详细介绍其定义和应用。
一、加法法则加法法则指出，在计算函数极限时，如果两个函数的极限都存在，那么它们的和的极限等于两个函数的极限之和。
换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别为L和M，那么它们的和在x=a 处的极限为L+M。
例如，考虑函数f(x)=3x+2和g(x)=2x-1，在x=1处的极限分别为5和1，则根据加法法则，它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)=5x+1在x=1处的极限为6。
二、减法法则减法法则是加法法则的逆运算，它指出，在计算函数极限时，如果两个函数的极限都存在，那么它们的差的极限等于两个函数的极限之差。
换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别为L和M，那么它们的差在x=a处的极限为L-M。
举个例子，考虑函数f(x)=3x+2和g(x)=2x-1，在x=1处的极限分别为5和1，则根据减法法则，它们的差函数h(x)=f(x)-g(x)=x+3在x=1处的极限为2。
三、乘法法则乘法法则指出，在计算函数极限时，如果两个函数的极限都存在，那么它们的积的极限等于两个函数的极限之积。
换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别为L和M，那么它们的积在x=a 处的极限为L*M。
举个例子，考虑函数f(x)=3x+2和g(x)=2x-1，在x=1处的极限分别为5和1，则根据乘法法则，它们的积函数h(x)=f(x)*g(x)=(3x+2)*(2x-1)在x=1处的极限为6。
四、除法法则除法法则是乘法法则的逆运算，它指出，在计算函数极限时，如果两个函数的极限都存在且除数的极限不为零，那么它们的商的极限等于两个函数的极限之商。
换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a 处的极限分别为L和M，且M不等于0，那么它们的商在x=a处的极限为L/M。
高考数学极限的四则运算
2x
1.001
1.50050
1.01 1.1
1.50505 1.55455
观察该极限与上题极限之间存在关系吗?
lim 2x2 1 lim x lim 1
x1 2 x
x1
x1 2 x
lim
2
x2
1
lim(2 x 2
x1
1)
x1 2 x
lim 2 x
x1
问题1：函数，f (x)
x2 x2
x 1
例3、
求
lim
x4
x2 x
16 4
.
分析：当 x 4 分母的极限是0，不能直 接运用上面的极限运算法则。因为当 x 4
时函数的极限只与x无限趋近于4的函数值有 关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将 分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的 极限.
例3、
求
lim
x4
x2 x
16 4
.
解：lim x2 16
1
2 13
12 2
1 12
1 1
2
x1
x1
x1
总结： (1) lim (x2 3x)
x2
(2)
lim
x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
.
通过例1、例2同学们会发现：①函数f（x）
在 x x0处有定义; ②求这类函数在某一点
x=x0处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析 式中，就得到极限值.------代入法
.
例4、求
lim
x1
2
x x2
2 1 x
1
.
定通义过；例②3求、这例类4会函发数现在：某①一函点数x=f（x0处x）的在极x限值x时0处，无若
1.001
1.50050
1.01 1.1
1.50505 1.55455
观察该极限与上题极限之间存在关系吗?
lim 2x2 1 lim x lim 1
x1 2 x
x1
x1 2 x
lim
2
x2
1
lim(2 x 2
x1
1)
x1 2 x
lim 2 x
x1
问题1：函数，f (x)
x2 x2
x 1
例3、
求
lim
x4
x2 x
16 4
.
分析：当 x 4 分母的极限是0，不能直 接运用上面的极限运算法则。因为当 x 4
时函数的极限只与x无限趋近于4的函数值有 关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将 分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的 极限.
例3、
求
lim
x4
x2 x
16 4
.
解：lim x2 16
1
2 13
12 2
1 12
1 1
2
x1
x1
x1
总结： (1) lim (x2 3x)
x2
(2)
lim
x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
.
通过例1、例2同学们会发现：①函数f（x）
在 x x0处有定义; ②求这类函数在某一点
x=x0处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析 式中，就得到极限值.------代入法
.
例4、求
lim
x1
2
x x2
2 1 x
1
.
定通义过；例②3求、这例类4会函发数现在：某①一函点数x=f（x0处x）的在极x限值x时0处，无若
高三数学极限的四则运算1
n
n
lim ( a n bn ) a b
n
lim ( a n bn ) a b n an a lim (b 0 ) n b b n
特别地，如果C是常数，那么
n
lim C an C lim an C a
n
注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
lim c=c
n
c, c, c, c,
(c为常数)
(c为常数)
例1 、 求下列极限
(1) 1 2 lim ( ) n n 2 n (2) 3n 2 lim n n
2n 2 n (3) lim 2 n 3n 2
3n3 n (4) lim 4 n 2n n 2
例2： 求下列函数的极限。
2x2 3x 1. lim 2 x x 1
2x2 x 4 2. lim 3 x 3 x x 2 1
“ 型”极限的求法：分子 分母 同除变量的最高次幂 , 利用
1 结论" lim n 0" 求解。 x x x3 x2 3. lim 2x2 1 2x 1 6 . x
x x0
f ( x) a
2x x 1 ,当x 1时 问题1：函数 f ( x) 3 2 x 2x 1
2
你能否直接看出函数值的变化趋势？
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数 极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出 函数极限的运算法则：（证明从略）
)
2x x （2）求 lim x 3 x 2 2 的极限（
2
n
lim ( a n bn ) a b
n
lim ( a n bn ) a b n an a lim (b 0 ) n b b n
特别地，如果C是常数，那么
n
lim C an C lim an C a
n
注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
lim c=c
n
c, c, c, c,
(c为常数)
(c为常数)
例1 、 求下列极限
(1) 1 2 lim ( ) n n 2 n (2) 3n 2 lim n n
2n 2 n (3) lim 2 n 3n 2
3n3 n (4) lim 4 n 2n n 2
例2： 求下列函数的极限。
2x2 3x 1. lim 2 x x 1
2x2 x 4 2. lim 3 x 3 x x 2 1
“ 型”极限的求法：分子 分母 同除变量的最高次幂 , 利用
1 结论" lim n 0" 求解。 x x x3 x2 3. lim 2x2 1 2x 1 6 . x
x x0
f ( x) a
2x x 1 ,当x 1时 问题1：函数 f ( x) 3 2 x 2x 1
2
你能否直接看出函数值的变化趋势？
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数 极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出 函数极限的运算法则：（证明从略）
)
2x x （2）求 lim x 3 x 2 2 的极限（
2
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lim 2 x
2x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则： 如果
x x0
lim f ( x ) a , lim g ( x ) b
x x0
，那么
x x0
lim f ( x ) g ( x ) a b
f ( x) a lim ( b 0) x x0 g( x ) b
（3）这些法则对 x
的情况仍然成立．
极限的四则运算
典型例题 例1 求 lim
2x x
3 2
x 1
2
x1
2x
1
解： lim
2xБайду номын сангаасx
3
2
x 1
2
lim ( 2 x
x1
2
x 1)
2
x1
2x
2
1
x1
lim ( x
x1 x1
3
2x
1)
lim 2 x
2x
2
lim x 1 1
2x 1 0.9
2
1.45556
2x
lim x lim
x1
1 0.99 0.999 1
x1
1.49505
1.4995
2x
lim
1.001 2x 1
2
1.5
x1
1.50050
2x
lim (2 x 1.01
x1
2
1.1 1)
1.50505 1.55455 x1
2 2
1
x 1
lim
( x 1 )( x 1 ) ( x 1 )( 2 x 1 )
x1
lim
x 1 2x 1
lim ( x 1 )
x1
x1
lim ( 2 x 1 )
x1
11 211
2 3
极限的四则运算
练习： 课后练习：1，2 课堂小结 （1）函数极限四则运算法则； （2）求函数在某一点处的极限值方法：直接用代入法，先 变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情 形． 作业：
极限的四则运算
极限的四则运算
知识回顾 1．函数的极限以及求法． 2．求下列极限 x 1 lim （1）lim （2） x1
(2 x （3）lim x1
2
1 2x
x1
1 2
1) 3
2
（4）lim
3 2
x1
2x 2
3．如何求 lim
2x
1
x1
2x
考察下表 观察该极限与上题极限之间存在关系吗? x
x x0
lim f ( x ) g ( x ) a b
特别地
C （1）xlim x
0
f ( x ) C lim
n
x x0
f ( x（ ) C为常数）
n
（2） lim f ( x )
x x0
* lim f ( x ) ( n N ) x x0
P 91
习题2.5 1
让更多的孩子得到更好的教育
中央空调系统由一个或多个冷热源系统和多个空气调节系统组成。采用液体气化制冷的原理为空气调节系统提供所需冷量，用以抵消室内环境的 冷负荷；制热系统为空气调节系统提供所需热量，用以抵消室内环境热负荷。 ； / 河南中央空调 jfh95mdg 制冷系统是中央空调系统至关重要的部分，其采用种类、运行方式、结构形式等直接影响了中央空调系统在运行中的经济性、高效性、合理性 道：“这些家仆们是哪里来的？”“是京城壹户人家，得知宝光寺遭难，怕顾不上今年的施粥，就自行做好带来，帮了寺里的大忙了。”“做好 了自行带来的？”“是的，王爷。”闻听此言，王爷更是懊悔不已。这些日子太忙，居然忘记了宝光寺的事情，太惭愧了！忙问：“真是有心人， 本王自愧不如。请问这是哪户人家？本王要好好感谢壹番才是。”“王爷真是客气了，您是做大事的贵人。不过，老纳也是要说感谢，可是那户 人家死活不肯留名，老纳也不好强求，勉为其难不是出家人的本分。不过，那家的丫鬟也来了，现在还在后院歇息。王爷要是……”王爷壹听喜 出望外，立即派秦顺儿去打探。秦顺儿回复得跟主持壹样，对方死活不肯留下府名。王府的人出马都被拒绝，他的脸上壹阵红壹阵白的，很是觉 得面子上挂不住，秦顺儿这奴才干什么吃的，这么点儿小事儿还办不利落？这让爷的脸往哪儿搁？正待责问之际，忽见壹个丫鬟打扮的女子从眼 前走过，这人怎么这么眼熟呢？好像在哪儿见过似的？噢，想起来了，这个人不就是，不就是……情急之下，话到嘴边，可就是说不出来个子丑 寅卯！第壹卷 第十壹章 缘分唉，这不就是上次在寺院救火的时候见过的那个年家的丫头！王爷不知道她叫什么，又急着想拦住她，急得直哎哎。 秦顺儿也看到了，自是明白主子的意思，赶快冲上前去。因为他也不知道怎么称呼这个丫环，又着急完成爷的吩咐，只好壹边口中称呼着：“姑 娘，这边请，我家爷有话相问。”壹边不由分说，将含烟强行领到了王爷的面前。含烟本就因被壹个小太监强拉硬拽心里很是不满，待走上前来， 才发现这位爷竟是前些日子遇见的那个王爷，气儿就更不打壹处来。虽然她知道这位自命不凡的人物就是那个“本王”，但是能把丫鬟气成那个 样子，这“本王”在含烟的眼中，绝对是没有多少好感，虽然不像丫鬟那样，气得牙根痒痒。当然了，如果含烟知道这“本王”就是当今圣上的 皇四子，和硕雍亲王的话，肯定不至于这么壹脸爱搭不理了。倒不是因为含烟势利，而是不想给丫鬟找麻烦而已。“请问这位王爷大人，这么急 急火火地找来小女子有何贵干？”“本王只是想问壹下，今天这个施粥，是你们府上置备的？”“回大人，确实如此。”“为什么？”“什么为 什么？”“本王是想知道，你们府上怎么想起来施粥的事情。”“这当然是我们丫鬟菩萨心肠，大慈大悲，看不得谁家有难，也见不得旁人受 苦。”这些话，哪里是含烟壹个小丫环能说得出来的，完全是因为她天天跟冰凝在壹起，耳濡目染的结果。结果却是这番话说下来，简直让王爷 听呆了：果然是大户人家，连丫环说出来的话都这么头头是道，在情在理，很是佩服。而且他急于知道事情的原
x1
lim x lim 1
2 x1
lim x
x1
3
lim 2 x
lim 1
x1
21 11 1 21 1
3 2
2
2
极限的四则运算
例题讲解 例2 求
lim x 2x
2 2
1
x1
x 1
．
本题还能用代入值求其极限值吗？为什么？ 解： lim x1
x 2x