华东师大线性代数14年月考
2014华东师范大学高等代数初试试题
7. (15′ )
A 为幂零矩阵 (即存在正整数 m, 使得 Am = O), ∞ ∑ Ai 定义 exp(A) = . 证明 exp(A) 可逆, 且 exp(A)−1 = exp(−A). i!
i=0
8.(1Βιβλιοθήκη ′ )设 n 阶矩阵 A 半正定, 存在正整数 m, 使得 Am = En . 1) 求 A; 2) 若将题中 “半正定” 改为 “半负定”, 你能得出什么结论?
华东师范大学数学系 2014 年研究生入学初试 高等代数 (回忆)
January 6, 2014 a2 + m ba ca da 2 ab b +m cb db 计算行列式 . ac bc c2 + m dc ad bd cd d2 + m
1. (15′ )
2. (15′ ) A ∈ Mm×n (F ), B ∈ Mm×1 (F ), 则方程组 AT AX = AT B 一定 有解. 3. (15′ ) A ∈ Mn (C), 特征值各不相同.C (A) = {B ∈ Mn (C)|AB = BA}. 1) 验证 C (A) 为 Mn (C) 线性子空间; 2) 任意 B ,C ∈ C (A), 有 BC = CB . 1 1 1 . 写出 A 的特征多项式, 特征值, 特征向量, 4. (20′ ) A = 3 3 并写出所有 A -不变子空间. 5. (15′ ) V 是 n 维欧氏空间, e1 , e2 , · · · , en 为一组基向量, 且 (ei , ej ) ⩽ 0, i ̸= j . 1) 存在非零向量 ∑ v ∈ V , 使得 (ei , v ) ⩾ 0, ∀i; 2) 若 α = ai ei 满足 1), 证明 ai ⩾ 0; i ∑ 3) 若另一非零向量 β = bi ei 也满足 1), 取 ci = min{ai , bi }, 则 i ∑ γ= ci ei 也满足 1). −2 1 1 −2 1 .. ′ 为 n 阶矩阵,特征多项式为 fn (λ). . 1 −2 6. (25 ) A = .. .. . . 1 1 −2 1) 证明 fn (λ) = (λ + 2)fn−1 (λ) − fn−2 (λ); 2) 写出 f1 (λ), f2 (λ), f3 (λ), 并求出相应的特征值与特征向量; 3) 写出 A 的若当典范型. 1
2014年10月04184自学考试线性代数试题(卷)与答案
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.23.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2115.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、 6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。
2014.10高三数学月考试卷(理科卷)
华师大二附中2014学年度第一学期高三数学10月月考试卷(理科卷)一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = ．2．)11141131121(lim 2222-++-+-+-∞→n n = ． 3．关于x 的不等式01log )5(log 2221>+-+x x 的解集为____________． 4．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和为 ．5.()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.6．三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =________. 7. 在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=和cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.8.如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(,)a b 和11(,)b a,那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式2cos 220x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为对偶不等式,且(,)2πθπ∈,则cos θ=_______________. 9．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. 记放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数为()1,2i i ξ=，从甲盒中取1个球是红球的概率为()1,2i p i =.则p 1与p 2、E (ξ1)与E (ξ2)的大小关系分别为 ．10．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4中有且仅有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是 ．11．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，()[)[)12log 1,0,1()13,1,⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩x x f x x x ，则函数F (x )= f (x )-a (0<a <1)的所有零点之和为_____________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a 、b ，1a b ==，0a b ⋅=，点Q 满足OQ ＝)a b +．曲线C ＝{P |OP ＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤PQ ≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则R 的取值范围是 ．13．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是____________．14．对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，使T 5(P )最小的一个数对序列P 的T 5(P )的值为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的（ ）A .充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件16．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意,R αβ∈，总有()()()2014f f f αβαβ+-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）A ．()1f x +是奇函数B ．()1f x -是奇函数C ．()2014f x +是奇函数D ．()2014f x -是奇函数17．样本12(,,...,)n x x x 的平均数为x ，样本12(,,...,)m y y y 的平均数为y ，若样本1212(,,...,,,,...,)n m x x x y y y 的平均数为(1)z x y αα=+-，其中102α<<，则,n m 的大小关系是（ ）A .n m <B .n m =C .n m >D .不能确定18.如图在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2，3，4)，L 1＝AE ，则线段L 1，L 2，L 3，L 4的长度关系为（ ）A. L 1=L 2=L 3=L 4B. L 1=L 2>L 3=L 4C. L 1=L 2>L 3>L 4D.L 1=L 2>L 4>L 3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43. (1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如果存在非零常数c ,对于函数()y f x =定义域R 上的任意x ,都有()()f x c f x +>成立,那么称函数()y f x =为Z 函数.(1) 求证:若()y f x =()x R ∈是单调函数,则它是Z 函数；(2) 若函数32()g x x bx =+是Z 函数.求实数b 满足的条件.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，PD ⊥x 轴于点D ，记满足1()2OM OP OD =+的动点M 的轨迹为F ．（I ）求轨迹F 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：y=kx+m 与轨迹F 交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交轨迹F 于点Q ，且,OQ OG λλ=∈R ．①求λ、m 与k 的关系式；②求△AOB 的面积S (λ)的解析式，并计算S (λ)最大值．23．（本题满分18分）．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：1(1,3,3)(3,2,2)f =，2(1,3,3)(1,3,3)f =.（Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值；（Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,n =时，恒有n d d =，求d 的所有可能取值；（Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =.得分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；11. ；12. ；13. ；14. ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分．20．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1题6分，第2题8分．小题满分4分．。
华师大版_2014-2015学年八年级数学(上)第二次月考试卷(附答案)
AB CD E2014-2015（上）华师大版八年级第二次月考数学试卷( 满分：150分；考试时间：120分钟)班级__________ 姓名_____________ 座号 _______成绩_____________一、选择题（每小题3分，共21分）．1．9的平方根是（ ）． A ．3 B ．3± C ．3 D ．±3 2．下列运算正确的是（ ）． A ．2232a a -= B ．()325aa = C ．369a a a ⋅= D ．523a a a =+3．已知等腰三角形的顶角为50，则这个等腰三角形的底角为（ ）． A ．50°B ．65°C ．80°D ．50°或65°4．以下列各组数为一个三角形的三边长，不能．．构成直角三角形的是（ ）. A ．2，3，4 B ．3，4， 5 C ． 6，8，10 D ．5，12，13 5．若3=+y x 且1xy =，则代数式)1)(1(y x --的值等于（ ）. A ．1- B ．0 C ．1 D ．26．如图，在△ABC 中，,AB AC AD AE ==，则图中共有全等三角形（ ）． A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对7．如图1，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a ＞b)，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）图1 图2 A ．()()2222b ab a b a b a -+=-+ B ．()2222b ab a b a ++=+ C ．()2222b ab a b a +-=- D ．()()b a b a b a -+=-22 二、填空题（每小题4分，共40分）． 8．比较大小：32 23．（选填“＞”、“＜”或“＝”） 9．－27的立方根是 ．10．命题“对顶角相等”是 命题（选填“真”或“假”）． 11．分解因式：x ²-4= ．12．计算：（6ab-2a ）÷2a= ．13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，AD 平分∠BAC ，则BD=___ ___（第6题图）a aa bbb bb1AECDBABCDC14．如图，已知∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝3，则点D 到BC 边的距离是____ ____. 15．如图，已知△ABC ≌△ABD ，∠1＝35°，∠D ＝40°，则∠CBE ＝ °.16．若（a+b ）²=9，ab=2，则（a-b ）²= ____ ___ . 17. 如图，点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C ，OA PD ⊥于点D ，若5=OC ， 4=PD ，则(1)、PC=_____（2）、._______=OP （保留根号） 三、解答题（共89分）．18．（18分）计算:（1）()232816+-． （2）28422a a a a÷-⋅．19.（9分）因式分解： 321622++m m ．20．（9分）先化简，再求值： 2)2()2)(2(---+a a a ，其中2-=a ．21．（9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC求证：△ABD ≌△ACD ．22．(9分) 如图，已知AD ⊥CD 于D, AD ＝3,CD ＝4,AB ＝13,BC ＝12.(第15题图)(第14题图) ABC D第13题（第17题图）A O DPCB(1) 请判断△ABC 是什么特殊三角形，并加以说明； （2）请求出四边形ABCD 的面积.23．（9分）如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的小正方形．（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；（2）当a ＝6，b ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长x 的值．24．（12分）如图1，已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点. （1）求证：CD BD =（2）如图2，把一块直角三角板的直角顶点放置于Ｄ点，使两直角边分别与AC 、CB 边交于E 、F ． ①试判断DE 与DF 是否相等，并说明理由；②当23,15BC AE ==时，求BF EF 、的长度.25．（14分）如图，已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，60,3,6A AC cm AB cm ∠=︒==．点图1DBCA图2FE DBCAP在线段AC上以1cm s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm st s．由点A向点B运动，设运动时间为()t=时，判断△APQ的形状（可直接写出结论）；（1）当1（2）是否存在时刻t，使△APQ与△CQP全等？若存在，请求出t的值，并加以证明；若不存在，请说明理由；（3）若点P、Q以原来的运动速度分别从点C、A出发，都顺时针沿△ABC三边运动，则经过几秒后（结果可带根号），点P与点Q第一次在哪一边上相遇？并求出在这条边的什么位置．华师大版八（上）2014-2015第二次月考试卷答案．一、选择题（每小题3分，共21分）1．D ； 2．C ； 3．B ； 4．A ； 5．A ； 6．B ； 7．D ； 二、填空题（每小题4分，共40分）8．＜； 9．－3； 10．真； 11．)2)(2(-+x x ； 12．31b -； 13．4； 14．3； 15．75； 16.1； 17．5，54(或80)..三、解答题（9题，共89分） 18．（1）（本小题9分）解：原式=4-2+2=4 …………………………………（9分） （2）（本小题9分）解：原式=662a a -=6a - …………………………（9分） 19．（本小题9分）解：原式=2（m ²+8m+16）=2)4(2+m20．（本小题9分）解：原式=a 2-4-（a 2-4a+4）……………………………… （4分）=4a-8…………………………………………… （6分） 当a=-2时,原式=4×(-2)-8……………………………………… （8分）=-16……………………………………………… （9分）21．（本小题9分,）．AD 平分∠BAC ∠BAD=∠CAD ………………… （ 2分）在△ABD 和△ACD 中，AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD …………………………………（ 6分） ∴△ABD ≌△ACD （SAS ） …………………………………（ 9分） 22．（本小题9分）解：(1)直角三角形……………………………………………………………………（1分） ∵AD ⊥CD ∴在Rt △ADC 中 AC=5432222=+=+CD AD ……… （3分）∵1691252222=+=+BC AC ，1691322==AB ………………… (5分) ∴222AB BC AC =+ ∴△ABC 是直角三角形 ………………………… (6分) (2)125214321⨯⨯+⨯⨯=ABCD s 四边形 …………………………………… （8分）=36 …………………………………………………………… （9分）23．（本小题9分）解：（1）24x ab -………………………………………………………………………（4分） （2）由题意得：2244x x ab =-…………………………………………………（6分） 当a ＝6，b ＝4时 6×4-24x ＝24x ………………………………………… （7分） x ＝3± ∵x ＞0 ∴x ＝3……………………………… (9分)A CBQP 24 （本小题12分）解：（1）∵ 90AC BC C ==︒，∠，D 为AB 边的中点，……………………… （1分） ∴,CD AB CD ACB ⊥∠平分…………………………………………… （2分）∴ 45ACD DCB B ∠=∠=∠=︒……………………………………… （3分）∴DC DB =………………………………… （4分）（2）①DE DF =成立，……………………………（5分）理由如下： 法一： ∵90,EDF CDB ∠=∠=︒∴EDC CDF BDF CDF ∠+∠=∠+∠,∴EDC BDF ∠=∠,………………… （6分） 又∠ECD=∠B=45°∴DEC DFB ∆≅∆(A.S.A)∴DE DF =…………………………………………………………… （8分） 法二：过点D 作,DG AC G DH BC H ⊥⊥于于，证明DGE DHF ∆≅∆， 得DE DF =，可参照上面给分. ②∵DEC DFB ∆≅∆∴23158BF EC AC AE ==-=-=………………………………………（9分） 又∵,15AB AC CF AE =∴==……………………………………………… （10分） 在222281517Rt CEF CE CF ∆+=+=中，EF=……………………… （12分）25.（本小题14分） 解：（1）△APQ 是等边三角形……………………………………………………… （3分） （写等腰三角形得2分）（2）存在 1.5t =，使APQ CPQ ∆≅∆.…（4分） 理由如下：∵t=1.5s ， ∴AP=CP=1.5cm ， ………（5分） ∵AQ=3cm ，∴AQ=AC ． 又∵60A ∠=︒，∴△ACQ 是等边三角形∴AQ=CQ …………………………………（6分） 又∵PQ=PQ ，∴△APQ △CPQ ；……………………（8分） （3）在Rt ABC ∆中，22226327BC AB AC =-=-=……………… （9分）由题意得：2t t AB BC -=+，即627t =+………………………………………………………………………（11分）∴点P 运动的路程是（627+）cm ∵36+＜627+＜3627++∴第一次相遇在BC 边上…………………………………………………………………（12分）又（927+）－（627+）＝3∴经过（627+）秒点P 与点Q 第一次在边BC 上距C 点3cm 处相遇．……………（14分）。
2014届华师一附中高三五月考试题答案
2014届华师一附中高三五月考试题答案一、选择题：A 卷1-5：BBCDD,6-10:ADCBD B 卷1-5: CDCAD, 6-10：BCCDD 二、填空题：（一）必考题（11-14）11. 64.5, 23. 12. 300. 13. 4. 14. [12,2] （二）选考题15. （选修4-1：几何证明选讲）10316. （选修4-4：坐标系与参数方程）3,44ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭三．解答题：17解：(1)f (x )＝sin(2x －2π3)＋3[1＋cos(2x －2π3)]－3＝sin(2x －2π3)＋3cos(2x －2π3)＝2sin(2x －π3)，----------------------------------------------3∴函数f (x )的最大值为2，此时2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π12＋k π，k ∈Z.-------------------------------------------------------------------------------6(2)f (2x )＝2sin(4x －π3)，令t ＝4x －π3，∵x ∈[0，π4]，∴t ∈[－π3，2π3]，设t 1，t 2是函数y ＝2sin t －a 的两个相应零点(即t 1＝4x 1－π3，t 2＝4x 2－π3)，由函数y ＝2sin t 的图象性质知t 1＋t 2＝π，即4x 1－π3＋4x 2－π3＝π，∴x 1＋x 2＝π4＋π6，tan(x 1＋x 2)＝tan(π4＋π6)＝tan π4＋tan π61－tan π4×tan π6＝1＋331－33＝2＋3.--------------1218. 解：(Ⅰ)∵S n =(n －1)2∴a n =⎩⎨⎧≥-=-2n , S 1n ,11n n S S =⎩⎨⎧≥=2n ,3－2n 1n , 0…………………………………………3分又∵a n =2log 3b n －1 ∴b n =213+n a =⎪⎩⎪⎨⎧≥=-2n , 31n , 31n ……………………………………………………………6分(Ⅱ)(1)当n=1时，T n =0…………………………………………………………………7分(2)当n ≥2时T n = 1×31+3×32+5×33+…+(2n －3)×3n －1∴3T n = 1×32+3×33+…+(2n －5)×3n －1+(2n －3)×3n …………………………9分∴－2T n =1×31+2×32+2×33+…+2×3n －1－(2n －3)×3n =1×31+31)31(3222--⨯-n －(2n －3)×3n=－2[(n －2)3n +3] ∴T n =(n －2)3n +3综合(1)(2)得T n =(n －2)3n +3……………………………………………………………12分 19.解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人．则62()205a P A +==． 解得 2a =． 所以4b =． …………… 4分 （II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 12分 20. 证明：（1）连结AC ，∵︒=∠60ABC ，BC AB =，∴△ABC 为正三角形，∴BC AE ⊥，∴AD AE ⊥，又⊥PA 平面ABCD ，∴平面⊥PAD 平面ABCD ，而⊂AE 平面ABCD ，∴⊥AE 平面P AD∴PD AE ⊥． -------------------5 （2）设EH 与平面P AD 所成角为α，由（1）知AHAE=αtan ， ∵AE 为定值，∴AH 最小时，αtan 最大为26，此时PD AH ⊥ 不妨设a AB 2=，过点E 作AC EM ⊥于点M ，过点M 作AF MN ⊥于点N ， 连结EN ，∵平面⊥PAC 平面ABCD ，AC EM ⊥， ∴⊥EM 平面AFC ，∴AF EM ⊥，又MN AF ⊥，∴⊥AF 平面EMN ，∴A F ⊥EN ∴ENM ∠为二面角C AF E --的平面角，--------8在Rt △AEM 中，a a AE EM 2321330sin =⋅=︒=， 由26=AH AE ，∴a AH 2=，∴︒=∠45PDA ， ∴AC AD PA ==，∵F 为PC 中点，∴︒=∠45CAF ，∴a AE AM MN 42345sin 30cos 45sin =︒︒=︒=，∴EN ==， ∴Rt △EMN中，cos 5MN ENM EN ∠==， ∴二面角C AF E --的余弦值为515．-----------------12 (向量方法参照记分).21.解：（1）分析易得动圆与圆M 外切，并内切于圆N ，设动圆P 的半径为r，则PM r =，则PN r =，∴PM PN MN +=，∴点P 的轨迹是以M 、N为焦点的椭圆，且222a c ==，∴1a c ==，∴21b =，∴点P 的轨迹曲线G 的方程为：2212x y += …………………………………………………4分（2）依题意，联立221112x y y k x m ìïï+=ïíïï=+ïî，则,A c x x 是方程2221111(21)4220k x k m x m +++-=ACBPFMN H的两个根，∴2211112148(21)0,21A C k m k m x x k D =+->+=-+，∴线段AC 中点为11122112(,)2121k m m k k -++，同理线段BD 的中点为22222222(,)2121k m m k k -++，因为四边形ABCD 为菱形，所以中点重合，所以112222121222122221212121k m k m k k m m k k ìïï-=-ïï++ïíïï=ïï++ïî，因为12k k ¹，所以解得120m m ==，即菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于原点O 。
上海市华东师范大学2014-2015学年高一数学上学期入学试卷(含解析)
上海市华东师范大学2014-2015学年高一上学期入学数学试卷一 •选择题以下每小题为10分，满分150分1.（ 10分）有一种测验可以随时在网上报名.若某人用过这种测验的概率是0.5，且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（）A .丄B.-C.-D. P432fl等于（）则P 到F 2的距离等于（）A . 0 B. 17 C.-25. （ 10分）下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是（） A . f （x ） =sinxC. f （x ） — （a x +a -x ） （a >0, a * 1）26. （10分）已知c 是实数，二次方程 x 2+x+c=0有两个复数根a , b.若|a - b|=3，贝U c=（） A . - gB.上C. - 2D. 22 27.（10分）函数f （x ） =a x +log a （x+1）在上的最大值与最小值的和为a ,则a 的值为（）A .丄B.-C. 2D. 44 2& （ 10分）由动点P 向圆x 2- y 2=2引两条切线PA PB,切点分别是 A, B .若/ APB=60 , 则动点P 的轨迹是（）2. （10分）已知a 为正整数，且关于 2x 的方程 lg (4 - 2x ) =lg（a - x ） +1有实根，则aA . 1B. 1 或 2C. 2D. 2 或 33. （10分）已知等比数列,a 1=2，公比q=2,其前n 项和为S n,前n 项积为等于（）A . 0B. 1 D. 222X —y 16 20P 是双曲线上一点.若P 到F 1的距离为9,D. 2B . f (x ) =- |x - 1| D. f (x ) =ln 二4. （10分）设F 1, F 2是双曲线=1 的焦点,A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线10. （10分）过三角形 OAB 的重心G 的直线L 分别与边OA 0B 交于点P, Q 已知丽=m 倍的-.,u=n 倍的匚1则（） A . m+n 士\24 B. m+n=-3C.二+亠n 2D.二匕=3 n11. (10 分) 已知｛a n ｝为等差数列， a 2+a s +a 4=30, a 5+a 6=40，则公差d 等于（）A . 2B. 2C. 4D. 514.（10分）一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x 2=2y （0<y w 20）,杯内放入一个 球，要使 球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（）A . （0, 1] B. （0,： ：]C. （0，丄]D. （0,—]2 215. （10分）棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积等于（） A . 2nB.——C. 3nD. 4n2上海市华东师范大学 2014-2015学年高一上学期入学数学试卷 参考答案与试题解析一.选择题以下每小题为 10分，满分150分1. （10分）有一种测验可以随时在网上报名.若某人用过这种测验的概率是0.5 ,且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（） 1 11A .丄B. 2c. AD.-4324288,则1击A .丄B.-C. 5 2D. 2（10分）已知集合 则M 与N 的交集为（） 12. M={x|sinx > cosx , O v x vn }和 N={x|sin2x > cos2x , 0 v x vn },A .(丄，n ）813. （10分）已知f x=丄对称，则f （1） 0(x) c.+f (2) +f (3) +f (4) +f (5)=() D.n)y=f （x ）的图象关于直线A . B. 1C. 3D. 59. （ 10分）如果（1- 2x ） 9的展开式中第三项等于 1B.,+R ）上的奇函数，且考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式.专题：概率与统计.分析：利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求解. 解答：解：他连续两次参加测验，其中有一次通过的概率：点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用.2. (10分)已知a为正整数，且关于x的方程lg (4 - 2x2) =lg (a - x) +1有实根，则a等于()A. 1B. 1 或2C. 2D. 2 或3考点：根的存在性及根的个数判断.专题：函数的性质及应用.分析：、. 2依r■题意，可得x - 5x+ (5a- 2) =0, 由"0即可求得a的值.解答：解：T ig ( 4- 2x ) =lg (a- x)+1,•ig (42—2x ) =lg10 (a - x),4-2Z2>0a- x>0(a-x)2 2由4 —2x =10 (a - x),得x - 5x+ (5a - 2) =0,依题意，△ =25- 4 (5a- 2) =32 - 20a>0,••• aw主，又a为正整数，5a=1.故选：A.点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，着重考查等价转化思想与解方程的能力，属于中档题.等于()A. 0B. 1C鳥 D. 2考点：极限及其运算.专题：计算题；等差数列与等比数列.分析：由已知求出S, T n,代入山4得答案.3.( 10分)已知等比数列，a i=2,公比q=2,其前n项和为S n,前n项积为T - 12T 十引屯…％二2 -2二2P 是双曲线上一点. 若P 到F i 的距离为9,则P 到F 2的距离等于()A . 0 B. 17C. 一D. 22考点：双曲线的简单性质. 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的定义||PF i | - |PF 2||=2a=12，已知|PF i |=9，进而可求|PF 2| .解答： 解：•••双曲线三-7 =1得：a=4,16 20由双曲线的定义知 ||PF 1| -|PF 2||=2a=8 , |PF 1|=9 ,•••|PF 2|=1 (不合，舍去)或 |PF 2|=17 ,故|PF 2|=17 . 故选：B. 点评：本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PF 1| - |PF 2||=2a ，是解题的关键，属基础题.5. ( 10分)下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是() A . f (x ) =sinxC. f (x ) — (a x +a -x ) (a >0, a * 1)考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明. 专题： 函数的性质及应用.分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确.解答： 解：f (x ) =sinx 是奇函数，但其在区间上单调递增，故A 错；Lim :liiD' ir亠 602n+1 - 2n -tn2~=山一z\=0.n z -3n+42 4故选：A.点评：本题考查了等比数列的前n 项和，考查了数列的极限，是基础题.224. (10分)设F 1, F 2是双曲线X —y16 20=1的焦点, 解答：解：由已知得,B . f (x ) =- |x - 1| D. f (x ) =ln 二••• f ( x) =- |x - 1|，二f (- X)= - | - X- 1| 丰—f C x), ••• f ( X)= —|x+1| 不是奇函数，•••故B错；T a> 1 时，y=a x在上单调递增，y=a-x上单调递减，• f ( x) =- (a x+a-x) (a> 0, 1)在2上单调递增，故C错；故选：D.点评：题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题.6. (10分)已知c是实数，二次方程x2+x+c=0有两个复数根a, b.若|a - b|=3，贝U c=()A. —5B.上C. - 2D. 22 2考点：复数求模.专题：数系的扩充和复数.分析：利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出.解答：解：’••二次方程x2+x+c=0有两个复数根a, b.•a+b=- 1, ab=c.•- |a - b|=3 ,•3= . | ・■" i.，•3=： -，解得c= - 2.故选：C.点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.7. (10分)函数f (x)=a+log a (x+1)在上的最大值与最小值的和为a,贝U a的值为()A.丄B. 一C. 2D. 442考点：函数单调性的性质.专题：计算题.分析：f (x)在上，当a > 1时是增函数；当0 v a v 1时是减函数；由单调性分析可得f (0) +f (1) =a,即可解得a—.解答：解：f (x)是上的增函数或减函数，故f (0) +f (1) =a，即卩1+a+log a2=a? log a2= - 1,—1 1•-2=a ? a=—.2故选B点评：可分类讨论做.因为单调性不变，也可合二为一做.& （ 10分）由动点P 向圆X 2-y 2=2引两条切线PA , PB,切点分别是 A, B .若/ APB=60 , 则动点P 的轨迹是（）A .椭圆 B.圆C.双曲线D.抛物线考点： 轨迹方程.专题： 计算题；直线与圆.分析： 由已知不难发现，动点 P 到原点的距离等于已知圆的半径的 2倍，可求结果.解答：解：由题设，在直角厶OPA 中，0P 为圆半径 0A 的2倍，即0P=2,•••点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.故选：B.点评：本题考查圆的切线方程,圆的定义，考查转化思想，疋基础题.9. （ 10分）如果（1- 2 ）的展开式中第三项等于 288,贝廿］（—++… ------------- ）等于“p 工『 /A. -1B.-C. 1D. 252数列的极限.计算题；二项式定理.由（1 - 2X ） 9的展开式中第三项等于 288求出x ,然后利用等比数列的求和公式求10. （10分）过三角形 OAB 的重心G 的直线L 分别与边OA 0B 交于点P, Q 已知帀=m 倍的.,'-J=n 倍的|二L 则()考点： 向量在几何中的应用. 专题：平面向量及应用.考点： 专题： 分析:和，则lim(X丄解答：解:（1- 2X ）9的展开式中第三项为 绪（-2盖）2=283r 3 3二2〔1-(丄+ ・ +•••+[)v __ 21 [2 - 1 --x3= 15 2〔1-〔自-2.n -* •:总故选：D. 点评： 本题考查了二项式定理， 考查了等比数列的前 n 项和,中档题.TL考查了数列极限的求法，是A . m+n 丄2B. m+n-3D. _一3n| n+・）可求.分析：根据三角形重心的性质，得1^- I'.,进而得到「V关于向量 X、飞的表达式，再根据已知条件得II关于向量“ y的表达式，利用向量共线的条件列式，化简整理可得本题的答案.解答：解：TG是厶OAB的重心，—■ 0—•••点G在AOAB的中线0C上，且-I："3•••丘7 （&+丽）,|2•丽上x丄（态+血）〜玉占J,3 2 3 3••• i「.F=m L., i.i=n 丨，，• FQ^OQ -丽=n^ - , 又•••©?=丽-丽=(m-2)预-2。
2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案
东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。
华东师大线性代数14年月考
华东师范大学月考试卷（1） 2013—2014学年第一学期课程名称：___线性代数_____学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：__软件工程 _____ 年级/班级： 课程性质：公共必修、公共选修、专业必修、专业选修一．填空题（本题满分20分，每空2分）1. 已知三阶行列式D 中第1行的元素自左向右依次为－1，1，2，它们的代数余子式分别为3，4，－5，则三阶行列式D ＝ -92. 已知1111111111111aD b c =，则此行列式的所有代数余子式之和,1niji j A=∑-(a -1)(b -1)(c -1) .3. 设5421334215a a a a a 是五阶行列式ij D a =的一项，该项的符号为 负 。
4. 设ij A 是n 阶行列式ij D a =中的元素ij a 的代数余子式且l k ≠，则1nks ls s a A =∑0 。
5. 若将行列式D 的某两行互换，再将其中某一列每个元素都反号，则行列式的值 I 不变_________。
6. 若行列式每行元素之和都为零，则此行列式的值为 0__________。
7. 设五阶行列式D=m 。
依下列次序变换：交换第一行与第五行，再转置，再用2乘所有元素，再用（-3）乘第二列加至第四列，最后用4除第二行个元素，其结果为 -8m 。
8. 行列式214132315--的代数余子式23A = -5 。
9. 1223()71043171x x x xf x x--=--为 二 次多项式.10. 线性方程组1212ax bx mcx dx n +=⎧⎨+=⎩的系数满足 ad-bc ≠0 时，方程组有唯一解。
二．选择题（本题满分20分，每题2分）1. 若31125232x -=2，则x =（ d ） (a) 0 (b) 30 (c) 307(d) 42. 已知n 阶方阵111011001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭， 则A 的所有元素的代数余子式和为 ( b ) (a) 0 (b) 1 (c) -1 (d) 23. 将n 阶行列式D 中所有元素都反号、形成的行列式的值为（ d ） (a) 0 (b) D (c) -D (d) (1)n D -4. 行列式D 非零的充分条件为 d(a) A 的所有元素非零 (b) A 至少有n 个元素非零(c) A 的任意两行元素之间不成比例(d) 以A 为系数行列式的线性方程组有唯一解5. 设|A ｜为４阶行列式，且|A|＝－３,则 ||A|A|= c (a) 9 (b) 53 (c) -53 (d) 126. 设ij A a =为六阶行列式，则|A|中带负号的项为 b(a)1223344555a a a a a (b)615243342516a a a a a a (c)213243165564a a a a a a (d)213243546566a a a a a a 7. 已知四阶行列式D ，其第2列元素依次为1，3，-2，2，它们的余子式分别为3，-2，1，1，则行列式D =（ a ）(a) -5 (b) -3 (c) 5 (d) 38.行列式000000000002a b c d =（ a ）(a) abcd (b) -abcd (c) 2abcd (d) -2abcd9. 1234031523730044----中的代数余子式34A为（ c ）(a) 0 (b) 36 (c) 12 (d) -1210. 若111213212223313233a a aa a aa a a=D，则111213212223313233232323a a aa a aa a a=（ d ）(a) D (b) 2D (c) -6D (d) 6D三. 计算题（本题总分60分，每题10分）1. 利用行列式的定义证明123451234512 12 120 000 000 000a a a a ab b b b bD c cd dl l==.2. 利用定义证明：一个n阶行列式中等于零的元素的个数，若比2n n-多，则此行列式必等于零。
华东师范大学期末试卷样卷b
华东师范大学期末试卷样卷（2）课程名称：线性代数学生姓名：________ 学 号：___________ 专 业：________ 年级/班级：_________ 课程性质：必修…………………………………………………………………………………………1．（15分）设A 为四阶矩阵，且2A =，1234(,,,)A γγγγ=,其中1234,,,γγγγ均为4维列向量。
则2143,,,________γγγγ----=2．（15分）已知100130225012A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求1_________A -=*1()____________A -= 3．（15分）已知：4元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，123,,ααα是它的三个解向量，121102αα⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，231013αα⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 试求该非齐次线性方程组的通解。
4. （15分）设()11,0,0T α=，()21,1,0T α=，()31,1,1T α=与()11,0,0T β=，()20,1,0Tβ=，()30,0,1Tβ=为两个向量组1） 证明：123,,ααα构成3R 的一组基 2） 求由123,,ααα到123,,βββ的过度矩阵 3） 求()1,2,1Tα=在基123,,ααα下的坐标i5．（15分）（1）设α，β，γ是三个n 维列向量，且α、β线性无关，α、γ线性无关，γ、β 也线性无关.问：α，β，γ是否一定线性无关。
(2) 设12,,...,r ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的解向量，设12,,...,r k k k 是一组数，且12...1r k k k +++=。
问1122...r r k k k ηηη+++是否也是该方程的解。
（1）．（2）都说明理由。
6．（15分）把向量组123100110,,. 011001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化成标准正交基7．（10分）设()ij A a =为3阶非零矩阵，且ij ij a =A ，其中ij A 为矩阵A 中第i 行第j 列元素对应的代数余子式. 证明：||1A =.线性代数模拟试卷(2)答案第1题第2题用初等行变换法求得由关 系式可 知由于从而第3题可知齐次方程组的解空间维数是1. 由条件,就是齐次方程组的解,从而也是基础解系. 于是所求通解就是第4题(1)由于;2;3是1;2;3的一组基.从而1(2)利用行初等变换求解方程组解出这就是所求过渡矩阵.(3)求解可得第5题(1) 未必. 例:两两线性无关, 但它们线性相关. 例:两两线性无关, 它们也线性无关.(2) 是.第6题按标准的格莱姆{施密特正交化方法,就得到第7题由条件, 成立或代入关系式得到两边取行列式得到于是或假设那么成立由于已知A是非零矩阵,假设考虑的第m个对角元矛盾.所以必有。
自考线性代数试卷答案汇集
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，TA 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】A.1-B.0C.1D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.23.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。
华东师大-线性代数样卷
华东师范大学期末试卷(样卷)2013 — 2014 学年第一学期课程名称：线性代数A学生姓名：学号：专业：计算机科学与技术年级/班级：课程性质：专业必修题号一二三四五六总分阅卷人签名分值25 20 19 12 12 12 100得分一、判断并简要说明理由。
（每题5分）1．全体n阶实反对称矩阵V1依照矩阵的加法与数乘构成实数域上的线性空间。
2．若A是正交矩阵，且|A|=1，则E-A不可逆。
3．设是实线性空间V上的一组基，A是V上的线性变换，A是A在基下的矩阵，若A可逆，则A，A，…，A也是一组基。
4．若是矩阵A的两个特征值，是对应的特征向量，则也是A的特征向量。
5．实正定矩阵都可以相似对角化。
二、计算。
（每题5分）1．已知，求一组非零向量，使得两两正交。
2．设，求|A10-5A9|。
3．设A是实对称矩阵，tE+A是正定矩阵，求t 的取值范围。
4．在中，定义线性变换A，。
求A在下的矩阵。
三、在P[x]4中取两组基：和1．求有前一组基到后一组基的过渡矩阵。
（4分）2．求在两组基下坐标相同的向量。
（5分）3．求微分变换D在基下的矩阵。
（5分）4．求D()在基下的坐标。
（5分）四、已知p=是矩阵对应的一个特征向量，1．求参数a,b及特征向量p对应的特征值。
（6分）2．问A能相似对角化吗？说明理由。
（6分）五、已知二次型1．写出二次型f的矩阵A。
（2分）2．求非退化的线性代换X=CY，把二次型f化为规范标准形。
（9分）3．计算二次型f的正惯性指数（1分）六、设1．证明：若λ是A的特征值，则p= (1,λ,λ2,λ3)T是对应λ的特征向量。
（6分）2．若A的特征值两两互异，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
（6分）。
华师网院《线性代数》练习测试题库及答案
华师网院《线性代数》练习测试题库及答案华中师范大学网络教育学院《线性代数》练习测试题库及答案一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a （ B ）A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式00000000000a a aa=（ B ）A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21＝（ B ）A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是（ C ）. A. ()m lmlA A = B. m l m lA A A +?= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ?、s t ?矩阵, ACB 有意义的条件是（ C ）A. C 为m t ?矩阵；B. C 为n t ?矩阵；C. C 为n s ?矩阵6、下面不一定为方阵的是（C ）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ??-1021 的伴随矩阵是（A ） A. ??1021 B. ??-1201 C. ??-10218、分块矩阵 00A B ??（其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是（ A ） A. 1100A B --??B. 00B AC. 1100B A --??9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是（ A ）A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组=++=++=++23213213211aax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是（A ）A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ）A. 0，，βαB. γβ，C. γα，12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是（ C ）A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为（ C ）A 、---340402021B 、---320201011 C 、??---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么（ B ）A. q p r -=；B. q p r +=；C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是（ B ）A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++=C.22213212),,(x x x x x f +=16、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（）(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ；（C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2014-2015华师大版新八年级数学上册第一次月考试题答卷及参考答案
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯_密⋯_⋯__⋯_号⋯⋯考封⋯⋯⋯⋯_⋯_⋯__⋯__⋯__⋯__⋯__内名⋯⋯姓⋯⋯⋯不⋯⋯_⋯⋯__⋯__准__⋯__⋯__⋯_⋯⋯班答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯沈丘外语中学2013～2014 学年度第一学期第一次学情检查八年级数学试卷（ 11-12 章）一、（每 3 分，共 30 分）1.以下法中，正确的选项是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A、(－6)2的平方根是－ 6B、根号的数都是无理数C、 27 的立方根是±3D、立方根等于－ 1 的数是－ 12．在数1， 4， 0.518 ，，0.6732 ，37 ， 2 中，无理数的个数是⋯⋯⋯⋯⋯【】33A． 1B． 2C． 3D． 43.以下运算正确的选项是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A ．a2·a3＝a6B． y3÷ y3＝ y C． 3m＋ 3n＝ 6mn D． (x3)2＝ x64． ( － 3x＋ 1)( － 2x) 2等于⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A．－ 6x 3－ 2x 2B．－ 12x 3＋ 4x 2C． 6x 3＋ 2x 2 D . 6x3－2x 2．5.算( x6)( x1)的果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A． x25x 6；B． x 25x 6 ；C． x25x 6 ；D． x25x 6.（a2b8 0a6.2），的平方根是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】已知b11A、2B、2C、2D、2 X K b1.C o m7． ( mx＋ 8)(2－ 3 x )睁开后不含x的一次，m ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A 、3B、0C、12D、 249. 假如x2M16 是一个多式的完整平方式，那么含字母x 的式M等于⋯⋯⋯【】A. 4xB.4xC. 8xD.8x10．以下各式由左到右的形中，是分解因式的⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A． a( x+y) =a x+ay2B． 10x － 5x=5x(2 x－ 1)22C． x － 4x+4=x( x－ 4)+4D． x － 16+3x=( x－ 4)( x+4)+3 x二、填空（每 3 分，共 30 分）11.64 立方根是.12． ________ 和无理数称数.13． 已知： 3 2a 3 +3 7 3a =0，则 a 5 =。
2014-2015华师大版新八年级数学上册第一次月考试题答卷及参考答案
沈丘外语中学2013～2014学年度第一学期第一次学情调查八年级数学试卷（11-12章）一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列说法中，正确的是 …………………………………………………………………… 【 】 A 、(－6)2的平方根是－6 B 、带根号的数都是无理数C 、27的立方根是±3D 、立方根等于－1的实数是－12．在实数10.5180.673233π∙∙--，， 【 】A ．1B ．2C ．3D ．43. 下列运算正确的是…………………………………………………………………………… 【 】 A ．a 2·a 3＝a 6 B ．y 3÷y 3＝y C ．3m ＋3n ＝6mn D ．(x 3)2＝x 64．(－3x ＋1)(－2x)2等于……………………………………………………………………… 【 】A ．－6x 3－2x 2B ．－12x 3＋4x2C ．6x 3＋2x 2D . 6x 3－2x 2．5. 计算)1)(6(+-x x 的结果为………………………………………………………………… 【 】A ．652-+x x ； B ．652--x x ； C ．652+-x x ； D ．652++x x .6. 已知082a 2=-+-b ）（，则ba 的平方根是…………………………………… 【 】 A 、21±B 、 21-C 、2±D 、2 X K b1.C o m7．(mx ＋8)(2－3x )展开后不含x 的一次项，则m 为…………………………………………【 】 A 、3B 、0C 、12D 、249.16M 2++x 如果是一个多项式的完全平方式，那么含字母x 的单项式M 等于………【 】A. 4xB. x 4±C. 8xD.x 8±10．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为……………………………………… 【 】A ．a(x +y ) =a x +a yB ．10x 2－5x =5x (2x －1)C ． x 2－4x +4=x (x －4)+4 D ．x 2－16+3x =(x －4)(x +4)+3x二、填空题（每题3分，共30分） 11. 64-立方根是 . 12． ________和无理数统称为实数 .…………………密……………封……………线……………内……………不……………准……………答……………题……………………班 级____________ 姓 名____________ 考 号_____13．已知：332-a +337a -=0，则5+a = 。
华东师范大学2016-2017学年线性代数期末考试A
华东师范大学期末试卷（A ）2016 —2017 学年第 I 学期课程名称：_线性代数学生姓名：___________________ 学号：___________________ 专业：___________________ 年级/班级：__________________一、 填空题（每题4分，共计20分）1. (3122−11)(01−1210)=（ ）。
2. 矩阵A =(123012001)的逆矩阵A −1=（ ）。
3. 齐次线性方程组AX =0中，如果A 是5阶方阵，秩等于3，那么，该方程组的基础解系是由（ ）个向量组成。
4. 若二次型5x 12+x 22+λx 32+4x 1x 2−2x 1x 3−2x 2x 3是正定的，则λ的取值范围是（ ）。
5. n 阶实对称矩阵A 的两个特征值λ≠μ，则分属于这两个特征值的特征向量α，β的内积α∙β=（ ）。
二、 选择题（每题4分，共计20分）6. 若A 是n 阶方阵，|A|=-2，则|-2A|=（ ）。
（A ） - 4 （B ）4 （C ）-2n （D ）(−2)n7. 设A ，B 都是n 阶方阵，AB=0，则必有（ ）。
（A ）A=0或B=0 （B ）|A|=0或|B|=0（C ）A+B=0 （D ）|A|+|B|=08. 设非齐次线性方程组AX =b ，A 是m ×n 阶矩阵，若秩（A ）等于秩（A |b ），则关于该方程组的解正确的是（ ）。
（A ）有无穷多组解 （B ）有唯一解 （C ）无解 （D ）不确定9. 若n 阶方阵P 是正交矩阵，则关于P 的列向量最确切的表述是（ ）。
（A ）构成单位正交向量组 （B ）都是单位向量（C ）两两正交 （D ）必含零向量10. 5阶行列式|9500049500049500049500049|的值是（ ）。
（A ） 56−46 （B ）56+46 （C ）55−45 （D ）55+45三、 计算题（每题10分，共计50分）11. 求线性方程组{x 1−x 2−x 3+x 4=0x 1−x 2+x 3−3x 4=0x 1−x 2−2x 3+3x 4=0的基础解系和通解。
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华东师范大学月考试卷（1） 2013—2014学年第一学期
课程名称：___线性代数_____
学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：__软件工程 _____ 年级/班级： 课程性质：公共必修、公共选修、专业必修、专业选修
一．填空题（本题满分20分，每空2分）
1. 已知三阶行列式D 中第1行的元素自左向右依次为－1，1，2，它们的代数
余子式分别为3，4，－5，则三阶行列式D ＝ -9
2. 已知1111111
111111
a
D b c =
，则此行列式的所有代数余子式之和,1
n
ij
i j A
=∑
-(a -1)(b -1)(c -1) .
3. 设5421334215a a a a a 是五阶行列式ij D a =的一项，该项的符号为 负 。
4. 设ij A 是n 阶行列式ij D a =中的元素ij a 的代数余子式且l k ≠，则1n
ks ls s a A =∑
0 。
5. 若将行列式D 的某两行互换，再将其中某一列每个元素都反号，则行列式的
值 I 不变_________。
6. 若行列式每行元素之和都为零，则此行列式的值为 0__________。
7. 设五阶行列式D=m 。
依下列次序变换：交换第一行与第五行，再转置，再用
2乘所有元素，再用（-3）乘第二列加至第四列，最后用4除第二行个元素，其结果为 -8m 。
8. 行列式214
132315
--的代数余子式23A = -5 。
9. 1223
()71043171x x x x
f x x
--=
--为 二 次多项式.
10. 线性方程组1212ax bx m
cx dx n +=⎧⎨+=⎩的系数满足 ad-bc ≠0 时，方程组有唯一解。
二．选择题（本题满分20分，每题2分）
1. 若311
25
23
2
x -=2，则x =（ d ） (a) 0 (b) 30 (c) 30
7
(d) 4
2. 已知n 阶方阵11101
100
1A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
， 则A 的所有元素的代数余子式和为 ( b ) (a) 0 (b) 1 (c) -1 (d) 2
3. 将n 阶行列式D 中所有元素都反号、形成的行列式的值为（ d ） (a) 0 (b) D (c) -D (d) (1)n D -
4. 行列式D 非零的充分条件为 d
(a) A 的所有元素非零 (b) A 至少有n 个元素非零
(c) A 的任意两行元素之间不成比例
(d) 以A 为系数行列式的线性方程组有唯一解
5. 设|A ｜为４阶行列式，且|A|＝－３,则 ||A|A|= c (a) 9 (b) 53 (c) -53 (d) 12
6. 设ij A a =为六阶行列式，则|A|中带负号的项为 b
(a)1223344555a a a a a (b)615243342516a a a a a a (c)213243165564a a a a a a (d)213243546566a a a a a a 7. 已知四阶行列式D ，其第2列元素依次为1，3，-2，2，它们的余子式分别为3，-2，1，1，则行列式D =（ a ）
(a) -5 (b) -3 (c) 5 (d) 3
8.行列式
0000
00
000002
a b c d =（ a ）
(a) abcd (b) -abcd (c) 2abcd (d) -2abcd
9. 1234
0315
2373
0044
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--
-
中的代数余子式
34
A为（ c ）
(a) 0 (b) 36 (c) 12 (d) -12
10. 若
111213
212223
313233
a a a
a a a
a a a
=D，则
111213
212223
313233
23
23
23
a a a
a a a
a a a
=（ d ）
(a) D (b) 2D (c) -6D (d) 6D
三. 计算题（本题总分60分，每题10分）
1. 利用行列式的定义证明
12345
12345
12 12 12
0 000 000 000
a a a a a
b b b b b
D c c
d d
l l
==.
2. 利用定义证明：一个n阶行列式中等于零的元素的个数，若比2n n
-多，则此行列式必等于零。
3. 设α,β,γ为互不相等的实数，试证明
3
33
111
0αβγαβγ=的充分必要条件是0αβγ++=.
1112131421
2223243132333441
424344
43()=
12x a a a a a x a a a f x a a x a a a a a x a x x ----------------4. 设
求：（） 的系数；（） 的系数；（3）常数项.
5. 计算行列式11111111
11111111
x x D x x ---+-=--+--
.
6. λ取何值时，线性方程组
123123123(3)20(1)03(1)(3)0
1x x x x x x x x x λλλλλλ+++=⎧
⎪+-+=⎨⎪++++=⎩
（） 只有零解 ？ （2） 有非零解 ？。