chapter8-1振动

2

x2
1
A A1 M 1
x1
x x
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
合振动是简谐振动, 其频率仍为
讨论
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A
x0
2
v

2 0 2
v0 tg ( ) x0
1
超前和落后 若 = 2 - 1> 0 , 则 称 x2 比 x1 超前 若 = 2 - 1< 0 , 则 称 x2 比 x1 落后 。 同相和反相(同频率振动) 当 = 2k 两振动步调相同,称同相。
F kx
x A cos( t )
1 2 2 E Ek Ep kA A（振幅的动力学意义） 2
作简谐运动的系统机械能守恒
k/m
2
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x A cost v t v A sint
1 E kA2 2 1 2 2 Ep k A cos t 2
m Sh,
h ∴ T 2 g
五 简谐振动的旋转矢量图示法
旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 A 在纸平面
内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角 频率相等，这个矢量称为旋转矢量。 采用旋转矢量法，可直 观地领会简谐振动表达式中 各个物理量的意义。
A
ω
M
O
X
简谐运动的矢量图示法

当
t0
时
A

o
x0 A cos
x0
x

t t时
t
A
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
o
x A cos( t )
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
注意: 旋转矢量本身并不作简谐运动，我们是 利用旋转矢量端点在ox轴上的投影点的 运动来形象地展示简谐运动的规律的
T
T

弹簧振子的势能和动能的平均值相等而 且等于总机械能的一半。
8-2、简谐振动的合成
同方向同频率简谐振动的合成 分振动 : 合振动 :
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
x0 12 cm, v0 0,
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。 解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
作x = -12cm处的旋转矢量 A A
-12
A0
o 12 24 x(cm)
tmin
1 T 0.5 s 6
利用旋转矢量法作 x-t 图:
x
t=0
v0 A sin 0
1 cos 2 3
由 v0 > 0 决定取舍
3
方法二：由初始条件用旋转矢量法求初相
当 t = 0 时, 位移为6cm 且向 x 轴正方向运动
O A/2


3
A
x
3
振动表达式为
A
x 0.12 cos( t
( A1 cos 1 A2 cos 2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t
A cos
A sin
x A cos cos t A sin sin t A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )

3
) 米
② t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度
x t 0.5 0.12cos( t ) 0.104 m 3 t 0.5
dx 1 v t 0.5 0.12 sin( t ) t 0.5 0.189 ms dt t 0.5 3 dv 2 2 a t 0.5 0.12 cos( t ) t 0.5 0.103 ms dt t 0.5 3
2 1 2 2
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
结论：合振动 x 仍是简谐振动
旋转矢量法

A2
x1 (t ) A1 cos(t 1 )
x2 (t ) A2 cos(t 2 )
合振动 :
M 2
M
一 、简 谐 运 动 方 程
弹簧振子的振动 平衡位置
l0
k
x0 F 0
m
A
o
A
x
F
O
O O O O
x x
F
x x x x
O
物体将在平衡位置附近作往复运动称为简谐振动
F
m
o
胡克定律: 牛顿第 二定律:
x
x
F kx a= m m k 2 2 a x 令 m 2 d x 2 （b） x 2 dt
是t =0时刻的相位—初相位
与时间的初始时刻选取有关
对于一个简谐运动如果 A、、 都知道了，就可以 写出它的完整表达式。这三个量叫做描述简谐振动的 三个特征量。
x A cos(t )
三 谐振动的位移、速度、加速度
x A cos( t )
v A sin( t ) v m cos( t
8-1 简 谐 运 动
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
其运动形式有直线、平面和空间振动.
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等. 周期和非周期振动 简谐运动 最简单、最基本的振动. 合成 简谐运动 复杂振动 分解
谐振子
作简谐运动的物体.
A1 A2 O - A2 -A1
x
x2
x1
t
x
A1 A2
x1
x2
同相 T
o
x
A1
t x1
反相 T
当
பைடு நூலகம்
= (2k+1) 两振动步调相反,称反相。
A2
o
x2
t
例1：一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S，
吃水深度为 h ，如不计水的阻力，求此船在竖直方向 的振动周期。 解: 船静止时，浮力与重力平衡
它的变化就一定是简谐振动的形式，而x 系数的平方根就是其角频率。
d x k x0 2 dt m
2
四 振幅和初相的确定
由初始条件求振幅和初相位
x(t ) A cos(ω t ) v ω A sin(ω t )
x0 A cos v 0 ω A sin
2

2
)
a A cos( t ) am cos( t )
x
2
x.v.a.
o
x a T t
v
说明： 1 振动周期决定于振动系统本身的性质，振 幅决定于振动的能量，初相取决于时间原点 的选择，具有任意性。 2 不管x是什么物理量，只要它随时间的变 化满足微分方程，
O
h P
P
y
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向 下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
O
y
P h
P
y
hSg mg
f (h y ) Sg mg ySg
船的位移为y 时船所受合力为： 船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为: 2 m Sg T 2 gS m ∵
负号表示力与角位移方向相反
T
x
f
mg
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 角频率,振动的周期分别为：
dt

g l
l T 2 g
2
二
简谐振动的特征量
x A cos(t )
振幅 A 周期T 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位 移）的绝对值。 物体完成一次全振动所需时间。
③ 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次 回到平衡位置所需要的时间。 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动 第一次回到平衡位置 所需要的时间 y
2 3
4 3 32
x
3 2 5 3 6 0.83 s t 2 1 s
练习
已知：A = 24cm,T = 3s, t = 0时

A

o


3
x A
o
3
v0
x
v0

例2:质点沿X轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。 当 t=0 时, 位移为 6cm，且向X轴正方向运动。求：
①振动表达式 ②t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度。 ③质点从 x = - 6 cm 向x 轴负方向运动，第一次回 到平衡位置所需要的时间。 解：①取平衡位置为坐标原点, 简谐振动方程写为： 已知：A = 0.12m ,T = 2s
若两分振动同相：
2 1 2k
A A1 A2
若两分振动反相:
k 0,1,2,
合振动加强
A1 A2
2 1 (2k 1)
A A1 A2
k 0,1,2,
合振动减弱
A2
A1
o
T 4
T 2
3T 4