第16讲勾股定理之折叠问题预习班讲义

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勾股定理解析折叠问题含详细的答案

角求平重能分叠得线到部与等分平腰△行三线B角E组D形的合面时积, 。A
E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找
到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方
程思想解决问题。
探究三如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的中中点点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
图中∠1，∠2，∠3 A 有何关系？你能求出它们的大小吗？ 3
F
11 D
6 23
B
E
C
探究四
证明线段相等的方法有证
如图,矩形纸片ABCD全四中等边，，形A等，B角等=6对量cm等线,A边段D，的=8平和cm行差，
点E、F是矩形ABCD的边AB 、AD上等的。两个
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边
A
E
DA
E 20° D' A
E
D
B
图a
FC
B
20° F G
C'
B
图b
C
G
图c
?C F
C´
D
D´
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的 12度0°数是
探究活动
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
探究一：把矩形沿对角线BD折叠，点C 落在C′处。猜想重叠部分△BED是什么
三角形？说明你的理由. C′
利用勾股定理解决折叠问题
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）

勾股定理专题训练折叠问题PPT课件

纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8 AD,点D落在BC边上的点F处,
㎝。现将直角边AC沿直线AD折已知AB=8CM,BC=10CM,求
叠，使它落在斜边A突B破上重，点且：学与生动手1.折CF叠、观2.E察C，.
AE重合，求CD的长．将变已换知中量的折和叠未A知找量到通相过等图的形线
D
A
段转换到一个直角三角形中。
顶点B与学教生师顶小适点组当合引D重作导，，合也然在就后是各一通抒起过己辅见,助，EF为折痕。AB线=构3,造B直C角=9三,角试形求得到：等以线段E代F为边
长正方换个形。直的将角已三面知角积量形和中？未利知用量勾转股E 化定到理一找
到解决问题的A 突破点。通过这道
D
小组题问合让题作学，生加知深道学用生方对程勾思股想定来理1解和0 决转
.
4
说教学目标
(1)知识与技能
理解折叠问题的实质，建立方程思想，找到解决的突破口。
(2)过程与方法
经历观察、比较折叠的过程，在讨论类比中探索勾股定理解决折叠问题。
(3)情感态度与价值观
锻炼学生的应用能力，感受数学带来的乐趣。体现数学与生活的紧密联系。
.
5
说教学重难点
教学重点
探究折叠前后图形的变化及元素的对应关系。
人教版八年级数学下册《勾股定理专题训练-折叠问题》
.
1
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五教学反思
四
教学程序
三教、学法分析
二
学情分析
一
教材分析
.
2
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18章内容，是在掌握勾股定理及逆定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过分析，使学生获得较为直观的印象,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。折叠问题在中考中的应用也日趋突出。（举例）

勾股定理的折叠问题

勾股定理的折叠问题
众所周知，勾股定理是数学中的一条重要定理，描述了直角三角形中，直角边
的平方和等于斜边的平方。

而关于勾股定理的折叠问题则考察了一个有趣而实用的几何学思考。

勾股定理的折叠问题是指，如果我们将一个正方形纸张的一角折叠到对边上，
能否构造出一条长度为整数的直角边，并利用这条直角边实现勾股定理。

答案是肯定的。

通过将正方形纸张的一角折叠到对边上，我们可以得到一个直角三角形。

根据
勾股定理，该直角三角形的直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。

因此，我们只需要找到两个整数的平方和等于第三个整数的平方即可。

以3、4和5为例，我们可以将正方形纸张的一个角折叠到对边上，构造出一
个边长为3、4和5的直角三角形。

这是因为3的平方加上4的平方等于5的平方。

同样，使用其他整数组合，我们也可以得到满足勾股定理的直角三角形。

勾股定理的折叠问题不仅仅是一道有趣的数学问题，它在实际生活中也具有应
用价值。

例如，当我们需要制作直角三角形的时候，可以利用这个折叠方法，通过简单的实验就能得到所需的尺寸。

然而，需要注意的是，勾股定理的折叠问题是一个抽象的概念，对于任意给定
的正方形纸张，我们并不能保证总能构造出满足勾股定理的直角三角形。

所以，在实践中还是要注意具体问题具体分析。

总的来说，勾股定理的折叠问题是一个有趣而实用的数学探索。

通过将一个正
方形纸张的一角折叠到对边上，我们可以得到满足勾股定理的直角三角形。

这个问题不仅启发我们对数学的思考，还可以在实际生活中找到应用。

勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题勾股定理折叠问题是目前数学界解决的一个难题，也是21世纪优秀数学解决方案的典范。

来自英国伯明翰大学的研究者把该问题解释为：当两个正整数的平方和为另一个正整数时，那么存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2。

目前，越来越多的人开始从数学角度探索如何使用勾股定理折叠来解决该类问题。

首先，研究者们必须先完成一个前期的准备，也就是要理解勾股定理。

要想解决这个问题，必须熟悉勾股定理的基本概念：直角三角形的两条直角边的长度称为x和y，直角边上的角称为θ，而x2+y2=z2，则称为勾股定理。

其次，研究者要利用这一理论来解决实际中的问题。

折叠问题是指：现有一个直角三角形，要求折叠后能使其变成一个正方形。

在折叠前，根据勾股定理可知，其中有两条边长相等，若将其中一条边长折叠，使其长度变为两条边之和，则两条边的长度均等，就可以折叠出一个正方形。

另外，在解决勾股定理折叠问题的过程中，求解是确定正方形的关键。

这是一个复杂的过程，一般使用多项式求解法解决，即利用多项式构造一组解，以及其他数学技术和方法来求。

最后，研究者们对勾股定理折叠问题的解决方案做了有效的运用。

如果用多项式求解法，将可以得出精确的解，而且可以用较少的时间完成；如果用其他数学技术，如李宁积分、拉格朗日投影法等也可以实现精确的解决方案。

总而言之，勾股定理折叠问题是数学界一个难解的问题。

英国伯明翰大学的研究者首先将该问题解释为当两个正整数的平方和为另一个正整数时，存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2，并提出了一系列求解方案来解决该类问题，而这一求解方案的有效性和精确性也受到了广泛的认可。

因此，勾股定理折叠问题为我们拓展了数学思维，给了我们一种更全面和精确的解决方案，能够更有效地应用于实际问题，为21世纪优秀数学解决方案提供了一个重要的参考示范。

勾股定理之“图形折叠”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)

重难点：勾股定理之“图形折叠”模型【知识梳理】图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解.翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【考点剖析】一．选择题（共9小题）1．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据折叠前后角相等可知△ABE≌△C′ED，利用勾股定理可求出．【解答】解：设DE＝x，则AE＝8﹣x，AB＝4，在直角三角形ABE中，x2＝（8﹣x）2+16，解之得，x＝5．故选：C．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．矩形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）A．8B．C．4D．【分析】着色部分的面积等于原来矩形的面积减去△ECF的面积，应先利用勾股定理求得FC的长，进而求得相关线段，代入求值即可．【解答】解：在Rt△GFC中，有FC2﹣CG2＝FG2，∴FC2﹣22＝（4﹣FC）2，解得，FC＝2.5，∴阴影部分面积为：AB•AD﹣FC•AD＝，故选：B．【点评】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，本题中没有着色的部分为△ECF，利用了矩形和三角形的面积公式，勾股定理求解．3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（）A．B．C．D．【分析】先通过勾股数得到AB＝10，再根据折叠的性质得到AD＝DB＝5，AE＝BE，∠ADE＝90°，设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出x，然后在Rt△BDE中利用勾股定理即可计算得到DE的长．【解答】解：∵直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，∴AB＝10，又∵折叠，∴AD＝DB＝5，AE＝BE，∠ADE＝90°，设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△CBE中，BE2＝BC2+CE2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，在Rt△BDE中，DE＝＝故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了勾股定理．4．如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC 于点F，AF＝25cm，则AD的长为（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC＝∠DCA，根据等角对等边证明FC＝AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．【解答】解：∵长方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠DCA，∴FC＝AF＝25cm，又∵长方形ABCD中，DC＝AB＝32cm，∴DF＝DC﹣FC＝32﹣25＝7cm，在直角△ADF中，AD＝＝＝24（cm）．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中注意到相等的角以及相等的线段是关键．5．如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C处，BC交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则BE的长为（）A．3B．4C．5D．2【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出∠C′BD＝∠DBC＝∠BDA，可得DE＝BE，设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x．根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA，由折叠的性质得：∠C′BD＝∠DBC，∴∠C′BD＝∠BDA，∴DE＝BE，设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x．在△ABE中，由勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2．解得：x＝5，∴BE＝5．故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（）A．B．C．D．【分析】先设CE＝x，再根据图形翻折变换的性质得出AE＝BE＝8﹣x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出的值．【解答】解：设CE＝x，则AE＝8﹣x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即（8﹣x）2＝62+x2，解得x＝，∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠7．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．如果DM：MC＝3：2，则DE：DM：EM＝（）A．7：24：25B．3：4：5C．5：12：13D．8：15：17【分析】先根据折叠的性质得EM＝EA，再根据勾股定理得ME的长，从而求比值．【解答】解：由折叠知，EM＝EA，设CD＝AD＝5a，∴DE＝5a﹣EM，DM＝3a，MC＝2a，在Rt△EDM中，EM2＝DE2+DM2，即ME2＝（5a﹣ME）2+（3a）2，解得ME＝a∴ED＝a∴DE：DM：EM＝a：3a：a＝8：15：17．故选：D．【点评】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、通过设适当的参数，利用正方形的性质，勾股定理求解．8．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝18cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝13，则AD的长为（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm＝FC，在直角三角形ADF中，运用勾股定理求解．【解答】解：根据折叠前后角相等可知△ADF≌△CEF，设DA＝x，又AF＝13，DF＝18﹣13＝5，在直角三角形ADF中，x2+52＝132，解之得，x＝12cm．故选：D．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．9．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等和勾股定理求解．【解答】解：根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形CEFD全等，有EC＝AF＝AE，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2即42+（8﹣AE）2＝AE2，解得，AE＝AF＝5，BE＝3，作EG⊥AF于点G，则四边形AGEB是矩形，有AG＝3，GF＝2，GE＝AB＝4，由勾股定理得EF＝．故选：D．【点评】本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质．二．填空题（共1小题）10．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为A．6cm2B．8cm2C．10cm212cm2．【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．三．解答题（共1小题）11．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF与FC的长．【分析】由图形翻折变换的性质可知，AD＝AF，设BF＝x，则FC＝10﹣x，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC＝12厘米可得出FC的长度．【解答】解：∵△AEF是△AED沿直线AE折叠而成，AB＝8cm，BC＝10cm，∴AD＝AF＝10cm，设BF＝x，则FC＝10﹣x，在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即102＝82+x2，解得x＝6，即BF＝6厘米．∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．综上可得BF的长为6厘米、FC的长为4厘米．BF，AF的长度，在△ABF中利用勾股定理，难度一般．【过关检测】一．选择题（共11小题）1．（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD 于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，设DE＝x，则AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的长为5．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．2．（2021秋•镇海区校级期中）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝5厘米，EF＝12厘米，则边HF的长是（）A．12厘米B．13厘米C．14厘米D．15厘米【分析】利用折叠的性质得出∠HEF＝90°，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵△AEH折叠得到△MEH，△BEF折叠得到△MEF，∴∠AEH＝∠MEH，∠BEF＝∠MEF，∴∠HEF＝∠MEH+∠MEF＝（∠AEM+∠BEM）＝90°，∴△HEF为直角三角形，在Rt△HEF中，EH2+EF2＝HF2，∵EH＝5厘米，EF＝12厘米，∴HF＝＝13厘米，故选：B．【点评】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得到∠HEF＝90°．3．（2022春•杭锦后旗期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．无法确定【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD 中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD＝BD＝8﹣x，在△ACD中，∠C＝90°，∴AD2＝AC2+CD2，∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x＝，即CD的长为cm．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．4．（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E 处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．【解答】解：由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，又∵CE＝DC＝4cm，∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3cm．故选：D．【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．5．（2021秋•裕华区校级期末）如图是一张直角三角形的纸片．两直角边AC＝6cm，BC＝8cm将△ABC折叠，使点B与点A DE，则AD的长为（）A．cm B．10cm C．cm D．5cm【分析】首先设AD＝xcm，由折叠的性质得：BD＝AD＝xcm，又由BC＝8cm，可得CD＝8﹣x（cm），然后在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：设AD＝xcm，由折叠的性质得：BD＝AD＝xcm，∵在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣x（cm），在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AD＝cm．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质与勾股定理的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．6．（2021春•漳平市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2【分析】首先根据翻折的性质得到ED＝BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt △ABE中利用勾股定理求出AE AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．【解答】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED＝BE，设AE＝xcm，则ED＝BE＝（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴32+x2＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴△ABE的面积为：3×4×＝6（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．7．（2020•饶平县校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．【解答】解：由折叠可得DF＝EF，设AF＝x，则EF＝8﹣x，∵AF2+AE2＝EF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故选：A．【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．8．（2021春•环翠区校级期中）如图：长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为DE长为（）A．4.8cm B．5cm C．5.8cm D．6cm【分析】在折叠的过程中，BE＝DE，从而设BE＝DE＝x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．解得：x＝5.8．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．9．（2021秋•开福区校级期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（）A．4B．3C．4.5D．5【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【解答】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．【点评】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．10．（2021春•宁明县期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】由折叠的性质可证AF＝FC．在Rt△ADF中，由勾股定理求AD的长．【解答】解：由折叠的性质知，AE＝AB＝CD，CE＝BC＝AD，∴△ADC≌△CEA，∠EAC＝∠DCA∴AF＝CF＝cm，DF＝CD﹣CF＝在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD＝6cm．故选：C．【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②全等三角形的判定和性质，勾股定理求解．11．（2021秋•东平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【分析】设沿直线AM将△ABM B正好落在x轴上的B'点，则有AB＝AB'，而AB的长度根据已知可以求出，所以B'点的坐标由此求出；又由于折叠得到B'M＝BM，在直角△B'MO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标．【解答】解：∵将△ABM沿AM折叠，∴AB＝AB'，又A（﹣3，0），B（0，4），∴AB＝5＝AB'，∴点B'的坐标为：（2，0），设M点坐标为（0，b），则B'M＝BM＝4﹣b，∵B'M2＝B'O2+OM2，∴（4﹣b）2＝22+b2，∴b＝，∴M（0，），故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，也考查了翻折变换，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．二．填空题（共6小题）12．（2022秋•江北区期末）如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为．【分析】解法一：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质得到CE＝DE，AC＝AD，∠C＝∠EDA＝90°，则BD＝AB﹣AD，∠EDB＝90°，设CE＝DE＝x，在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程，求解即可．解法二：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质可推出∠EDB＝90°，以此可得△BDE∽△BCA，设CE＝DE＝x，根据相似三角形的性质即可解答．【解答】解：解法一：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝4，根据折叠的性质可知CE＝DE，AC＝AD＝3，∠C＝∠EDA＝90°，∴∠EDB＝90°，BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：，∴CE＝．故答案为：．解法二：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝4，根据折叠的性质可知CE＝DE，∠C＝∠EDA＝90°，∴∠EDB＝∠C＝90°，∵∠B为公共角，∴△BDE∽△BCA，∴，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，∴，∴x＝，∴CE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案13．（2022中，AB＝5，BC＝12，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，当△A'DE是直角三角形时，DE的长为．【分析】当△A'DE是直角三角形时，可分两种情况进行讨论：①当∠EA′D＝90°时，此时A′在BD上，由勾股定理可得BD＝13，根据折叠的性质可得AE＝A′E，AB＝A′B＝5，A′D＝8，设AE＝A′E＝x，则DE＝12﹣x，最后根据勾股定理即可解答；②当∠A′ED＝90°时，根据折叠的性质可得∠AEB＝∠AEB，以此可推出△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE＝5，再根据DE＝AD﹣AE即可求解．【解答】解：①当∠EA′D＝90°时，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD＝12，AB＝5，∴BD＝，根据折叠的性质可得，AE＝A′E，AB＝A′B＝5，∴A′D＝BD﹣A′B＝8，设AE＝A′E＝x，则DE＝12﹣x，在Rt△A'DE中，根据勾股定理得AE2+A′D2＝DE2，∴x2+82＝（12﹣x）2，解得：，∴AE＝，；②当∠A′ED＝90°时，如图，∴∠AEA＝90°，根据折叠的性质可得，∠AEB＝∠AEB，∵∠AEB+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠AEB＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE＝5，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣5＝7；综上，DE＝或7．故答案为：或7．【点评】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、折叠的性质，据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题关键．14．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是．【分析】连接BE，根据线段垂直平分线的性质得出BE＝AE，BD＝AD＝5，根据勾股定理求出BC，设CE＝x，再根据勾股定理得出方程62+（8﹣x）2＝x2，求出x，即可得到CE的长．【解答】解：如图所示，连接BE，∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，BD＝5，∴BE＝AE，AD＝BD＝5，∴AB＝5+5＝10，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝6，设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：BC2+CE2＝BE2，∴62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴CE＝，故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质和勾股定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．15．（2022秋•南关区校级期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为．【分析】将容器的侧面展开，建立点A关于CE的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：将圆柱的侧面展开，EC为上底面圆周长的一半，作点A关于CE的对称点A′，连接A′B交EC于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF，即AF+BF＝A′F+BF＝A′B＝25m，延长BC，过A′作A′D⊥BC于点D，∵AE＝A′E＝DC＝4cm，∴BD＝20cm，Rt△A′BD中，由勾股定理可得A′D＝＝＝15cm，则该圆柱底面周长为30cm．故答案为：30cm．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题关键．16．（2022秋•鼓楼区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD 上的点F处，其中E在AD上，连接AF，则AE＝．【分析】首先利用勾股定理求出FC的长，设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，在Rt△BCF中，BF＝AB＝5，BC＝AD＝3，∴CF＝＝4，∴DF＝CD﹣CF＝1，设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，∵EF2＝DE2+DF2，∴x2＝（3﹣x）2+12，∴x＝，∴AE＝．故答案为：．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题．17．（2022秋•下城区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E，交斜边于点F，则DE的长为．【分析】根据题意设DE＝x求出CE的长，然后在Rt△ECD中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝4，由折叠的性质得：DE＝AE，设DE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2，即x2＝（6﹣x）2+16，解得x＝，即DE＝．②如图1所示：∵D是BC的中点，∴CD＝AC＝3，由折叠的性质得：DE＝BE，设DE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2，即x2＝（8﹣x）2+9，解得x＝，即DE＝；故答案为：或．【点评】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．三．解答题（共4小题）18．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿DE 所在直线对折，点A落在BC边上的点A′处，且DA′⊥BC．（1）求∠AED的度数．（2）若AD＝，求线段AB和CE的值．【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠的性质得∠A＝∠DA′E＝60°，∠AED＝∠A′ED，进而求得∠EA′C＝30°，由三角形的外角性质得∠AEA′＝∠EA′C+∠C＝2∠AED，以此即可求解；（2）根据折叠的性质可得AD＝A′D，根据含30度角的直角三角形性质可A′B＝x，则BD＝2x，根据勾股定理列出方程解得x＝1，则AB＝BC＝2，由（1）可知∠EA′C＝30°，最后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠可知，∠A＝∠DA′E＝60°，∠AED＝∠A′ED，∵∠DA′⊥BC，∴∠DA′C＝90°，∴∠EA′C＝∠DA′C﹣∠DA′E＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEA′＝∠EA′C+∠C＝2∠AED＝30°+60°＝90°，∴∠AED＝90°÷2＝45°；（2）根据折叠可知，AD＝A′D，∵AD＝，∴A′D＝AD＝，由（1）可知，∠B＝60°，∠DA′B＝90°，∴∠A′DB＝30°，∴BD＝2A′B，设A′B＝x，则BD＝2x，在Rt△A′BD中，由勾股定理得A′B2+A′D2＝BD2，即，解得：x＝1或﹣1（舍去），∴A′B＝1，BD＝2，∴AB＝AD+BD＝2，∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝2，∴A′C＝BC﹣A′B＝，由（1）知，∠EA′C＝30°，∴∠A′EC＝180°﹣∠EA′C﹣∠C＝90°，在Rt△A′EC中，∠EA′C＝30°，∴CE＝＝．综上，线段AB＝2，CE＝．【点评】本题主要考查折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理，熟记30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．19．（2022秋•和平区期末）在△ABC中，AB＝25，，AP垂直直线BC于点P．（1）当BC＝25时，求AP的长；（2）当AP＝20时，①求BC的长；②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ，连接BQ，请直接写出△BCQ的周长为．【分析】（1）设PC＝x，则BP＝25﹣x，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）①分两种情况：Ⅰ．当△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求出CP、BP，则BC＝CP+BP；Ⅱ．当△ABC为钝角三角形，根据勾股定理求出PC、PB，则BC＝PB﹣PC；②分两种情况：Ⅰ．当△ABC为锐角三角形，连接PQ，交AC于点E，过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D，根据折叠的性质可得CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，根据等面积法求出PE＝，则PQ ＝2PE＝，设CD＝a，则DP＝10+a，根据勾股定理可得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣a2，QD2＝PQ2﹣DP2＝320﹣（10+a）2，以此列出方程，求解得CD＝6，QD＝8，则BD＝CD+BC＝31，根据勾股定理求出BQ，以此即可求解；Ⅱ．当△ABC为锐角三角形，连接PQ，交AC于点E，过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D，根据折叠的性质可得CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，根据等面积法求出PE＝，则PQ＝2PE＝，设BD＝m，则CD＝5+m，PD＝15+m，根据勾股定理可得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣（5+m）2，QD2＝PQ2﹣PD2＝320﹣（15+m）2，以此列出方程，求解得BD＝1，QD＝8，根据勾股定理求出BQ，以此即可求解．【解答】解：（1）如图，设PC＝x，则BP＝25﹣x，∵AP⊥BC，∴∠APC＝∠APB＝90°，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP2AC2﹣PC2＝500﹣x2在Rt△ABP中，由勾股定理得AP2＝AB2﹣BP2＝625﹣（25﹣x）2，∴500﹣x2＝625﹣（25﹣x）2，解得：x＝10，∴AP＝＝20；（2）①Ⅰ．当△ABC为锐角三角形，如图，∵AP⊥BC，∴∠APC＝∠APB＝90°，在Rt△ACP中，AC＝，由勾股定理得＝10，在Rt△ABP中，AB＝25，由勾股定理得BP＝＝15，∴BC＝CP+BP＝25；Ⅱ．当△ABC为钝角三角形，如图，∵AP⊥BC，∴∠APB＝90°，在Rt△APC中，由勾股定理得PC＝＝10，在Rt△APB中，由勾股定理得PB＝＝15，∴BC＝PB﹣PC＝5；综上，BC的长为25或5；②Ⅰ．当△ABC为锐角三角形，连接PQ，交AC于点E，过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D，如图，由（2）①Ⅰ知，CP＝10，PB＝15，BC＝25，由折叠的性质可知，CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，∵，即，∴PE＝，∴PQ＝2PE＝，设CD＝a，则DP＝10+a，在Rt△QDC中，由勾股定理得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣a2，在Rt△QDP中，由勾股定理得QD2＝PQ2﹣DP2＝320﹣（10+a）2，∴100﹣a2＝320﹣（10+a）2，解得：a＝6，∴CD＝6，QD＝＝8，∴BD＝CD+BC＝31，在Rt△QDB中，由勾股定理得＝，∴△BCQ的周长为CQ+PC+PB+BQ＝10+10+15+＝35+；Ⅱ．当△ABC为锐角三角形，连接PQ，交AC于点E，过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D，如图，由（2）①Ⅱ知，CP＝10，PB＝15＝5，由折叠的性质可知，CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，∵，即，∴PE＝，∴PQ＝2PE＝，设BD＝m，则CD＝5+m，PD＝15+m，在Rt△QDC中，由勾股定理可得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣（5+m）2，在Rt△QDP中，由勾股定理得QD2＝PQ2﹣PD2＝320﹣（15+m）2，∴100﹣（5+m）2＝320﹣（15+m）2，解得：m＝1，在Rt△QDB中，由勾股定理得BQ＝，∴△BCQ的周长为BC+BQ+CQ＝5++10＝15+．综上，△BCQ的周长为35+或15+．故答案为：35+或15+．【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质、等面积法求三角形的高，解题关键在于根据题意正确画出图形，利用数形结合思想解决问题．20．（2022秋•武侯区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD ＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．（1）若P为BC上一点．①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长；②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；（2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可；②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP＝CP，BP＝PE，从而BP＝PC；（2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB＝AB＝10；当∠ECP＝90°时，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去．【解答】解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，∵AE＝AB＝10，AD＝6，∠D＝90°，∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2；②BC＝2BP，理由如下：∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，∵CE∥AP，∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB，∴∠PEC＝∠ECP，∴EP＝CP，∴BP＝BC，∴BC＝2BP；（2）∵△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且＝BP，∴四边形ABPE是正方形，∴PB＝AB＝10；当∠ECP＝90°时，则∠ECP＝∠B＝90°，∴EC∥AB，∵DC∥AB，∴点E、D、C三点共线，由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8，∴EC＝18，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2，解得x＝30，∴PB＝30；当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，综上：BP＝10或30．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．21．（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知，AD＝AF＝10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC ＝12厘米可得出FC的长度；（2）将CE的长设为x，得出DE＝10﹣x＝EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF AB2+BF2＝AF2∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化简，得16x＝48，∴x＝3，故EC的长为3cm．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．。

勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，又被称为“经典的三角形定理”。

它的核心概念是当两条边的平方相加等于第三条边的平方，那么这个三角形便是直角三角形，这时这条等式就可以写成a2 + b2 = c2。

勾股定理也可以用来解决各种折叠问题。

折叠问题是一种要求将若干张尺寸不同的纸条组合成特定形状的搭建问题。

例如有一张尺寸为的纸条，要求将其折叠成三角形的形状，那么就可以使用勾股定理来解决这样的折叠问题。

已知三角形的两条边a和b，要求折叠纸条拼凑成直角三角形，可以使用勾股定理来解决。

首先，将纸条折叠成两个小三角形，其中一个三角形的边长为a，另一个三角形的边长为b，根据勾股定理，就可以求出两小三角形的高度，即c，将两个小三角形拼接成一个直角三角形，假设将其拼接的角度为γ，则γ的大小可以根据勾股定理求出，即γ = arccos（）。

可以看出，使用勾股定理可以很方便地解决折叠问题，有助于提高工作效率。

然而，由于折叠问题的复杂性，有些折叠问题可能是无法通过勾股定理来解决的。

比如，当纸条尺寸比较大时，很难将其精确地折叠成要求的形状，或者特定形状需要纸条折叠多次，在折叠过程中精确度可能会有所损失，从而使用勾股定理解决折叠问题变得更加困难。

另外，在折叠问题中，也有一些特殊情况需要考虑。

比如，在折叠一个尺寸为的纸条时，有可能出现三角形不能顺利折叠的情况，或者当纸条数量有限时，也有可能出现无法精确折叠的情况。

此时，就需要考虑其他对解决折叠问题的办法。

总之，在折叠问题中，勾股定理可以作为一种参考，有助于计算纸条折叠后形状的精确度、大小等，但是当出现特殊情况时，就需要采取其他更有效的方法来解决折叠问题了。

勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题勾股定理是一个经典的几何定理，它指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于其他两条边的平方和。

它是古希腊数学家苏格拉底提出的，也是至今最有名的几何定理之一。

在现代数学教育中，勾股定理得到了广泛的应用。

它可以用来计算直角三角形的边长，也可以用来解决各种定理和问题。

在过去的几十年中，勾股定理也被用来解决各种类型的学科和活动，如建筑、航海、发动机设计等。

然而，有一个关于勾股定理的问题，仍然困扰着数学爱好者和老师。

这就是“折叠”问题，它指的是，一个直角三角形可以折叠成两个相邻的矩形，而不改变任何一条边的长度。

这个问题似乎很有趣，但是很少有人能给出有效的回答。

据说，在古希腊时期，勾股定理的发现就与折叠问题有关。

但是，直到19世纪，这个问题才得到了正式的解答。

此后，有关折叠问题的研究进入了热潮。

折叠问题可以通过解方程来求解，其中一个重要的方程就是勾股定理。

具体来说，如果一个直角三角形的两个短边长度分别是a和b，那么它的斜边长度就是c，且有 c2 = a2 + b2。

这就是勾股定理的基础内容。

此外，折叠问题还可以用等比数列来解决。

等比数列的定义是，若不等式 an+1 = ran (n≥0)立，则称 a0, a1, a2, ...数列称为等比数列。

这里， r 为公比，an 为等比数列中的元素，n 为正整数。

如果用等比数列的思想来解决折叠问题，就可以得到折叠后斜边长度 c表达式：c = a0 + (r-1)Σ (a1, a2, ... , an)。

这是一个有趣的结果，也验证了苏格拉底在古希腊时期对勾股定理的猜想。

以上就是关于勾股定理折叠问题的研究内容。

通过苏格拉底的几何定理，以及等比数列的定义，我们可以看出，勾股定理在折叠问题中起着重要的作用，可以用来求解折叠后斜边长度的表达式。

总之，勾股定理是一个经典的几何定理，它对于许多学科和活动都有着广泛的应用。

同时，它也为我们提供了一个有趣的折叠问题，可以通过正确的数学方法解决这一问题，以便给出有效的解答。

专题：勾股定理折叠问题 PPT课件

∴Rt△EAD和Rt△EB′D ∴B′D=AD=6．分析：当∠BFE=∠EFD，点B′在FD上时，根据三角形的三边关系，此时B′D的值最小，易证△AED≌△B′ED， B′D=AD=6．点评：本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与
性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时， B′D的值最小，是解决问题的关键．
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x， OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D，则△B′CD≌△BCD，由题设OB′=x，OC=y，则B′C=BC=OB-OC=4-y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2，
3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动. 活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处， FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm；乙：△FDM的周长为16 cm；丙：EG=BF. 你的任务：
5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。

专题：勾股定理折叠问题 PPT课件

的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC 20cm宽，AB 16cm
的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落
在BC边上的F处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：
（1）找出图中∠FEC的余角；
A
D
（2）计算EC的长．
E
B
FC
３．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、
二、矩形的折叠
１．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG。
D
C
• A´
AG
B
2.为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的
庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都
在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
5、动ห้องสมุดไป่ตู้操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
①求DF的长；
②求重叠部分△AEF的面积；
③求折痕EF的长。
Ｄ´
④着色部分的面积为多少？Ａ
ＦＤ
ＢＥ
Ｃ

勾股定理应用之——矩形折叠问题

勾股定理应用之—
矩形折叠问题
蔡雨株
前面我们学习了勾股定理，它是用来解决直角三角形中边长的基本工具，今天，我们一起来研究、探讨平时喜爱的矩形折纸中又和我们的勾股定理有哪些联系呢？又能帮助我们解决哪些数学问题呢？
请同学们将矩形纸片只折叠一次，即只有一条折痕；
谁折叠后的图形更美？你为什么觉得它很美呢？
2.勾股定理
在直角三角形中运用勾股定理建立方程.
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
（1）求DF的长；
（2）求重叠部分△AEF的面积；
（3）求折痕EF的长。x
Ｄ
4
Ｂ
4
Ｃ
Ｅ
8
如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，将△ABE 沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．
学案上的相关题目
（可用草稿纸演算，并记录结果）
将矩形纸片 ABCD,AB=,BC=8, 沿对角线 BD 折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。
（1）证明：BF=DF；（2）求AF、BF的长；
（3）求△FBD的周长和面积。
6
x 6 8-x 8 8-x 6
所有矩形纸片折叠问题抓住两条主线：
1.全等三角形一般在折痕周围寻找全等三角形作用:转移等线段和角度;集中条件. （这类题用的最多的就是转移和集中等线段条件）
沿矩形对角线折叠后的图形中，（1）相等的角有哪些？ (提示：与∠A=90°相等的角；与∠CBD相等的角；与∠AFB相等的角；与∠ABF相等的角.) （2）相等的线段有哪些？（3）全等的三角形有哪些？
（4）若给出矩形的长BC=8，宽AB=6，图中的未知的线段、已知的线段又有哪些？

勾股定理和折叠课件

04
折叠与勾股定理
折叠图形与勾股定理的关系
01
02
03
勾股定理
直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
折叠图形
通过折叠纸片或其他平面材料形成的立体图形。
关系
折叠图形在展开前后的面积和周长等几何量满足勾股定理。
通过折叠证明勾股定理
方法：利用折叠前后的图形关系，通过几何推导证明勾
股定理。
勾股定理和折叠课件
目录
• 勾股定理的起源和历史 • 勾股定理的证明方法 • 勾股定理的应用 • 折叠与勾股定理 • 勾股定理的扩展与深化
01
勾股定理的起源和历史
古代文明中的勾股定理
勾股定理在古代文明中早有应用，古埃及人利用直角三角形来计算方形的面积，古巴比伦人在天文学和建筑中也应用了勾股定理。
03
勾股定理的应用
日常生活中的应用
折叠纸盒
在日常生活中，我们经常需要折叠纸盒来包装物品。利用勾股定理，可以计算出纸盒的展开尺寸，确保其能够正确地包裹物品并保持稳定性。
测量距离
勾股定理在测量距离方面也有应用。例如，当需要测量一个障碍物或建筑物的高度时，可以通过勾股定理计算出所需的数据，从而得到准确的结果。
毕达哥拉斯定理，也称为勾股定理，是几何学中一个基本的定理，它表明直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
毕达哥拉斯通过观察和思考，发现这个定理可以用数学方法证明。他利用了三角形的面积与边长的关系，通过一系列的逻辑推理，最终得出了勾股定理的结论。
欧几里得证明法
欧几里得是古希腊著名的数学家，他提出了欧几里得证明法，这个证明方法基于几何学的公理和定义，通过严密的逻辑推理，证明了勾股定理。

第一章勾股定理的应用+折叠问题课件+-2023-2024学年北师大版数学+八年级上册+

牛刀小试
1.如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边上的点F处．已知BC＝10cm，AB＝8cm，（1）EC的长；（2）AE的长．
2.已知，如图，长方形ABCD中，
AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.
3.如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12， BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
方法总结
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
针对训练
1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为 1.75cm ．
3.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求
△ABE的面积.
解：∵长方形折叠，使点B与点D重合， ∴ED=BE. 设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中， AB2+AE2=BE2， ∴32+x2=(9-x)2，解∴△得Ax=B4E.的面积为3×4×12 =6(cm2).
1.如图所示，一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E 处，试求CD的长．
北师大版八年级上数学第一章勾股定理
中考链接之折叠问题
1.如图所示，一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E 处，试求CD的长．

专题：勾股定理折叠问题56页PPT

稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。 ——塞 ·约翰逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
56
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子

初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理勾股定理之折叠问题

勾股定理之折叠问题一、教材分析本节教材是人教版数学八年级下册第18章内容，是在掌握勾股定理及逆定理的基础上对勾股定理的应用之一。

教材注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力。

通过分析，使学生获得较为直观的印象,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。

折叠问题在中考中的应用也日趋突出。

二、学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础。

从心理和生理特征都比较喜欢较为直观且能吸引他们的内容。

在本节内容之前，学生已经能准确的理解勾股定理及逆定理的内容，同时也具备了建立数学模型的能力。

但学生探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，特别是用方程的思想解决数学问题还有困难，自主学习能力也有待于加强。

三、教学目的1、学生更深入地理解勾股定理2、学生能够正确地利用勾股定理建立方程求解线段长度；四、教学重难点重点：探究折叠前后图形的变化及元素的对应关系。

难点：在现实情境中捕捉折叠三角形和四边形，构造直角三角形，在实际问题中学会运用勾股定理转化为方程的思想来解决问题五、教学过程1、回顾旧知勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方之和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形2、三角形中的折叠问题例1：如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AB=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？例2：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=3cm,BC=4cm,现将直角边AC沿∠CAB 的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？带领学生归纳总结基本解题思路，再过手练习变式练习：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长投影展示学生做题步骤，请学生描述解题思路3、矩形中的折叠问题例3：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求EC和AE的长度例4:折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。