湖南省茶陵县三中2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题理2018071101108

茶陵三中2018年上学期高二年级理科数学期末考试试卷总分：150分. 考试时量：120分钟.一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 1.已知全集}10,8,6,4,2,0{=U ，集合}6,4,2{=A ，}1{=B ，则B A C U )(=( ) A. }10,8,1,0{ B. }6,4,2,1{ C. }10,8,0{ D. φ2.若1tan()42πθ+=，则tan θ＝( ) A.12 B. 2 C. 13- D. 3 3. 由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有( )个.A 72B 36C 124D 192 4.六个人站成一排，其中甲不站最左，乙不站最右的排法有( ) A 720 B 480 C 504 D 3605. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．30种6. 设,m n 是两条不同的直线,α表示平面，下列说法正确的是( )A.若//,m n αα⊂，则//m n ；B.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥；C.若,m m n α⊥⊥，则//n α；D. 若//,m m n α⊥，则n α⊥； 7.执行如图的程序框图，若输出的n ＝5， 则输入整数p 的最大值是( ) A . 15 B. 14 C. 7 D. 68. 已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 019)＋f (2 018)的值为( )A ． 1B ． 2C ．－2D ．－1 9.要得到2sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数2sin y x =的图象( )A ．向右平移6π，横坐标缩短为原来的21 B ．向右平移6π，横坐标伸长为原来的2倍C ．向右平移3π，横坐标缩短为原来的21 D ．向右平移3π，横坐标伸长为原来的2倍10. 如图，一个空间几何体的直观图的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边等1，那么这个几何体的体积为 ( )A.1B.21 C.31 D.61 11. 已知点P是圆22:(1C x y +-=上的一个动点,点Q 是直线:0l x y -=上的一个动点,O 为坐标原点,则向量OP 在向量OQ上的射影的数量的最大值是( )A. 22+B. 31 12. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为 ( ) A. 9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4-+∞ 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13. 已知若（k 2),3,(),1,2(+==∥（-2 则k 的值是________. 14. 某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要,男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有_____15. 已知y x ,满足约束条件221x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，且2x y a +≥恒成立，则a 的取值范围为16.已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足1|23|12()11()222x x f x f x x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则函数2()3y xf x =-在区间[1,2018]上的零点的个数为_________.三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C2sin 0c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若4c =，求证：8a b +≤．18.（本小题满分12分）十二届全国人大常委会第十八次会议于2015年12月27日通过关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦开始实施，沙坪坝区妇联为了解该去市民不同年龄层对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了M 名二胎妈妈对其年龄进行调查，得到如下所示的频率分布表和频率分布直方图:（1）求表中p 的值和频率分布直方图中a 的值；（2）拟用分层抽样的方法从年龄在[)20,25和[)35,40的二胎妈妈中共抽取6人召开一个座谈会，现从这6人中选2人，求这两人在不同年龄组的概率.19.（本小题满分12分）如图，在体积为1的三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，11AC AA ==，P 为线段AB 上的动点. (1)求证：11CA C P ⊥；(2)当AP 为何值时，二面角111C PB A --的大小为6π？20.（本小题满分12分）已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于,M N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若 OM ·ON ＝12，其中O 为坐标原点，求||MN .21.（本小题满分12分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．22.（本小题满分12分）已知数列{a n } 满足)2(5221≥∈+-=-n N n n a a n n 且，a 1=1.(1)若12+-=n a b n n ，求证：数列)}({*N n b n ∈是常数数列，并求}{n a 的通项； (2)若S n 是数列}{n a 的前n 项和，又n n n S c )1(-=，且}{n c 的前n 项和2tn T n >在*N n ∈时恒成立，求实数t 的取值范围。

茶陵三中2018年上期高二年级理科数学期末考试试卷总分：150分. 考试时量：120分钟.一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 1.已知全集}10,8,6,4,2,0{=U ，集合}6,4,2{=A ，}1{=B ，则B A C U )(=( A ) A. }10,8,1,0{ B. }6,4,2,1{ C. }10,8,0{ D. φ2.若1tan()42πθ+=，则tan θ＝(C ) A.12 B. 2 C. 13- D. 3 3. 由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有( D ) 个.A 72B 36C 124D 192 4.六个人站成一排，其中甲不站最左，乙不站最右的排法有（ C ） A 720 B 480 C 504 D 3605. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ C ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．30种6. 设,m n 是两条不同的直线,α表示平面，下列说法正确的是( B ) A.若//,m n αα⊂，则//m n ； B.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥； C.若,m m n α⊥⊥，则//n α； D. 若//,m m n α⊥，则n α⊥；7.执行如图的程序框图，若输出的n ＝5， 则输入整数p 的最大值是（ A ） A . 15 B. 14 C. 7 D. 68. 已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 019)＋f (2 018)的值为( D )A ． 1B ． 2C ．－2D ．－1 9.要得到2sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数2sin y x =的图象（ C ）A ．向右平移6π，横坐标缩短为原来的21 B ．向右平移6π，横坐标伸长为原来的2倍<12n S S -=+C ．向右平移3π，横坐标缩短为原来的21 D ．向右平移3π，横坐标伸长为原来的2倍10. 如图，一个空间几何体的直观图的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边等1，那么这个几何体的体积为 （ C ）A.1B.21 C.31 D.61 11. 已知点P 是圆22:(1C x y +-=上的一个动点,点Q 是直线:0l x y -=上的一个动点,O 为坐标原点,则向量OP 在向量OQ上的射影的数量的最大值是( B )A. 22+B. 31 12. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为 ( A )A. 9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4-+∞ 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13. 已知若（k 2),3,(),1,2(+==∥（-2 则k 的值是___6_______. 14. 某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要,男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有___49_____15. 已知y x ,满足约束条件221x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，且2x y a +≥恒成立，则a 的取值范围为 1a ≤-16.已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足1|23|12()11()222x x f x f x x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则函数2()3y xf x =-在区间[1,2018]上的零点的个数为____11______.三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin 0c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若4c =，求证：8a b +≤．(1)解析：2sin 0,c A -=sin sin ,c A C a ∴==--------(2分) ,ABC ∆ 是锐角三角形0,2C π∴<<,3C π∴=---------------(4分)(2)证明: 4,,3c C π==222cos16,3a b ab π∴+-=2()316,a b ab ∴+-=---------------(6分)22()1633()2a b a b ab +∴+-=≤⨯-----------------------------------(8分) 2()64,a b ∴+≤又0,a b +> -----------------------------------------(10分)8,.a b ∴+≤18.（本小题满分12分）十二届全国人大常委会第十八次会议于2015年12月27日通过关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦开始实施，沙坪坝区妇联为了解该去市民不同年龄层对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了M 名二胎妈妈对其年龄进行调查，得到如下所示的频率分布表和频率分布直方图:（1）求表中p 的值和频率分布直方图中a 的值；（2）拟用分层抽样的方法从年龄在[)20,25和[)35,40的二胎妈妈中共抽取6人召开一个座谈会，现从这6人中选2人，求这两人在不同年龄组的概率.---------------(12分)19.（本小题满分12分）如图，在体积为1的三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，11AC AA ==，P 为线段AB 上的动点. (1)求证：11CA C P ⊥；(2)当AP 为何值时，二面角111C PB A --的大小为6π？.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.----------------------(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)，∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0，∴CA 1⊥C 1P .-----------------------------------------------------------------------(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，-------------------------------------------------(9分)而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)，依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32， ∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.-----------------(12分) 20.（本小题满分12分）已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若 OM ·ON ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. --------------(2分) 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73.-------------------(4分) 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.----------------------(5分)(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. ---------------------------(8分) 所以x 1＋x 2＝4 1＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM ·ON ＝x 1x 2＋y 1y 2-------------------------------------------(9分)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1-------------------------------------(10分) ＝4k 1＋k1＋k2＋8.由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，k ∈显然----(11分) 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C (2,3)在直线l 上，所以|MN |＝2. ------------------(12分)21.（本小题满分12分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.---------------------------------------------------------------------------(3分)(2)f (x )为偶函数． 证明：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.---------------------------------------------------------------(5分)令x 1＝－1，x 2＝x ， 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．-----------------------------------------------------------------(7分)(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，---------------------------------------(8分)由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．------------------------------------------------(10分)又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16， 解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．-------------------------------------------(12分) 22.（本小题满分12分）已知数列{a n } 满足)2(5221≥∈+-=-n N n n a a n n 且，a 1=1.(1)若12+-=n a b n n ，求证：数列)}({*N n b n ∈是常数数列，并求}{n a 的通项；- 11 - (2)若S n 是数列}{n a 的前n 项和，又n n n S c )1(-=，且}{n c 的前n 项和2tn T n >在*N n ∈时恒成立，求实数t 的取值范围。