「精品」全国版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词学案

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 全称量词和存在量词1．全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．考点2 含有一个量词的命题的否定[必会结论]1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定2．“p∨q p)∨(綈q)”．3．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p ，q 都是假命题．( ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p ，q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)ex 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x≤1 答案 B解析 全称命题的否定是特称命题，选B 项．3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B解析 特称命题的否定规律是“改变量词，否定结论”，特称命题的否定是全称命题，选B 项． 4．[2018·重庆模拟]已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )答案 D解析 依题意，命题p 是真命题．由x >2⇒x >1，x >1⇒/x >2，知“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则綈q 是真命题，p ∧(綈q )是真命题，故选D.5．[课本改编]命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5答案 C解析 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.板块二 典例探究·考向突破 考向含有逻辑联结词的命题的真假例 1 [2017·山东高考]已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )答案 B解析 ∵一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x 2－x ＋1>0恒成立， ∴p 为真命题，綈p 为假命题．∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，綈q 为真命题．根据真值表可知p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B. 触类旁通“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．【变式训练1】 在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p 是“甲试驾成功”，q 是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析 命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.考向全称命题、特称命题命题角度1 全称命题、特称命题的否定例 2 [2016·浙江高考]命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20 答案 D解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.命题角度2 全称命题、特称命题真假的判断 例 3 下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈R ，e x>0 B ．∀x ∈N ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1 D ．∃x 0∈N *，sin πx 02＝1答案 B解析 e x>0对∀x ∈R 恒成立，A 为真；当x ＝0时，x 2>0不成立，B 为假；存在0<x 0<e ，使ln x 0<1，C 为真；当x 0＝1时，有sinπ2＝1成立，D 为真．选B 项． 触类旁通全(特)称命题真假的判断方法(1)全称命题真假的判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立． ②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．(2)特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．考向利用复合命题的真假求参数范围例 4 已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ， 知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．本例条件不变，若p ∧q 为真，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 由p ∧q 为真，知p ，q 都为真， ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 触类旁通根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．【变式训练2】 命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.核心规律1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p ∨q →见真即真，p ∧q →见假即假，p 与綈p →真假相反．3.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．满分策略1.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2.命题的否定与否命题的区别“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列2——利用逻辑推理解决实际问题[2017·全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解题视点 解决此题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑分析去判断真假． 解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.答案 D答题启示 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题． 跟踪训练a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 不是年龄最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a ，b ，c 的年龄由小到大依次是________．答案 c ，a ，b解析 显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看． 由命题A 可知，当b 不是最大时，则a 是最小，所以c 最大，即c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“若a 的年龄不是最小，则b 的年龄是最大”为真，即b >a >c .同理，由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .故由A 与B 均为真可知b >a >c ，所以a ，b ，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小．板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·沈阳模拟]命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．2．[2017·湖北武汉调研]命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是( ) A ．∃x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) D ．∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) 答案 D解析 命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )，故选D. 3．[2018·安徽六校素质测试]设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q答案 B解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题．5．[2018·湖南模拟]已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 C解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.6．[2018·浙江模拟]命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0答案 D解析全称命题的否定是特称命题．选D项．7．下列说法正确的是( )A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”D．若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题答案 B解析命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A错误；ab≠0等价于a≠0且b≠0，所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件，B正确；命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，C错误；若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，D错误．综上所述，故选B.8．已知p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析∵p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.9．[2018·河南模拟]若命题“∃x0∈R，使得x20＋ax0＋a＋3<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．答案－2≤a≤6解析由命题“∃x0∈R，使得x20＋ax0＋a＋3<0”为假命题，得命题“∀x∈R，都有x2＋ax＋a ＋3≥0”为真命题，则Δ＝a2－4(a＋3)≤0，解得－2≤a≤6.10．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案一解析由题可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．[B 级 知能提升]1．[2018·青岛模拟]下列命题中，是真命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件 答案 D解析 对于A ，对任意x ∈R ，e x>0，所以A 为假命题；对于B ，当x ＝2时，有2x＝x 2，所以B 为假命题；对于C ，a b＝－1的充要条件为a ＋b ＝0且b ≠0，所以C 为假命题；对于D ，当a >1，b >1时，显然有ab >1，充分性成立，当a ＝4，b ＝12时，满足ab >1，但此时a >1，b <1，必要性不成立，所以“a >1，b >1”是“ab >1”的充分不必要条件，所以D 为真命题．故选D.2．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题答案 C解析 p ：∵x >0，∴x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴p 为真命题． q ：当x >0时，2x >1，∴q 为假命题．∴p ∧(綈q )是真命题．故选C.3．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.4．[2018·桂林模拟]给定两个命题：p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，q ：函数y ＝3x－a 在x ∈[0,2]上有零点，如果(綈p )∧q 为假命题，綈q 为假命题，求a 的取值范围．解 若p 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，即0≤a <4，故当p 为真命题时，0≤a <4.若q 为真命题时，方程3x－a ＝0在x ∈[0,2]上有根． ∵当x ∈[0,2]时，有1≤3x≤9，∴1≤a ≤9， 即当q 为真命题时，1≤a ≤9.∵(綈p )∧q 为假命题，∴綈p ，q 中至少有一个为假命题． 又∵綈q 为假命题，∴q 为真命题． ∴綈p 为假命题，p 为真命题．∴当p ，q 都为真时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，1≤a ≤9，即1≤a <4.故所求a 的取值范围是[1,4)．5．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2.解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，即m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。