概率论与数理统计模拟试题(七)

概率论与数理统计模拟试题（七）
一．是非题（7分，每题1分）
1．设0)(=A P ，则随机事件A 与任何随机事件B 一定相互独立. （） 2．连续随机变量X 的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 未必相互惟一确定. （ ） 3．若X 与Y 都是标准正态随机变量，则)
2,0(~N Y X +. （ ） 4. 设有分布律：,2/1}/2)
1({1
n
n
n n X
P =-=+),2,1( =n ，则X
的期望
存在. （ ） 5. 设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，则∑==n
i i
X n
X
1
1
依概率收敛于λ. （ ）
6. 区间估计的置信度α-1的提高会降低区间估计的精确度. （ ） 7．在假设检验中，显著性水平α是指α
-=1)(00为假拒绝H H P .（ ）
二. 选择题（15分，每题3分）
1. 设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X
的分
布函数，则=>)2004(
X P
.
)(A )2004(2F -； )(B 1)2004(2-F ； )(C )
2004(21F -； )(D )]2004(1[2F -.
2. 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线
2
x
y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .
)
(A ⎩⎨
⎧∈=他
其
,
0),(,
6),(G y x y x f ； )
(B ⎩⎨
⎧∈=他
其
,
0),(,
6/1),(G y x y x f ；
)
(C ⎩⎨
⎧∈=他
其
,
0),(,
2),(G y x y x f ； )
(D ⎩⎨
⎧∈=他
其
,
0),(,
2/1),(G y x y x f .
3. 设)0;5.0,0;5.0,0(~
),(N Y X ，Y X Z -=，则方差=)(Z D .
)
(A 0； )(B 1； )
(C π
/21+； )
(D π
/21-.
4. 设总体),1(~p B X ，12,,,n
X X X 是来自总体的样本，X 为样本
均值，则==)/(n k X
P .
)
(A p ； )
(B k
n k p p --)
1(；
)
(C k
n k
k
n p p C --)
1(； )
(D k
n k
k
n p
p C --)1(.
5. 设总体),(~2
σ
μN X
，μ
为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为
2
S
，对假设检验2
:,2:10
<≥σσH H ，水平为α的拒绝域是 .
)(A )
1(2
2/12
-≤-n αχχ； )
(B )
1(2
12
-≤-n αχχ
；
)(C )(2
2/12
n αχχ
-≤； )(D )
(2
12
n αχχ
-≤.
三. 填空题（15分，每题3分）
1．已知7.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=AB P , 则=⋃)(B A A P
.
2．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,
0[上的均匀分布，则
Y X Z -=的分布函数⎪⎩
⎪
⎨
⎧=_____
__________
__________)(z F Z .
3. 设6.0,4)(,1)(,2)(,1)(=====XY Y D X D Y E X E ρ，设2
)12(+-=Y X Z ，
则其数学期望=)(Z E . 4. 设随机变量),(~2
σ
μN X
，由切比雪夫不等式知，概率
)2(σμ≥-X P 的取值区间为 与 之间.
5. 设12,,,n X X X 是来自总体)(2n χ分布的样本，X 是样本均值，则
=
)(X E ，=)(X D .
四. 计算题 （57分，前三题每题9分，后三题每题10分） 1．
一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。

不放回抽取，每次任取一
个，共取两次，
(1 ) 求：第二次才取到新球的概率;
(2 ) 发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.
2． “新天地”某酒吧柜台前有吧凳7张，此时全空着，若有2陌生人进来随机入座，
（1） 求：这2人就座相隔凳子数的分布律和期望；
（2） 若服务员预言这2人之间至少相隔2张凳子，求：服务员预言为真的概率.
3．设随机变量X 在),0(a 上随机地取值，服从均匀分布，当观察到
x X =)0(a x <<时，Y
在区间),(a x 内任一子区间上取值的概率与子区
间的长度成正比， 求：
(1 ) ),(Y X 的联合密度函数),(y x f ； (2 ) Y 的密度函数()Y f y . 4． 学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p 进行调查。

决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n 个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X ，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p 之间的误差上下在10% 以内，问n 应取多大？（用中心极限定理） 5． 设总体θ
θx
e
x f X
-
=
21)(~0>θ,),(∞+-∞∈x （θ 未知）且12(,,,)
n X X X 为来自X 的一个样本，求：θ 的 (1 ) 矩估计量 ； (2 ) 极大似然估计量.
6． 自动包装机加工袋装食盐，每袋盐的净重),(~2
σμN X ，
（2
,μσ未知）
按规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 一天，为检查机器的工作情况，随机地抽取6袋，测得样本均值3.495=x 克，
样本均方差74
.13=s
克.
问：通过检验期望μ和方差2σ来判断包装机该天的工作是否正常(α=0.05)？ 五. 证明题 （6分）
设C B A ,,是不能同时发生但两两独立的随机事件，且
ρ
===)()()(C P B P A P ，
证明ρ可取的最大值为1/2.
附 正态分布、t 分布、2χ分布数值表 ]
99
.0)33.2(,
975.0)96.1(,
95.0)645.1(,
9.0)285.1(=Φ=Φ=Φ=Φ
0.0250.0250.050.05(5) 2.5706,(6) 2.4469,(5) 2.0150,(6) 1.9432
t t t t ====
2
2
2
2
0.050.050.0250.025(5)11.071,(6)12.592,(5)12.833,(6)14.449
χχχχ====
参考答案： 一. 是非题
是 是 非 非 非 是 非 . 二. 选择题
D A D C B . 三. 填空题
1. 8/7 ；
2. ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥<≤-<=1
,110,
20
,0)(2
z z z z z y F Y 3. 4.2 ； 4. 0与0.25 之间 ； 5. n ，2 . 四. 计算题
1．解： 设 i A ={第i 次取得新球}，i=1,2. (1) 设C={第二次才取得新球}，有12C
A A =
12121464()()()(|)10
9
15
P C P A A P A P A A ===
⨯
=
， [30/7]；
(2) 设事件 D = {发现其中之一是新球}，E = {其中之一是新球，另一个也是新球} 1
2
121651()()()(|)10
9
3
P E D P A A
P A P A A ===⨯
=
121212121121()()()()
1()(|)()(|)316446133
109109
15P D P A A P A A P A A P A P A A P A P A A =++=++=+⨯+⨯
=
()1/35(|)()
13/15
13
P ED P E D P D =
=
=.
解法二 设事件 =B {两个中至少有一个是新球}，=A {两个都是新球}，则B A ⊂，
所求条件概率
=
=)(B A P =
+=
=210
26
14
1
6
2
10
2
6/)(/)
()()
()(C
C C C C C B P A P B P AB P 13
/53
/115/83/1=+.
2. 解： 分布律
[ ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛15/115
/25
/115
/43
/14
3210 ] 期望 E (X) = 35/21 ≈ 1.67，
P {X ≥2} = 10/21 ≈ 0.476.
3.解 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=他
其，0)
,0(,1
)(~a x a
x f X X , ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=他
其，
0),(,
1
)(a x y x
a x y f X
Y ,
⎪⎩⎪
⎨⎧
<<<<-==他其，0,0,)(1)()(),(a y x a x x a a x y f x f y x f X Y X
⎪⎩
⎪⎨⎧∈-=他
其，0),0(,ln
1
)(a y y
a a a y f Y
4．解 ),(~p n B X , p n X E =)(, )1()(p p n X D -
=,
{|
|0.1}0.95X P p n
-<>.
有中心极限定理
||0.1{|
|0.1}{
}
(1)
(1)
2()10.95
10
(1)
X X np n P p P n
np p np p n
p p --<=<
--≈Φ->-
X 0 1
2
3
4
5
P 6/
21 5/21 4/21 3/21 4/21 5/
21
2
(
)0.975
10
(1)
19.6(1)
n
p p n p p ⇒Φ>-⇒
>-
记 )1()(p p p g -=
, 令 0
21)(=-='p p g , 2/1=p ,
4/1max =g
2
2
119.6
(1)19.696.04
4
p p -≤⨯
=
故 n > [ 96.4 ]+1 = 97 人 . 5. 解： ||
2
2
2
1()22x E X
x e
dx θ
θ
θ
-
+∞-∞
=
=⎰
，
矩估计量 2
1
1
2n
i
i X n
θ
==
∑
； 极大似然估计量 1
1||n
i
i X n
θ==
∑
.
6．解： 3.495=x
，74.13=s ，788
.1882
=s ,
（1）提出检验假设 01:500;
:500H H μ
μ=≠
()0.0250.05,
5 2.5706,
(, 2.5706)(2.5706,)t W α===-∞-⋃+∞
0|500|
|495.3500|
|| 2.44950.837913.74
x T W
s n
--=
=
⨯≈∈，[W
∈4098
.0] 接受0H .
（2）提出检验假设 2
2
1:100;
:100
H
H σ
σ
=>
,
071.11)5(,05.02
05.0==χα 拒绝域为),071.11(∞+=W ，
W
s
n ∉=⨯=
-=
439.9100
788
.1885)1(20
2
20
σ
χ
，接受0H , 机器工作正常.
五. 证明题（6分）
)()(C A C AB ⋃⊂⋃⇒
)()(C A P C AB P ⋃≤⋃⇒
⇒ )()()()()()(AC P C P A P ABC P C P AB P -+≤-+ ⇒ )()()()()()()(C P A P C P A P C P B P A P -+≤+ 即 2
2
2ρ
ρρρ-≤+ ⇒ 0
22
≥-ρ
ρ
解此不等式得 ]2/1,0[∈ρ，所以ρ可取的最大值为1/2. 标准正态分布的分布函数值
9803.0)06.2(,9750.0)96.1(,9015.0)29.1(,8508.0)04.1(=Φ=Φ=Φ=Φ 9990
.0)1.3(,9951.0)58.2(,9901.0)33.2(,9850.0)17.2(=Φ=Φ=Φ=Φ
t 分布数值表：78.2)4(025.0=t ，57.2)5(025.0=t ，13.2)4(05.0=t ，
02
.2)5(05.0=t 】。