【北师大版】九年级数学下解直角三角形单元检测卷

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北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系检测题含答案

第一章检测题时间：120分钟满分：120分一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．(2021·玉林)计算：cos 245°＋sin 245°＝( B )A.12B ．1 C.14D.322．把△ABC 三边的长度都缩小为原来的13，则锐角A 的正弦值( A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝23，则cos B 的值等于( C ) A.12B.22C.23D ．14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC的长为( B )A ．10tan50°B ．10sin40°C ．10sin50° D.10cos50°5．已知α为锐角，且sin (α－10°)＝22，则α等于( B )A ．45°B ．55°C ．60°D ．65°6．已知锐角α满足等式3cos 2α－8cos α＋4＝0，则cos α的值为( A ) A.23B ．2 C ．2或23D ．以上都不对7．(2021·淄博)若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的范围是( B )A ．30°＜α＜45°B ．45°＜α＜60°C ．60°＜α＜90°D ．30°＜α＜60°8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( C ) A.14B.13C.12D ．2错误!错误!,第9题图)错误!,第10题图)9．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为(C)(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34米B．38米C．45米D．50米10．转化思想是中学数学中一种常用且有效的解题方法，在本章中这种思想的作用更为突出．通过添加辅助线将非直角三角形问题转化为两个最熟悉的(锐角为30°和45°)直角三角形来解决．试用此方法解决下面问题：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB ＝6，则AC的长度是(D)A．3 B．33C．5 D．3 6二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．计算：tan245°－1＝__0__．12．某坡面的坡度为1∶3，则坡角是__30°__．13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB＝AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为__3.5__米．(结果精确到0.1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70),第13题图),第14题图),第15题图),第16题图) 14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则sinα＝__32__．15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中__没有__触礁的危险．(填“有”或“没有”) 16．如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为__82.0__米．(精确到0.1米；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)17．直线y＝kx－1与y轴相交所成的锐角为60°，则k＝__±3 3__．18．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则图中点P与液面的距离是__6_cm__．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)计算：(1)2sin30°－tan60°＋tan45°；(2)cos245°＋tan60°·cos30°－3tan230°＋4sin230°.解：(1)2－3(2)220．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．解：∠A＝30°，AB＝103，BC＝5321．(8分)已知锐角α使关于x 的一元二次方程x 2－2sin α·x ＋3sin α－34＝0有两个相等的实数根，求α的度数．解：由题意得b 2－4ac ＝(2sin α)2－4(3sin α－34)＝0，即4sin 2α－43sin α＋3＝0，解得sin α＝32.∵α为锐角，∴α＝60°22．(9分)如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)解：过A作AD⊥CB，垂足为点D.在Rt△ADC中，AD＝CDtan60°＝363＝123≈20.76.在Rt△ADB中，BD＝AD·tan37°≈20.76×0.75＝15.57≈15.6(米)，则气球应至少再上升15.6米23．(10分)为解决某地的干旱问题，在山洞C里发现了暗河(如图)．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A，B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A，B两村庄的村民取水，需从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A，B两村庄相距6千米．(1)求这条最近的简易公路CD的长；(精确到0.01千米)(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．(精确到个位；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过C作CD⊥AB，垂足是D.由题意知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝6 km.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin60°＝33≈5.20(km)(2)5.20×16000＝83200(元)24．(11分)(2021·淄博)如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG 表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长．(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73)解：如图，作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，则FH＝42 cm.在Rt△BFH中，BF＝FHsin60°≈420.87≈48.28，∴BC＝BF＋CF＝48.28＋42≈90.3(cm)．在Rt△BDQ中，BQ＝DQtan60°.在Rt△ADQ中，AQ＝DQtan80°.∵BQ＋AQ＝AB＝43，∴DQtan60°＋DQtan80°＝43，解得DQ≈56.999.在Rt△ADQ中，AD＝DQsin80°≈56.9990.98≈58.2(cm)，则两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2 cm，90.3 cm25．(12分)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP ∽△BPQ ∽△CQD (2)设AP ＝x ，∴由折叠知BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP ∽△BPQ 得AM BP ＝AP BQ ，∴BQ ＝x 2.由△AMP ∽△CQD 得AP CD ＝AM CQ，∴CQ ＝2，∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋1.∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ，∴2x x 2＋1＝35，变形得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)，∴AB ＝2x ＝6。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)单元测试卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝( )A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )A.35B.45C.34D.433．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝22，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为( )A．3 B.163C.203D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝( )A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为( )A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是( )A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是( )A ．10 m B.1033 m C ．53 m D ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝( )A.45B.35C.43D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是( )A ．3B ．5C ．52 D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝____________．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝____________．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为____________．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝____________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分) 15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；(2)24sin45°＋cos230°－12tan60°＋2sin60°.16．(本小题满分8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝6，求AB的长．18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝2，AD＝4，求sin∠AMB的值．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA=_____．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝_____．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为_____米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为_____．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝_____．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)28．(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°.(1)当DF∥AB时，连接EF，求tan∠DEF的值；(2)当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．参考答案北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(时间：120分钟　满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案A A B B B A B B C D1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝(A)A.32B.12C.3D.332．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A.35B.45C.34D.433．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝22，你认为最确切的判断是(B)A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为(B)A ．3 B.163 C.203 D.1655．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝(B)A ．2 B.12 C.22 D.326．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为(A)A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m7．下列不等式不成立的是(B)A ．sin20°＜sin40°＜sin70°B ．cos20°＜cos40°＜cos70°C ．tan20°＜tan40°＜tan70°D ．sin30°＜cos45°＜tan60°8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是(B)A ．10 mB.1033 mC ．53 mD ．5 m9．如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝(C)A.45 B.35 C.43 D.3410．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是(D)A ．3B ．5C ．52D.522二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23，则a ∶b ＝2∶5．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝33，∠B ＝60°．13．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为42．14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝2．三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分6分)计算：(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；解：原式＝22＋22－33×32＝2－12.(2)24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32＝14＋34－36＋3＝1＋536.16．(本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sinA ，cosA ，tanA.解：由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，∴sinA ＝BC AB ＝513，cosA ＝AC AB＝1213，tanA ＝BC AC ＝512.17．(本小题满分8分)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6，求AB 的长．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD.∵BC ＝6，∴CD ＝BD ＝3.∵∠A ＝30°，tan30°＝CD AD，∴AD ＝CD tan30°＝333＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24 m ，小明在点E(B ，E ，D 在一条直线上)处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8 m 到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6 m ，求教学楼AB 的高度．(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意，得MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6 m ，HF ＝GE ＝8 m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24 m.设AM ＝x m ，则CN ＝x m.在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7.∴AB＝11.7＋1.6＝13.3(m)．答：教学楼AB的高度约为13.3 m.19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；(3)求点C到直线AB的距离．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝k x ，由题意，得k＝xy＝2×3＝6.∴反比例函数的表达式为y＝6 x .(2)设B点坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．∵反比例函数y＝6x的图象经过点B(a，b)，∴b＝6a.∴AD＝3－6a.∴S△ABC＝12BC·AD＝12a(3－6a)＝6，解得a＝6.∴b＝6a＝1，AD＝3－6a＝2.∴B(6，1)．∴AB＝（2－6）2＋（3－1）2＝25.∴sin∠ABC＝225＝55.(3)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，在Rt△BCE中，sin∠ABC＝CE BC＝55，BC＝6，∴CE ＝655.∴点C 到直线AB 的距离为655.20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN.(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝2，AD ＝4，求sin ∠AMB 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.∴∠MDO ＝∠NBO.∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，MN ⊥BD.在△DMO 和△BNO 中，{∠MDO ＝∠NBO ，DO ＝BO ，∠MOD ＝∠NOB ，∴△DMO ≌△BNO(ASA)．∴OM ＝ON.∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴四边形BMDN 是菱形．(2)∵四边形BMDN 是菱形，∴MB ＝MD.设MD ＝x ，则AM ＝4－x ，MB ＝DM ＝x.在Rt △AMB 中，BM 2＝AM 2＋AB 2，即x 2＝(4－x)2＋22，解得x ＝52.∴sin ∠AMB ＝AB BM ＝45.B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA＝32或223．22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为32，则sin∠CAB＝35．23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为(6＋3)米．24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝13，则BE的长为3或5．25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝23．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝23.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－23.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋23＝12＋3＝2－3.27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)解：(1)延长BA交EF于点H，则∠AHE＝90°，∠HAE＝60°.∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝180°－∠EAH－∠BAC＝75°.(2)过点A作AM⊥CD于点M，则∠CAM＝90°－45°＝45°，∠DAM＝75°－45°＝30°，∴AM＝AD·cos30°＝4×32＝23，MD＝12AD＝2，∵∠C ＝∠CAM ＝45°，∴CM ＝AM ＝23，AC ＝2AM ＝2×23＝26.∴AB ＝AC ＋CM ＋MD ＝26＋23＋2≈2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2≈10.∴这棵大树折断前的高度约为10米．28．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE ＝90°.(1)当DF ∥AB 时，连接EF ，求tan ∠DEF 的值；(2)当点F 在线段BC 上时，设AE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．解：(1)∵AC ＝BC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝62.∵DF ∥AB ，点D 为AC 中点，∴AD ＝CD ＝12AC ＝3，DF ＝12AB ＝32.∴DE ＝322.在Rt △DEF 中，tan ∠DEF ＝DF DE ＝32322＝2.(2)过点E 作EH ⊥AC 于点H ，设AE ＝x ，∵BC ⊥AC ，∴EH ∥BC.∴∠AEH ＝∠B.∵∠B ＝∠A ，∴∠AEH ＝∠A.∴HE ＝HA ＝22x.∴HD ＝3－22x.易证△HDE ∽△CFD ，∴HDCF ＝HEDC ，即3－22x6－y ＝22x 3.∴y ＝9－92x(2≤x ≤32)．(3)∵CE ≥12AB ＝32＞3，CD ＝3，∴CE ＞CD.∴若△DCE 为等腰三角形，只有DC ＝DE 或ED ＝EC 两种可能．当DC ＝DE 时，点F 在边BC 上，过点D 作DG ⊥AE 于点G(如图1)，可得AE＝2AG＝32，即点E在AB中点．∴此时F与C重合．∴BF＝6.当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M(如图2)，∵EM⊥CD，ED＝EC，∴DM＝CM＝12CD＝32.易证EM＝AM＝AD＋DM＝3＋32＝92.∵DE⊥DF，∴∠EDM＋∠FDC＝90°.∵∠FDC＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM.∴△DFC∽△EDM.∴CFDM＝CDEM，即CF32＝392.∴CF＝1.∴BF＝7.综上所述，BF的长为6或7.。

北师大版数学九年级下册第1章《直角三角形的边角关系》单元综合测试卷 (含答案)

北师大版数学九年级下册第1章《直角三角形的边角关系》单元综合测试卷（含答案）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝25，AC ＝15，则∠A 的度数为( )A ．30°B ．450°C ．60°D ．75°2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13，则sinA 的值为( )A.512B.513C.1213D.13123．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.1213134．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ∶CD ＝3∶2，则tanB 等于( ) A.32 B.23 C.62 D.635．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 32D.36. 如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AB ＝16，BC ＝12，则sin α＝( )A.33 B ．12 C. 32 D ．347．已知α为锐角，且cos α＝13，则tan α＋cos α1＋sin α＝( ) A. 23 B ．1 C. 32 D ．38．如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD ，坡角∠DCE ＝30°，楼高AB ＝60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A ，C ，E 在同一直线上．则坡底C 点到大楼距离AC 的值是( ) A. 203米 B ．303米 C. 202米 D ．302米9．如图，小华站在河岸上的G 点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC ＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG ＝0.7米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡i ＝4∶3，坡长AB ＝8米，点A ，B ，C ，D ，F ，G 在同一平面内，则此时小船C 到岸边的距离CA 的长为( )A ．(83－5.5)米B ．(83+5.5) 米C ．(82－5.5) 米D ．(82+5.5) 米10．济南大明湖畔的超然楼被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1 m ，则该楼的高度CD 为( )A ．47 mB ．51 mC ．53 mD ．54 m二．填空题（共8小题，3*8=24）11．坡度等于3∶1的斜坡的坡角等于________.12．已知3tanA －3＝0，则∠A ＝_______.13．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若c ＝3a ，则sinA ＝ .14．若△ABC 的周长为60，∠C ＝90°，tanA ＝34，则△ABC 的面积为 .15．某校九(1)班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A 处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B 处的仰角为60°，如图，则旗杆的高度为米(已知3≈1.732，结果精确到0.1米)．16．如图，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶部与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高为 .17．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为 m.18. 如图，小强和小明测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的D 处，用测倾器测得塔顶的仰角为30°，已知测倾器的高AD ＝1.5米，则古塔BE 的高为____________米．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 计算：(1) sin30°－22cos45°＋13tan 260°； (2)2sin60°－3tan30°＋⎝⎛⎭⎫130＋(－1)2 020.20．(8分)已知在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝24，BC ＝7，求sinA ，cosA ，tanA.21．(8分) 已知α为一锐角，sinα＝a c ＝45，求cosα＝b c ，tanα＝a b的值．22．(10分)如图，已知AC ＝4，求AB 和BC 的长．23．(10分) 如图，已知灯塔A 的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B 处测得灯塔A 在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C 处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由(参考数据：3≈1.732)．24．(10分) 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点D 是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B处．在同一平面内，若测得斜坡BD的长为100米，坡角∠DBC＝10°，在B处测得A的仰角∠ABC＝40°，在D处测得A的仰角∠ADF＝85°，过点D作地面BE的垂线，垂足为C.求索道AB的长(结果保留根号)．25．(12分)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，求sin∠ACE的值．参考答案：1-5ACADB 6-10DDAAB11．60°12. 30°13. 1314. 15015. 11.916. 23h17. 10 18. (203＋1.5)19. 解：(1)原式＝12－22×22＋13×(3)2＝12－12＋13×3＝1 (2)原式＝2×32－3×33＋1＋1＝2. 20. 解：∵AB ＝25，AC ＝24，BC ＝7，∴AB 2＝AC 2＋BC 2. ∴△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°.∴sin ∠A ＝BC AB ＝725，cosA ＝AC AB ＝2425，tanA ＝BC AC ＝72421. 解：由sinα＝a c ＝45，设a ＝4x ，c ＝5x ， ∴b ＝c 2－a 2＝3x.∴cosα＝b c ＝35，tanα＝a b ＝43. 22. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.在Rt △ACD 中，∵∠A ＝30°，∴∠ACD ＝60°，CD ＝12AC ＝2，AD ＝AC·cosA ＝2 3. ∵∠DCB ＝∠ACB －∠ACD ＝45°，∴BD ＝CD ＝2，∴BC ＝2 2.∴AB ＝BD ＋AD ＝2＋2 3.23. 解：有触礁的危险．理由如下：过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.∵∠ABC ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴∠BAC ＝∠ACD －∠ABC ＝30°＝∠ABC.∴AC ＝BC ＝8海里．在△ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠ACD ＝60°，∴∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AC ＝4(海里)．由勾股定理，得AD ＝82－42＝43(海里)＜7海里． ∴有触礁的危险．24. 解：过点D 作DG ⊥AB 于点G.在Rt △GDB 中，∵∠GBD ＝40°－10°＝30°，∴∠BDG ＝90°－30°＝60°.又∵BD ＝100米，∴GD ＝12BD ＝50(米)，GB ＝BD·cos30°＝503(米)．在Rt △ADG 中，∵∠ADG ＝105°－60°＝45°，∴GA ＝GD ＝50米．∴AB ＝AG ＋GB ＝50＋503(米)．答：索道的长为(50＋503)米.25. 解：过点E 作EF ⊥AC 于点F ，则∠CFE ＝90°. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝∠A ＝45°.∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝45°.设BE ＝x ，则DE ＝x ，BD ＝2x.∵D 是BC 的中点，∴BC ＝22x ＝AC ，∴AB ＝4x ，AE ＝3x. ∵EF ⊥AC ，BC ⊥AC ，∴EF ∥BC ，∴EF BC ＝AE AB，即EF 22x ＝3x 4x，解得EF ＝322x ， ∴CF ＝22x ，∴CE ＝5x. ∴sin ∠ACE ＝EF CE ＝31010.。

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(含答案解析)

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系单元测试卷（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC中，∠C=90∘，BC=5，AB=13，则sin A的值是()A.5 13B.1213C.512D.1252. 已知α是锐角，cosα=√32，则α等于（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘3. 已知α为锐角，且sinα=513，那么α的余弦值为（）A.5 12B.125C.513D.12134. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cos B=35，AB=10cm，则BC的长度为（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm5. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=14，则tan B的值是（）A.√154B.√1515C.√15D.146. 一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（）A.3 4B.43C.√73D.34或√737. 已知：△ABC中，∠A+∠B=90∘，下列关系式中成立的式子共有（）①sin A+B2=cos C2；②tan A+B2=cot C2；③sin(A+B)=sin C；④sin2A+cos2B=1．A.1个B.2个C.3个D.4个8. 在坡度为0.5的山坡上种植树，要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A.4.5mB.5mC.6mD.8m9. 下列各式中，正确的是（）A.cos A−1>0B.√(cos A−1)2=cos A−1C.cos A=√32=30∘ D.cos45∘=sin45∘10. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27∘(tan27∘≈0.51)，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A.24米B.20米C.16米D.12米二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 化简：√tan227∘+tan263∘−2=________．12. 如图，已知∠ABD=∠C=90∘，AD=12，AC=BD，∠BAD=30∘，则。

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°2、中，，，，则的值是（）A. B. C. D.3、若规定sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，则sin15°=（）A. B. C. D.4、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=2，则sinA=（）A. B. C. D.5、如果，那么锐角∠A的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（）A. B. C. D.7、如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值（）A. B. C. D.8、如图，一块含30°角的直角三角板，它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A.5cmB.6cmC. cmD. cm9、如图，某数学活动小组在吉林广播电视塔周边做数学测算活动、在C处测得最高点A的仰角为α，在D处测得最高点A的仰角为β，点C，B，D在同一条水平直线上，且吉林广播电视塔的高度AB为h（m），则CD之间的距离为（）A.h•（tanα+tanβ）mB.C.D.10、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A.1B.2C.3D.11、如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（）A.0B.C.D.12、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A. B. C. D.13、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C 在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB= ，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．若点A和点D在同一个反比例函数的图像上，则OB的长是A.2B.3C.D.14、若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝4，则∠ACB的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°15、已知∠BAC=90°，半径为r的圆O与两条直角边AB，AC都相切，设AB=a（a＞r），BE与圆O相切于点E．现给出下列命题：①当∠ABE=60°时，BE= ；②当∠ABE=90°时，BE=r；则下列判断正确的是（）A.命题①是真命题，命题②是假命题B.命题①②都是真命题C.命题①是假命题，命题②是真命题D.命题①②都是假命题二、填空题(共10题，共计30分)16、已知，则＝________.17、如图，已知∠ABD=∠C=90°，AD=8，AC=BC，∠DAB=30°则BC= ________.18、定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知为锐角，且，则的值是（）A. B. C. D.2、在中，，，，那么下列结论正确的是（）A. B. C. D.3、如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为（）个．①=sinA-1；②sinA+cosA＞1；③tanA＞sinA；④cosA=sin（90°﹣∠A）A.1B.2C.3D.44、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.已知AC＝，BC＝2，那么sin ∠ACD＝（）A. B. C. D.5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B 作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①= ；②若点D是AB的中点，则AF= AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若= ，则S△ABC=9S△BDF，其中正确的结论序号是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②③④6、某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7、如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A.5米B.6米C.8米D.（3+ ）米8、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=（）A. B. C. D.9、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=30°，⊙O的半径为，则弦CD的长为（）A. B.3cm C. D.9cm10、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A. B. C. D.11、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.12、如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB ，若AC=3，AB=4，则AD=（）A.1B.C.D.513、在矩形中，为的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交或它们的延长线)于点，设，下列四个结论：①；②；③；④，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.414、已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A. B. C. D.15、sin60°+tan45°的值等于（）A. B. C. D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若BC=2AD=8，则tan∠ABE=________17、如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝________度．18、计算：=________.19、如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为________．20、中，，点在直线上，，垂足是，，，，则________21、如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN= EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是________ cm．22、若∠α=30°，则∠α的余角等于________度，sinα的值为________．23、如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________.24、化简=________．25、如图，ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+ PD 的最小值等于________.三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简，再求值：÷（﹣x﹣3），其中x=sin45°﹣4cos60°．27、已知，且0°＜α＜45°，求sinα的值．28、如图，AD是△ABC的高，，求△ABC的周长.29、在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）30、如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、D3、C4、A5、C6、C7、A8、B9、B10、C12、B13、A14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。

北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》专题突破单元检测试卷(含答案)

【专题突破训练】北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 在中，，，，那么的值是（）A. B. C. D.2. 若为锐角，且，则有（）A. B.C. D.3. 中，，且，则A. B. C. D.4. 已知，则的值（）A. B. C. D.5. 下列说法中，正确的是（）A.B.若为锐角，则﹦C.对于锐角，必有D.在中，，则有6. 如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆米的处，测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（）A. B.C. D.7. 已知，为锐角，则的值为（）A. B. C. D.8. 在中，，，则的值是（）A. B.C. D.9. 如图，市规划局准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面的坡度，则坡面的长度为（）A. B.C. D.10. 一艘轮船从港口出发，以海里/时的速度沿北偏东的方向航行小时后到达处，此时观测到其正西方向海里处有一座小岛．若以港口为坐标原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向，海里为个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛所在位置的坐标是（）A. B.C. D.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 如图，中，，是上一点，，，，则________．12. 小丽在大楼窗口测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米），那么旗杆底部与大楼的距离________米（用的三角比和的式子表示）13. 如图，在中，已知，，于点．根据该图可以求出________．14. 有一轮船由东向西航行，在处测得西偏北有一灯塔，继续航行海里后到处，又测得灯塔在西偏北，如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是________海里．15. 如图，秋千链子的长度为，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为．则它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为________（结果保留根号）．16. 如图是引拉线固定电线杆的示意图．已知：，，，则拉线的长是________．17. 如图，是的边上一点，且点坐标为，则________________．18. 如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长，且，，，则河堤的下底为________．19. 如图，是半径为的的圆周，点是上的任意一点，是等边三角形，则四边形的周长的取值范围是________．20. 在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿北偏西方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则、两地的距离为________．三、解答题（本题共计 7 小题，共计60分，）21. （5分）计算：．22. （5分）在中，，、、所对的边分别为、、，根据下列条件：，，求出直角三角形的其他元素．23. （10分）在一海岸直线上由于、两个海港，一轮船由港沿北偏东方向航行，当轮船航信海里到达处时，在港测得轮船在港的北偏西方向；当轮船继续按原航线航行到处时，在港测得轮船在港的北偏东方向上．此时轮船在处发生故障，准备返回到港维修，求的距离（保留根号）．24.(10分) 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为米．现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长均为米的不锈钢架杆和（杆子的底端分别为，），且．（1）求点与点的高度差的长度；（2）求所用不锈钢材料的总长度（即，结果精确到米）．（参考数据：，，，）25. （10分）剑川县电力公司并入南方电网后，为进一步完善农村电路，需建造如图所示的铁塔、架设高压线．已知铁塔建在小山上，铁塔建在与水平距离为米（即米）的地方，并在铁塔处测得塔底到山顶的仰角为（两铁塔的高相等）．如果要在两铁塔顶、间架设一条高压线，那么这条高压线至少为多长？26.(10分) 小华为了测量楼房的高度，他从楼底的处沿着斜坡向上行走，到达坡顶处．已知斜坡的坡角为．（以下计算结果精确到）（1）求小华此时与地面的垂直距离的值；（2）小华的身高是，他站在坡顶看楼顶处的仰角为，求楼房的高度．答案1. B2. C3. C4. A5. B6. A7. C8. B9. A10. A11.12.13.14.15.16.17.18. 米19.20.21. 解：原式．22. 解：∵，，，∴∵，∴，∴．23. 间的距离是海里．24. 点与点的高度差为米；所用不锈钢材料的总长度约为米．25. 这条高压线至少为米．26. 小华与地面的垂直距离的值是；（2）在中，∵，∴，由（1）知，，∴．答：楼房的高度是．。

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知cosA＞，则锐角∠A的取值范围是（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜90°C.0°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，下列结论正确的是（）A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.tanB=3、如图，正六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接六边形，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.4、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则等于( )A. B. C. D.5、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A.斜坡AB的坡度是10°B.斜坡AB的坡度是tan10° C.AC=1.2tan10°米 D.AB= 米6、如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D 重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（）A. B. C. D.7、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）．A. 米B. 米C. 米D. 米8、在中，，，那么的值等于（）A. B. C. D.9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC= ，BC=2，则sin∠ACD的值为（）A. B. C. D.10、sin30°=（）A.0B.1C.D.11、sin30°的值等于（）A. B. C. D.112、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°13、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（）A. B. C. D.14、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D 处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（）A. B. C. D.15、已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C的切线PC与AB的延长线交于P．PC=5，则⊙O的半径为（）A. B. C.5 D.10二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B 点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F 的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为________米(结果保留根号)．17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，tan∠BCD= ，AC=12，则BC=________．18、把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为________．19、如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC= ，P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP．当△A1CP与△ABC的重叠部分为等腰三角形时，则∠ACP的度数为________。

北师大版初三数学9年级下册第1章(直角三角形的边角关系)测试卷含答案)

第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．tan45°的值等于（）A ．2BC ．-1D ．13．如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P （3，4），则sin α＝（）A ．B ．C ．D ．4．已知中，，CD 是AB 上的高，则=（）A ．B ．C ．D ．5．Rt ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系式错误的是（）A ．b=c·cosB B ．b=a·tan BC ．a=c·sin AD ．a=c·cos B6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（）O AB 43344535ABC ∆90C ∠=︒CD BD sin A cos A tan A cot AAC BC a ABC ∠26.5ACA ．B ．C ．D．7．已知在中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则∠B 的余弦值为（）A ．B ．C ．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠，则∠2的度数为（）A ．120°B．135°C ．145°D ．150°9．如图，在中，，于，下列结论错误的有（）个①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.A ．0B ．lC ．2D ．310．如图，在菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折，sin 26.5a ︒cos 26.5a ︒tan 26.5a ︒tan 26.5a︒Rt ABC 1213513512125Rt ABC ∆90BCA ∠=︒CD AB ⊥D sin AD B AC =BC AC AB CD ⋅=⋅BC =8AD =4CD =ABCD 45B ∠= AE BC ABE ∆AE得到，若，则菱形的边长为（）AB ．C ．D11．如图，在□ABC D 中，AB=6，∠B=75°，将△ABC 沿AC 边折叠得到△AB ′C ，B ′C 交AD 于E ，∠B′AE=45°，则点A 到B ′C 的距离为（）A ．B ．CD 12．如图，平面直角坐标系中，，，将绕顶点顺时针旋转一定角度到处，此时线段与的交点为的中点，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．13．如图，把三角形纸片折叠，使的对应点在上，点的对应点在上，折痕分别为，，若，，，则的长为（）AB E '∆1C B '=-21()0,2A ()B AOB O COD △CD BO E BO D )3-2⎫-⎪⎭ABC C E AB B D BC AD FG 30CAB ∠=︒135C ∠=︒DF =EFABC．3D．14．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员由处沿主输气管道步行1000米到达点处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使点到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）．）A．366米B．650米C．634米D．700米二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．在方格纸中的位置如图所示，则的值是________．16．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．17．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝_____．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF ＝3，则tan＝_____．3+A60︒AM A30°AC M C75︒NN1.414≈ 1.732≈α∠tanα43B'C'AC'B AC''∠三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．计算：.20．如图，在△ABC 中（1）作图，作BC 边的垂直平分线分别交于AC ，BC 于点D ，E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD ，若BD ＝9，BC ＝12，求∠C的余弦值．22sin 454cos 30︒-︒)0tan 603tan 45--︒+︒21．如图，中，，的平分线交于D ，交的延长线于点E ，交于点F ．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°ABCAB AC =B ÐAC //AE BC BD AF AB ⊥BE 40BAC ∠=︒AFE ∠2AD DC ==AF探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）23．某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．(2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?（考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）1.7324．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC ═a=1，，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“==”的关系是否成立？答：（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“ ==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．sin a A sin b Bsin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C25．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C 在B的正北方，A在C的南偏东60°方向且在B的北偏东30°方向．A地每年产奶3万吨；B 地有奶牛9000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20%，三河牛的头数占35%，其他情况反映在图(2)，图(3)中．（1）通过计算补全图(3)；（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？26．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E 为线段BC 的中点，延长AB '交CD 于点M ，求证：AM ＝FM ；（2）如图2，若点B '恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB '的正弦值．BE CE BE CE 32答案一、选择题1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．A ．6．C.7．B.8．B9．B ．10．C ．11．C ．12．B ．13．A ．14．A二、填空题15．16．17．.18．三、解答题19．原式.20．解：（1）如图所示，直线DE 即为所求；（2）∵DE 是BC 的垂直平分线，∴EC＝BC ＝6，BD ＝CD ＝9，∴cos ∠C ＝＝＝．21．（1）；（2）25127514224=⨯131-+⨯3131=--+=12EC DC 6923125AFE ∠=︒AF =【解析】（1）∵，，∴．∵平分，∴， ∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，在中，22．根据题意可知：OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，∴AC=AB+BC=4+BC ，AB AC =40BAC ∠=︒18040702ABC ︒︒︒-∠==BD ABC ∠170352ABD DBC ︒︒∠=∠=⨯=AF AB ⊥90BAF ∠=︒9035125AFE BAF ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒//AE BC E DBC ∠=∠ADE CDB ∠=∠AD CD=ADE CDB ≌AE CB =,E DBC ABD DBC∠=∠∠=∠E ABD ∠=∠AB AE =AB CB AC ==ABC 60ABC ∠=︒30ABD ∠=︒2AD DC ==4AB =Rt ABF tan 304AF AB ︒=⋅==∴在Rt △OBC 中，BC=，在Rt △OAC 中，OC=AC •tan ∠OAC ≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6(4+)，解得OC ≈2.9（m ）．答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．23．（1）如图2-1，过点C 作于点G.，，，，，，所以动臂BC 与AB 的夹角为为.（2）如图2-2，过点C 作于点P ，过点B 作于点Q 交CG 于点N.在中，（米）.在中，（米）.（米）.tan OBC 3.3OC OC ∠≈⨯ 3.3OC CG AM ⊥AB AM ⊥ DE AM ⊥////AB DECG ∴180110DCG CDE ︒︒∴∠=-∠=30BCG BCD DCG ︒∴∠=∠-∠=180150ABC BCG ︒︒∴∠=-∠=ABC ∠150︒CP DF ⊥BQ DF ⊥Rt CPD cos 700.51DP CD ︒=⨯=Rt BCN sin 60 1.04CN BC ︒=⨯≈ 2.35DE DP PQ QE DP CN AB ∴=++=++≈如图4，过点D 作于点H ，过点C 作点K.在中，（米）.（米）（米）.所以斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了约0.8米.24．（1）∵=c ， =c ， =c ，∴“==”成立，故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=，∴=，=，∴=，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证=，DH AM ⊥CK DH ⊥Rt KD C sin 50 1.16DK CD ︒=⨯≈3.16DH DK KH ∴=+≈0.8DH DE ∴-≈sin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Cb CD aCD sin a A ab CD sin b B ab CD sin a A sin b Bsin b B sin c C∴==．25．解：（1）由图3可知黑白花牛2000头，占20%，则C 地养牛的总头数是：2000÷20%=10000所以三河牛的头数为：10000-2000-4500=3500条形高度在3500左右（2）C 地每种牛所占比例为：三河牛3500÷10000=35%，草原红牛4500÷10000=45%C 地每头牛的年平均产奶量为：6×20%+4×35%+3×45%=3.95（吨）而B 地每头牛的年平均产奶量为3吨；所以C 地每头牛的年平均产奶量比B 地的高；（3）由题意：C 地每年产奶量为10000×3.95＝3.95万吨，B 地每年产奶量为9000×3＝2.7万吨，A 地每年产奶量为3万吨．由题意，∠CBA ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝100（千米），∴AB ＝100×sin60°≈86.6（千米），∴AC ＝100×sin30°＝50（千米），如果在B 地建厂，则每年需运费W 1＝86.6×3×1＋100×3.95×1＝654.8（万元）如果在C 地建厂，则每年需运费W 2＝50×3×1＋100×2.7×1＝420（万元）而654.8＞420．答：从节省运费的角度考虑，应在C 地建设工厂．sin a A sin b B sin c C26．（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠BAF ，由折叠可知：∠BAF ＝∠MAF ，∴∠F ＝∠MAF ，∴AM ＝FM ．（2）解：由（1）可知△ACF 是等腰三角形，AC ＝CF ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC＝10，∴CF ＝AC ＝10，∵AB ∥CF ，∴△ABE ∽△FCE ，∴；（3）①当点E 在线段BC 上时，如图3，AB '的延长线交CD 于点M ，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即∴CF ＝4，由（1）可知AM ＝FM ．设DM ＝x ，则MC ＝6﹣x ，则AM ＝FM ＝10﹣x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（10﹣x ）2＝82+x 2，解得：x ＝，=63105BE AB CE CF ===32AB BE CF CE ==632CF =95则AM ＝10﹣x ＝10﹣＝，∴sin ∠DAB '＝＝．②当点E 在BC 的延长线上时，如图4，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即，∴CF ＝4，则DF ＝6﹣4＝2，设DM ＝x ，则AM ＝FM ＝2+x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（2+x ）2＝82+x 2，解得：x ＝15，则AM ＝2+x ＝17，∴sin ∠DAB '＝．综上所述：当时，∠DAB '的正弦值为或。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元评估检测试题(有答案)

期末专题复习：北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元评估检测试题一、单选题（共10题；共30分）1.在中，∠°，，则的值等于（）A. B. C. D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（）A. B. C. 3sinα D. 3cosα3.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则的值是（）A. B. C. D.4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）A. B. C. D.5.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1：的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8 m，则所铺设水管AC的长度为（）A. 8mB. 12mC. 14mD. 16m6.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD=6米，则旗杆AB的高度为（）A. 9米B. 9（1+ ）米C. 12米D. 18米7.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（）A. 1：2B. 1：3C. 1：D. ：18.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（A. 15mB. 20 mC. 20mD. 10 m9.在Rt△ABC中，已知cosB=，则tanB的值为（）A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm2二、填空题（共10题；共30分）11.计算：（）0﹣2|1﹣sin30°|+（）﹣1=________．12.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为________米.(用含α的代数式表示)13.如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于________．14.如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为________．15.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=________16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB ，垂足为D ，则tan∠BCD的值是________.17.如图，已知A为⊙O外一点，连结OA交⊙O于P，AB为⊙O的切线，B为切点，AP＝5㎝，AB＝㎝，则劣弧与AB，AP所围成的阴影的面积是________.18.如图，某人在塔顶的P处观测地平面上点C处，经测量∠ P=35°，则他从P处观察C处的俯角是________ 度．19.如图，一个斜坡长m，坡顶离水平地面的距离为m，那么这个斜坡的坡度为________．20.如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB ＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.三、解答题（共8题；共60分）21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．22.如图所示，两个建筑物AB和CD的水平距离为51m，某同学住在建筑物AB内10楼M室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求建筑物CD的高度．（取1.73，结果保留整数）23.汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）24.如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B、D的距离（结果保留整数）（tan15°＝0.27）.25.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测量山坡前某建筑物的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，然后沿倾斜角为30°的山坡向上前进20m到达E，重新安装好测角仪后又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）26.青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃．（如图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°．已知AC=50米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，懒羊羊以3m/s沿DB延长线方向逃跑，灰太狼几秒钟后能抓到懒羊羊？27.（2017•宿迁）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．28.（2017•兰州）“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥．小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C 处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C二、填空题11.【答案】212.【答案】7tanα13.【答案】14.【答案】atanα15.【答案】16.【答案】17.【答案】18.【答案】5519.【答案】1：2.420.【答案】+ π三、解答题21.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC=27，∴，∴AH=6，∵AB=10，∴BH= = =8，∴tanB= = = ．22.【答案】解：过点M作ME⊥CD于E，则四边形BCEM是矩形．∴ME=BC=51．在Rt△MDE中，∵∠DME=30°，ME=30，∴DE=ME×tan30°=51× =17 ．在Rt△MEC中，∵∠EMC=45°，ME=51，∴CE=ME×tan45°=51×1=30．∴CD=DE﹢CE=51﹢17 =30﹢17.3≈80（m）．答：建筑物CD的高约为80m．23.【答案】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s，又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．24.【答案】解：∵AE∥BC，∴∠ADC＝∠EAD＝45°.又∵AC⊥CD，∴CD＝AC＝50.∵AE∥BC，∴∠ABC＝∠EAB＝15°.又∵tan∠ABC＝，≈185.2.∴BC＝°∴BD＝185.2－50≈135（米）.25.【答案】解：作RC⊥AB, FH⊥AB 延长FE交DB于点G设BG=x由题意可得，ER=FH=BG=xHR=10,AH= x,AR= x+10CR=10 +X∴10 +X= x+10解得x=10∴AB=10 +11.526.【答案】解：在Rt△BCD中，∵∠BCD=90°﹣30°=60°，∠CBD=30°，∴AC=BC=50m，在Rt△BCD中，∵sin60°=，∴BD=BC•sin60°=25m ，设追赶时间为t，由题意得：5t=3t+25，∴t=s．答：灰太狼秒钟后能抓到懒羊羊．27.【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=x，在Rt△ACD中，∵tan ∠，= °= = x，∴AD=∠由AD+BD=AB可得x+x=10，解得：x=5 ﹣5，答：飞机飞行的高度为（5 ﹣5）km28.【答案】解：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，在Rt△ADC中，tan36°= ，∴AD= ，在Rt△BCD中，tan∠B= ，BD= ，∴+ =20，解得x=8.179≈8.2m．答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．。

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（）（结果精确到，参考数据：，，）A. B. C. D.2、角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）A. B. C. D.3、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，点P在⊙O上，连接BP，PD，BC．若CD= ，sinP= ，则⊙O的直径为（）A.8B.6C.5D.4、如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米5、等于（）A. B. C. D.6、如图，等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A，B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA，B翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ为定值；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.47、下面结论中正确的是（）A. B. C. D.8、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于A. B. C. D.9、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=1.5，BC=2，则cosB的值是（）A. B. C. D.10、我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么cosθ的值为( )A. B. C. D.11、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝，BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AFGE，点B，C的对应点分别为点F、G.在点E 从点C移动到点D的过程中，则点F运动的路径长为（）A.πB. πC. πD. π12、正方形网格中，如图放置，则的值为（）A. B. C. D.213、如图，在中，，，AD是的角平分线，，则点D到AB的距离为( )A. B. C. D.14、如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )A. B. C. D.15、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是（）A. ＝B. ＝C. ＝D. ＝二、填空题(共10题，共计30分)16、已知在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB的长是________．17、等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为________．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）18、为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为________米．（结果精确到0.1米，参考数据：，）19、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosA= ，如果将△ABC绕着点C旋转至△A′B′C′的位置，使点B′落在∠ACB的角平分线上，A′B′与AC相交于点D，那么线段CD 的长等于________．20、如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=________．21、3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°．已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为________米（精确到1米）．（参考数据：sin22.3°≈0.38，cos22.3°≈0.93．tan22.3°≈0.41）22、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是________．23、如图，是小明荡秋千的侧面示意图，秋千链长AB=5m(秋千踏板视作一个点)，静止时秋千位于铅垂线BC上，此时秋千踏板A到地面的距离为0.5m．当秋千踏板摆动到点D 时，点D到BC的距离DE=4m．若他从D处摆动到D'处时，恰好D'B⊥DB，则D'到地面的距离为________ m．24、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为________ 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，， 1.732）25、在以O为坐标原点的直角平面内有一点A(2,4)，如果AO与x轴正半轴的夹角为a，那么a的余弦值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、求的值.27、在中，∠C＝90°，、、分别表示、、的对边.已知，=60°，求b、c.28、小明坐于堤边垂钓，如图，河堤的坡角为，长为米，钓竿的倾斜角是，其长为米，若与钓鱼线的夹角为，求浮漂与河堤下端之间的距离.29、西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为30°，然后向教学楼正方向走了5米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，1cos 3B =，则tan A 的值为（） A ．311 B ．33 C ．24 D ．101032．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，//DE AC 交AB 于点E ，//DF AB 交AC 于点F ，且AD 交EF 于点O ，若8AF EF ==，则sin DAC ∠的值为（）A ．13B ．32C ．12D ．223．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上，若直线1234//////l l l l 且间距相等，3AB =，2BC =，则tan α的值为（）A ．38B ．13C ．5D ．15154．如图，拦水坝的横断面是梯形，高6BC =米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（）A ．3B ．5C ．125D ．12米 5．如图，直线123////l l l ，ABC 的三个顶点分别落在123,,l l l 上，AC 交2l 于点D ，设1l 与2l 的距离为12,h l 与3l 的距离为2h ．若12,:1:2AB BC h h ==，则下列说法正确的是（）A ．:2:3ABD ABC S S =B ．:1:2ABD ABC S S =△△C ．sin :sin 2:3ABD DBC ∠∠=D ．sin :sin 1:2ABD DBC ∠∠= 6．如图，等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上，双曲线k y x =过OA 的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（）A ．3y =B ．3y =-C ．23y =D ．23y =- 7．在ΔABC 中，∠C ＝90º，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．45 8．cos45°的值为（） A ．1B ．12C ．22D ．3 9．如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（） A ．(4，3B ．34)C 33）D ．（3＋2，2） 10．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知,,AB m BAC a =∠=∠则下列结论错误．．的是（）A ．BDC α∠=∠B ．tan BC m a =⋅ C ．2sin m AO α=D ．cos m BD a= 11．如图，一斜坡AB 的长为213m ，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC 的高为（）A ．3mB ．4mC ．6mD ．16m12．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高4BC m =，则坡面AB 的长度是（）A ．43mB ．43mC ．23mD ．8m二、填空题13．若sin cos 2A A +=，则锐角A ∠=______．14．在AOB 中，90AOB ∠=︒，30ABO ∠=︒，将AOB 绕顶点O 顺时针旋转，旋转角为()0180θθ︒<<︒，得到11AOB ．（1）如图1，连接1AA 、1BB ，设1AOA 和1BOB 的面积分别为1S 、2S ．则12:S S =__________．（2）如图2，设OB 中点为Q ，11A B 中点为P ，连接QP ，若1AO =，当θ=_______︒时，线段QP 长度最小，最小值为_____________．15．如图是某数学兴趣小组设计用手电简来测量某古城墙高度的示意图，在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝4m ，BP ＝6m ，PD ＝12m ，那么该古城墙CD 的高度是_____．16．如图是一个海绵施把，图1、图2是它的示意图，现用线段BC 表示拉手柄，线段DE 表示海绵头，其工作原理是：当拉动BC 时线段OA 能绕点O 旋转（设定转角AOQ ∠大于等于0°且小于等于180°），同时带动连杆AQ 拉着DE 向上移动．图1表示拖把的初始位置（点O 、A 、Q 三点共线，P 、Q 重合），此时45cm OQ =，图2表示拉动过程中的一种状态图，若DE 可提升的最大距离10cm PQ =．（1）请计算：OA =______cm ；AQ =_____cm ．（2）当1sin 10OQA ∠=时，则PQ =______cm ． 17．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形ODEF ，若A （3，0），C （0，3），则点E 的坐标为_________18．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 为射线AD 上的一个动点，AEF ∆沿着EF 折叠得到HEF ∆，连接AC ，分别交EF 和直线EH 于点N 和M ，已知30BAC ∠=︒，2BC =，若EMN ∆与AEF ∆相似，则AF 的长度是________．19．如图所示，在四边形ABCD 中，233AD AB =，30A ∠=︒，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，并延长至其3倍（即3CE CD =），过点E 作EF AB ⊥于点F ，当63AD =，3BF =，74EF =时，边BC 的长是______．20．如图，在一次数学课外实践活动中，小亮在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1.5m ，则旗杆高BC 为_____m （结果保留根号）．三、解答题21．计算下列各小题（1）2245603060cos tan tan cos ︒+︒⋅︒-︒；（2）()23tan 308451tan 60︒+︒+-︒22．计算：4sin60°+（3.14-π）012-tan 230°．23．（120182sin 30|12(2020)2π-⎛⎫︒-+-- ⎪⎝⎭（2）解方程：(3)(1)3x x x --=-（3）先化简，再求值：21111x x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中2 1.x =24．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，8BC =，点E ，F 分别为AB ，CD 的中点．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）如图，点P 是边AD 上一点，BP 交EF 于点O ，点A 关于BP 的对称点为点M ，当点M 落在线段EF 上时，则有OB OM =．请说明理由；（3）如图，若点P 是射线AD 上一个动点，点A 关于BP 的对称点为点M ，连接AM ，DM ，当AMD 是等腰三角形时，求AP 的长．25．如图，为了测量出楼房AB 的高度，从距离楼底B 处185米的点D （BD 为水平地面）出发，沿斜面坡度为1:2i =的斜坡DC 前进30米到达点C ，在点C 处测得楼顶A 的仰角为53︒．（1）求点C 到水平地面的距离．（计算结果用根号表示）（2）求楼房AB 的高度（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan 5343︒≈，5 2.236≈，结果精确到0.1米）．26．（1）计算：2tan60sin 45tan 452cos30︒-︒+︒-︒．（2）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的直角顶点C 的坐标为(1,0)，点A 在x 轴正半轴上，且2AC =．将ABC 先绕点C 逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，求变换后点A 的对应点的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据1cos 3B =，设AB=3x ，BC=x ，勾股定理求出AC ，根据三角函数的定义求tan A 即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，1cos 3B =，设AB=3x ，BC=x ，AC ===，tan4BC A AC ===，故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数，解题关键是根据三角函数值确定直角三角形三边关系，再根据三角函数的意义计算．2．C解析：C【分析】先证明四边形AEDF 是平行四边形，在根据题意得到四边形AEDF 是菱形，即可得到结果；【详解】由题意：//DE AC ，//DF AB ，即//DE AF ，//DF EA ，∴四边形AEDF 是平行四边形，又∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∵//AE DF ，∴BAD ADF ∠=∠，∴DAF FDA ∠=∠，∴FA FD =，∴四边形AEDF 是菱形，∴EF AD ⊥，且O 为EF 的中点，8EF =，∴4OF =，∴在Rt △OAF 中，41sin 82OF DAF AF ∠===； ∴1sin 2DAC ∠=；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，结合三角函数计算是解题的关键． 3．B解析：B【分析】根据题意，可以得到BG 的长，再根据∠ABG=90°，AB=3，可以得到∠BAG 的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG=∠α，从而可以得到tanα的值．【详解】解：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，由已知可得，GE ∥BF ，CE=EF ，∴△CEG ∽△CFB ，∴CE CG CF CB =， ∵12CE CF =， ∴12CG CB =， ∵BC=2，∴GB=1，∵l 3∥l 4，∴∠α=∠GAB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，∴∠ABG=90°，∴1tan 3BG BAG AB ∠==， ∴tanα的值为13，故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．B解析：B【分析】根据坡度求出AC 的长度，再利用勾股定理求出AB ．【详解】∵坡度12BC i AC ==，6BC =米， ∴AC=12米，∴=故选：B ．【点睛】此题考查已知正切值求边长，勾股定理求直角三角形边长，熟记坡度定义求出AC 是解题的关键．5．D解析：D【分析】作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，利用三角形面积公式可得到12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆==，则可对A 、B 进行判断；利用正弦的定义得到1sin h ABD AB ∠=，2sin h DBC BC∠=，利用AB CB =可对C 、D 进行判断．【详解】解：作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，11122ABD S BD AE BD h ∆==，21122BCE S BD CF BD h ∆==， 12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆∴==，:1:3ABD ABC S S ∆∆∴=，所以A 、B 选项错误；在Rt ABE ∆中，1sin h AE ABD AB AB ∠==，在Rt BCF ∆中，2sin h CF DBC BC BC∠==，而AB CB =，12sin :sin :1:2ABD DBC h h ∴∠∠==，所以C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了考查了解直角三角形，也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质，难度一般．6．B解析：B【分析】如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．根据等边三角形的性质、中点的定义可以求得点C 的坐标，然后把点C 的坐标代入双曲线方程，列出关于系数k 的方程，通过解该方程即可求得k 的值．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．∵△OAB 是等边三角形，该等边三角形的边长是4，∴OA=4，∠COD=60°，又∵点C 是边OA 的中点，∴OC=2，∴OD=OC•cos60°=2×12=1，CD=OC•sin60°=2×323． ∴C （-13 31k -，解得，3，∴该双曲线的表达式为3y =．故选：B ．【解答】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质．解题的关键是求得点C 的坐标．7．D解析：D【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据余弦函数的定义即可得答案．【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴=4，∴cosA=ACAB =45．故选：D．【点睛】考查勾股定理及锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键.8．C解析：C【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论；【详解】∵cos45=°，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．9．B解析：B【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出∠OAB＝30°，利用勾股定理列式求出AB，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x轴，再写出点B′的坐标即可．【详解】令y＝0，则−3x＋2＝0，解得x＝，令x＝0，则y＝2，所以，点A（0），B（0，2），所以，OA＝OB＝2，∵tan ∠OAB ＝OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，由勾股定理得，AB 4==，∵旋转角是60°，∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键． 10．C解析：C【分析】根据矩形的性质得出∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝DC ，再解直角三角形判定各项即可．【详解】选项A ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴AO ＝OB ＝CO ＝DO ，∴∠DBC ＝∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC ＝∠BDC ＝∠α，选项A 正确；选项B ，在Rt △ABC 中，tanα＝BC m ，即BC ＝m •tanα，选项B 正确；选项C ，在Rt △ABC 中，AC ＝cos m α，即AO ＝2cos m α，选项C 错误；选项D ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ＝AB ＝m ，∵∠BAC ＝∠BDC ＝α，∴在Rt △DCB 中，BD ＝cos m α，选项D 正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．11．B解析：B【分析】首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC 和AC 之间的倍数关系式，设BC=x ，则AC=1.5x ，再由勾股定理求得AB=2x ，从而求得BC 的值．【详解】解：∵斜坡AB 的坡度i=BC ：AC=1：1.5，AB =∴设BC=x ，则AC=1.5x ，∴由勾股定理得x =，又∵AB=∴2x =x=4， ∴BC=4m ．故选：B ．【点睛】本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键． 12．D解析：D【分析】直接利用坡比的定义得出AC 的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】∵河堤横断面迎水坡AB 的坡比是∴BC AC = ∴4AC =解得：AC ＝故AB 8（m ），故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．二、填空题13．45【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可求解【详解】解：∵∵即∴∠A=45°【点睛】本题主要考查特殊锐角三角函数值解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值解析：45︒【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可求解．【详解】解：∵sin cos 2A A +=∵22sin 45=cos 4522︒︒=，即sin 45cos 452︒+︒=∴∠A =45°【点睛】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． 14．1∶330【分析】（1）由旋转的性质解得继而证明结合30°的正切值再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接根据三角形三边关系得到当在同一直线上时线段长度最小由直角三角形斜边中线的解析：1∶3 30 31．【分析】（1）由旋转的性质，解得1111,,OA OA OB OB AOA BOB θ==∠=∠=，继而证明11()AOA BOB SAS ，结合30°的正切值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接OP ，根据三角形三边关系得到当O Q P 、、在同一直线上时，线段QP 长度最小，由直角三角形斜边中线的性质结合含30°角的直角三角形性质，可证1OA P 是等边三角形，继而解得OP 、OQ 的长，最后由=PQ OP OQ -解题即可．【详解】解：（1）旋转1111,,OA OA OB OB AOA BOB θ∴==∠=∠=11AOA BOB ∴、均是等腰三角形113tan 303OA OA OB OB ==︒= 11AOA BOB ∴ 相似比3k =22133k ∴== 12:13S S ∴=：故答案为：1∶3；（2）连接OP ，在OQP 中，OQ QP OP +>当O Q P 、、在同一直线上时，OP 有最小值，即=PQ OP OQ -有最小值，当O Q P 、、在同一直线上时， P 是11A B 的中点，1111=2=O B P P A A ∴ 1130A B O ABO ∠=∠=︒ 1112OA A B ∴=11==P OP A OA ∴1OA P ∴是等边三角形，160OP A ∴∠=︒1906030AOA ∴∠=︒-︒=︒30θ∴=︒1OA =∴1OP =，tan 30OA OB ==︒Q 为OB 中点，122OQ OB ∴==12PQ ∴=-．【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、正切、三角形三边关系、等边三角形的判定与性质等知识，在重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．15．8米【分析】根据光的反射原理得到∠APB=∠CPD 在直角三角形中利用等角的正切值相等建立等式求解即可【详解】根据光的反射原理得到∠APB=∠CPD ∴tan ∠APB=tan ∠CPD ∴∴解得CD=8故应解析：8米.【分析】根据光的反射原理，得到∠APB=∠CPD ，在直角三角形中，利用等角的正切值相等建立等式求解即可.【详解】根据光的反射原理，得到∠APB=∠CPD ，∴tan ∠APB =tan ∠CPD ， ∴AB CD PB PD=， ∴4612CD =, 解得CD=8，故应填8米.【点睛】本题考查了物理背景下的三角函数问题，熟练掌握光的反射原理，三角函数的定义是解题的关键.16．40或【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半AQ ＝OQ-OA 即可解决问题（2）分两种情形分别画出图形解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）由题意故答案为540（2）当是钝角时如图解析：40 421211-或481211-【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半，AQ ＝OQ -OA 即可解决问题．（2）分两种情形分别画出图形，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：（1）由题意11052OA cm =⨯=，45540AQ cm =-=，故答案为5，40．（2）当OAQ ∠是钝角时，如图1中，作AH PQ ⊥于H ．在Rt AHQ ∆中，1sin 10AH AQH AQ ∠==，40AQ =， 4AH ∴=，22224041211QH AQ AH ∴--在Rt QOH ∆中，223OHOA AH ，31211OQ ∴=+45(311)(4211)PQ cm ∴=-+=-，当OAQ ∠是锐角时，如图2中，作AH OP ⊥交PO 的延长线于H ．同法可得：12113OQ =，45(12113)(481211)PQ cm ∴=-=-．故答案为：421211-或481211-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．【分析】过E 作EG ⊥AO 连接EO 先利用旋转的性质得出ED 和OD 根据三角函数可得∠EOD=30°在△OEG 中解直角三角形即可求得OG 和GE 从而得出E 点坐标【详解】解：∵A （30）C （0）∴OA=3∵四解析：(3,3)【分析】过E 作EG ⊥AO ，连接EO ，先利用旋转的性质得出ED 和OD ，根据三角函数可得∠EOD=30°，在△OEG 中解直角三角形即可求得OG 和GE ，从而得出E 点坐标．【详解】解：∵A （3，0），C （0，3），∴OA=3, 3OC =， ∵四边形OABC 为矩形，∴3AB OC ==,∠BAO=90°，如下图，过E 作EG ⊥AO ，连接EO ，∵矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形ODEF ，∴OD=OA=3, 3DE AB ==∠EDO=90°， ∴3tan EOD ∠=∴∠EOD=30°，∴∠EOG=∠EOD+∠DOA=60°，又∵sin 30ED EO ==︒∴cos 603,sin 603,OG EO EG EO =︒==︒= ∴E．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的性质，坐标与图形变化——旋转．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．18．1或3【分析】分两种情况：①当EM ⊥AC 时△EMN ∽△EAF ；②当EN ⊥AC 时△ENM ∽△EAF 分别进行求解即可【详解】①当EM ⊥AC 时△EMN ∽△EAF ∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=2∠B=解析：1或3【分析】分两种情况：①当EM ⊥AC 时，△EMN ∽△EAF ；②当EN ⊥AC 时，△ENM ∽△EAF ，分别进行求解即可．【详解】①当EM ⊥AC 时，△EMN ∽△EAF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=2，∠B=90︒，∵∠CAB=30︒，∴∠AEM=60︒，∴∠AEF=30︒，∴AF=·tan 3013AE ︒==， ②当EN ⊥AC 时，△ENM ∽△EAF ，可得AF=·tan 603AE ︒==，故答案为：1或3．【点睛】本题考察翻折变换、矩形的性质及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19．【分析】由锐角三角函数可求∠DEC=30°通过证明△ADE ∽△BDC 可得由勾股定理可求AE 的长即可求解【详解】解：如图连接BDAEDE ∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°并延长至其倍∴∠DCE=90°解析：258 【分析】由锐角三角函数可求∠DEC=30°，通过证明△ADE ∽△BDC ，可得12BC DC AE DE ==，由勾股定理可求AE 的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，AE ，DE ，∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°3 ∴∠DCE=90°，CE 3CD ， ∴3.tan DC DEC EC ∠==， ∴∠DEC=30°， ∴3cos EC DEC DE ∠==1sin 2DC DEC DE ∠==， ∵23AD AB =， ∴3AB AD = ∴EC AB DE AD=，又∵∠DEC=∠DAB=30°，∴△DEC ∽△DAB ，∴∠ADB=∠EDC ，DC DE DB AD =， ∴∠ADE=∠BDC ，∴△ADE ∽△BDC ， ∴12BC DC AE DE ==， ∵233AD AB =，3 ∴AB=9，又∵BF=3，∴AF=6， ∴22492536164AE AF EF =+=+=，∴12528BC AE ==，故答案为：258．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明△DEC ∽△DAB 是本题的关键．20．(15+)【分析】首先过点A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=10mCE=AD=15m 然后在Rt △BAE 中∠BAE=60°然后由三角形函数的知识求得BE 的长继而求得答案【详解】如图过点A 作AE ∥解析：(1.5+103) 【分析】首先过点A 作AE ∥DC ，交BC 于点E ，则AE=CD=10m ，CE=AD=1.5m ，然后在Rt △BAE 中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE 的长，继而求得答案．【详解】如图，过点A 作AE ∥DC ，交BC 于点E ，则AE=CD=10m ，CE=AD=1.5m ，∵在Rt △BAE 中，∠BAE=60°，∴BE=AE•tan60°=103m ），∴BC=CE+BE=1.5+103m ），∴旗杆高BC 为(1.5+103，故答案为：(1.5+103．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解题的关键是想添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）32；（2）1．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；【详解】（1）22cos 45tan 60tan 30cos60︒+︒︒-︒=21222⎛⎫⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭=131132=11=23222⨯+-+- ．（2）3tan 3045︒+︒+=32=)1+=412．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键；22．23．【分析】先计算特殊角的三角函数值、零指数幂，化简二次根式，再计算各部分的和即可得到结果．【详解】4sin60°+（3.14-π）0-tan 230°2)3=13 =23．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂及化简二次根式，熟记各特殊角的三角函数值及实数运算法则是解题关键．23．（13；（2）122,3x x ==；（3）11x --，2-．【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；（2）先整理成一般形式，再用因式分解法求解即可；（3）先根据分式的运算法则化简，再把 1.x =代入计算；【详解】解：（12012sin 30|1(2020)2π-⎛⎫︒-+-- ⎪⎝⎭=(121412⨯++-=1141+-3；（2）(3)(1)3x x x --=-，整理，得x 2-5x+6=0，∴(x-2)(x-3)=0∴122,3x x ==；（3）21111x x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭， =211111x x x x x x ++⎛⎫-⨯ ⎪++-⎝⎭=()111x x x x x +-⨯+- =11x --，当1x =时，原式==．【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程，分式的化简求值，二次根式的除法和加法等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）52或203或8或10．【分析】（1）由矩形的性质得到,//,90AB CD AB CD A =∠=︒，继而由一组对边平行且相等证明四边形AEFD 是平行四边形，再根据有一个直角的平行四边形是矩形即可解题；（2）由矩形的性质结合翻折的性质解题即可；（3）分四种情况讨论，①当MA MD =时，②当MD AD =时，③当DA DM =时，④当MA MD =时，分别解题即可．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，,//,90AB CD AB CD A ∴=∠=︒,AE EB DF FC ==,//AE DF AE DF ∴=∴四边形AEFD 是平行四边形90A ∠=︒∴四边形AEFD 是矩形；（2）证明：如图，连接,PM BM四边形AEFD 是矩形，//EF AD ∴BE AE =BO OP ∴=由翻折可知，90PMB A ∠=∠=︒OM OB OP ∴==；（3）①当MA MD =时，连接BM ，过M 作MH AD ⊥于H ，交BC 于F ， ,MA MD MH AD =⊥4AH HD ∴==90BAH ABF AHF ∠=∠=∠=︒∴四边形是ABFH 矩形，4,5BF AH AB FH ∴====90BFM ∴∠=︒5BM BA ==2222543FM BM BF ∴-=-=532HM HF FM ∴=-=-=90,90ABP APB MAH APB ∠+∠=︒∠+∠=︒ABP MAH ∴∠=∠90BAP AHM ∠=∠=︒ABP HAM ∴ AP AB HM AH ∴= 524AP ∴= 52AP ∴=；②当AM AD =时，连接BM ，设BP 交AM 于F ，8,5,AD AM BA BM BF AM ====⊥4AF FM ∴==2222543BF AB AF ∴=-=-=tan AP AF ABF AB BF ∠== 453AP ∴= 203AP ∴=；③当DA DM =时，此时P 点与D 点重合，8AP =；④当MA MD =时，连接BM ，过点M 作MH AD ⊥于H ，交BC 于F ， 5,4BM BF ==3,358FM HM ∴==+=ABP HAM AP AB HM AH = 584AP ∴= 10AP ∴=；综上所述，满足条件的AP 的值为52或203或8或10．【点睛】本题考查四边形综合题，涉及矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、正切当知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．25．（1）点C 到水平地面的距离CE 为652）楼房AB 的高度约为31.3米【分析】（1）如图，作CF ⊥AB 于F ，CE ⊥BD 于E ，在Rt △CDE 中, 设CE x =，由:1:2i CE ED ==，得2ED x =,然后运用勾股定理求得x ，求出CE 的长即可；（2）先由（1）求得x 求出DE 的长，进而求出BE 的长，再说明四边形BECF 是矩形，即65BF CE ==65CF BE ==Rr △ACF 中解三角形求出求出AF ，最后根据线段的和差即可解答【详解】解：（1）如图作CE BD ⊥于E ，CF AB ⊥于F ．在Rt CDE △中，设CE x =，由:1:2i CE ED ==，得2ED x =．由()222230x x +=，解得65x =，所以点C 到水平地面的距离CE 为65米．（2）由（1）可得2125DE CE ==，∴18512565BE BD DE =-=-=，∵90B CEB CFB ∠=∠=∠=︒，∴四边形BECF 是矩形，∴65BF CE ==，65CF BE ==，在Rt ACF 中，4tan tan 533AF ACF CF ∠=︒==， ∴44658533AF CF ==⨯=， ∴856514514 2.23631.30431.3AB AF BF =+=+=≈⨯=≈（米）．答：楼房AB 的高度约为31．3米．【点睛】本题主要考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，正确的添加辅助线构造直角三角形成为解答本题的关键．26．（1）12；（2）(2,2)- 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可；（2）根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A 的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．【详解】解：（1）2tan60sin 45tan 452cos30︒-︒+︒-︒223312⎛⎫=-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 13132=-+- 12=．（2）∵点C 的坐标为(1,0),2AC =，∴点A 的坐标为(3,0)，如图所示，将Rt ABC 先绕点C 逆时针旋转90°，则点A '的坐标为(1,2)，再向左平移3个单位长度，则变换后点A '的对应点坐标为(2,2)-．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移以及特殊角的三角函数值，掌握旋转变换、平移变换的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》检测题(含答案解析)

一、选择题1．在Rt ABC △中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的余弦值（） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．没有变化 2．学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C 处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼地面D 处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为（）A ．7B ．8C ．9D ．103．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,2C BC AB ∠=︒==，则B 等于（）A ．15︒B ．20︒C ．30D ．60︒4．如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为()3,4，那么cos α的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．45 5．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =3BC ，则sin B 的值为（） A ．12 B ．22 C 3D ．23 6．在Rt ABC 中，∠C ＝90º，下列关系式中错误的是（）A ．BC ＝AB•sinAB ．BC ＝AC•tanA C ．AC ＝BC•tanBD ．AC ＝AB•cosB 7．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上，若直线1234//////l l l l 且间距相等，3AB =，2BC =，则tan α的值为（）A ．38B ．13C ．52D ．15158．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ，给出如下定义：若线段OE ，A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．例如，右图中的矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．若点()3,4A ，则直线()10y kx k =+≠的“理想矩形”的面积为（）A ．12B ．314C ．42D ．329．如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x 的值为（）A ．2B ．3C 3D 33210．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（） A ．23 B ．13 C 25 D 5 11．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，连接EO ．若AC=6，BD=8，则cos ∠AEO=（）A ．25B ．35C ．34D ．4512．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知,,AB m BAC a =∠=∠则下列结论错误．．的是（）A ．BDC α∠=∠B ．tan BC m a =⋅ C ．2sin m AO α=D ．cos m BD a= 二、填空题13．如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，ABD ACB ∠=∠，15AD AC =，则sin ABD ∠=________．14．如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部8m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪CD 的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为_____m ．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）15．如图，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC =1200m ，求此时飞机到目标B 的距离AB 为_______m ．16．已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，且a 、b 、c 满足2()()b c a c a =+-，若540b c -=，则sin sin A B +的值为_________．17．在平面直角坐标系中，等边ABO 如图放置，其中()2,0B ，则过点A 的反比例函数的表达式为________．18．2cos302sin303tan45︒-+︒=______．19．如图，四边形ABCD 中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E 是对角线BD 上的一个动点，过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，连结FG 和HI ，则FG+HI 的最小值为________．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则cos A 的值是_____．三、解答题21．如图，某天然气公司的主输气管道途经A 小区，继续沿A 小区的北偏东60︒方向往前铺设，测绘员在A 处测得另一个需要安装天然气的M 小区位于北偏东30方向，测绘员从A 处出发，沿主输气管道步行到达C 处，此时测得M 小区位于北偏西60︒方向．（1）求AMC ∠与ACM ∠度数；（2）现要在主输气管道AC 上选择一个支管道连接点N ，使从N 处到M 小区铺设的管道最短，且2000AC =米，求A 小区与支管道连接点N 的距离．22．如图，建设“五化东安”，打造“绿色发展样板城市”．在数学课外实践活动中，小薇在紫水河北岸的自行车绿化道AC 上，在A 处测得对岸的吴公塔D 位于南偏东60°方向，往东走300米到达B 处，测得对岸的吴公塔D 位于南偏东30°方向．（1）求吴公塔D 到紫水河北岸AC 的距离约为多少米？（精确到13≈1.73）（2）小薇继续向东走到轮船码头C 处，测得对岸的吴公塔D 位于西南方向．已知小薇的平均速度为每小时5千米，小薇从B 处到轮船码头大约几分钟？（精确到1分钟） 23．先化简，再求值：21111211a a a a a a ---÷-+++，其中a ＝2tan60°•sin30°． 24．226(sin30sin 60)︒︒-．25．（1）计算：03tan 30|32|(2021)π︒++-（2）已知::9:11:15a b c =，且70a b c ++=．求a 的值．26．（1）计算：2sin 452cos 6036018︒+︒︒+（2）解方程：2320x x -+=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据三角函数的定义和分数的基本性质联手解答即可．【详解】如图，cosA=BC AB ，根据分数的基本性质，得BC AB =22BC AB， ∴余弦值不变，故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及其分数的基本性质，熟练掌握函数的定义，灵活运用分数的基本性质是解题的关键．2．C解析：C【分析】过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则四边形ACDE 为矩形，AE=CD=6米，AC=DE ．设BE=x 米，先解Rt △BDE ，得出3米，3x 米，再解Rt △ABC ，得出AB=3x 米，然后根据AB-BE=AE ，列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE=CD=6米，AC=DE ．设BE=x 米．∵在Rt △BDE 中，∠BED=90°，∠BDE=30°，∴DE=3tan 30BE =︒3米， ∴3x 米．∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，∴AB=tan 603AC AC ︒=33米，∵AB-BE=AE ，∴3x-x=6，∴x=3，AB=3×3=9（米）．即旗杆AB 的高度为9米．故选：C ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 3．C解析：C【分析】由锐角三角函数余弦的定义即可得出∠B=30°．【详解】解：∵∠C=90°，3，AB=2， ∴3cos 2BC B AB ==， ∴∠B=30°，故选：C ．【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．4．C解析：C【分析】作AB⊥x轴于B，先利用勾股定理计算出OA＝5，然后在Rt△AOB中利用余弦的定义求解即可．【详解】解：作AB⊥x轴于B，如图，∵点A的坐标为（3，4），∴OB＝3，AB＝4，∴OA＝2234+＝5，在Rt△AOB中，cosα＝35 OBOA=．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．5．D解析：D【分析】设BC=a，则AB=3a，根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求sin B．【详解】解：设BC=a，则AB=3a，2222922AC AB BC a a a-=-=，sin B=222233AC aAB a==，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．6．D解析：D【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．【详解】解：A 、∵sin BC A AB=， ∴sin BC AB A =，故正确，不符合题意；B 、∵tanA= BC AC， ∴BC=AC•tanA ，故正确，不符合题意；C 、∵tanB=AC BC， ∴A C=BC•tanB ，故正确，不符合题意；D 、∵cos BC B AB=， ∴cos BC AB B =，故错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．B解析：B【分析】根据题意，可以得到BG 的长，再根据∠ABG=90°，AB=3，可以得到∠BAG 的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG=∠α，从而可以得到tanα的值．【详解】解：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，由已知可得，GE ∥BF ，CE=EF ，∴△CEG ∽△CFB ， ∴CE CG CF CB =， ∵12CE CF =， ∴12CG CB =， ∵BC=2，∴GB=1，∵l 3∥l 4，∴∠α=∠GAB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，∴∠ABG=90°， ∴1tan 3BG BAG AB ∠==， ∴tanα的值为13，故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．B解析：B【分析】过点A 作AF y ⊥轴于点F ，连接AO 、AC ，如图，根据点(3,4)A 在直线1y kx =+上可求出k ，设直线1y x =+与y 轴相交于点G ，易求出1OG =，45FGA ∠=︒，根据勾股定理可求出AG 、AB 、BC 的值，从而可求出“理想矩形” ABCD 面积．【详解】解：过点A 作AF y ⊥轴于点F ，连接AO 、AC ，如图．点A 的坐标为(3,4)，22345AC AO ∴==+=，3AF =，4OF =．点(3,4)A 在直线1y kx =+上，314k ∴+=，解得1k =．设直线1y x =+与y 轴相交于点G ，当0x =时，1y =，点(0,1)G ，1OG =，413FG AF ∴=-==，45FGA ∴∠=︒，223332AG +=在Rt GAB ∆中，tan 4532AB AG =︒=在Rt ABC ∆中，22225(32)7BC AC AB --=∴所求“理想矩形” ABCD 面积为327314AB BC =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．9．D解析：D【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB ，构造三角形ABC 与三角形ABE ，利用三角函数解直角三角形即可【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD 是6，BF=1BD 2=3，则边长AB 为3，连AC 交BD 于E ，则AC ⊥BD ，由左视图得AE=CE=x ，在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=32，33，即x=332．故选择：D.【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．10．C解析：C【分析】由tanA=BCAC=2，设BC=2x，可得AC=x，Rt△ABC中利用勾股定理算出5x，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA的值．【详解】解：由tanA=BCAC=2，设BC=2x，则AC=x，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴根据勾股定理，得()222225BC AC x x x+=+=，因此，sinA=255BCAB x==故选：C．【点睛】本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．11．D解析：D【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求得BC=5，根据直角三角形斜边中线的性质证得OE=OA=OC ，证得∠AEO=∠EAO ，再利用同角的余角相等证得∠OBC=∠EAC ，利用锐角三角函数的定义即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，且AC=6，BD=8，∴AC ⊥BD ，OB=OD=4，OA=OC=3，∴==5，∵AE ⊥BC ，OA=OC ，∴OE=OA=OC ，∴∠AEO=∠EAO ，∵AE ⊥BC ，AC ⊥BD ，∴∠OBC+∠BCO =∠EAC+∠BCO ，∴∠OBC=∠EAC ，即∠AEO=∠OBC ，∴cos ∠AEO= cos ∠OBC =45OB BC =．故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 12．C解析：C【分析】根据矩形的性质得出∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝DC ，再解直角三角形判定各项即可．【详解】选项A ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴AO ＝OB ＝CO ＝DO ，∴∠DBC ＝∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC ＝∠BDC ＝∠α，选项A 正确；选项B ，在Rt △ABC 中，tanα＝BC m ，即BC ＝m •tanα，选项B 正确；选项C ，在Rt △ABC 中，AC ＝cos m α，即AO ＝2cos m α，选项C 错误；选项D ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ＝AB ＝m ，∵∠BAC ＝∠BDC ＝α，∴在Rt △DCB 中，BD ＝cos m α，选项D 正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．二、填空题13．【分析】由为公共角证明可得由设则求解再利用从而可得答案【详解】解：为公共角设（负根舍去）故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质求解锐角三角函数值掌握以上知识是解题的关键【分析】由A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，证明,ABD ACB ∽ 可得2,AB AD AC =由15AD AC =，设,AD m = 则5,AC m = 求解,AB = ,BD == 再利用 sin ,AD ABD BD∠=从而可得答案．【详解】解： A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，,ABD ACB ∴∽ ,AB AD AC AB∴= 2,AB AD AC ∴= 15AD AC =，设,AD m = 5,AC m ∴= 2255,AB m m m ∴==,AB ∴= （负根舍去）90,A ∠=︒,BD ∴===sinAD ABD BD ∴∠===故答案为：6.6【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，求解锐角三角函数值，掌握以上知识是解题的关键．14．11【分析】根据题意作辅助线DE ⊥AB 然后根据锐角三角函数可以得到AE 的长从而可以求得AB 的长本题得以解决【详解】解：作DE ⊥AB 于点E 由题意可得DE ＝CD ＝8m ∵∠ADE ＝50°∴AE ＝DE•ta解析：11【分析】根据题意，作辅助线DE ⊥AB ，然后根据锐角三角函数可以得到AE 的长，从而可以求得AB 的长，本题得以解决．【详解】解：作DE ⊥AB 于点E ，由题意可得，DE ＝CD ＝8m ，∵∠ADE ＝50°，∴AE ＝DE •tan50°≈8×1.19＝9.52（m ），∵BE ＝CD ＝1.5m ，∴AB ＝AE +BE ＝9.52+1.52＝11.2≈11（m ），故答案为：11．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．2400【分析】根据题意得：根据含角的直角三角形的性质计算即可得到答案【详解】∵俯角α=30°∴∵AC=1200m ∴m 故答案为：2400【点睛】本题考查了直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角的解析：2400【分析】根据题意得：30ABC ∠=，根据含30角的直角三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】∵俯角α=30°∴30ABC ∠=∵AC =1200m∴22400AB AC ==m故答案为：2400．【点睛】本题考查了直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含30角的直角三角形的性质，从而完成求解．16．【分析】把所给的式子进行整理判断出三角形的形状进而计算相应角的正弦值的和【详解】解：∵∴b2=c2-a2即：a2+b2=c2∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形∵5b-4c=0∴设b=4kc=5k ∴△ 解析：75【分析】把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和．【详解】解：∵2()()b c a c a =+-， ∴b 2=c 2-a 2，即：a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形，∵5b-4c=0， ∴45b c =，设b=4k ，c=5k ，∴△ABC 中，， ∴35a c =， ∴sinA+sinB=347555a b c c +=+=，故答案为：75．【点睛】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解直角三角形，在直角三角形中，一个角的正弦值等于它的对边与斜边之比．17．y ＝【分析】过点A 作AC ⊥OB 于C 设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝根据等边三角形的性质得到OA ＝OB=2∠AOC ＝60°利用三角函数求出OCAC 得到点A 的坐标代入函数解析式即可【详解】解：过点A 作解析：y ＝3 【分析】过点A 作AC ⊥OB 于C ，设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝k x，根据等边三角形的性质得到OA ＝OB=2，∠AOC ＝60°，利用三角函数求出OC 、AC ，得到点A 的坐标，代入函数解析式即可．【详解】解：过点A 作AC ⊥OB 于C ，设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝k x ， ∵△OAB 是等边三角形，()2,0B ，∴OA ＝OB=2，∠AOC ＝60°，∴OC ＝OA ×cos ∠AOC ＝2×12＝1，AC ＝OA ×sin ∠AOC ＝2×32＝3， ∴点A 的坐标为（1，3），∴3＝1k，解得，k ＝3，∴过点A 的反比例函数的表达式为y ＝3x，故答案为：y ＝3x．【点睛】此题考查等边三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数、待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是利用锐角三角函数求出OC 、AC 的长．18．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算熟记特殊角的三角函数值是解题关键32【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：12cos302sin 303tan 45223113222︒-+︒=⨯-⨯+⨯=+=，2．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 19．3【分析】先证明得到再证明：四边形四边形为矩形得到所以只要求的最小值即可当时最小再利用锐角三角函数可得答案【详解】解：AB=BC=3∠A=∠C=90°由过点E 分别作ABBCCDAD 的垂线垂足分别为点解析：【分析】先证明,Rt ABD Rt CBD ≌得到60,30,ABD CBD GDE IDE ∠=∠=︒∠=∠=︒再证明：,FG HI =四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，得到AE FG =，所以只要求AE 的最小值即可，当AE BD ⊥时，AE 最小，再利用锐角三角函数可得答案．【详解】解： AB=BC=3，∠A=∠C=90°，,120,BD BD ABC =∠=︒,Rt ABD Rt CBD ∴≌60,30,ABD CBD GDE IDE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒由过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，,,EF EH EG EI ∴== 四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，90,FEG HEI ∴∠=∠=︒,FEG HEI ∴≌∴ ,FG HI =当FG 最小，则FG HI +最小，四边形AFEG 为矩形，,AE FG ∴=所以：当AE BD ⊥时，AE 最小，3,60,AB ABE =∠=︒sin 60,AE AB∴︒=3AE ∴==所以：FG所以：FG HI +的最小值是：3323 3.⨯= 故答案为：3 3.【点睛】本题考查的是点到直线的距离垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．20．【分析】根据余弦的定义解答即可【详解】解：在Rt △ABC 中cosA ＝＝故答案为：【点睛】此题考查解直角三角形正确掌握三角函数的计算公式是解题的关键解析：513 【分析】根据余弦的定义解答即可. 【详解】解：在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ＝513，故答案为：513. 【点睛】此题考查解直角三角形，正确掌握三角函数的计算公式是解题的关键. 三、解答题21．（1）∠AMC =90°，∠ACM =60°；（2）1500米【分析】（1）根据方向角可以证得∠AMC =90°，；（2）过M 作MN ⊥AC 交于N 点，即MN 最短，根据三角函数即可求得AM 的长，进而求得AN 的长．【详解】解：（1）∵∠MAC =60°-30°=30°，∠ACM =30°+30°=60°，∴∠AMC =180°-30°-60°=90°，故答案为：90°，60°；（2）当MN ⊥AC 时，从N 到M 小区铺设的管道最短，在Rt△AMC中，∵∠AMC=90°，∠MAC=30°，AC=2000，∴AM=AC•cos∠MAC=2000×3=10003米，在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，cos30°=AN AM，∴AN=AM×cos30°=10003×3=1500米，答：AN的长为1500米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．22．（1）260，（2）5；【分析】（1）如图，过点D作DH⊥AC于点H．设DH=x米，通过解直角三角形列方程，得到DH 的长度．（2）求出BC长，再求时间即可．【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H．由题意可知，∠HBD＝60°，∠DAC＝30°，AB＝300，设DH=x米，在直角△BHD中，tan60°＝DH BH，3xtan30°＝DH AH，3x，3x 3x，解得，x=1503，∴DH ＝1503≈150×1.73≈260．答：求吴公塔D 到紫水河北岸AC 的距离约为260米．（2）由（1）可知，BH=150米，小薇继续向东走到轮船码头C 处，测得对岸的吴公塔D 位于西南方向，可知DH=HC=260米，BC=150+260=410（米），410米=0.41千米，小薇从B 处到轮船码头的时间为0.410.0825=（小时）， 0.082×60=4.92≈5（分钟），小薇从B 处到轮船码头的时间为5分钟．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是构造直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算． 23．221a -；1 【分析】原式利用除法法则变形，约分后利用异分母分式的减法法则计算，得到最简结果，再计算出a 的值，把a 的值代入计算即可求出值．【详解】解：21111211a a a a a a ---÷-+++ 21111(1)1a a a a a -+=-⋅-+- 1111a a =--+ 2(1)(1)a a =+- 221a =-； ∵a ＝2tan60°•sin30° =1232=∴原式1==．【点睛】此题考查了分式的化简求值以及特殊锐角三角函数值的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．12【分析】先利用特殊的三角函数值计算，再利用二次根式的混合运算法则计算得出结果．【详解】解：原式1)2=-12=+162=-+．【点睛】本题考查了特殊的三角函数值及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 25．（1）3；（2）18【分析】（1）分别利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂计算各部分即可求解；（2）设9a k =，11b k =，15c k =，利用70a b c ++=求出k 的值，即可求解．【详解】解：（1）原式32133=⨯+=；（2）::9:11:15a b c =，91115a b c ∴== 设91115a b c k ===，则9a k =，11b k =，15c k = 70a b c ++=9111570k k k ∴++=2k ∴=18a ∴=．【点睛】本题考查实数的运算、比例的性质，掌握特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂以及见比设参的方法是解题的关键．26．（1）2；（2）121, 2.x x ==【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可；（2）运用因式分解法求解即可得出答案．【详解】解：（1）2sin 452cos 6060︒+︒︒1222=⨯2=；（2）2320x x -+=因式分解，得()()120.x x --=于是得10x -=或20x -=，所以方程的两根为1212x x ==，【点睛】此题考查了分解因式法解一元二次方程和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．。

北师大版数学九年级下册14解直角三角形同步测试题

北师大版数学九年级下册14解直角三角形同步测试题1.4解直角三角形同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，） 1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，tanA=12，则AB的长是（）A.2B.8C.25D.45 2.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90∘，BC≥AC，则tanB=( )A.22B.32C.23D.33 3.如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设∠BCD=α，则tanα的值为( )A.34B.43C.35D.454如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，c=10，则下列不正确的是（）A.∠B=60∘B.a=5C.b=53D.tanB=33 5.在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，若AD=1，tanA=2，则BD的长等于（）A.5B.3C.10D.4 6.如图，在△ABC中，inB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为（）A.2B.52C.5D.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD=2CD，AB⊥AD，若tanB=43，则tan∠CAD=()A.33B.14C.3D.13二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）8.在△ABC中，∠C＝90∘，BC＝2，inA=23，则边AC的长是________．9.在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，inA=16，那么AB=________．10.如图，已知∠ABD=∠C=90∘，AD=12，AC=BD，∠BAD=30∘，则BC=________．11.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=23，则CB的长为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，CD⊥AB，垂足为D，若CD=18，AD=24，则tanB=________．13.如图，A，B，C，D分别是∠α边上的四个点，且CA，DB均垂直于∠α的一条边，如果CA＝AB＝2，BD＝3，那么tanα＝________．14.如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则co∠BAF＝________．三、解答题（本题共计8小题，共计78分，）15.解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=5，c=13，求inA，coA，tanA．（2）Rt△ABC的斜边AB=5，coA=0.5，求△ABC的其他元素．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=33，求AB的长及∠A的度数．17在△ABC中，∠C=90∘，根据下列条件解直角三角形．（1）∠A=30∘，a=6；（2）∠A=30∘，b=103．18在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在FD的延长线上，AB // CF，∠F=∠ACB=90∘，∠E=45∘，∠A=60∘，AC=10，试求CD的长．19.如图，某商场门前的台阶高出地面0.9米，即CB=0.9米，现计划将此台阶改造成坡角为10∘的斜坡．求斜坡AC的长．（结果精确到0.1m）【参考数据：in10∘≈0.17，co10∘≈0.98，tan10∘≈0.18】20利用图形，我们可以求出tan30∘的值．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，AB=2，AC=1，可求出∠B=30∘，tan30∘=ACBC=13=33．在此图的基础上，我们还可以添加适当的辅助线，求出tan15∘的值，请你动手试一试．21.将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点、、在同一条直线上，，，，，，，求的长. 22已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P为AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=某，AQ=y．（1）写出y与某之间的函数关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．。

北师大版九年级下数学第一单元直角三角形的边角关系测试试题(含答案)

九年级数学第一单元测试题一、选择题(每小题3分，共30分)1．cos 60°的值等于( A ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B 的值为( B )A.43B.34C.35D.453．如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m )，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为( A )A.45B.54C.35D.534．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，则cos A2的值是( A )A.45B.35C.34D.545．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝32，则α等于( C ) A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°6．点M (－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是( B ) A.⎝⎛⎭⎫32，12 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，327．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，下边各组边的比不能表示sin B 的是( B )A.CD BC B.BD BC C.AD AC D.ACAB8．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm9．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米10．如图，要在宽为22米的九洲大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长为2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( D )A.()11－22米B.()113－22米C.()11－23米D.()113－4米二、填空题(每小题4分，共16分)11．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，那么AB ＝__9__．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝15.则△ABC 的周长是__36__．13．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是________．14．如图，从一个建筑物的A 处测得对面楼BC 的顶部B 的仰角为32°，底部C 的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD 为31 m ，则楼BC 的高度约为__50__m ．(结果取整数，参考数据：sin 32°≈0.5，cos 32°≈0.8，tan 32°≈0.6)三、解答题(共54分) 15．(8分)计算：(1)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos 245°； (2)16＋⎝⎛⎭⎫－12－1＋(3－5)0－3cos 30°. 解：(1)原式＝2×12＋12－3×33＋⎝⎛⎭⎫222＝1.(2)4＋(－2)＋1－3×32＝3－32＝32. 16．(9分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠C ＝90°. (1)已知c ＝83，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ； (2)已知a ＝36，∠A ＝30°，求∠B ，b ，c . 解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°， b ＝a tan A ＝36tan 30°＝3633＝9 2.17．(9分)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设过点C 作直线AB 的垂线l ，过点B 作一直线(在山的旁边经过)，与l 相交于点D ，经测量，∠ABD ＝135°，BD ＝800米，求在直线l 上距离点D 多远的C 处开挖？(2≈1.414，精确到1米)解：∵CD ⊥AC ， CD 2＋BC 2＝BD 2， BD ＝800米，∴CD ＝400 2≈566(米)，即在直线l 上距离点D 约566米的C 处开挖．18．(9分)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问：小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin 20°≈0.34, cos 20°≈0.94, tan 20°≈0.36)解：在Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，∴5.64米在5.3～5.7米范围内，故符合要求．19．(9分)如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．(结果保留小数点后两位，参考数据：sin 22°≈0.374 6, cos 22°≈0.927 2, tan 22°≈0.404 0)解：由图可知∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°，∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°.m)．20．(10分)为了安全，请勿超速．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时．为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：没超速．理由如下：14．6米/秒＜1623米/秒，故此车没有超速．B卷(50分)一、填空题(每小题5分，共20分)21．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为__2__．错误!第22题图)22．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB, cos A＝35，BE＝2，则tan∠DBE的值是__2__．23．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，将Rt△ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕为BE，这样可以求出22.5°的正切值是．第23题图第24题图24．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°.如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上的N处，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB是__a__米．二、解答题(共30分)25．(10分)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个码头，A在B的正东方向．一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A，B两个码头间的距离．(结果都保留根号)解：如答图，过点P作PM⊥AB于点M，则∠PMB＝∠PMA＝90°.∵∠PBM＝90°－45°＝45°，∠PAM＝90°－60°＝30°，AP＝20海里，即小船到B码头的距离是102海里，A，B两个码头间的距离是(10＋103)海里．26．(10分)广安市政府对城市建设进行了整改．如图所示，已知斜坡AB长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC.现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.(下面两个小题结果都保留根号)(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长度；(2)一座建筑物GH距离点A33米(即AG＝33米)，小亮在点D测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？解：(1)∵BC⊥AC，∠BAC＝45°，∴BF＝DF＝30(米)．∵BE的坡比为3∶1，∴∠BEF＝60°.∵tan∠BEF＝BFEF＝3，∴EF＝BF3＝303＝103(米)．∴DE＝DF－EF＝(30－103)米，即休闲平台DE的长为(30－103)米．(2)如答图，过点D作DP⊥AC于点P，则四边形GPDM为矩形．∵D为AB的中点，∴AD＝12AB＝302米，∴AP＝DP＝GM＝30米，∴MD＝GP＝33＋30＝63(米)．∵tan∠HDM＝HMMD，即HM63＝33，∴HM＝6333＝213(米)．∴GH＝GM＋HM＝(30＋213)(米)，即建筑物GH高为(30＋213)(米)．27．(10分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C.利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin 30°sin 45°＝6×1222＝3 2.问题解决：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？解：(1)△A1A2B2是等边三角形．证明：如图，由题意，得A2B2＝102海里，∴∠B2B1A1＝75°－15°＝60°.又∵∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，∴在△A1B2B1中，由正弦定理得B1B2sin 45°＝A1B2sin 60°，∴B1B2＝A1B2sin 60°·sin 45°＝2033海里，∴乙船的速度大小为2033÷2060＝203(海里/小时)，。

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米.（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A.5.6B.6.9C.11.4D.13.92、如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（）A.aB.1.5aC.D.3、已知β为锐角,cosβ≤,则β的取值范围为( )A.30°≤β＜90°B.0°＜β≤60°C.60°≤β＜90° D.30°≤β＜60°4、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（）A. B. C. D.5、如图，半径为2的圆O与含30°角的直角三角板ABC的AB边切于点A，将直角三角板沿BA边所在的直线向右平移，当平移到AC与圆O相切时，该直角三角板的平移距离为（）A. B. C.1 D.26、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且，则△ABC底角的度数为（）A.45°B.75°C.15°或45°或75°D.60°7、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A.10mB.10 mC.15mD.5 m8、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）9、某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（）A. B. C. D.10、如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D 重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（）A. B. C. D.11、在△ABC中，∠C=90°，且两条直角边a，b满足a2﹣5ab+6b2=0，则tanA的值为（）A.5或6B.2C.3D.2或312、如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A. B. C. D.13、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A. B. C. D.14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么cosA的值为（）A. B. C. D.15、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则cos∠ADC=________．17、如图所示，以锐角△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC，BC于E、D两点，若AC=14，CD=4，7sinC=3tanB，则BD=________．18、已知sin 33°18'≈0.549 0,则cos 56°42'≈________ .19、如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为________m．20、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=1，则cosB的值是________21、如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=， AB=15，AC=________22、如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是________．23、如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是________.24、如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是CD上一点，∠FBE＝45°，则tan∠FEB的值是________．25、如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，都是边长为2的等边三角形，边AO 在y轴上，点B1、B2、B3都在直线y= x上，则点A2020的坐标为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：（﹣2）﹣2+ cos60°﹣（﹣2）0；27、已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．28、深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点4的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度。

北师大版九年级数学下册1.4 解直角三角形同步测试卷

1.4 解直角三角形同步测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分，）1. 如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45∘和60∘．若此观测点离地面的高度CD为30米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（）米．A.30+10B.40C.45D.30+152. 在△ABC中，∠C=90∘，AC=16，sinB=0.8，则BC的长是( )A.12B.16C.20D.243. 如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31∘，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为( )米．A.600⋅sin31∘B.600tan31∘C.600⋅tan31∘ D.600sin31∘4. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120∘，则BD:AC等于（）A.√3:2B.√3:3C.1:2D.√3:15. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=2√3，则AB的长为（）A.3+√3B.2+2√2C.2√3D.66. 如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC // AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30∘，斜坡BC的坡角β为45∘，则斜坡BC的长为()A.6米B.米C.4米D.米7. 如图，在△ABC中AB＝2√5，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使得点B恰好落在BC的中点B′处，得到△AB′C′．若tan∠CB′C′=4，则BC的长为（）3A.4√5B.6C.8D.10二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）8. 在三角形ABC中，AB=2，AC=√3，∠B=45∘，则BC的长________．9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AM是BC边上的中线，cos∠CAM=4，则tan∠B5的值为________．10. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AB=6，cosA=1，那么AC=________．311. 如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，开通隧道后，汽车可直接沿线段AB行驶．已知BC=80km，∠A=45∘，∠B=30∘，则开通隧道后，汽车从A地到B地大约________km.(结果精确到0.1km，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)试卷第2页，总5页12. 如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了4√2个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏东60∘的方向上，则原来A的坐标为________（结果保留根号）．13. 在如图所示的正方形网格中，∠1________∠2．（填“>”，“＝”，“<”）14. 在Rt△ABC中，∠C=90∘,BC=24,cosA=5，则AC=________．1315. 在△ABC中，AB=√2，AC=√10，tanC=1，则∠B的度数为________．316. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为________．17. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，DB平分∠ADC,AE//CD，∠ABC+∠AEB= 180∘,EB=√5+2，则CD的长为________．三、解答题（本题共计 7 小题，共计69分，）18. 如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠BAC=75∘，AC=8．求AB和BC的长．试卷第4页，总5页19. 如图，Rt △ABC 中，∠A =90∘，它的面积为2√6cm 2，直角边AB 长为√2cm ，求△ABC 的周长．20. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90∘，已知sinA=35，∠A 是锐角，求cosA 、tanA 的值．21. 如图：在Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =8，∠B =60∘，解直角三角形．22. 在△ABC 中，∠A =30，tanB =13，BC =√10．求AB 的长．23. 如图，某汽车在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角为30∘，乙建筑物的高度为15米，若汽车刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与公路夹角为45∘，请问他行驶了多少米？24. 如图是某游乐园的两个在同一水平面BF上的长度相同的滑梯模型图，已知滑梯斜面BC=EF=6m，∠ABC=30∘，∠EFD=64∘，且对角线CE所在的四边形是正方形，对角线CD所在的四边形是矩形．若小红沿着路线D−C−B−D完成一圈，小芳沿着路线D−C−E−F−D完成一圈，试计算说明，小红和小芳谁的路程更短，短多少？（精确到0.1m）（参考数据：sin64∘≈0.90，cos64∘≈0.44，tan64∘≈2.05，√2≈1.41，√3≈1.73）试卷第6页，总1页。

北师大版九(下)数学1.4解直角三角形同步检测(原创)

北师大版九（下)数学1.4解直角三角形同步检测（原创) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为（）A B ．14 C D 2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是（）A ．sin A ＝2B ．tan A ＝12C ．cos B ＝2D ．tan B 3．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A 到达山顶B 缆车需要16分钟，则山的高度BC 为（）A ．800sin32⋅oB ．800tan 32oC ．800tan 32⋅oD ．800sin 32o4．已知Rt ABC V 中，90C ∠=︒，AB =1tan 2A =，则BC 的长是（）A ．2B ．8C ．D ．5．如图，一个木块沿着倾斜角为47︒的斜坡，从A 滑行至B 巳知5AB =米，则这个木块的高度约下降了（参考数据：470.73sin ︒≈，cos470.68︒≈，tan 47 1.07︒≈）（）A ．3．65米B ．3．40米C ．3．35米D ．3．55米 6．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，则cos ∠DBE 的值是（）A ．12B ．4CD ．37．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα8．如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=3，点E 时BC 上一点，且AE=AD,过点D 做DF ⊥AE 于F ，则tan ∠CDF 的值为（）A ．35B ．34C ．23 D ．45二、填空题9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面45°，则小巷的宽度为_____米（结果保留根号）．10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin 2A ＝_____． 11．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝23，那么线段AB 的长是_____．12．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan C ＝BAC ＝105°，AC ＝2，那么BC 的长度为_____．13．如图，在点B 处测得塔顶A 的仰角为α，点B 到塔底C 的水平距离BC 是30m ，那么塔AC 的高度为_________m （用含α的式子表示）.14．如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是_______．15．如图，Rt AOB V ，90AOB ∠=︒，顶点,A B 分别在反比例函数1(0)y x x=>与10(x 0)y x=-<的图象上，则tan BAO ∠的值为_____．三、解答题16．如图所示，在四边形ABCD 中，AB =AD =，2BC =，30︒∠=CAD ，90D ︒∠=，求ACB ∠的度数？17．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，若BC ＝6，sin A ＝35，求DE 的长．18．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BD ⊥AC 于点D ，sin A ＝1213（1）求BD 的长；（2）求tan C 的值．19．如图，在直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35．求：(1)点B 的坐标；(2)cos ∠BAO 的值．20．如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan ∠ABC=34．（1）求边AC 的长；（2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB的值．21．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+()0a ≠的图象与反比例函数k y x=()0k ≠的图象交于一、三象限内的A ，B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为()2,m ，点B 的坐标为(),2n -，2tan 5BOC ∠=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出关于x 的不等式k ax b x +<的解集；（3）连接OA ，求ABO ∆的面积．22．在探究锐角三角函数的意义的学习过程中，小亮发现：“如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，可探究得到sin sin a b A B=”（1）请你利用图1探究说明小亮的说法是否正确；（2）小丽猜想“如果在钝角三角形中，两个锐角正弦值与它们所对边的边长之间也有一定的关系“在图2的钝角ABC V 中，B Ð是钝角，请你利用图2帮小丽探究sin a A 与sin c C之间的关系，并写出探究过程．（3）在锐角ABC V 中，sin a A ，sin b B ，sin c C之间存在什么关系，请你探究并直接写出结论．参考答案1．A【解析】∵在Rt △ABC 中,∠C =90°，AB =4，AC =1，∴BC ，则cos B =BC AB =4 ，故选A2．D【解析】【分析】根据三角函数的定义求解．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2．∴AC =∴sinA ＝12BC AB =，tanA ＝3BC AC ==，cosB ＝12BC AB =，tanB ＝AC BC = 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义． 3．A【解析】【分析】作BC ⊥AC ，垂足为C ．在Rt △ABC 中，利用三角函数解答即可．【详解】如图，作BC ⊥AC ，垂足为C ．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =32°，AB =50×16=800，sin ∠BAC =BC AB，∴BC =AB • sin ∠BAC =800•sin32°（米）．故选A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键． 4．A【解析】【分析】根据题意可以设出BC 和AC 的长度，然后根据勾股定理可以求得BC 的长即可．【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠C=90°，12AB tanA ==∴设BC=a ，则AC=2a ，∴222(2)(a a +＝，解得，a=2或a=-2（舍去），∴BC=2.故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5．A【解析】【分析】过点A 作AC 垂直于水平线，交于点C ，构造t R ABC V ，解直角三角形，求出AC ，AC 即木块下降的高度.【详解】本题考查三角函数的定义．过A 点作水平面的垂线AC ，垂足为C ，则sin 47AC AB︒=，故50.73 3.65AC ≈⨯=（米），故选A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.6．C【解析】【分析】由cos ∠A ＝AE AD ＝35，可以假设AE ＝3k ，AD ＝5k ，则DE ＝4k ．想办法求出BE ，BD 即可解决问题．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∵cos ∠A ＝AE AD ＝35， ∴可以假设AE ＝3k ，AD ＝5k ，则DE ＝4k ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝5k ，∴BE ＝2k ，∴BD ，∴cos ∠DBE ＝BEBD ，故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．7．B【解析】【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α，在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα，故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 8．B【解析】【分析】根据直角三角形中角的互余结合等量代换思想解答即可.【详解】解：在矩形ABCD 中，AD=5，AB=3，且AE=ADBE 4∴==DF ⊥AE ADF DAF 90? ADF CDF 90? CDF DAF ∠∠∠∠∠∠∴+=︒+=︒∴= 同理可得：DAF AEB? CDF AEB ∠∠∠∠=∴=∴tan ∠CDF=tan ∠AEB=34. 故选B.【点睛】此题重点考察学生对矩形性质的理解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.9．2+【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC 中，用正切和正弦，分别求出BC 和AC （即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE 中，用∠DCE 的余弦求出DC ，然后把BC 和DC 加起来即为巷子的宽度．【详解】解：如图所示：米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE. 则在直角三角形ABC中,AB BC ＝tan∠ACB＝tan60°，AB AC ＝sin∠ACB＝sin60°＝2,∴BC＝2，AC4，∴直角三角形DCE中，CE=AC=4，∴CDCE＝cos45°＝2，∴CD＝CE×2＝4×2＝∴BD＝,故答案为：.【点睛】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．10．1 2【解析】【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．【详解】解：∵sin BC A AB == ∴∠A ＝60°， ∴1sinsin 3022A ︒==．故答案为12．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．11．【解析】【分析】在Rt BDC V 中，根据直角三角形的边角关系求出CD ，根据勾股定理求出BD ，在在Rt ABD V 中，再求出AB 即可．【详解】解：在Rt △BDC 中，∵BC ＝4，sin ∠DBC ＝23， ∴28sin 433CD BC DBC =⨯∠=⨯=，∴3BD ==， ∵∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∴∠A ＝∠DBC ，在Rt △ABD 中，∴3sin 2BD AB A ===故答案为：【点睛】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．12．【解析】【分析】根据已知条件得到∠C ＝30°，根据三角形的内角和得到∠CAD ＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：∵tan C ＝3， ∴∠C ＝30°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＝60°，∵AC ＝2，∴AD ＝12AC ＝1，CD ∵∠BAC ＝105°，∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°．在Rt △ADB 中，BD ＝AD ＝1，∴BC ＝故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．30tan α【解析】【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．【详解】解：∵在点B 处测得塔顶A 的仰角为α，∴∠B ＝α，∵BC ＝30m ，∴AC ＝BC •tan α＝30tan α，故答案为30tan α．【点睛】此题考查了解直角三角形−仰角的定义，注意方程思想与数形结合思想的应用．14．（3）【解析】【分析】如图，作B′H ⊥y 轴于H ．解直角三角形求出B′H ，OH 即可．【详解】如图，作B′H ⊥y 轴于H ，由题意：OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60°，∴∠A′B′H=30°，∴AH′=12A′B′=1，B′H= ∴OH=3，∴B′（3），故答案为：（3）．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．15【解析】【分析】过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴于D ，于是得到90BDO ACO ∠=∠=︒，根据反比例函数的性质得到5BDO S ∆=，12AOC S ∆=，根据相似三角形的性质得到25()1012BOD OAC S OB S OA ∆∆===，求得OB OA = 【详解】解：如图，过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴于D ，则90BDO ACO ∠=∠=︒，Q 顶点A ，B 分别在反比例函数1(0)y x x =>与10(x 0)y x =-<的图象上， 5BDO S ∆∴=，12AOC S ∆=， 90AOB ∠=︒Q ，90BOD DBO BOD AOC ∴∠+∠=∠+∠=︒，DBO AOC ∴∠=∠，BDO OCA ∴∆∆∽， ∴25()1012BOD OAC S OB S OA∆∆===，∴OB OAtan OB BAO OA ∴∠==．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．16．90ACB ︒∠=【解析】【分析】设CD 为x ,根据勾股定理列出等式算出x 的值,再代入计算即可．【详解】解:设CD x =，∵90D ︒∠=，30︒∠=CAD ，∴22AC CD x ==在Rt ACD ∆中，由勾股定理得222CD AD AC +=，即()2222x x += 解得1x =，∴1CD =，2AC =∵2222228AC BC +=+=，(228AB ==∴222AC BC AB +=∴90ACB ︒∠=．【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的运用,关键在于利用勾股定理逆运算的运用． 17．154 【解析】【分析】先在Rt △ACB 中利用三角函数求出AB 长，根据勾股定理求出AC 的长，再通过证△ADE ∽△ACB ，利用对应边成比例即可求.【详解】解：∵BC ＝6，sinA ＝35， ∴AB ＝10，∴AC =，∵D 是AB 的中点，∴AD＝12AB＝5，∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB，∴DEBC＝ADAC，即DE6＝58，解得：DE＝154．【点睛】本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.18．（1）12；（2）3 2【解析】【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可；（2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可．【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sin A＝12 13∴12,13 BDAB=即12, 1313 BD=解得：BD＝12；（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，∴AD＝5，∴DC＝8，∴tan∠C＝123.82 BDDC==【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．19．（1）(43)，；（2．【解析】【分析】（1）作BH ⊥OA ，垂足为H ，在Rt △OHB 中，根据锐角三角函数的定义及已知条件求得BH 的长，再根据勾股定理求得OH 的长，即可得点B 的坐标；（2）先求得AH 的长，在Rt △AHB 中，根据勾股定理求得AB 的长，根据锐角三角函数的定义即可求得cos ∠BAO 的值．【详解】解： (1)如图所示，作BH ⊥OA ，垂足为H ．在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35， ∴BH=3，∴OH ＝4，∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6．在Rt △AHB 中，∵BH=3，∴AB ==∴cos ∠BAO=AH AB == ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．20．（1）；（2）35AD BD =．【解析】【分析】（1）过A 作AE ⊥BC ，在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求出AC 的长即可；（2）由DF 垂直平分BC ，求出BF 的长，利用锐角三角函数定义求出DF 的长，利用勾股定理求出BD 的长，进而求出AD 的长，即可求出所求．【详解】（1）如图，过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC=34AEBE=，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=52，∵tan∠DBF=34 DFBF=，∴DF=158，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：25 8，∴AD=5﹣258=158，则35 ADBD=．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.21．（1）10yx=；y=x+3；（2）x＜-5或0＜x＜2；（3）212【解析】【分析】（1）先根据解直角三角形求得点B的坐标，利用点B的坐标求得反比例函数解析式，然后求得A点坐标，再利用A、B两点的坐标求得一次函数解析式，；（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有点的横坐标的集合即可；（3）求出直线AB 与y 轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求得△AOB 的面积；【详解】解：过点B 作BM ⊥x 轴由2tan 5BOC ∠=，(),2n - ∴25BM OM =，即225OM =，解得：OM=5 ∴B （-5，-2）将B （-5，-2）代入k y x=中，k=10 ∴反比例函数的解析式为：10y x =将A ()2m ，代入10y x=中，m=5 ∴A （2，5）把A （2，5）和B （-5，-2）代入y ax b =+中2552a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩ ∴一次函数的解析式为：y=x+3；（2）由图像可知，当x ＜-5或0＜x ＜2时，一次函数值小于反比例函数值 ∴不等式k ax b x+<的解集为：x ＜-5或0＜x ＜2；（3）连接OA ，直线AB 与y 轴交于点E在y=x+3中，当x=0时，y=3∴OE=3∴11213532222AOB AOE BOE S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=V V V ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象上点的坐标满足函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．22．（1）小亮说法正确；（2）sin sin a c A C =，探究过程见解析；（3）sin sin sin a b c A B C == 【解析】【分析】（1）分别利用∠A ，∠B 的正弦值求出斜边c 的长度，从而判断小亮的说法是否正确；（2）过点B 作BD AC ⊥于D 点，利用∠A ，∠C 的正弦值求出BD 的长，从而得到sin sinC c A a ⋅=⋅，将等式进行变形得到结论；（3）过点A 作AM ⊥BC ，过点B 作BN ⊥AC ，分别在Rt △ABM 和Rt △ACM 中求出sin c sin b AM ABC C =∠=g g ，从而得到sin sin b c ABC C=∠，在Rt △ABN 和Rt △BCM 中，求出sin c sin a BN BAC C =∠=g g ，从而得到a c =sin sin BAC C ∠，从而问题得解．【详解】解：（1）∵在Rt ABC △中，sin a A c= ∴sin a c A=∵sin b B c= ∴sin b c B =∴sin sin a b A B= ∴小亮说法正确；（2）解：过点B 作BD AC ⊥于D 点，∵在Rt △ABD 中，sin BD A C=∴sin BD c A =⋅∵在Rt CBD △中，sin BD C a =∴sin BD a C =⋅∴sin sinC c A a ⋅=⋅ ∴sin sin a c A C=；（3）过点A 作AM ⊥BC ，过点B 作BN ⊥AC在Rt △ABM 和Rt △ACM 中，sin c sin b AM ABC C =∠=g g ∴sin sin b c ABC C=∠ 在Rt △ABN 和Rt △BCM 中，sin c sin a BN BAC C =∠=g g ∴a c =sin sin BAC C∠ ∴a c =sin sin sin b BAC ABC C =∠∠ 即sin sin sin a b c A B C==．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握正弦公式正确推理计算是解题关键．。

【北师大版】九年级数学下解直角三角形单元检测卷

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