相似三角形判定(3)
相似三角形判定复习(三)
⇒△ABC∽△A'B'C'
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边的比相等，两直角 三角形相似。
C' ∠C=∠C' =90 ⇒ Rt△ABC∽Rt△A'B'C' AB AC = A A'C' A' B '
o
A'
B'
C
B
二、探索题
1、条件探索型 、
维 要 严 密
如图， ABCD中 BC延长 7.如图，在□ABCD中，G是BC延长 线上一点，AG与BD交于点E,与 交于点E, 线上一点，AG与BD交于点E,与DC 交于点F 交于点 F ， 则图中相似三角形共 有（ ）
A． B． C． D． 3对 4对 5对 6对
A
D
E B
F C G
8.【04宁波】如图，已知点P是边长为 宁波】如图，已知点P 宁波 4的正方形 的正方形ABCD内一点，且PB=3 内一点， 的正方形 内一点 BF⊥BP垂足是 请在射线 上找一点 垂足是B请在射线 ⊥ 垂足是 请在射线BF上找一点 M，使以点 、M、C为顶点的三角形 ，使以点B、 、 ．为顶点的三角形 与△ABP相似 相似 D A 则BM= P
M F
2 C
2.如图， 2.如图，D是△ABC的AB边上的一点，已知 如图 ABC的AB边上的一点， 边上的一点 2 AB=12 AC=15， =12， AB， AC上取一点 上取一点E AB=12，AC=15，AD= 3 AB，在AC上取一点E， ADE与 ABC相似 相似， AE的长 的长。 使△ADE与△ABC相似，求AE的长。
08相似三角形的判定(3)
期中考试复习讲义(7)
相似三角形的判定（3）
一、填空题 1. 是三角形的重心,它具有如下性
质:
2.AD 是△ABC 的中线,G 是重心,且AG=3,则AD= .
3.如图,O 是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则
BCO S ∆= .
4.已知AB 与DE,AC 与DF 对应,且AB=4cm,BC=5cm,AC=8cm,DE=321
cm, DF=3
13cm 则EF= 时,△ABC∽△DEF. 二、选择题
5.如图正方形网格上有6个斜三角形,①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,
⑤△FGH,⑥△EFK 其中与△ABC 相似的有………( )
(A) ②③④ (B) ③④⑤ (C) ④⑤⑥ (D) ②③⑥
三、解答题
6.如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足
AE AC DE BC AD AB ==,求证:①△ABD∽△ACE；②∠ABD=∠ACE.
7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=︒
90,AB=6，BC与AC上的两条中线AF与BE交于点G,求CG的长.
8.如图,并列三个边长相同的正方形ABCD,CDEF,EFGH,求证:∠1+∠2+∠3=︒
90.
9.如图，在△ABC中，DF经过△ABC的重心G
，且DF∥AB，DE∥AC，连接EF，如果BC=5，
AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC。
相似三角形的判定3(三边对应成比例)
AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米，
BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平
行吗？说出你的理由。
解：公路AB与CD平行。
∵
AB 14 2
BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
28 D
A
31.5 21
14
42
B
C
BD 21 2 DC 31.5 3
AB AD BD
例2、已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 .求证：△ABC∽△FED
A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2B
F
C
∴ DE
BC
DF AC
EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
例3：如图，某地四个乡镇建有公路，已知
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
(1)填空: BC=___2___, AC=___1_0____ EF=_2___2__, DF=__2__1_0____.
(2)△ABC与△DEF相似 A 吗?若相似,请给出证明, 若不相似,请说明理由.
三角对应相等， 三边对应成比例 两边对
应成比 例，且 夹角相 等（SAS）
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' B'C' A'C'
相似三角形的判定三
相似三角形的判定（三）知识点回顾：1.关于三角形的判定方法(1)定义法：对应角相等、对应边成比例(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似(6)直角三角形判定的方法①以上各种判定方法均适用②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似2、判定定理的适用范围(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法说明：一般不用定义来判定三角形的相似.3、三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.例题讲解 课前练习1.在图3中，若DE ∥BC ，DB ∶DA=9∶4，则ΔABC 与ΔADE 的相似比是______.2.如图4, 在梯形ABCD 中，EF 交DB 、DC 于E 、F,则图中的相似三角形共有_____对；若AE ∶EF=4∶3则ΔAFD 与ΔGFC 的相似比是______.3.如图5，当∠ADC=∠____时，ΔABC ∽ΔACD ；当AD 2=_________时，ΔABC ∽ΔACD.4. ΔABC 的三边长为3、4、5,ΔA /B /C /的最短边为5,若ΔABC ∽ΔA /B /C /,则ΔA /B /C /的面积为____.例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
相似三角形的判定(三)
已知： 如图， 已知 ： 如图 ， 在 △ ABC中 ， ∠ ACB=90° ， 中 ° CD⊥AB于D. ⊥ 于 求证： 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD. C
A
D
B
结论： 结论：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直 角三角形和原三角形相似. 角三角形和原三角形相似.
C
A
D
B
C
A
D
B
∵在△ABC中，∠ACB=90°， 中 ° CD⊥AB于D, ⊥ 于 ∴△ABC∽△CBD∽△ACD. ∽ ∽
0
B
C
3.如图， △ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于 如图， 如图 中 ° ⊥ 于
于点E, 点D, DE⊥AC于点 ⊥ 于点
C
AD CE 求证： 求证： = AC BD
A
E
D
B
4.在Rt△ABC中，CD是斜边 上的高，点F是 △ 是斜边AB上的高 中 是斜边 上的高， 是 CD上一点，BE⊥AF交AF的延长线于点 ， 上一点， ⊥ 交 的延长线于点 的延长线于点E， 上一点 C 2 E 求证： 求证： AD = CDi AC
相似三角形的判定（ 相似三角形的判定（三）
猜想：两个角对应相等的两个三角形相似. 猜想：两个角对应相等的两个三角形相似.
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A´B´C ´ 和 中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . ∠ ∠ 求证：△ABC∽△A´B´C´. 求证： ∽
A A'
B
C B'
C'
相似三角形判定定理3 相似三角形判定定理3： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 两个角与另一个三角形的 对应相等，那么这两个三角形相似 相似. 角对应相等，那么这两个三角形相似. 简单说成：两角对应相等 两三角形相似 相似. 简单说成：两角对应相等，两三角形相似. 对应相等，
相似三角形的判定(3)
自主学习
如图，观察两副三角尺，其中有同样两个
同学们可以根据勾股定理和三边成比例两个三 角形相似来证明.
课堂检测
1、已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. 2、已知：弦AB和CD相交于⊙O内一点P. 求证:PA·PB=PC·PD.
A O
D P
B
C
3、教材P28页1、2、3题。
课堂小结
本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？ 相似三角形的判定方法： 通过定义 （三边对应成比例，三角相等） 平行于三角形一边的直线 三边对应成比例 （SSS） 两边对应成比例且夹角相等 （SAS） 两角对应相等 （AA） 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （HL）
解：∵ ED⊥AB， ∴ ∠EDA=90°. 又 ∠C=90°,∠A=∠A,
∴ △AED∽△ABC. AD AE . AC AB
AD AC AE 8 5 4. AB 10
反思拓展
由三角形相似的条件可知，如果两个直角三 角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例， 那么这两个三角形相似. 思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL” 来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的 两个直角三角形相似吗？ 事实上，这两个直角三角形相似，可以得到判 定两个直角三角形的定理： 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺
2016相似三角形判定(3)
针对训练1:如图，AB•AE=AD•AC， 且∠1=∠2， 求证：△ABC∽△AED．
A 1 D B 2 E C
例2：如果有一点E在边AC上，那么点E应该在 什么位置才能使△ADE∽△ABC 呢？ 此时， AE 1 C AD 1 =？ =？ AB 3 AC 3
B D A
E
A A
c Q P A B
简称 两边对应成比例,夹角相等，两三角形相似.
△ABC∽△A’B’C’ 如果两个三角形的两组对应边的比 相等且夹角相等,那么这两个三角 形相似.
？
画看.
思考
′ ′ ′
对于△ABC和△A B C , 如果,
∠B=∠B′,这两个三角形一定相似吗?试着画
A
4
B
50°
3.2
3.2 D G
2
50°
C
1.6 F
E
B
C
已知:如图△ABC和△A`B`C`中 A`B`:AB=A`C`:AC， ∠A＝∠A` 求证:△ABC∽△A`B`C` 证明:在△ABC的边AB(或延长线) 上截取AD=A`B`, 过点D作DE∥BC交AC于 点E.
D B` A
A`
C`
E
B
C
A
A’
B’
C’
B
C
∠A＝∠A` , A`B`:AB=A`C`:AC
变式：如果有一点E在边AC上，那么点E应该 在什么位置才能使△ADE和△ABC 相似呢？
C B D A
针对训练2：如图，AB⊥BC，DC⊥BC， 垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6， BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与 △DCP相似？若有，有几个？并求出此 时BP的长，若没有，请说明理由。
相似三角形的判定
相似三角形的判定在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
判定两个三角形是否相似是几何学中的基本问题之一。
本文将介绍相似三角形的定义以及常用的判定方法。
一、相似三角形的定义两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等且对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以得出相似三角形的三个基本判定定理。
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理：如果两个三角形中有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的判定方法1. 角角判定法：使用AA相似定理，当我们知道两个三角形的两个角分别相等时，就可以判定它们相似。
具体判定方法是测量三角形的两个角，并将其与另一个三角形对应的两个角进行比较。
如果它们相等，则两个三角形相似。
2. 边边判定法：使用SSS相似定理，当我们知道两个三角形的三条边的比例相等时，可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的三条边，并将其比较。
如果它们的比例相等，则两个三角形相似。
3. 边角边判定法：使用SAS相似定理，当我们知道两个三角形有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等时，可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的两个对应边的比例，并测量它们对应的夹角，将其与另一个三角形对应的两个对应边的比例和夹角进行比较。
如果它们相等，则两个三角形相似。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用。
一些常见的应用包括：1. 测量高度：通过测量阴影的长度和实物的长度，我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度。
2. 估算距离：在实际测量中，通过相似三角形的比例关系，我们可以利用已知的距离来估算其他无法直接测量的距离。
3. 图像变换：相似三角形的性质在图像变换中也有应用。
例如，图像的缩放、旋转和翻转等操作都可以通过相似三角形来实现。
三角形的相似判定
三角形的相似判定相似三角形是高中数学中非常重要的概念之一。
在几何图形中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
本文将从相似三角形的定义、判定方法和一些相关性质进行探讨。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
2. 判定相似三角形的方法（1）AA判定法当两个三角形的两个对应角相等时，如果它们的第三个对应角也相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，若∠A=∠D，∠B=∠E，则可推出∠C=∠F，从而得出两个三角形相似。
（2）SAS判定法当两个三角形的一个对应边成比例，两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可推出∠B=∠E，从而得出两个三角形相似。
（3）SSS判定法当两个三角形的对应边成比例时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF=BC/EF，则得出两个三角形相似。
3. 相似三角形的性质（1）相似三角形内角相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角都相等。
这一性质可以通过AA判定法和SAS判定法得到证明。
（2）相似三角形边长比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。
这一性质可以通过SAS判定法和SSS判定法得到证明。
（3）相似三角形面积比如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的面积之比为k²。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF相似且AB/DE=AC/DF=BC/EF=k，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k²。
4. 常见应用相似三角形的概念在几何问题中有广泛的应用。
例如，可以利用相似三角形的性质解决高塔定影问题、测量无法直接获得的长度等。
5. 实例分析现举一个例子来说明相似三角形的判定及应用。
相似三角形的判定(3)
2. 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
过程与方法：经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程
情感、态度与价值观：通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．
又∵A’B’:AB=B’C’:BC=A’C’:CA
∴DE:BC=B’C’:BC,EA:CA=A’C’:CA.
因此DE=B’C’,EA=A’C’.
∴△ADE≌△A’B’C’
∴△ABC∽△A’B’C’
【活动三】知识应用
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，
思想小结：
类比思想 、分类讨论思想
师：提出问题：这节ຫໍສະໝຸດ 你有什么收获？生：1、相似三角形的判定（3）
2、灵活使用三角形的判定（3）说明两个三角形相似
3、类比思想 分类讨论思想
【活动六】作业
1.整理三角形相似的判定方法。
2.课堂作业：习题23.2第3 、14题
3.基础训练：基础练习23.2（四）
师：不经历风雨，怎么见彩虹
生：计算，看边是不是对应成比例
师：分析，看看两个三角形是否相似
生：∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
师：分析，看看两个三角形是否相似
生：答案是2:1
【活动四】课堂巩固练习
练习：要画两个相似的三角形,其中一个三角形的三边的长分别为8、10、12,另一个三角形的一边长为4。求另一个三角形的其余两边的长。你画的三角形唯一吗?
人教版七年级数学下册《相似三角形的判定(3)》名师课件
活动1 类比探究
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∠C＝90°，
AB AB
AC AC
,
∠C′＝90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
证明：设 AB AC =k，则AB=kAB, AC =kAC. AB AC
由勾股定理，得BC AB2 AC2 , BC AB2 AC2 .
由此能得出三角形相似的判定定理：两个角分别相等的两个三角形 相似.
几何语言：如图，在△ABC与△A1B1C1中， ∵∠A＝∠A1，∠B＝∠B1， ∴△ABC ∽△A1B1C1.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究一： 三边成比例的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲
活动3 例题讲解，相似三角形判定3的应用
(2)∵∠C＝∠C′＝90°，
AC AC
BC BC
，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
(3)
∵∠C＝90°，∠C′＝90°，
AB AB
AC AC
,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个 重点、难点知识★▲ 三角形相似吗？
例1：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判 定这两个三角形相似的是( ) A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
解析：选项A：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，∴∠B＝35°， ∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D，∴Rt△ABC∽Rt△DEF（有一锐角相等 的两个直角三角形相似）；
24.4 相似三角形的判定(3)
24.4 相似三角形的判定（3）[判定定理3]第一组 24-191、根据下列条件，能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） A 、∠ABC=35º，∠ACB=75º，∠EDF=80º，∠DEF=35º B 、AB=3，BC=2，∠ABC=30º，DE=6，EF=4，∠EDF=30º C 、AB=2，BC=3，AC=4，DE=12，EF=13，DF=14D 、AB =√6，BC =√2，AC =2，DE =√3，EF =1，DF =√22、△ABC 的三边长分别为2、4、5，△A ’B ’C ’的两边长分别为12 和1，如果△ABC 与△A ’B ’C ’相似的是（ ）A 、52B 、54C 、25D 、453、点P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能保证△ACP 与△ABC 相似的是（ ）A 、∠ACP=∠B B 、ACAB =APAC C 、ACAB =APAC =PCBC D 、APAC =PC BC4、如图24-19-1，小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（ ）5、相似三角形判定定理3简述：三边 ，两个三角形相似。
6、一个三角形三条边长为3、4、5，与它相似的另一个三角形的最长的边为15，则另两边的长为 。
7、在△ABC 与△DEF 中，若ABDE =BCEF ，再加上条件 或 就可以判定这两个三角形相似。
图 24 - 19 - 1BCA8、已知△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=4，BC=5，AC=6，EF=12，那么DF= 。
9、如图24-19-2，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1。
线段MN的两端在AD、CD上滑动。
当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
10、如果△ABC的边长分别为2、3、4，△A1B1C1的边长分别为√2、√3、√4，那么△ABC 与△A1B1C1相似。
相似三角形的判定(三)-配套练习(含答案)
相似三角形的判定（三）-练习一、填空题1. 如图，添加一个条件：_____________（答案不唯一），使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）2. 从下面这些三角形中，选出相似的三角形___________________________（只填序号1，2等）．二、解答题3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．4.如图，PA切⊙O于点A，D为线段PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点．求证：∠DPB=∠DCP．5.如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：△ADE∽△ABC．相似三角形的判定（三）-练习参考答案一、填空题1. ∠ADE=∠ACB解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB．2. ①、⑤、⑥相似；②、⑦相似；③、④、⑧相似．解：根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到①、⑤、⑥相似；根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似得到②、⑦相似；根据三组对应边的比相等的三个三角形相似得到③、④、⑧相似．因此本题的答案为：①、⑤、⑥相似；②、⑦相似；③、④、⑧相似．二、解答题3.证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．4.证明：因为PA与圆相切于A，所以DA2=DB•DC，因为D为PA中点，所以DP=DA，所以DP2=DB•DC，即=．因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，所以∠DPB=∠DCP．5.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE，∴=，∴=，∴△ADE∽△ABC．。
相似三角形的判定(3)
知识准备
1.比例的性质：
a︰ b = c︰d ad
= bc
a c ad bc ) ( = =
b d
2.比例中项：
= b
a
b b2
c
= ac
此时，b叫做a和c的比例中项
知识准备
6 1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=_____
2 3 2.若线段a=2, b=6, 那么它们的比例中项c=_____.
复习回顾
•判定三角形相似的方法有几种？
1.平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似.（预备定理）
2.三边对应成比例，两三角形相似. 3.两边对应边成比例且夹角相等，两三角形相似.
Байду номын сангаас
知识探究
A、6米 C、18米
B、8米 D、24米
随堂训练
2.如图，要使△ABE∽△ACD，只需增加一个条件： A ∠B=∠C _________________.
根据你所增加条件，还可得到： △CEP _________∽_________。 △BDP 若CD⊥AB，BE⊥AC，则图中 6 共有_____对三角形相似。 B
观察：三角尺中的各组对应角之间有何关系？ 这两个三角形相似吗？
你能否由此猜想一种判定两个三角形相似的方法？
两组角对应相等，两三角形相似
知识探究
怎样证明？
A'
两组角对应相等的两个三角形相似。
A D B C B'
E C'
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
高二数学相似三角形的判定3
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
∵∠1＝∠2 ∴△AEB∽△FEC
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是 AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， C AD 1 AE 1 ？ =？ AB 3 AC 3
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. • 求证:△ABC∽△A`B`C` 证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
相似三角形的判定(3)
九年级数学下《相似三角形的判定（3）》教学设计学习目的：1．掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS ）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3、让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
学习重、难点：重点：会运用“两组对应边的比相等且对应的夹角相等”判定两个三角形相似难点：会运用“两组对应边的比相等且对应的夹角相等”判定两个三角形相似 学习过程： 一、导、 学习准备：1、两个三角形全等有哪些判定方法？2、我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 二、学请同学们认真阅读课本45、47页练习上面的内容，思考并回答下列问题：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的 相等，那么这两个三角形相似。
如图, 在△ABC 与△A 1B 1C 1中， ∵11B A AB =11C A AC, , ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1注意：在使用三角形相似的这个条件时，一定要注意： 这里的所说的“角”必须是 。
B三、讲例1：根据下列条件，判断 ∆ABC 与∆A 1B 1C 1是否相似，并说明理由： （1）∠A ＝1200，AB=7cm ，AC=14cm ， ∠A 1＝1200，A 1B 1= 3cm ，A 1C 1=6cm 。
（2）∠B ＝1200，AB=2cm ，AC=6cm ， ∠B 1＝1200，A 1B 1= 8cm ，A 1C 1=24cm 。
分析: （1）11AB A B =11AC A C =73,∠A=∠A 1＝1200∆ABC ∽∆A 1B 1C 1（2）11AB A B =11AC A C =14,∠B=∠B 1＝1200但∠B 与∠B 1不是AB ﹑AC ﹑ A 1B 1 ﹑A 1C 1的夹角，所以∆ABC 与∆A 1B 1C 1不相似。
相似三角形的判定(3)
Q
B
AD a 2 CQ 1 a 2
1 a DQ 2 2 1 PC a 4
P
C
AD DQ 且∠D=∠C=900 ∴△ADQ∽△QCP CQ PC
练习
1.如图,已知△ABC∽△ADE.求证:△ABD∽△ACE
A E D B C
小结： 相似三角形的判定方法有几种？
1、定义判定法
∴
ABC∽ A'B'C'
相似三角形判定定理2
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并 且相应的夹角也相等,那么这两个三角形相似
A'
A
B
C B'
C'
此角如果不是两边夹角, 两三角形还相似吗?
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？ 不一定相似
C A D F
B E
学习例题
1
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
且∠1＝∠2 ∴△AEB∽△FEC
例2:如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,
且BP=3PC,Q是CD的中点，
求证：△ADQ∽△QCP
A
D
Q
B
P
C
证明:设正方形ABCD的边长为a
则AB=BC=CD=AD=a
A
D
1 ∵Q是CD的中点 DQ CQ a 2 1 ∵BP=3PC PC a 4
2、平行判定法 比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3、边边边判定法（SSS）
三边对应成比例,两三角形相似
4、边角边判定法（SAS）
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
相似三角形的判定(3)
27.2.1 相似三角形的判定（3）（导学案）班级：姓名：学号一、学习目标1、掌握相似三角形的判定方法3的内容，并会运用判定方法3解决简单的问题。
2、经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养同学们获得数学猜想的经验，激发同学们探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重、难点重点：经历探索相似三角形的判定方法3的学习过程；能说出相似三角形的判定方法3 并会简单应用。
难点：运用相似三角形的判定方法3解决实际问题。
三、自主学习（Ⅰ）复习回顾1、相似三角形的预备定理2、相似三角形的判定定理13、相似三角形的判定定理24、思考是否还有类似判定定理1和2的判定三角形相似的方法？5、两个三角形的三边长分别为2、3、4和4、6、X，求X为多少时这两个三角形相似？（Ⅱ）自主探究（阅读书本P44—45）阅读书本的探究3并对照之前的学习相识的方法来得出相识判定3相识判定3：数学符号语言：例1、完成书本例题1例2、如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例3、已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长．（Ⅲ）自我尝试1、如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A ’B ’C ’中，∠B ’=30°A ’B ’=10㎝，A ’C ’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？2、完成书本P45的练习1、2、33、如图，AB •AC=AD •AE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．4、已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ，求证：△ADC ∽△CDP ．5、四、自学小结通过本节课的自学我掌握了： 还存在哪些困惑：五、课堂小结知识点：1、相识三角形的判定3“两边对应相等，并且两对应边的夹角也相等，两三角形相识”2、会应用所学的相识来判定三角形相识数学思想：从特殊到一般、类比、转化等思想五、作业设计（1）课堂作业（2）课后作业。
相似三角形的判定(3)
相似三角形的判定(3)能力提升1.如图,在△ABC中,高BD,CE交于点O,下列结论错误的是()A.CO·CE=CD·CAB.OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·ABD.CO·DO=BO·EO2.在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有()A.1条B.2条C.3条D.4条3.如图,在等边三角形ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,则△ABC的边长为()A.9B.12C.15D.184.手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相同,则每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是()5.如图,在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为或时,使得由点B,O,C组成的三角形与△AOB相似.(全等除外,填写出满足条件的点的坐标)6.如图,直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A,B两点,C为OB上一点,且∠1=∠2,则S△ABC= .7.如图,已知∠ACB=∠ADC=90°,AC=√6,AD=2,问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似?8.如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证:△ABD∽△CED;(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.★9.如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动,点D在线段BC的左侧,点E在线段BC的右侧.设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式.(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中的y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由.创新应用★10.一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:如图,在△ABC中,∠ACB>∠ABC.(1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)?(2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数.参考答案能力提升1.D2.C如图,过点P作PD∥BC,则有△APD∽△ABC;连接PC并延长,易知PC平分∠ACB,则有△CPB∽△ABC;过点P作PE∥AC,则有△PBE∽△ABC,所以符合题意的相似线最多有3条.3.A因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC,∠B=∠C=60°.由∠ADE=60°,得∠ADB+∠EDC=120°,又因为∠ADB+∠BAD=120°,所以∠BAD=∠EDC.所以△ABD∽△DCE.则AAAA =AAAA,设AB=BC=x,即AA-3=32,解得x=9.4.D选项A中,将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交,利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等,因此两三角形相似;B中,由于任意两个等边三角形相似,因此B中两三角形相似;同理C中两个正方形相似;D中内、外两个矩形对应边不成比例,故两矩形不相似.5.(1,0)(-1,0)6.3由已知得OA=2,OB=4,又∠1=∠2,∠AOB=∠AOC,所以△AOC∽△BOA.所以AAAA =AAAA,即24=AA2.所以OC=1,BC=OB-OC=3.于是得S△ABC=12BC·OA=3.7.解在Rt△ACD中,AC=√6,AD=2,由勾股定理, 得CD=√AA2-AA2=√2.当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有AAAA =AAAA,所以AB=AA2AA=3.当Rt△ABC∽Rt△CAD时,有AAAA =AAAA,所以AB=AA2AA=3√2.故当AB的长为3或3√2时,这两个直角三角形相似.8.(1)证明 ∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,∠ACF=120°.∵CE 是外角平分线, ∴∠ACE=60°,∴∠BAC=∠ACE.又∠ADB=∠CDE ,∴△ABD ∽△CED.(2)解 作BM ⊥AC 于点M ,∵AC=AB=6, ∴AM=CM=3,BM=√AA 2-AA 2=3√3. ∵AD=2CD ,∴CD=2,AD=4,MD=1.在Rt △BDM 中,BD=√AA 2+AA 2=2√7.由(1)知△ABD ∽△CED ,得AAAA =AA AA ,2√7AA =2,∴ED=√7,∴BE=BD+ED=3√7.9.解 (1)∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠ADB=12(180°-30°)=75°,∠DAB+∠EAC=105°-30°=75°,∴∠ADB=∠EAC.又∠ABD=∠ACE=180°-75°=105°,∴△ABD ∽△ECA ,∴AA AA =AA AA ,A1=1A,即xy=1.(2)要使xy=1还成立,即△ABD ∽△ECA ,此时∠ABC=∠ACB=12(180°-α),即∠ADB+∠DAB=12(180°-α).∵∠ADB=∠EAC ,∴∠EAC+∠DAB=12(180°-α). ∴β-α=12(180°-α),β=90°+12α.故当α,β满足关系式β=90°+12α时,(1)中y 与x 之间的函数关系式还成立. 创新应用10.解 (1)①如图,若点D在线段AB上,由于∠ACB>∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC.②如图,若点D在线段AB的延长线上,则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾,因此,这样的点D不存在.③如图,若点D在线段AB的反向延长线上,由于∠BAC是锐角,则∠BAC<90°<∠CAD,不可能有△ACD ∽△ABC.因此,这样的点D不存在.综上所述,这样的点D有一个.(2)若∠BAC为锐角,由(1)知,这样的点D有一个;若∠BAC为直角,这样的点D有两个;若∠BAC为钝角,这样的点D有一个.。
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探索三角形相似的条件（3）
班级 姓名 【学习目标】
1.探索三角形相似的条件，会运用三角形相似的条件解决问题。
2.经历“操作—观察—探索—说理”的数学过程，发展合情推理和有条理的表达能力
【重点难点】判定3的应用．
【课前预习】
1．如图，DE ∥BC,写出图中的相似三角形，并说明理由
2
3．（1）画△A ′B ′C ′，使∠A ′＝∠A ，
B A AB ''=A
C CA ''=3
1
，
（2）请比较∠B ′与∠B 的大小，由此你能得出什么结论？
【课堂助学】 一、实践与探索：
C A
F E
D B A A
B 1．在课前预习3中，设B A AB ''=A
C CA
'
'=k ，改变k 值的大小，再试一试，上述结论是否改变？
2．如图，在△ABC 与△A ′B ′C 中，∠A =∠A ′，
AB
A /
B / ＝'
'A C CA （A B ＞A ′B ′），请说明这两个三角形相似的理由。
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 几何语言：在△ABC 与△A ′B ′C ′中： ∵___________________________
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 二、思考与探索
1．如图，在△ABC 与△A’B’C’中，∠B =∠B ′，能判断△ABC 与△A’B’C’相似吗？要使△ABC ∽△A’B’C’，需要添加什么条件？
2．如图，在△ABC 中，AB =4cm ，AC =2cm ，
（1）在AB 上取一点D ，当AD = cm 时，△ACD ∽△ABC （2）在AC 的延长线上取一点E ，当CE = cm 时，△AEB ∽△ABC ，此时，BE 与DC 有怎样的位置关系？为什么？
B
三、例题分析：
例1：如图，∠1=∠2，要使△ADE ∽△ABC 需要添加什么条件？选择一个
加以证明
例2：如图，已知AE 2
=AD ·AB,且∠ABE ＝∠ACB ， 试说明：（1）△ADE 与△AEB 相似；（2）DE ∥BC ；（3）△BCE ∽△EBD 。
【课堂检测】
1．已知：∠A ＝1200，AB ＝7cm ，AC ＝14cm ；∠A ′＝1200
，A ′B ′＝4cm ，当A ′C ′＝ cm ，△ABC ∽△A ′B ′C ′；当A ′C ′＝ cm ，△ABC ∽△A ′C ′B ′。
2.如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形有 。
3．如图已知AB=2AD ，AC=2AE ， 则下列结论错误的是（ ）
A 、△ABD ∽△ACE
B 、∠B=∠
C C 、BD=2CE
D 、AB·EC=AC·
【课后作业】
１．如图，在△ABC 中，P 是AB 上一点，在下列条件：①∠ACP ＝∠B ，
②∠APC ＝∠ACB ，③AC 2
＝AP ·AB ，④AB ·CP ＝AP ·CB 中，
能使△APC ∽△ACB 的条件是（ ）
A ①②④
B ①③④
C ②③④
D ①②③
２．如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ， BC ＝b ，当BD ＝ 时，以C 、 B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似. b a D
C B
３．如图，在直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在坐标轴上（C 与A 、B 不重合），且由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似。
请写出所有符合条件的点C 的坐标。
.
5.已知：PB 与⊙O 相切于B ，BH ⊥OP 于H,点A 是⊙O 上任意一点， 求证：∠OAH ＝∠OPA
6．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 。
试说明： （1）△ABD ∽△CBE ；（2）△BDE ∽△BAC 。
思考：在△ABC 与△A ′B ′C ：AB A /B / =BC B /C / =13
，∠C=∠C /=450
，这两个三角形是
否一定相似吗？。