高考数学常考题型专题05导数压轴题的零点及恒成立有解问题理20180816665

专题05 导数压轴题的零点及恒成立、有解问题
1．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x
x -+-≤．
设函数2()(1)e
1x
g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--．
当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．
①若(2)0h >，即2
e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；
②若(2)0h =，即2
e 4
a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；
③若(2)0h <，即2
e 4
a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，
由（1）知，当0x >时，2
e x
x >，所以33342241616161
(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a
=-=->-
=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．
综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2
e 4
a =．
2．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数2()e (2)e x
x f x a a x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x
f x a a a '=+--=-+，
（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.
当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.
又4
22(2)e
(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.
设正整数0n 满足03
ln(1)n a
>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n
f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a
->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.
综上，a 的取值范围为(0,1).
【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
3．（2015新课标全国Ⅱ理科）设函数2()e mx f x x mx =+-． （Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最
小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12|()()|e 1f x f x -≤-的充要条件是(1)(0)e 1,
(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨
--≤-⎩
即
e e 1,e +e 1m
m
m m -⎧-≤-⎪⎨≤-⎪⎩，
①，设函数()e e 1t g t t =--+，则()e 1t
g't =-．当0t <时，()0g't <；当0t >时，()0g't >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e <0g --=+-，故
当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立；当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e +e 1m m ->-．综上可知，m 的取值范围是[1,1]-．
【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数()(e
1)2mx
f 'x m x =-+，根据m 的取值范围讨论导函数在(,0)-∞和
(0,)+∞的符号即可；(Ⅱ)12()()e 1f x f x -≤-恒成立，等价于12max ()()e 1f x f x -≤-．由12,x x 是
两个独立的变量，可研究()f x 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，
故只需(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩
，从而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，
从而得解．
1．利用导数研究函数的零点问题，一般出现在解答题的压轴题中，难度较大，这类零点一般都不能直接求出数值，而是利用数形结合、分类讨论、转化思想和分离变量等求零点的个数或根据零点的个数求参数的取值范围.
2．利用导数解决函数恒成立问题或有解问题是近年来高考的热点问题，这类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质，如单调性、极值、最值，综合性强，很好地考查了考生的分析问题和解决问题的能力，解决这类问题的关键是运用等价转化的数学思想及整体构造法和参数分离法.
指点1：利用导数研究函数的零点问题
对于含参数的函数零点的个数问题，由函数()y f x =有n 个零点⇔方程()0f x =有n 个实数根⇔函数
()y f x =与x 轴有n 个交点可转化为方程解的个数问题，若能分离参数，可将参数分离出来，再作出函数
的图象，根据函数的图象特征从而求出参数的取值范围.也可以根据函数的最值或极值的符号，即利用函数的性质去确定函数零点的个数，此方法主要是通过数形结合的方法确定存在零点的条件. 【例1】设函数1
()e
ln x f x a x -=-,其中e 为自然对数的底数．
（1）若1a =,求()f x 的单调区间; （2）若0e a ≤≤,求证:()f x 无零点．
【解析】（1）若,则,∴
．
令,则,
当
时,
,即
单调递增,又
,
∴当时,单调递减,
当时,
单调递增．
∴
的单调递减区间为
,单调递增区间为．
（2）当时,，显然
无零点．
当时,
(i)当时,，显然
无零点． (ii)当时，易证
，∴,
∴．
令
，则()1
e
e x g x -'=-，
令()0g x '=，得2x =，当12x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>， 故min ()(2)0g x g ==，从而，显然
无零点.
综上,
无零点．
指点2：利用导数解决函数恒成立、有解问题
利用导数研究恒成立问题、有解问题，通常采用分类讨论思想或分离参变量的方法，通过函数的单调性研究函数的最值，利用最值去研究恒成立问题、有解问题，此类问题最后都化归为与函数最值有关的问题. 一般地，若()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；若()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可.若存在x ，使得()f x a ≥成立，只需max ()f x a ≥即可；若存在x ，使得()f x a ≤成立，只需min ()f x a ≤即可. 【例2】已知函数，
.
（1）若曲线与曲线
在它们的交点处的公共切线为
，求，，的值；
（2）当
时，若
，，求的取值范围.
【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，
则
.
，则，
①；
，则
，②. 由②得
，由①得
.
将，代入得
，∴，.
（2）由
，得
，
即在上恒成立，
令
，
则，
其中在
上恒成立，
∴在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，∴
.
故的取值范围是
.
1．设函数3
2
()1f x x bx cx =+++的单调递减区间是(1,2). （1）求()f x 的解析式；
（2）若对任意的(0,2]m ∈，关于x 在[2,)x ∈+∞时有解，求实数t 的取值范围.
【解析】（1）2
()32f x x bx c '=++. ∵()f x 的单调递减区间是(1,2)，∴(1)320
(2)1240
f b c f b c =++==++'=⎧⎨'⎩，
解得9, 6.2b c =-
=（2）由（1）得2
()3963(1)(2)f x x x x x ==-'-+-，
当[2,)x ∈+∞时，()f x '≥0，∴()f x 在[2,)+∞上单调递增，∴min ()(2)3f x f ==.
在[2,)x ∈+∞时有解， 3ln m m -对任意(0,2]m ∈恒成立,
只需2
1ln t m m <
-在(0,2]m ∈上恒成立. ，(0,2]m ∈，则当(0,2]m ∈时，()h m 在()0,1要使21ln 2t m m <
-在(0,2]m ∈上恒成立，只需故t 的取值范围是1
(,)2-∞.
2．已知函数()(1)e x
f x x =-．
（1）证明：当[0,)x ∈+∞时，2
()12
x f x ≥-； （2）当0k >时，讨论关于x 的方程2
2()0f x kx -=的根的个数．
（2）①当0x =时，易得关于x 的方程2
2()0f x kx -=不成立；
②当0x ≠时，由2
2()0f x kx -=可得2
2()
f x k x =，即22(1)e x x k x -=，
令2
2(1)e (),0x
x g x x x -=
≠，则问题可转化为讨论直线y k =与函数()g x 的图象的交点个数. 由22(1)e ()x x g x x -=，可得23
2(22)e ()x x x g x x
-+'=，易知2(22)e 0x
x x -+>恒成立，所以当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又易知当0x <时，()0g x <恒成立，且(1)0g =，
所以当0k >时，直线y k =与函数()g x 的图象有且只有一个交点，即关于x 的方程2
2()0f x kx -=有且只有一个实数根.
3．设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）若，且在区间上恒成立，等价于在区间上.由（1）中的讨论，知
当时，，函数在区间上单调递减，,
即，从而得；
当时，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

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幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

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幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。