定积分习题及讲解
定积分习题课(带部分解答)
➢背景
曲边梯形的面积 变速直线运动的路程
➢思想
化整为零 积零为整
➢定义
b
n
f(x)dxlim
a
0i1
f(i)xi
➢注意
定积分是一个数!
定积分仅与
被积函数 有关，与 积分区间
区间分法
ξi的取法
无关
积分变量记法
➢几何意义 与x轴所围图形面积的代数和
➢存在条件 闭区间上的连续函数
闭区间上的有界函数，且只有有限个间断点
二、题型练习
（一）定积分定义 （二）定积分计算
➢方法
牛-莱公式 换元积分法 分部积分法
➢特点
积分限 数
注意换限 区间特点 变量不回代
➢分类
普通函数 分段函数 奇偶函数 周期函数
一个区间 多个区间 对称区间 无穷区间
(二) 定积分的计算
1．简化计算 2．用换元法计算 3．分段函数的定积分 4．某些不易求原函数的定积分 5．积分上限函数 6．杂题
1．简化计算 2．用换元法计算 3．分段函数的定积分 4．某些不易求原函数的定积分 5．积分上限函数 6．杂题
例13 计算 2 max{x,x2}dx 2
例14
计算 0
1sinxdx
例15
设
f
(x)
k
x
c
0 x l 2
定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思路与方法
定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思
路与方法
本系列专题由学友“亭亭小可爱”整理分享，专题内容既适用于课程学习，也适用于竞赛、考研，内容为总结性概括，例题属于提高型典型问题。
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明如下等式成立.
练习2：设 ,
(1) 求极限；
(2) 证明单调递减.
练习3：求.练习4：求.练习5：设在上连续，求练习6：设在上连续，求练习7：求.
练习8：求.
练习9：已知，求极限练习10：设在区间上连续，由积分中值公式，有
若存在且非零，求.
练习11：试求正常数，它们由下式确定：
【注】对于例题或练习题，建议自己在草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案！参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
参考解答
更多相关专题可以参见如下列表：
•定积分专题01：定积分关键定义、定理、公式与相关结论总结•定积分专题02：定积分部分结论、公式的证明思路与方法
•定积分专题03：定积分计算常用方法与典型题分析
•定积分专题04：应用定积分定义求部分和极限题型与典型例题解析
•一道积分算一天，你确信积分对了吗？
积分与定积分练习题及解析
积分与定积分练习题及解析
1. 求定积分∫(2x+5)dx的值。
解析：
根据定积分的定义，我们可以将被积函数展开进行计算：
∫(2x+5)dx = ∫2xdx + ∫5dx
对于∫2xdx，我们可以将2提取出来，得到：
∫2xdx = 2∫xdx
根据积分的基本公式，∫xdx = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：
∫2xdx = 2((1/2)x^2 + C) = x^2 + 2C
对于∫5dx，由于5是一个常数，我们可以将其视为∫5xdx，其中x为一个常数。
根据积分的基本公式，∫5xdx = 5x + C，其中C为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：
∫5dx = 5x + C
综上所述，原定积分∫(2x+5)dx的值为：
x^2 + 2C + 5x + C = x^2 + 5x + 3C
2. 求定积分∫(3x^2-2x+4)dx的值。
解析：
根据定积分的定义，我们可以将被积函数展开进行计算：
∫(3x^2-2x+4)dx = ∫3x^2dx - ∫2xdx + ∫4dx
对于∫3x^2dx，根据积分的基本公式，∫x^2dx = (1/3)x^3 + C，其中C 为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：
∫3x^2dx = 3((1/3)x^3 + C) = x^3 + 3C
对于∫2xdx，根据积分的基本公式，∫xdx = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：
∫2xdx = 2((1/2)x^2 + C) = x^2 + 2C
对于∫4dx，由于4是一个常数，我们可以将其视为∫4xdx，其中x为一个常数。
习题课_定积分的应用(解答)
填空题
1. 由曲线 y l nx 与两直线 y (e 1) x 及 y 0 所围成的 3 平面图形的面积为 2 。
t2 x 0 1 udu 2.设曲线 L 由 确定，则该曲线对应于 2 y t 1 udu 0
0 t 1 的弧长为
令 x2 t
0
2tdt ( t 2 9 )t
dt 2 t 2 arctan . 0 t 2 9 3 3 0 3
3.
1
xdx (2 x 2 ) 1 x 2
2
0
令x sin t
0
sin t cos tdt sin tdt 2 2 = 2 2 0 (2 sin t )cos t 0 2 sin t
y f () ， x b 所围成的面积 A2 的三倍。 （ ab ）
y
A1
y f ( x)
A2
证明：设 F ( x ) [ f ( x ) f ( t )]dt
a
x
3 [ f ( t ) f ( x )]dt
x
b
o a
b
x
由零点存在定理及单调性 即可得证。
10
2. 设 y f (x ) C [0,1] ，且在 [0,1] 上 f ( x) 0 ， （1）证明：存在 x0 (0,1) ，使得在 [0, x0] 上以 f ( x0 ) 为高的 矩形面积等于区间 [ x0 ,1] 上以 y f ( x ) 为曲边的曲边梯形面积。
(完整版)定积分习题及答案
第五章 定积分
(A 层次)
1．⎰20
3
cos sin π
xdx x ； 2．⎰-a
dx x a x
2
2
2
； 3．⎰+3
1
2
2
1x
x
dx ；
4．⎰--11
45x xdx ； 5．⎰
+4
1
1
x dx ； 6．⎰--1
4
3
1
1x dx ；
7．⎰
+2
1
ln 1e x
x dx
； 8．⎰
-++0
222
2x x dx
； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-π
πsin 4
； 11．dx x ⎰-
22
4
cos 4π
π； 12．⎰-++5
5242
312sin dx x x x
x ；
13．⎰3
4
2sin π
πdx x x
； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰20
2cos π
xdx e x ； 17．()dx x x ⎰
π
2
sin ； 18．()dx x e
⎰1
ln sin ；
19．⎰-
-24
3
cos cos π
πdx x x ； 20．⎰+4
sin 1sin πdx x
x ； 21．dx x x
x ⎰+π02cos 1sin ；
22．⎰-+21
11ln dx x
x
x ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 42
11； 24．⎰20sin ln π
xdx ； 25．(
)()
⎰∞+++0
211dx x x dx
α
()0≥α。
(B 层次)
1．求由0cos 0
=+⎰⎰x
y
t
tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数
dx
dy 。 2．当x 为何值时，函数()⎰-=x
t dt te x I 0
2
有极值？
3．
()
⎰x x dt t dx
d cos sin 2
定积分典型例题及习题答案
04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径 为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积 分为0。
利用定积分几何意义求解的例题
总结词
理解定积分的几何意义是解题的 关键。
详细描述
定积分的值等于曲线与x轴所夹的 面积，对于利用定积分几何意义 求解的题目，需要将问题转化为 求面积的问题，然后利用定积分 的值进行计算。
解析
根据定积分的几何意义， $int_{0}^{2}sqrt{4-x^{2}}dx$表示曲 线$y=sqrt{4-x^{2}}$与直线$x=0$和 $x=2$所围成的区域的面积。这个区域 是一个圆心在原点、半径为2的圆的上 半部分，因此$int_{0}^{2}sqrt{4x^{2}}dx=frac{1}{2}timespi times 2^{2}=pi$。
利用定积分性质求解的例题
总结词
熟练掌握定积分的性质是解题的关键。
详细描述
定积分具有线性性质、可加性、积分区间的可加性、积分的可加性等性质，对于利用这些性质求解的题目，需要准确 理解和运用这些性质。
第五章定积分习题参考解答
习题5-1 定积分的概念
1、利用定积分的几何意义，求下列积分： (1)
dx x ⎰
-2
1
（2）dx x ⎰
--3
3
29
解
2、估计下列各积分的值：
(1)()⎰+ππ
4
54
2
sin 1dx x （2）⎰-0
2
2dx e
x
x
3、根据定积分的性质及教材中习题5-1第12题的结论，说明下列各对积分哪一个的值较大： (1)
⎰
2
1
ln xdx 还是()⎰2
1
2
ln dx x ？
解（1）在区间{1，2}上,由于0ln 1x ≤≤,得()2
ln ln x x ≥,因此2
1
ln xdx ⎰
比()2
2
1
ln x dx ⎰大.
(2)
⎰
1
dx e x 还是()⎰+1
1dx x ？
解 由于当0x >时()ln 1x x +<，故此时有1x
x e +<，因此
10
x e dx ⎰比()1
1+x dx ⎰大。
习题5-2 微积分基本公式
1、求由参数表达式⎰=t udu x 0
sin ，⎰=t
udu y 0
cos 所确定的函数对x 的导数
dx
dy
.
2、求由
+
⎰
y t dt e 0
0cos 0
=⎰
x tdt 所确定的隐函数对x 的导数
dx
dy
.
3、计算下列各导数:
(1) ⎰+2021x dt t dx d ; (2) ()
⎰x x dt t dx
d cos sin 2
cos π. 解 （1）原式
=2； （2）原式=
()()()()cos sin 222200cos cos sin cos cos cos cos sin x x d t dt t dt x x x x dx ππππ⎡⎤-=--⎢
⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()222sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x x x x ππππ=---=-
高等数学习题详解-第6章-定积分
习题6-1
1． 利用定积分的几何意义求定积分：
(1)
1
2xdx ⎰
； (2)
220
a
a x dx -⎰
(0)a >．
解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10
2xdx ⎰表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角
形的面积,而此三角形面积为1,所以
1
21xdx =⎰．
(2) 根据定积分的几何意义知,
220
a
a x dx -⎰
表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及
x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以22201
4
a a x dx a -=⎰π.
2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：
(1)
1
2
x dx ⎰
与1
3
x dx ⎰； (2)
1
x
e dx ⎰与1
(1)x dx +⎰．
解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,2
3
2
(1)0x x x x -=-≥,即23
x x ≥,
又2
x
3x ,所以1
1
230
x dx x dx >⎰⎰．
(2) 令()1,()1x x
f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,
从而()(0)0f x f ≥=,说明1x
e x ≥+，所以1
1
0(1)x e dx x dx >+⎰
⎰.
3． 估计下列各积分值的范围：
(1)
4
2
1
(1)x dx +⎰
； (2) 33
arctan xdx ⎰
；
(3)
2
a
x a
e dx --⎰
（0a >)； (4)
2
2
x
x
e dx -⎰
．
解 (1) 在区间[]1,4上，函数2
()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4
定积分的概念与性质-习题
定积分的概念与性质-习题
1．利⽤定积分的定义计算下列积分：⑴
b
a
xdx ?
（a b <）；
【解】第⼀步：分割
在区间[,]a b 中插⼊1n -个等分点：k b a
x k n
-=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[,]a b 分为n 个等长的⼩区间[(1),]b a b a a k a k n n
--+-+，
（1,2,,k n =L ），每个⼩区间的长度均为k b a
n
-?=，
取每个⼩区间的右端点k b a
x a k n
-=+，
（1,2,,k n =L ），第⼆步：求和
对于函数()f x x =，构造和式
1
()n n k k k S f x ==??∑1
n k k k x ==??∑1
()n
k b a b a
a k n n
=--=+
∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1
()n
k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2
b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+
-1
()()22b a b a b a a n --=-+-? 1
第三步：取极限
令n →∞求极限
1
lim lim ()n
n k k n n k S f x →∞
→∞
==??∑1
lim()(
)22n b a b a b a n
→∞
+-=--? ()(0)22
b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-22
2b a -=，
即得
b
a
xdx ?
定积分习题及讲解
定积分习题及讲解
第四部分 定积分
[选择题]
容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。
1．积分中值定理⎰-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ,其中( ）
。 (A ） ξ是],[b a 内任一点；
（B ）。 ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C ）. ξ是],[b a 内唯一的某一点；
（D ）。 ξ是],[b a 的中点.
答B
2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
，
其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续,则=c （ ）。
（A).0=c ; (B)。1=c ; (C ）.c 不存在； （D)。1-=c . 答A
3．a dx x x I a
n n
n (,1sin lim ⎰=+∞
→为常数）由积分中值定理得⎰=+a n n a dx x
x ξ
ξ1
sin 1sin ,则
=I （ ）。 (A ）a
a a a a
n 1
sin
1
sin
lim 1
sin
lim 2==→∞
→ξ
ξξ
ξξ；
定积分习题及讲解
（B ）。01
sin
lim 0
=→ξ
ξa ；
(C)。a a =∞
→ξ
ξξ1
sin
lim ;
(D ）.∞=∞
→ξ
ξξ1
sin
lim a .
答C
4．设)(x f 在],[b a 连续，⎰=x a dt t f x )()(ϕ，则( ）
。 (A).)(x ϕ是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B)。 )(x f 是)(x ϕ的一个原函数； (C). )(x ϕ是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D)。)(x f 是)(x ϕ在],[b a 上唯一的原函数.
定积分的应用练习题
定积分的应用练习题
一、题目概述
定积分是微积分中的重要概念之一，具有广泛的应用。本文将通过
一系列应用练习题来加深对定积分的理解，并展示其实际应用的能力。
二、确定定积分的范围
在解答具体的应用练习题之前，我们首先需要确定定积分的范围。
定积分的范围包括积分的上限和下限，决定了计算积分值的区域。
三、计算定积分的步骤
计算定积分的基本步骤包括：确定积分函数、确定积分范围、求解
不定积分、计算上下限、求解定积分。
四、应用练习题1：面积计算
假设有一条曲线y = f(x)，我们需要计算其与x轴和y轴所围成的面积。通过定积分的方法，可以将面积计算问题转化为求解定积分的问题。
五、应用练习题2：弧长计算
现在我们考虑一段曲线y = f(x)上的弧长计算问题。通过将曲线在一定范围内进行微分，再进行积分运算，可以得到曲线的弧长。
六、应用练习题3：质量计算
想象一下，在均匀分布的直线上，有一块密度为ρ的材料。通过将材料切割成小块，可以将质量计算问题转化为求解定积分的问题。
七、应用练习题4：物体体积计算
现在我们考虑一个三维空间中物体的体积计算问题。通过将物体分割为无穷小的体积元，可以利用定积分的方法求解物体的体积。
八、应用练习题5：质心计算
质心是描述物体平衡情况的一个重要概念。对于连续分布的物体，可以通过定积分的方法计算其质心的位置。
九、应用练习题6：功的计算
在物理学中，功是描述力对物体做功的量。通过定积分的方法，可以将力的作用与位移的关系转化为定积分运算。
十、应用练习题7：概率密度函数的积分运算
统计学中，概率密度函数是描述随机变量的概率分布的函数。通过对概率密度函数进行积分运算，可以计算出某个随机变量落在某个区间内的概率。
定积分习题及答案
定积分习题及答案
定积分习题及答案
定积分是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌
握定积分的计算方法和应用是学习微积分的关键。在本文中，我们将介绍一些
常见的定积分习题，并给出详细的解答。
1. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
解答：根据定积分的定义，我们可以先求出x^2的不定积分，然后再进行定积
分的计算。x^2的不定积分为(1/3)x^3，所以∫(0 to 1) x^2 dx = (1/3)x^3 |(0 to
1) = (1/3)(1^3 - 0^3) = 1/3。
2. 计算定积分∫(1 to 2) (2x + 1) dx。
解答：根据定积分的性质，我们可以将定积分拆分为两个部分：∫(1 to 2) 2x dx + ∫(1 to 2) 1 dx。第一个部分的不定积分为x^2，第二个部分的不定积分为x。所以∫(1 to 2) (2x + 1) dx = (x^2) |(1 to 2) + (x) |(1 to 2) = (2^2 - 1^2) + (2 - 1)
= 4 - 1 + 1 = 4。
3. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
解答：sin(x)的不定积分为-cos(x)，所以∫(0 to π) sin(x) dx = (-cos(x)) |(0 to π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2。
4. 计算定积分∫(0 to 1) e^x dx。
解答：e^x的不定积分为e^x，所以∫(0 to 1) e^x dx = (e^x) |(0 to 1) = e^1 -
第六章 定积分习题
1
分析：函数F ( x)是一个积分上限函数．将0x xf (t)dt 看成
定积分时，t 是积分变量，x是常量, 将其视为函数时，
x 是函数的自变量．
解:
F
(
x)
x
1 x 0
f (t)dt
1 x 0
f (t)dt
xf ( 1 ) ( x
1 x2 )
F ( x)
a4
2
sin2 t cos2 tdt
a4
2 sin2 2tdt
0
40
a4
2
1
cos
4t
dt
40 2
a4 8
t
1 4
sin
4t
2 0
a4
16
1
【例9】计算定积分0 x arctan xdx
解:
1
1
x2
x arctan xdx arctan xd( )
⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x) 在闭区间a,b 上连续,
则至少存在一点 (a,b) ,使下式成立：
b
a f ( x)dx f ( )(b a)
⑩奇偶对称性：若 f ( x)在 a, a上连续，则
定积分习题及答案详解
第五章 定积分
(A 层次)
1．⎰2
3
cos sin π
xdx x ； 2．⎰-a
dx
x a x
2
22
； 3．⎰
+31
2
2
1x
x
dx ；
4．⎰--11
45x xdx ； 5．⎰+41
1
x dx ； 6．；⎰--1
4
3
1
1x dx
7．⎰
+2
1
ln 1e x
x dx
； 8．⎰
-++02
2
2
2x x dx
； 9．dx
x ⎰
+π
2cos 1；
10．dx x x ⎰-π
π
sin 4
； 11．dx x ⎰
-
2
2
4
cos
4π
π
； 12．⎰
-++55
2
4
231
2sin
dx x x x
x ；
13．⎰3
4
2
sin
π
πdx x
x ； 14．⎰
41
ln dx x
x ； 15．⎰1
xarctgxdx
；
16．⎰20
2cos π
xdx e
x
； 17．()
dx
x x ⎰
π
2
sin ； 18．()dx x e
⎰1
ln sin ；
19．⎰
-
-24
3
cos cos π
π
dx x x ； 20．⎰+40
sin 1sin π
dx x x ； 21．dx
x
x x ⎰
+π
2
cos
1sin ；
22．⎰-+21
011ln
dx x
x x ； 23．⎰
∞+∞
-++dx x
x 4
211； 24．⎰20
sin ln π
xdx ；
25．()()
⎰∞+++0
2
11dx x x dx
α
()0≥α。
(B 层次)
1．求由0cos 0
=+
⎰
⎰x y
t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数
dx
dy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰
-=x t
dt
te
x I 0
2
有极值？
3．
(
)⎰
x x
dt t
dx
d cos sin 2
cos π。
4．设
()⎪⎩⎪
定积分的概念与性质-习题
5.1定积分的概念与性质-习题
(总9页)
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1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴b
a xdx ⎰（a
b <）；
【解】第一步：分割
在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a
x k n
-=
，（1,2,
,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间
[(1),]b a b a
a k a k n n --+
-+，（1,2,,k n =），每个小区间的长度均为
k b a n
-∆=，
取每个小区间的右端点k b a
x a k n
-=+，（1,2,,k n =），
第二步：求和
对于函数()f x x =，构造和式
1
()n n k k k S f x ==⋅∆∑1
n k k k x ==⋅∆∑1
()n
k b a b a
a k n n
=--=+
⋅∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1
()n
k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)
[]2
b a b a n n na n n ---=+⋅ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+
⋅-1
()()22b a b a b a a n --=-+-⋅ 1
()()22b a b a b a n
+-=--⋅
第三步：取极限
令n →∞求极限
1lim lim ()n
n k k n n k S f x →∞
→∞
==⋅∆∑1
lim()(
)22n b a b a b a n
习题详解-第6章 定积分
习题6-1
1． 利用定积分的几何意义求定积分：
(1)
10
2xdx ⎰
；
(2)
a
⎰
(0)a >．
解 (1) 根据定然积分的几何意义知,
10
2xd x ⎰
表示由直线2,10y x x x ===，及x 轴所围
的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以1
21xdx =⎰．
(2) 根据定积分的几何意义知
,0
a
⎰
表示由曲线0,y x x a =
==及
x 轴所围成的
14
圆的面积,而此
14
圆面积为2
1
4
πa ,
所以2
14
a a =
⎰
π.
2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：
(1)
12
x dx ⎰
与1
3
x dx ⎰； (2)
1
x
e dx ⎰
与1
(1)x dx +⎰．
解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,
又2
x 3
x ,所以1
1
2
3
x dx x dx >
⎰⎰
．
(2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以1
1
00
(1)x
e dx x dx >
+⎰⎰
.
3． 估计下列各积分值的范围：
(1)
4
2
1
(1)x dx +⎰
；
(2)
arctan x xdx ；
(3)
2
a x
a
e
dx --⎰
（0a >)； (4)
2
20
x x
e
dx -⎰
．
解 (1) 在区间[]1,4上，函数2
()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4
2
1
2(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰
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第四部分 定积分
[选择题]
容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。
1．积分中值定理⎰-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ）
。 (A) ξ是],[b a 内任一点；
(B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点； (D). ξ是],[b a 的中点。
答B
2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）
。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c . 答A
3．a dx x
x I a
n n n (,1sin lim ⎰=+∞→为常数）由积分中值定理得⎰=+a n n
a dx x x ξξ1sin 1sin ，则
=I （ ）。 (A)a
a a a a
n 1
sin
1
sin
lim 1
sin
lim 2==→∞
→ξ
ξξ
ξξ; (B).01
sin
lim 0
=→ξ
ξa ;
(C).a a =∞
→ξ
ξξ1
sin
lim ;
(D).∞=∞
→ξ
ξξ1
sin
lim a .
答C
4．设)(x f 在],[b a 连续，⎰=x
a dt t f x )()(ϕ，则（ ）
。 (A).)(x ϕ是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B). )(x f 是)(x ϕ的一个原函数;
(C). )(x ϕ是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D).)(x f 是)(x ϕ在],[b a 上唯一的原函数.
答A
5．设0)(=⎰b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ）
。 (A).0)(≡x f ;
(B).必存在x 使0)(=x f ；
(C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。
答B
6．设⎰=a dx x f x I 023)( (0.>a ), 则（ ）。 (A).⎰=2
0)(a dx x xf I ;
(B).⎰=a dx x xf I 0)(;
(C).⎰=2
0)(21a dx x xf I ; (D).⎰=a
dx x xf I 0)(21.
答 C
7．=-+⎰-11
21)1(dx x x ( )
（A ）π （B ）
2
π
（C ）π2 （D ）
4
π
答（A ）
8．设⎪⎩⎪⎨⎧
<≤=其余0
3sin )(ππx x
x f ，则=⎰π0
2cos )(xdx x f ( ) （A ）4
3 （B ）4
3-
（C ）1 （D ）－1
答（B ）
9．设]1,0[C f ∈，且2)(1
=⎰dx x f ，则=⎰
20
22sin )(cos π
xdx x f ( )
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）1
答（A ）
10．定积分的值与哪些因素无关？( ) (A) 积分变量。 (B) 被积函数。 (C) 积分区间的长度。 (D) 积分区间的位置。 答 A
11．闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现 一个有限的间断点，问结果如何？( ) (A) 必将破坏可积性。 (B) 可能破坏可积性。
(C) 不会破坏可积性，但必将改变积分值。 (D) 既不破坏可积性，也不影响积分值。 答 D
12．定积分的定义为∑⎰=→∆=n
i i i b
a x f dx x f 1
)(lim )(ξλ，以下哪些任意性是错误的？
( )
(A) 随然要求当0max →∆=i i
x λ时，i i
i x f ∆∑)(ξ的极限存在且有限，但极限
值仍是任意的。
(B) 积分区间],[b a 所分成的分数n 是任意的。
(C) 对给定的份数n ，如何将],[b a 分成n 份的分法也是任意的，即除区间端点
n x b x a ==,0外，各个分点121-<< (D) 对指定的一组分点，各个],[1i i i x x -∈ξ的取法也是任意的。 答 A 13．⎰20 2sin π dx x dx d 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 1- （D ） 2 π 答 A 14．定积分 dx x x ⎰-π0 3sin sin 等于( ) （A ） 34 （B ） 0 （C ） 32 （D ） 23 答 A 15．定积分 dx x x ⎰ -π0 3cos cos 等于( ) （A ） 0 （B ） 2 3 （C ） 34 （D ） 34 - 答C 16．定积分⎰-20 |cos sin |π dx x x 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 答D 17．定积分dx x x ⎰-2 223}1,,max {等于( ) （A ） 0 （B ） 4