2016届高三数学一轮总复习课件：第七章立体几何7-6理

(4) 两 向 量 夹 角 的 范 围 与 两 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 相 同．( )
→ → → → (5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA ＝0.( )
答案
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的 → → → → 中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则 x，y 的值分别为( A．x＝1，y＝1 1 1 C．x＝2，y＝2 1 B．x＝1，y＝2 1 D．x＝2，y＝1 )
解析
→ → → 如图，AE＝AA1＋A1E
→ 1 → → 1 → → ＝AA1＋2A1C1＝AA1＋2(AB＋AD)．
答案
C
知识点二 3.有下列 4 个命题：
空间向量中的有关定理
①若 p＝xa＋yb，则 p 与 a，b 共面； ②若 p 与 a，b 共面， 则 p＝xa＋yb； → → → ③若MP＝xMA＋yMB，则 P，M，A，B 共面； → → → ④若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB. 其中真命题的个数是( A．1 C．3 B．2 D．4 )
2 2 a2 1＋a2＋a3
cos〈a，b〉＝ 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 a2 1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3
对 点 自 测 知识点一 空间向量的概念及线性运算
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( (2)在向量的数量积运算中(a· b)· c＝a· (b· c)．( (3)对于非零向量 b，由 a· b＝b· c，则 a＝c.( ) ) )
2．相等向量：方向 相同且模相等 的向量． 3．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行 或 重合 ，那么这些向量叫做 共线向量或平行向量 记作 a∥b. 4．共面向量：平行于同一平面 的向量叫做共面向量. ，a 平行于 b
知识点二
空间向量中的有关定理
1.共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存 在 λ∈R，使 a＝ λb . 2．共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向 量 a，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb .
2．空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 数量积 共线 垂直 模 a· b a＝λb(b≠0) a· b＝0(a≠0，b≠0) |a| 坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
解析
2
→ → → → 设正方体的棱长为 1，①中(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B1
→ → → ＝3，故①正确；②中A1B1－A1A＝AB1，由于 AB1⊥A1C，故②正
→ → 确；③中 A1B 与 AD1 两异面直线所成角为 60° ，但ADБайду номын сангаас与A1B的夹 → → → 角为 120° ，故③不正确；④中|AB· AA1· AD|＝0.故④也不正确．
3．空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么 对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p ＝ xa＋yb＋zc .
知识点三 1.两个向量的数量积
两个向量的数量积
(1)非零向量 a，b 的数量积 a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)· b＝λ(a· b)； ②交换律：a· b＝b· a； ③分配律：a· (b＋c)＝a· b＋a· c.
解析
①正确．②中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 p＝xa
＋yb 就不成立．③正确．④中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直 → → → 线上，则MP＝xMA＋yMB不正确．
答案
B
→ → → 4．在四面体 O—ABC 中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D 为 BC → 的中点，E 为 AD 的中点，则OE＝________(用 a，b，c 表示)．
备考知考情 1.以简单几何体为载体，进行线线、线面、面面关系的判断和 证明，一般不单独命题． 2.试题多以解答题形式出现，考查学生的运算能力及分析问 题、解决问题的能力.
J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知 识 梳 理 知识点一 空间向量的有关概念及线性运算 的量叫做空间向
1.空间向量：在空间中，具有 大小和方向 量，其大小叫做向量的 长度或模 ．
第七章 立体几何
第六节 ►►空间向量及其运算(理)
基础回扣· 自主学习
热点命题· 深度剖析
特色专题· 感悟提高
高考明方向 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义， 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能运用向量的数量积 判断向量的共线与垂直.
解析
→ 1→ 1 → 1→ 1→ 1→ 如图，OE＝2OA＋2OD＝2OA＋4OB＋4OC 1 1 1 ＝2a＋4b＋4c.
1 1 1 答案 2a＋4b＋4c
知识点三
两个向量的数量积
→ → 5.已知空间三点 A(1,1,1)， B(－1,0,4)， C(2， －2,3)， 则AB与CA 的夹角 θ 的大小是________．
解析
→ → 由题意知AB＝(－2， －1,3)， CA＝(－1,3， －2)， 故 cosθ
→ → AB· CA －7 1 ＝ ＝ 14 ＝－2. → → |AB||CA| 2 因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝3π.
答案 2 3π
→ → → 6．已知 ABCD—A1B1C1D1 为正方体，①(A1A＋A1D1＋A1B1)2 → → → → → → ＝3A1B12；②A1C· (A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是 → → → 60° ； ④正方体 ABCD—A1B1C1D1 的体积为|AB· AA1· AD|.其中正确命 题的序号是________．