高三高分突破大一轮课标I地区专用第二章2.7 函数模型和函数的综合应用

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高三高分突破大一轮课标I地区专用第二章2.1 函数及其表示

∴a= 1 .
4
此时f 1a =f(4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时,a+1>1, ∴f(a)=2(a-1), f(a+1)=2(a+1-1)=2a.
由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解.
综上, f 1a =6,故选C.
解法二:∵当0<x<1时, f(x)= x ,为增函数, 当x≥1时, f(x)=2(x-1),为增函数, 又f(a)=f(a+1),
∴ a =2(a+1-1),∴a= 1 .
4
∴f 1a =f(4)=6.
方法小结求分段函数的函数值的基本思路: 1.结合函数定义域确定自变量的范围. 2.代入相应表达式求函数值.
2.(2015山东,10,5分)设函数f(x)=
3x 2x , x
b,
x 1.

1,
若f

f

5 6

=4,则b=
(
)
A.1 B. 7 C. 3 D. 1
8
4
2
答案
D
f 56
=3× 5 -b= 5 -b,
62
当 5 -b≥1,即b≤ 3 时,
2
2
f

5 2

b

5 b
= 2 2
,
即 252b =4=22,得到 5 -b=2,即b= 1 ;
cos
x 2

x

1
,
,0 2
x 2, x 0,
则
f(f(15))的值为
.
2
答案 2 2

2020版数学(理科)高分突破大一轮课标Ⅱ地区专用：§2.7 函数模型及函数的综合应用

5.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)= x 4 a +a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围 x
是
.
答案

,
9 2

解析本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想.
设g(x)=x+4 -a,x∈[1,4],
g'(x)=1- 4 x= x2 4,易知g(x)在[1,2]上为减函数,在[2,4]上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.
(2)当x>1时,ln x>0, f(x)=x-aln x≥0恒成立,即a≤ lnxx 恒成立. 令g(x)= lnxx ,g'(x)= l(nlnxx)21 ,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈(e,+∞)时,g'
(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x)min=g(e)=e,∴a≤e.综合(1)(2)可知,a的取值范围是0≤a≤e,故选C.
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错; 对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错; 对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油8 0×1÷10=8(升),则C错; 对于选项D:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.

高三数学复习总目录

第二章函数的概念、基本初等函数（1）与应用2.1 函数及其表示2.2 函数的单调性与最大（小）值2.3 函数的奇偶性与周期性2.4 二次函数2.5 基本初等函数（1）2.6 函数与方程2.7 函数模型及其应用第三章三角函数（基本初等函数（2））3.1 弧度制及任意角的三角函数3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式3.3 三角函数的图象与性质3.4 三角函数图象的变换3.5 三角函数模型的应用3.6 三角恒等变换3.7 正弦定理、余弦定理及其应用第四章平面向量4.1 平面向量的概念及其线性运算4.2 平面向量的基本定理及坐标表示4.3 平面向量的数量积4.4 平面向量的综合应用第五章数列5.1 数列的概念与简单表示法5.2 等差数列5.3 等比数列5.4 数列求和及其应用第六章不等式6.1 不等关系与不等式6.2 一元二次不等式及其解法6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题6.4 基本不等式及其应用第七章立体几何7.1 空间几何体的结构、三视图、直观图7.2 空间几何体的表面积与体积7.3 空间点、线、面之间的位置关系7.4 空间中的平行关系7.5 空间中的垂直关系7.6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算7.7 空间向量的坐标表示及运算7.8 空间向量的应用第八章平面解析几何8.1 直线的方程8.2 两条直线的位置关系8.3 圆的方程8.4 直线与圆的位置关系8.5 曲线与方程8.6 椭圆8.7 双曲线8.8 抛物线8.9 直线与圆锥曲线的位置关系第九章导数9.1 导数的概念及运算9.2 导数的应用（一）9.3 导数的应用（二）9.4 定积分第十章算法初步10.1 算法与程序框图10.2 基本算法语句与算法案例第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理11.2 排列与组合11.3 二项式定理11.4 随机事件的概率11.5 古典概型11.6 几何概型11.7 互斥、对立、独立、独立重复试验及其应用11.8 离散型随机变量及其分布列11.9 二项分布及其应用11.10 离散型随机变量的均值与方差11.11 正态分布第十二章统计12.1 随机抽样12.2 用样本估计总体12.3 变量间的相关关系与线性回归方程12.4 统计案例第十三章推理与证明13.1 合情推理与演绎推理13.2 直接证明与间接证明13.3 数学归纳法第十四章数系的扩充与复数的引入14.1 数系的扩充和复数的概念14.2 复数代数形式的四则运算14.3。

2020版数学高分突破大一轮江苏专用：第二章函数函数模型和函数的综合应用

可得在x= 14 处取得最大值- 1467 ;由y=x2- 32 x+3图象的对称轴为x= 34 34 1 ,可得在x= 34 处取得最小
值 1369 ,则- 1467 ≤a≤ 1369 .
②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥ x 2
a
在R上恒成立等价于- x
2 x
直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y= a (其中a,b为常数)模型.
x2 b
(1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.
解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).

≤ 2x +a≤x+ 2x 在R上恒成立,
即有- 32 x

2 x

≤a≤ 2x + 2x 在R上恒成立,由于x>1,所以- 32 x

2 x

≤-2
3x 2 =-2 3 ,当且仅当x=
2x
2 时取得最大值-2 3 ;因为x>1,所以 1 x+ 2 ≥2 1 x 2 =2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2 3
(1 α)2
M1
M1
(1 α)2
M1
∴α≈ 3 M2 ,∴r=R·α≈3 M2 R.
3M1
3M1
解后反思题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题的实质,进而转化成数学运算问题.平时一定要注重培养良好的解题习惯.
2.(2019北京理,14,
M1 + M2 =(R+r) M1 .

2025年高考数学一轮复习-第二章函数-第9讲函数模型及应用【课件】

考点二根据给定函数模型解决实际问题（师生共研）
例1.（1）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，为了倡导绿色可循环的理念，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前4小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要的时间为( )
注射该药物小时后每毫升血液含药量为（微克），故C错误.故选AD.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.(2023·广东广州综合检测)如图，一高为且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为时，水流出所用时间为，则函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
A. B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D.注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
√
√
解析：选AD.当时，，即，解得，且，所以故A正确；当，即时，药物刚好起效，当，即时，药物刚好失效，故药物有效时长为小时，药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；
A. B. C. D.
√
解析：选D.依题意知，当时， ;当时， ;当时，，观察四个选项知D项符合要求.
轴
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数的函数值比的函数值大.( )

2024届高考数学一轮复习+第二章《函数》第七节+函数的应用-第2课时+函数模型的应用+课件

A. B. C. D.
C
[解析] 当时，，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以，解得 .
3. （2022辽宁大连一○三中学模拟）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足： .若常数，空气温度为，则某物体的温度从下降到大约需要的时间为（参考数据：）( )
[解析] 若选择模型①，将，代入可得解得所以，经验证，符合题意；若选择模型②，将，代入可得解得所以 ,当时，，不符合题意，因此选择函数模型①，其解析式为（，且为整数）.
（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型，并说明理由.
迁移应用
1. 小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车累计运输收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.
1
3
10
30
2
3
6.5
16.5
未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间（第天）的函数关系式为（，且为整数），而后15天此商品每天每件的利润（元）与时间（第天）的函数关系式为（，且为整数）.
（1）现给出以下两个函数模型：① （，为常数）；② （，为常数，，且）.分析表格中的数据，请说明哪个函数模型更合适，并求出该函数解析式；
（1）当驾驶此型号汽车以的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少？

2025版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件

（2）由（1）知，当 ∈ (0,400]时， =
1
−
2
− 300
2
+ 25 000，
所以当 = 300时，max = 25 000；
当 > 400时， = 60 000 − 100 < 20 000.
故当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25 000元.
【点拨】解决函数应用问题的解题步骤.
2.7 函数的应用
第2课时函数模型及其应用
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际
情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、
指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
120 s的飞行距离为900 7 m，预测该无人机到达目标点大约需要飞行(
A.180 s
B.190 s
C.200 s
e = 900,
解：由题意，得൝ 90+
所以e90 = 7，所以令e
e
= 900 7,
e
−30
= 7，所以 − 30 = 180，解得 = 210.故选D.
D.210 s
生产该新产品的固定成本为20 000元，每生产一件该新产品需要增加投入100元，根
据统计数据，总收益（单位：元）与月产量（单位：件）满足
=ቐ
400
1 2
− ,0
2
< ≤ 400且 ∈ ,
80 000, > 400且 ∈ .
（注：总收益=总成本+利润）
（1）请将利润（单位：元）表示成关于月产量（单位：件）的函数；

全国版版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用函数模型及其应用理

43
【加固训练】 1.(2016·石家庄模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午 8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为 ( )
44
A.上午10:00 C.下午4:00
故函数v 1 x 5，
解得
a b
5 2
1 8
,
,
82
2，0＜x 4,
v
1 8
x
5 2
, 4＜x
20.
41
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得
当故0ff(<xx)xm≤a4x=2时x18f,,(0xf＜42()xx=)52为4x4,×,增4＜2函=x 8数;2,0，
14
2.(必修1P107习题3.2A组T4改编)有一批材料可以建成
200m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一
块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩
形(如图所示),则围成的矩形最大面积为
.(围
墙厚度不计)
15
【解析】设矩形的长为xm,宽为200 mx , 4
则S=x·200 x= (1-x2+200x). 当x=100时4 ,Smax4=2500m2. 答案:2500m2
经验绘制了2015年春节前后,从12月21日
至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千
克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在
12月26日大约卖出了西红柿
千克.
23
(2)(2016·太原模拟)牧场中羊群的最大蓄养量为m只, 为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为 k(k>0).

2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第2章 §2.10 函数模型的应用

§2.10函数模型的应用考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．知识梳理1．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)和y＝log a x (a >1)的增长速度．( √ )(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × ) 教材改编题1．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.99－0.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x 答案 D解析根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．2．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )答案 D3．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”．答案 10解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n ，由⎝⎛⎭⎫12n <11 000，得n ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()答案 B解析水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．(2)(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)答案 B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.教师备选已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()答案 D解析依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．跟踪训练1(1)(2022·内江模拟)对于下列表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是()x 12 3y 3 5.9912.01A.y＝3×2x－1B．y＝log2xC．y＝3x D．y＝x2答案 A解析根据题意，这3组数据可近似为(1,3)，(2,6)，(3,12)；得到增长速度越来越快，排除B，C，对于选项D，三组数据都不满足，对于选项A，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好的函数是y＝3×2x－1.(2)(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是( )答案 A解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y ＝x 上方．结合选项只有A 选项能够较好的达到目的．题型二已知函数模型的实际问题例2 (2022· 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产x 台，需另投入成本G (x )万元，且G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋80x ，0<x ≤40，201x ＋3 600x －2 100，40<x ≤100，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．(1)写出年利润W (x )万元关于年产量x 台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)由题意可得，当0<x ≤40时， W (x )＝200x －(2x 2＋80x )－300＝－2x 2＋120x －300；当40<x ≤100时，W (x )＝200x －⎝⎛⎭⎫201x ＋3 600x －2 100－300 ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋3 600x ＋1 800，所以W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋120x －300，0<x ≤40，－⎝⎛⎭⎫x ＋3 600x ＋1 800，40<x ≤100.(2)若0<x ≤40，W (x )＝－2(x －30)2＋1 500，所以当x ＝30时，W (x )max ＝1 500万元．若40<x ≤100，W (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋3 600x ＋1 800 ≤－2x ·3 600x＋1 800＝－120＋1 800＝1 680，当且仅当x ＝3 600x时，即x ＝60时，W (x )max ＝1 680万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元．教师备选(2022·重庆南开中学模拟)某企业自主开发出一款新产品A ，计划在2022年正式投入生产，已知A 产品的前期研发总花费为50 000元，该企业每年最多可生产4万件A 产品．通过市场分析知，在2022年该企业每生产x (千件)A 产品，需另投入生产成本R (x )(千元)，且R (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋60x ，0<x ≤10，70x ＋1 800x－230，10<x ≤40.(1)求该企业生产一件A 产品的平均成本p (元)关于x 的函数关系式，并求平均成本p 的最小值(总成本＝研发成本＋生产成本)；(2)该企业欲使生产一件A 产品的平均成本p ≤66元，求其年生产值x (千件)的取值区间？解 (1)由题知生产x 千件的总成本为(R (x )＋50)千元，故生产一件的平均成本为R (x )＋50x元，所以p (x )＝⎩⎨⎧12x ＋60＋50x，0<x ≤10，70＋1 800x 2－180x，10<x ≤40，当x ∈(0,10]时，p (x )＝12x ＋60＋50x 单调递减，故最小值为p (10)＝70，当x ∈(10,40]时，p (x )＝1 800⎝⎛⎭⎫1x －1202＋65.5，故最小值为p (20)＝65.5，所以生产一件A 产品的平均成本最低为65.5元． (2)由(1)知，要使p (x )≤66只需考虑x ∈(10,40]，即70＋1 800x 2－180x≤66，整理得x 2－45x ＋450≤0，解得15≤x ≤30，所以当x ∈[15,30]时，生产一件A 产品的平均成本不超过66元．思维升华求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．跟踪训练2 (1)“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t (30≤t ≤100)(单位：天)，增加总分数f (t )(单位：分)的函数模型：f (t )＝kP 1＋lg (t ＋1)，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f (60)＝16P .现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg 61≈1.79)( ) A ．440分 B ．460分 C ．480分 D ．500分答案 B解析由题意得， f (60)＝kP 1＋lg 61＝kP 2.79＝16P ，∴k ≈2.796＝0.465，∴f (100)＝0.465×4001＋lg 101＝1861＋lg 100＋lg 1.01≈1863＝62， ∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系： Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是______； ②最低种植成本是________元/100 kg. 答案 ①120 ②80解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧ a (60－120)2＋m ＝116，a (100－120)2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80，所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 题型三构造函数模型的实际问题例3 (1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s ，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析设石片第n 次“打水漂”时的速率为v n ，则v n ＝100×0.90n －1. 由100×0.90n －1<60，得0.90n －1<0.6，则(n －1)ln 0.90<ln 0.6，即n －1>ln 0.6ln 0.9≈－0.511－0.105≈4.87，则n >5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.(2)(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190 cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm)的函数关系式________．答案 k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤160，130(x －160)，160<x <190，1，x ≥190.(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可．答案不唯一) 解析由题意知函数k (x )在[160,190]上单调递增，设k (x )＝ax ＋b (a >0)，x ∈[160,190]，由⎩⎪⎨⎪⎧160a ＋b ＝0，190a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝130，b ＝－163，所以k (x )＝130x －163，所以k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤160，130(x －160)，160<x <190，1，x ≥190.教师备选国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解设该旅行团的人数为x ，飞机票的价格为y 元．旅行社可获得的利润为w 元． (1)①当0≤x ≤30时，y ＝900， ②当30<x ≤75时，y ＝900－10(x －30)＝－10x ＋1 200，综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0≤x ≤30，－10x ＋1 200，30<x ≤75.(2)当0≤x ≤30时，w ＝900x －15 000，当x ＝30时，w max ＝900×30－15 000＝12 000(元)；当30<x ≤75时，w ＝(－10x ＋1 200)·x －15 000 ＝－10x 2＋1 200x －15 000 ＝－10(x －60)2＋21 000，当x ＝60时，w 最大为21 000元，∴每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·常州模拟)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为( ) A ．2.5元 B ．3元 C ．3.2元 D ．3.5元答案 BC解析依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5万册，则该杂志销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x 万元，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x ≥22.4，化简得x 2－6x ＋8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2.(2)(2022·南京模拟)拉面是很多人喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克．第一次拉的长度是1米，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1米长的细丝面条的质量是________．答案 3克解析拉面师傅拉7次面条共有27－1＝26＝64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×18＝108(克)；剩下64根面条的总质量为300－108＝192(克)，则每根1米长的细丝面条的质量为19264＝3(克)．课时精练1．(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋b e x D．y＝a＋b ln x答案 D解析由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．2．(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x 0.10.120.15…1 1.2 1.5 2.0五分记录y 4.0 4.1 4.2…5 5.1 5.2 5.3现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋110lg 1x，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)()A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8答案 B解析由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，令y ＝5＋lg x ＝4.7，解得x ＝10－0.3＝0.5.3．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了( ) A ．0.33米 B ．0.42米 C ．0.39米 D ．0.43米答案 B解析该女生训练前立定跳远距离为 1.84－0.03×90－705＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为 1.84＋0.1×105－905＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．4．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min 后茶水的温度为y ℃，且y ＝k ·0.908 5x ＋25(x ≥0，k ∈R )．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) ( ) A ．6 min B ．7 min C ．8 min D ．9 min 答案 B解析由题意可知，当x ＝0时，y ＝85，则85＝k ＋25，解得k ＝60，所以y ＝60×0.908 5x ＋25.当y ＝55时，55＝60×0.908 5x ＋25，即0.908 5x ＝0.5，则x ＝log 0.908 50.5＝ln 12ln 0.908 5＝－ln 2ln 0.908 5≈0.693 10.096 0≈7，所以茶水泡制时间大约为7 min.5．(多选)(2022·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )A ．a ＝3B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案 AD解析由函数图象可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t <1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ≥1，当t ＝1时，y ＝4，即⎝⎛⎭⎫121－a＝4，解得a ＝3，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t <1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132，药物刚好失效的时间⎝⎛⎭⎫12t －3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 错误．6．(多选)某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：有下列函数模型：①y ＝a ·b x－2 016；②y ＝a sin πx2 016＋b ；③y ＝a lg(x ＋b )(a >0，b >1)(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是( )A ．选择模型①，函数模型解析式y ＝4·⎝⎛⎭⎫32x －2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y (万吨)与年份x 的函数关系B ．选择模型②，函数模型解析式y ＝4sin πx2 016＋2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y (万吨)与年份x 的函数关系C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨答案 AD解析若选y ＝4·⎝⎛⎭⎫32x －2 016，计算可得对应数据近似为4,6,9,13.5，若选y ＝4sin πx2 016＋2 016，计算可得对应数据近似值都大于2 012，显然A 正确，B 错误；按照选择函数模型y ＝4·⎝⎛⎭⎫32x －2 016，令y >40，即4×⎝⎛⎭⎫32x －2 016>40， ∴⎝⎛⎭⎫32x －2 016>10， ∴x －2 016>32log 10，∴x －2 016>lg 10lg 32＝1lg 3－lg 2≈5.678 6，∴x >2 021.678 6，即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C 错误，D 正确．7．(2022·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (数量：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．答案 300解析由题意知100＝a log 2(1＋1)⇒a ＝100，当x ＝7时，可得y ＝100log 2(7＋1)＝300.8．(2022·临沂模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t 分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt .若常数k ＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟．(参考数据：ln 3≈1.1) 答案 22解析由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50， ∴50＝30＋(90－30)e －0.05t ， ∴e －0.05t ＝13，∴－0.05t ＝ln 13，∴0.05t ＝ln 3，∴t ＝ln 30.05＝20×ln 3≈22.9．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年(x ∈N *)所需的各种费用总计为(2x 2＋6x )万元． (1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)； (2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出； ②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．解 (1)∵客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年(x ∈N *)所需的各种费用总计为(2x 2＋6x )万元，若该车x 年开始盈利，则30x >2x 2＋6x ＋50，即x 2－12x ＋25<0，∵x ∈N *，∴3≤x ≤9， ∴该车营运第3年开始盈利．(2)方案①盈利总额y 1＝30x －(2x 2＋6x ＋50) ＝－2x 2＋24x －50＝－2(x －6)2＋22， ∴x ＝6时，盈利总额达到最大值为22万元．∴6年后卖出客车，可获利润总额为22＋10＝32(万元)．方案②年平均盈利总额y 2＝－2x 2＋24x －50x ＝－2x －50x ＋24＝24－2⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤4(当且仅当x ＝5时取等号)．∴x ＝5时年平均盈利总额达到最大值4万元．∴5年后卖出客车，可获利润总额为4×5＋12＝32(万元)．∵两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②较为合算．10．(2022·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k )，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m 2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m 2，凤眼莲的覆盖面积y (单位：m 2)与月份x (单位：月)的关系有两个函数模型y ＝ka x (k >0，a >1)与y ＝12px ＋k (p >0，k >0)可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 (1)由题设可知，两个函数y ＝ka x(k >0，a >1)，y ＝12px ＋k (p >0，k >0)在(0，＋∞)上均为增函数，随着x 的增大，函数y ＝ka x (k >0，a >1)的值增加得越来越快，而函数y ＝12px ＋k (p >0，k >0)的值增加得越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y ＝ka x (k >0，a >1)满足要求．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ka 2＝24，ka 3＝36，解得k ＝323，a ＝32，故该函数模型的解析式为y ＝323·⎝⎛⎭⎫32x(x ∈N )．(2)当x ＝0时，y ＝323·⎝⎛⎭⎫320＝323，故元旦放入凤眼莲的面积为323m 2，由323·⎝⎛⎭⎫32x >10×323，即⎝⎛⎭⎫32x >10，故x >32log 10＝lg 10lg32＝1lg 3－lg 2，由于1lg 3－lg 2≈10.477 1－0.301 0≈5.7，故x ≥6.因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．11．(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e ax ＋b (a ，b 为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为( ) A ．72小时 B ．36小时 C ．24小时 D ．16小时答案 A解析当x ＝6时，e 6a ＋b ＝216；当x ＝24时，e 24a ＋b ＝8，则e 6a ＋be 24a ＋b ＝2168＝27，整理可得e 6a ＝13，于是e b ＝216×3＝648，当x ＝12时，y ＝e 12a ＋b ＝(e 6a )2·e b ＝19×648＝72.12．(2022·南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I 与标准声强I 0(I 0约为10－12，单位：W/m 2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L (贝尔)，即L ＝lg II 0.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y (分贝)与喷出的泉水高度x (m)之间满足关系式y ＝2x ，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m ，60 m ．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n 个乙同学同时大喝一声的声强，则n 的值约为( ) A ．10 B ．100 C ．200 D ．1 000 答案 B解析设甲同学的声强为I 1，乙同学的声强为I 2，则140＝10lg I 110－12，120＝10lg I 210－12，两式相减即得20＝10lg I 1I 2，即lg I 1I 2＝2，从而I 1I 2＝100，所以n 的值约为100.13．如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m (0<a <12)，4 m ，不考虑树的粗细，现在用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD .设此矩形花园的面积为S (m 2)，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花园内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )答案 C解析设AD ＝x 米，则CD ＝(16－x )米，要将树围在矩形内，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，16－x ≥4，∴a ≤x ≤12.S ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64，x ∈[a ,12]，当0<a ≤8时，当x ＝8时，S max ＝64，当8<a ≤12时，当x ＝a 时， S max ＝－a 2＋16a .综上有f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0<a ≤8，－a 2＋16a ，8<a ≤12.14．(2022·芜湖模拟)央视某主持人曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”主持人质疑这类问题的合理性．其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量－消耗量＝改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题．例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y (吨)与时间x (小时)之间的部分关系如图，那么从不进货起__________小时后该仓库内的货恰好运完．答案 8解析由图象可知，在0到4小时进货20吨，故进货速度是5吨/小时，所以出货速度为(20＋5×8－30)÷8＝154(吨/小时)，从不进货起，需要30÷154＝8(小时)将该仓库内的货恰好运完．15．(多选)(2022·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是( ) A ．当x >1时，甲走在最前面 B ．当x >1时，乙走在最前面C ．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D ．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲答案 CD解析甲、乙、丙、丁的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x －1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．16．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤x5恒成立．(1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)＝115x＋10；(Ⅱ)f(x)＝2x－6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数f(x)＝a x－10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．解(1)对于函数模型：(Ⅰ)f(x)＝115x＋10，验证条件③：当x＝30时，f(x)＝12，而x5＝6，即f(x)≤x5不成立，故不符合公司要求；对于函数模型：(Ⅱ)f(x)＝2x－6，当x∈[25,1 600]时，条件①f(x)是增函数满足；∴f(x)max＝2 1 600－6＝2×40－6＝74<90，满足条件②；对于条件③：记g(x)＝2x－6－x5(25≤x≤1 600)，则g(x)＝－15(x－5)2－1，。

新课标高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用函数模型及应用课时作业理

课时作业12 函数模型及应用一、选择题1．下表显示出函数值y随自变量x变化一组数据，由此判断它最可能函数模型是( )A.C．指数函数模型D．对数函数模型解析：由表中数据知x，y满足关系y＝13＋2(x－3)．故为一次函数模型．答案：A2．某文具店出售羽毛球拍与羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价92%付款．现某人方案购置4副球拍与30个羽毛球，两种方法中，更省钱一种是( )A．不能确定B．①②同样省钱C．②省钱D．①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)，故方法①省钱．答案：D3．一个人以6 m/s速度去追停在交通灯前汽车，当他离汽车25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s 2加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7 s 内追上汽车B ．人可在10 s 内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5 mD ．人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：设汽车经过t 秒行驶路程为s 米，那么s ＝12t 2，车与人间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7.答案：D4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年增长率为p ，第二年增长率为q ，那么该市这两年生产总值年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.〔p ＋1〕〔q ＋1〕－12C.pqD.〔p ＋1〕〔q ＋1〕－1解析：设第一年年初生产总值为1，那么这两年生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值年平均增长率为x ，那么(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝〔p ＋1〕〔q ＋1〕－1，应选D.答案：D5．如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开场沿A →B →C →D 路径匀速前进到D 为止．在这个过程中，△APD 面积S 随时间t 变化关系用图象表示正确是( )解析：根据动点移动知，P 点在AB 上移动时，△APD 面积S 是在增加，排除选项C ，P 点在BC 上移动时，△APD 面积S 是不变化，排除选项A ，因为CD >AB ，点P 是匀速前进，所以在CD 上移动时间比在AB 上移动所用时间多，所以排除选项D ，选B.答案：B6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137含量．t ＝30时，铯137含量变化率．．．是－10ln2 (太贝克/年)，那么M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析：由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝⎛⎭⎪⎪⎫－130ln2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－130ln2＝－10ln2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2D. 答案：D二、填空题7．某家具标价为132元，假设降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，那么该家具进货价是________元．解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.答案：1088．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ，x >1，?酒后驾车与醉酒驾车标准及相应处分?规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升．那么此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(准确到1小时)解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1，，那么35⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ≤，∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3，故至少要4个小时后才能开车．答案：49．汽车最正确使用年限是使年均消消耗用最低年限(年均消消耗用＝年均本钱费用＋年均维修费)，设某种汽车购车总费用为50 000元；使用中每年保险费、养路费及汽油费合计为6 000元；前x 年总维修费y 满足y ＝ax 2＋bx ，第一年总维修费为1 000元，前两年总维修费为3 000元，那么这种汽车最正确使用年限为________年．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝a ＋b 3 000＝4a ＋2b，解得：a ＝500，b ＝500，∴y ＝500x 2＋500x .设年均消消耗用为S ，那么S ＝50 000＋500x 2＋500x x＋6 000 ＝50 000x＋500x ＋500＋6 000≥2×5 000＋500＋6 000＝16 500(元)，当且仅当50 000x＝500x ，即x ＝10时取“＝〞．答案：10三、解答题10．某种出口产品关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供给量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(x －b )2，其中k ，b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，假设市场价格为5千元，那么市场供给量为1万件；假设市场价格为7千元，那么市场供给量约为2万件．(1)试确定k ，b 值．(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x ，当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1k 〕〔5－b 〕22k 〕〔7－b 〕2， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 〕〔5－b 〕2＝0，k 〕〔7－b 〕2＝1.解得b ＝5，k ＝1. (2)当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2＝2－x ，所以(1－t )(x －5)2＝－x ⇒t ＝1＋x〔x －5〕2 ＝1＋1x ＋25x－10. 而f (x )＝x ＋25x在(0，4]上单调递减，所以当x ＝4时，f (x )有最小值414，故当x ＝4时，关税税率最大值为500%.11．某企业为了保护环境，开展低碳经济，在国家科研部门支持下，进展技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用化工产品工程，经测算，该工程月处理本钱y (元)与月处理量x (吨)之间函数关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144〕，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500〕，且每处理一吨二氧化碳得到可利用化工产品价值为200元，假设该工程不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200，300]时，判断该工程能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额范围是多少？(2)该工程每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理本钱最低？解：(1)当x ∈[200，300]时，设该工程获利为S ，那么S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200，300]时，S <0，因此该工程不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，当x ＝200时，S 取得最小值－20 000.∴国家每月补偿数额范围是[5 000，20 000]．(2)由题意可知，二氧化碳每吨处理本钱为y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144〕，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500〕， ①当x ∈[120，144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x取得最小值240； ②当x ∈[144，500)时，y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x·80 000x－200＝200，当且仅当12x＝80 000x，即x＝400时，yx取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨平均处理本钱最低．1．(2021 ·北京卷)汽车“燃油效率〞是指汽车每消耗1升汽油行驶里程．以下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况．以下表达中正确是( )A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以一样速度行驶一样路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，一样条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：由图可知，乙车在速度为40 km/h，消耗应该高于5升，从而排除A；三辆车都以一样速度行驶时甲车油耗应该最低，排除选项B；选项C中当甲速度为80 km/h，指是1小时走80 km，此时所需要油耗为8升，应选项C错误；选项D中，当乙丙以80 km/h 速度行驶时，丙车燃油效率高于乙车燃油效率，所以丙车比乙车更省油，应选D.答案：D2．某工厂产生废气经过过滤后排放，排放时污染物含量不得超过1%.在过滤过程中废气中污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．假设在前5个小时过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放．( )A.12h B.59 h C ．5 h D ．10 h解析：设原污染物数量为a ，那么P 0＝a .由题意有10%a ＝a e －5k ，所以5k ＝ln10.设t h 后污染物含量不得超过1%，那么有1%a ≥a e －tk ，所以tk ≥2ln10，t ≥10.因此至少还需过滤10－5＝5(h)才可以排放．答案：C3．(2021·北京朝阳一模)稿酬所得以个人每次取得收入，定额或定率减除规定费用后余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上，定率减除20%费用，适用20%比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)；(2)每次收入在4 000元以上：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)．某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元．解析：由题可知，当纳税280元时，代入第一个计算公式中，可得出280＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)，此时每次收入额为2 800元，因此2 800<4 000，满足题意．代入到第二个计算公式中，得到280＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)，此时每次收入额为2 500元，因为2 500<4 000，不满足题意，舍去．故这个人应得稿费(扣税前)为2 800元．答案：2 8004．(2021 ·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直直线型公路，为进一步改善山区交通现状，方案修建一条连接两条公路与山区边界直线型公路，记两条相互垂直公路为l1、l2，山区边界曲线为C，方案修建公路为l.如下图，M、N为C两个端点，测得点M到l1、l2距离分别为5千米与40千米，点N到l1、l2距离分别为20千米与2.5千米．以l2、l1所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P横坐标为t.①请写出公路l长度函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M，N坐标分别为(5，40)，(20，)．将其分别代入y＝ax2＋b，得错误!解得错误!第 11 页 (2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，那么点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，那么l 方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]． ②设g (t )＝t 2＋4×106t4，那么g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )>0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 长度最短，最短长度为153千米．。