第3章__随机向量3-1

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概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章随机向量

概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的分布的概率密度。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X
X
Y
Y
概率论与数理统计
解: (1)串联情况
X
Y
概率论与数理统计
(2)并联情况
X
Y
感谢聆听批评指导
概率论与数理统计
二维正态分布若(X.,Y)的概率密度为
概率论与数理统计
4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
概率论与数理统计
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.

第三章-多维随机向量的分布及数字特征

xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则

随机向量

Y
P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy

2x 3y 6
f(x, y)dxdy
3 1 ( 6 2 x ) 3 0
2 x
D
2
2x+3y=6
dx
0
6e
( 2 x 3 y )
6 e
0
3
1 3 y ( e 3
dy 1 ( 6 2x ) )3 dx 0
2/5
1 2/5
P
3/5
2/5
P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj )
不独立
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
独立
例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X Y -1 0 0.05 1 0.1 2 0.1
求:(1)常数a的取值;
0
1
0.1
a
0.2
0.2

x
1

联合分布函数与边缘分布函数的关系定义则称设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),
FX ( x) F ( x,) P( X x, Y ) P( X x)

f (s, t )dtds ( f (s, t )dt )ds f
x
2 s
ds e
1 2 s x 1 3t y ( 1 e 2 x )( 1 e 3 y ) dt 6( e ) ( e ) 0 3 0 2
(1 e 2 x )(1 e 3 y ) 即: P ( X x , Y y ) 0
x 0, y 0 其它
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布定义如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与Y分别都是一维离散型的。

第3章随机向量(含习题参考答案)

=0+0+0=0
∴ 选 A.
p⋅ j 1 4 1 2 1 4
·8·
则下列式子正确的是 ( （A） X=Y；（C）P(X=Y)=1/2；
·5·
解：A 显然不对.
P ( X = Y ) = P( X = −1, Y = −1) + P( X = 1, Y = 1) 1 1 1 1 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2
= P( X = −1) P(Y = −1) + P( X = 1) P(Y = 1) =
.
2. 已知(X,Y)的联合概率分布如下：
Y X
1 0 1/3
2 1/3 1/3
1 2
则 X 与 Y 的边缘概率分布为__________； X 与 Y 是否独立？__________. 解：X 的边缘概率分布为：
X
P Y 的边缘概率分布为：
1 1/3
2 2/3
1 2 1/3 2/3 1 1 1 由于 P ( X = 1) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ = ≠ P( X = 1, Y = 1) = 0 ，故 X 与 Y 不 3 3 9
解： S阴 =
∫
e2 1
1 e2 ( − 0)dx = ln x 1 = 2 x
·2·
⎧1 ( x, y ) ∈ D ⎪ ∴ f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪ ⎩0 其他 f X ( x) = ∫
+∞ −∞
y
f ( x, y )dy
y=
1 x
D x
⎧ 1 1 1 1 ≤ x ≤ e2 , ⎪ ∫ 0x dy = =⎨ 2 2x ⎪ 0 其它. ⎩
2 2
解：相互独立的随机变量 Xi～N(μi,σi2)，i=1,…,n. 有

概率论与数理统计第3章随机向量

解（1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布

概率论与数理统计课件第三章

f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|

第三章随机向量及其独立性

联合分布律的性质 ≥ 0, i, j = 1,2,L (1) p .
ij
(2)∑pi j = 1.
i, j
第三章
随机向量及其独立性
二维离散型随机向量的联合分布律全面地反映了向量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律. 地反映了向量的取值及其概率规律而单个随机变量X,Y也具有自己的概率也具有自己的概率而单个随机变量分布. 分布那么要问:二者之间有什么关系呢那么要问二者之间有什么关系呢? 二者之间有什么关系呢
第三章
随机向量及其独立性
实例2 实例
在平面坐标系中，在平面坐标系中，一门大炮向目标发射一发炮弹. 一发炮弹炮弹落点位置由它的横坐标X和纵坐标炮弹落点位置由它的横坐标和纵坐标Y 和纵坐标来确定. 来确定 X,Y 都是随机变量，称(X,Y )是二维随机都是随机变量，是二维随机向量. 向量
第三章
随机向量及其独立性
二离型机量设维散随向 (X,Y)的有所可取值 (xi , yj ), i = 1,2,L j = 1,2,L 能的为 , .
记 pij = P{X = xi ,Y = yj }, i = 1,2,L j = 1,2,L , .
的联合分布律，称上式为随机向量 ( X,Y ) 的联合分布律，也称为概率分布. 称为概率分布若随机向量 ( X,Y ) 的的概率分布的规律性不强，或者不能用上式表示时，性不强，或者不能用上式表示时，还可以用表格的形式表示如下. 表格的形式表示如下
F(x1, x2,L xn ) = P{X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,L Xn ≤ xn} , ,
x1 , x 2 , L , x n 为任意实数

高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-1空间向量基本定理北师

BD的中点分别为E，F，则EF＝________．
答案：3a＋3b－5c
解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则
1
1
1
1
1
EF＝GF − GE＝ CD − BA＝ CD + AB＝ (5a＋6b－
2
2
1
8c)＋ (a－2c)＝3a＋3b－5c.
2
2
2
2
易错辨析对基理解不清致误
例3 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点．若
的值分别是(
)
1
1
1
1
1
1
A．x＝，y＝，z＝ B．z＝，y＝，z＝
3
3
3
1
1
1
C．x＝，y＝，z＝
3
6
3
答案：D
3
3
6
1
1
1
D．x＝，y＝，z＝
6
3
3
(2)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设AB＝a，AD＝b，AA′ ＝c，P是
CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且
A1 B1 ＝a，A1 D1 ＝b，A1 ＝c，试用基{a，b，c}表示向量C1 ．
解析：如图，连接A1M，A1C1 ，则C1 ＝A1 －
1
A1 C1 ＝A1 ＋AM－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1 ＋ (A1 B1
1
＋A1 D1 )－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1A－
2
1
1
b构成基的向量是(
)
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c

【学习课件】第三章概率论与数理统计

解确定随机变量的取值：
及F(2,2).
p i j P Xi,Yj
F ( x , y) = P { X x , Y y}
{ P X { X i , Y i } j } { Y { X j } i } { Y j } pij
P Y j|X iP X i
xi x yjy
为 X, Y的分布函数，或 X与 Y的联合分布函数。
X x ,Y y X x Y y
几何意义：分布函数 Fx0,y0表示随机点 X,Y落在区域
x,y,xx0,yy0
中的概率。如图阴影部分所示：
y
x0, y0
X＝xi ,Y y j
P X＝xi
pij , j＝1, 2, pi
为给定条件X xi时，Y的条件概率分布律。
3、条件概率分布律
给定条件Yyj时，X的条件概率分布律记作：
X|Yyj
P X＝xi |Yyj
pij ,i＝ 1, 2, pj
X |Y yj
P X |Y y j
x1
p1 j
X , Y ～P X＝xi, Y＝y j pij , i, j＝1, 2,
则称 P X＝xi | Y y j
P X＝xi ,Y y j P Y＝y j
pij , i＝1, 2, p j
为给定条件Y y j时，X的条件概率分布律；
P Y＝y j | X＝xi
P
= limPX x,Y y lim Fx, y
y
y
0, x 0; =x2, 0 x 1;
1, 1 x.
FYy PY yPX ,Y y
= limPX x,Y y limFx, y

大学概率论第三章----随机向量

大学概率论第三章----随机向量第三章随机向量第一节二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。

简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。

(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。

设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。

3_1随机向量的联合分布

x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为

0

f ( x, y )dxdy 1
所以
1

0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
《概率统计》返回下页结束
例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,

1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
《概率统计》返回下页结束
二、二维离散型随机向量及其分布
1.定义若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质（1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
下页结束
一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称

第3章随机向量3-1

2.已知随机变量X和Y的联合概率分布为
(x ,y) P{X=x,Y=y} (0,0) 0.10 (0,1) (1,0) 0.15 0.25 (1,1) (2,0) (2,1) 0.20 0.15 A
求：常数A；概率 P{X≤1,Y≤1}
20
课堂练习
3. 甲乙二人独立地各进行两次射击,假设甲乙的命中率分别为0.2,0.5,以X、Y表示甲乙的命中次数,求X,Y的联合概率分布. 解:X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为:
X 0 1 2
Y
P
0
0.25
1
0.5
2
0.25
P
0.64
0.32 0.04 Y 0
0.16 0.08 001
由X、Y的独立性得(X,Y)的联合概率分布为
X 0 1 2
1
0.32 0.16 0.02
2
0.16 0.08 0.01
21
连续型
⒈ 定义:设（X，Y）是二维随机向量，若存在非负可积函数 f(x,y),使得对于平面上的任何可求面积的区域 D 都有
求（X1，X2）的联合概率分布。
14
例2的解法
解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), P{X1=0,X2=0}=P{|Y|≥1,|Y|≥2} =P{|Y|≥2} =1-P(|Y|<2) =2－2Φ(2)=0.0455 P{X1=0,X2=1}=P{|Y|≥1,|Y|<2} =P{1≤|Y|<2} =P{-2≤Y<-1}+P{1≤Y<2} =2P{1≤Y<2} =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719 P{X1=1,X2=0}=P{|Y|<1,|Y|≥2}=0 P{X1=1,X2=1}=P{|Y|<1,|Y|<2} =P{|Y|<1} =2Φ(1)-1 =0.6826

第3章第三章随机向量

且对给定的成立，故X和Y相互独立. 例4 设 (X, Y)的联合分布密度函数为
3 x, 0 x 1, x y x, p ( x, y ) 2 0, 其他 .
问X, Y是否独立？解
x 3 2 x x d y 3 x , 0 x 1, p X ( x ) p ( x, y ) d y 2 0, 其他 .
例3 设 (X, Y) 的联合分布列如下, 问X, Y是否独立？
X Y
0 1 2
1 2 20 2 20 4 20
0 1 20 1 20 2 20
2 2 20 2 20 4 20
解
X p
易得X和Y的边缘分布律分别为：
0 1 4 1 1 4 2 2 4 Y p 1 2 5 0 1 5 2 2 5
3.4 条件分布与随机变量的独立性

e
dt
1 e 2
( x ).
pY ( y )
1 e 2
y2 2
( y ).
本节
上页
下页
3.3 连续型随机向量及分布
本章
上页
下页
3.4 条件分布与随机变量的独立性
1.离散型条件分布
2.连续型条件分布
3.随机变量的独立性
本章
上页
下页
3.4 条件分布与随机变量的独立性
( xi , yi )(i, j 1,2,), 且 P( X xi ,Y y j ) pij ,
则我们把它称为(X,Y)的联合分布列.
本节
上页
下页
3.2 离散型随机向量及分布
联合分布列:
X
Y
x1 xi

Chap3 随机向量

pij
j
Y p 同理， j pij i
联合概率分布表
Y
X
y1 p11 p21 pi1 pi1
i
y2 p12 p22 pi 2

yj p1 j p2 j pij

j
piX
x1 x2 xi pY j
p p
j
1j
2j

p
j
ij
( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 1 2 2 2 2 2(1 ) 2 1 2 1
.
N(0, 0, 1, 0.64, 0)
N(0, 0, 1, 0.64, 0.6)
N(0, 0, 1, 0.64, 0.8)
pY {Y y j }, j 1, 2, , j P pij , i , j 1, 2, , 的边缘概率分布.
为
联合概率分布的性质:
(1)
( 2)
pij 0 ,
i , j 1, 2, ;
1.
i , j 1
p

ij
((1),(2)可作为联合概率分布的公理化条件)
则称 X1, X2, …, Xn相互独立.
小结: 相互独立性
设 ( X , Y ) ~ F ( x, y) , 则 X , Y 相互独立
P{X A, Y B} P{X A}P{Y B}, A, B R
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}, x, y R
(2)如果已知X, Y 相互独立, 那么由边缘概率分布可以确定联合概率分布, 因为此时
（3）若 ( X , Y ) 只取有限值，其概率分布为

概率论第3章随机向量及其分布

例3 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，
从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１有放回抽样的分布律
设(X, Y)的联合分布律为P{X=xi , Y=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(X, Y)关于X的边缘分布律有
PX xi PX xi ,Y

P X xi , (Y y j )

j 1

P ( X xi ,Y y j )
FX1,X2,L ,Xn x1, x2,L , xn P : X1() x1, X 2 () x2,L , X n () xn
I P : n Xi () xi

i 1

定理3.1.1 设,F, P为概率空间, 随机向量 X1, X 2,L , X n 的联合分布函数为FX1,X2,L ,Xn ,则
P 0, 1 P 0 P 1 0 2 3 3 5 4 10
P 1, 0 P 1 P 0 1 3 2 3 5 4 10
P 1, 1 P 1 P 1 1 3 2 3 5 4 10
定理3.1.2 设,F, P为概率空间, X1, X 2,L , X n
为其上的随机向量。
(1) 若X1, X 2,L
,
X
都为离散型随机变量，有分布列
n
P Xi aji ，j 1,2,L ，i 1,2,L ,n，

概率论3_1随机向量的分布

D
边缘密度函数
由性质(3) 边缘分布函数FX(x)可表示为
FX(x)P{Xx}P{Xx Y}
x
f (s, t)dsdt
x
[ f (s, t)dt]ds
由(313)知 X是连续型随机变量且其密度函数为
(313)
fX (x) f (x, y)dy
同理 Y是连续型随机变量其密度函数为
(316)
例34(1) 设随机向量(X1 Y1)的密度函数f(x y)为
f (x, y)k10x,y,
0 x1, 0 y 1, 其他.
求参数k1的值及(X1 Y1)的边缘密度函数
解由密度函数的性质有
11
f (x, y)dxdy 0 0k1xydxdy 1
由此易得k14 (X1 Y1)的边缘密度函数为
第三章随机向量随机向量的分布一随机向量及其分布函数二离散型随机向量的概率分布三连续型随机向量的概率密度函数四二元正态分布一随机向量及其分布函数定义31随机向量p上的一个n维随机向量定义32联合分布函数的联合分布函数说明的交事件二维随机向量xy的分布函数fxsy的概率说明的概率可用分布函数表示为边缘分布函数如果xy的分布函数fxy已知则由fxy可导出x和y各自的分布函数fy为联合分布函数fxy的边缘分布函数二离散型随机向量的概率分布定义33二维离散型随机向量如果二维随机向量xy只取有限个或可数个值y为二维离散型随机向量定义34联合概率分布设随机向量xy的所有可能取值为x则称36为随机向量xy的概率分布或x和y的联合概率分联合概率分布表随机向量xy概率分布可用表格形式表示如下表并称之为联合概率分布表的联合概率的分布可以求出x通常称3738为联合概率分布pxx2号邮筒中信的数求x和y的联合概率分布及边缘概率分y取各种可能值的概率例如311三连续型随机向量的概率密度函数定义35二维连续型随机向量y为二维随机向量分布函数为fxy为二维连续型随机向量并称fxy的概率密度函数简称密度函数或x与y的联合密度函数联合密度函数的性质边缘密度函数由性质3边缘分布函数f由313知x是连续型随机变量且其密度函数为同理y是连续型随机变量其密度函数为通常称314315中的f例33均匀分布设g是平面上的一个有界区域其面积记作sg二维连续的随机向量xy的密度函数按题意可设xy的密度函数为由密度函数的性质可得316说明如果一个二维随机向量xy服从区域g上的均匀分布的边缘密度函数由密度函数的性质的边缘密度函数由密度函数的性质四二元正态分布二元正态分布二元正态分布以为中心在中心附近具有较高的密度离中心越远密度越小设随机向量xy的密度函数为318其中的二元正态分布记作对称地可知比较联合密度函数xy和边缘密度函数对称地可知二元正态分布的边缘分布是一元正态分布它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数不同的二元正态分布比如不同的可以有相同的边缘分布因而由边缘分布不能惟一确定联合分布为了确定一个二元正态分布的密度函数除了知道边缘分布以外还须知道参数的值特别地如果0

概率论第三章-随机向量的独立性

f X ( x) =
1 e 2π σ 1
−
( x − µ 1 )2
2 2σ 1
fY ( y ) =
2π σ 2
1
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
e
X~ N（µ1，σ12 ) , （
Y~ N（µ2，σ22 ) （
二维正态随机向量（二维正态随机向量（X，Y）的两个分量独立的充要条件是）
ρ= 0
P {X ≤ a , X ≤ b} = P {X ≤ a}P { X ≤ b}
对所有实数对(a, b) 均成立. 对所有实数对( 均成立. 随机事件{ 有下述关系： 2) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系：
{X
从而
≤ a} = {− a ≤ X ≤ a} ⊂ {X ≤ a}
P{ X ≤ a , X ≤ a } = P{ X ≤ a }
维随机变量X 相互独立，维随机变量例如3维随机变量 1 ,X2 ,X3 相互独立，则 X12 , X22 , X32 也相互独立相互独立. X1 +X2与X3也相互独立相互独立. sinX1 与X3也相互独立. 相互独立.
X1 +X2与X1 －X2 不一定相互独立. 不一定相互独立
随机变量的独立性本质上是事件的独立性
FX ( x) FY ( y )
∀ i, j
1) 对于离散型的随机变量，X与Y相互独立的充要条件为：
P{ X = xi , Y = y j } = P{ X = xi } ⋅ P {Y = y j }
2) 对于连续型的随机变量， X与Y相互独立的充要条件为：
f ( x , y ) = f X ( x) fY ( y ) 几乎处处成立。

3-1,2,3,4向量范数.ppt

于是
齐次性: 齐次性由 λA = max x ≠0
λAx
x
= max
x≠0
x ≠0
λ Ax
x
Ax x =λ A;
= λ max
三角不等式和相容性：三角不等式和相容性：对于矩阵 A + B 存在 x1 ∈ C
X
A
= X AX
(
)
X = ( x1 , x 2 , ⋯, x n ) ∈ R n
T
试证上述函数是向量范数，试证上述函数是向量范数，称为向量的加权范数或椭圆范数。圆范数。
证明
因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使得因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P
P T AP = I
A= P
X
A
从而
定理对 x = ( x1 , x 2 ,⋯ , x n ) T ∈ C n C n → R +分别定义三个函数
x
x
1
=
∑
n i =1
n
i =1
xi
2
1－范数，范数，
)
1 2
2
= (∑ x i
2－范数(或Euclid范数) 范数( Euclid范数) 范数 ∞－范数(或最大值范数)。范数(或最大值范数)
m×n
m× m V ∈ C n× n 则对任意酉矩阵 U ∈ C
即设 A ∈ C
成立 UAV
F
= A
F
对于 C
m×n
m n 的矩阵范数与 C , C 上的同类向量范数，如果有上的同类向量范数，
AX ≤ A ⋅ X
∀A ∈ C m×n , ∀ X ∈ C n
则称矩阵范数与向量范数是相容的。则称矩阵范数与向量范数是相容的。定理2 设 ⋅ 是 C 上的相容矩阵范数，则在 C n 上存定理2 上的相容矩阵范数， ⋅ 相容的向量范数在与