§9.2 复数域和实数域上的二次型讲解
11.4复数域和实数域上的二次型
, ck ,0,
,0 0,
8
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
因此 f k x1 , x2 , , xk 是正定的， 由定理 11.11 的推论 2，f k 的 矩阵的行列式 k 0 ，由 k 的任意性，可得 A 的所有顺序主 子式全大于零.
3
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
若 f 是正定的，对于任意一组不全为零的实数
k1 , k2 , , kn ，令 y1 k1 , y2 k2 , , yn k n ，代入 2 式右端，
因 C 可逆，可得一组不全为零的值 x1 c1 , x2 c2 , , xn cn ，
T i 1 j 1 n n
是正定的，任取 k n ，要证 A 的 k 阶顺序主子式 k 0 ，
令
f k x1 , x2 , , xk aij xi x j .
i 1 j 1 k k
对任意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , ck ，有
f k c1 , c2 , , ck aij xi x j f c1 , c2 ,
和定理 11.9 平行，用矩阵的说法是
4
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
定理 11.10
定理 11.11
合同的实对称矩阵有相同的正定性.
n 元实二次型 f x1 , x2 ,
, xn 正定的充分必
要条件是它的正惯性指数等于 n .
证
由定理 11.6， f x1 , x2 , , xn 等价于规范形
A C
1 T
复二次型与实二次型
cr 0
0
合同, ci≠0(i=1,2,…,r). 注意到如果要交换ci ,cj , 只需交换第i , j 列再交换第i , j 行(1≤I, j≤r).
1 因而,不妨设c1,c2,…,cp＞0,cp+1,…,cr＜0,用 ci
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乘以B的第i列再乘以B的第i行(i=1,2,…,r)，经 此有限次合同变换便得(3), 从而A与(3)合同．□ 4. 实二次型的典范形与惯性定律 定理8.3.3 (惯性定律)任意一个秩为r的n元实二 次型f (x1, x2,…, xn)，都可经过一适当的可逆线 性替换化为
3 4 (4,3,0,0) 1 0 0 1 0 0 0 17 4 7 3 1 0 5 4 x y 1 z 0 t 1
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6 x 4 y 10 z 2t
同样可得 -4x1+ 3y1= -4y + 24z- 8t.
2 2 2 2 y y y y y + y +…+ p - p1 - p 2 -…- r 2 1 2 2
(4)
(0 p r n)
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而(4)式称为实二次型f(x1, x2,…, xn)的典范形,典范 形是惟一的，即典范形中正平方项的个数是惟一 确定的. 证 由定理8.3.2可得定理前半部分，下证p惟一．
解
若a,b,c全为零，则f(x, y, z)的秩和符号差均为
零．若a,b,c不全为零，不妨设a≠0，我们对二次
型f(x, y, z)的矩阵施行合同变换
c T 32( ) 0 a 0 0 a c a a 0 b a 0 b c b 0 c 2 bc T ( ) 23 0 b a a
复二次型与实二次型
8.3 复二次型与实二次型授课题目：8.3 复二次型与实二次型授课时数：3学时教学目标：掌握复二次型与实二次型的性质，会将给定的复二次型与实二次型化为标准型教学重点：复二次型与实二次型的性质教学难点：复二次型与实二次型的性质教学过程：1. 复(实)二次型与复（实）变换我们知道，在一般数域内二次型的标准形不是惟一的，而与所作的可逆线型替换有关，这同时也告诉我们：不能简单地由两个二次型的标准是否相同来判定它们是否等价.本节，我么将在复数域和实数域上来讨论二次型的标准形的惟一性问题。
系数在复数（实数）数域上的二次型，简称复（实）二次型，与之对应的矩阵实复（实）对称矩阵，对它们进行的可逆线型替换的系数也是复数（实数），称之为复（实）变换。
先看复数域上的情形，我们从与二次型一一对应的对称矩阵着手。
2. 复对称矩阵与复二次型的典范形定理8.3.1 n 阶复对称矩阵A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 （1） 合同，其中（1）式矩阵中1的个数r=秩（A ）.（1）式称为复对称矩阵A 的典范形矩阵，典范形是惟一的.证 由定理8.2.1知，A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 r c c 合同，注意到c i ≠0(i=1,2,…,r),我们用i c 1乘以B 的第i 列再乘以它的第i 行（i=1,2,…,r ），经过这r 次合同变换便得（1），从而A 与（1）合同.又因合同矩阵的秩相等，故（1）式中1的个数等于A 的秩，因而复对称矩阵A 的典范形惟一。
□注意合同是一种等价关系，因而有以下推论.推论1 两个n 阶复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.推论2 秩为r 的n 元复二次型f(x 1, x 2,…, x n ),经过一适当的可逆线性替换可以化成 21y +22y +…+2r y . （2）（2）式称为复二次f(x 1, x 2,…, x n )的典范形，典范形式惟一的.推论3 两个n 元复二次型等价的充分必要条件是它们的秩相等.再看实数域上的情形.3. 实对称矩阵与实二次型的典范形定理8.3.2 n 阶实对称矩阵A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0p r p I I （3） 合同，其中r ＝秩（A ），0≤p≤r ．矩阵（3）叫做实对称矩阵A 的典范形矩阵． 证 由定理8.2.1知，A 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001 r c c B 合同， c i ≠0(i=1,2,…,r)．注意到如果要交换c i ，c j ，只需交换第i ，j 列再交换第i ，j 行（1≤i ，j≤r ）．因而，不妨设c 1，c 2，…，c p ＞0，c p+1，…，c r ＜0，用i c 1乘以B 的第i 列再乘以B 的第i 行(i=1,2,…,r)，经此有限次合同变换便得（3），从而A 与（3）合同．□4. 实二次型的典范型与惯性定律定理8.3.3 （惯性定律）任意一个秩为r 的n 元实二次型f (x 1, x 2,…, x n )，都可经过一适当的可逆线性替换化为21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y (n r p ≤≤≤0) （4）而（4）式称为实二次型f(x 1, x 2,…, x n )的典范形，典范形是惟一的，即典范形中正平方项的个数是惟一确定的．证 由定理8.3.2可得定理前半部分，下证p 惟一．设实二次型f(x 1, x 2,…, x n )＝X T AX 经可逆线性替换X=BY=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n y y y b b b b b b b b b 21212222111211 X=CZ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n z z z c c c c c c c c c 21212222111211 分别化为典范形21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y (n r p ≤≤≤0) （5）21z +22z +…+2q z -21+q z -22+q z -…-2r z (n r q ≤≤≤0) （6）如果p≠q ，我们不妨设p ＞q ，由于典范形（5）可以看成是由典范形（6）经过可逆线性替换Z=C -1BY 得到的，设C -1B ＝D=(d ij ) ,即经过可逆线性替换Z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n z z z 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n y y y d d d d d d d d d 21212222111211 后，得21z +22z +…+2q z -21+q z -22+q z -…-2r z =21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y （7）令（7）式中z 1=…= z p =y p+1=…=y n =0，注意到关系Z=DY ，可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++==++++00000122111212111n p n qn q q n n y y y d y d y d y d y d y d 由于方程个数q+（n- p ）＝n-（p- q ）＜n ，故上述关于y 1,y 2, …,y n 的齐次线性方程组有非零解，设(k 1, …,k p ,k p+1, …,k n )就是它的一个非零解，显然，k p+1＝…＝k n ＝0，将这个解代入（7）式的右端，就得到21k +22k +…+2p y -0-…-0=21k +22k +…+2p y >0而将这个解通过Z ＝DY 代入（7）式的左端，并注意到z 1＝…＝z q ＝0，因而有-21+q z -22+q z -…-2r z ≤0,这是一个矛盾，从而p ＝q ，即实二次型的典范形是惟一的．□ 推论4 n 阶实对称矩阵A 的典范形中的p 由矩阵A 惟一确定．定义1 在实二次型f(x 1, x 2,…, x n )的典范形中，正平方项的个数p 称为二次型f(x 1, x 2,…, x n )的正惯性指标；负平方项的个数r- p 称为负惯性指标；它们的差p-（r- p ）＝2 p- r 称为f(x 1, x 2,…, x n )的符号差．因此，可以定义实对称矩阵的正、负惯性指标及符号差．显然，对于实二次型或实对称矩阵的秩r 、正惯性指标p 、负惯性指标r-p 以及符号p-（r- p ）四个量，只需知道其中两个，便可以算出其余两个．可以称它们为这些变换下的不变量．推论5 两个n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．两个n 元实二次型能用可逆线性替换互化的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．我们可以从实二次型的典范形中得到它的秩和符号差．定理8.3.4 设A 是一个实对称矩阵，A 的各行至多只有一个非零元，则A 的秩等于非零元的个数，符号差等于主对角线上正的元素个数与负的元素个数之差． 由定理8.3.4将实对称阵用合同变换化为一个＂每行最多只有一个非零元＂的矩阵，就可求得它的秩和符号差．例1 确定实二次型f(x, y, z)=2axy+2byz+2czx 的秩和符号差．解 若a,b,c 全为零，则f(x, y, z)的秩和符号差均为零．若a,b,c 不全为零，不妨设a≠0，我们对二次型f(x, y, z)的矩阵施行合同变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−-−−−→−-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a bc b b a a a c T a c T b c b a c a 20000)()(0002332⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−-−−−→−-a bc a a ab T a b T 2000000)()(1331 由此可知：1）若abc ＞0，则秩（f ）＝3，f 的符号差为-1，2）若abc ＜0，则秩（f ）＝3，f 的符号差为1，3）若abc ＝0，则秩（f ）＝2，f 的符号差为0，例2 分解实二次函数f(x, y, z)＝-3xy+18xz-6x-2y 2+17yz-5y-30z 2+16z-2解 该二次函数可视为实二次型g(x, y, z,t)=-3 xy+18xz-6xt-2y 2+17yz-5yt-30z 2+16zt-2t 2 (8) 当t=1时的情形，对二次型（8）做可逆线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111100001002643113710t z y x t z y x （9） 得g(x, y, z,t)= )34)(34(8189211112121y x y x y x +-+=+- （10） 由（9）式可得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t z y x t z y x 1000010013701454171431111 （11） 把（11）式代入（10）式即得二次型（8）的分解式．这个过程我们可用矩阵来完成；)0,0,3,4(3411=+y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111t z y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=t z y x 100001001370145417143)0,0,3,4(t z y x 21046+-+= 同样可得-4x 1+3y 1=-4y+24z-8t.于是g(x, y, z,t)=(3x+2y-5z+t)(-y+6z-2t)所以f(x, y, z)=(3x+2y-5z+1)(-y+6z-2)习题8.31.分别在复数域和实数域上求可逆线性替换，将下列二次型化为典范型： 1）32212132153),,(x x x x x x x x f -+=2) 2322312121321424),,(x x x x x x x x x x f +++-= 2. f(x 1, x 2, x 3)=x 1x 2+2x 2x 3的秩、惯性指标和符号差．3.如果把n 阶对称矩阵按合同关系进行分类，即把彼此合同的n 阶对称矩阵算一类，那么，所有n 阶复对称矩阵共有多少个不同的合同类？所有n 阶对称矩阵又有多少个不同的合同类？4.试证一个实二次型可以分解为两个实吸收和一次多项式的乘积的充分必要条件是：或者它的秩为2且符号差为0，或者秩为1．5.在实数域上分解因式：1）f(x, y)=-2x 2-5xy-2y 2+8x+9y-6;2) f(x, y, z)=xy+xz+yz-2;3) 1322),,(223323121321-+-++=x x x x x x x x x x f。
1二次型理论起源于解析几何中二次曲线
第九章二次型综述1．二次型理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的简化问题.一般的n 元二次型化为标准型问题在很多工程问题中有广泛的应用,而n 维欧氏空间中二次型正交化为标准型问题,在相近学科如分析、统计学中有直接的应用,但内容本身作为高等代数（线性代数）的一部分,不太需要完整的论述而又必要作一讨论.2．n元二次型理论（一般数域F上）从体系结构上来讲,可作为一独立的内容,但其可建立与F上n 阶对称矩阵的一一对应,所以可安排在矩阵一节之后（北大教材即如此）,而其又可与F上的向量空间v 上的对称内积（亦可为对称双线性函数（型））的集合一一对应,因而可放在欧氏空间后.（先推广欧氏空间即定义一般数域上的（对称）内积（或更一般的酉内积）,具体见下补）.特别是对欧氏空间中实二次型的讨论（主轴问题、正定等）因而可放在欧氏空间后（因有些结论是对称变换的推论）.3．就本章内容而言,主要是二次型的概念及标准形问题,实二次型分类及实二次型的正定及主轴问题.如刚才所讲,实际上：一般数域F上的n元二次型的集合,F上n维向量空间的对称双线型（函数）的集合（亦是对称内积的集合）,F上n 阶对称矩阵的集合是一一对应的,即是同一事物的三种表现形式,可通过一方研究（表示）另一方,且大多是通过对称矩阵来研究二次型的（如标准形（化简）、复、实二次型的规范型、实二次型的正定及主轴问题皆是如此）,这是方法问题,而理论上为认识二次型是先介绍了双线性型（对称双线性函数）,所以在具体内容上直接给出二次型定义,用上述方法讨论前述问题.4．本节重点难点是二次型的标准形,复、实二次型的规范形及正定二次型的判定,所以二次型的初等变换法化简、惯性定理是难点.5．简要介绍一下欧氏空间的推广——内积空间与西空间.（略）6．本教材是先定义双线性型（函数）,对称双线性型（函数）,引入与对称双线性型（函数）的关联函数得出二次型定义,好在理论上可进一步了解二次型,但不利于实质上（用对称矩阵）讨论二次型本章要解决的问题,以及9.2以后的内容；重要的是引导学生建立F上n元二次型与F上n阶对称矩阵的一一对应,通过对称矩阵研究本章所有问题.9.1 二次型一教学思考1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F 上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的定义及二次型的表示,特别是其矩阵表示,从而建立n 元二次型与n 阶对称矩阵的对应,用对称矩阵来讨论二次型的标准形问题,为下面具体讨论C上R上的二次型的规范形（分类）（正定、主轴问题）打下基础.2．本节不从书中介绍,直接给出二次型的定义、表示、标准形等概念,及标准形的化法.二内容要求1．内容：二次型、二次型的矩阵、可逆性替换,矩阵的合同、二次型的等价、二次型的标准型2．要求：掌握上述概念及二次型的标准形的化法.三教学过程1．二次型及表示（1）定义数域F上n个文字x1,x2, (x)n的一个二次齐次多项式叫做F上n个文字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以写成：q(x 1,x 2,…x n )=a 11x 21+a 22x 22+…+a nn x 2n+2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n+2a 23x 2x 3+…+2a 2n x 2x n (Ⅰ) +……+2a 1n n -x 1n -x n (Ⅰ)式称为二次型的一般形式.q(x 1,x 2,…x n )ij jia a ==11nnij iji j a x x==∑∑ (Ⅱ)（2）二次型的矩阵定义 令A=()ij a 是由（Ⅱ）的系数所构成的矩阵.称为二次型（Ⅱ）的矩阵. 二次型（Ⅰ）（Ⅱ）又可表示为（矩阵）形式：q(x 1,x 2,…x n )= (x 1,x 2,…x n )A 12.n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=x TAX. (Ⅲ)定义：一个二次型的矩阵叫做二次型的秩.(3)可逆（非退化、满秩）线形替换有矩阵的合同.定义 x 1,x 2,…x n 和12,,...,n y y y 是两组文字,系数在数域F 中的一组关系式111112211122.........n n nn n nn n x c y c y c y x c y c y c y=+++⎧⎪⎨⎪=+++⎩ （＊）称为由x 1,x 2,…x n 到12,,...,n y y y 的一个线性替换.定理1 n 元二次型q(x 1,x 2,…x n )= x TAX 经（可逆）线性替换（＊）X=CY 变为二次型Y TBY.其中B=C TAC.定义 设A,B ∈M n (F),若存在一可逆矩阵P ∈M n (F),使得B=TP AP ,则称A 与B 合同. 合同关系的性质：① 自反性：∀ A ∈M n (F),A 与A 合同.(∵A=TI AI ). ② 对称性：若A 与B 合同,则B 与A 亦合同.事实上: ∵A 与B 合同,即存在可逆矩阵P 使B=TP AP ∴A=1111()()T T P BPP BP ----=∵1P -可逆.故也.③ 传递性：若A 与B 合同,B 与C 合同,则A 与C 合同.事实上：存在可逆矩阵P ﹑Q 使B=TP AP ,T C Q BQ =∴()()T T T C Q P APQ PQ A PQ == 而PQ 可逆.故也.合同矩阵的简单性质：①若A 与B 合同,A 为对称矩阵,则B 亦是.事实上：∵存在可逆矩阵P 使B=TP AP ,∴()T T T T T TT T B P AP P A P P AP B ====,故也. ②合同矩阵有相同的秩.由195 5.2.8.P Th 显（反之不真）. (4)二次型的等价：定义 设q(x 1,x 2,…x n )与'q (x 1,x 2,…x n )是数域F 上两个n 元二次型,若可以通过可逆现线性替换将前者化为后者（此时可互化）则 称这两个二次型等价.定理2：数域F 两个n 元二次型等价⇔它们的矩阵合同. 2．二次型的标准形 引言对二次型,当形式简单时便于讨论,比如解析几何中有？二次曲线,当仅有平方项时,其几何图形便一目了然；对于二次型成为二次型形式最简单那的一种是只含有平方项的二次型称之为：定义 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.问题：任给F 上一个二次型能否象解析几何中讨论有心（中心与原点重合、或否）二次曲线那样,通过（坐标旋转（加平移））可逆线形替代：若能,怎样做（即怎样找可逆线形替换）补例 化二次型222123112132233(,,)22285f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形. 22222123112323232123222123223322222123223333222123233(,,)2()()()285()64()2(3)(3)(3)4()(3)5f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x =++++-++++=+++++=+++++-+=++++-作线性替换,即令：1123223333y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩⇒11232233323x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则原二次型化为：2221235y y y +-.注：上述方法称为“配方法”,告知任一二次型可化为标准形（当定理3 设)(ij a A =是数域F 上一个n 阶对称矩阵,则总存在F 上一个n 阶可逆矩阵P 使证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯='n c c c AP P (02)1,即A 与对角阵合同.例：将00030360061243040A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角型）. 解：（略）P=21013310223001420103⎛⎫- ⎪⎪⎪-⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30000600800030000TP AP ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 将Th3应用于二次型得：定理4 设q(x 1,x 2,…x n )=11n nij i j i j a x x ==∑∑= x TAX 是数域F 上一个n 元二次型,则总可以通过变量替换12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=12n y y P y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 把它化为2211...n n c y c y ++,其中P 为可逆矩阵. 9.2 复数域、实数域上的二次型一 教学思考本节是将一般数域上的二次型的标准形问题具体到复数域、实数域上作深入的讨论,最终得到此二数域上二次型的典型（规范）型,进而得这两类二次型的分类,结果是：C 上二次型典范型由秩唯一决定,所以C 上n 元二次型可按秩分类为n+1类；R 上二次型典范性由秩与符号差决定,所以R 上二次型分类由此二者分为1(1)(2)2n n ++类.本节讨论问题的方法在上节（基础上）——行列同型初变（含同变换）化对称矩阵为对角形的基础上,仍利用讨论矩阵的思想,按上述方法很易讨论而得.但对实二次型典范形式的唯一 性（惯性定理）的证明较繁,本教材用双线性函数反证之,有直接用二次型证之（反证法）.习题中反应求实二次型的秩、符号差（惯性指标等）,用本节方法来讲化为典范型（实为标准型）便知,当然一般方法为初等变换法,特殊形式的可用特殊方法（9.4还有用求特征根法）；求实（复）对称矩阵合同问题亦用初变化为标准[spI I O ⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭、r I O ⎛⎫⎪⎝⎭]型. 二 内容及要求1．内容：复数域、实数域上二次型的典范形式与分类.2．要求：掌握C 、R 上二次型的典范形式及求法,及内容体现的通过对称矩阵讨论问题的思想,实二次型的秩、惯性指标、符号差的求法（本节为化为典范形、实际标准形即可）；下节还将介绍用特征根法.复、实二次型的等价分类. 三 教学过程引言上节我们知道：数域F 上任一n 元二次型1(,,)n q x x =AX X ',都可以通过可逆线性替换X=PY 化为标准形：2211r r y c y c +⋯⋯+.其中r 为二次型的秩.用矩阵语言叙述（等价为）：对()F M A n ∈∀,A A =',则A 合同于一个对角形矩阵D . 1 C 上的二次型：复二次型——复数域上的二次型称为复二次型. 先介绍一个重要定理,由此反映下述结论.定理9.2.1复数域上两个n 阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩.()(),,,,A B Mn C A A B B AB A B ''∈==⇔=则秩秩2．R 上的二次型：实二次型——实数域上的二次型.（1） 实二次型等价的充要条件（⇔实对称矩阵合同的充要条件）.为此：定理9.2.2 设()r A A A R Mn A =='∈秩,,则A 合同于pr pI I O -⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭. 平行地定理9.2.3 秩为r 的n 元实二次型都与如下形式的一个二次型等价：(Ⅰ)r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++定理9.2.4 （惯性定理）,设R 上一个n 元二次型等价于两个典范形式： ①r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++（r 为二次型的秩） ②222211P P r y y y y ''++⋯⋯+--⋯⋯-（r 为二次型的秩） 则P P '=.（反证略）定义 一个实二次型的典范形式中,正平方项的个数P 叫做这个二次型的（正）惯性指标（数）,正项的个数P 与负项个数（负惯性指标）p r -的差：()2sp r p p r --=-,叫做这个二次型的符号差.定理9.2.5 两个n 元实二次型等价的充分条件是它们有相同的秩和符号差. 平行地：设B B A A R Mn B A ='='∈,),(，. 则A 与B 合同⇔它们有相同的秩与符号差. （2）n 元实二次型的分类：n 元实二次型按等价分类：由于n 元实二次型的典范形式由秩与惯性指标唯一确定,所以：推论9.2.6：n 元实二次型按等价分类,可分成：()()211++n n 类. 9.3 正定二次型一 教学思考本节研究一类特殊的实二次型——正定二次型.从定义上来讲,正定二次型是将n 元实二次型视为n 元实函数（即nR 上的实函数）,由其函数值分类中的一种；因而由定义判定一个实二次型是否正定相当不易,那么本节在于寻求正定二次型的判定,得到两个判定定理；一个是由秩与符号差（或惯性指标）判定,一个用二次型自身的信息——矩阵的顺序主子式判定,结论方法明确具体,下节还给出一个用特征根判定.所以本节内容易讨论、接受,注意其中反映的一些结论,如可逆线性替换不改变二次型的正定性等. 二 内容和要求1．内容：正定二次型及其判定. 2．要求：掌握有关概念和判定方法. 三 教学过程1．定义 （由于二次型是n 个文字的二次齐次多项式,所以n 元实二次型可象一元多项式那样定义其在某一点的值,即将n 元实二次型看成定义在nR 上的n 元实函数,那么可按它的值的符号分类）. 设()n x x x q ，⋯⋯,,21是一个n 元实二次型,若对任意一组不全为0的实数n c c ⋯⋯1；（1） 如果()01>⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为正定二次型； （2） 如果()01<⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为负定二次型； （3） 如果()10n q c c ⋯⋯≥,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半正定二次型； （4） 如果()10n q c c ⋯⋯≤,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半负定二次型； （5）若()n c c q ⋯⋯1有正、有负,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为不定二次型. 2．正定二次型的判定定理9.3.1 实数域上n 元二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21是正定的⇔它的秩与符号差都等于n （惯性指标为n ）.有时须从二次型的矩阵直接判定,不希望通过典范形式,为此下讨之. 定义 设()()R Mn a A ij ∈=,位于A 的前k 行、前k 列的子式1111kr kka a a a 叫做A 的k 阶顺序主子式.二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21的矩阵的k 阶主子式叫做二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21的k 阶主子式.定理9.3.2 n 元实二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21是正定的⇔它的一切主子式全大于0.9.4主轴问题一 教学思考本节内容是在欧氏空间中将有心二次曲线、二次曲面,用正交变换化为标准形问题的推广——将实二次型用正交变换化为标准形.思想方法仍是将实二次型问题转化为实对称矩阵处理.由第八章第4节的结论,则此问题解决的具体完满.须注意的是：①此将实二次型化为标准形是用正交变换因而方法过程与前不同,从而结论中标准形的平方项系数为二次型的矩阵的全部特征根.②顺便得到了判定实二次型是否正定的又一方法（用特征根）. 二 内容、要求1．内容：主轴问题；实二次型用正交变换化标准形 2．要求：掌握上述概念与方法. 三 教学过程：1．主轴问题：实数域上一个n 元二次型通过坐标的正交变换（正交线性替换）化为标准形的问题. 2．问题的提出及含义的由来我们知道（9.1）任何一个二次型都可经过线性替换化为标准形.用一般的线性替换把二次型化为标准形,可能会改变向量的度量性质（见霍元极379P ）,在许多问题中都要求简化实二次型时,所作的线性替换不改变向量的度量性质,如在解析几何中一样,用坐标变换（旋转、平移）化二次曲面（线）为标准形,其特点是用正交变换；因而,一般地讨论把一个n 元实二次型通过正交线性替换化为标准形的问题,正是解析几何中的问题的推广,叫做主轴问题（因由此可知有关曲面、线的性态）.3．问题的变通因为二次型通过可逆线性替换化为标准形问题等价于对称矩阵与对角形矩阵合同问题,所以主轴问题：n 元实二次型1(,,)n q x x X AX '=N 能否通过正交线性替换化为标准形的问题(),n A M R A A '⇔∈=是否存在正交矩阵U ,使得U AU '为对角形.4．问题的解决（由定理8.4.6） 定理9.4.1设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则可通过正交线性替换X UY =化为2211n n y y λλ++.其中U 为正交矩阵,1,,n λλ为A 的全部特征根.推论：设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则1）二次型的秩等于其矩阵A 的不为0的特征根的个数；而符号差为A 的正特征根的个数与负特征根的个数的差.2）1(,,)n q x x X AX '=是正定的充要条件是A 的所有正特征根为正实数.。
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。
各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。
4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。
二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2．正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。
高等代数09二次型
定理9.1.3
数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵 合同等价的二次型具有相同的秩
定理9.1.4
设 A (aij) 是数域F上一个阶对称矩阵，总存在F上一个附 非奇异矩阵P，使得
c1 0 c2 P' AP 0 cn
主轴问题
定理9.4.1
设 q ( x1 , x2 , , xn )
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j
是实数域上一个二次型。那么总可以通过变量的正交变换
x1 y1 x2 y U 2 x y n n
类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互 不行装价。
正定二次型
定理9.3.1
实数域上二次型q(x1,x2,……,xn)是正定的充分且必要的条件是 它的秩和符号差都等于
定理9.3.2
实二次型
q( x1 , x2 ,, xn ) =
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j
是正定的，必要且只要它的一切主子式都大于零
2 2 2 化为1 y1 2 y2 n yn，
这里U是一个正交矩阵，而λ1 ,λ2,…， λn∈R是二 次型的矩阵A=(aij)的全部特征根.
定理9.4.2
设 q ( x1 , x2 , , xn )
i 1 n
a
j 1
n
ij
xi x j
是实数域上一个n元二次型，A=(aij )是它的矩阵. (i) 二次型q(x1,x2,……,xn)的秩等于A的不等于零的特征根的个 数，而符号差等于A的正特征根个数与负特征根个数的差。 (ii)二次型q(x1,x2,……,xn)是正定的必要且只要A的所有特征根 都是正数。
线性代数-二次型
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
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在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
二次型及其矩阵表示
二次型的标准型的意 义
标准型在二次型的理论和应用中具有 重要意义。例如，通过研究标准型， 我们可以更好地了解二次型的性质和 特点。此外，标准型也常常用于求解 二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方 法
二次型的标准化方法包括将二次型转 化为标准型的过程。这个过程可以通 过正交变换来实现，具体来说就是通 过一系列可逆变换将二次型转化为其 同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正 交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所 有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为 其同类中最为简单的一种形式。通过 作可逆变换，任何一个二次型都可以 化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法 得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种 方法可以用于计算二次型的值。
二次型讲义
二次型是线性代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到. 二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论,通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的根底.本文在对二次型性质研究的根底上, 介绍了正定矩阵的性质, 简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用,并对二次型的理论进行了推广, 讨论了二次型的应用. 如二次型,经过正交变换后可以化为标准型,所以f 的图形是一个旋转单页双曲面。
由此可知，任意一个n 元二次型代表n 维空间上的图形。
1、 二次型的定义 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式〔即每次都是二次的多项式：∑==n j i ji ij n x x a x x f 1,1),,( ，ji ij a a =称为n 元二次型，令T n x x x X ),,,(21 =，A=〔ij a 〕，那么二次型可用矩阵表示为： AX X x x x a a a a a a a a a x x x x x x f T n nn n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212122221112112121),,,(),,,( 其中A 是n 阶实对称矩阵〔A T =A 〕，称A 为二次型),,(1n x x f 的矩阵，矩阵A 的秩即为二次型f 的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,那么确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,那么确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵. 二次型从本质上来说仍然是一个关于n 个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次其次函数，在表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为。
第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义.ppt
X PY
2020-6-7
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11
3、定义： 若矩阵P非奇异（可逆，非退化），
则称变量的线性变换X PY是非奇异的 （可逆的，非退化的）
注： X PY 是非奇异的 矩阵P可逆
P 0
2020-6-7
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4、分析： f ( x1, x2,..., xn ) X AX
非奇异X PY
bij yi y j .
i2 j2
2020-6-7
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22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3 L c2n yn
z3 c32 y2 c33 y3 L c3n LLLLLLLLLL
zn cn2 y2 cn3 y3 L cnn
j2
j2
n
nn
a11( a111a1 j x j )2
aij xi x j
j2
i2 j2
配方 法
n
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2 a111( a1 j x j )2
aij xi x j
j2
j2
i2 j2
n
nn
a11[ x1 ( a111a1 j x j )]2
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
2020-6-7
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
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8
3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
f ( x1, x2 ) ( x1, x2 )
复二次型与实二次型
8.3 复二次型与实二次型授课题目：8.3 复二次型与实二次型授课时数：3学时教学目标：掌握复二次型与实二次型的性质，会将给定的复二次型与实二次型化为标准型教学重点：复二次型与实二次型的性质教学难点：复二次型与实二次型的性质教学过程：1. 复(实)二次型与复（实）变换我们知道，在一般数域内二次型的标准形不是惟一的，而与所作的可逆线型替换有关，这同时也告诉我们：不能简单地由两个二次型的标准是否相同来判定它们是否等价.本节，我么将在复数域和实数域上来讨论二次型的标准形的惟一性问题。
系数在复数（实数）数域上的二次型，简称复（实）二次型，与之对应的矩阵实复（实）对称矩阵，对它们进行的可逆线型替换的系数也是复数（实数），称之为复（实）变换。
先看复数域上的情形，我们从与二次型一一对应的对称矩阵着手。
2. 复对称矩阵与复二次型的典范形定理8.3.1 n 阶复对称矩阵A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 （1） 合同，其中（1）式矩阵中1的个数r=秩（A ）.（1）式称为复对称矩阵A 的典范形矩阵，典范形是惟一的.证 由定理8.2.1知，A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 r c c 合同，注意到c i ≠0(i=1,2,…,r),我们用i c 1乘以B 的第i 列再乘以它的第i 行（i=1,2,…,r ），经过这r 次合同变换便得（1），从而A 与（1）合同.又因合同矩阵的秩相等，故（1）式中1的个数等于A 的秩，因而复对称矩阵A 的典范形惟一。
□注意合同是一种等价关系，因而有以下推论.推论1 两个n 阶复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.推论2 秩为r 的n 元复二次型f(x 1, x 2,…, x n ),经过一适当的可逆线性替换可以化成 21y +22y +…+2r y . （2）（2）式称为复二次f(x 1, x 2,…, x n )的典范形，典范形式惟一的.推论3 两个n 元复二次型等价的充分必要条件是它们的秩相等.再看实数域上的情形.3. 实对称矩阵与实二次型的典范形定理8.3.2 n 阶实对称矩阵A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0p r p I I （3） 合同，其中r ＝秩（A ），0≤p≤r ．矩阵（3）叫做实对称矩阵A 的典范形矩阵． 证 由定理8.2.1知，A 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001 r c c B 合同， c i ≠0(i=1,2,…,r)．注意到如果要交换c i ，c j ，只需交换第i ，j 列再交换第i ，j 行（1≤i ，j≤r ）．因而，不妨设c 1，c 2，…，c p ＞0，c p+1，…，c r ＜0，用i c 1乘以B 的第i 列再乘以B 的第i 行(i=1,2,…,r)，经此有限次合同变换便得（3），从而A 与（3）合同．□4. 实二次型的典范型与惯性定律定理8.3.3 （惯性定律）任意一个秩为r 的n 元实二次型f (x 1, x 2,…, x n )，都可经过一适当的可逆线性替换化为21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y (n r p ≤≤≤0) （4）而（4）式称为实二次型f(x 1, x 2,…, x n )的典范形，典范形是惟一的，即典范形中正平方项的个数是惟一确定的．证 由定理8.3.2可得定理前半部分，下证p 惟一．设实二次型f(x 1, x 2,…, x n )＝X T AX 经可逆线性替换X=BY=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n y y y b b b b b b b b b 21212222111211 X=CZ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n z z z c c c c c c c c c 21212222111211 分别化为典范形21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y (n r p ≤≤≤0) （5）21z +22z +…+2q z -21+q z -22+q z -…-2r z (n r q ≤≤≤0) （6）如果p≠q ，我们不妨设p ＞q ，由于典范形（5）可以看成是由典范形（6）经过可逆线性替换Z=C -1BY 得到的，设C -1B ＝D=(d ij ) ,即经过可逆线性替换Z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n z z z 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n y y y d d d d d d d d d 21212222111211 后，得21z +22z +…+2q z -21+q z -22+q z -…-2r z =21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y （7）令（7）式中z 1=…= z p =y p+1=…=y n =0，注意到关系Z=DY ，可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++==++++00000122111212111n p n qn q q n n y y y d y d y d y d y d y d 由于方程个数q+（n- p ）＝n-（p- q ）＜n ，故上述关于y 1,y 2, …,y n 的齐次线性方程组有非零解，设(k 1, …,k p ,k p+1, …,k n )就是它的一个非零解，显然，k p+1＝…＝k n ＝0，将这个解代入（7）式的右端，就得到21k +22k +…+2p y -0-…-0=21k +22k +…+2p y >0而将这个解通过Z ＝DY 代入（7）式的左端，并注意到z 1＝…＝z q ＝0，因而有-21+q z -22+q z -…-2r z ≤0,这是一个矛盾，从而p ＝q ，即实二次型的典范形是惟一的．□ 推论4 n 阶实对称矩阵A 的典范形中的p 由矩阵A 惟一确定．定义1 在实二次型f(x 1, x 2,…, x n )的典范形中，正平方项的个数p 称为二次型f(x 1, x 2,…, x n )的正惯性指标；负平方项的个数r- p 称为负惯性指标；它们的差p-（r- p ）＝2 p- r 称为f(x 1, x 2,…, x n )的符号差．因此，可以定义实对称矩阵的正、负惯性指标及符号差．显然，对于实二次型或实对称矩阵的秩r 、正惯性指标p 、负惯性指标r-p 以及符号p-（r- p ）四个量，只需知道其中两个，便可以算出其余两个．可以称它们为这些变换下的不变量．推论5 两个n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．两个n 元实二次型能用可逆线性替换互化的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．我们可以从实二次型的典范形中得到它的秩和符号差．定理8.3.4 设A 是一个实对称矩阵，A 的各行至多只有一个非零元，则A 的秩等于非零元的个数，符号差等于主对角线上正的元素个数与负的元素个数之差． 由定理8.3.4将实对称阵用合同变换化为一个＂每行最多只有一个非零元＂的矩阵，就可求得它的秩和符号差．例1 确定实二次型f(x, y, z)=2axy+2byz+2czx 的秩和符号差．解 若a,b,c 全为零，则f(x, y, z)的秩和符号差均为零．若a,b,c 不全为零，不妨设a≠0，我们对二次型f(x, y, z)的矩阵施行合同变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−-−−−→−-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a bc b b a a a c T a c T b c b a c a 20000)()(0002332⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−-−−−→−-a bc a a ab T a b T 2000000)()(1331 由此可知：1）若abc ＞0，则秩（f ）＝3，f 的符号差为-1，2）若abc ＜0，则秩（f ）＝3，f 的符号差为1，3）若abc ＝0，则秩（f ）＝2，f 的符号差为0，例2 分解实二次函数f(x, y, z)＝-3xy+18xz-6x-2y 2+17yz-5y-30z 2+16z-2解 该二次函数可视为实二次型g(x, y, z,t)=-3 xy+18xz-6xt-2y 2+17yz-5yt-30z 2+16zt-2t 2 (8) 当t=1时的情形，对二次型（8）做可逆线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111100001002643113710t z y x t z y x （9） 得g(x, y, z,t)= )34)(34(8189211112121y x y x y x +-+=+- （10） 由（9）式可得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t z y x t z y x 1000010013701454171431111 （11） 把（11）式代入（10）式即得二次型（8）的分解式．这个过程我们可用矩阵来完成；)0,0,3,4(3411=+y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111t z y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=t z y x 100001001370145417143)0,0,3,4(t z y x 21046+-+= 同样可得-4x 1+3y 1=-4y+24z-8t.于是g(x, y, z,t)=(3x+2y-5z+t)(-y+6z-2t)所以f(x, y, z)=(3x+2y-5z+1)(-y+6z-2)习题8.31.分别在复数域和实数域上求可逆线性替换，将下列二次型化为典范型： 1）32212132153),,(x x x x x x x x f -+=2) 2322312121321424),,(x x x x x x x x x x f +++-= 2. f(x 1, x 2, x 3)=x 1x 2+2x 2x 3的秩、惯性指标和符号差．3.如果把n 阶对称矩阵按合同关系进行分类，即把彼此合同的n 阶对称矩阵算一类，那么，所有n 阶复对称矩阵共有多少个不同的合同类？所有n 阶对称矩阵又有多少个不同的合同类？4.试证一个实二次型可以分解为两个实吸收和一次多项式的乘积的充分必要条件是：或者它的秩为2且符号差为0，或者秩为1．5.在实数域上分解因式：1）f(x, y)=-2x 2-5xy-2y 2+8x+9y-6;2) f(x, y, z)=xy+xz+yz-2;3) 1322),,(223323121321-+-++=x x x x x x x x x x f。
第九章 二次型-掌握二次型及其矩阵的定义.ppt
3、性质: 若A与B合同, 则秩A = 秩B
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4、比较：合同，相似
A与B合同 存在可逆矩阵P可使PAP B 秩A=秩B
A与B相似 存在可逆矩阵P可使P1AP B 秩A=秩B AB fA(x) fB (x) 特征值相同
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y1 y2 yn
,
它是非退化的，
nn
且使 f ( x1, x2 , , xn ) a11 y12
bij yi y j .
i2 j2
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22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3
x1
y1－
n
a111a1 j y j
令
j2
y2 x2
或
j2
x2 y2
yn xn
xn yn
即,
x1
1
x2 xn
0 0
a12 a11 1 0
0
a1n a11 0
1
ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
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正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
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3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
11.4 复数域和实数域上的二次型教程
G T 1
I n1 令 C C1C2 , a ann GG ,就有 C AC 0
T T
T
பைடு நூலகம்
0 .两边取 a
行列式，得 C A a. 由条件 A 0, 因此 0 ，
I n1 显然 0 0 I n1 a 0
解
f x1 , x2 ,
, xn 的矩阵为
5 2 4 A 2 1 2 . 4 2 5
5 2 1 0， A 1 0, 它的顺序主子式 5 5 0 ， 2 1
所以 f x1 , x2 , x3 是正定二次型.
14
结束
d n xn2
2
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
由于任一二次型都可以通过非退化线性替换化为标 准形，我们自然希望通过实二次型的标准形是否正定来 判断实二次型是否正定，为此，需要研究非退化的线性 替换会不会改变实二次型的正定性，我们有下面的
定理 11.9 等价的实二次型有相同的正定性.
11.4 复数域和实数域上的二次型
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
定义 11.6
设 f x1 , x2 , , xn 为实二次型，如果对于任
意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , cn ，都有 f c1 , c2 , , cn 0 则 称二次型 f x1 , x2 , , xn 是正定二次型.
定理 11.12
实二次型 f x1 , x2 , , xn X T AX 正定的
充分必要条件是它的一切顺序主子式全大于零 .
7
高等代数与解析几何