数学物理方法5.3 留数在定积分计算上的应用

其中，zk是R(z)在上半平面内的所有极点。
注：（和类型2相比较） 1、要求分母比分子高1次；
类型3举例
例4：
x2
cos x 4x
5
dx
cos x i sin x dx eix dx 2i(Res[ f (z),2 i])
x2 4x 5
x2 4x 5
Res[ f (z),2 i]
1 2b
|z|1
z
2
(
(z2 z2
1)2
2iz
dz, 1)
2iz a
b
1 2b
|z|1
z
2
(
(z z
2 1)2 z1)(z
z2
dz )
其中，奇点z1和z2满足关系式
z1z2 1, z1 z2 2i, z1 z2 2i 2 1
奇点z1和z2一个在单位圆内， 一个在单位圆外，不妨设z1位 于单位圆内
z2
lim
zz2
(
z
z2
)
1
z
4
(z2
z22 z1)(z2 z3 )(z2
z4)
定积分计算：类型3
形如
R(x)eiaxdx, (a 0)
的积分，其中R是有理函数，
而且分母至少比分子高1次，R在实轴上没有奇点。
结论：
R(x)eiaxdx 2i
Res[R(z)eiaz , zk ]
2
0 R(cos ,sin )d
作业
R(x)dx
R(x)eiaxdx, (a 0)
p124, T9(1, 2), T11(3, 4, 6)
类型1举例
例2： 2 sin2 d , (a b 0)
0 a b sin
Res[
z
2
(
(z z
2 1)2 z1)(z
z2
)
,
z1
]
(z1 1/ z1)2 (z1 z2 )
(z1 z2 )2 (z1 z2 )
2i2 2 1
Res[
z
2
(
(z z
2 1)2 z1)(z
z2
)
,0]
c1
例2： 2 sin2 d , (a b 0)
0 a b sin
解：作变换：z ei , d 1 dz ，则原积分
2 sin2
0 a b sin
d
|z|1
(
z
2
1)2
iz /(4z
2
a b z2 1
)
1 dz iz
1 2
|z|1
z
2
( (bz
z
2
2 1)2 2aiz
dz b)
类型1举例
例1： 2 1 d
0 5 3sin
解：作变换：z ei , d 1 dz ，则原积分
iz
2 0
1
5 3sin
d
|z|1
5
1 3 z2
1
1 iz
dz
|z|1
3z2
2 10iz
3
dz
2iz
2
|z|1
(3z
1 i)(z
dz 3i)
4i
3
z
1 3i
|z i 3
2
类型1举例
e i ( 2 i )
i e2i i (cos 2 sin 2)
(2 i 2 i) 2e
2e
cos x dx e1 cos 2
x2 4x 5
例5：
0
sin x
x
dx
第五章（留数）主要内容，作业
孤立奇点：奇点的某个去心小邻域是解析的； 无穷远点是奇点：某个圆外，函数解析； 孤立奇点的类型：可去奇点，极点，本性奇点； 极点和零点的关系：f的m级零点是1/f的m级极点； 留数的概念，无穷远点的留数； 留数定理（包含有限个孤立起点的闭曲线的积分） 扩充复平面内有限个孤立奇点的留数总和为0 留数在求定积分上的应用，三种类型
(1 z1
1) z2
z1 z2
z12
z
2 2
z1 z2
2i
2 0
a
sin2 b sin
d
1 2b
2i(Res[
f
( z ),
z1]
Res[
f
( z ),0])
2
b
(2
/
2 1 )
定积分计算：类型2
形如
R( x)dx
的积分，其中R是有理函数，
而且分母至少比分子高2次，R在实轴上没有奇点
z1 ei/ 4和 z2 e3i/ 4位于上半平面，都是1级极点
z3 e5i / 4 , z4 e7i / 4是R(z)位于下半平面内的奇点
Res[R(z), z1]
lim(z
z z1
z1
)
1
z
2
z
4
( z1
z12 z2 )(z1 z3 )(z1
z4)
Res[R(z), z2 ]
,
在0点去心邻域的罗朗级数的负1次幂系数
(z2 1)2 z2 (z z1)(z
z2 )
1 ( z2
2
z2)
1 z1z2
(1
1 z/
z1 )
(1
1 z/
z2 )
1 ( z2
2
z2)
1 z1z2
(1
z z1
z2 百度文库12
z3 z13
...)(1
z z2
z2
z
2 2
z3 z23
...)
c1
1 z1z2
数学物理方法5.3 留数在定积分计算 上的应用
定积分计算：类型1
形如
2
0
R(cos ,sin )d
的积分，其中R是有理函数
在复平面上的含义？
作变换：z ei , d 1 dz，则原积分等于
iz
z2 1 z2 1 1
R(
,
) dz
|z|1 2z 2iz iz
注： 实变函数积分＝复变函数积分（则复变积分虚部必为0）
结论：
R(x)dx 2i
Res[R(z), zk ]
其中，zk是R(z)在上半平面内的所有极点。
注： 1、不包括无穷远点； 2、R(z)在上半平面内的奇点中只有极点，为什么？
类型2举例
例3：
x2 0 1 x4 dx
解：
R(x)dx 1
R(x)dx i
0
2
Re s[R(z), zk ]