浅谈函数定义域在解题中的应用
函数定义域在解题中的应用
（ ５ ） 厂 （ ） ＝ 一 ２ ｘ 一１ ， ｇ （ ￡ ） ＝ ｔ 一 ２ ｔ 一 １ ． 解： （ ２ ） 和（ ４ ） 中两个 函数定义域不一样 ， 所以
不是 同一个 函数 ， （ １ ） 中 ）＝Ｉ 引， ｇ （ ｘ ）＝ ， 虽 然
域是该函数全体 函数值的集合， 值域 由函数定义域 和对应法则确定， 定义域不 同， 值域也不同， 因此在 求函数值域时， 一定要注意函数的定义域．
定义域相 同， 但对应法则不同， 所以不是同一 函数， 只有（ ３ ） 和（ ５ ） 定义域和对应法则都相同， 所 以是 同
一
函数．
下 面就 函数定 义 域 在 解题 中 的应 用 作 简单 的分 类
举 例分 析 ．
路是不严 密 的 ， 甚至 导致题 目的错 解．
３ 求 函数 的值 域
例 ３ 已知 ） ＝ ２＋ ｌ ｏ ｇ ， ∈［ １ ， ９ ］ ， 求函数 Ｙ ： ） ］ ＋ ） 的值域． 解： Ｙ；（ ２＋ｌ ｏ ｇ ３ ） ２＋２＋ｌ ｏ ｇ ３ ＝（ １ ０ ｇ ３ ） ２＋
贝 ０ Ｙ＝ｔ ＋ ６ ￡ ＋ ６＝（ ￡ ＋ ３ ） 一 ３ ．
（ ３ ） ）：
（ ４ ） ）＝
， ｇ （ ）： “
， ｇ （ ｘ ）＝
＋ ；
由二次 函数性质可知 ， 值域为［ ６ ， １ ３ ］ ． 这道题 中有许多隐含条件 ， 根据 函数的定义 ， 自
６ｌ ｏ ｇ ３ ＋６，
１ 相 同 函数 判 断
例 １ 试 判 断 下 列 各 组 函 数 是 否 表 示 同一 个
函数 ： （ １ ） ）＝ （ ２ ） ＝ ， ｇ （ ）＝ ； 。 ；
浅谈定义域及其求法和应用
浅谈定义域及其求法和应用作者：任莉来源：《读写算》2012年第46期高中数学凡是涉及函数的问题，均要考虑其定义域，可见定义域作为函数三要素之一是多么的关键，而定义域的求法及对函数知识的应用却不易掌握，所以下面将对其进行小结，希望能对大家有所帮助。
一、定义域的概念与表示函数y＝f(x)的定义域是指其自变量x的取值范围，并用集合或区间表示，且不能为空集。
二、定义域的求法及应用函数的定义域是函数三要素中的关键，其求法本身及对函数知识的应用也是非常重要的，现对其求法归纳总结如下：（一）求具体函数的定义域（1）含分式的函数例1、求函数f(x)=的定义域解：要使函数有意义，则x+1≠0，即x≠-1。
故该函数的定义域为{x|x≠-1}。
点评：在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后再求函数的定义域，如本题，若先约分后求函数的定义域，则会使定义域的范围扩大，变为所有实数。
（2）含偶次根式的函数例2、求函数y＝（a为不等于0的常数）的定义域。
解：要使函数有意义，则ax-3≥0，所以当a＞0时，原函数的定义域为[，＋∞）；当a＜0时，原函数的定义域为（－∞，]。
点评：（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域。
（3）含对数的函数例3、函数的定义域为__________。
分析：对数式的真数大于零。
解：依题意知：即解之，得∴函数的定义域为点评：对数式的真数为，本来需要考虑分母，但由于已包含的情况，因此不再列出。
（4）复合型函数例4、求下列函数的定义域：(1)y= （2）y＝＋解：（1）要使y=有意义，须满足解得∴y=的定义域为(—∞，0)∪(0，1]。
（2）要使函数有意义，则所以原函数的定义域为{x|x≥，且x≠}。
点评：若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现。
函数定义域的经典题型及解析
函数定义域的经典题型及解析函数定义域是指函数的自变量（输入）的取值范围，也就是函数能够接受的有效输入。
经典的函数定义域题型包括以下几种：1. 有理函数的定义域：有理函数是指多项式函数与有理函数的组合，例如 f(x) = (x+1)/(x-2)。
在求有理函数的定义域时，需要注意分母不能为零，因此需要排除使分母为零的值。
在这个例子中，x-2不能为零，所以x ≠ 2，因此定义域为除去x=2的所有实数。
2. 幂函数的定义域：幂函数是指形如 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。
对于幂函数，定义域是所有实数，除非底数为负数且指数为分数，此时需要满足底数大于零。
例如f(x) = √x，定义域要求x ≥ 0。
3. 指数函数的定义域：指数函数是指形如 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是正实数且不等于 1。
对于指数函数，定义域是所有实数。
4. 对数函数的定义域：对数函数是指形如 f(x) = logₐ(x) 的函数，其中 a 是正实数且不等于 1。
对于对数函数，定义域要求 x 大于零。
5. 三角函数的定义域：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
对于三角函数，定义域是所有实数。
6. 根式函数的定义域：根式函数是指形如f(x) = √(x-a) 的函数，其中 a 是实数。
对于根式函数，要求被开方的表达式大于等于零，即 x-a ≥ 0。
因此定义域为x ≥ a。
以上是几种经典的函数定义域题型及其解析。
在求解函数定义域时，需要根据函数的性质和定义的限制条件，仔细分析自变量的取值范围，确保函数有意义且不会出现无定义的情况。
谈定义域在高等数学解题中的一些作用
谈定义域在高等数学解题中的一些作用作者：陈思漫来源：《新一代》2018年第09期摘要：函数作为重要的数学工具，在数学中的应用十分广泛，定义域是函数三要素，简单而言就是函数中因变量的取值范围。
在高等数学中，定义域作为重要的教学内容，由于类型丰富，是学习中的难点，可见不断地探究定义域的在高等数学中的解题作用，具有很强的现实意义与必要性。
定义域的应用十分广泛，对于学习函数，应用函数，以及对于相关问题的求解有着十分重要的作用。
本文结合高等数学学习实践，对于定义域的在解题的过程中的作用，以及相应的解题要点进行分析，希望为高等数学的学习提升提供相应的依据。
关键词：定义域；解题；高等数学；作用数学的学习能够有效地促进学生数学能力的养成，尤其是对于学生数学素养有着十分积极的养成作用，可见我们不断地展开对于数学的学习，积极提升自身的数学能力以及素养，对于自身发展有着积极而深远的意义。
一、函数值域的确定函数定义域在高等数学解题过程中，首要的一个作用就是确定函数的值域，函数的定义域、值域以及对应关系的是函数的三大要素，在高等数学中，定义域与值域往往都是具体的区间，对应关系将变得复杂，即函数的表达形式十分复杂，定义域的主要的作用就是进行值域的确定，值域的确定是数学解题的基本思路所在，正是由于其具有基础性的作用，我们在学生的过程中应当更加注意。
例如，在下述例题中，求解函数的值域。
此函数为分段函数，即定义域区间不连续，且在不同的定义域区间下函数有着不同的对应关系，根据定义域求解值域，依据上题目，应当计算不同区段函数的值域，然后进行值域的合并，实现值域的求解。
上题中，第一段函数值域为，第二段函数值域为，总体而言函数值域为。
总的来说，函数值域的求解有两个层面的要点需要注意，尤其是在高等数学复杂的函数表达形式下，更是十分关键的。
其一，函数的单调性判断十分关键，如果函数是单调的，函数值域范围所对于的就是定义域的范围，如果函数不是单调的就首先进行单调性分析，再根据定义域求解值域[1]。
函数的定义域与值域研究函数的定义域和值域解决函数问题
函数的定义域与值域研究函数的定义域和值域解决函数问题在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义域和值域是研究函数的重要方面，它们帮助我们了解函数的性质和行为。
本文将深入探讨函数的定义域和值域，并介绍如何解决与函数相关的问题。
一、函数的定义域函数的定义域是指能够输入到函数中的所有实数的集合。
简单来说，定义域就是使函数有意义的输入值的范围。
对于实数函数，通常定义域是实数集（所有实数的集合）或实数集的一个子集。
定义域的确定需要考虑函数的性质和限制条件。
例如，对于有理函数，需要排除使分母为零的输入值。
对于平方根函数，需要确保被开方的数不为负数。
对于对数函数，需要确保底数为正数且不等于1。
在有些情况下，定义域可以是无穷集合，如幂函数、指数函数等。
确定定义域是解决函数问题的重要步骤之一。
举例来说，考虑函数f(x) = 1/x。
这是一个有理函数，而有理函数的定义域为除去使分母为零的值。
因此，定义域为所有实数集合中除了0的部分，即(-∞, 0) U (0, +∞)。
二、函数的值域函数的值域是指函数输出的所有可能值构成的集合。
可以理解为将定义域中的元素通过函数映射后得到的结果的集合。
值域可以是实数集、自然数集、整数集等等，具体取决于函数的性质和定义域。
确定函数的值域需要分析函数的图像或者使用相关的数学工具。
对于一些简单的函数，可以通过观察函数的图像得到值域。
对于复杂的函数，可能需要使用微积分、极限等概念来求解。
在一些特殊情况下，函数的值域可以是一个特定的子集，如函数f(x) = x^2，其值域为非负实数集[0, +∞)。
三、解决函数问题函数的定义域和值域对于解决函数问题非常重要。
通过了解函数的定义域，我们可以确定函数的输入范围，排除无效的输入值。
通过研究函数的值域，我们可以找到函数的最大值、最小值，从而解决最优化问题。
函数的定义域和值域还可以帮助我们画出函数的图像，分析函数的性质和行为。
函数定义域在解题中的重要性
浅谈函数定义域的重要性函数作为高中数学中一个至关重要的知识点，也是学习的一个难点。
所以我们有必要对函数的很多知识进行深入理解，特别是函数的定义域是我们研究函数问题前必须考虑清楚的。
函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、函数定义域与解析式函数解析式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数解析式的定义域。
例1：某农场计划用总长度为100m的篱笆，围成一矩形养鸡场，求矩形养鸡场的面积S与矩形一边长x的函数关系式？解：设矩形的一边长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：S-x=50)(x故函数关系式为：)50S-=．x(x如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x 的范围。
也就说学生的解题思路不够严密。
因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：50<x0<即：函数解析式为：)S-=（50x(x50<x）0<这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。
若考虑不到这一点，学生思维就缺乏严密性。
二、 函数定义域与值域函数定义域在求函数的值域时也起到至关重要的作用，如果不注意函数的定义域，求出来的值域就会存在问题。
例2.求函数[])3,0(22∈+-=x x x y 的值域。
解； 1)1(2+--=x y根据二次函数的性质，可得原函数的值域是【-3,1】如果这个题目我们不注意定义域的话，得到的答案肯定是【1，∞+】。
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数值域的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、 函数定义域和奇偶性例3.判断])1,1((1)(2-∈+=x x x f 的奇偶性解：因为)()()(2x f x x f =-=-，所以我们说它的图像关于y 轴对称，它是偶函数。
剖析函数定义域在解决函数问题中的作用
区 间是 否关 于坐标 原 点 成 中心对 称 ， 果 定义 域 区 如
间是关于坐标原点不成中心对称 ， 函数就无奇偶 则 性 可谈． 否则要 用奇偶 性定义 加 以判 断． ： 如 例 ５ 判断函数 Ｙ ，∈［ １３ 的奇偶性． ＝ 一 ，］ 解 ： ２Ｅ １３ 而 一 隹［ １３ ， ‘ ［一 ，］ ２ 一 ，］ ． ’
例 ２ 求 函数 Ｙ ４ 一 ＝ ｘ ５＋
・
＿ 的值域．
错解： ｔ 令 ＝ 一 ， ２ ３ ３ 则 ｘ＝ｔ＋ ， Ｙ ＝ （２ ）一 ２ ｔ ＋３ ５＋￡ ２２ ＋Ｉ ＝ ｔ ＋ｔ
． ．
数作为高中数学的主线 ， 贯穿于整个高中数学的始 终， 函数 的定义 域是 函数 三要素 之一 ， 起来 似乎是 看
函数单 调性 是指 函数在 给定 的定义 域 区间上 函
６ ・ ６
‘ 数学之友）
２ １ 年第 ４ ００ 期
数自 变量增加时 ， 函数值随着增减的情况， 以讨论 所
函数单 调性必 须在 给定 的定 义域 区间上进行． ： 如 例 ４ 指 出 函 数 （ ）＝ｌｇ（ ＋２ ） 单 调 ｏ２ ｘ的
的面积 Ｓ与矩形 长 的 函数 关 系式 ？ 解 ： 矩 形 长 为 米 ， 宽 为 （ ０一戈 ｍ， 设 则 ５ ） 由题
１ Ｏ ＋ 上是增函数 ， 以当 ｔ ０时， ＝ ． 在［ ， ∞） 所 ＝ Ｙｉ Ｉ 故所求 的函数值域是［ ， ∞） １＋ ． 以上 例子 说 明 ， 量 的允 许值 范 围是 何 等 的重 变 要 ， 能发现 变量 隐含 的取值 范围 ， 若 精细地 检查解题 思维 的过程 ， 就可 以避免 以上错 误结 果 的产生． 就 也 是说 ， 生若 能 在 解 好 题 目后 ， 验 已 经 得 到 的 结 学 检 果， 善于 找 出和改 正 自己的错误 ， 于精细 地检查思 善 维过程 ， 便体现 出 良好 的思维批 判性． 例 ３ 求 函数 Ｙ＝ 一２ ｘ一３在 ［一２ ５ 上 的 ，］ 最 值．
高中数学根据函数定义域解题技巧整理
高中数学根据函数定义域解题技巧整理在高中数学中，函数的定义域是解题过程中一个非常重要的概念。
定义域指的是函数可以接受的输入值的范围，也就是使函数有意义的自变量的取值范围。
在解题过程中，我们需要根据函数的定义域来确定自变量的取值范围，从而解决问题。
本文将介绍一些根据函数定义域解题的技巧，并通过具体的题目进行说明。
一、分段函数的定义域确定对于分段函数，我们需要根据每个分段的定义域来确定整个函数的定义域。
例如，考虑函数$f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases}$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
对于第一个分段$x < 0$，函数$f(x)$的定义域为负无穷到0，即$(-\infty, 0)$。
对于第二个分段$x \geq 0$，函数$f(x)$的定义域为0到正无穷，即$(0, \infty)$。
因此，整个函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$。
二、有理函数的定义域确定有理函数是指由多项式函数相除得到的函数。
在确定有理函数的定义域时，我们需要注意分母不能为零。
例如，考虑函数$f(x) = \frac{1}{x-2}$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
由于分母$x-2$不能为零，所以$x$不能等于2。
因此，函数$f(x)$的定义域为$x \neq 2$，即$(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$。
三、指数函数和对数函数的定义域确定对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和真数的取值范围。
例如，考虑函数$f(x) = 2^x$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
由于指数函数的底数为正数，真数可以是任意实数，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, \infty)$。
对于对数函数，底数必须大于0且不等于1，真数必须大于0。
函数的定义域在解题中的作用
函数的定义域在解题中的作用作者：张淑英来源：《读写算》2011年第08期函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。
函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
定义域经常作为基本条件（或工具）出现在高考试题中，通过函数性质或函数应用来考查，具有隐蔽性，不为人们所注意，所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观念，以先分析定义域来帮助解决问题。
1 确定函数定义域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
当函数y=f(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数的集合。
当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合。
?当函数y=f(x)用实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。
2 函数定义域在解题中的应用2.1 导向功能函数的定义域对许多数学问题的求解，有着明显的导向作用，优先考虑定义域，有助于启迪思路，理顺解题线索。
【例1】解方程分析：用常规方法求解，难以奏效，构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。
简解：考虑函数f(x)=,定义域为当x＝－1时，f(-1)=2当x≥1时，易证f(x)为增函数，故有f(x)≥f(1)=>2原方程的解为2.2 简化功能巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。
【例2】判断函数f(x)=的奇偶性。
分析：从定义域入手可化简解析式。
简解：∵函数的定义域为∴f(x)=f(－x)＝－f(x) 为奇函数2.3 显隐功能从函数的定义域出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。
【例3】已知,求的最大值。
分析：已知等式有两个作用，一是可将用x表示—消元，二是确定x的取值范围—定义域。
简解：由得∵∴得，最大值为42.4 制约功能函数由定义域和对应法则确定，函数图案和性质受定义域制约，因此从定义域出发研究函数问题是一种行之有效的方法。
浅析函数定义域在解题中的重要性
文 化 教ｌ ｉｌ 育
浅析 函数定义域在解题 中的重要性
孔庆 发
（ 尔滨 市建 筑 材料 工业技 工 学校 ， 哈 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ０ ） ５０ ０
摘 要： 重点讨论 函数关 系式与定义域的关系， 函数最值 与定义域的关 系， 函数值域与定义域的关系， 函数单调性与定义域的关系， 函数奇偶性
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问。
解： 先求定义域 ：
一
１６ ３ —
与定义域的关系。
关键词： 函数最值 ； 函数值 式； 函数单调性 ； 定义域
‘＋ ｘ Ｏ ｘ ２＞ ２ ．＞ 或 ｘ一 ‘ Ｏ ． ｘ ＜２ 函数作 为数学 的主线 ， 贯穿于整个数学 的 （ ） ＿＞ ２ 当一 ｐ时 ，＝ （） Ｉ，】 ｙｆｘ 在 ＿ ｑ上单 调 递 ｐ 函 数定 义 域 为 （ ∞ ，２ ｕ（ ， ∞） 一 一 ） ０＋ 。 始终。函数 的定义域是构成 函数的两大要 素之 （） （ ｆ ） ＝ ｑ ； Ｐ） （ ｆ 令Ｉｘ２． １ Ｚ ｘ 知在 Ｘ 一 一 ） 时 ， 减 ＝＋ ∞，２ 上 Ｅ（ ｕ为 函数 的定义域 （ 或变量 的允 许值范围 ） 似乎 减 函数 ｆｘ ｆ ， ｘ ｌ （ ） 是非常简单的 ， 然而在解决问题 中不加以注意 ， 函数 ， （） ｐ 。 ３ 当 ｓ一 ｑ时 ，＝（ ） Ｉ，］ｌ ｙ ｆｘ 在 ｐｑ － 最 在 ｘ Ｏ，ａ） 时 ， 为 增 函 数 。 ∈（ ＋ 。上 Ｉ １ 常常会使人误人歧途 。在解 函数题中强调定义 值情况是： 域对解题结论的作用 与影响 ，对提 高学生 的数 又 ’ （ ）ｌ ． ｘ ＝ｏ ‘ ｆ ￣ｕ在『， ｍ） ０ ＋ 是增函数。 学思 维 品质 是 十分 有 益 的 。 函数 ｆｘ ＝ｏ２ｘ＋ ｘ 在 （ ＊， ２ 上是 （ ）ｌｇ（ ２ ） 一 一 ） １函数关系式 与定义域 减函数 ， Ｏ ＋ 上是增函数。 在（ ，＊） ｆｘ￣ ｍ ｘ （ ） （ ） 即最大值是 ｆ ）ｆ （ ） ＝ ａ｛ ｐ ， ｑ ） ｆ ｆ ， （ ， ｐ 函数关系式包括定义域和对 应法则 ， 以 所 即函数 ｆｘ ＝ｏ２ｘ＋ ｘ 的单调 递增 区间 （ ）ｌｇ（２２ ） （） ｑ 中最大 的一个值。 在求 函数的关系式时必须要考虑所求 函数关系 （ ＋ ， Ｏ，＊）单调递减区间是（ ０ ，２ 。 一０一 ） 故本题还要继续做下去 ： 式 的定义域 ， 否则所求函数关系式 可能是错误。 如果在做题时 ， 没有在定义域 的两个 区间 ２ ｌ ５ 如： 上分别考虑函数 的单调性 ，就说明学生对函数 ２＝一 ） ２ （２一＝ ３ ）（ ２ ２ × 一 ）３ 一 ＿ 例 １某单位计划建筑一矩形 围墙 ， ： 现有材 单调性的概念一知半解 ， 没有理解 ， 在做 练习或 ｆ５ ＝ Ｚ２ ５ ３ １ （ ）５－ ｘ — ＝ ２ 料 可 筑 墙 的 总 长度 为 ｌＯ 求 矩 形 的 面 积 Ｓ与 Ｏ ｍ， 作业 时 ， 只是对题 型 ， 套公式 ， 而不去领会解题 』ｘ ＝ ｘｆ一 ）ｆ５ １“５ ＝ ２ （ ） ｍａ｛ ２ ， ）＝ ） １ （ （ 矩形长 ｘ的函数关系式 ？ 方法的实质， 也说明学生的思维缺乏深刻性。 函数 ｙｘ ｘ ３在 【２ ５上 的最 小 值 是 一 ＝ Ｌ２ 一 ＿ ，ｌ 解 ： 矩 形 的 长 为 ｘ米 。 宽 为 （０ Ｘ米 ， 设 则 ５ 一） ５函数奇偶性与定义域 ４ 最大值是 １ 。 ， ２ 由题 意得 ： 判断函数 的奇偶性 ， 应先考虑该函数的定 这 个 例 子 说 明 ，在 函 数 定 义 域 受 到 限 制 Ｓｘ ５ － ） ＝ （０ ｘ 义域区间是否关于坐标原点成中心对称 ，如果 时，若能注意定义域的取值范 围对函数最值的 故 函数关系式为：－ （０ ｘ 。 Ｓ ｘ５ － ） 定义域区间是关于坐标原点不成 中心对称 ， 则 影 响 ， 在解 题 过 程 中加 以 注意 ， 体 现 出 学 生 并 便 如果解题到此为止 ， 则本题的 函数关系式 函数就无奇偶性可谈 。否则要用奇偶性定义加 思 维 的 灵 活性 。 还欠完整 ， 缺少 自变量 ｘ的范围。 也就说学生 的 以判断。如： ３函数值域与定义域 解题思路不够严密。因为 当自变量 ｘ 取负数或 例 ５ 判断函数 ｙ ｘ， 卜１３的奇偶性。 ： ＿，ｘ ，】 函数的值域是该 函数全体函数值 的集 合 ， 不小 于 ５ ０的数时 ， 的值是负数 ，即矩形的面 ｓ 解 ：。 ‘ ． ２∈卜ｌ ３ 而一 ， １ ２硭卜１ ３ ，１ 当定义域 和对应法则确定 ， 函数值也随之而定 。 积为负数 ， 这与实 际问题相矛盾 ， 以还应补上 所 定义域区间［１ ３关于坐标原点不对称 － ，１ 因此在求 函数值域时， 应注意函数定义域 。如 ： 自变量 ｘ的范围 ：＜＜ ０ Ｏｘ５。 函数 ｙｘ， ∈卜１３是非奇非偶函数 。 ＝ ，Ｘ ，】 例 ３ 求函数 ｙ ４ 一 ＋ ／ ｉ 的值域 ： ＝ ｘ ５ 、 二 即： 函数关 系式为 ：＝ （０ ｘ （ ＜ ＜ Ｏ Ｓ ｘ５ － ）Ｏ ｘ ５ ） 若学生像以上这样 的过程解完这道题 目， 错解 ： ｔ、 乏二 令 ＝ ／ ｉ 则 ２＝２３ ｘｔ ＿ 这个例子说明 ， 函数方法解决 实际问 在用 就很好地体现 出学生解题思维 的敏捷性 题时 ，必 须要注意到函数定义域的取值范围对 如果学生不注意 函数定义域 ， 那么判断 函 ２ ） ＋２ ｔ＝（｝） （ ３ ５ｔｔ＋ ２＋ ｔ 一 ＝ｚ １ ｔ ＋ ＋ ＋ 实际问题 的影响 。 若考虑不到这一点 ， 就体现 出 数的奇偶性得 出如下错误结论 ： ７ 学生思维 缺乏严密性。 注意到定义域的变化， 若 ｆ一 ）（ ｘ 一 一 ） （ｘ ＝ 一 ）： ｘ “ｘ ＝ ８ 就说明学生 的解题思维过程体现出较好思维 的 函 数 ｙ ｘ，∈卜 １３是 奇 函数 。 ＝ ｘ ，１ 严 密性 。 错 误剖 析 ： 因为 以上 做 法 是 没 有 判 断 该 函 故所 求的函 数值域是 ｝， 。 ［ ＋ ） ２ 函数 最 值 与定 义 域 数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前 剖析 ： 经换元后 ， 应有 ｔ ， － 而函数 ｙ ２ ＞０ ＝ｔ ＋ 函数 的最值是 指函数在 给定的定 义域区 提下直接加以判断所造成 ，这是学生极易忽视 ｔｌ Ｏ ＋ 上是增 函数 ， ＋ 在ｆ， ｍ） 间上能否取到最大（ ） 小 值的问题 。如果不注意 的步骤 ， 也是造成结论错误的原因。 所 以当 ｔｏ时， １ ＝ ｙ 。 定 义域 ， 将会导致最值的错误。如 ： 综上所 述 ， 在求 解函数 函数关 系式 、 值 最 故所求的函数值域是『， ＊） １＋ 。 例 ２ 求 函数 ｙ ｘ － ｘ ３ 卜 ，】 的最 ： ＝２ ２ 一 在 ２ ５上 值 、 单 奇偶性等问题 中， 若能精 细地 以上例 子说明 ， 变量的允许值范 围是何等 （ 域 ） 调性 、 值。 思辨函数定义域有无改变（ 指对 的重要 ， 若能发现变量 隐含的取值范围， 精细地 检查思维过程 ， 解 ： ｘ ｘ ３ （ ２２＋ ） 一 ｘ １ ４ ’ ２ － ＝ ｘ＿ｘ １ （一 ） ． Ｈ 定义域为 Ｒ来说 ）对解题结果有无影 响， ， 就能 检查 解 题 思 维 的过 程 ，就 可 以避 免 以上 错 误 结 当 ｘ ｌ ， ＿ ＝ 时 ｙ ４ 提高学生质疑辨析能力 ， 有利于培养学生 的思 果 的产生。也就是 说， 学生若能在解好题 目后 ， 初 看结论 ， 题似乎没 有最大值 ， 本 只有最 维品质 ， 从而不断提高学生思维能力 ， 而有利 进 检 验 已经 得 到 的结 果 ，善 于找 出 和改 正 自己的 小值。产生这种错误的根 源在于学生是按照求 于培养学生思维的创造性 。 错误 ， 善于精细地检查思维过程 ， 便体现 出良好 二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件 的思 维 批判 性 。 发生变化 。 这是思维呆板性 的一种表现， 也说明 ４ 函数单调性与定义域 学生思维缺乏灵活性 。 函数单调性是 指 函数 在给定 的定 义域 区 其实以上结论只是对二次 函数 ｙ ａ ｂ十 ＝ ｘ ｘ ＋ 间上函数 自变量增加时 ，函数值随着增 减的情 ｃａ ｏ 在 Ｒ上适用 ， （＞ ） 而在指定的定义域区问【， ｐ 况 ，所 以讨 论 函 数单 调 性 必 须 在 给定 的定 义域 ｑ ， 】 它的最值应分如下情况 ： 上 区间上进行。如 ： Ｌ （） （ １ 当一 ｐ时 ，－（ ） ［，】 ｙ－ ｘ在 ｐｑ上单调递 ｆ 例 ４ 指 出函数 ｆｘ ＝ｏ ｘ＋ ｘ 的单调 区 ： （ ） Ｉ （ ２ ）
高中函数定义域题型及解题方法
高中函数定义域题型及解题方法高中数学中，函数是一个重要的概念，而定义域则是函数的重要属性之一。
在高考数学中，定义域的求解也是一个重要的题型。
本文将介绍高中函数定义域的题型及解题方法。
一、定义域的概念定义域是指函数的取值范围，即函数的自变量可能取值的集合。
例如，函数 f(x) = x^2 + 1 的定义域是 R，因为 x 的取值可以任意取实数，且 x 的取值不影响函数的值。
二、常见定义域的题型1. 直接求解定义域有些函数的定义域是可以直接求解的，例如函数 f(x) = x^2 + 1 的定义域是 R，因为 x 的取值可以任意取实数，且 x 的取值不影响函数的值。
2. 求解函数的定义域在求解函数的定义域时，我们需要根据函数的符号和函数的表达式来确定自变量的取值范围。
例如，函数 g(x) = x^2 - 2x + 1 的定义域是 x 不等于 1。
3. 求解函数的值域有些函数的定义域和值域是一致的，例如函数 f(x) = x^2 + 1 的值域是 R。
而有些函数的定义域和值域是不同的，例如函数 g(x) = x^2 - 2x + 1 的定义域是 x 不等于 1，但函数的值域是 [-1,1]。
4. 求函数的定义域或值域在求解函数的定义域或值域时，我们需要根据函数的符号、表达式和定义域来确定自变量的取值范围。
例如，函数 h(x) = x^2 + 1 的定义域是 x 不等于 0，但函数的值域是 [1,+∞),因为 x 的取值可以任意增大。
三、解题方法1. 观察函数的符号和表达式，确定自变量的取值范围。
2. 根据函数的定义域和值域，结合函数的符号和表达式，求解定义域或值域。
3. 熟练掌握常见的函数定义域的求解方法，例如求解函数的定义域需要根据函数的符号和表达式来确定自变量的取值范围。
4. 学会分析函数的性质，例如奇偶性、单调性等，从而帮助求解定义域。
高中数学中，函数是一个重要的概念，而定义域则是函数的重要属性之一。
浅谈函数定义域在解题中的应用
浅谈函数定义域在解题中的应用函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学数学的始终，函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。
而函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x取值的集合，在解函数题中如果函数是由实际问题确定的，这时还要根据自变量的实际意义进一步确定其取值范围。
只有对定义域概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。
本文主要浅析定义域在以下几方面的应用。
一、抽象函数定义域所谓抽象函数是指用f（x），g（x）或F（x），G（x）等表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，这类函数求定义域关键是对定义域概念的真正理解.例1：已知函数f（x）的定义域为[0，4]，求f（x2）的定义域.解析：注意在对应法则f下，函数f（x2）中x2 的范围与函数f（x）中x 的范围相同.解答：∵函數f（x）的定义域为[0，4]，∴，∴f（x）的定义域为[-2，2].误区警示：误认为f（x2）的定义域是[0，16]，同时易漏掉x+1>0这一限制.二、定义域与函数值域函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。
因此在求函数值域时，应注意函数定义域。
如：例2：求函数的值域.换元法（代数换元法）：令则∴原函数可化为∴∴原函数值域为.上例说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
三、定义域与函数奇偶性判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。
定义域在函数题解的作用与影响
定义域在函数题解的作用与影响【摘要】函数是中学数学的主线，也是整个高中数学的基础。
而函数的定义域作为构成函数的两大要素之一，在解函数题时其对解题结论的作用与影响不可忽视。
【关键词】定义域；函数性质初中阶段已经讲述了函数初步知识，进入高中后在集合的基础上又学习了映射，接着又学习了各类函数。
在高中的各类函数题型中，定义域对解题结论起到很大的作用与影响，而新课标函数的大部分内容安排在高一第一学期，这对刚从初中升上高中的新生来讲，由于数学思维还停留在初中阶段，在解题中强调定义域更显得重要。
在此浅谈一下定义域在函数题中的解题作用与影响。
一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则。
定义域就是自变量的允许取值范围。
比如的定义域就是{}，涉及到分母不能等于零；还涉及到偶次根式被开方式大于等于零；对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；指数为零时，底数不等于零等方面的题型。
如果函数涉及实际问题时，还必须考虑定义域使实际问题有意义。
但高一的新生考虑函数定义域时，往往会产生考虑不够周密的情况。
如求函数的定义域时，学生容易只考虑二次根式的知识点，而忽略分母不能为零的方面。
再如解函数实际问题时，必须考虑自变量的取值范围。
另外，函数题中，还常常用定义域、对应法则是否相同来判断某组函数是否表示同一函数，如与不表示同一函数，因为定义域不同。
从上面的例子可知，函数关系式要有定义域才完整。
注意定义域的应用，才能更好的把握函数的概念，列出正确的表达式，理解表达式的意义和作用。
特别对于高中新生，往往还像初中一样，不注意定义域的应用，所以教师讲授时还要注意初高中函数知识的衔接。
二、函数的反函数与定义域三、函数的值域、最值与定义域四、函数单调性与定义域【参考文献】[1]何淑华.函数的定义域不可轻视[J].数学学习与研究，2009，（11）.[2]王时勤，方月娣.解题中注意函数定义域[J].数理化学习，2010，（07）.[3]朱文宏，商俊宇.定义域——函数的灵魂[J].数学通讯，2006，（20）.。
浅谈函数定义域在函数问题中的重要性
2013-01教学实践倒入氢氧化钠溶液的饮料瓶比倒水的塑料瓶瘪的厉害，从而可以得出结论。
五、自制气体发生装置图3自制气体发生装置带孔小塑料瓶酸液大塑料瓶固体颗粒去底塑料瓶几种重要气体的实验室制备方法是需要学生重点掌握的初中化学知识。
其中二氧化碳、氧气（常温型）的发生装置就可以用塑料瓶等用品代替改进（如图3所示）。
具体操作如下：用100mL 左右的去底塑料瓶配一长玻璃导管代替长颈漏斗，内装酸液；取300mL 左右的塑料药瓶一只，用烧热的玻璃管在瓶盖上按图示烫两个圆孔，分别插入玻璃导管，再烫一个细孔伸入一根粗铜丝（涂上凡士林），在铜丝下端固定一个装有固体颗粒物的带孔小塑料瓶，瓶盖和瓶口间的缝隙用熔蜡涂封。
比如制备二氧化碳时，可以在去底塑料瓶中加入稀盐酸，带孔小塑料瓶中放入石灰石块，当酸液没过石灰石块时反应发生，关闭止水夹，稀盐酸就会回流入上端的去底塑料瓶，实验过程中很方便地控制了反应的发生和停止，安全系数也较高。
小小的塑料瓶，在师生的共同努力创造下，变身为一个个学生熟悉的化学仪器，组装成一套套实用的化学装置。
通过一个又一个小小的实验改进和创新，提高了学生学习化学的兴趣，拓宽了学生的知识面，加深了学生对所学化学知识的理解。
在合作改进的过程中，学生与教师之间的关系也越来越融洽。
在今后的工作实践中，笔者会继续钻研教材，寻找新的实验改进点，引领学生向更高一层发展，引导学生体验科学实验的探究过程，培养学生的实践能力。
（作者单位江苏省淮阴中学）浅谈函数定义域在函数问题中的重要性文/刘梅君定义域是函数的三个要素之一，是研究函数最关键的环节。
忽略了定义域，研究函数毫无意义。
以下试举几例说明函数定义域的重要作用：一、求函数定义域的问题，可提高学生的计算能力和逻辑思维能力计算能力和逻辑思维能力是学生必备的能力，也是学生有待提高的能力。
函数定义域的问题涉及面广，可涵盖高中数学中所有类型函数，也是集合运算的重要应用。
包括解一次、二次、高次、分式、根式、指数、对数、三角等各类型不等式，是提高学生计算能力的重要题型。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了两个集合之间的映射关系。
在讨论函数时，我们经常会遇到两个重要的概念，即定义域和值域。
本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在函数理论和实际问题中的重要性。
一、定义域的概念及作用在定义函数时，我们需要明确函数的输入变量的取值范围，这个取值范围称为函数的定义域。
简单来说，定义域是指函数能够接受的实际参数的集合。
例如，考虑一个简单的函数f(x) = 2x，如果我们要求f(x)的定义域为实数集，那么定义域可以表示为D = R。
这意味着函数f(x)可以接受任意实数作为输入。
定义域在函数的数学性质和实际应用中都起着重要作用。
首先，定义域的确定可以帮助我们分析函数的性质。
对于某些函数来说，定义域的限制可能导致函数的不连续、无定义等特殊情况。
其次，在实际问题中，定义域的设定可以帮助我们剔除那些无法满足条件的输入值，从而使得函数描述的问题更加合理和实用。
二、值域的概念及意义值域是函数中输出变量的取值范围，也可以理解为函数所有可能的输出值组成的集合。
考虑函数f(x) = x^2，如果定义域为实数集，那么值域可以表示为R+，即非负实数集合。
这是因为对于任意实数x，函数f(x)总能输出一个非负实数。
值域的确定与函数的图像密切相关。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地观察函数的值域。
但需要注意的是，并非所有函数都能通过图像判断值域。
对于某些复杂的函数来说，值域的确定需要借助数学分析和推导。
在实际应用中，值域的确定有助于我们了解问题的解空间和可能的输出结果。
通过对值域的分析，我们可以推断出函数的特性，帮助我们解决实际中遇到的问题。
三、定义域与值域的关系定义域和值域是函数中的两个重要概念，它们之间存在一定的关系。
首先，定义域决定了值域的范围。
也就是说，值域的元素必须是定义域中元素通过函数映射得到的结果。
例如，对于函数f(x) = x^2而言，如果定义域为实数集，则值域为非负实数集。
函数定义域在解题中的重要作用
函数定义域在解题中的重要作用作者：王建立来源：《南北桥·教学探究》2009年第06期函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。
函数的定义域是构成函数的三大要素之一,函数的定义域看似非常简单,然而在解决问题中不加注意,常常会使人误入歧途,导致错误。
在解函数题中强调定义域对解题的作用与影响,对提高学生解决函数问题的能力,逐渐形成良好的数学思维品质十分有益。
一、函数解析式与定义域函数解析式包括定义域和对应法则,所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数解析式可能是错误的。
如:例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100 m,求矩形的面积S与矩形长x的函数解析式。
解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米,由题意得S=(50-x)故函数解析式为S=x(50-x)。
如果解题到此为止,则本题的函数关系式还不够完整,缺少自变量的取值范围。
也就是说,学生的解题思路不够严密。
因为当自变量取负数或不小于50的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题不符,所以还应补上自变量的取值范围0这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。
若没有考虑这一点,就体现出学生思维缺乏严密性;若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好的严密性。
二、函数值域与定义域函数的值域是该函数全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定,函数值也随之而定。
因此,在求函数值域时,应注意函数定义域。
如:例2:求函数y=4x-5+ 的值域。
错解:令t= ,则2x=t2+3。
∴y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+ )2+ ≥ ,故所求的函数值域是[ ,+∞)。
剖析:经换元后,应有t≥0,而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数,所以当t=0时,ymin=1.故所求的函数值域是[1, +∞)。
以上例子说明,变量的允许值范围是何等的重要,若能发现变量隐含的取值范围,精细地检查解题思维的过程,就可以避免以上错误的产生。
函数定义域在解题中的作用_图文(精)
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若两个函数定义域不同．它们必然是两个不同的函数，并且具有不同的函数性质，即使解析式相同，函数的单调性、奇偶性、周期性、最值问题一般也会因定义域的不同而发生改变。
因此解决函数性质问题，应优先考虑函数的定义域。
例ｌ｝粤墅型为奇函数吗？为什么？函数，（量）＝可１＋焉ｓｉ品ｎｘ了－磊ｃｏｓ品ｘ４－错解：以茹）＝订１＋焉ｓｉ赢ｎｘ而－ｃｏｓｘ＋ｎ１＋忑ｓｉ忑ｎｘ丽＋ｃｏｓｘ＝咖号＋ｃｏｔ专。
因以一耳）＝一ｔａｎ寺一ｃｏｔ鲁＝一“善），蝴髫）为奇函数。
剖析：函数．厂（茗）解析式化简后，形式上是一个奇函数，但是否为奇函数还决定于其定义域。
事实上。
该函数定义域为｛茹ｌ善≠矗霄，且ｘ＃２ｋ兀一詈，知∈ｚｌ，不关于原点对称。
如，（号）＝２，而，（一号）不存在。
于是以一号），‘一以号）。
故该函数不具备奇偶性，不是奇函数。
例２求函数以算）＝≠掣警的最小正周期。
ｌ—ＩａＩｒ茹错解：由／（膏）＝ｆ警兰＝｛硼ｒ１２ｘ，根据周期公Ｉ一诅Ｉｒ聋式，该函数周期ｒ＝詈。
们不都是恒等式。
以聋）＝悬与，，＝ｔａｎ２苴形式剖析：三角函数中许多公式有它成立的条件，它上是同一个函数，但它们的定义域不同，其实是两个不同的函数，而且它们的周期也不一样。
事实上，Ｙ号，而以茗）＝悬的定义域为Ｉ鼻Ｉ善≠号＋譬，＝ｔｆｋｑ２茹的定义域为｛髫Ｉ幻‘｛＋警，蠡∈Ｚｔ，周期为且算≠号＋ｈ，蠡∈ｚ｝，周期是ｈ。
故原函数的最小正周期为ｈ。
例３求函数Ｙ＝ｌｇ（ｓｉｎｘ＋ＣＯａＸ＋１）的单调递万方数据增区间。
浅谈函数中定义域的重要性.doc
浅谈函数中定义域的重要性■中学数学论文浅谈函数中定义域的重要性张兆伟(扬中市新坝中学,江苏镇江212211)摘要:函数是高中数学的主要内容,贯穿了整个高中数学的始末,也是高考的必须考察的一个重点知识。
然而函数的三要素中,定义域又是十分重要的。
硏究函数的性质时应首先考虑其定义域。
在我的教学过程中,我发现学生对定义域本身知识的学习是能掌握的,然而在求解函数有关问题时,容易忽视定义域,从而导致解题错误。
在解函数题时强调定义域,对解题有很大的帮助,对学生数学思维的提高也是十分有益的。
下面笔者就自己的工作经验对有关定义域的问题做一个小结。
关键词:定义域；函数；数学思维中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-12-0025-01—、求函数解析式时9B：已知足心+**> =J +卡,求/(*1的X析式• 错解：令1=«+4-.»1/(<)=<> -2..-./lx) =x*-2.x^o 制析二/U+丄｝隐介U定义域g xl^O;,所以由< = ’ +X+得心2或X -2J(I)=r s-2的定义城为心2或V-2.RP甬数八“的解析式应为/lx) =x:-2(x>2或*・2)注意到』的取(ft也阳坊才能保证转化的寻价性止解：由刃工+-^—)=*3 +厶■，令(=工+」—得心2或(w -2,解忻式得/O)=r J-2(r>2 或临・2),即/(#) -2(*^2 或乂咗・2)。
二、求函數■值(或值域J时何2：若3x2 +2y3 =6x,求工'+ v2的最大(fl错解：由已如粤v2 = ♦ 3x 11 ,代入x2 + y s得x J♦ y J = —~-x" + 3工= --4-( * ■ 3 ｝* ♦ -T-..*-当x = 3 时.J+、2的凤大值为善討析:上面的解祛误认为工的取值范151是一切实数•但是M的取但范碉由y2=-却'+■ RMo所以解酗时碎注：t工的危Ht正解：由y2 = --^-«： *3x>0 得0£工壬2,x J*/= ・-p+3"・亠(一3)'+二“[0.2],因硕数图倉的对称轴为x=3,/.当工已[0,2]殳甬数是堆甬数•故当"2 时,«2+y5的康大ffiL为4.例3：已知甬数/■(*) =2 +log,M(l W$W9),则厨数y =5巧F +/1J)的最大值为___________错^：y = LA*) ]2♦/(x2 ) = (2+ J ) = (log.x2 *3)" -3fi -1 •- ! ■ - - •虫"9时取密最大值为22.止解：由已知所取甬数r= ：/(x)F +m亠或是｛；:二打得n w3.y = [/(<)]2+/(F ) = ： + lop 厂-h \,x2 -(lojb*+3 r -3 亦w 3是:增廉数，故从.)： +/(M2)亦x=3时取得最犬值为13-三、求函数单调区间时错解：〃 -x ）例4:求函数f(x) = lg(4-x2)的单调递增区间。
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合水
７ ４ ５ ４ １ ３）
教育 家 叶圣 陶先 生 “ 曾指 出 ：“ 教任 何 功 课 的最 终 目的在 于达 到 不 需 圆的 半径 ｒ ．从 而用 长方 形 的面 积公 式推 导 出圆 的面积 公式 要教” 。 长 方 形面积 ＝ 长 × 宽 新 的课程 理 念倡 导 ：促进 学 生全 面 、持续 、和 谐 地发 展 。在 新 的教学 ｉ 上 ＝ ａ × ｂ 理念 下 要让 学 生“ 学会” 变 为“ 会 学” ，只有 学 生 会学 了 ，才 能悟 出教材 及 教 师在 授课 时 预设 的 目的 。要 让学 生达 到预 期 的 目的 ，就得 让 课堂 归还 于 学 』 生 ，让 学生 由被 动学 习变 为主动 学 习 ，真正 使 学生在 课 堂中 动起 来 。 １ 新课 程 ” 要 求教 师 的角色 由“ 表 演 型” 向“ 参 与 型” 转 变 ，新 的课程 改 革 圆 的面积 ＝２ ｒ × 一 × ｒ ２ 重视 学 生 的感性 认 识 ，要求 教师 积极 组织 学 生主 动参 与 、乐 于探 究 、勤 与 动 手 ，从搜 集信 息 、处理 信 息中得 到一 个完 整 的理 性认 识 。 ＝ ７ ［ ｒ × ｒ 笔 者 ，近几 年 一直 担任 小学 高年 级数 学 教学 工作 ，认 为 在新 的课 程 理 念 下 ，让我 们 教师 从教 学思 想到 教 学方 式上 ，要 彻底 改变 旧的 教学模 式 ， 要 充分 发挥 学 生的 主体地 位 。 毛 泽 东主 席 曾说 过 ， 实 践 是检验 真理 的 唯一 标准 。数 学教 师在 教 学 时 ，要进 行开 放 式教 学 ，开 阔学 生的思 维 空 间， 让学 生敢 于标 新立 异 ，对 她们 独 到的见 解 应给 于鼓 励和 支 持 。臂如 ，我 给 学生 准备 上 圆的面 积 一课 时 ，课前 先让 学 生用 硬纸 板做 一个 定 半径 的 圆， 再将 圆分 成 若干 相等 的小 扇形 ，在 教 学 时备用 。 教学 中 ，要让 学生 思考 ， 能不 能把 圆 转化成 已学过 的 图形 。在 此基 础上 ，通过直 观 教 具的演 示 推导 出 圆面积 计 算公 式 。我采 用如 下 方法 ：教 学 圆面积 计算 公 式 时，是 通 过图 形 的割补 转 化进行 的。先 在 一块硬 纸板 上 画一个 圆，并把 它分 成若 干相 等 的小 扇形 ，然 后把 它剪 开 ， 再把 它 拼成 一个 近似 的长 方形 。 教 学时 让学 生沿 直 径将 圆分 成两 半 ，把 它分 成若 干相 等 的小 扇 形并按 顺序 编 号后 进行 拼接 ，然 后 ，让 学生观 察所 拼 成 的 图形 是什 么 图形 ？学 生 由 自己手 中的拼 图 得知 是近 似 的平 行 四边 形 。这 时 ，我 随机 指导 ，如果把 圆等分 成 的小扇 形越 多 ，所 拼成 的 图形 就 越 接近 于长 方 形 ．这个 拼 成的 长方 形 的面积 正好 是 这个 圆 的面积 ，这 时我 对 学 生做如 下 提 问： ａ 、长方 形的面 积 怎样 计 算 ？ｂ 、你 所拼 成 的长 方形 的 长和圆的什么有关系？长方形的宽又与圆的什么布关系 ？学生反复研究后 回答 ，长 方形 的 长就是 圆 周长 的一 半． 即 ，２ ｍ － ｘ 一 ＝Ｒ ： ｒ ，长 方形 的 宽就是
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浅谈 函数定义域在解题中的应用
高 艺 美
（ 河 南省原阳县第一高级中学
函数 是数 学 中最 主要 的概 念之 一 ，函数 概念 贯 穿在 中 学数 学 的始终 ， 函数 的概 念及 其性 质 （ 单 调性 、 奇偶性 、周期 性 、对称 性 ）是 高考 考查 的 主 要 内容 ， 函数 的定 义域 、解 析式 、值 域 是高考 考 查重 点 ，函 数性 质 的综 合考 查在 历年 考试 中久考 不衰 ，应 重 点研 究 。而 函数 的定 义域 是构 成 函数 的三 大要 素 之一 ， 函数 的定义 域似 乎 是非 常简 单 的，然 而 在解 决 问题 中不 加 以注意 ， 常常会 使 人误 入歧 途 。对 于给 出具 体解 析式 的函数 而言 ，函数 的 定义域 就 是使 函数解 析式 有 意义 的 自变 量 Ｘ取 值 的集合 ，在 解 函数题 中 如 果 函数是 由实际 问题 确定 的 ，这 时还要 根据 自变量 的 实际 意义 进 一步确 定 其取值 范 围。只 有对 定义 域概 念作 到深 刻 理解 ，才 能 正确 灵活 地加 以应 用 。本 文主 要 浅析 定义 域在 以下 几方面 的应 用 。 抽 象 函数定 义域 所 谓抽 象 函数 是指用 ｘ ） ，ｇ （ ｘ ） 或Ｆ （ ｘ ） ，Ｇ（ ｘ ） 等表 示 的函数 ，而 没有具 体解析式的函数类型， 这类函数求定义域关键是对定义域概念的真正理解． 例１ ： 已知 函数 ｆ （ ｘ ） 的定义域 为【 Ｏ ， ４ 】 ，求 Ｘ ２ ） 的 定义域 ． 解析：注意在对应法则 ｆ 下，函数 目 ｘ ） 中ｘ 的范围与函数 ｆ （ ｘ ） ｅ ｅ Ｘ的
＝兀广
虽然 ，本 节 课动 于操 作对 学 生有 一定 的难 度 ，但 是学 生积 极性 高 ，使 他们 得 到 自 己的劳动 成 果 ，尝到 成功 的喜 悦 ，从 而加 深学 生对 本节 知 识 的 理解 ，并增 强学 生 的学 习的积 极性 ，同时也 为下 一个 问题 提供 思考 的阶 梯 。 这 样不 仅充 分 调动 了每 个 学生 的学 习积 极性 、发 挥 了各 自的优势 ， 而且提 高 了整 体 的创造 力 。 总之 ，在 数学 教学 中 对学 生创 新能 力 的培养 是 多方 面 、多层 次 的 。既 要 教师 以现 代 教育 理 论为 指导 ， 改变教 法 ，更 需要 诱导 学 生改变 学 法 ，加 快 自身发 展 。要 确保 学生 心 、 口 自由，培 养学 生 的个性 ，逐步养 成 并提 高 学 生 的实 践能 力 、 创 新能 力 。 “ ’ 学生 只有 学会“ 自主学 习” 、 “ 合作 学 习” 和“ 研 究性 学 习” ，才能适 应 课程 改革 所带 来 的变化 ，在 学 习过程 中构 建 自己的认 知结 构 ，逐渐 形 成适 合 自己的颇 具个 性特 点 的学 习模 式 ，主动 投入 到 学 习
活动 中去 参考 文献 ： ｆ １ ］叶 圣 陶 叶 圣陶 文集一
版社 ． ２ ０ ０ ３
论 教 育改 革 ［ Ｍ ］． 呼 和浩 特 ：远 方 》［ Ｍ ］第五卷． 北京：人民教 育出版社， １ ９ ６ ９ ． 『 ３ ］柳 海 民． 现代教 育原理 ［ Ｍ ］． 北京 ：中央 电视 大 学 出版社 ， ２ ０ １ ０ ． ｆ ４ Ｉ 马 云鹏 课 程 与教 学论 ［ Ｍ ］ 北京 ： 中央 电视 大 学 出版社 ， ２ ０ １ ０