《事件的独立性》同步练习1
事件的独立性概率提升作业练习含答案解析高二数学北京海淀
课时提升作业十事件的独立性一、选择题(每小题5分,共10分)1.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) ( )A. B. C. D.【解析】选D.设体型合格为事件A,身体关节构造合格为事件B,A与B为独立事件,且P(A)=,P(B)=,所以两项中至少一项合格的概率为P=1-P()=1-P()·P()=1-×=.2.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图,假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是( )A. B. C. D.【解题指南】根据条件先求出顺时针和逆时针跳的概率,然后根据跳3次回到A,则应满足3次逆时针或者3次顺时针,根据相互独立事件的概率公式即可得到结论.【解析】选A.设按照顺时针方向跳的概率为P,则逆时针方向跳的概率是2P,则P+2P=1,解得P=,所以按照顺时针方向跳的概率为,逆时针方向跳的概率是.若青蛙在A叶上,跳3次后停在A叶上,则满足3次逆时针或者3次顺时针,①若先按逆时针开始从A→B→C→A,则对应的概率为××=,②若先按顺时针开始从A→C→B→A,则对应的概率为××=,则概率为+==.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=__________.【解析】依题意得解得P(A)=,P(B)=.所以P(B)=×= .答案:4.(2018·沈阳高二检测)在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为__________.【解析】由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为,,.在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为××=.答案:【补偿训练】有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为__________,问题得到解决的概率为__________.【解析】都未解决的概率为=×=.问题得到解决就是至少有1人能解决问题,所以P=1-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题,规则如下:①每位参加者记分器的初始分均为10分,答对问题A,B,C,D分别加1分,2分,3分,6分,答错任一题减2分;②每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;③每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答,直到答题结束.假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为,,,,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率.(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列.【解析】(1)设事件A为:甲同学进入下一轮.事件B i为:甲同学答对了第i题,为:甲同学答错了第i题,则P(A)=P(B1B2B3)+P(B1B2B4)+P(B1B3B4)+P(B2B4)+P(B2B3B4)=.(2)ξ的所有可能取值为:2,3,4P(ξ=2)=P()=,P(ξ=3)=P(B1B2B3)+P(B1)=.P(ξ=4)=1--=.ξ的分布列为:ξ 2 3 4P 1838126.(2018·牡丹江高二检测)某城市实施了机动车尾号限行,该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁)[15,25) [25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4(1)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值.(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.(3)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷,记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数,求使概率P(η=k)取得最大值的整数k.【解析】(1)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为:×100%=64%.被调查者年龄的平均约为:=43.(2)依题意得:ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)=×=×==15,P(ξ=1)=×+×=×+×=,P(ξ=2)=×+×=×+×=,P(ξ=3)=×=×=,所以ξ的分布列是:ξ0 1 2 3P 1534752275475(3)因为P(η=k)=,其中k=2,3,4, (20)所以==,当≥1,即k≤12+时,P(η=k+1)≥P(η=k); 当<1,即k>12+时,P(η=k+1)<P(η=k).即P(η=2)<P(η=3)<P(η=4)<…<P(η=13);P(η=13)>P(η=14)>P(η=15)>…>P(η=20).故有:P(η=k)取得最大值时k=13.。
高中数学同步练习 事件的独立性
第二章 2.2 2.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( A )A ．49 B ．29 C ．23D ．13[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P(A)＝23,B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”,则P(B)＝23.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×23＝49．2．张老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,他预估做对第一道题的概率是0.80,做对两道题的概率是0.60,则预估计做对第二道题的概率是( B )A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.48[解析] 设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”,A 1,A 2相互独立,由已知得：P(A 1)＝0.8,P(A 1A 2)＝0.6,由P(A 1A 2)＝P(A 1)·P (A 2)＝0.8P(A 2)＝0.6, 解得：P(A 2)＝0.60.8＝0.75．3．如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( B )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[解析] P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864．4．甲射手击中靶心的概率为13,乙射手击中靶心的概率为12,甲、乙两人各射一次,那么56等于( D )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率[解析] 设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A,则P(A)＝13×12＝16,甲、乙不全击中靶心的概率为P(A )＝1－P(A)＝56．5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A ．12B ．512C ．14D ．16[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512．6．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为( C ) A ．320 B ．42135 C ．47250D ．1735[解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝47250.故选C ． 二、填空题7．在某道路A 、B 、C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为__35192__．[解析] 由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为512、712、34． ∴所求概率P ＝512×712×34＝35192．8．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个,能配成A 型螺栓的概率为__35__．[解析] 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M,从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N,因事件M,N 相互独立,则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝160200×180240＝35．9．同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是__0.46__．[解析] 设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3),则P(A 1)＝0.8,P(A 2)＝0.6,P(A 3)＝0.5,且A 1,A 2,A 3相互独立,同学甲得分不低于300分对应事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生,故所求概率为P ＝P(A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46． 三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率．[解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧ P (A B )＝14，P (B C )＝112，P (AC )＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·[1－P (B )]＝14， ①P (B )·[1－P (C )]＝112， ②P (A )·P (C )＝29. ③由①、③得P(B)＝1－98P(C),代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0． 解得P(C)＝23或 119(舍去)．将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、P(B)＝14,即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23．(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件,则P(D)＝1－P(D )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为56．B 级 素养提升一、选择题1．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一个荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上,则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( A )A ．13B ．29C ．49D ．827[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为23,顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827,顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P＝P 1＋P 2＝827＋127＝13．2．甲、乙两人独立地解决同一个问题,甲能解决这个问题的概率是P 1,乙能解决这个问题的概率是P 2,那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )A ．P 1＋P 2B ．P 1P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[解析] 甲能解决这个问题的概率是P 1,乙能解决这个问题的概率是P 2, 则甲不能解决这个问题的概率是1－P 1,乙不能解决这个问题的概率是1－P 2,则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P 1)(1－P 2),则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P 1)(1－P 2),故选D ．二、填空题3．本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为__516__ ． [解析] 由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14．设甲,乙两人所付的租车费用相同为事件A, 则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516,即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516．4．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则公差d 的取值范围是__⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13__．[解析] 由条件知,⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1,∴P(ξ＝x 2)＝13,∵P(ξ＝x i )≥0,∴公差d 取值满足－13≤d≤13．三、解答题5．某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率． [解析] 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4),则P(A 1)＝0.6, P(A 2)＝0.4,P(A 3)＝0.5, P(A 4)＝0.2．(1)解法一：该选手被淘汰的概率：P ＝P(A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)＋P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976．解法二：P ＝1－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－P(A 1)P(A 2)P(A 3)·P(A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976．(2)解法一：P ＝P(A 1A2∪A 1A 2A3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)·P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576．解法二：P ＝1－P(A 1)－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576．6．甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则P(A)＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23, P(B)＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415． (2)解法一：因为事件A 、B 相互独立,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝P(A B )＋P(A B)＋P(AB)＝P(A)·P(B )＋P(A )·P(B)＋P(A)·P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．解法二：因为事件A 、B 相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A B )＝P(A )·P(B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1415＝145．所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P(A B )＝1－145＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．。
(完整版)事件的独立性练习题
巩固与提高（事件的独立性）A 组、选择题1若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是（A ）A. A 与 AB.A 与 BC. A 与 BD. A 与 B2、抛掷一颗骰子一次，记A 表示事件：出现偶数点，B 表示事件：出现3点或 6点，则事件A 与B 的关系。
（B ）A 、 相互互斥事件B 、 相互独立事件C 、 既相互互斥事件又相互独立事件D 、 既不互斥事件又不独立事件3、在下列命题中为假命题的是（B ）A. 概率为0的事件与任何事件都是互相独立的B. 互斥的两个事件一定不是相互独立的，同样互相独立的两个事件也一 定不是互斥的C. 必然事件与不可能事件是相互独立的D. 概率为1的事件与任何事件都是相互独立的1 1 4、甲乙丙射击命中目标的概率分别为 -、-、2 4一次，目标被设计中的概率是（C ）3、填空题5、某商场经理根据以往经验知道，有40%的客户在结账时会使用信用卡，则 连续三位顾客都使用信用卡的概率为 __________________ 0.0646、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为R ,P 2,P 3,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是 ______________________________ P|P 2 1 F 3 PP 3 1 F 2 F 2 F 3 1 P7、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为 0.8,乙射中的 概率为0.9，贝U 2人中至少有一人射中的概率是 _______ 0.98 三、解答题&甲•乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为 -、-、5 517），求: （1） 三人中有且只有两人及格的概率； （2） 三人中至少有一人不及格的概率。
解：设甲•乙、丙答题及格分别为事件 A 、B 、C ,则A 、B 、C 相互独立 （1）三人中有且只有2人及格的概率为2，现在三人射击一个目标各A. 丄 96B. 47 96C.21 32 D.P P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C4 37 4 3 7 437 1131 -1 -1 -5 5 10551055 10 250(2).三人中至少有一人不及格的概率为4 3 783 1 P ABC1 P A P B P C15 5 10125B 组.选择题2•假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1-P ,且各引擎是否有故障 是独立的，如有至少 50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若 使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P 的取值范围是（A ） 2 211A .-,1 B. 0,-C.丄，1D 0,丄3334二、 填空题3、 每门高射炮射击飞机的命中率为 0.6,至少要 ______ 门高射炮独立的对飞机 同时进行一次射击就可以使击中的概率超过 0.98. 54、 甲、乙两人同时应聘一个工作岗位，若甲、乙被应聘的概率分别为 0.5和 0.6两人被聘用是相互独立的，则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率 — ________________ 0.7 三、 解答题5、 设A 、B 为两个事件，若 P （A ）=0.4, p AUB 0.7,P B x ，试求满足下 列条件的X 的值： （1） A 与B 为互斥事件 （2） A 与B 为独立事件解：（1）因为A 与B 为互斥事件，所以AI B .故P AI B p AUB --P A -- P B =0.7--0.4—X,所以 X=0.3⑵.因为A 与B 为独立事件，所以P AI B = P A P B ，由此可得，p AUB = P A + P B -- P AI B = P A + P B -- P A P B ，即 0.7=0.4+X-0.4X 解得 X=0.51.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同则事件 A 发生的概率P （ A ）是（A ）A. B. C.18。
事件的独立性概率基础作业练习含答案解析高二数学北京海淀
课时提升作业十事件的独立性一、选择题(每小题5分,共25分)1.设A,B,C为三个随机事件,其中A与B互斥,B与C相互独立,则下列命题一定成立的是( )A.A与B相互独立B.A与C互斥C.B与C互斥D.与相互独立【解析】选D.注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别,前者指的是不可能同时发生的事件,后者指的是在两个事件中,一个事件是否发生对另一个事件没有影响.2.甲、乙二人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,两个人射中与否相互之间没有影响,那么其中恰有1人击中目标的概率是( )A.0.49B.0.42C.0.7D.0.91【解析】选B.由题意可知,两人恰有1人击中目标有两种情况:甲击中乙没击中或甲没击中乙击中,设“恰有1人击中目标”为事件A,则P(A)=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7=0.42.【补偿训练】打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.记“甲中靶”为事件A;“乙中靶”为事件B;“甲、乙同时中靶”为事件C.则P(C)=P(A·B)=P(A)·P(B)=×=.3.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 ( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B独立D.事件A与B既互斥又独立【解析】选C.因为P()=,所以P(A)=,又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B独立但不一定互斥.4.某校高一新生军训期间,经过两天的打靶训练,甲击中目标的概率为,乙击中目标的概率为(甲、乙两人射击是否击中目标相互不影响),甲、乙两人同时射击一目标且各射击一次,目标被击中的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.目标被击中的对立事件是两人都没击中,其概率为P=×=,所以目标被击中的概率为1-=.5.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( )A. B. C. D.【解题指南】“事件A,B中至少有一件发生”的对立事件是“事件A,B一个都不发生”,可据此用正难则反的方法计算所求概率.【解析】选C.根据题意,“事件A,B中至少有一件发生”与“事件A,B一个都不发生”互为对立事件,由古典概型的计算方法,可得P(A)=,P(B)=, 则P()==.则“事件A,B中至少有一件发生”的概率为1-=.【补偿训练】端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选B.因为甲、乙、丙回老家过节的概率分别为,,.所以他们不回老家过节的概率分别为,,.“至少有1人回老家过节”的对立事件是“没有人回老家过节”,所以至少有1人回老家过节的概率为P=1-××= .二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均向上的概率为,则抛掷这枚硬币三次,恰有两次正面向上的概率为__________.【解析】设抛掷这枚硬币一次,正面向上的概率为P.依题意P3=,所以P=.抛掷这枚硬币三次,恰有两次正面向上,一次正面向下的概率P=3×××=答案:7.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是__________.【解析】方法一:甲闹钟没准时响的概率为0.2,乙闹钟没准时响的概率为0.1,两闹钟同时没准时响的概率为0.2×0.1=0.02,故所求概率为1-0.02=0.98.方法二:两个闹钟至少有一个准时响有三种情况:甲准时响而乙没准时响,其概率为0.80×(1-0.90)=0.08;乙准时响而甲没准时响,其概率是(1-0.80)×0.90=0.18;甲、乙都准时响,其概率为0.80×0.90=0.72,故两个闹钟至少有一个准时响的概率为0.08+0.18+0.72=0.98.答案:0.988.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为,则灯亮的概率为__________.【解析】因为A,B断开且C,D至少有一个断开时,线路才断开,导致灯不亮,所以灯不亮的概率为P=P()·[1-P(CD)]=P()·P()·[1-P(CD)]=××=.所以灯亮的概率为1-=.答案:【拓展延伸】系统可靠性问题的求解策略由于该类问题常常与物理知识相联系,在考查知识纵向联系的同时,重点考查事件独立性的综合应用.求解时可先从系统的构造出发,分析所给的系统是单纯的串(并)联还是串并联混合体结构.(1)直接法:把所求的事件分成若干个互斥事件之和,根据互斥事件的概率公式求解.(2)间接法:当所涉及的事件较多,而其对立事件所涉及的事件较少时,可根据对立事件的概率公式求解.三、解答题(每小题10分,共20分)9.一个袋子中有4个球,其中2个白球,2个红球,讨论下列A,B事件的相互独立性与互斥性.(1)A:取一个球为红球,B:取出的红球放回后,再从中取一球为白球.(2)从袋中取2个球,A:取出的两球为一白球一红球;B:取出的两球中至少一个白球.【解析】(1)由于取出的红球放回,故事件A与B的发生互不影响,因此A与B相互独立.A,B能同时发生,不是互斥事件.(2)设两个白球为a,b,两个红球为1,2,则从袋中取2个球的所有取法为{a,b},{a,1},{a,2},{b,1},{b,2},{1,2}.则P(A)==,P(B)=,P(AB)=,因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互独立事件,事件A,B能同时发生,不是互斥事件.10.甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分(不计和棋),比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p(p>0.5),且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.若框图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S,T的程序框图.其中,如果甲获胜则输入a=1,b=0;如果乙获胜,则输入a=0,b=1.(1)在图中,第一、第二两个判断框应分别填写什么条件?(2)求p的值.(3)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列.【解析】(1)程序框图中的第一个条件框应填M=2,第二个应填n=6.(答案不唯一.如:第一个条件框填M>1,第二个条件框填n>5,或者第一、第二条件互换都可以).(2)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以有p2+(1-p)2=.解得p=或p=.因为p>0.5,所以p=.(3)依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)=·1=.所以随机变量ξ的分布列为:ξ 2 4 6P 592081。
高中数学(新人教A版)必修第二册同步习题：事件的相互独立性(同步习题)【含答案及解析】
10.2 事件的相互独立性基础过关练题组一 相互独立事件的判断1.(2020山西太原五中高一期末)下列各对事件中,A,B 是相互独立事件的是( )A.一枚硬币掷两次,A 表示“第一次为正面”,B 表示“第二次为反面”B.袋中有2个白球,2个黑球,除颜色外完全相同,不放回地摸球两次,每次摸出一球,A 表示“第一次摸到白球”,B 表示“第二次摸到白球”C.掷一枚质地均匀的骰子一次,A 表示“出现的点数为奇数”,B 表示“出现的点数为偶数”D.A 表示“一个灯泡能用1 000小时”,B 表示“一个灯泡能用2 000小时” 2.若P(AB)=19,P(A )=23,P(B)=13,则事件A 与B 的关系是( )A.事件A 与B 互斥B.事件A 与B 对立C.事件A 与B 相互独立D.事件A 与B 既互斥又独立3.(2020山东济南历城二中高一下检测)袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A 表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为B,“第二次摸到黑球”记为C,那么事件A 与B,A 与C 间的关系是 (深度解析)A.A 与B,A 与C 均相互独立B.A 与B 相互独立,A 与C 互斥C.A 与B,A 与C 均互斥D.A 与B 互斥,A 与C 相互独立4.已知A,B 是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)表示的是( ) A.事件A,B 同时发生的概率 B.事件A,B 至少有一个发生的概率 C.事件A,B 至多有一个发生的概率 D.事件A,B 都不发生的概率5.掷一枚骰子一次,记A 表示事件“出现偶数点”,B 表示事件“出现3点或6点”,则事件A 与B 的关系是( ) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.既互斥又相互独立事件 D.既不互斥又不相互独立事件 题组二 相互独立事件的概率计算6.若A,B 是相互独立事件,且P(A)=14,P(B)=23,则P(A B )=( )A.112B.16C.14D.127.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都不下雨的概率为( ) A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.428.(2020贵州贵阳一中高一期末)袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,这些球除颜色外完全相同,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为( ) A.14B.19C.13D.1279.如图所示,A,B,C 表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( )A.0.504B.0.994C.0.996D.0.96410.甲和乙两人各投篮一次,已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.6,则恰有一人投中的概率为( ) A.0.44 B.0.48 C.0.88 D.0.9811.某自助银行设有两台ATM 机,在某一时刻这两台ATM 机被占用的概率分别为13,12,则客户此刻到达需要等待的概率为 .12.在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每一场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为14,乙胜丙的概率为13.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率; (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.能力提升练题组相互独立事件的概率计算1.()甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A.34B.23C.35D.122.()同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为()甲乙A.116B.18C.316D.143.(2020福建福州第一中学高一期末,)某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛,现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响,现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则其中一名同学得2分的概率为()A.0.5B.0.48C.0.4D.0.324.(多选)(2020湖北武汉二中高一期末,)如图所示的电路中,5个盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是( )A.A,B 两个盒子串联后畅通的概率为13B.D,E 两个盒子并联后畅通的概率为130C.A,B,C 三个盒子混联后畅通的概率为56D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为29365.(2020广东执信中学高一月考,)一道数学竞赛试题,甲同学解出它的概率为12,乙同学解出它的概率为13,丙同学解出它的概率为14,由甲、乙、丙三人独立解答此题,则只有一人解出的概率为 . 6.()设甲、乙、丙三台机器是否需要被照顾相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要被照顾的概率为0.05,甲、丙都需要被照顾的概率为0.1,乙、丙都需要被照顾的概率为0.125,则甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被照顾的概率分别为 , , .深度解析7.(2020辽宁省实验中学高一月考,)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25,34,13,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行分析,求:(1)三人都合格的概率;(2)三人都不合格的概率;(3)出现几人合格的概率最大.深度解析8.()某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考三门课程,至少有两门及格为考试通过.方案二:在三门课程中随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:(1)该应聘者用方案一考试通过的概率;(2)该应聘者用方案二考试通过的概率.答案全解全析基础过关练1.A在A中,把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A中两事件是相互独立事件;在B中,显然事件A与事件B不相互独立;在C 中,A,B为互斥事件,不相互独立;在D中,事件B受事件A的影响,A不发生则B一定不发生,故事件A与事件B不相互独立.2.C∵P(A)=23,∴P(A)=1-P(A)=1-23=13,∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0,∴事件A与B相互独立且事件A与B不是互斥,也不是对立事件.3.A由于摸球是有放回的,所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故事件A与B,A与C均相互独立.因为A与B,A与C均有可能同时发生,所以A与B,A与C均不互斥,故选A.方法技巧互斥事件、对立事件、相互独立事件的关系:1.互斥事件A,B不可能同时发生,但可能同时不发生.2.对立事件必有一个发生一个不发生.对立事件A,B中,A+B为一个必然事件.3.两个相互独立的事件既可以同时发生,也可以同时不发生,或一个发生另一个不发生.相互独立事件A,B同时发生记作“A∩B”或“AB”(又称积事件).4.相互独立事件和互斥事件是两个不同的概念,它们之间没有直接关系.4.C由题意知,P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,故1-P(A)P(B)是指A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.5.B因为该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)=12,P(B)=13,P(AB)=16=12×13=P(A)P(B),所以A与B是相互独立事件.因为事件A与事件B包含一个共同事件:出现6点,所以事件A与事件B不互斥.故选B.6.A∵A,B是相互独立事件,∴A与B也是相互独立事件,∵P(A)=14,P(B)=23,∴P(A B)=P(A)·P(B)=14×(1-23)=112.故选A.7.D甲、乙两地都不下雨的概率为(1-0.3)×(1-0.4)=0.42.8.D有放回地抽取3次,每次可看作一个独立事件.每次取出的球为红球的概率为13,“3次全是红球”为三个独立事件同时发生,其概率为13×13×13=127.9.C由题意知,所求概率为1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.8)=1-0.004=0.996.10.A设事件A=“甲投中”,事件B=“乙投中”,则P(A)=0.8,P(B)=0.6,所以恰有一人投中的概率为P(A B+A B)=P(A B)+P(A B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8×0.4+0.2×0.6=0.44.11.答案 16解析 客户需要等待意味着这两台ATM 机同时被占用,故所求概率为13×12=16.12.解析 (1)甲队获第一名且丙队获第二名就是甲胜乙,甲胜丙且丙胜乙.各队比赛相互独立,设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A,则P(A)=13×14×(1-13)=118.(2)甲队至少得3分有两种情况:甲队两场只胜一场;甲队两场都胜.设事件B 为“甲队两场只胜一场”,事件C 为“甲队两场都胜”,则事件“甲队至少得3分”为B ∪C,所以P(B ∪C)=P(B)+P(C)=13×(1-14)+14×(1-13)+13×14=12.能力提升练1.A 甲队获得冠军包含两种情况:第一种,比赛1局,且甲赢,其概率P 1=12;第二种,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P 2=12×12=14.故甲队获得冠军的概率为P 1+P 2=34.2.C 满足xy=4的所有可能如下: x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=14×14+14×14+14×14=316. 3.B 设事件A=“第一次投进球”,B=“第二次投进球”,则得2分的概率P=P(A B )+P(A B)=0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4=0.48.4.ACD 由题意知,P(A)=12,P(B)=13,P(C)=14,P(D)=15,P(E)=16,所以A,B 两个盒子串联后畅通的概率为12×23=13,因此A 正确;D,E 两个盒子并联后畅通的概率为1-15×16=1-130=2930,因此B 错误;A,B,C 三个盒子混联后畅通的概率为1-23×14=1-16=56,C 正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为2930×56=2936,D 正确.故选ACD.5.答案1124解析 只有一人解出的概率P=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14=1124. 6.答案 0.2;0.25;0.5解析 记“机器甲需要被照顾”为事件A,“机器乙需要被照顾”为事件B,“机器丙需要被照顾”为事件C,由题意可知A,B,C 是相互独立事件.由题意得{P(AB)=P(A)P(B)=0.05,P(AC)=P(A)P(C)=0.1,P(BC)=P(B)P(C)=0.125,解得{P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(C)=0.5.所以甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5. 方法技巧对于相互独立事件的概率公式的逆用问题,仍按正向解决的原则进行解题,即可先设出一些未知量,再根据已知条件列出相应的方程(组),由方程(组)求出未知量的值,从而解决问题. 7.解析 设甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C 相互独立,且P(A)=25,P(B)=34,P(C)=13. 设恰有k 人合格的概率为P k (k=0,1,2,3). (1)三人都合格的概率为P 3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×34×13=110.(2)三人都不合格的概率为P 0=P(A B C )=P(A )P(B )P(C )=(1-25)×(1-34)×(1-13)=110. (3)恰有两人合格的概率为P 2=P(AB C )+P(A B C)+P(A BC)=25×34×(1-13)+25×(1-34)×13+(1-25)×34×13=2360.恰有一人合格的概率为 P 1=1-P 0-P 2-P 3=1-110-2360-110=2560=512. 综上可知,恰有一人合格的概率最大.知识补充已知A,B,C 是相互独立事件,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P(ABC )=P(A )·P(B )P(C ),P(A BC)=P(A )P(B)P(C),P(AB C)=P(A )P(B )P(C),其中P(A )=1-P(A),P(B )=1-P(B),P(C )=1-P(C).8.解析 记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9.(1)应聘者用方案一考试通过的概率 P 1=P(AB C )+P(A BC)+P(A B C)+P(ABC)=0.5×0.6×(1-0.9)+(1-0.5)×0.6×0.9+0.5×(1-0.6)×0.9+0.5×0.6×0.9=0.75.(2)应聘者用方案二考试通过的概率P2=13P(AB)+13P(BC)+13P(AC)=1 3×0.5×0.6+13×0.6×0.9+13×0.5×0.9=0.43.。
《事件的独立性》同步练习1
《事件的独立性》同步练习11．已知事件A 、B 发生的概率都大于零，则( ) A ．如果A 、B 是互斥事件，那么A 与B 也是互斥事件 B ．如果A 、B 不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件 C ．如果A 、B 是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件 D ．如果A ＋B 是必然事件，那么它们一定是对立事件2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A .35 B .34 C .1225 D .14253．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为( ) A ．p ＋q －2pq B ．p ＋q －pq C ．p ＋qD ．pq 4．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为( ) A .115 B .215 C .15D .1105．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为35，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为( ) A .36125 B .44125 C .54125 D .981256．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为 ( ) A ．0.12B ．0.88C ．0.28D ．0.427．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为( ) A .35 B .25 C .160D ．不确定8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A .512 B .12 C .712D .34参考答案1． 答案 C解析 相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因而它们不可能为互斥事件． 2． 答案 D解析 设“甲射击一次中靶”为事件A ，“乙射击一次中靶”为事件B ，则P (A )＝810＝45，P (B )＝710.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝45×710＝1425. 3． 答案 A 4． 答案 C解析 记“甲投篮1次投进”为事件A 1，“乙投篮1次投进”为事件A 2，“丙投篮1次投进”为事件A 3，“3人都没有投进”为事件A . 则P (A 1)＝13，P (A 2)＝25，P (A 3)＝12，P (A )＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3)＝[1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)]＝(1－13)(1－25)(1－12)＝15，故3人都没有投进的概率为15. 5． 答案 D解析 事件A ：“至多有两人选择去武侯祠游览”的对立事件为B ：“三人均选择去武侯祠游览”，其概率为P (B )＝(35)3＝27125，∴P (A )＝1－P (B )＝1－27125＝98125. 6． 答案 D解析 P ＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42. 7． 答案 A解析 P ＝1－(1－15)(1－13)(1－14)＝35.8． 答案 C解析 P (A ＋B )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB ) ＝12×56＋12×16＋12×16＝712，故选C .。
高考数学事件的相互独立性 同步练习
试卷第1页，共4页 10.2 事件的相互独立性一、单选题1．甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为（ ）A ．0.94B ．0.90C ．0.56D ．0.382．掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现的点数大于2”，B =“第二枚出现的点数小于6”，则A 与B 的关系为（ ）A ．互斥B ．互为对立C ．相互独立D ．相等3．为了全面落实双减政策，某中学根据学生身心特点开展了体育、艺术、阅读、劳动、手工五大主题的课后服务课程，学生可根据自己的兴趣爱好进行自主选择，有力促进了学生健康快乐的成长，已知学生甲、乙都选择了体育类的篮球，在一次篮球测试中，甲合格的概率为45，乙合格的概率为23，则甲、乙至少有一人合格的概率为（ ） A ．23 B ．715 C ．815 D ．14154．人类通常有O ，A ，B ，AB 四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的.设X 代表O ，A ，B ，AB 中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X →X ；②O →X ；③X →AB .已知我国O ，A ，B ，AB 四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为B 型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（ ）A ．0.31B ．0.48C ．0.52D ．0.655．甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是（ ）A ．730B ．715C ．760D ．1206．已知一次试验，事件A 与事件B 不能同时发生且A ，B 至少有一个发生，又事件A 与事件C 不能同时发生．若()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A C ⋃=（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.37．已知()(),P A P B 分别表示随机事件,A B 发生的概率，那么()1P A B -⋃是下列哪个事件的概率（ ）A ．事件,AB 同时发生试卷第2页，共4页B ．事件,A B 至少有一个发生C ．事件,A B 都不发生D ．事件,A B 至多有一个发生8．甲乙两同学进行罚球比赛，罚中得1分，罚丢不得分．已知甲乙两同学的罚球命中率分别为80%和70%，且两人的投篮结果相互独立．现甲乙两人各罚球一次，则两人得分相同的概率为（ ）A ．56%B ．62%C ．70%D ．80%二、多选题9．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（ ）A ．至多有1个白球；都是红球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ．恰好有1个白球；都是红球D ．至多有1个白球；全是白球 10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论错误的是（ ）A ．事件B 与事件C 是对立事件B ．事件A 与事件B 不是相互独立事件C ．()18P ABC =D ．()()()18P A P B P C ⋅⋅= 11．随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，开设了“陆地冰壶”、“陆地冰球”、“滑冰”、“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A =“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B =“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C =“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ）A ．A 与B 不是对立事件B ．A 与C 互斥 C ．B 与C 相互独立D ．A 与C 相互独立12．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A ，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B ，则下列结论中正确的是（ ）A ．事件A 与事件B 互为对立事件B ．事件A 与事件B 相互独立C ．()()2P B P A =D ．()()1P A P B +=三、填空题13．甲乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.则甲学校获得冠军的概率为__________.14．某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为34、23、12，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为______．（结果用最简分数表示）15．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人、二级射手8人、三级射手7人、四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9，0.7，0.5，0.2，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为__________．16．随着第二十四届冬奥会在北京和张家口成功举办，冬季运动项目在我国迅速发展．调查发现,A B两市擅长滑雪的人分别占全市人口的6%,5%，这两市的人口数之比为4:6．现从这两市随机选取一个人，则此人恰好擅长滑雪的概率为______四、解答题17．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为3 4，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为34，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为12．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．(1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．18．甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为2 5 ,3 4,13,且各自能否被选中互不影响．试卷第3页，共4页(1)求3人同时被选中的概率;(2)求3人中至少有1人被选中的概率．试卷第4页，共4页1．A2．C3．D4．D5．A6．A7．C8．B 9．AB10．ABC11．AD12．BCD 13．0.614．23 2415．0.645 16．0.05417．(1)11 16；(2)732.18．(1)1 10(2)910答案第1页，共1页答案第2页，共1页。
人教版高中数学必修第二册10.2 事件的相互独立性 一课一练 同步训练(含答案)
人教版高中数学必修第二册10.2事件的相互独立性一课一练同步训练(时间:45分钟分值:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙的考试成绩达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人的考试成绩互不影响,则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为()A.0.42B.0.28C.0.18D.0.122.分别抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第1枚硬币正面向上”为事件A,“第2枚硬币正面向上”为事件B,“2枚硬币向上的结果相同”为事件C,有下列三个判断:①事件A与事件B相互独立;②事件B与事件C相互独立;③事件C与事件A相互独立.以上判断中,正确的个数是()A.0B.1C.2D.33.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是13,12,23,则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为()A.19B.16C.13D.7184.甲盒中有200个螺杆,其中有160个A型的,乙盒中有240个螺母,其中有180个A型的.从甲盒中任取一个螺杆,从乙盒中任取一个螺母,则恰好可配成A型螺栓的概率为()A.120B.1516C.35D.19205.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是()A.29B.118C.13D.236.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数};事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数};C={两个四面体向下的一面或者同时出现奇数,或者同时出现偶数}.给出下列结论:①P(A)=12;②P(AB)=14;③P(ABC)=18.其中正确的结论个数为()A.0B.1C.2D.37.一个电路如图L10-2-1所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是12,且是否闭合是相互独立的,则灯亮的概率是()图L10-2-1A.5564B.164C.18D.9648.某射击爱好者射击一次命中目标的概率为p,已知他连续射击三次,每次射击的结果相互独立,则他至少有一次命中目标的概率为3764,则p的值为()A.14B.34C D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=13,P(B)=34,则P(AB)=.10.给出下列各组事件:①甲盒中有6个白球、4个黑球,乙盒中有3个白球、5个黑球,从甲盒中取出一个球称为甲试验,从乙盒中取出一个球称为乙试验,事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”,事件B1表示“从乙盒中取出的是白球”;②盒中有4个白球、3个黑球,从盒中有放回地取出两个球,事件A2表示“第一次取出的是白球”,事件B2表示“第二次取出的是白球”;③盒中有4个白球、3个黑球,从盒中不放回地取出两个球,事件A3表示“第一次取出的是白球”,事件B3表示“第二次取出的是白球”.其中组中事件为相互独立事件的是.(填序号)11.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,则此密码被破译的概率为.12.乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,甲发球得1分的概率为35,乙发球得1分的概率为23,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中,甲先发球,则开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)甲、乙两人在商场夹娃娃,两个人分别夹一次,其中甲夹中的概率为0.7,乙夹中的概率为0.5.求:(1)2人中恰有1人夹中娃娃的概率;(2)2人中至少有1人夹中娃娃的概率.14.(10分)眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在某年的国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得1分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为23,乙队中3人答对的概率分别为23,23,12,且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为0分、2分的概率;(2)求甲队得2分,乙队得1分的概率.15.(5分)甲、乙、丙三人分别独立地解一道题,甲做对的概率是12,三人都做对的概率是124,三人都做错的概率是14.则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为;甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.16.(15分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,若5次都没有通过,则需要重新报名).某驾校规定:前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.该驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为34,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为23.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元的概率.参考答案与解析1.D[解析]由题意知甲、乙的考试成绩未达到优秀的概率分别为0.4,0.3,由于两人的考试成绩互不影响,所以甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12,故选D. 2.D[解析]由题知P(A)=12,P(B)=12,P(C)=12,P(AB)=P(AC)=P(BC)=14,因为P(AB)=14=P(A)P(B),所以A,B相互独立;因为P(AC)=14=P(A)P(C),所以A,C相互独立;因为P(BC)=14=P(B)P(C),所以B,C相互独立.故选D.3.D[解析]设汽车在甲、乙、丙三处遇到绿灯分别为事件A,B,C,则P(A)=13,P(B)=12,P(C)=23.汽车在这三处共遇到两次绿灯即为事件 BC+A C+AB ,故所求概率为1-13×12×23+13×1-12×23+13×12×1-23=718.4.C[解析]依题意,在甲盒中取到A型螺杆的概率为160200=45,在乙盒中取到A型螺母的概率为180240=34,所以从甲盒中任取一个螺杆,从乙盒中任取一个螺母,则恰好可配成A型螺栓的概率为45×34=35,故选C.5.D[解析]由题意得P(A)P( )=P(B)P( ),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B).又P( )=19,所以P( )=P( )=13,所以P(A)=23.6.C[解析]由古典概型的概率公式知P(A)=24=12,则①正确;∵P(B)=24=12,事件A,B相互独立,∴P(AB)=12×12=14,则②正确;∵事件AB与事件C为互斥事件,∴P(ABC)=0,则③错误.故选C.7.A[解析]设“C闭合”为事件G,“D闭合”为事件H,“A与B中至少有一个不闭合”为事件T,“E与F中至少有一个不闭合”为事件R,则P(G)=P(H)=12,P(T)=P(R)=1-12×12=34,所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(G )P(H )=5564,故选A.8.A[解析]因为该人射击一次命中目标的概率为p,所以该人射击一次未命中目标的概率为1-p,因为每次射击的结果相互独立,所以该人三次都未命中目标的概率为(1-p)3,因为“连续射击三次,至少有一次命中目标”的对立事件为“三次都未命中目标”,所以连续射击三次,至少有一次命中目标的概率为1-(1-p)3=3764,解得p=14.故选A.9.14[解析]∵A ,B 是相互独立事件,且P (A )=13,P (B )=34,∴P (AB )=P (A )P (B )=13×34=14.10.①②[解析]①甲试验与乙试验是两个相互独立的试验.事件A 1和B 1是否发生,相互之间没有影响,故事件A 1与事件B 1是相互独立事件.②在有放回地取球过程中,事件A 2与B 2是否发生相互之间没有任何影响,所以它们是相互独立事件.③在不放回地取球过程中,事件A 3发生与否对事件B 3发生的概率产生了影响,因此,事件A 3与B 3不是相互独立事件.11.35[解析]用A ,B ,C 分别表示事件甲、乙、丙破译出密码,则P (A )=15,P (B )=13,P (C )=14,且P ( )=P ( )P ( )P ( )=45×23×34=25,所以此密码被译出的概率为1-25=35.12.2875[解析]比分为1比2的情况有三种:(1)甲第一次发球得分,甲第二次发球失分,乙第一次发球得分;(2)甲第一次发球失分,甲第二次发球得分,乙第一次发球得分;(3)甲第一次发球失分,甲第二次发球失分,乙第一次发球失分.所以所求概率为35×25×23+25×35×23+25×25×13=2875.13.解:记“甲夹1次,夹中娃娃”为事件A ,“乙夹1次,夹中娃娃”为事件B ,则A 与B , 与B ,A 与 , 与 为相互独立事件.(1)“2人各夹1次,恰有1人夹中娃娃”包括两种情况:一种是甲夹中、乙未夹中(事件A · 发生),另一种是甲未夹中、乙夹中(事件 ·B 发生)根据题意,事件A · 与 ·B 互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P (A ·B)+P (A ·B )=P (A )P (B )+P (A )P (B )=0.7×(1-0.5)+(1-0.7)×0.5=0.35+0.15=0.5.所以2人中恰有1人夹中娃娃的概率是0.5.(2)“2人中至少有1人夹中娃娃”与“2人都未夹中娃娃”为对立事件,2人都未夹中娃娃的概率是P (A·B )=P (A )P (B )=(1-0.7)(1-0.5)=0.15,∴“2人中至少有1人夹中娃娃”的概率P=1-P (A·B )=1-0.15=0.85.14.解:(1)记“甲队总得分为0分”为事件A ,“甲队总得分为2分”为事件B ,甲队总得分为0分,即甲队3人都回答错误,其概率P (A )=1-233=127;甲队总得分为2分,即甲队3人中有1人答错,其余2人答对,其概率P (B )=3×1-23=49.(2)记“乙队得1分”为事件C ,“甲队得2分,乙队得1分”为事件D ,乙队得1分,即乙队3人中有2人答错,其余1人答对,则P(C)=1-23×23×1-12+23×1-23×1-12+1-23×1-23×12=518,则P(D)=P(BC)=P(B)P(C)=49×518=1081.15.1,14或14,131124[解析]设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A,B,C,则P(A)=12,由题意得124,[1- ( )][1- ( )]=14,解得P(B)=13,P(C)=14或P(B)=14,P(C)=13,所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为13和14,或14和13.设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D,则P(D)=P(A)P( )P( )+P( )P(B)P( )+P( )P( )P(C)=1124,所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为1124.16.解:(1)设这对夫妻中,“丈夫在科目二考试中第i次通过”为事件A i,“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件B i(i=1,2,3,4,5),则P(A i)=34,P(B i)=23.设事件A=“丈夫在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费”,事件B=“妻子在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费”,事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.则P(A)=P(A1+ 1A2)=P(A1)+P( 1A2)=34+14×34=1516,P(B)=P(B1+ 1B2)=P(B1)+P( 1B2)=23+13×23=89,P(C)=P(AB)=1516×89=56.因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为56.(2)设事件D=“丈夫在本次报名中参加科目二考试需交补考费200元”,事件E=“妻子在本次报名中参加科目二考试需交补考费200元”,事件F=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元”,则P(D)=P( 1 2A3)=14×14×34=364,P(E)=P( 1 2B3)=13×13×23=227,P(F)=P(AE+DB)=P(A)P(E)+P(D)P(B)=1516×227+364×89=19.因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元的概率为19.。
新教材高中数学第七章概率4事件的独立性练习含解析北师大版必修第一册
§4 事件的独立性水平11．假设两个事件互斥，那么这两个事件相互独立．( )2．袋中有2白、3红共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M ：“第一次摸到白球〞，事件N ：“第二次摸到白球〞相互独立．( )3．袋中有2白、3红共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第一次摸到白球〞，事件N ：“第二次摸到红球〞相互独立．( )4．掷一枚骰子一次，事件A ：“出现偶数点〞，事件B ：“出现3点或6点〞，事件A 与B 相互独立．( )5．某学生在上学的路上要经过4个路口，在各路口是否遇到红灯是相互独立的．( )【解析】1.提示：×.因为两个事件互斥，所以二者不能同时发生，所以这两个事件不相互独立．2．√3．提示：×.不放回摸球，事件M 与N 不相互独立．4．提示：√.样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A ＝{2，4，6}，事件B ＝{3，6}，事件AB ＝{6}，所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B ).故事件A 与B 相互独立．当“出现6点〞时，事件A ，B 可以同时发生． 5．√·题组一 事件的独立性1．假设P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，那么事件A 与B 的关系是( )A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 互斥又独立【解析】P (A )＝1－P (A )＝1－23＝13，所以P (AB )＝P (A )P (B )＝19A 与B 相互独立，不是互斥、对立事件．选C.2．2021年起，山东省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，那么该考生“选择思想政治、化学〞和“选择生物、地理〞为( )A ．相互独立事件B ．对立事件C ．不是互斥事件D ．互斥事件但不是对立事件【解析】选D.由题意得，考生选择的两个考试科目可能为“思想政治、化学〞、“思想政治、历史〞、“思想政治、地理〞、“思想政治、生物〞、“历史、地理〞、“历史、化学〞、“历史、生物〞、“地理、化学〞、“地理、生物〞、“化学、生物〞，设这些选择构成的集合为Q ，令A ＝“思想政治、化学〞，B ＝“地理、生物〞，那么A ＋B ≠Q ，且A 和B 不能同时发生，P (AB )≠P (A )P (B )，A 和B 不相互独立．故该考生“选择思想政治、化学〞和“选择生物、地理〞是互斥事件但不是对立事件．3．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标〞，事件B ：“乙击中目标〞，那么事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．4．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 是“第一枚为正面〞，事件B 是“第二枚为正面〞，事件C 是“两枚结果相同〞，那么以下事件具有相互独立性的是________________．(填序号)①A ，B ；②A ，C ；③B ，C .【解析】根据事件相互独立性的定义判断，只要P (AB )＝P (A )P (B )，P (AC )＝P (A )P (C )，P (BC )＝P (B )P (C )成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，P (AB )＝0.25，P (AC )＝0.25，P (BCP (AB )＝P (A )P (B )，P (AC )＝P (A )P (C )，P (BC )＝P (B )P (C ).所以根据事件相互独立的定义，事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．答案：①②③5．如果一个家庭中有两个小孩，假定生男孩和生女孩的概率相等，事件A 记为“一个家庭中有2个男孩〞，事件B 记为“一个家庭中至少有一个男孩〞，那么事件A 与事件B ________．(填“相互独立〞或“不相互独立〞)【解析】P (A )＝14，P (B )＝34，P (AB )＝14，P (AB )≠P (A )P (B )，所以不相互独立．答案：不相互独立·题组二 相互独立事件同时发生的概率1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，假设两人同时射击，那么他们同时中靶的概率是( )A ．1425B ．1225C ．34D ．35【解析】选A.由题意可知，甲、乙同时中靶的概率为810×710＝1425.2．甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p 1，p 2，p 3，那么至少有一人解决这道题的概率是( )A ．p 1＋p 2＋p 3B ．1－(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3)C ．1－p 1p 2p 3D ．p 1p 2p 3【解析】选B.至少有一人解决这道题的对立事件是“没有人解决这道题〞即“三人均没有解出此题〞，此概率为(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3)，所以至少有一人解决这道题的概率是1－(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3).3．如下图，A ，B ，C 表示3个开关，假设在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( )【解析】选B.1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.4．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确答复以下问题者进入下一轮考试，否那么即被淘汰．某选手能正确答复第 一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确答复互不影响，那么该选手被淘汰的概率为________．【解析】该选手被淘汰的对立事件是该选手通过三轮考核，所以该选手被淘汰的概率为P ＝1－45×35×25＝101125.答案：101125易错点 “独立事件〞概率问题忽略“对立事件〞的应用某商场举行促销活动，凡购置一定价值的商品便可以获得两次抽奖时机．第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响．那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是________．【解析】因为两次抽奖中至少有一次中奖的对立事件是两次都不中奖，所以两次抽奖中至少有一次中奖的概率为P ＝1－(1－0.3)(1－0.5)＝0.65，答案：【易错误区】两次抽奖互不影响，说明两次抽奖的独立性，此题可以考虑“第一次中奖，第二次不中奖〞“第一次不中奖，第二次中奖〞“两次都中奖〞三种情况，但比拟繁琐，可考虑其对立事件．水平1、2限时30分钟 分值50分 战报得分______一、选择题(每题5分，共25分)1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸到白球〞，如果“第二次摸到白球〞记为B ，否那么记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 的关系是( )A ．A 与B ，A 与C 均相互独立B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立【解析】选A.由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A 与B ，A 与C 均相互独立，且A 与B ，A 与C 均有可能同时发生，说明A 与B ，A 与C 均不互斥．2．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，两站恰有一次准确预报的概率为( )【解析】选D.甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，两站恰有一次准确预报的概率为P ＝0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38.3．甲、乙两人进行飞镖比赛，规定命中6环以下(含6环)得2分，命中7环得4分，命中8环得5分，命中9环得6分，命中10环得10分(两人均会命中)，比赛三场，每场两人各投镖一次，累计得分最高者获胜．甲命中6环以下(含6环)的概率为13，命中7环的概率为14，命中8环的概率为16，命中9环的概率为16，命中10环的概率为112，乙命中各环对应的概率与甲相同，且甲、乙比赛互不干扰．假设第一场比赛甲得2分，乙得4分，第二场比赛甲、乙均得5分，那么三场比赛结束时，乙获胜的概率为( )A ．83144B ．1116C ．12D ．718【解析】选B.由题意，假设三场比赛结束时，乙获胜，那么第三场比赛乙至多落后甲1分，当甲、乙都得2分时，乙获胜，概率为P 1＝13×13＝19；当乙得4分时，那么甲至多得5分，乙获胜，概率为P 2＝14⎝⎛⎭⎫13＋14＋16＝316； 当乙得5分时，那么甲至多得6分，乙获胜，概率为P 3＝16⎝⎛⎭⎫13＋14＋16＋16＝1172； 当乙得6分时，那么甲至多得6分，乙获胜，概率为P 4＝16⎝⎛⎭⎫13＋14＋16＋16＝1172；当乙得10分时，乙获胜，概率为P 5＝112×1＝112；故乙获胜的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＋P 4＋P 5＝1116.4．甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为13，12，那么密码被破译的概率为( )A ．16B ．23C ．56D ．1【解析】选B.甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A 表示甲能破译密码，事件B 表示乙能破译密码，那么P (A )＝13，P (B )＝12，密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，所以密码被破译的概率为P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－12＝23.5．某射击运发动射击一次命中目标的概率为p ，他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率为3764，那么p 为( )A ．14B ．34C ．338D ．378【解析】选A.由题意可得，独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率为1－(1－p )3＝3764，解得p ＝14.二、填空题(每题5分，共15分)6．在新型冠状病毒爆发期间，前期主要是通过对疑似病例的血液标本或呼吸道标本进行荧光RT －PCR 检查，只要有一次检测显示为新型冠状核酸阳性，那么判断该疑似病例为确诊病例．检测标本中即使含有新型冠状病毒，一次荧光RT －PCR 检查结果为阳性的概率也只有34 ，故需要对疑似病例屡次采集标本进行检测．现对某确诊病例先后采集3次标本进行荧光RT －PCR 检查，假设每次检查是否为新型冠状核酸阳性相互独立，那么3次检查结果中至少有1次为阳性的概率为________．【解析】检测标本中即使含有新型冠状病毒，一次荧光RT －PCR 检查结果为阳性的概率也只有34，现对某确诊病例先后采集3次标本进行荧光RT －PCR 检查，假设每次检查是否为新型冠状核酸阳性相互独立，那么3次检查结果中至少有1次为阳性的概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫143＝6364. 答案：63647．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，那么事件A 发生的概率是________．【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧[1－P 〔A 〕][1－P 〔B 〕]＝19，P 〔A 〕[1－P 〔B 〕]＝[1－P 〔A 〕]P 〔B 〕，解得P (A )＝P (B )＝23.答案：238．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，那么三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．【解析】由题意可知三人都达标的概率P ＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率P ′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.答案：三、解答题9．(10分)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．【解析】(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A ，那么P (A )＝13×14×⎝⎛⎭⎫1－13＝118. (2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B 为“甲两场只胜一场〞，设事件C 为“甲两场都胜〞，那么事件“甲队至少得3分〞为B ＋C ，那么P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝13×⎝⎛⎭⎫1－14＋14×⎝⎛⎭⎫1－13＋13×14＝512＋112＝12. 在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．【解析】记“甲气象台预报天气准确〞为事件A ，“乙气象台预报天气准确〞为事件B .(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－15×14＝1920.。
事件的独立性习题课共35页文档
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31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
事件的独立性习题课
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
高中数学人教B版必修第二册《5.3.5 随机事件的独立性》练习题(1)
人教B版必修第二册《5.3.5 随机事件的独立性》练习题(1)一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1.在下列结论中，正确的是()A. 若A与B是两互斥事件，则A+B是必然事件．B. 若A与B是对立事件，则A+B是必然事件．C. 若A与B是互斥事件，则A+B是不可能事件．D. 若A与B是对立事件，则A+B不可能是必然事件．2.在[−8,8]上任取一个实数a，则函数f(x)=x2−6|x|+5−a在[−7,7]上恰有4个零点的概率为()A. 316B. 12C. 916D. 343.将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是()A. 18B. 16C. 14D. 124.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为：A. B. C. D.5.某商场在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是920，连续两天顾客量超过1万人次的概率是720，已知商场在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次，则随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是()A. 710B. 910C. 45D. 796.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是A. 恰有1名男生与恰有2名女生B. 至少有1名男生与全是男生C. 至少有1名男生与至少有1名女生D. 至少有1名男生与全是女生7. 某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关(若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会)，然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为12，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是( )A. 316B. 332C. 532D. 116二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 8.已知甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是、、，则三人中至少有一人达标的概率是 ． 9.一种报警器的可靠性为90%，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到______ ．10. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110为了判断爱好该项运动是否与性别有关，由表中的数据此算得，因为，所以判定爱好该项运动与性别有关，那么这种判断出错的可能性为11. 已知A ，B 是相互独立事件，且P(A)=14，P(B)=23，则P(AB)=______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）12. 有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：⑴第一次抽到次品的概率；⑴第一次和第二次都抽到次品的概率；⑴在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．13. 某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的1000名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取45名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课余参加体育锻炼时间的情况分三类：A 类(课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时)，B 类(课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过3小时)，C 类(课余不参加体育锻炼)，调查结果如表：(1)求出表中x 、y 的值；(2)根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关；(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选取三人中男女都有且男生比女生多的概率． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)14. 甲乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会(每人抢答机会均等)，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，13，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；(2)用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望； (3)求两队得分之和大于4的概率．15. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)已知甲船上有男女乘客各3名，现从中任选3人出来做某件事情，求所选出的人中恰有一位女乘客的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．16. 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得−1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其它不知道随意连线，将他的得分记作ξ．(1)求该观众得分ξ为负数的概率；(2)求ξ的分布列及数学期望．【答案与解析】1.答案：B解析：本题正确理解必然事件、互斥事件的定义与对立事件的定义及其关系是解题的关键，属于中档题． 解：由对立事件的定义可知：若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，则事件A ，B 互为对立事件．可知B 正确． 故选B ．2.答案：C解析：解：设g(x)=x 2−6|x|+5={x 2−6x +5,x ≥0x 2+6x +5,x <0，∴g(x)min =g(3)=−4，g(0)=5，g(7)=2，∵函数f(x)=x 2−6|x|+5−a 在[−7,7]上恰有4个零点， ∴−4<a <5，∴在[−8,8]上任取一个实数a ，则函数f(x)=x 2−6|x|+5−a 在[−7,7]上恰有4个零点的概率为： p =5−(−4)8−(−8)=916． 故选：C ．设g(x)=x 2−6|x|+5，求出g(x)min =g(3)=−4，g(0)=5，g(7)=2，由函数f(x)=x 2−6|x|+5−a 在[−7,7]上恰有4个零点，得−4<a <5，由此能求出在[−8,8]上任取一个实数a ，则函数f(x)=x 2−6|x|+5−a 在[−7,7]上恰有4个零点的概率．本题考查概率的求法，考查函数性质、零点、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：B解析：解：将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中， 这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回， 再随机摸出一球，基本事件总数n =4×3=12，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”包含的基本事件个数m =C 21C 11=2，∴两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是p=mn =212=16．故选：B．先求出基本事件总数n=4×3=12，再求出两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”包含的基本事件个数m=C21C11=2，由此能求出两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：A解析：试题分析：目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为考点：互斥事件点评：主要是考查了互斥事件的概率的加法公式的运用，属于基础题。
2011-2012学年高二数学2.2.2事件的独立性同步练习(人教B版2-3)
2.2.2事件的独立性基础巩固组(30分钟 50分)一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列事件E、F是独立事件的是( )(A)一枚硬币掷两次，E＝“第一次为正面”，F＝“第二次为反面”(B)袋中有3个红球，2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，E＝“恰有一个白球”，F＝“恰有2个白球”(C)掷一枚骰子，E＝“出现点数为奇数”，F＝“出现点数为偶数”(D)事件E＝“人能活到20岁”，F＝“人能活到50岁”2. 袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是( )(A)互斥事件 (B)相互独立事件(C)对立事件 (D)不相互独立事件3. 打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们同时中靶的概率是( )(A)1425(B)1225(C)34(D)354. 在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为( )(A)0.998 (B)0.046 (C)0.002 (D)0.954二、填空题（每题5分，共10分）5. 甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8,乙击中目标的概率是0.6,则目标被击中的概率是________.6. 事件A,B,C相互独立，若P(A·B)=16,P(B·C)=18,P(A·B·C)=18,则P(B)=__.三、解答题（每题10分，共20分）7. 要生产一种产品，甲机床的废品率是0.04,乙机床的废品率是0.05,从生产的产品中各任取一件，求：（1）至少有一件废品的概率；（2）恰有一件废品的概率；（3）无废品的概率；（4）至多有一件废品的概率.8. 某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,问一次考试中该生（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？能力提升组(30分钟 30分)1.（5分）有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p（0<p<1），假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )(A)(1-p)n (B)1-p n(C)p n (D)1-(1-p)n2.（5分）从甲口袋中摸出1个白球的概率是13，从乙口袋中摸出1个白球的概率是12，从两个口袋中各摸出1个球，那么56等于( )(A)2个球都是白球的概率(B)2个球都不是白球的概率(C)2个球不都是白球的概率(D)2个球恰好有1个是白球的概率3.（5分）一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为______.4.（5分）如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为_____.5.（10分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话.答案解析基础巩固组1. 独具【解题提示】判断两个事件E、F是否独立的关键是看事件E的发生对事件F发生的概率有没有影响，若有影响则E与F不独立，否则独立.【解析】选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故E 与F是独立事件；B中E、F是两个互斥事件；对于C，其结果不可能同时发生，E、F应为互斥事件；D是条件概率，事件F受事件E的影响.2.【解析】选D.由于第一次摸到白球会影响到第二次摸到白球的概率，所以A、B不是相互独立事件，也不是互斥事件.独具【举一反三】本题中的“不放回”改为“有放回”，则A与B是( )(A)互斥事件 (B)相互独立事件(C)对立事件 (D)不相互独立事件【解析】选B.由于是有放回摸球，所以第一次摸到白球不会影响到第二次摸到白球，是相互独立事件.3.【解析】选A.甲中靶的概率是0.8,乙中靶的概率为0.7,则P=0.8×0.7=0.56=1425. 4.【解析】选D.目标被摧毁分为四种情形，三种情形是只有两枚导弹命中目标（如第一二，第一三，第二三枚导弹命中目标），还有一种情形是三枚导弹都命中目标，那么： P=0.9×0.9×(1-0.8)+0.9×(1-0.9)×0.8+(1-0.9)×0.9×0.8+0.9×0.9×0.8=0.162+0.072+0.072+0.648=0.954.5.【解析】两人都没有击中目标的概率是P 1=(1-0.8)×(1-0.6)=0.08,所以目标被击中的概率是：P=1-P 1=1-0.08=0.92.答案：0.926.独具【解题提示】建立关于P （A ），P （B ），P （C ）的方程组求解.【解析】由条件可得方程组()()()()()()()()()()1P A P B 6111P B P C ,P B .821P A P B 1P C 8⎧=⎪⎪⎪-==⎨⎪⎪-=⎪⎩解此方程组得 答案：127.【解析】（1）P 1=1-(1-0.04)×(1-0.05)=1-0.912=0.088;(2)P 2=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.038+0.048=0.086;(3)P 3=(1-0.04)×(1-0.05)=0.912;(4)P 4=P 2+P 3=0.086+0.912=0.998.独具【规律方法】巧用“正难则反”的思想解题在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少……”、“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式求得原来事件的概率.这是“正难则反”思想的具体体现.8.【解析】分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C ，则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85,()()()()()1P ABC P A P B P C ==[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003,即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++++＝ ()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329,即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.能力提升组1.【解析】选D.所有同学都未通过的概率为(1-p)n ，则至少有一位同学通过的概率为1-(1-p)n ，故选D.2.【解析】选C.2个球都是白球的概率P=111326⨯=,其对立事件的概率值为15166-＝，事件为2个球不都是白球，故选C.独具【举一反三】本题条件不变，那么13等于( ) 【解析】选B.两个球都不是白球的概率为11211P (1)(1)32323=--=⨯=,故选B. 3.【解析】产品是正品，则在加工产品时，两道工序都应该是正品，所以P=(1-a)(1-b).答案：(1-a)(1-b)4.独具【解题提示】解答本题的关键是先考虑灯不亮的概率，然后再利用对立事件的概率计算公式即可求得相应的概率.【解析】记A 、B 、C 、D 这4个开关闭合分别为事件A 、B 、C 、D ，又记A 与B 至少有一个不闭合为事件E,则()()()()3P E P AB P AB P AB ,4=++=则灯亮的概率为()()()()313P 1P ECD 1P E P C P D 1.1616=-=-=-= 答案：13165.【解析】设A i ＝{第i 次拨号接通电话},i ＝1，2，3 （1）第3次才接通电话可表示为12A A A 3于是所求概率为1239811P(A A A );109810=⨯⨯=即第3次拨号才接通电话的概率是0.1;(2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：112123A A A A A A ++于是所求概率为 ()211212311213P(A A A A A A )P A P(A A P(A A A )++=++）=1919813.10109109810+⨯+⨯⨯=即拨号不超过3次而接通电话的概率是0.3.高)考﹥试:题﹤库。
《事件的相互独立性》同步练习1 新人教B版必修2-3
事件的相互独立性一、选择题1．已知{}{}{}123013412a b R ∈-∈∈，，，，，，，，，则方程222()()x a y b R -++=所表示的不同的圆的个数有（ ）Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9答案：Ａ2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有（ ） Ａ．48种 Ｂ．36种 Ｃ．6种 Ｄ．3种答案：Ｄ3．41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是（ ）Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项答案：Ｂ4．从标有1，2，3，…，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数的概率为（ ） Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118答案：Ｃ5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ） Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59答案：Ｄ6．正态总体的概率密度函数为2()8()x x f x -∈=R ，则总体的平均数和标准差分别为（ ）Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2答案：Ｄ7．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是(12)(23)(34)(45)A B C D ，，，，，，，，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）Ａ．1y x=+Ｂ．2y x=+Ｃ．21y x=+Ｄ．1y x=-答案：Ａ8．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20答案：Ｃ9．若随机变量η的分布列如下：则当()0.8P xη<=时，实数x的取值范围是（）Ａ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2答案：Ｃ10．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数为（）Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8答案：Ａ11．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为（）Ａ．13Ｂ．25Ｃ．56Ｄ．23答案：Ａ12．已知随机变量1~95Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P kξ=取得最大值的k值为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：Ａ二、填空题13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种．答案：8014．已知平面上有20个不同的点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这20个点中的每两个点可以连 条直线．答案：17015．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．答案：①③16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 （以数值作答）． 答案：1363三、解答题17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44256=种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有24C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：12124432144C C C A =···种．（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.（4）先从四个盒子中任意拿走两个有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ·种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有31342414C C C +=·种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：241484C =·种．18．求25(1)(1)x x +-的展开式中3x 的系数．解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.252232423(1)(1)(1)(1)(12)(133)x x x x x x x x x +-=--=-+-+-．所以3x 是由第一个括号内的1与第二括号内的3x -的相乘和第一个括号内的22x -与第二个括号内的3x -相乘后再相加而得到，故3x 的系数为1(1)(2)(3)5⨯-+-⨯-=．解法二：利用通项公式，因2(1)x +的通项公式为12rr r T C x +=·，5(1)x -的通项公式为15(1)k k k k T C x +=-·，其中{}{}012012345r k ∈∈，，，，，，，，，令3k r +=， 则12k r =⎧⎨=⎩，，或21k r =⎧⎨=⎩，，或30k r =⎧⎨=⎩，．故3x 的系数为112352555C C C C -+-=·．19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人的调查结果如下：根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？解：由公式得2540(6020026020)32022080460k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 2540(120005200)24969609.6382590720000259072⨯-==≈．9.6387.879>∵，∴我们有99.5%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病.20．一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概率； （2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．解：记一个病人服用该药痊愈率为事件A ，且其概率为p ，那么10个病人服用该药相当于10次独立重复实验.(1) 因新药有效且p =0.35，故由n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式知，实验被否定（即新药无效）的概率为：0010119223371010101010101010(0)(1)(2)(3)(1)(1)(1)(1)0.514x P P P P C p p C p p C p p C p p +++=-+-+-+-≈．（2）因新药无效，故p =0.25，实验被认为有效的概率为： 10101010101010(4)(5)(10)1((0)(1)(2)(3))0.224P P P P P P P +++=-+++≈．即新药有效，但被否定的概率约为0.514； 新药无效，但被认为有效的概率约为0.224.21．A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是12B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为ξη，．(1)求ξη，的概率分布列； (2)求E ξ，E η．解：（1）ξη，的可能取值分别为3，2，1，0．2228(3)35575P ξ==⨯⨯=；22312223228(2)35535535575P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；2331231322(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；1333(0)35525P ξ==⨯⨯=．由题意知3ξη+=，所以8(0)(3)75P P ηξ====； 28(1)(2)75P P ηξ====； 2(2)(1)5P P ηξ====； 3(3)(0)25P P ηξ====． ξ的分布列为η的分布列为（2）82823223210757552515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为3ξη+=，所以23315E E ηξ=-=．22．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门完成下列要求：（1）计算x 与y 的相关系数；（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验； （3）设回归直线方程为y bx a =+，求系数a ，b ．解：利用回归分析检验的步骤，先求相关系数，再确定0.05r ． (1)制表0.808r=≈．即x与Y的相关关系0.808r≈．（2）因为0.75r>．所以x与Y之间具有很强的线性相关关系．（3）1329381077.7165.70.398709031077.7b-⨯⨯=≈-⨯，165.70.39877.7134.9a=-⨯=．一、选择题1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（）Ａ．4种Ｂ．6种Ｃ．8种Ｄ．10种答案：Ｃ2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（）Ａ．225()AＢ．225()CＣ．22254()C A·Ｄ．22252()C A·答案：Ｄ3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T ，则这样的集合T 共有（ ）Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个答案：Ｃ4．342(1)(1)(1)n x x x +++++++的展开式中2x 的系数是（ ）Ａ．33n C +Ｂ．32n C +Ｃ．321n C +- Ｄ．331n C +-答案：Ｄ5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ） Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1答案：Ｂ6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285答案：Ａ7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于（ ）Ａ．13 Ｂ．118 Ｃ．16 Ｄ．19答案：Ｃ8．在一次智力竞赛的“风险选答”环节中，一共为选手准备了A ，B ，C 三类不同的题目，选手每答对一个A 类、B 类、C 类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A 类、B 类、C 类题目的概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分的期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样答案：Ｂ9．已知ξ的分布列如下：并且23ηξ=+，则方差D η=（ ） Ａ．17936Ｂ．14336Ｃ．29972Ｄ．22772答案：Ａ10．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4答案：Ａ11．已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的回归方程必经过（ ） Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5)答案：Ｃ12．对于2()P K k ≥，当 2.706k >时，就约有的把握认为“x 与y 有关系”（ ） Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90%答案：Ｄ二、填空题13．92x⎛⎝的展开式中，常数项为 （用数字作答）．答案：67214．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表示）． 答案：11919015．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．答案：乙16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有 对异面直线．答案：15，45三、解答题17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？解：由于张数不限，2张2，3张A 可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有55A 种方法；（2）2张2一起出，3张A 一起出，有25A 种方法； （3）2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法；（4）2张2一起出，3张A 分两次出，有2335C A 种方法；（5）2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法；（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有2435C A 种方法；因此共有不同的出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A +++++=种．18．已知数列{}n a 的通项n a 是二项式(1)n x +与2(1n 的展开式中所有x 的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项及前n 项和n S ．解：按(1)n x +及2(1n 两个展开式的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当2(1n (1)n x +的x 的次数相比较．由0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++，132120242213212222222222(1()()n nnnn n n nnnnnC C x C x C x C x C x Cx--+=++++++++可得00122422222()()()()n nn n n n n n n n n a C C C C C C C C =++++++++01202422222()()n nn n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++2122n n -=+，2122n n n a -=+∵，∴222462112(222)(22222(21)(41)223nn nn n S =++++++++=-+⨯-122112122(21)(2328)33n n n n +++=-+-=+-·，2111(2328)3n n n S ++=-∴·．19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖． (1)求各会员获奖的概率；(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为11116636P =+=； 抽两次得标号之和为11或10的概率为2536P =， 故各会员获奖的概率为1215136366P P P =+=+=． （2）由1530(30)(70)300363636E a ξ=-⨯+-⨯+⨯≥， 得580a ≤元．所以a 最多可设为580元．20试分析新药对防治猪白痢是否有效？解：由公式计算得2288(1012038129)8.65813914923058k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于8.658 6.635>，故可以有99%的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？ (2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．解：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是14，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是 11246x yC C xy C =·，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是14624xy xy P ==·，即甲获胜的概率为24xy P =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2126x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大.(2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.212221441(0)12C C P C C ξ===·，1112122222212144445(1)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，2111122222212144445(2)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，212221441(3)12C C P C C ξ===·，所以取出的3个球中红球个数的期望：15510123 1.512121212E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．22．规定(1)(1)mx A x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且01x A =，这是排列数mnA (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．（1）求315A -的值；（2）排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=，②11m m m n n n A mA A -++= (其中m ，n 是正整数)．是否都能推广到m x A (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；（3）确定函数3x A 的单调区间．解：（1）315(15)(16)(17)4080A -=-⨯-⨯-=-；（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①11m m x x A xA --=，②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，．事实上，在①中，当1m =时，左边1x A x ==，右边01x xA x -==，等式成立；在②中，当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+=(1)(2)(2)[(1)]x x x x m x m m ---+-++1(1)(1)(2)[(1)1]m x x x x x x m A +=+--+-+==右边，因此②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，成立．（3）先求导数，得32()362x A x x '=-+．令23620x x -+>，解得x <或x >因此，当x ⎛∈- ⎝⎭∞时，函数为增函数，当x ⎫∈+⎪⎪⎝⎭∞时，函数也为增函数，令23620x x -+≤x因此，当x ∈⎣⎦时，函数为减函数，∴函数3x A 的增区间为⎛- ⎝⎭∞，⎫+⎪⎪⎝⎭∞；减区间为⎣⎦．。
高中试卷-10.2 事件的相互独立性 同步练习(Word版含解析)(含答案)
事件的相互独立性习题1.若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是( )A.A与AB.A与BC.A与BD.A与B2.若1()9P AB=，2()3P A=，1()3P B=，则事件A与B的关系是( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立3.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( )A.23B.13C.49D.194.某校组织《最强大脑》PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )A.827B.49C.1627D.20275.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.456.出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是13，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为( )A.124B.724C.79D.1277.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4.若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为( )A.0.28B.0.12C.0.42D.0.168.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是( )A.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件A={一个家庭中既有男孩又有女孩}，事件B={一个家庭中最多有一个女孩}D.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”9.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关中每一次的过关率为23，第二关中每一次的过关率为34，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一名选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为( )A.12B.23C.56D.11210.为了提高出行效率，避免打车困难的情况，越来越多的人选择乘坐网约车.已知甲、乙、丙三人某天早上上班通过某平台打车的概率分别为112,,235，且三人互不影响，那么甲、乙、丙3人中至少有2人通过该平台打车的概率为( )A.13B.25C.310D.113011.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.12.设某批电子手表的正品率为23，次品率为13，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为___________. 13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是______.14.为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出3个问题，即停止答题，晋级下一轮．假定某选手正确回答每个问题的概率都是23，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于_______________.15.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.答案解析1.答案：A解析：Q 若A 与B 相互独立，A \与B ，B 与A ，A 与B 都是相互独立事件，A 是A 的对立事件，A 与A 是互斥事件.2.答案：C解析：因为21()1(133P A P A =-=-=，而1()3P B =，所以1()()9P A P B =.又因为1()9P AB =，所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与B 相互独立.又因为1()()09P A P B =¹，所以事件A 和B 不是互斥或对立事件.故选C.3.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ì=ïíï-=-î解得2,323x y ì=ïïíï=ïî或2,323x y ì=-ïïíï=-ïî（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.4.答案：C解析：比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分包含三种情况：①A 全胜；②第一局A 胜，第二局B 胜，第三局A 胜；③第一局B 胜，第二局A 胜，第三局A 胜.所以比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率3221212216333333327P æö=+´´+´´=ç÷èø.故选C.5.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-´=.故选C.6.答案：B解析：因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是12133-=，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为221433327´´=.故选B.7.答案：B解析：甲、乙两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率(10.7)0.40.12P =-´=.故选B.8.答案：C解析：A 选项，根据独立事件的定义，M ，N 是相互独立事件.B 选项，由于抽取方法是“有放回”，所以M ，N 是相互独立事件.C 选项，11111()1122222P M æöæö=´-+-´=ç÷ç÷èøèø，2113()224P N æö=+=ç÷èø，1()2P MN =，()()()P MN P M P N ¹×，所以M ，N 不是相互独立事件.D 选项，M ，N 的发生与否互不影响，是相互独立事件.故选：C.9.答案：C解析：设i A 表示“第i 次通过第一关”，i B 表示“第i 次通过第二关”，其中1i =，2.由题意，知选手能进入第三关的事件111211121212D A B A A B A B B A A B B =+++，所以()111211121212()P D P A B A A B A B B A A B B =+++=23123213121353433434433446´+´´+´´+´´´=.故选C.10.答案：D解析：记甲、乙、丙通过该平台打车分别为事件,,A B C ，则112(),(),()235P A P B P C ===，所以甲、乙、丙3人中至少有2人通过该平台打车的概率()()()()P P A B C P A B C P A B C P A B C =××+××+××+××=()()(()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ××+××+××+112112()()()11235235P A P B P C æöæö××=´´-+´-´+ç÷ç÷èøèø11211211123523530æö-´´+´´=ç÷èø.11.答案：0.009解析：由相互独立事件的概率计算公式，三人向目标各发枪一次，目标没有被击中的概率为：(10.7)(10.8)(10.85)0.30.20.150.009P =-´-´-=´´=.12.答案：427解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为221433327´´=.13.答案：0.18解析：前五场中有一场客场输时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108´´´=，前五场中有一场主场输时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072´´´=，综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18P =+=.14.答案：1681解析：根据题意，若该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，则必有第2个问题回答错误，3，4，5个问题回答正确，第1个问题可对可错，故所求概率为3112813381P æö=´´=ç÷èø，回答了6个问题就晋级下一轮，则第4，5，6个问题回答正确，第3个问题回答错误，前2个问题可对可错，故所求概率为32128113381P æö=´´´=ç÷èø，故该选手至少回答了5个问题晋级下一轮，121681P P +=.15.答案：(1)概率为0.398.(2)概率为0.994.解析：(1)用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则()0.8,()0.7,()0.9P A P B P C ===，所以(0.2,()0.3,(0.1P A P B P C ===.由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为1()()(P P ABC P ABC P ABC =++(()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+×+0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398=´´+´´+´´=.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为21()1()()(10.20.30.10.994P P ABC P A P B P C =-=-×=-´´=.。
高三数学选修2-3(B版)_《事件的独立性》同步练习
2.2.2事件的独立性一、选择题1．生产某零件要经过两道工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.03，则该零件的次品率是（）A．0.13 B．0.03 C．0.127 D．0.8732．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A.1320 B.15 C.14 D.253．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是（）A.38 B.35 C.25 D.154. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。
当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作。
已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5765．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0＜p ＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（）A．(1－p)n B．1－p nC．p n D．1－(1－p)n二、填空题6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________。
7．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是______。
8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________。
三、解答题9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分。
高中试卷-【新教材精创】10.2 事件的相互独立性 练习(1)(含答案)
10.2 事件的相互独立性一、选择题1．下列事件A ,B 是独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B ．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D ．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】对于A 选项，,A B 两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B 选项，A 事件发生时，影响到B 事件，故不是相互独立事件.对于C 选项，由于投的是一个骰子，,A B 是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D 选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故,A B 不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.2．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A ．0.28B ．0.12C ．0.42D ．0.16【答案】B【解析】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.30.40.12⨯=．选B.3．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）A ．34B ．23C ．57D ．512【答案】D 【解析】设甲、乙获一等奖的概率分别是23(),()34P A P B ==，不获一等奖的概率是2131(1,()13344P A P B =-==-=，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：13215(()(()()()(343412P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+=⨯+⨯=。
4．甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．12【答案】A【解析】甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场输且第二场赢.甲第一场赢的概率为12，甲第一场输第二场赢的概率为1111224æö⨯-=ç÷èø.故甲赢得冠军的概率为311244+=.故选A.5．（多选题）下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )A ．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D ．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】在A 中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B 中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C 中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D 中,设“至少有1人射中目标”为事件A ,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ,则AB B =,因此当()1P A ¹时,()()()P AB P A P B ¹×,故A ､B 不独立,6．（多选题）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（）A ．23()30P B =B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥【答案】AD【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确；又115()30P A B =，因此()()11()P A B P A P B ¹，B 错误；同理，C 错误；1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选：AD ．二、填空题7．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为__________．【答案】56【解析】由于两个人射击是相互独立的，故不全中靶心的概率为1151326-×=.8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．【答案】0.3【解析】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P =⨯⨯+⨯⨯=.9．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .【答案】【解析】根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A ，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P （A ）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A ，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P （A ）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.12810．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是______．【答案】23【解析】设此射手每次射击命中的概率为p ，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为80118181-=．则41(1)81p -=，可解得23p =，故答案为23．三、解答题11．假定生男孩和生女孩是等可能的，令A =｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，B =｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性.（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩.【答案】（1）A ，B 不相互独立 （2）A 与B 是相互独立【解析】（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为W ={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点由等可能性可知每个样本点发生的概率均为14这时A ={（男,女）,（女,男）},B ={（男,男）,（男,女）,（女,男）},AB ={（男,女）,（女,男）}于是()()()131,,242P A P B P AB ===由此可知()()()P AB P A P B ¹所以事件A ,B 不相互独立.（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为W ={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}.由等可能性可知每个样本点发生的概率均为18,这时A 中含有6个样本点,B 中含有4个样本点,AB 中含有3个样本点.于是()()()63413,,84828P A P B P AB =====,显然有()()()P AB P A P B =成立,从而事件A 与B 是相互独立的.12．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）1130【解析】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=.因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.。
《随机事件的独立性》基础训练
《随机事件的独立性》基础训练一、 单项选择题1.某射击运动员射击一次命中目标的概率为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是（ ） A.0.64 B.0.56 C.0.81 D.0.992.从应届高中生中选飞行员，已知这批学生身高合格的概率为13，视力合格的概率为16，体重合格的概率为15，从中任选一学生，则该学生三项（假设三项标准互不影响）均合格的概率为（ ）A.49B.190C.45D.593.甲、乙两人分别独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有一人解决这个问题的概率是（ ） A.12p pB.()()122111p p p p -+-C.121p p -D.()()12111p p ---4.甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么56等于（ ）A.甲、乙都击中靶心的概率B.甲、乙恰好有1人击中靶心的概率C.甲、乙至少有1人击中靶心的概率D.甲、乙不全击中靶心的概率5.如图所示，三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为133,,244，则电路不发生故障的概率为（ ）A.1532 B.932 C.12 D.3132二、多项选择题6.连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上，则下列每对事件是相互独立事件的是（ ）A.M =“有正面，有反面”，N =“最多有一个正面”B.M =“第一次是正面”，N =“第二次是正面C.M =“前两次是正面”，N =“第三次是正面”D.M =“有正面，有反面”，N =“至少有一次是反面 三、填空题7.甲袋中装有2个白球、2个黑球，乙袋中装有2个白球、4个黑球.从甲、乙两袋中各取1个球，则取出的球均为白球的概率为________.8.三人独立破译一份密码，他们单独破译出的概率分别为111,,534，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为_________. 四、解答题9.某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张，且甲是否抽到足球票与乙是否抽到足球票相互没有影响.（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？10.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25.（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少有一次命中的概率.参考答案 一、单项选择题 1. 答案：C 解析：i A 表示“第i 次击中目标”，1,2i =，则()()()12120.90.90.81P A A P A P A ⋂==⨯=. 2. 答案：B解析：由题意得所求概率111136590P =⨯⨯=.3. 答案：B解析：恰好有一人解决这个问题包括甲解决且乙未解决和乙解决且甲未解决这两种情形，故所求概率为())12211(1p p p p -+-. 4. 答案：D解析：设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A ,则111()326P A =⨯= ,5()1()6P A P A =-=.而A 表示“甲、乙不全击中靶心”这一事件，故选D.5. 答案：A解析：记“三个元件123,,T T T 正常工作”分别为事件123,,A A A ，则()112P A =， ()()2333,44P A P A ==.电路不发生故障的事件为()231A A A ⋃⋂， ∴电路不发生故障的概率()()()()2312311P P A A A P A P A P A ⎡⎤=⋃⋂=-⋅⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦11115144232⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选A. 二、多项选择题 6.答案：ABC解析：这个试验包含的基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）.对于A 项，31(),()42P M P N ==，3()8P MN =，因为()()()P M P N P MN =，所以A 项符合；对于B 项，11(),()22P M P N ==，1()4P MN =，因为()()()P M P N P MN =，所以B 项符合；对于C 项，11(),()42P M P N ==，1()8P MN =，因为()()()P M P N P MN =，所以C 项符合；对于D 项，37(),()48P M P N ==，3()4P MN =，因为()()()P M P N P MN ≠，所以D 项不符合.三、填空题 7.答案：16解析：记“从甲袋中取出的球为白球”为事件A ，则1()2P A =，记“从乙袋中取出的球为白球”为事件B ，则1()3P B =，则事件A ，B 是相互独立事件，故111()()()236P AB P A P B ==⨯=.8.答案：35解析：用事件A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码事件，则111(),(),()534P A P B P C ===，且4232()()()()5345P A B C P A P B P C ⋂⋂==⨯⨯=.所以此密码被破译的概率为23155-=.四、解答题 9.答案：见解析解析：（1）记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ，则63()105P A ==， 42()105P B ==.由于甲是否抽到足球票与乙是否抽到足球票相互没有影响，因此A 与B 是相互独立事件，故两人都抽到足球票的概率为326()()()5525P AB P A P B ==⨯=. （2）由（1）知“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，事件,A B 相互独立，且23(),()55P A P B ==，则两人都抽到排球票的概率为236()()()5525P AB P A P B ==⨯=，故两人中至少有1人抽到足球票的概率为61912525P =-=. 10.答案：见解析解析：记“甲投一次命中”为事件A ，乙投一次命中”为事件B ，则1213(),(),(),()2525P A P B P A P B ====. （1）恰好命中一次的概率为()()()()()()P P A B P A B P A P B P A P B =⋅+⋅=⋅+⋅1312512525102=⨯+⨯==. （2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为1P ，则1()()()()P P A P A P B P B =⋅⋅⋅2213925100⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少有一次命中的概率为1911100P P =-=.。
新教材适用2023_2024学年高中数学第7章概率4事件的独立性课后训练北师大版必修第一册
§4 事件的独立性取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( ). A.0.12 B.0.42 D.0.88,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有1人被录取的概率12=0.88.A ,B 是相互独立事件的是( ).A.连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次,事件A 表示“第一次正面朝上”,B 表示“第二次反面朝上”B.袋中有大小、质地相同的两个白球和两个黑球,不放回地依次摸两球,事件A 表示“第一次摸到白球”,B 表示“第二次摸到白球”C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件A 表示“出现点数为奇数”,B 表示“出现点数为偶数” A 表示“人能活到60岁”,B 表示“人能活到80岁”3.设两个相互独立事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则事件A 发生的概率P (A )等于( ). A.29 B.118 C.1D.23P (A B )=P (B A ),且事件A ,B 相互独立,所以P (A )P (B )=P (B )P (A ). 所以[1-P (A )]P (B )=[1-P (B )]P (A ). 所以P (A )=P (B ).因为P (AB )=[P (A )]2=19, 所以P (A )=13.故P (A )=1-P (A )=23.,A,B,C 表示3个开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统可以正常工作的概率是( ).A.0.504B.0.994 D.0.06,即A,B,C3个开关至少有一个能正常工作.设事件A ,B ,C 分别表示开关A,B,C 正常工作,则事件A ,B ,C 相互独立.故系统正常工作的概率P=1-P (ABC )=1-[1-P (A )][1-P (B )][1-1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.7)=1-0.1×0.2×0.3=0.994.5.(多选题)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,则下列结论正确的有( ).A.两个球不都是红球的概率为56 B.两个球都是红球的概率为16 C.至少有一个红球的概率为23D.两个球中恰有一个红球的概率为12,得两个球不都是红球的概率为1-13×12=56,两个球都是红球的概率为13×12=16,至少有一个红球的概率为1-(1-13)×(1-12)=23,两个球中恰有一个红球的概率为13×(1-12)+(1-13)×12=1.6.已知事件A ,B ,C 相互独立,若P (A ∩B )=16,P (B ∩C )=18,P (A ∩B ∩C )=18,则P (A ∩B )= .P (A⋂B )=P (A )P (B )=16,P (B⋂C )=[1-P (B )]P (C )=18,P (A⋂B⋂C )=P (A )P (B )[1-P (C )]=18,解得{P (A )=3,P (B )=12.故P (A ∩B )=[1-P (A )]P (B )=23×12=13.137.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为12,乙解出它的概率为13,丙解出它的概率为14,由甲、乙、丙,只有一人解出的概率为 .,而乙、丙不能解出”为事件A , 则P (A )=12×(1-13)×(1-14)=14,“乙解出,而甲、丙不能解出”为事件B , 则P (B )=13×(1-12)×(1-14)=18,“丙解出,而甲、乙不能解出”为事件C , 则P (C )=14×(1-12)×(1-13)=112, 故由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为P (A )+P (B )+P (C )=14+18+112=1124.8.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率;,求这四次投球中至少命中一次的概率.设“甲投球一次命中”为事件A ,“乙投球一次命中”为事件B ,则P (A )=12,P (B )=25,P (A )=12,P (B )=35.故甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次的概率为P=P (A B )+P (A B )=P (A )P (B )+P (A )P (B )=12×35+12×25=510=12.(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P 1,则P 1=P (AABB )=P (A )P (A )P (B )P (B )=(1-12)2×(1-25)2=9100.故甲、乙两人在罚球线各投球两次,至少命中一次的概率为1-P 1=91100.9.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约;乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12,且面试是否合格互不影响,求: (1)至少有一人面试合格的概率; .A ,B ,C 分别表示事件“甲、乙、丙面试合格”,由题意知A ,B ,C 相互独立,且P (A )=P (B )=P (C )=12.(1)至少有一人面试合格的概率是1-P (ABC )=1-P (A )P (B )P (C )=1-(12)3=78.(2)没有人签约的概率为P (A B C )+P (AB C )+P (ABC )=P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )=(1)3+(1)3+(1)3=3.中,两个气象台都没预报准确的概率为( ). A .0.72 B .0.3 D .0.030.2,0.1,且相互独立,所以两个气象台都没0.2×0.1=0.02.2.在一段时间内,甲去某地的概率是14,乙去此地的概率是15,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在这段时间内至少有一人去此地的概率是( ). A .320 B .15 C .2D .920,两人都不去此地的概率是(1-14)(1-15)=35,因此,至少有一人去此地的概率是1-35=25.,下列各组事件是相互独立事件的组数为( ). ①事件A 表示“掷出偶数点”,B 表示“掷出奇数点”; ②事件A 表示“掷出偶数点”,B 表示“掷出3点”;③事件A 表示“掷出偶数点”,B 表示“掷出3的倍数点”; ④事件A 表示“掷出偶数点”,B 表示“掷出的点数小于4”. A .1 B .2 D.4P (A )=12,P (B )=12,P (AB )=0, 与B 不是相互独立事件.②P (A )=12,P (B )=16,P (AB )=0, 所以A 与B 不是相互独立事件.③P (A )=12,P (B )=13,P (AB )=16,P (AB )=P (A )P (B ),所以A 与B 是相互独立事件.④P (A )=12,P (B )=12,P (AB )=16,B )≠P (AB ),所以A 与B 不是相互独立事件.)有两种投资方案,一年后投资盈亏情况如下表. 投资股市:购买基金:记事件A 为“甲投资股市且盈利”,事件B 为“乙购买基金且盈利”,事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则( ).A .P (A )=0.5B .当p=14时,q=512C .若P (C )=0.75,则p=0.5D .若P (C )>0.8,则p>45P (A )=12,P (B )=p ,∴A 正确.∵“购买基金”后,投资结果只有三种,且三种投资结果两两互斥,∴p+13+q=1.又p=14,∴q=512,∴B 正确.∵C=A B +A B+AB ,且A ,B 相互独立,∴P (C )=12(1-p )+12p+12p=12+12p. 若P (C )=0.75,则p=0.5,∴C 正确;若P (C )>0.8,则12+12p>0.8,∴p>35.又p+1+q=1,q>0,∴p<23,∴35<p<23,故D 错误.5.如图,在电路图中有开关a,b,c,它们闭合与断开的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ).A.1B.38C.14D.78a,b,c 闭合的事件分别为A ,B ,C ,则灯亮这一事件E=ABC ∪AB C ∪A B C ,且A ,B ,C 相互独立,,AB C ,A B C 互斥,所以P (E )=P (ABC ∪AB C ∪A B C )=P (ABC )+P (AB C )+P (A B C )=P (A )P (B )·P (C )+P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )=12×12×12+1×1×(1-12)+12×(1-12)×12=38.A,B,C 三处设有交通灯,这三个交通灯在一分钟内绿灯亮的时间(单位:s)分别为25 s,35 s,45 s,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是( ). A .35192 B .25192 C .35D .65192A ,B ,C ,则P (A )=2560=512,P (B )=3560=712,P (C )=4560=34,且.所以三处都不停车的概率为P (ABC )=512×712×34=35192.7.某自助银行有A,B,C,D 四台ATM,在某一时刻这四台ATM 被占用的概率分别为13,12,12,25. (1)若某客户只能使用四台ATM 中的A 或B,则该客户需要等待的概率为 ; ATM 取款时,恰好有两台ATM 被占用的概率为 .该客户需要等待意味着A 与B 同时被占用,故所求概率P 1=13×12=16.(2)依题意,该客户使用ATM 取款时恰好有两台ATM 被占用的概率P 2=13×12×12×35+13×12×12×35+1×1×12×25+23×12×12×35+23×12×12×25+23×12×12×25=1130. (1)16 (2)1130,设构成系统的每个元件的可靠性为p (0<p<1),且每个元件能否正常工作是相互独立的.如图,今有6个元件按两种方式构成两个系统(1)(2),试比较系统(1)(2)哪个的可靠性大.(1)(2)(1)有两条道路,它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作,而每条道路能.系统(1)每条道路正常工作的概率是p3,不能正常工作的概率是1-p3,系统(1)不能正常工作的概率为(1-p3)2,故系统(1)正常工作的概率是P1=1-(1-p3)2=p3(2-p3).系统(2)由3对并联元件串联而成,它能正常工作,当且仅当每对并联元件都能正常工作,由于每对并联元件不能正常工作的概率为(1-p)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1-(1-p)2,故系统(2)正常工作的概率是P2=[1-(1-p)2]3=p3(2-p)3.因为P1-P2=p3(2-p3)-p3(2-p)3=-6p3(p-1)2<0,所以P1<P2,即系统(2)更可靠.。
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《事件的独立性》同步练习1
1．已知事件A 、B 发生的概率都大于零，则( ) A ．如果A 、B 是互斥事件，那么A 与B 也是互斥事件 B ．如果A 、B 不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件 C ．如果A 、B 是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件 D ．如果A ＋B 是必然事件，那么它们一定是对立事件
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A .3
5 B .34 C .1225 D .1425
3．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为( ) A ．p ＋q －2pq B ．p ＋q －pq C ．p ＋q
D ．pq 4．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，1
2.现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为( ) A .115 B .215 C .15
D .110
5．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为3
5，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为( ) A .36125 B .44125 C .54125 D .98125
6．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为 ( ) A ．0.12
B ．0.88
C ．0.28
D ．0.42
7．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，1
4，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为( ) A .35 B .25 C .160
D ．不确定
8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A .512 B .12 C .712
D .34
参考答案
1． 答案 C
解析 相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因而它们不可能为互斥事件． 2． 答案 D
解析 设“甲射击一次中靶”为事件A ，“乙射击一次中靶”为事件B ，则P (A )＝810＝4
5，P (B )＝710.
∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝45×710＝14
25. 3． 答案 A 4． 答案 C
解析 记“甲投篮1次投进”为事件A 1，“乙投篮1次投进”为事件A 2，“丙投篮1次投进”为事件A 3，“3人都没有投进”为事件A . 则P (A 1)＝13，P (A 2)＝25，P (A 3)＝12，
P (A )＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －
3)＝[1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)]＝(1－1
3)(1－25)(1－12)＝15，故3人都没有投进的概率为15. 5． 答案 D
解析 事件A ：“至多有两人选择去武侯祠游览”的对立事件为B ：“三人均选择去武侯祠游览”，其概率为P (B )＝(35)3
＝27125，∴P (A )＝1－P (B )＝1－27125＝98
125. 6． 答案 D
解析 P ＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42. 7． 答案 A
解析 P ＝1－(1－15)(1－13)(1－14)＝3
5.
8． 答案 C
解析 P (A ＋B )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB ) ＝12×56＋12×16＋12×16＝7
12，故选C .。