全国2012年4月自考高等数学试题答案详解
历年自考高数真题答案解析
历年自考高数真题答案解析随着社会的不断进步和竞争的加剧，越来越多的人开始重视自考。
自考作为一种对于个人职业发展有重要意义的考试，其中的高等数学更是被很多人所关注和重视。
针对历年来的自考高数真题，下面将分析并解析其中一些典型题目，帮助考生更好地掌握考试技巧和解题思路。
第一题：某数列的通项公式为an = 2^n - n，其中n是自然数。
求该数列的前10项。
解析：首先我们可以列举前几个数列的值，即n=1时，an=2^1-1=1；n=2时，an=2^2-2=2；n=3时，an=2^3-3=5。
很明显，该数列前三项分别是1、2和5。
通过观察，我们可以发现该数列每一项都是2的幂减去该项的索引。
所以，我们可以得出该数列的通项公式为an =2^n - n。
接下来，我们便可以根据该公式计算出该数列的前10项。
第二题：计算不定积分∫(2x^2 + 3x - 4)dx。
解析：这是一个简单的不定积分题目。
根据不定积分的性质，我们可以对多项式逐项积分。
∫2x^2dx = 2/3 * x^3，∫3xdx = 3/2 *x^2，∫-4dx = -4x。
所以，将每一项积分的结果相加，得到该不定积分的结果为2/3 * x^3 + 3/2 * x^2 - 4x + C，其中C为任意常数。
第三题：设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1，求f(x)的导数。
解析：对于多项式函数来说，求导的过程非常简单。
按照指数率乘法求导法则，我们可以得到f(x)的导函数f'(x) = 6x^2 + 6x - 5。
所以，f(x)的导数为6x^2 + 6x - 5。
第四题：已知二阶线性常系数齐次微分方程y'' + 4y' + 4y = 0，求其通解。
解析：首先，我们可以求出该微分方程的特征方程。
将y =e^(mx)代入方程得到m^2 + 4m + 4 = 0，对该二次方程进行求解，可以得到m = -2。
4月全国自考高等数学基础试题及答案解析
1全国2018年4月高等教育自学考试高等数学基础试题课程代码：00417一、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.（b 3a 2 ）·（a +b ）=（ ）A.22a -a ·b -32bB.22a +a ·b -32bC.22a +a ·b +32bD.22a -5a ·b -32b2.对任意向量a ,b ,c及实数λ，下列四式中不成立的是（ ） A.b ×a =a ×b B.（b +c ）×a =b ×a +c ×aC.λa ×b =λ(a ×b )D.a ×b =-b ×a3.在空间直角坐标系中，点A （-1，-3，1）关于yz 面的对称点A 1的坐标是（ ） A.（1，-3，1） B.（1，-3，-1） C.（1，3，-1） D.（1，3，1）4.经过B （1，3，-2）而垂直于z 轴的平面方程是（ ） A.x=1 B.y=3 C.x+y+z-2=0 D.z=-25.方程0z 1z y x 2 称为该直线的（ ）A.两点式方程B.参数方程C.标准式方程D.一般方程6.若二直线的方向向量的向量积为零向量，则此二直线（ ） A.平行 B.垂直 C.斜交 D.异面7.方程x 2+y 2=4在空间直角坐标系中表示（ ） A.圆 B.球面 C.直圆柱面 D.平面8.下列各对函数中，相同的是（ ） A.f(x)=sin 2x+cos 2x 与g(x)=1B.f(x)=x 与g(x)=2xC.f(x)=1x )x (g 1x 1x 2 与D.y log )y (g 2)x (f 2x 与 9.下列函数中，在定义域内既是有界函数，又是偶函数的周期函数是（ ） A.y=sinx B.y=cosx C.y=arcsinx D.y=x 2210.设g(x)=x 2,h(x)=cosx,则g[h(x)]=（ ） A.cos 2x B.cosx 2 C.x 2cosx D.x 2+cosx 11.下列极限中，正确的是（ ） A.1xxsin lim xB.1xxsin limxC.1x x sin lim0x D.1xxsin lim 1x12.下列函数中，当x →0时与x+x 2等价的无穷小量是（ ） A.x 2 B.2x C.x D.x+1 13.下列函数中，以x=0为可去间断点的是（ ） A.f(x)=x 1sinB.f(x)=x|x | C.f(x)=x1eD.f(x)=x 0x 114.函数f(x)= 1x x 1x 1x 21x 在点（ ）A.2)1(fB.2)1(fC.)1(f 不存在D.1)1(f15.f(x)在点x 0可导是f(x)在点x 0可微的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件 16.函数f(x)=1x 在点x=1的微分是（ ）A.dx 21B.21 C.dx x21D.dx )1x (17.对函数y=x 2+6x 在区间[0，1]上应用拉格朗日中值定理，求出的中值ζ=（ ） A.21 B.31C.21D.31 18.设)3x 21(Ad dx )3x 2(12，则A=（ ）A.21B.213C.2D.-119.不定积分dx xe 2x （ ） A.2x e +c B.c e 212x C.2x e +10D.10e 212x 20.设f(x)有连续二阶导数，则dx )x (f x （ ） A.c )x (f )x (f x B.c )x (f )x (f C.c )x (f )x (f xD.c )x (xf )x (f21.下列等式中正确的是（ ） A.0)dx e (dxd ba2xB.2x ba 2x xe 2)dx e (dxdC.2x b a2x e )dx e (dx dD.2b ba2x e )dx e (dxd22.下列不等关系成立的是（ ）A.1012dx x xdxB.112dx x xdxC.21212dx x xdx 2D.21212dx x xdx23.A ij 是n 阶行列式D=|a ij |中元素a ij 的代数余子式，则D=（ ） A.a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n B.a 11A 11+a 21A 12+…+a n1A 1n C.a 21A 11+a 22A 12+…+a 2n A 1n D.a 11A 12+a 21A 22+…+a n1A n224.行列式876354321 中元素-4的余子式为（ ） A.87324B.87324C.8732D.873225.下列排列中偶排列是（ ）A.4 3 2 1B.4 1 2 3C.4 3 1 2D.2 4 1 326.下列行列式中值为零的是（ ）4A.4000130001200011 B.4010030000201001C.3000210098004321 D.432103200120000127.行列式01210k 012k 的充分必要条件是（ ）A.k ≠0B.k ≠0或k ≠1C.k ≠1D.k ≠0且k ≠1 28.已知矩阵A 3×2，B 2×3，C 3×3，则下列运算可行的是（ ） A.AC B.BC C.CB D.AB-BC 29.若A 是n 阶矩阵且有A T =A ，则A 是（ ） A.非奇异矩阵 B.对称矩阵 C.可逆矩阵 D.上三角形矩阵30.若矩阵A 是矩阵B 的逆矩阵，则矩阵A 与矩阵B 必须满足（ ） A.AB=I B.BA=I C.AB=I 且BA=I D.AB=I 或BA=I二、填空题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自考高数往年试题及答案
自考高数往年试题及答案自考高等数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-1, 1]上的最大值和最小值分别是：A. 最大值3，最小值0B. 最大值4，最小值0C. 最大值4，最小值1D. 最大值3，最小值1答案：B3. 微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)的解是：A. y = e^(2x) + Ce^(-2x)B. y = e^(-2x) + Ce^(2x)C. y = e^x + Ce^(-x)D. y = e^(-x) + Ce^(x)答案：A4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 4答案：C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上递增，则f(1) = ____。
答案：-17. 函数f(x) = 1/x的间断点是 ____。
答案：x = 08. 微分方程dy/dx + 2y = 6x的特解形式是 y = ____。
答案：Cx^2 + Dx + E（其中C、D、E为常数）9. 利用分部积分法计算∫x e^x dx的结果是 ____。
答案：x e^x - e^x + C（C为常数）10. 曲线y^2 = 4x的焦点坐标是 ____。
答案：(1, 0)三、解答题（共75分）11. （15分）求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点，并判断其单调性。
答案：零点为x = -2/3, 3, 1。
通过求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)，可以判断在区间(-∞, 1)和(3, +∞)上函数递增，在区间(1, 3)上函数递减。
全国2012年4月高等教育自学考试
全国2012年4月高等教育自学考试线性代数试题 课程代码：02198说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设矩阵120120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则A *中位于第1行第2列的元素是（ ）A ．-6B ．-3C ．3D ．62．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-12 B ．-6 C ．6D ．123．设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则|(-A )-1|=（ ）A ．-3B ．13-C ．13D ．34．设A 为3阶矩阵，P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则用P 左乘A ，相当于将A （ ）A ．第1行的2倍加到第2行B ．第1列的2倍加到第2列C ．第2行的2倍加到第1行D ．第2列的2倍加到第1列5．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．齐次线性方程组1232342300x x x x x x ++=⎧⎨-+-=⎩的基础解系所含解向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设4阶矩阵A 的秩为3，12,ηη为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为（ ）A ．1212c ηηη-+B ．1212c ηηη-+ C ．1212cηηη++D ．1212c ηηη++8．若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=（ ）A ．EB ．DC ．-ED ．A9．设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为（ ）A ．53-B ．35-C ．35D ．5310．二次型2221231231223(,,)234610f x x x x x x x x x x =++++的矩阵是（ ） A ．235330504⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2600310004⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．230335054⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D ．26063100104⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国2002年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题参考答案
全国2002年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题参考答案课程代码：00020一、单项选择题(每小题1分，共40分)1.B2.D3.D4.C5.A6.D7.A8.C9.D 10.A11.C 12.C 13.C 14.B 15.D16.C 17.B 18.B 19.A 20.B21.A 22.D 23.C 24.C 25.C26.D 27.B 28.C 29.A 30.C31.D 32.A 33.A 34.C 35.B36.B 37.A 38.C 39.C 40.D二、计算题（一）(每小题4分，共12分)41．解 令u=4x ,有原式=4u 2u lim 22u --→ =2u 1lim 2u +→ =41 42．解 方程两边对x 求偏导数，有2x+2z xz 4x z ∂∂=∂∂ (4-2z)xz ∂∂=2x x z ∂∂=z2x - 43.解 p=-ctgx,q=2xsinx,于是y=⎰+⎰⎰-)c dx qe (e pdx pdx =sinx()c xdx 2+⎰=(x 2+c)sinx三、计算题（二）（每小题7分，共28分）44．解 )x s e c x t g x (s e c t g xx s e c 1)t g x x (s e c t g x x s e c 1y 2++='++=' =secx45.解 设x=tg θ，则dx=sec 2θd θ,x=1时，θ=4π；x=3,θ=3π，于是原式=⎰ππθθθθ3422sec tg d sec=⎰ππθθ342sin sin d =-θsin 134ππ=3322-46．解 令a n =n)3(5nn -+，则 R=))3(5(n ))3(5)(1n (lim a a lim 1n 1n n n n 1n n n ++∞→+∞→-+-++= =1n n n )53(1)53(5151lim +∞→-+-+ =51 于是此级数的收敛半径为51 47．解 令x=rcos θ,y=rsin θ,则原式=⎰⎰πππθ202rdr sin r d =-2⎰πππ2r cos rd =-⎰ππππ-π22)rdr cos r cos r (2 =-62π四、应用题（每小题8分，共16分）48．解方程组⎩⎨⎧=-=x2y x 3y 2得交点（-3，-6），（1，2）.S=()d x x 2)x 3(132⎰--- =〔3x-23x x 31-〕1-3 =332 49.解 总利润函数为L （x ）=R(x)-C(x)=(20x-x 2)-()15x 29x 6x 3123++- =-20x 5,15x 9x 5x 3123≤≤--+ 令9x 10x )x (L 2-+-='=-（x-1）(x-9)=0,得驻点x=9,x=1（舍去）由台时利润最大故知当每批生产900,08)9(L ,10x 2)x (L <-=''+-=''。
2012年高数专升本真题及其参考答案.
Passage four Animals seem to have the sense to eat when they are hungry and they do not eat more than their bodies need. It has been demonstrated that rats will, when given a choice over a period of time, prefer water with vitamins to water without vitamins even though there is no difference in taste or smell between the two water bottles. When a fragrant flavor was added to the vitamin-enriched fluid, the rats did seem to develop a taste for it and kept drinking it ,even after the vitamins were switched to the clear water. In time, however ,they broke the habit and went back to where the necessary vitamins were.In a classic experiment, babies of 6 to 12 months old were placed in a cafeteria feeding arrangement, with a wide selection of baby food before them. They were given whatever food they pointed to or appeared interested in. We are told that at first they showed some unusual eating patterns, but that over a period of time they managed to select well-balanced diet.So, in selecting food, rats and babies do seem to know and act on what's best for them. Apparently, there is a kind of "body wisdom,＂which humans soon lose. Most of us do not eat as wisely as we could. Many of our food preferences are culturally determined and influenced by long-established habits. Some people eat fox, dog and blackbirds ,while we eat cows and pigs. So what people eat and how much they eat seems to be greatly influenced by what is going on around them.76. In the experiment on rats, a fragrant flavor was added to the rat's drinking water to___.A. encourage rats to drink vitamin-enriched water B. find out rats preference in flavor C. test whether rats know which drink is good for them D. demonstrate that vitamins are tasteless 77. The expression "the habit" (para.1, sentence 4 refers to drinking water which_________. A. has no smell B. is tasteless C. has vitamins D. is flavored 78. According to the passage ,adults eating habits differ from those of babies because_____.A. adults know better than babies what kind of food are good for their healthB. adults usually cannot resist the temptation of various delicious foodsC. adults' eating habits areclosely related to the social and cultural customs D. adults have more choices of food than babies in eating patterns 79. The author implied in the passage that most ofus_________. A. eat a balanced dietB. choose the food that is of nutritionC. have the habits influenced by the surroundingsD. like to eat the food with a fragrant flavor80. As far as their eating habits are concerned, babies and rats are similar inthat______. A. both have the wisdom to choose a balanced diet B. both prefer flavored food and drinkC. both have the same eating patternsD. both develop a taste for the same kinds of flavors Part IV. Translation . ( 30pointSection A: Directions: There are 10 sentences in this section. Please translate sentences 81-85 from Chinese into English, and translate sentences 86-90 from English into Chinese. Write your answer on the Answer Sheet.81 我们向李先生学习，因为他有丰富的工作经验。
2012年全国自考线性代数试卷有答案
线性代数（经管类）试题一、单项选择题 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c --=-1，则行列式111222a b c a b c --= B.02.设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且A 2-E =O ，则必有 C.A =A -13.A =001010a b c⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为反对称矩阵，则必有 B.a =c =—1,b =04.设向量组1α=（2，0，0）T ，2α=（0，0，—1）T ，则下列向量中可以由1α，2α线性表示的D.（—1，0，—1）T5.已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r(A T )= C.36.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是 D.121α+122α7.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为 B.28.若矩阵A 与对角矩阵D =111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则A 2= A.E9.设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=222123121323222x x x x x x x x x +++++的规范形为 C.21z二、填空题11.行列式123111321的值为____0_____.12.设矩阵A =4321⎛⎫⎪⎝⎭，P =0110⎛⎫⎪⎝⎭，则PAP 2_________.13.设向量α=（1，2，1）T ，β=（-1，-2，-3）T ，则3α-2β_________.14.若A 为3阶矩阵，且|A |=19，则|（3A ）-1|_________.15.设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵， r(B )=1,则分块矩阵EO BB ⎛⎫⎪-⎝⎭的秩为____4_____.16.向量组1α=（k,-2,2）T ,2α=(4,8,-8)T线性相关，则数k =___-1______.17.若线性方程组123233x +2x +3x =1-2x +x =-2(λ+1)x =-λ⎧⎪⎨⎪⎩无解，则数λ=_____-1____.18.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则|A |=______0___.19.设A 为3阶实对称矩阵，1α=（0，1，1）T ，2α=（1，2，x ）T 分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数x =___-2______. 20.已知矩阵A =001011112⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则对应的f (x 1,x 2,x 3)=_________.三、计算题21.计算行列式D =a ba b a a b b aba b+++的值.22.设矩阵A =100210222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,B =112022046⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,求满足方程AX =B T 的矩阵X .23.设向量组11234α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21104α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,32463α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,41211α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24.求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)25.求矩阵A=010001000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的全部特征值和特征向量.26.确定a ,b 的值,使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为—12.四、证明题(本题6分)27.设A ,B 均为n 阶(n ≥2)可逆矩阵,证明(AB )*=B *A *.。
4月全国自考高等数学(工本)试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试高等数学(工本)试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.在空间直角坐标系中,方程1222222=++cz b y a x 表示的图形是( )A.椭圆抛物面B.圆柱面C.单叶双曲面D.椭球面2.设函数z =x 2y ,则=∂∂xz( ) A.212-y yxB.x xyln 2C.x x yln 22 D.()12-y yx3.设Ω是由平面01=-+-z y x 及坐标面所围成的区域,则三重积分=⎰⎰⎰Ωdxdydz ( ) A.81 B.61 C.31 D.21 4.已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( ) A.2C 1x +C 2cos x B.2Cx +cos x C.cos x +C (2x -cos x ) D.C (2x -cos x )5.设幂级数∑∞--1)3(n n nx a在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( )A.绝对收敛B.条件收敛2C.发散D.敛散性不定二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数y x y z cos sin =,则=∂∂xz. 7.已知dy e dx e y x yx +++是某函数()y x u ,的全微分,则()=y x u , .8.设∑是上半球面()01222≥=++z z y x ,则对面积的曲面积分⎰⎰∑=dS .9.微分方程x y 2sin =''的通解为y= .10.无穷级数∑∞=0!2n nn 的和为 .三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点P (3,-1,0)并且与直线321-=-=z y x 垂直的平面方程. 12.设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求x z ∂∂,yz∂∂. 13.设方程xyx ln=确定函数()y x z z ,=,求全微分dz. 14.求函数()22,xy y x y x f +=在点(1,-1)沿与x 轴正向成30°角的方向l 的方向导数.15.求空间曲线t z t y t x ===,sin ,cos 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,22,22π处的切线方程.16.计算二重积分()dxdy e I Dy x⎰⎰+-=22,其中区域D ：.0,422≥≤+y y x17.计算二次积分⎰⎰=22sin ππydx xxdy I . 18.计算对弧长的曲线积分()⎰+-L ds y x 132,其中L 是直线2-=x y 上从点(-1,-3)到点(1,-1)的直线段. 19.计算对坐标的曲线积分⎰+Lydx xdy 其中L 是抛物线2x y =上从点(-2,4)到点(2,4)的一段3弧.20.求微分方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. 21.判断级数()∑∞=-+-131321n n nn 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?22.设函数()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 0,0,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求系数b 7.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23.求函数()y x xy y x y x f 311381021,22-----=的极值.24.设曲线()x y y =在其上点(x ,y )处的切线斜率为x +y ,且过点(-1,e -1),求该曲线方程. 25.将函数()2312+-=x x x f 展开为(x +1)的幂级数.。
全国2012年4月高等教育自学考试(经管类)线性代数参考答案
全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题参考答案一、选择题1~5 DABCB 6~10 BABDD 二、填空题11~15 16 2 0000⎛⎫⎪⎝⎭2 3 16~20 2020,2201k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6 32 222123f y =++ 三、计算题21 解：351212011201120112014533453301331011101111201351201110133100101220342034043204320016120112010111011111148480016001600101200048-----=-=-=-=-------------===⨯⨯⨯=--22解：()A X XA XA X A X A E A +=⇒-=⇒-=130100030210010200002001001A E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,020()300001T A E ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭,120310002T A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭()11001030201203003101((),)300310020120010102001002001002001002,T T T A E A E X ⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-=--→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭=11031102002T X ⎛⎫-⎪ ⎪⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11021103002X ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⇒=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭23解：()()234234234,,,,,,,2,2,2A B αγγγβγγγαβγγγ+=+=+33234234234234,2,2,2,2,2,22,,,2,,,88A B αγγγβγγγαγγγβγγγ=+=+=+848140=⨯+⨯=24解：()1234120312031203204204480112,,,15402570257102102240000A t t t t tt αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪-+++++ ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12031021011201120033003300000000t t t t --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪-+-+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当t=3时，矩阵继续化为011200000000 ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭此时，向量组的秩为2，一个极大线性无关组为12,αα。
全国2012年4月高等教育自学考试
全国2012年4月高等教育自学考试高等数学(工专)试题课程代码：00022一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数ln(4)y x =- ）A.(,4)(4,)-∞-⋃+∞B.(,4][4,)-∞-⋃+∞C.(4,)+∞D.[4，+∞) 2.极限0sin5lim2x x x →=（ ） A.52 B.1 C.25D.03.若lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑（ ）A.收敛B.发散 C 部分和数列有极限D.的收敛性不能判定4.e d x x =⎰（ ）A.e xB.e x +CC.ln xD.ln x +C 5.设矩阵1231,,2011A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则AB =（ ） A.3220-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦B.3222-⎡⎤⎢⎥--⎣⎦C.1612⎡⎤⎢⎥-⎣⎦D.1162⎡⎤⎢⎥-⎣⎦二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设2sin ()1x f x x =+，则f =______. 7.极限x →=______. 8.设(1)(2)y x x x =++，则0d d x y x ==______.9.设22log y x =，则d y =______.10.曲线sin x y x=的水平渐近线为______. 11.设函数()f x 在[a ，b ]上连续，则变上限积分()()d xa x f t t Φ=⎰在[a ，b ]上可导，并且d ()()d d x ax f t t x 'Φ==⎰______. 12.行列式411141114=______.13.设由参数方程2cos ,sin ,x t y t =⎧⎨=⎩确定的函数为y = y (x )，则4d d x t y x ==______. 14.无穷限反常积分2211sin d x x xπ+∞=⎰______. 15.设矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 的逆矩阵A -1=______. 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）16.求极限30sin lim .x x x x →- 17.求微分方程21(1)d d 0x y x y+-=的通解. 18.设2arctan 1x y x =+，求y '. 19.求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数()y y x =在0x =处的导数0d d x yx =.20.求不定积分2ln d x x x ⎰.21.讨论函数2e x y x -=的单调性.22.计算定积分022d 22x x x -++⎰. 23.问a ，b 取何值时，方程组1231231234,3,24,ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）24.计算由y =e x ，x =1及两坐标轴所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.25.求函数23()(25)f x x x =-的极值.。
全国4月高等教育自学考试高等数学基础试题及答案解析历年试卷及答案解析
全国2018年4月高等教育自学考试高等数学基础试题课程代码：00417 第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1. 在空间直角坐标系中，点A （-1，2，4）关于xy 面的对称点A 1的坐标是（ ） A.(1,-2,4) B.(1,-2,-4) C.(-1,2,-4) D.(1,2,4) 2. 与向量{-1,1,1}共线的向量是（ ） A.{2，1，1} B.{2，-2，-2} C.{2，-1，-1} D.{1，1，1} 3. 已知三点A （-1，2，3），B （1，2，1），C （0，1，4），则∠BAC 是（ ） A.直角 B.锐角 C.钝角 D.平角4. 空间直角坐标轴上的单位向量k ,j ,i有性质（ ）A.1i k ,1k j ,1j i • • •B. 0i k ,0k j ,0j i • • •C. j i k ,i k j ,k j i• • •D.上述三个选项均错5. 对于任意向量c ,b ,a，下列诸等式中成立的是（ ）A.（b b b a 2a a )b a ()b aB.（22b b a 2a )b a ()b a• •C.（b b a a )b a ()b aD.)c b (a c )b a (• •6．平面4y-7z=0的位置特点是（ ） A.通过z 轴 B.通过y 轴C.通过x 轴且通过点（0，7，4）D.平行于yz 面7．经过A （2，3，1）而平行于yz 面的平面的平面方程是（ ） A.x=2 B.y=3 C.z=1 D.x+y+z-6=08.函数f(x)=0x ,x 0x ,x 12 的定义域是（ ）A.（-∞，0）B.（-∞,+ ∞）C.[0，+∞]D.（-∞，0）∪（0，+∞）9.下列各对函数中，相同的是（ ） A.y=x 与y=2x B.y=lnx1与y=lnx C.y=1x 1x 2 与y=x+1 D.y=cosx 与u=cosv10.在（-∞，+∞）内，f(x)=2x1x1 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.有界函数 D.单调函数 11.下列命题正确的是（ ）A.因为数列{a n }有界，所以数列{a n }有极限B. 因为数列{a n }单增，所以数列{a n }无极限C. 因为数列{a n }单减，所以数列{a n }有极限D. 因为数列{a n }单增有上界，所以数列{a n }有极限 12.下列极限中，正确的是（ ）A.e )x 1(x1x limB.e )x 1(x10x limC.e )n11(2n limD.e )x11(x 2x lim13.x=0是函数f(x)=sinx1的（ ） A.可去间断点 B.第一类间断点 C.第二类间断点 D. 连续点14.函数f(x)在x=x 0连续是其在该点可导的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件 15.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上不满足罗尔定理条件是因为（ ） A.在x=0无定义 B.在[-1,1]上不连续 C.在（-1，1）内不可导 D.f(1)=f(-1)16.函数y=x 2+x 在区间[0，1]上应用拉格朗日中值定理，则中值定理中的ξ=( )A. 1B.21C.2D. 25 17.直线x=0是f(x)的水平渐近线，则f(x)是下列函数中的（ ）A.x11B.2x eC.lnxD.sinx 18.设,C x sin dx )x (f 则 )x (f （ ）A.cosxB.sinxC.-cosxD.-sinx 19.设)x (Ad dx x1，则A=（ ）A.1B.21C.2D.0 20.设 ,C )x (F dx )x (f 则dx )b ax (f ( )A.F(ax+b)+cB.a1F(ax+b)+C C.aF(x)+C D.aF(ax+b)+C21.定积分1xu dx e满足（ ）A.0<u<1B.1<u<eC.-1<u<0D.2<u<e 22.21212dx x11( )A.0B.6 C. 3 D. 223.0k312k 的充分必要条件为（ ）A.k ≠1或k ≠-3B.k ≠1且k ≠-3C.k ≠1D.k ≠-3 24.下列排列中，齐排列是（ ）A.3214B.4321C.1234D.3412 25.四阶行列式|a ij |所表示的代数和中共有（ ） A.1项 B.4项 C.16项 D. 24项 26.n 阶矩阵A 非奇异是矩阵A 可逆的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.既非充分又非必要条件 D.充分必要条件 27.下列矩阵中，零矩阵是（ ）A. 0001B. 000000C. 2101D.1001 28.矩阵910054324321的一个3阶子式是（ ）A.1B.9143 C.0032 D.91054343229.A ，B 为n 阶矩阵，若（A+B ）（A-B ）≠A 2-B 2，则必有（ ） A.A=I B.A=-B C.A=B D.AB ≠BA 30.下列矩阵中，秩为3的是（ ）A.3021 B.000531020 C.900005002310 D.3000010000200001第二部分 非选择题二、填空题(本大题共10小题，每小题1分，共10分)31.若向量}z ,y ,x {b },z ,y ,x {a 222111 ，则b 2a=__________.32.已知点A （3，-1，2），B （1，1，1），则A ，B 两点间的距离为_______. 33.平面3x+2y+4z-6=0的截距式方程为_________. 34.函数y=lg(x-1)的反函数是__________.35.设函数f(x)= 0x ,a 0x ,xx sin ,要使f(x)在x=0点连续，则a=_________.36.曲线y=tgx 在点（π，0）处的切线方程是________. 37.dx x3x1________. 38.若函数G （x ）=x22,dt t 1则G （x ）=_________.39.行列式321中元素3的代数余子式为________.40.若矩阵A=283726 ，则A T =_________.三、计算题（一）（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 41.求球面x 2+y 2+z 2-2x+4y+2z-3=0的球心坐标及半径. 42．已知函数y=2sinx+xcosx+tg10,求dy. 43.求极限2xx x tdt sin lim.44.用初等变换解线性方程组.2x 3x ,2x x ,6x 3x 2x 2132321 四、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）45.试求过点P （1，1，1）且与二已知向量a={2，0，3}和b ={-1，1，1}平行的平面方程. 46.设y=xarctgx,求0x y47.计算.dx ex48.计算行列式1011201112123250 .五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 49.设函数y=x-ln(2+x).(1) 求函数y 的增减区间和极值；(2) 证明函数在（-2，∞）内是下凸的.50.平面图形由曲线y=x 2，x=y 2围成，求该图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积.。
全国2012年04月自学考试00020《高等数学(一)》历年真题与答案
全国2012年4月自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数y=f(x)的图形如图所示，则它的值域为( ) A.[1,4） B.[1,4] C.[1,5) D.[1,5]2.当x →0时，下列变量为无穷小量的是( ) A.21sin x xB.1sin x xC.xe -3.设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim1x f f x x→--=-，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A.1B.0C.-1D.-24.曲线21(1)y x =-的渐近线的条数为 ( )A.1B.2C.3D.45.下列积分中可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的是( ) A.111dx x -⎰B.111d x x -⎰2（2+1）C.1211d x x-⎰D.1x -⎰二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数2,||1(),1,||1x f x x ≤⎧=⎨⎩>则f [f(1)]=______.7.已知33lim 1nkn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k=______.8.若级数1n n u ∞→∑的前n 项和1121n S n =-+,则该级数的和S=______. 9.设函数f(x)可微，则微分d[e f(x)]=______. 10.曲线y=3x 5-5x 4+4x-1的拐点是______.11.函数()arctan f x x x =-在闭区间[-1,1]上的最大值是______.12.导数20d sin 2d d xu u x ⎰=______.13.微分方程2()20x y xy y '''-+=的阶数是______. 14.设22{(,)|4}D x y x y =+≤，则二重积分d d Dx y =⎰⎰______.15.设函数(,)ln()2y f x y x =+，则偏导数(0,1)y f =＇______. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设函数21()cos x f x e x-=，求导数()f x '. 17.求极限0tan limsin x x xx x→--.18.求函数3212()2333f x x x x =-++的极值.19.计算无穷限反常积分231=d 610I x x x +∞-++⎰.20.计算二重积分=(32)d d DI x y x y +⎰⎰，其中D 是由直线x+y=1及两个坐标轴围成的区域，如图所示.四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.确定常数a,b 的值，使函数3sin ,0()ln(1)0x x f x a x b x <⎧=⎨++≥⎩在点x=0处可导.22.设某商品的需求函数为Q(P)=12-0.5P （其中P 为价格）. （1）求需求价格弹性函数. （2）求最大收益.23.计算定积分2=I x .五、应用题（本题9分） 24.设曲线1y x=与直线y=4x,x=2及x 轴围成的区域为D ，如图所示.（1）求D 的面积A.（2）求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x . 六、证明题（本题5分）25.设函数z=xy+f(u)，u=y 2-x 2，其中f 是可微函数. 证明：22z zyx x y x y∂∂+=+∂∂.全国2012年4月自考《高等数学（一）》试题答案详解课程代码：00020试卷总体分析：试卷详解：一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++221121c a c a b b （ B ）A ．n m -B ．m n -C ．n m +D ．)(n m +-m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++21212121221121．2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACBB ．CABC ．CBAD ．BCABCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(．3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8-B ．2-C ．2D ．88||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ．4．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100013001Q ，则=B （ B ）A ．PAB ．APC ．QAD ．AQ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a AP ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001B a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333． 5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出D ．β必能由321,,ααα线性表出注：321,,ααα是βααα,,,321的一个极大无关组．8．设A 为n m ⨯矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于mB ．等于mC ．小于nD ．等于n注：方程组Ax =0有n 个未知量．9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T AB ．2AC ．1-AD ．*A|||)(|||A E A E A E T T -=-=-λλλ，所以A 与T A 有相同的特征值．10．二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3222123221321)(),,(y y x x x x x x f +=++=，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．行列式2010200920082007的值为_____________． 21098720002000200020002010200920082007-=+=．12．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102311A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，则=B A T_____________． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=130121B A T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1602221002． 13．设T )2,0,1,3(-=α，T )4,1,1,3(-=β，若向量γ满足βγα32=+，则=γ__________．T T T )8,3,5,3()4,0,2,6()12,3,3,9(23-=---=-=αβγ．14．设A 为n 阶可逆矩阵，且nA 1||-=，则|=-||1A _____________． n A A -==-||1||1． 15．设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则=||A _____________．n 个方程、n 个未知量的Ax =0有非零解，则=||A 0．16．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为_____________．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=130111312111A ，基础解系所含解向量的个数为123=-=-r n ．17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 必有一个特征值为_________．A 有特征值3-，则231A 有特征值3)3(312=-，1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 有特征值31．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00202221x A 的特征值为2,1,4-，则数=x _____________．由21401-+=++x ，得=x 2．19．已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10002/102/1b a A 是正交矩阵，则=+b a _____________． 由第1、2列正交，即它们的内积0)(21=+b a ，得=+b a 0．20．二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031302120． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式333222c c b b a a c b a cb a D +++=的值． 解：222333222333222111c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b aD ==+++= 2222222200111a c a b ac ab abc a c a b a c ab abc ----=----=))()((11))((b c a c a b abc ac a b a c a b abc ---=++--=．22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T；（2）注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T CB ，所以131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963321642．23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==1011130311211112),,,(4321ααααA →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112130311211011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1110233001101011 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000200001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100001101101，向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大无关组，213ααα+-=．24．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=315241B ．（1）求1-A ；（2）解矩阵方程B AX =． 解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100210321),(E A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210301100010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121100010001，1-A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210121； （2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111094315241．25．问a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++63222243232132321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=63222204321),(a b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---23202204321a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03002204321a a ．3≠a 时，3)(),(==A r b A r ，有惟一解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010********a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010********* →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********，⎪⎩⎪⎨⎧===012321x x x ； 3=a 时，n A r b A r <==2)(),(，有无穷多解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000023204321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000023202001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000012/3102001，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==333212312x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12/30012k ，其中k 为任意常数．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000200011AP P ．解：由521)9(23323030002||2⨯⨯=-===a a aa a A ，得42=a ，2=a ．=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----320230002λλλ．对于11=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----220220001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110001，⎪⎩⎪⎨⎧=-==333210x x x x x ，取=1p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110；对于22=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----120210000→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ，取=2p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001；对于53=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--220220003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110001，⎪⎩⎪⎨⎧===333210x x x x x ，取=3p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==101101010),,(321p p p P ，则P 是可逆矩阵，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P ．四、证明题（本题6分）27．设A ，B ，B A +均为n 阶正交矩阵，证明111)(---+=+B A B A ．证：A ，B ，B A +均为n 阶正交阵，则1-=A A T ，1-=B B T ，1)()(-+=+B A B A T ，所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T ．全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵),,(321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i ）为A 的列向量，若=||B 6|),,2(|3221=+αααα，则=||A （ C ） 6|),,2(||),,(|||3221321=+==αααααααA ．A ．12-B ．6-C ．6D ．122．计算行列式=----32320200051020203（ A ）A ．180-B ．120-C ．120D ．18018030)2(310203)2(32005102203332320200051020203-=⨯-⨯=⨯-⨯=--⨯=----． 3．若A 为3阶方阵且2||1=-A ，则=|2|A （ C ） A ．21B ．2C ．4D ．821||=A ，4218||2|2|3=⨯==A A ． 4．设4321,,,αααα都是3维向量，则必有（ B ） A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．1α不可由432,,ααα线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2，则=)(A r （ C ） A ．2B ．3C ．4D ．5由2)(6=-A r ，得=)(A r 4．6．设A 、B 为同阶方阵，且)()(B r A r =，则（ C ） A ．A 与B 相似B ．||||B A =C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同注：A 与B 有相同的等价标准形．7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为0,1,2，则=+|2|E A （ D ） A ．0B ．2C ．3D ．24E A 2+的特征值分别为2,3,4，所以24234|2|=⨯⨯=+E A ．8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ B ） A ．A 与B 等价B ．A 与B 合同C ．||||B A =D ．A 与B 有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量)1,2,1(-=α与),3,2(t =β正交，则=t （ D ）A ．2-B ．0C ．2D ．4由内积062=+-t ，得=t 4．10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2，则（ B ） A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定对应的规范型002232221≥⋅++z z z ，是半正定的． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421023A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010112B ，则=AB ______________．=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-421023⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--224010356010112． 12．设A 为3阶方阵，且3||=A ，则=-|3|1A ______________．9313||13||3|3|33131=⋅=⋅==--A A A ． 13．三元方程1321=++x x x 的通解是______________．⎪⎩⎪⎨⎧==--=33223211x x x x x x x ，通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101100121k k ． 14．设)2,2,1(-=α，则与α反方向的单位向量是______________．)2,2,1(31||||1--=-αα．15．设A 为5阶方阵，且3)(=A r ，则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________．}0|{==Ax x W 的维数等于0=Ax 基础解系所含向量的个数：235=-=-r n ．16．1251)2/1(25||15|5|331-=⨯⨯-=⋅=-A A ．17．若A 、B 为5阶方阵，且0=Ax 只有零解，且3)(=B r ，则=)(AB r ______________．0=Ax 只有零解，所以A 可逆，从而=)(AB r 3)(=B r ．18．实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________．32212321321222),,(x x x x x x x x x f +-+=．19．设3元非齐次线性方程组b Ax =有解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 2 12α，且2)(=A r ，则b Ax =的通解是______________．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001)(2121αα是0=Ax 的基础解系，b Ax =的通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001321k ． 20．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321α，则T A αα=的非零特征值是______________．由14321)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααT ，可得A A T T T 1414)(2===αααααα，设A 的非零特征值是λ，则λλ142=，14=λ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算5阶行列式2000102000002000002010002=D ．解：连续3次按第2行展开，243821128201020102420010200002010022=⨯=⨯=⨯=⨯=D ． 22．设矩阵X 满足方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021102341010100001200010002X ，求X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200010002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021102341C ，则C AXB =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2/100010002/11A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-010*******B ，11--=CB A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10002000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---021102341⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=021********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20102443121． 23．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------089514431311311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------176401764011311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001764011311 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000017640441244→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001764053604→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000004/14/72/3104/54/32/301，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=-+=4433432431472341432345x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-104/74/3012/32/3004/14/521k k ，21,k k 都是任意常数． 24．求向量组)4,1,2,1(1-=α，)4,10,100,9(2=α，)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=844210141002291),,(321TT T ααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21121012501291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--08001900410291 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010201，向量组的秩为2，21,αα是一个极大无关组．25．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量T )1,1,1(-=ξ，求b a ,及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设λ是ξ所对应的特征值，则λξξ=A ，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111112135212λb a ，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλλ121b a ，可得3-=a ，0=b ，1-=λ； 对于1-=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---201335212λλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101325213→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213325101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110220101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110101，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，属于1-=λ的全部特征向量为k ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，k 为任意非零实数．26．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A ，试确定a 使2)(=A r ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 12121122211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----233023302211a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a 00023302211，0=a 时2)(=A r ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若321,,ααα是b Ax =（0≠b ）的线性无关解，证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解．证：因为321,,ααα是b Ax =的解，所以12αα-，13αα-是0=Ax 的解；设0)()(132121=-+-ααααk k ，即0)(3221121=++--αααk k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧===--0002121k k k k ，只有零解021==k k ，所以,12αα-13αα-线性无关．全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试 OK
2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．。
一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．．。
1.2)2cos(lim1--→x x x =A.1B.cos1C.0D.2π2.设函数y=x 2+1，则dxdy = A331x B.x 2 C.2x D.21x 3. 设函数f （x ）=cosx ，则f ’(2π)=A.-1B.- 21C.0D.14.下列区间为函数f （x ）=sinx 的单调增区间的是A.（0，2π）B.（2π，π） C.（2π，23π） D （0, 2π）5.dx x ⎰3=A.3x 3+c B.x 3+c C.c x +33 D 2x+c 6.dx x ⎰+11=A.e 1+x+c Bc x++11. C.x+c D.ln|1+x|+c 7.设函数z=ln （x+y ），则an x z|∂∂= A.0 B. 21C.ln2D.18. 曲线y=24x -与x 轴所围成的平面图形的面积为A.2B.4C.2πD.4π9.设函数z=e x+y 2，则22xz∂∂=A.2yB.e x +2yC.e x +y 2D.e x10. 设事件A 、B 互不相容，P(A)=0.3,P(B)=0.2,则P （A+B ）=A.0.44B.0.5C.0.1D.0.06二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分，把答案填写在答题卡相应题号后．．．．．．．．。
11. 32lim 22-++∞→x x x x = . 12. xxx 32sin lim∞→= .13.设函数f （x ）={,10,2<+≥+x x x x a 在x=0处连续，则a= .14.曲线y=x 3+3x 的拐点坐标为 .15.设函数f （x ）=cosx ，则f ’(x)= .16.曲线y=sin （x+1）在点（-1,0）处的切线率为 . 17.dx xe x ⎰22= . 18.⎰1cos xdx = .19.⎰+∞-0dx e x = .20.设函数z=x 3e x，则全微分dz= .三、解答题：21~28小题，共70分，解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应．．．．．题号后．．．。
2012年4月全国自考《高等数学(工本)》试题与答案
全国2012年4月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题号的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）A ．z = x 2B ．z = y 2C ．z = x 2 + y 2D ．x + y + z =12．已知函数h ( x, y ) = x – y + f ( x + y ),且h (0,y ) = y 2,则f ( x + y )为（ ）A ．y (y + 1)B ．y (y - 1)C ．( x + y )( x + y -1)D ．( x + y )( x + y +1)3．下列表达式是某函数u (x,y )的全微分的为（ ）A ．x 2y d x + xy 2d yB ．x d x + xy d yC ．y d x - x d yD ．y d x + x d y 4．微分方程y xy d d =x 的阶数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 5．无穷级数∑∞=2!1n n 的和为（ ）A ．e + 1B ．e - 1C ．e - 2D ．e + 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．已知向量a ={ -2, c, 6}与向量b ={ 1, 4, -3}垂直，则常数c=______.7.函数z =224y x --ln(x 2+y 2-1)的定义域为______.8．二次积分I =⎰⎰--21011d d y x f ( x, y )y ,交换积分次序后I =______.9．已知y =sin2x +ce x 是微分方程y ''+4y =0的解，则常数c =______.10.幂级数∑∞=+013n nn x 的收敛半径R =______. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．将直线⎩⎨⎧=-++=++0432023z y x z y x 化为参数式和对称式方程. 12.设方程f ( x + y + z, x, x + y )=0确定函数z = z ( x, y ),其中f 为可微函数，求x z ∂∂和y z ∂∂. 13.求曲面z = 2y + ln yx 在点（1，1，2）处的切平面方程.14.求函数z = x 2 - y 2在点（2，3）处，沿从点A （2，3）到点B （3，3+3）的方向l 的方向导数.15.计算二重积分()⎰⎰+D y x x yd d sin 32，其中积分区域D 是由y = | x |和y = 1所围成.16.计算三重积分I =⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中积分区域Ω是由x 2+y 2=4及平面z = 0，z = 2所围的在第一卦限内的区域.17.计算对弧长的曲线积分I =⎰L ds y 2，其中L 为圆周x 2+y 2=9的左半圆. 18.计算对坐标的曲线积分I =⎰-++L y y x x x y d )1(d )1(22，其中L 是平面区域D ：x 2 + y 2 ≤4的正向边界.19.验证y 1 = e x ,y 2 = x 都是微分方程（1 – x ）y ''+y x '-y = 0的解，并写出该微分方程的通解。
自学考试高等数学练习试卷4(题后含答案及解析)
自学考试高等数学练习试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题选择题1．在下列极限求解中，正确的是( )．正确答案：C解析：根据洛必达法则可知2．设y=f(x)可导，则f(x－2h)－f(x)等于( )．A．f’(x)h+o(h)B．－2f’(x)h+o(h)C．－f’(x)h+o(h)D．2f’(x)h+o(h)正确答案：B解析：3．设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则A．cos4x+CB．C．2cos4x+CD．sin4x+C正确答案：A解析：根据函数的定义，f(x)=F’(x)=(sin2x)’=2cos2x，f’(x)=－4sin2x，f’(2x)=－4sin4x，所以4．设二重积分的积分域D是x2+y2≤1，则等于( )．A．B．4πC．3πD．5π正确答案：A解析：积分区域D如图所示：0≤r≤1，0≤θ≤2π．所以5．在区间[－1，1]上，不满足罗尔定理的函数是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：罗尔定理必须满足下列条件：函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且f(x)在区间端点的函数值相等．6．在空间坐标系中，下列为平面方程的是( )．A．y2=xB．C．D．3x+4z=0正确答案：D解析：平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0故选D项．另外，A项：y2=x 是一条抛物线B项：是两条平面正交线，显然是一空间直线C项：是空间直线方程的一般式．填空题7．正确答案：1解析：8．yy”－(y)2=0的通解为_____________．正确答案：y=C2eC1x解析：令y’=p，则因为所以当p≠0时，则即y’=C1y y=C2eC1xp=0，那么y=C，方程通解为y=C2eC1x9．曲线y=x2(x－3)的拐点坐标是____________．正确答案：(1，－2)解析：y=x2(x－3)=x3－3x2y’=3x2－6x y”=6x－6当y”=6x－6=0时x=1，y=－2.10．设则正确答案：1解析：11．的收敛区间是____________．正确答案：[－1，1]解析：当x=1时，发散，当x=－1时，条件收敛，所以其收敛域为[－1，1)．12．设y=C1e2x+C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_____________．正确答案：y”－5y’+6y=0解析：由二阶常系数齐次线性微分方程通解y=C1e2x+C2e3x，可知特征根为λ1=2，λ2=3，对应特征方程为：(λ－2)(λ－3)=0，即λ2－5λ+6=0，所以对应微分方程为y”－5y’+6y=0．解答题13．若在x=0处连续，求a，b，c．正确答案：因为f(x)在x=0处连续，所以f(0－0)=f(0+0)=f(0)，得：b=ce－4=1所以c=e4，b=1，a为任意实数．14．求不定积分正确答案：15．求正确答案：16．求函数哪一点上的切线与直线y=x成60°角?正确答案：设切线斜率为k2＜0，y=x=k1=1解得那么解得17．已知u=f(x+y，x2，y sinx)，求正确答案：18．求微分方程xy’－y=x2ex的通解．正确答案：原方程化为：19．求级数的和数．正确答案：∴对上式两边求导得：对上式两边再次求导，得：于是，对上式两边取x=1，得20．当k为何值时，广义积分收敛?当k为何值时，这个广义积分发散?又当k为何值时，广义积分取得最小值?正确答案：当k≠1时，当k=1时，发散，即，当k＞1时，广义积分收敛；当k≤1时，广义积分发散．设则令f’(k)=0，得驻点但当k＜k0时，f’(k)＜0；当k＞k0时，f’(k)＞0，所以，当时，广义积分取极小值，也就是最小值．综合题21．设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)．正确答案：由xf’=(x)=f(x)+3x2，可得所以q=3x.那么所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx.由题意可得：所以C=2.所以f(x)=3x2+2x.设其中Dt，是由x=t，y=t以及坐标轴围成的正方形区域，函数f(x)连续．22．求a的值使得g(t)连续；正确答案：如图，画出积分区域，则根据函数连续定义，满足所以a=0．23．求g’(t)．正确答案：当t≠0时，t=0时，所以，g’(t)=f(t)．24．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间有如下关系：z=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2．问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?正确答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)-C(x，y) =15+14x+32y－8xy －2x2－10y2－(x+y) =15+13x+31y－8xy－2x2－10y2于是令得驻点又Lxx”(x，y)=－4，Lxy”(x，y)=-8，Lyy”(x，y)=-20，故B2－AC=64－(－4)×(-20)=一16＜0．又A=－4＜0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点．即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时，才能达到最优广告策略．证明题25．证明：当x＞0时，成立．正确答案：(1)变形：这是对函数的增量形式令f(t)=lnt，t∈[x,1+x].(2)f(t)=lnt在[x,1+x]应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)-lnx=(x+1-x)，(3)∵x＜ξ＜x+1，故有26．设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e－x．正确答案：(1)因为F(x)·G(x)=－1，(2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=ex．(ii)若F(x)=－f(x)，即f(x)=－f’(x) →lnf(x)=－x+C2，f(x)=Ce-x 由f(0)=1，得C=1．故有f(x)=e－x．。
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全国2012年4月自考《高等数学（一）》试题答案详解课程代码：00020试卷总体分析：试卷详解：一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数y=f(x)的图形如图所示，则它的值域为( ) A.[1,4） B.[1,4] C.[1,5)D.[1,5] 答案：C知识点：函数值域 解： 由图像观察可得。
2.当x →0时，下列变量为无穷小量的是( ) A.21sin x x B.1sin x xC.xe -答案：A知识点：无穷小量解：21lim sin0x x x →= 3.设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim 1x f f x x→--=-，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A.1B.0C.-1D.-2答案：C知识点：导数的几何意义 解：00(1)(1)(1)(1)'(1)limlim 1x x f x f f f x f x x→→----===-- 4.曲线21(1)y x =-的渐近线的条数为 ( )A.1B.2C.3D.4答案：B知识点：曲线的渐近线 解：2211lim0(1)1lim ,(1)x x x x →∞→=-=∞-因为，则原曲线有水平渐近线y=0因为则原曲线有竖直渐近线x=15.下列积分中可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的是( ) A.111dx x -⎰B.111d x x -⎰2（2+1）C.1211d x x -⎰D.1x -⎰答案：D知识点：牛顿-莱布尼茨公式解：函数要在积分区间上连续。
彩电 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数2,||1(),1,||1x f x x ≤⎧=⎨⎩>则f [f(1)]=______. 答案：1知识点：复合函数 解：f [f(1)]= f [2]=17.已知33lim 1nkn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k=______. 答案：-1知识点：重要极限 解：333333lim 1lim 11knnkk n n e e n n k -→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴=- 8.若级数1nn u∞→∑的前n 项和1121n S n =-+,则该级数的和S=______. 答案：12知识点：级数的和 解：111lim lim 212n n n S S n →∞→∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭ 9.设函数f(x)可微，则微分d[e f(x)]=______. 答案：e f(x)f ’(x)dx知识点：函数微分 解：d[e f(x)]= e f(x)f ’(x)dx10.曲线y=3x 5-5x 4+4x-1的拐点是______. 答案：（1，1）知识点：.曲线的拐点 解：4332'15204"6060"00,10,"0,0,"0,1,"0,1,"0,(1,1)y x x y x x y x x y x y x y x y =-+=-==<<><<<>>由解得因为当时当时 当时当时所以曲线的拐点是11.函数()arctan f x x x =-在闭区间[-1,1]上的最大值是______. 答案：14π-知识点：函数最值 解：2221'()100,11(-1)-1-(0)0(1)14414x f x x x x f f f πππ=-===++===--由解得函数驻点无不可导点又，，所以函数在的最大值是12.导数20d sin 2d d xu u x ⎰=______.答案：2sin 4x知识点：变限积分求导 解：20d sin 2d 2sin 4d xu u x x=⎰ 13.微分方程2()20x y xy y '''-+=的阶数是______. 答案：2知识点：微分方程的阶数 解：微分方程的阶的定义14.设22{(,)|4}D x y x y =+≤，则二重积分d d Dx y =⎰⎰______.答案：4π知识点：二重积分的性质 解：d d 4Dx y π=⎰⎰15.设函数(,)ln()2y f x y x =+，则偏导数(0,1)y f =＇______. 答案：1知识点：偏导数 解：(0,1)1(0,1)12y f x y ==+＇三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设函数21()cos x f x e x-=，求导数()f x '.答案：22111sin 2cos x ex xx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭知识点：函数求导 解：2222221111'()cos '2cos sin111sin 2cos x x x x f x e xe e x x x x e x xx x ----⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 17.求极限0tan limsin x x xx x→--.答案：-2知识点：函数极限 解：020200tan limsin sec 1limcos 12sec tan lim sin 12limcos 2x x x x x x x x x x x x xx →→→→---=-=-=-=-法一：02020220tan limsin sec 1limcos 1tan limcos 1lim 22x x x x x xx x x x xx x x →→→→---=-=-=-=-法二：18.求函数3212()2333f x x x x =-++的极值. 答案：2(1)2(3)3f f ==极大值为，极小值为 知识点：函数极值解：2'()43(1)(3)01,3f x x x x x x =-+=--==由解得函数驻点为"()24"(1)20"(3)201(1)223(3)3f x x f f x f x f =-=-<=>∴====法一： 是函数的极大值点，极大值为是函数的极小值点，极小值为1'()0,3'()0,1(1)23'()0,3'()0,23(3)3x f x x f x x f x f x x f x x f <><<<==<<<>>==法二： 当时，当1时，则是函数的极大值点，极大值为当1时，当时，则是函数的极小值点，极小值为 19.计算无穷限反常积分231=d 610I x x x +∞-++⎰.答案：2π 知识点：无穷限反常积分()()()232331=d 6101d 331arctan 32I xx x x x x π+∞-+∞-+∞-++=+++=+=⎰⎰解： 20.计算二重积分=(32)d d DI x y x y +⎰⎰，其中D 是由直线x+y=1及两个坐标轴围成的区域，如图所示.答案：56知识点：二重积分 解：()1100:=(32)d d 3256DxI x y x yx y dydx -+=+=⎰⎰⎰⎰法一 ()1100:=(32)d d 3256DyI x y x yx y dxdy -+=+=⎰⎰⎰⎰法二 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.确定常数a,b 的值，使函数3sin ,0()ln(1)0x x f x a x b x <⎧=⎨++≥⎩在点x=0处可导.答案：3；0知识点：函数的可导与连续-00'(0)3cos 3'(0)1'(0)'(0)300lim 3sin =0=f(0)=bx x x f x a f axf f a x -=+=+-→====+=∴===解： 又 根据函数在x 处可导，得函数在x 处连续,则 22.设某商品的需求函数为Q(P)=12-0.5P （其中P 为价格）. （1）求需求价格弹性函数. （2）求最大收益. 答案：24pp-；72知识点：需求价格弹性及最大值 解： （1）()()'0.5120.524EQ p p pQ p Ep Q p p=-=-⨯-=-- （2） 收益函数R(P)=PQ=P*(12-0.5P)= 2120.5p p -'()120=12"()10=12()(12)=72R P p p R P p R P R =-==-<由得故是的最大值点，最大值为23.计算定积分20=I x .答案：14π-知识点：定积分的换元积分法 解：()22244430000=sin 00,,=sin 0,244sin =cost d sec 1d tan 1cos 4x t x t x t x t t I x t t t t t t ππππππ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦==-=-=-⎰⎰设，当时，当在上单调，故五、应用题（本题9分） 24.设曲线1y x=与直线y=4x,x=2及x 轴围成的区域为D ， 如图所示.（1）求D 的面积A.（2）求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x . 答案：12ln 22+；136π知识点：定积分的几何应用解：12122221021021122222211002211(40)(0)2ln 2ln 2211=(2)+()2ln 2ln 244882A x dx dx x x x y y y y A dy dy y x y =-+-=+=+⎛⎫⎛⎫--=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰法一：法二：12222102113(4)()6x V x dx dx x πππ=+=⎰⎰六、证明题（本题5分）25.设函数z=xy+f(u)，u=y 2-x 2，其中f 是可微函数.证明：22z zyx x y x y∂∂+=+∂∂. 知识点：偏导数及复合函数求导 证明：()()()()22222'2'=2'2'zy xf u x zx yf u y z z y xx yy xyf u x xyf u x y ∂=-∂∂=+∂∂∂∴+∂∂-++=+ 本资料由广州自考网收集整理，更多自考资料请登录 下载考试必看：自考一次通过的秘诀！。