2010年广州市高三年级调研测试-数学(文科)含答案

试卷类型：A2010 年广州市高三年级调研测试数学（文科）2010.1本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,8 2．函数()12f x x =-的定义域为A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ． (],2-∞D ． [)2,+∞3．圆心为()0,4，且过点()3,0的圆的方程为A ．()22425x y +-= B ．()22425x y ++=C ．()22425x y -+= D ．()22425x y ++=4．某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重.将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在45~50kg 的人数是A ．10B ．30C ．50D ．6040 45 50 55 60 体重频率组距（kg ）0.10 0.08 0.06 0.04 0.025．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R6．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（-∞，0），当1x <2x 时，都有1()f x <2()f x ”的函数是A ．()1f x x =-+B ．2()1f x x =-C ．()2x f x =D ．()()ln f x x =- 7．已知等差数列}{n a 中，73a =，则数列}{n a 的前13项之和为A ．239 B ．39 C ．2117 D ．1178．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是A ．16B ．13C ．12D ．229．已知函数()cos 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是奇函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数10．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足 A ．20101010a << B ．20101110a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ． 201010a >二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．复数52i-（i 是虚数单位）的模等于 ．12．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为 ．开始2n n =-结束()nf x x =f （x ）在（0，+∞）上单调递减？输出n是否输入n111主视图侧视图112俯视图13．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，给出下列四个命题：①若//,m n m α⊥，则n α⊥； ②若,,m m αβαβ⊥⊥则 ； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,,//m n m n αα⊂则． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图，在△ABC 中，60A ∠= ，70ACB ∠= ，C F 是△ABC 的 边AB 上的高，F P B C ⊥于点P ，FQ AC ⊥于点Q ，则CQP ∠的 大小为 ．15．（《坐标系与参数方程》选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）设向量()3,3O A =- ，(cos ,sin )O B θθ= ，其中02πθ≤≤．（1）若13A B =，求tan θ的值；（2）求△AO B 面积的最大值．17．（本小题满分12分）已知向量()1,2=-a ，(),x y =b ．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1=- a b 的概率； （2）若,x y ∈[]1,6，求满足0> a b 的概率．18．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -中，E 是C D 的 中点．（1）求证：1A C 平面1A D E ；（2）在对角线1A C 上是否存在点P ，使得D P ⊥平面1A D E ？ 若存在，求出C P 的长；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）已知两点(1,0)M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||M N N P M N M P ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线A K 与圆22(2)4x y +-=的位置关系．20．（本小题满分14分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >． （1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()()2f x xx a =-．（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ； （3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，求实数m 的取 值范围．ABC DE1A 1B1C 1D2010 年广州市高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．5 12．1- 13．①②③ 14．50 15．()1,1- 简答或提示：10．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ．14．由F P B C ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠ ()180A C =-∠+∠()180607050=-+= ．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，()cos 3,sin 3AB O B O A θθ=-=-+，………………………2分所以()()222cos 3sin 3ABθθ=-++136cos 23sin 13θθ=-+=， …………4分所以3sin 3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan 3θ=． …………………………6分（2）解：由02πθ≤≤，得6A OB πθ∠=+．……………………………………………8分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A A C D C B C D B所以1sin 2A O BS O A O B A O B ∆=∠1231sin 3sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………10分所以当3πθ=时，△AO B 的面积取得最大值3．………………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）解：设(),x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分 用A 表示事件“1=- a b ”，即21x y -=-.…………………………………………………3分 则A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．……………………………5分 ∴()313612P A ==．答：事件“1=- a b ”的概率为112．…………………………………………………………6分（2）解：用B 表示事件“0> a b ”，即20x y ->. …………………………………7分 试验的全部结果所构成的区域为(){},16,16x y x y ≤≤≤≤，…………………………………………8分构成事件B 的区域为(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->，如图所示．………………………………10分所以所求的概率为()142425525P B ⨯⨯==⨯．答：事件“0> a b ”的概率为425．………………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：连结1A D ，交1AD 于点F ，连结EF ．…1分 因为四边形11AD D A 是正方形，所以F 是1A D 的中点， 又E 是C D 的中点，所以1EF A C ．…………………3分 因为E F ⊂平面1A D E ，1A C ⊄平面1A D E ，所以1A C 平面1A D E ．…………………………………5分ABC D E1A 1B1C 1D F Px y Ox =1x =6y =1y =6 x -2y =0（2）解：在对角线1A C 上存在点P ，且33C P =，使得D P ⊥平面1A D E ．…………6分证明如下：因为四边形11AD D A 是正方形，所以11AD A D ⊥．……………………………7分 因为C D ⊥平面11AD D A ，1AD ⊂平面11AD D A ，所以1C D AD ⊥．……………………8分 因为1A D C D D = ，所以1AD ⊥平面1A C D ．…………………………………………9分 因为1AD ⊂平面1A D E ，所以平面1A D E ⊥平面1A C D ．………………………………10分 作D P ⊥1A C 于P ，因为1EF A C ，所以D P ⊥EF ．………………………………11分 因为D P ⊂平面1A C D ，平面1A C D 平面1A D E E F =，所以D P ⊥平面1A D E ．…12分由R t △1A C D ∽R t D C P ∆，得2113C DC P A C==33=．所以当33C P =时，D P ⊥平面1A DE ．…………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)M N = ，(1,)N P x y =- ，(1,)M P x y =+．…………2分由||||M N N P M N M P ⋅=⋅ ，得222(1)2(1)x y x -+=+，………………………………………………………………4分 化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =． ……………………………………………………5分（2）解：由(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．…………6分当4m =时，直线A K 的方程为4x =，此时直线A K 与圆22(2)4x y +-=相离．………7分当4m ≠时，直线A K 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=．…………8分圆22(2)4x y +-=的圆心(0,2)到直线A K 的距离22816(4)m d m +=+-，令228216(4)m d m +=<+-，解得1m <；令228216(4)m d m +==+-，解得1m =；令228216(4)m d m +=>+-，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线A K 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线A K 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线A K 与圆22(2)4x y +-=相离．………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．…………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S m a m a --=-=-． ………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a m a m -=+()2n ≥． …………………………………………3分∴数列}{n a 是首项为1，公比为1m m+的等比数列． ………………………………………4分（2）解：由（1）得，()m f q =1m m=+，1122b a ==． ………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+， …………………………………………………………………6分∴1111nn b b -=+，即1111=--n nb b ()2n ≥． ………………………………………………7分∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列． ………………………………………………8分∴()11211122nn n b -=+-⋅=，即221n b n =-（*n ∈N ）． ………………………………9分（3）解：由（2）知221n b n =-，则()12221n nnn b +=-． ………………………………10分所以2341123122222nn n n nT b b b b b +-=+++++，即n T ()()1231212325223221n n n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯- ， ① ………11分则()()23412212325223221nn n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯- ， ② ………12分②－①得()13412212222n n n T n ++=⨯------ ， ……………………………………13分故()()()31112122212223612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-. ……………………………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．……2分即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，…………………………………………………………………3分 3321223x <⨯= ，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为[)1,+∞．………………………………………………………………4分（2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数， 所以()()11h a f a ==-． ………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-． ………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >．所以()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数． 所以()324327h a f a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭． ……………………………………………………………8分 ④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数．所以()()284h a f a ==-． …………………………………………………………………9分 综上所述，函数()f x 在区间[]1,2的最小值：()331,,243,3,27284,3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩………………………10分（3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解， 即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个 不同的交点．……………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……………14分 O ay1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1k =- 4k =-。