《中位数与众数》教学设计

第六章数据的分析2. 中位数与众数一、学情与教材分析1.学情分析经过前两节课的学习，学生已理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，会求一组数据的算术平均数和加权平均数，能利用平均数解决实际问题．学生在算术平均数和加权平均数的学习活动中，解决了一些相关的实际问题，体会到权的差异对平均数的影响，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验，初步形成了动手实践、自主探索、合作交流的学习方式．2.教材分析《中位数与众数》是北师大版八年级上册第六章第二节内容．平均数，中位数，众数是描述一组数据的集中趋势的3个数据代表，是帮助学生学会用数据说话的基本概念，在此之前，学生已经学习了第1节《平均数》，本节内容是继《平均数》学习之后的后续内容，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是联系现实生活，培养学生应用数学意识和创新能力的良好素材．二、教学目标1.掌握中位数、众数的概念，会求出一组数据的中位数与众数；能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判．2.通过解决实际问题的过程，区分刻画“平均水平”的三个数据代表，让学生获得一定的评判能力，进一步发展其数学应用能力．3.将知识的学习放在解决问题的情境中，通过数据分析与处理，体会数学与现实生活的联系，培养学生求真的科学态度．三、教学重难点教学重点：掌握中位数与众数的概念，及两概念的简单运用．教学难点：平均数、中位数和众数三者的差别，并能在具体情境中选择恰当的数据代表，对数据做出自己的评判．四、教法建议根据教材内容和初二学生的认知特点，采用“以问题为中心”的讨论发现法：即课堂上，教师或学生提出适当的数学问题，通过学生与学生（或教师）之间相互讨论，相互学习，在问题解决过程中发现概念，逐步建立认知结构．五、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1：阅读课本p142-143，什么是中位数？什么是众数？（观看《中位数与众数》新知讲解00:00-02:00）任务2：结合实例，怎么找出一组数据中的中位数，众数呢？（观看《中位数与众数》新知讲解02:01-06:29）任务3：课下调查20名男同学所穿运动鞋的尺码，其中这些尺码的平均数、中位数、众数分别是多少？2．预习自测一、选择题1．已知数据：2，1，4，6，9，8，6，1，则这组数据的中位数是（）A．4 B．6 C．5 D．4和6答案：C解析：从小到大排列此数据为：1、1、2、4、6、6、8、9，第4位和第5位分别是4和6，平均数是5，则这组数据的中位数是5．点拨：要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数的平均数．2．某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给1号选手的评分如下：90，96，91，96，95，94．那么，这组数据的众数和中位数分别是（）A．96，94.5 B．96，95 C．95，94.5 D．95，95答案：A解析：在这一组数据中96是出现次数最多的，故众数是96；而将这组数据从小到大的顺序排列（90，91，94，95，96，96），处于中间位置的那个数是94、95，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（94+95）÷2=94.5．故这组数据的众数和中位数分别是96，94.5．点拨：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．二、填空题3．某中学排球队12名队员的年龄情况如下表：则这个队员年龄的众数是___________．答案：14解析：这组数据中，14岁的人数最多，故众数为14．点拨：根据众数的概念求解．4．某地连续九天的最高气温统计如下表：则这组数据的中位数与众数分别___________．答案：24℃； 25℃解析：在这一组数据中25是出现次数最多的，故众数是25；处于这组数据中间位置的那个数是24，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是24；故这组数据的中位数与众数分别是24，25．故答案为24℃； 25℃．点拨：根据众数和中位数的定义就可以求解．(或点击“随堂训练”，选择“《中位数与众数》预习自测”)（二）课堂设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究发现；第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结．第一环节：情境引入内容：在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，人们经常要求一些信息“用数据说话”，所以对数据作出恰当的评判是很重要的．下面请看一例：某次数学考试，小英得了78分．全班共32人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，2个62分，1个30分，1个25分．小英计算出全班的平均分为77.4分，所以小英告诉妈妈说，自己这次数学成绩在班上处于“中上水平”．小英对妈妈说的情况属实吗？你对此有何看法？引导学生展开讨论，作出评判：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第五的成绩说成处于班级的“中上水平”显然是不属实的．原因是全班的平均分受到了两个极端数据30分和25分的影响，利用平均数反应问题就出现了偏差．怎样说明这个问题呢？我们需要学习新的数据代表——中位数与众数．目的：一是复习平均数的概念与计算，同时说明有些数据利用平均数是反应不出问题的，为引入新的数据代表奠定基础．二是根据学生的心理特征和认识规律，力求创设一种引人入胜的教学情景，引起学生对“平均水平”的认知冲突，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生积极投入新知识的学习．注意事项：本环节占用的时间不宜长，只要达到引入新课、调动学生学习积极性的目的既可．第二环节：探究发现内容：问题：某公司员工的月工资如下：经理说：我公司员工收入很高，月平均工资为2700元．职员C说：我的工资是1900元，在公司算中等收入．职员D说：我们好几个人工资都是1800元．一位应聘者心里在琢磨：这个公司员工收入到底怎样呢？你怎样看待该公司员工的收入？学生四人小组讨论，交流自己的看法，教师对表现积极的学生予以鼓励．在学生讨论交流的基础上，教师进行点拨：上述问题中，经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司的收入情况：（1）月平均工资2700元，指所有员工工资的平均数是2700元，但只有正、副经理的工资比平均工资高，是他两人的工资把平均工资“拉”高了．（2）职员C的工资是1900元，恰好居于所有员工工资的“正中间”（恰有4人的工资比他高，有4人的工资比他低），我们称1900元是这组数据的中位数．（3）9个员工中有3个人的工资为1800元，出现的次数最多，我们称1800元是这组数据的众数．议一议：你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适？让学生讨论，充分发表不同的观点，然后归纳起来：用中位数1900元或众数1800元表示该公司员工收入的平均水平更合适些，因为平均数2700元受到了极端值的影响．结合上述问题的探究，引入中位数、众数的概念：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．教师指出：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”．让学生用中位数、众数的概念回头望，解释引例中小英的数学成绩的问题．目的：通过有争议的问题情境，再次引起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和学习热情；通过讨论交流，培养了学生的自主探索、合作交流的意识与能力，改变学生的学习方式：通过解决问题，让学生多角度地认识平均，使他们的认知冲突得到升华．注意事项：在问题的讨论中，学生从不同的角度理解问题会有不同的观点，只要学生说得有道理，教师就应给予肯定和鼓励，不可强求结论的一致性．第三环节：知识运用内容：1. 对于一组数据：3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，下列说法正确的是（）A. 这组数据的众数是3；B. 这组数据的众数与中位数的数值不等；C. 这组数据的中位数与平均数的数值相等；D. 这组数据的平均数与众数的数值相等．答案：A2. 2011～2012 赛季北京金隅队队员身高的中位数、众数分别是多少？（课本48页）3. 你课前所调查的20名男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数、众数分别是多少？你认为学校商店应多进哪种尺码的男式运动鞋？目的：第1、2题是基础题，考查平均数、中位数和众数的概念及求法，特别是通过第2题要使学生认识到一组数据中众数不一定只有一个．第3题既是上节课的作业题，又是本节课的“做一做”，不仅渗透了抽样调查的思想，而且让学生在具体情景中，选择恰当的数据代表对问题作出评判，培养学生的实践能力．注意事项：教师根据学生解答问题的情况，及时反馈矫正、积极评价．特别是第3题由于所选的样本不是很大，个别学生有不同看法是允许的．第四环节：随堂检测一、选择题1．数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（）A．21和19 B．21和17 C．20和19 D．20和18答案：A解析：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2=19，故中位数为19．点拨：根据众数和中位数的定义求解即可．2．在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：这此测试成绩的中位数和众数分别为（）A．47，49 B．47.5，49 C．48，49 D．48，50答案：C解析：49出现的次数最多，出现了5次，所以众数为49，第8个数是48，所以中位数为48，故选C．点拨：根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第8个数解答即可．二、填空题3．已知一组数据：2，1，﹣1，0，3，则这组数据的中位数是_________．答案：1解析：从小到大排列此数据为：﹣1，0，1，2，3，第3位是1，则这组数据的中位数是1．点拨：要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数）即可．4．某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是________岁．答案：15解析：∵该班有40名同学，∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，∵15岁的有21人，∴这个班同学年龄的中位数是15岁．点拨：根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．三、解答题5．物理兴趣小组20位同学在实验操作中的得分情况如下表：（1）写出这20位同学实验操作得分的中位数．（2）求这20位同学实验操作得分的平均分．答案：见解析解析：（1）20个数据的中位数是第10个和第11个同学的得分的平均数，即（9+9）÷2=9．所以中位数为9．（2）平均分==8.75分．所以这20位同学实验操作得分的平均分为8.75分．点拨：①20个数据的中位数是第10个和第11个同学的得分的平均数．②平均分=总分数÷总人数．（或点击“随堂训练”，选择“《中位数与众数》随堂检测”）第五环节：课堂小结议一议：平均数、中位数和众数有哪些特征？学生讨论交流，师生共同总结特征：1. 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响．2. 用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，它不能充分利用所有数据的信息，但它不受极端值的影响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用它来描述这组数据的“集中趋势”．3. 用众数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它不受极端值的影响．当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一种统计量．要根据不同的实际需要，确定是用平均数、中位数还是众数来反映数据的平均水平．目的：通过合作交流、归纳总结，使学生体会到平均数、中位数、众数三者的差别，并能在情景中，选择恰当的数据代表对数据作出评判，培养学生的判断能力和学习能力．注意事项：在学生总结平均数、中位数和众数的特征时，最好是让他们结合具体实例来说明，这样对学生理解数据的代表的特征、恰当地运用它们作出评判颇有好处．布置作业：1. 课本习题6.2的第1，2，3题．2. 收集一组与本班同学相关的生活数据（例如每分钟心跳的次数，眼镜近视的度数、身高、体重等），并选择恰当的数据代表来说明本组数据的特征．（三）课后作业基础型一、选择题1．一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，则这组数据的众数、中位数分别是（）A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．5，8解析：∵3，x，4，5，8的平均数为5，∴（3+x+4+5+8）÷5=5，解得：x=5，把这组数据从小到大排列为3，4，5，5，8，∴这组数据的中位数为5，∵5出现的次数最多，∴这组数据的众数是5；故选B．点拨：先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可．2．某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（）A．10，20.6 B．20，20.6 C．10，30.6 D．20，30.6答案：D解析：共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数，∴中位数是（20+20）÷2=20；平均数=（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=30.6；故选D．点拨：根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可．二、填空题3．在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是___________．解析：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（26+26）÷2=26，则中位数是26．点拨：根据中位数的定义，即可解答．4．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为___________．答案：6解析：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，∴，解得，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6．点拨：首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可．三、解答题5．有七个数由小到大依次排列，其平均数是38，如果这组数的前四位数的平均数是33，后四个数的平均数是42．求它们的中位数．答案：见解析解析：设中间的一个数即中位数为x，由题意得，x=33×4+42×4﹣38×7=34，则中位数为34．点拨：根据7个数的平均数是38，就可以求出这7个数的和．前4个数的和与后四个数的和，减去7个数的和就是第四个数，即7个数的中位数．能力型一、选择题1．有11个互不相同的数，下面哪种方法可以不改变它们的中位数（）A．将每个数加倍 B．将最小的数增加任意值C．将最大的数减小任意值 D．将最大的数增加任意值答案：D解析：A、将每个数加倍，则中位数加倍；B、将最小的数增加任意值，可能成为最大值，中位数将改变；C、将最大的数减小任意值，可能成为最小值，中位数将改变；D、将最大的数增加任意值，还是最大值，中位数不变．点拨：11个不同的数按大小排列，第6个数为中位数，看哪个选项没改变第6个数．2．一组互不相等的数据，它的中位数为80，小于中位数的数的平均数为70，大于中位数的数的平均数为96，设这组数据的平均数为，则=（）A．82 B．83 C．80≤≤82 D．82≤≤83答案：D解析：大于中位数与小于中位数的数个数相同，可以设都是m个．当这组数有偶数个时，则中位数不是这组数中的数，则这组数有2m个，则平均数是：=83；当这组数据的个数是奇数个时，则这组数有2m+1个，则平均数是：=83﹣，而m≥1，因而0＜≤1∴83﹣≥83﹣1=82且83﹣＜83．故82≤＜83．点拨：当这组数据的个数应分为奇数个与偶数个两种情况进行讨论，并且大于中位数与小于中位数的数个数相同，可以设都是m个，根据平均数的计算公式即可求解．二、填空题3．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则对于1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数可表示为___________．答案：解析：将1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5这组数据从小到大重新排列后最中间的两个数为x5与1，则中位数是．点拨：首先将数据1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5按大小排列的，然后根据中位数的定义求解．三、解答题4．请根据下列图表信息解答问题：（1）表中空缺的数据为_________；（精确到1%）（2）求统计表中增长率的平均数及中位数；（3）预测2017年的观影人次，并说明理由．答案：见解析解析：（1）由题意可得，2016年的年增长率是：（13.72﹣12.60）÷12.60×100%≈9%；（2）统计表中增长率的平均数为：（31%+27%+32%+35%+52%+9%）÷6=31%；将它们按从小到大的顺序排列为：9%，27%，31%，32%，35%，52%，所以中位数是（31%+32%）÷2=31.5%；（3）2017年的观影人次为：13.72×（1+31%）≈17.97（人次），预估的理由是：由折线统计图和表格可知，最近6年增长率的平均数为31%，故预估2016年的增长率为31%．点拨：（1）根据折线统计图可以得到2016年的年增长率；（2）根据平均数与中位数的定义求解；（3）根据条象形统计图和扇形统计图可以解答本题．探究型一、解答题1．某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60﹣﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为_______；b．可以推断出 _______部门员工的生产技能水平较高，理由为_________________________________________________________；_________________________________________________________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）答案：见解析解析：填表如下：a.×400=240（人）．故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；b．答案不唯一，理由合理即可．可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高．或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．点拨：根据收集数据填写表格即可求解；用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案，根据情况进行讨论分析，理由合理即可．2．顺义区某中学举行春季运动会，初二年级决定从本年级300名女生中挑选64人组成花束方队，要求身高基本一致，这个工作交给年级学生会体育部小红、小冬和小芳来完成．为了达到年级的选拔要求，小红、小冬和小芳各自对本学校初二年级的女生身高进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1 小红抽样调查初二年级4名女同学身高统计表（单位：cm）表2 小冬抽样调查初二年级15名女同学身高统计表（单位：cm）表3 小芳抽样调查初二年级15名女同学身高统计表（单位：cm）根据自己的调查数据，小红说应选取身高为163cm（数据的平均数）的同学参加方队，小冬说应选取身高为165cm（数据的中位数）的同学参加方队，小芳说应选取身高为160cm（数据的众数）的同学参加方队．根据以上材料回答问题：小红、小冬和小芳三人中，哪一位同学的抽样调查及得出的结论更符合年级的要求，并简要说明符合要求的理由，同时其他两位同学的抽样调查或得出结论的不足之处．答案：见解析解析：小芳的结论更符合年级的要求．小芳的15个数据中的众数为160cm，说明全年级身高为160cm的女生最多，估计约有80人，因此将挑选标准定在160cm，便于组成身高整齐的花束方队．小红的结论是由数据平均数得出的，但调查的样本容量较少；小冬的结论是由数据中位数得出的，但不能表明165cm身高的学生够64人．点拨：根据众数、中位数和平均数的意义解答可得．（或点击“随堂训练”，选择“《中位数与众数》基础型”、“《中位数与众数》能力型”、“《中位数与众数》探究型”）。