专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义答案

专题三 导数及其应用

第七讲 导数的计算与导数的几何意义

答案部分 2019年

1.解析 因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31x

y x x =++（），

所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）

处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 由y =2sin x +cos x ，得2cos sin y x x '=-，所以π

2cos πsin π=-2x y ='

=-，

所以曲线y =2sin x +cos x 在点(π,1)-处的切线方程为12(π)y x +=--， 即2210x y +-π+=． 故选C ．

3.解析 e ln x y a x x =+的导数为

'e ln 1x

y a x =++， 又函数

e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1

e a -=，

又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ． 4.解析 由题意，可知1

sin 2y x '=--.

因为1sin 002y x '=--==

所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程1

12

y x -=-，即220x y +-=． 5.解析 设00(,ln )A x x ，由ln y x =，得1

'y x

=

，所以001'|x x y x ==，

则该曲线在点A 处的切线方程为000

1

ln ()y x x x x -=

-，因为切线经过点(e,1)--， 所以00

e 1ln 1x x --=-

-，即00e

ln x x =，则0e x =．

2010-2018年

1．D 【解析】通解 因为函数3

2

()(1)=+-+f x x a x ax 为奇年函数，所以()()-=-f x f x ，

所以3

2

3

2

()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以2

2(1)0-=a x ，

因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2

()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0) 处的切线方程为=y x ．故选D ．

优解一 因为函数3

2

()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以

11(11)0

-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3

()=+f x x x ， 所以2

()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为

=y x ．故选D ．

优解二 易知3

2

2

()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2

()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以

3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的

切线方程为=y x ．故选D ． 2．A 【解析】对于选项A ，1()2

()2-==x

x f x ， 则1()()()22=⋅=x x x x e e f x e ，∵12

>e

，∴()x

e f x )在R 上单调递增，∴()2-=x f x 具有M 性质．对于选项B ，2

()=f x x ，

2()=x x e f x e x ，2[()](2)'=+x x e f x e x x ，令2(2)0+>x e x x ，得0>x 或2<-x ；

令2

(2)0+

e f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，

在(2,0)-上单调递减，∴2

()=f x x 不具有M 性质．对于选项C ，1()3()3

-==x x

f x ，

则1()()()3

3

=⋅=x

x

x

x

e e

f x e ，∵

13

=x e

y 在R 上单调递减，∴()3-=x f x 不具有M 性质．对于选项D ，()cos =f x x ，()cos =x

x

e f x e x ，

则[cos ](cos sin )0'=-≥x

x

e x e x x 在R 上不恒成立，故()cos =x

x

e f x e x 在R 上不是单调递增的，所以()cos =f x x 不具有M 性质．

3．A 【解析】设两个切点分别为11(,)x y ，22(,)x y ，选项A 中，cos y x '=，

12cos cos 1x x =-，

当120,x x π==时满足，故A 正确；函数3

ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.

4．A 【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<）

，则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为1212

11

,.k k x x =

=-由已知得 12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=

∴切线1l 的方程分别为()111

1

ln y x x x x -=-， 切线2l 的方程为()2221

ln y x x x x +=-

-，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝

⎭． 分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为

2

1112

11

21(,ln )11x x P x x x -+++．∵11x >， ∴2112211

211

||||1211PAB

A B P x x S y y x x x ∆+=-⋅=<=++，∴01PAB S ∆<<，故选A ． 5．B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函

数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B ． 6．D 【解析】1

1

y a x '=-

+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 7．A 【解析】∵2

36y x x '=-+∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为23(1)y x -=-，

即31y x =-，故选A.

8．A 【解析】x

y e '=，0x =，0

1e =．

9．C 【解析】∵2

3y x '=，切点为(1,12)P ，所以切线的斜率为3， 故切线方程为

390x y -+=，令0x =得9y =．

10．B 【解析】22

cos (sin cos )sin (cos sin )1

(sin cos )(sin cos )

x x x x x x y x x x x +--'=

=++，所以