理论力学之动量矩定理课件十二章

思考：以下两个定理的区别？
J O M O
J O M O
LO M O
刚体只有作定轴转动时才成立。研究对象是 一个刚体。
LO M O
平面上刚体对定点的动量矩定理。研究对象 可以是一个刚体也可以是个刚体系。
注意事项
必须强调的是：为使动量 矩定理中各物理量的正负 号保持协调，动量矩和力 矩的正负号规定必须完全 一致。
x z
A
MO(mv)
mv Mz(mv)
q
O r
Q
y
M O mv r mv
M z (mv ) [M O (mv )]z
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg· 2/s。 m
质点对点O动量矩在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩：
10.1 对定点的动量矩定理 2 质点系的动量矩
力对轴的矩
10.1 对定点的动量矩定理
动量矩定理平面的情况
平面上对点的动量矩
dLO MO dt
平面上力对点的矩
10.2 刚体定轴转动动力学方程
刚体定轴转动动力学方程
LO J O
J O M O
条件：转轴垂直质量对称平面
10.2 刚体定轴转动动力学方程
例10-5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮 在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物 质量为m。求重物下落的加速度。 解法1：对定点的动量矩定理(系统) FOy
第12章 动量矩定理
自然轴坐标系
e dp Fi dt
动量改变 力系主矢
e maC F
质心运动
力系主矢
物体在移动时运动与受力之间的关系 － 动量定理(或质心运动定理)。
例：匀质圆盘，质心 C 在转轴上。
A
F
动量为零 质心无运动 动量不能反应转动的问题。
C
物体在转动中运动的量与受力之间的关系－动量矩定理
注意：系统有多处有约束的情况，应 用动量矩定理时，要拆开。不以整体 为研究对象。
10.2 刚体定轴转动动力学方程
刚体定轴转动动力学方程
m aCx Fx m aCy Fy J O M O
n aC 2 r t aC r
10.2 刚体定轴转动动力学方程
10.1 对定点的动量矩定理
e dLO M O ( Fi ) dt
定点 作用量(力系的主矩)
运动量(动量矩)
10.1 对定点的动量矩定理
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
对定轴的动量矩
d Lx M x ( Fi (e) ) dt d Ly M y ( Fi (e) ) dt d Lz M z ( Fi (e) ) dt
10.1 对定点的动量矩定理
z
复习力矩概念
MO F r F
MO (F ) M xi M y j M z k
MO(F)
B F A(x,y,z) y
O x
r
h
10.1 对定点的动量矩定理
一、基本概念 1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的 矩，定义为质点对于点O 的动量矩，是固定矢量。
例10-6 图示物理摆的质量为m，C为其质心，摆对转轴的转动 惯量为JO。求微小摆动的周期。 解：设逆时针方向为正。由刚体定轴 转动的动力学方程，有
O
J O mgasin
当微摆动时，有 sin ≈ ，

a
C
m ga 0 JO
mg
m ga 0 sin( t )Leabharlann JOl 2Cx
dx
10.1 对定点的动量矩定理
2. 均质薄圆环
J z J C mR2
z
R
3.均质圆板
1 J z J C mR 2 2
y R
x
10.1 对定点的动量矩定理
转动惯量几点说明（技巧） 1、转动惯量是刚体转动时惯性的度量。不仅与质量 有关，而且与质量的分布有关 2、谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动 惯量。
在国际单位制中，转动惯量的单位是: kg· 2。 m
10.1 对定点的动量矩定理
简单形状物体的转动惯量 1. 均质细杆
Jz r2 d m
m dm dx l m Jz x dx 0 l
l 2
z O x l x dx
1 2 J z J O ml 3
z1 x
1 J z1 J C ml 2 12
对质点系每个质点应用动量矩定理并相加 e i dLO d M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt dt
O
e dLO M O ( Fi ) dt
F
O
F
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导 数，等于外力对O点的主矩。
10.2 刚体定轴转动动力学方程
思考题
什么条件下， F1 F2 ？
J O M O F1R F2 R 0
1 mR 2 0 2
m=0，忽略滑轮质量。 R=0，忽略滑轮大小 a=0，滑轮匀速转动
F1
R
O
F2

注意：以上三种情况下，定滑轮两边的拉力相 等。注意和静力学中的区别。
10.1 对定点的动量矩定理
回转半径(惯性半径)定义为
z
Jz m
J z m
2 z
均质细杆对质心轴回转半径为
C
1 m l2 JC 1 12 l m m 2 3
平行轴定理
J z J zC md
2
由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯 量，过质心轴的转动惯量最小。
10.1 对定点的动量矩定理
动量矩改变 力系主矩
刚体平面运动的动力学方程
m aCx Fx m aCy Fy J C M C
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
几个有意义的实际问题
直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象
跳水动量矩守恒
跳水运动员为什 么 在空中可实现空翻 和转体的转变 ？
10.1 对定点的动量矩定理
定轴转动刚体的动量矩(转轴垂直刚体质量对称平面）
LO J O
10.1 对定点的动量矩定理
例计算定轴转动刚体的动量矩 对O点的动量矩等于质 心的动量乘以质心到 转轴的距离。
l l l 1 2 LO mv C m ml 2 2 2 4
正确解法
1 2 LO J O ml 3
本章的主要内容
1、对固定点的动量矩定理
e dLO M O ( Fi ) dt
动量矩改变 力系主矩
刚体定轴转动的动力学方程 m aCx Fx m aCy Fy J O M O
本章的主要内容
2、对质心(动点)的动量矩定理
e dLCr M C ( Fi ) dt
Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量.
z

ri Mi
mi vi
Lz J z
定轴转动刚体的动量矩(简化为平面问题) 转轴垂直刚体质量对称平面
LO J O
10.1 对定点的动量矩定理
例10-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠 有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O 的转动惯量为J，半径为r，角速度为，重物 A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动， 求系统对轴O的动量矩。 解：
刚体定轴转动动力学方程解题步骤与技 巧
角加速度。 1、判断刚体的运动。运动分析：质心加速度和
2、受力分析。
3、应用刚体定轴转动动力学方程。注意 转动惯量的计算。
4、有时需要补充方程（动摩擦方程和运动学方程）
5、解方程。
10.2 刚体定轴转动动力学方程
例10-8 水平圆盘绕O定轴转动， 2 rad/s 8 rad/s2。 细杆AB，质量m = 0.2 kg,，固定在圆盘上，A点为销子， B点由两销夹住。AO = BO = r，AB= ，r=0.3 m， 2r AOBO。求A、B约束反力。
10.1 对定点的动量矩定理
2 1 2 l LO J O J C m m l 9 6
10.1 对定点的动量矩定理
二、对定点的动量矩定理
1 、质点的动量矩定理
d d M O mv r mv r mv r mv dt dt
FB 0.1 2 0.1414N
10.1 对定点的动量矩定理 3、质点系的动量矩守恒 质点系动量矩守恒定律 当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于 零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持 不变。
FAy
maCy Fy
J O M O
n m(aC
2 2 2 t aC ) FAy FB 2 2 2
1 2 2 2 m( 2 r ) 2 m( r ) FAy r FB r 2 2 12

FAx 0.26N
FAy 0.22N
注意解题步骤
FB
解
1、受力分析 2、运动分析 AB定轴转动
n aC
t aC
C
n aC
FAx
FAy
2 OC r 2 2
2
t aC OC
2 r 2
FB
3、刚体定轴转动动力学方程 C
t aC
FAx
n aC
maCx Fx
n m(aC
2 2 2 t aC ) FAx FB 2 2 2
0为角振幅， 为初相位。由初始条件确定。摆动周期为
JO T 2 n mga