2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二下学期第一次月考数学(文科)试题 Word版

长春外国语学校2017-2018学年第二学期高二年级第一次月考
数学文科试卷 第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是（ ）
A. 00,sin 1x R x ∀∈≥
B. 00,sin 1x R x ∃∈≥
C. 00,sin 1x R x ∀∈>
D. 00,sin 1x R x ∃∈>
2. ） A ．i -1
B ．i +1 C. -1-i
D. 1-i
3.已知命题:p 若x y >，则x y -<-；命题:q 若x y >，则22x y >.在命题①p q ∧；②
p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中真命题的序号是（ ）
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④ 4.若复数z 满足()113i z i -=+，则z =（ ）
．5.有一段演绎推理是这样的： “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．非以上错误 6.已知复数z 满足11z -=，则12z i --的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
7．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，23i
e π
表示的复数在复平面中位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8.下列命题中为真命题的是（ ）
A ．命题“若1x >，则21x >”的逆命题
B ．命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题
C ．命题“若20x >，则1x >-”的逆否命题
D ．命题“若x y >，则
9.“3k >”是“方程22
131
x y k k +=--表示双曲线”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 11．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，
类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝（ ） A
B
D
12.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
“穿墙术”，则n =（ ）
A ．35 B. 48 C. 63 D. 80
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共4小题，每小题5分)
13.用反证法证明命题“若,,a b N ab ∈可被5整除，则,a b 中至少有一个能被5整除”，反设的内容是 . 14.若“,,tan 144x m x ππ⎡⎤
∀∈-
≤+⎢⎥⎣
⎦”为真命题，则实数m 的最大值为________. 15．将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .
16.给出下列四个命题： ①若0x >，且1x ≠，则1
lg 2lg x x
+
≥； ②设,x y ∈R ，命题“若0xy =，则220x y +=”的否命题是真命题；
④若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则对定义域内的任意x 必有
(21)(21)0f x f x ++--=．
其中，所有正确命题的序号是_________________．
三、解答题(本题共70分，其中17题10分，18至22题每题12分) 17．计算下列各式：
（1）(1)(34)i i -+-； （2）212i
i
-++
18．已知p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，其中0a >，q ：实数x 满足2230,
20,
x x x x ⎧-≤⎨-->⎩
（1）当1a =，p 且q 为真时，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
19．m 为何实数时，复数22(34)(56)z m m m m i =--+-- )(R m ∈在复平面内所对应的
点（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）位于第四象限．
20.已知命题：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 、AD 所成的角分别为α、β（如图1），则1cos cos 22=+βα.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.
21．在数列{}n a 中，11a =且（1）求出2a ，3a ，4a ；
（2）归纳猜想出数列{}n a 的通项公式； （3）证明通项公式n a .
22.设p ：对任意的x R ∈都有22x x a ->，q ：存在0x R ∈，使2
00220x ax a ++-=，如
果命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
二、填空题
13. ,a b 都不能被5整除 14. 0 15. 91 16. ②④ 三、解答题
17. 【解析】（1）17i +；（2）i 18. 【解析】
（1）当1a =时，p 对应的解集为(3)(1)0x x --<，13x <<；
q 对应解为220330232120x x x x x x x x ≤≤⎧-≤⎧⇒⇒<≤⎨⎨><--->⎩
⎩或，因为p 且q 为真，所以p ，q 都
真，(2,3)x ∴∈
（2）0a > ，p ∴的解为3a x a <<，q 对应解为2230
2320
x x x x x ⎧-≤⇒<≤⎨-->⎩，
p ⌝ 是 q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即q 对应的集合是p 对应集合的子集，
12a ⇒<≤，所以](1,2a ∈.
19. 【解析】
（1）若复数所对应的点在实轴上则2
560m m --=，则61m m ==-或； （2）若复数所对应的点在虚轴上则2
340m m --=，则41m m ==-或；
（3）若复数所对应的点在第四象限22m 34041
16560
m m m m m m ⎧-->><-⎧⎪⇒⎨⎨-<<--<⎪⎩⎩或⇒{}m|4<m<6
20. 【解析】命题：长方体D C B A ABCD ''''-
中(如图2)，对角线C A '与棱AB 、AD 、A A '
所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 2
2
2
=++γβα. 证明：∵C A AB '=
αcos ，C A AD '=βcos ，C A A A '
'
=γcos ， ∴1cos cos cos 2
2
22222
2
2
=''=''++=++C
A C A C A A A AD A
B γβα.（此题答案不唯一）
21. 【解析】
（12（3）证明：11(1)n n a a n n +=+
+ ，11
(1)
n n a a n n -∴=+-
1111(1)1n n a a n n n n
-∴-=
=---，当2n ≥时21112a a ∴-=-
321123a a -=
-，4311,34a a -=- ，1111
(1)1n n a a n n n n -∴-==---，把这些项相加得， 111
1(1)n a a n n n
∴-=
=--，特别的当1n =代入，1a 适合21n n a n -= 21
()n n a n N n
*-∴=
∈ 22. 【解析】由题意：对于命题p ，∵对任意的2,2x x x a ∈->R ，∴1440a ∆=+<，即
:1p a <-；对于命题q ，∵存在x ∈R ，使2220x ax a ++-=，
∴2
244(2)0a a ∆=--≥,即:1q a ≥或2a ≤-. ∵p q ∨为真，p q ∧为假， ∴,p q 一真一假，①p 真q 假时，21a -<<-, ②p 假q 真时，1a ≥. 综上，[)(2,1)1,a ∈--⋃+∞.。