宝山暑假补习班-高中数学位育中学试卷解析-新王牌
上海市位育高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析
上海市位育高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列｛an｝中，a2=2,a4=8,an>0,则数列{log2an}的前n项和为参考答案：【知识点】数列的求和．L4【答案解析】A 解析：设等比数列{a n}的公比为q．∵a2=2，a4=8，a n＞0，∴a1q=2，=8，解得q=2，a1=1．∴．∴数列{log2a n}的前n项和=log2a1+log2a2+…+log2a n===．故选：A．【思路点拨】利用等比数列的通项公式可得a n，再利用对数的运算性质、等差数列的前n项和公式、指数的运算性质即可得出．2. 某班从3名男生和2名女生中任意抽取2名学生参加活动，则抽到2名学生性别相同的概率是（）A．B． C. D．参考答案：A3. 按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件为A． B．C．D．参考答案：C 第一次循环有.第二次循环有.第三次循环有。
第四次循环有，此时为输出结果，说明满足条件，故条件为或，所以选C.4. 已知映射.设点，，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为A． B． C．D．参考答案：B5. 已知为互相垂直的单位向量，向量a，b，且a与a+b的夹角为锐角，则实数的取值范围是()A． B． C． D．参考答案：A略6. 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A． B． C． D．参考答案：D7. 若，则的定义域为（）A． B． C． D．．参考答案：A略8. 下列3个命题:（1）命题“若，则”；（2）“”是“对任意的实数，成立”的充要条件；（3）命题“，”的否定是：“，”其中正确的命题个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）0参考答案：A9. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D略10. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的b=（）A．8 B．16 C．32 D．64参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的b值为32．故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：150°12. 圆柱的侧面展开图是边长分别为2a ，a 的矩形，则圆柱的体积为 ．参考答案：或【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离．【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积． 【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a 与a 的矩形，当母线为a 时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=；当母线为2a 时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=，综上所求圆柱的体积是：或．故答案为：或；【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，容易疏忽一种情况，导致错误． 13. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_________参考答案：14. 已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为 ．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值． 【解答】解：∵sinα=+cosα，即sinα﹣cosα=，∴===﹣，故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．15. 若a>b>c 且a+b+c=0，则：①>，②>bc ，③bc<,④的取值范围是：(,1)，⑤的取值范围是：（-2，）。
上海市位育中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市位育中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合A ={1，2}，B ={2，3，4}，则A B =.2．若()34log log 1x =，则x =．3．已知集合{},A x y =，{}22,2B x x =，且A B =，则实数y 的值为.4．已知集合15N,Z 10A xx x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 可以用列举法表示为.5．设α：14x ≤≤，β：x m <，α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是.6．若2235(21)(1)x x a x x b ++=+++恒成立，则a b +的值．7．已知实数a ，b 满足21a b +=，则ab 的最大值为.8．若关于x 的不等式2(1)30a x a ++-<的解集为(1,)+∞，则实数a 的值为.9．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，若{}2,3A B = ，{}4,8B A = ，{}1,7A B = ，则集合A =.10．设R x ∈，则方程23235x x x -+-=-的解集为.11．设关于x 的不等式270mx x m-<-的解集为A ，若7A ∉，则实数m 的取值范围是.12．若对于任意的实数a ，关于x 的不等式x a m +≥在区间[]1,2上总有解，则实数m 的取值范围是.二、单选题13．设0a >，下列计算中正确的是（）A ．2332a a a ⋅=B ．2332a a a ÷=C ．440a a -⋅=D ．2332()a a=14．已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（）A ．ab bc>B ．ac bc>C ．ab ac>D ．a b b c>15．设,R x y ∈，则“9x y +≠”是“3x ≠且6y ≠”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．设R a ∈，关于,x y 的方程组1x ay ax y a -=⎧⎨+=⎩.对于命题：①存在a ，使得该方程组有无数组解；②对任意a ，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题17．已知集合2230{|}A x x x =--≤，集合22{|}B x m x m =-≤≤+，设全集为实数集R ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围.18．（1）已知0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，证明：当0N >时，log log log ab aNN b =；（2）设2log 3a =，3log 5b =，用a ，b 表示15log 20.19．去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销，据测算若投放广告费用x 万元，则该品牌服装的年销售量将增长80%4xx +.(1)若要使得今年净利润比去年净利润至少增长13，求投放广告费用的范围；(2)当投放广告费用为多少万元时，该品牌服装的净利润最大？20．已知关于x 和y 的方程组22341214x y y x b ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩.(1)当0b =时，求方程组的解集；(2)设11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组的两组不同的解，若1122442y x y x m -+-=，求实数m 的取值范围.21．设R 为实数集，若非空集合A 满足条件：（1）A ⊂R ；（2）对任意,x y A ∈，都有x y A +∈且xy A ∈，则称集合为封闭集.(1)判断集合{}0B =，{}1,0,1C =-是否为封闭集，并说明理由；ð不是封闭集.(2)设全集为R，已知集合A是封闭集，求证：R A。
2024学年第一学期位育中学期中考试试卷答案
2024学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级 数学学科(考试时间 120分钟，总分150分 )一、填空题(本大题共有12题, 第1-6题每题4分, 第7-12 题每题 5分, 满分54分)1. 已知集合A=(0,4), B=(1,5), 则A∩B= .2. 抛物线 y²=8x 的准线方程为 .3. 不等式 x−1x +2≥0的解集为 .4. 若正数a 、b 满足a+2b=1, 则 ab的最大值为.5. 已知复数 z =2−i i(i 为虚数单位)，则 .6. 已知 f (x )={2x ,x <1log 2x,x ≥1,若, 则 .7. 若不等式 2kx²+2kx−3<0对一切实数都成立，则实数的取值范围是 .8. 已知点A(-2,3), B(1,-1), 则OA 在 OB 方向上的投影为 .9. 若 (1−x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6, 则的值为 .IO. 设无穷等比数列的公比 q =−12, a 1=1, 则.11. 日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁中, AB=3 , BC=2, AA ₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中 H−E−E₁−F₁−F−G−G₁−H₁−H 的方向捆扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度).则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为 .）（4,12-=x ()[)∞+⋃-∞-，，1281=z i 21+-2)(=a f =a 4x k (]0,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2525，621a a a +++ 1-}{n a ∑+∞==12n na 32-412. 已知实数x ₁,x ₂,y ₁,y ₂满足: x 21+y 21=1，x 22+y 22=1，x 1y 2−y 1x 2=1,则 |x₁+y₁−2|+|x₂+y₂−2|的最大值是 .二、选择题(本大题共有4题, 第13-14题每题4分, 第15-16题每题5分, 满分18分)13. 已知a∈R, 则“”是 ”的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 ( )A. B. C.y =x³+x D.y =−1x15. 已知集合M={(x,y)|}, 若对于任意实数对 (x₁,y₁)∈M,存在 (x₂,y₂)∈M,使 x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①M={(x ,y )|y =1x2}, ②M ={(x ,y )|y =log 2x };③M ={(x ,y )|y =2x −2};④M={(x ,y )|y =sinx +1}. 其中是“垂直对点集”的序号的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 316. 数列中, 是数列的前项和, 若对任意正整数, 总存在正整数, 使得 Sₙ=aₘ, 则称数列为“P 数列”，现有如下两个命题：① 等比数列为“P 数列”;② 对任意的等差数列 ，总存在两个“P 数列”和 ,使得 aₙ=bₙ+cₙ 。
2023-2024学年上海市位育中学高三上学期期中考试数学试卷含详解
2023学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科（考试时间：120分钟总分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合{}{}1,2,1,3,5A x x B =≤=-，则A B = __________.2.复数12i3i z -=+的模为__________．3.如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭________．4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =-，且(1)3F =，则(1)F -的值为____________．6.如图，在三棱柱111A B C ABC-中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______7.设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________．8.已知正实数x ，y 满足x y 1+=，则14yx y 1-+的最小值是______9.设P 是曲线323y x x =-++上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是__．10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为________．11.若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()1122,,,M x y N x y，坐标满足关系：1212x x y y +≥，则称函数()f x 与原点关联．给出下列函数：①()2f x x =；②()sin f x x =；③1()(0)f x x x x =+>；④()ln f x x =．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．12.已知函数()ln 1f x b x =+--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑13.已知向量()()1,2,2,4a x b =-= ，则“a 与b 夹角为锐角”是“3x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）15.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D.362f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭16.已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程22023202320230x S x T -+=有实数解，那么以下2023个方程()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.1009B.1010C.1011D.1012三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()1cos cos 22f x x x x =-,（1）求()f x 的最小正周期;（2）在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f A =,2cos c a B =⋅,6b =,求ABC 的面积.18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）19.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的虚轴长与离心率；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点2F 无论怎么转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标：若不存在，请说明理由.21.若定义域为R 的函数()y f x =满足()y f x '=是R 上的严格增函数，则称()y f x =是一个“T 函数”.（1）分别判断()1e xf x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由：（2）设R a ∈，若函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明：（3）已知函数()y F x =是T 函数，过()00,x y 可以作函数()y F x =的两条切线，证明：()00y F x <.2023学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科（考试时间：120分钟总分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合{}{}1,2,1,3,5A x x B =≤=-，则A B = __________.【答案】{}1【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】不等式1x ≤解得11x -≤≤，得{}11A x x =-≤≤，又{}2,1,3,5B =-，则{}1A B ⋂=.故答案为：{}12.复数12i3iz -=+的模为__________．【答案】22【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i 2,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．故答案为：223.如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】13【分析】由条件22sin 3α=-，α为第三象限角，可求出1cos 3α=-，再由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而可得答案.【详解】由22sin 3α=-，α为第三象限角,有1cos 3α==-.由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭所以31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭故答案为：13【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题.4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________【答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.【点睛】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =-，且(1)3F =，则(1)F -的值为____________．【答案】5-【分析】根据()f x 为奇函数得到()f x 的对称中心为()0,0，再结合()()1F x af x =-得到()F x 的对称中心为()0,1-，然后利用对称性求()1F -即可.【详解】由()13F =可得0a ≠，因为()f x 为奇函数，所以()f x 的对称中心为()0,0，则()F x 的对称中心为()0,1-，又()13F =，则()15F -=-.故答案为：-5.6.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______【答案】124【详解】试卷分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE•h/S △ABC•H ＝124=1：24考点：棱柱、棱锥、棱台的体积7.设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据初等函数的性质，得到函数1()lg f x x x =-为单调递减函数，且(1)1f =，把不等式1(1)1f x-<转化为111x->，即可求解.【详解】由题意，函数1()lg f x x x=-，根据初等函数的性质，可得函数()f x 为单调递减函数，且(1)1f =，则不等式1(1)1f x -<等价于111x ->，即11220x x x--=>，解得102x <<，所以不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.已知正实数x ，y 满足x y 1+=，则14y x y 1-+的最小值是______【答案】12【分析】由已知分离14y 14y 44144x y 1x y 1x y 1+--=-=+-+++，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x ，y 满足x y 1+=，则()14y 14y 44141144x y 14x y 1x y 1x y 12x y 1⎛⎫+-⎡⎤-=-=+-=+++- ⎪⎣⎦++++⎝⎭()1y 14x 11545442x y 122⎛⎫+=++-≥+-= ⎪+⎝⎭当且仅当y 14x x y 1+=+且x y 1+=即1y 3=，2x 3=时取得最小值是12故答案为12【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9.设P 是曲线323y x x =-++上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是__．【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．【详解】由已知得2πtan 311tan4y x α'==-+≤=，由π)[0,a ∈得ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故答案为：ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为________．【答案】【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值．【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P ，球P 的半径为r ，圆锥的轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，332MO =，所以，223MA MB MO OA ==+=，所以，MAB △为等边三角形，11339332224MAB S MO AB =⋅=⨯⨯=△.由等面积法可得19933224MAB r S r AB =⋅⋅==，解得32r =，即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 时，截得它的正方体的棱长为22a ，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以262322r a ==，所以2a =a 2．2．【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.11.若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()1122,,,M x y N x y ，坐标满足关系：1212x x y y +≥，则称函数()f x 与原点关联．给出下列函数：①()2f x x =；②()sin f x x =；③1()(0)f x x x x=+>；④()ln f x x =．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．【答案】①②④【分析】由“西数函数与原点关联”的定义可知函数f （x ）在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得OA、OB共线，即存在点A 、B 与点O 共线，结合4个函数的图象分别判断即可.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,OA OB x x y y OA B O ⋅=+= ，由题意可知·0OA OB OA OB -≥ ，即·OA OB OA OB ≥，即cos ,OA OB OA OB OA OB ≥ ，所以cos ,1OA OB ≥ ，又cos ,1OA OB ≤，所以cos ,1OA OB = ，即,OA OB 共线，亦即,,A O B 三点共线，也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.对于①，易知函数2y x =经过原点，且图象关于原点对称，存在点A 、B 与点O 三点共线，故①是与原点关联的函数；对于②，设过原点的直线为y kx =，作出函数sin y x =与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数sin y x =图象在R 上有3个交点，即存在点A 、B 与点O 三点共线，故②是与原点关联的函数；对于③，设过原点的直线为y kx =，作出函数()()10f x x x x=+>与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数()()10f x x x x=+>图象在(0,)+∞上有1个交点，即不存在点A 、B 与点O 三点共线，故③不是与原点关联的函数；对于④，设过原点的直线为y kx =，作出函数ln y x =与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数ln y x =图象在(0,)+∞上有2个交点，即存在点A 、B 与点O 三点共线，故④是与原点关联的函数；故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键.12.已知函数()1ln 1f x x b x =-+--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由1ln 10m b m ---=，则(),P a b 在直线:1ln 10l m x y m -+--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则1ln 10m b m -+--=，所以点(),P a b 在直线1ln 10l m x y m -+--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，22ln 1ln 1m m a b OP mm++=≥，2e,e m 轾Î犏臌，设e,e t m ⎤=⎦，设()2ln 1t g t t+=，则()()212ln 0e,e tg t t t-⎤'=≤∈⎦，所以()g t 在e,e ⎤⎦上单调递减，所以()()min 3e eg t g ==，3e≥即2229e a b +≥，所以22a b +的最小值为29e ，故答案为：29e 二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑13.已知向量()()1,2,2,4a x b =-= ，则“a 与b夹角为锐角”是“3x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求a与b夹角为锐角时，x 的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.【详解】当()21240a b x ⋅=-+⨯>，解得：3x >-，且当//a b 时，()4140x --=，解得：2x =，所以“a与b夹角为锐角时，x 的取值范围是3x >-且2x ≠，所以“a 与b夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件.故选：A14.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）【答案】B【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题.15.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.62f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据(),P s t ,()(),0Q r t t >在()sin2f x x =上,可得出222,r s k k Z ππ+=+∈,再根联立6r s π-=,得到s 的值,根据0t>缩小s 的取值范围,进而代入,66f s fs ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求值即可.【详解】解:由题知()sin2f x x =,T π∴=,()(),,,P s t Q r t 均在()sin2f x x =上,sin 2sin 20s r t ∴==>,644Tr s ππ-=<= ,0222Tr s ∴<-<,故有:222,Z r s k k ππ+=+∈,两等式联立有2226r s k r s πππ+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得2,Z 3s k k ππ∴=+∈,sin 20s t => ,1122,Z 3s k k ππ∴=+∈,3sin 2sin 2sin 2663332f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,sin 2sin 2sin 2066333f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,综上选项B 正确.16.已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程22023202320230x S x T -+=有实数解，那么以下2023个方程()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.1009B.1010C.1011D.1012【答案】D【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到21012101240a b -≥，要想无实根，要满足240i i a b -<，结合根的判别式与基本不等式得到10∆<和2023Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2022Δ0<至多一个成立，……，1011Δ0<和1013Δ0<至多一个成立，且1012Δ0≥，从而得到结论.【详解】由题意得：220232023420230S T -⨯≥，其中()1202320231012202320232a a S a +==，()1202320231012202320232b b T b +==，代入上式得：21012101240a b -≥，要想()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 方程无实数解，则240i i a b -<，显然第1012个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程2202320230x a x b -+=的判别式分别为1∆和2023Δ，则()()()22221202311202320231202312023ΔΔ444a b a b a a b b +=-+-≥+-+()()()()2212023101221202310121012101224824022a a ab b b a b +≥-+=-=-≥，等号成立的条件是12023a a =.所以10∆<和2023Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2022Δ0<至多一个成立，……，1011Δ0<和1013Δ0<至多一个成立，且1012Δ0≥，综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个.故选：D.三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()1cos cos 22f x x x x =-,（1）求()f x 的最小正周期;（2）在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f A =,2cos c a B =⋅,6b =,求ABC 的面积.【答案】（1）π（2）【分析】(1)运用辅助角公式进行化简为()sin A x ωϕ+的形式,进而求出最小正周期即可;(2)先由()1f A =,求得π3A =,再由2cos c a B =⋅用正弦定理,再将()sin sin C A B =+代入展开化简即可得π3A B C ===,故ABC 为等边三角形,再由6b =,即可求面积.【小问1详解】解:由题知()1cos cos 22f x x x x=-1sin 2cos 222x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()f x \的最小正周期2ππ2T ==;【小问2详解】由于在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,()1f A =,()πsin 216f A A ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭,0πA << ,ππ11π2666A ∴-<-<ππ262A ∴-=,π3A ∴=,2cos c ac B = ,在ABC 中由正弦定理得,sin 2sin cos C A B =,又有()sin sin πC A B =-+⎡⎤⎣⎦()sin A B =+sin cos cos sin A B A B =+2sin cos A B =,sin cos cos sin 0A B A B ∴-=,()sin 0A B ∴-=,πA B k ∴-=,Z k ∈,,A B 中ABC 的内角,且π3A =,π3A B C ∴===,6a b c ∴===,ABC ∴的面积136622ABC S =⨯⨯⨯= .18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）【答案】（1）W ＝318.110,010******** 2.7,103x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）9千件.【分析】（1）根据题意，结合已知条件，即可容易求得结果；（2）由（1）中所求函数解析式，分段考虑函数最值，注意利用导数即可.【详解】（1）由题意得W ＝22110.8 2.710,010********* 2.710,103x x x x x x x x x ⎧⎛⎫-⨯--<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯--> ⎪⎪⎝⎭⎩即W ＝318.110,010******** 2.7,103x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）①当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10，则W ′＝8.1－110x 2＝28110x -＝(9)(9)10x x +-，因为0＜x ≤10，所以当0＜x ＜9时，W ′＞0，则W 递增；所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元.②当x ＞10时，W ＝98－1000 2.73x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤98－38.当且仅当10003x ＝2.7x ，即x ＝1009时等号成立.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及利用导数求利润的最大值，属基础题.19.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故2DE =，BD ==所以222AD BD AB +=，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又=PD AD D ⋂，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；【小问2详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD =，则()()(1,0,0,,0,0,A B P ，则(((,0,,0,0,AP BP DP =-==，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{0n AP x n BP ⋅=-+=⋅==，可取)n = ，则5cos ,5n DP n DP n DP⋅==，所以PD 与平面PAB20.已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的虚轴长与离心率；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点2F 无论怎么转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）虚轴长2e =（2）证明见解析（3）1m =-【分析】（1）根据双曲线方程直接得虚轴长与离心率；（2）设点()00,A x y ，()00,B x y --，(),P m n ，分别表示PA k ，PB k ，再根据点P 在双曲线上，可得证；（3）当直线斜率存在时，设直线方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将0MA MB ⋅= 恒成立转化为()222243530m m k m k ---+=恒成立，所以224533m m m ⎧-=⎨-=-⎩，解得1m =-，当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时()2,3A ，()2,3B -，由0MA MB ⋅=可解得1m =-.【小问1详解】由双曲线方程为22:13y C x -=，可知1a =，b =，2c ==，所以虚轴长为2b =，离心率2ce a==；【小问2详解】则00PA n y k m x -=-，0PB n y k m x +=+，则220220PA PBn y k k m x -⋅=-，又点()00,A x y 与点(),P m n 均在双曲线上，则220033=-y x ，2233n m =-，所以()22220022220033333PA PBm x n y k k m x m x ----⋅===--，所以PA PB k k ⋅为定值3；【小问3详解】假设存在点(),0M m ，使0MA MB ⋅= 恒成立，由已知得()22,0F 当直线l 斜率存在时，设直线方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=，()()()222224434336360k k k k D =---+=+>，且k ≠，212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =-，()22,MB x m y =-，()()()()222212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x k x x k ×=--+=-+++-++()2222243533m m k m k k ---+=-，若0MA MB ⋅= 恒成立，则()222243530m m k m k ---+=恒成立，即224533m m m ⎧-=⎨-=-⎩，解得1m =-，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时()2,3A ，()2,3B -，()2,3MA m =-，()2,3MB m =--()2290MA MB m ⋅=--= ，解得1m =-或5m =，综上所述，1m =-，所以存在点()1,0M -，使0MA MB ⋅= 恒成立.【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.若定义域为R 的函数()y f x =满足()y f x '=是R 上的严格增函数，则称()y f x =是一个“T 函数”.（1）分别判断()1e x f x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由：（2）设R a ∈，若函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明：（3）已知函数()y F x =是T 函数，过()00,x y 可以作函数()y F x =的两条切线，证明：()00y F x <.【答案】21.()1e x f x =是“T 函数”；()32f x x =不是“T 函数”，理由见解析22.()()()()312g a g a g a g a ++>+++，理由见解析23.证明见解析【分析】（1）利用定义直接判断各函数；（2）构造函数()()()1G x g x g x =+-，可证()G x 在R 上单调递增，即可得证；（3）设切点()11,A x y ，不妨设10x x >，由“T 函数”可知，()01,m x x ∃∈，使()()()1010f x f x F m x x -'=-，又()()()10110F x y F x F m x x -''=>-，化简即可得证.【小问1详解】()1e x f x =，得()1e x f x '=，是R 上的严格增函数，所以()1e xf x =是“T 函数”；()32f x x =，得()223f x x '=，不是R 上的严格增函数，所以()32f x x =不是“T 函数”；【小问2详解】由函数()y g x =是T 函数，可知()g x '是R 上的严格增函数，设()()()1G x g x g x =+-，则()()()10G x g x g x '''=+->，所以()G x 在R 上单调递增，所以()()2G a G a +>，即()()()()321g a g a g a g a +-+>+-，即()()()()312g a g a g a g a ++>+++；【小问3详解】过()00,P x y 作函数()y F x =的切线，设切点为()11,A x y ，不妨设10x x >则()()10110AP f x y F x k x x -'==-，由函数()y F x =是“T 函数”，所以()F x '是R 上的严格增函数，所以()()01F x F x ''<，则()01,m x x ∃∈，使()()()1010F x F x F m x x -'=-，所以()()1F m F x ''<，即()()()10101010F x F x F x y x x x x --<--，化简可得()00y F x <.。
上海市位育中学2025届数学高三上期末质量检测模拟试题含解析
上海市位育中学2025届数学高三上期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5 B ．5或1 C ．5或1D ．52．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π4．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元5．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 7．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-8．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户9．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2210．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 11．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年上海市位育高级中学高三数学理模拟试题含解析
2021-2022学年上海市位育高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（）A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，7参考答案：A2. 设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由q?p，反之不成立．例如取f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．【解答】解：命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则q?p，反之不成立．例如f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．则p是q的必要不充分条件．故选：B．3. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A. B. C.3D.2参考答案：【解题提示】椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值选A. 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为（），半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，因为，由余弦定理得，所以，即，所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.4. 复数满足，则（A）（B）（C）（D）参考答案：5. 已知，则函数的零点个数为A．1 B．2 C．3D．4参考答案：6. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（）．A．B．C．D．参考答案：A设齐王的上等马、中等马和下等马分别是，田忌的上等马、中等马和下等马分别是，则总的基本事件有，共9种，田忌马获胜的基本事件有，共3种，故概率为，故选A.7. 设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故选：A．8. 已知实数x，y满足，若z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围为（）A．（﹣，5）B．（﹣，0）C．[0，5] D．[﹣，5]参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点A（2，﹣1）时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈（﹣，5）．故选：A．9. 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．【专题】压轴题．【分析】在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．【解答】解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈（0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=故选D．【点评】本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．10. 若集合，，那么（）．．．．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等于.参考答案：12. 已知,且满足，则__________。
上海市位育高级中学高一数学文下学期期末试题含解析
上海市位育高级中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象与图象变化；函数模型的选择与应用．【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：然后分情况即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：当0＜t≤1时，，当1＜t≤2 时，；所以．结合不同段上函数的性质，可知选项C符合．故选C．2. 输入两个数执行程序后，使则下面语句程序正确的是参考答案：B略3. 设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时，等于（）A.6B.7C.8D.9参考答案：A略4. 已知P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面 ABC，H，则H为△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PH⊥平面ABC，垂足为H，分析可证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点H是△ABC垂心【解答】证明：连结AH并延长，交BC与D连结BH并延长，交AC与E；因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；因PH⊥面ABC，故PH⊥BC，故BC⊥面PAH，故AH⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故H是△ABC的垂心．故选：B5. 在△ABC中，，M为AC边上的一点，且，若BM为的角平分线，则的取值范围为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.【详解】因为，为的角平分线，所以，在中，，因为，所以，在中，，因为，所以，所以，则,因为，所以,所以，则，即的取值范围为.选A.【点睛】本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.6. 下列计算正确的是（）．A．B．C．D．参考答案：B．．．，正确．．．．．7. 过点的切线有两条，则a 的取值范围（）参考答案：D略8. 如图是一个算法流程图，该流程图输出的结果是，则判断框内应该填入的是A. i≥3B. i>3C. i≥5D. i>5参考答案：C9. 下列结论正确的是A.若，则B. 若，则C.若，则D. 若，则参考答案：B略10. 的定义域是（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和，若，则n=____．参考答案：5【分析】由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解。
上海市位育高级中学2021-2022学年高一数学文上学期期末试题含解析
上海市位育高级中学2021-2022学年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上（）A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值0参考答案：D2. 函数的定义域是 ( )A． B． C． D．参考答案：D略3. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（）．A．(2,+∞)B．(1,+∞)C．D．参考答案：D当时，，因此，可化为，即存在，使成立，由于的对称轴为，所以，连单调递增，因此只要，即，解得，又因，所以，当时，恒成立，综上，．选．4. 已知平面向量a、b共线，则下列结论中不正确的个数为( )①a、b方向相同②a、b两向量中至少有一个为0③存在λ∈R，使b＝λa④存在λ1，λ2∈R，且λ＋λ≠0，λ1a＋λ2b＝0(A)1 (B)2 (C)3 (D)4参考答案：C略5. 已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为( )A．16 B．2 C．D．参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：设幂函数为y=xα，∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），∴=2α，解得α=．y=x．f（4）==．故选：C．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查．6. 已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．3 B．﹣6 C．﹣D．参考答案：B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴，解得a=﹣6．故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7. 已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是（）A、相交B、相切C、相离D、相切或相交参考答案：B8. 已知等差数列{a n}满足，，则（）A. 176 B. 88 C. 44 D. 22参考答案：B【分析】利用等差数列的性质和求和公式即可求出．【详解】因为数列是等差数列，由，得，又，则，故选：B．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．9. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为（）A．15 B． C. D．参考答案：C由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a＞0），∴a+8所对的角为120°，∴cos120°=整理得a2﹣2a﹣24=0，即（a﹣6）（a+4）=0，解得a=6或a=﹣4（舍去），∴三角形三边长分别为6，10，12，则S△ABC=×6×10×sin120°=15．故选C．10. 函数的定义域为（）A．(0,+∞)B．(0,1)∪(1,+∞)C．(1,+∞)D．(0,10)∪(10,+∞)参考答案：D由函数的解析式可得，Lgx-1≠0, x ＞0，即 0＜x ＜10或10＜x ，故函数定义域为,故选D ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合，则=_____________参考答案：略12. 关于函数有下列命题：①函数的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞,0)上，函数是减函数；③函数f (x )的最小值为lg2；④在区间(1,+∞)上，函数f (x )是增函数． 其中正确命题序号为_______________．参考答案：①③④13. 函数的单调增区间为__________________．参考答案：略14. 函数f (x )=的单调递增区间是.参考答案：15. 若函数在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 .参考答案：16. 若，，则下列性质对函数成立的是（把满足条件的序号全部写在横线上）①； ②③； ④．参考答案：④略 17. 已知，则的值等于___ ______．参考答案： 18略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
新王牌高二数学暑假班入学测试卷-2
新王牌高二数学暑假班入学测试卷1、对于0a >且1a ≠，在下列命题中，正确的命题是：（ ）M N =，则log log a a M N =；B. 若,M N R +∈，则log ()log log a a a M N M N +=+；C. 若log log a a M N =，则M N =；D. 若22log log a a M N =，则M N =； 2、cos75cos15⋅的值是（ ）A ．12B ． 14C ．D 3、如果tan （α+β）=43，tan （β-4π ）=21，那么tan （α+4π）的值是（ ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．24、ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos a c B -=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.5、若函数sin cos y x a x =+的一条对称轴方程为4x π=，则此函数的递增区间是：（ ）A. (,)42ππB. 3(,)4ππC. 3(2,2),44k k k Z ππππ-+∈D. (2,2),22k k k Z ππππ-+∈6、已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的解析式为（ ）A ．tan(2)3x π+B ．tan(2)6x π- C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+7、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±18、若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠，对于任意(0,]4x π∈都成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A. (0,)4πB. (,1)4πC. (,)42ππ D. (0,1)9、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值10、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ）A ．6π B ．51212orππ C ．5612orππ D ．12π 11、若()43sin ,sin 525ππθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则θ角的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是（ ）A ．[]22ππ-，B ．[2ππ]，C ．[]23ππ，D ．[0]2π，13、已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 （ ） A ．)672sin(2π+=x y B ．22sin()76y x π=- C ．)62sin(2π+=x yD ．)62sin(2π-=x y14、已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 15、将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π16. 设定义域为R 的函数()⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |x x x x f ，则关于方程()()02=++c x bf x f有7个不同的实数解的充要条件是 （ ）A. 0,0><c bB. 0,0<>c bC. 0,0=<c bD.0,0=≥c b 17．设α∈(0, π4)，则αsin 2，αcos 2，αsin log 2的大小顺序是 ( )A ．αsin 2＞αcos 2＞αsin log 2；B ．αsin 2＞αsin log 2＞αcos 2；C ．αcos 2＞αsin log 2＞αsin 2；D ．αcos 2＞αsin 2＞αsin log 2．18．在△ABC 中，若B A sin sin ＜B A cos cos ，则△ABC 一定为（ ） （A ）等边三角形；（B ）直角三角形；（C ）锐角三角形；（D ）钝角三角形． 19．下列命题中的假命题是 （ ）（A ）存在这样的α和β的值，使得)cos(βα+＝βαcos cos ＋βαsin sin ； （B ）不存在无穷多个α和β值，使得)cos(βα+＝βαcos cos ＋βαsin sin ； （C ）对于任意的α和β，都有)cos(βα+＝βαcos cos －βαsin sin ； （D ）不存在这样的α和β值，使得)cos(βα+≠βαcos cos －βαsin sin ．20、已知f (x ) = –x –x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0，则f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)的值一定 ( )(A)恒大于零 (B)恒不小于零 (C)恒小于零 (D)恒不大于零。
2024年上海市位育中学高三数学三模试卷附答案解析
2024年上海市位育中学高三数学三模试卷试卷满分150分。
考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合{}1,2,6M =，{}2,3N =，则M N = ______．2．已知()()2log ,02,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则()1f -=______．3．已知复数z 满足z i -=，则z 的最小值为______．4．已知向量(a = ，()b = ，则a在b 上的投影向量的模为______．5．已知2x y +=，则()y x y -的最大值为______．6．已知扇形的弧长为2π，面积为3π，则扇形所在圆的半径为______．7．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ．若(222a b =+⋅，且b c =，则A =______．8．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x ，则这6个点数的中位数为4的概率为______．9．若2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是______．10．已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为______．11．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，且3AB =，11AA =．店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中1111H E E F F G G H H --------的方向捆扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为______．12．正实数x ，y 满足：存在[]0,a x ∈和[]0,b y ∈，使得222a y +=，221b x +=，1ax by +=，则x y +的最大值为______．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．设x R ∈，则“0x <”是“()ln 10x +<”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．要得到函数()ln 2y x =的图像，只需将函数ln y x =的图像（）A ．每一点的横坐标变为原米的2倍B ．每一点的纵坐标变为原来的2倍C ．向左平移ln2个单位D ．向上平移ln2个单位15．在一个有限样本空间中，假设()()()13P A P B P C ===，且A 与B 相互独立，A 与C 互斥，以下说法中，正确的个数是（）①()23P A B = ②()()2P C A P A C =③若()()12P C B P C B +=，则B 与C 互斥A ．0B ．1C ．2D ．316．设无穷正数数列{}n a ，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得123m n a a a a a =++++ ，那么称{}n a 为内和数列，并令n b m =，称{}n b 为{}n a 的伴随数列，则（）A ．若{}n a 为等差数列，则{}n a 为内和数列B ．若{}n a 为等比数列，则{}n a 为内和数列C ．若内和数列{}n a 的伴随数列{}n b 为严格增数列，则{}n a 为严格增数列D ．若内和数列{}n a 为严格增数列，则其伴随数列{}n b 为严格增数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知向量()2sin ,cos 2m x x =ωω ，),1n x =ω，其中0ω>，若()f x m n =⋅，且函数()y f x =的最小正周期为π．（1）求()y f x =的单调增区间；（2）在ABC △中，若()2f B =-，BC =sin B A =，求BA BC ⋅的值．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．在四面体D ABC -中，2AB BC BD AC ====，AD DC ==．（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ；（2）对角线BD 上是否存在一点E ，使得直线AD 与平面ACE 所成角为30°．若存在求出BEED的值，若不存在说明理由．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．喜欢不喜欢合计男12820女101020合计221840（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -χ=++++，其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为23，张先生跑步上班迟到的概率为13．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X ，求X 的分布及数学期望E[X]．20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）以2F 为圆心的圆经过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，求椭圆Γ的离心率；（2）已知5a =，4b =，设点P 是椭圆Γ上一点，且位于x 轴的上方，若12PF F △是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）已知2a =，b =2F 且倾斜角为2π的直线与椭圆Γ在x 轴上方的交点记作A ，若动直线l也过点2F 且与椭圆Γ交于M 、N 两点（均不同于A ），是否存在定直线0l ：0x x =，使得动直线l 与0l 的交点C 满足直线AM 、AC 、AN 的斜率总是成等差数列？若存在，求常数0x 的值．若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．设函数()y f x =的定义域为D ，对于区间[](),I a b I D =⊆，当且仅当函数()y f x =满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I 是()y f x =的一个“美好区间”．性质①：对于任意0x I ∈，都有()0f x I ∈；性质②：对于任意0x I ∈，都有()0f x I ∉．（1）已知()22f x x x =-+，x R ∈．分别判断区间[]0,2和区间[]1,3是否为函数()y f x =的“美好区间”，并说明理由；（2）已知()()3213123f x x x x x R =--+∈且0m >，若区间[]0,m 是函数()y f x =的一个“美好区间”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数()y f x =的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意a b <，都有()()f a f b b a ->-．求证：函数()y f x =存在“美好区间”，且存在0x R ∈，使得0x 不属于函数()y f x =的任意一个“美好区间”．参考答案一、填空题1.{}1,2,3,6;2.0;1-; 4.0;5.12; 6.3;7.56π;8.16;9.45;10.1666；11.16-11．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，且3AB =，11AA =．店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中1111H E E F F G G H H --------的方向捆扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为______．【答案】16-【解析】对于图（A ），沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为对于图（B ），彩绳长度的最小值为16，因为16>A 比图B 最多节省的彩绳长度16-12．正实数x ，y 满足：存在[]0,a x ∈和[]0,b y ∈，使得222a y +=，221b x +=，1ax by +=，则x y +的最大值为______．【解析】构造(,),(,)OP a y OQ x b ==，|||1,1OP OQ OP OQ ==⋅=，4POQ π∠=，问题转化为一个等腰直角三角形OPQ 绕着点O 转动，因为[0,],[0,]a x b y ∈∈，所以点P 位于点Q 的左上方，设QOM θ∠=，则4POM πθ∠=+，所以||cos ,||4x QN y PM πθθ⎛⎫====+ ⎪⎝⎭，所以cos sin 2cos 4x y πθθθθ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭)θϕ=+≤所以x y +二、选择题13.B14.D15.C16.D14.D15.C16.D15．在一个有限样本空间中，假设()()()13P A P B P C ===，且A 与B 相互独立，A 与C 互斥，以下说法中，正确的个数是（）①()23P A B = ②()()2P C A P A C =③若()()12P C B P C B +=，则B 与C 互斥A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①()()1,3P A P B ==,且A 与B 相互独立,则()()()()13P A B P A P B P AB ⋃=+-=11153339+-⨯=,①错误;对于②()()()(),|3P C AP C A PC A P A ==,()()()()()3|1213P CAP CA P A C P CA P C ===-故()()2|P C A P A C =,故②正确;对于③()()1,||2P C B P C B +=,则()()()|P CB P C B P B =,()()()|,P C B P C B P B=故()()112233P C B P CB +=,即()()631P CB P C B +=(1),若BC 互斥,则()()()10,3P BC P C B P C ===,满足(1)式,故()0P BC =,即B 与C 互斥,故③正确.故选:C.16．设无穷正数数列{}n a ，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得123m n a a a a a =++++ ，那么称{}n a 为内和数列，并令n b m =，称{}n b 为{}n a 的伴随数列，则（）A ．若{}n a 为等差数列，则{}n a 为内和数列B ．若{}n a 为等比数列，则{}n a 为内和数列C ．若内和数列{}n a 的伴随数列{}n b 为严格增数列，则{}n a 为严格增数列D ．若内和数列{}n a 为严格增数列，则其伴随数列{}n b 为严格增数列【答案】D【解析】对于选项AB :例如1n a =,可知{}n a 即为等差数列,也为等比数列,则122a a +=,但不存在*m N ∈,使得2,m a =所以{}n a 不为内和数列,故AB 错误;对于选项C:例如：数列：2,1,3,4,5,⋯显然{}n a 是所有正整数的排列,可知{}n a 为内和数列,且{}n a 的伴随数列为递增数列,但{}n a 不是递增数列,故C 错误.对于选项D:因为0n a >,对任意*1212,,n n N n n ∈<,可知存在*12,m m N ∈,使得11123m n a a a a a =+++⋯+,22123m n a a a a a =+++⋯+,则21112120m m n n n a a a a a ++-=++⋯+>即21m m a a >,所以其伴随数列{}n b 为递增数列,故D 正确;故选D.三．解答题17.（1）,,36k k k Zππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦（2）32-18.（1）证明略（2）BEED=19.（1）否（2）()6527E X =，分布列如下20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）以2F 为圆心的圆经过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，求椭圆Γ的离心率；（2）已知5a =，4b =，设点P 是椭圆Γ上一点，且位于x 轴的上方，若12PF F △是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）已知2a =，b =2F 且倾斜角为2π的直线与椭圆Γ在x 轴上方的交点记作A ，若动直线l 也过点2F 且与椭圆Γ交于M 、N 两点（均不同于A ），是否存在定直线0l ：0x x =，使得动直线l 与0l 的交点C 满足直线AM 、AC 、AN 的斜率总是成等差数列？若存在，求常数0x 的值．若不存在，请说明理由．【答案】（1）12e =（2）()504,3,⎛± ⎝⎭（3）存在，04x =【解析】（1）由题意可得：2c a ==,12c e a ∴==.（2）5,4a b ==,椭圆Γ的方程为:2212516x y += 3.c ==点P 是椭圆Γ上一点,且位于x 轴的上方,若12PF PF =,则()04P ,.若212F F PF =,设()P x,y ,226,12516x y =+=,()()55,04x ,y ,∈-∈,联立解得53x=-,5333y P ,⎛=∴- ⎝⎭.若211F F PF =,设()P x,y,根据对称性可得533P ,⎛ ⎝⎭.综上可得点P的坐标为()504,33,,⎛±⎝⎭.(3)2,a b ==,椭圆Γ的方程为221,143x y c +==,()210,F ,∴把1x =代入椭圆方程可得211,043y y +=>,解得33,122y A ,⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭.设直线l 的方程为:()(01,y k x C x =-,())01k x -,设()()1122,M x ,y N x ,y ,联立()221122y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,化为()22223484120,k x k x k +-+-=0,Δ>221212228412,,3434k k x x x x k k -∴+==++假设存在定直线00:l x x =,使得动直线l 与0l 的交点C 满足直线,,AM AC AN 的斜率总是成等差数列,则2ACAM AN k k k =+,()01201233312222111k x y y x x x ----∴⨯=+---,()()11221,1y k x y k x =-=-,代入化为:012211111x x x =+---而()12121212211111x x x x x x x x +-+=---++22220228222234313412813434k k x k k k k -+==∴=---+++,解得04x =.因此存在定直线0:4l x =,使得动直线l 与0l 的交点C 满足直线,,AM AC AN 的斜率总是成等差数列.21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．设函数()y f x =的定义域为D ，对于区间[](),I a b I D =⊆，当且仅当函数()y f x =满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I 是()y f x =的一个“美好区间”．性质①：对于任意0x I ∈，都有()0f x I ∈；性质②：对于任意0x I ∈，都有()0f x I ∉．（1）已知()22f x x x =-+，x R ∈．分别判断区间[]0,2和区间[]1,3是否为函数()y f x =的“美好区间”，并说明理由；（2）已知()()3213123f x x x x x R =--+∈且0m >，若区间[]0,m 是函数()y f x =的一个“美好区间”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数()y f x =的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意a b <，都有()()f a f b b a ->-．求证：函数()y f x =存在“美好区间”，且存在0x R ∈，使得0x 不属于函数()y f x =的任意一个“美好区间”．【答案】（1）是（2）03m <≤（3）见解析【解析】（1）函数3y x =-，当[1,2]x ∈时，[1,2]y ∈，因此区间[1,2]是函数3y x =-的一个“美好区间”．（2）2()23(1)(3)f x x x x x '=--=+-，由()f m m =得2(3)(12)0m m --=，所以3m =或m =当03m <≤时，()f x 在[0,]m 上严格减，所以()[(),12]f x f m ∈，满足题意；当3m >时，min ()(3)3f x f ==，所以12m ≥且()f m m ≤，无解；所以，03m <≤；(3)证明：对于任意区间[],()I a b a b =<,记(){}|,S f x x I =∈由已知得()f x 在I 上单调递减,故()(),S f b ,f a ⎡⎤=⎣⎦因为()()f a f b b a ->-,即S 的长度大于I 的长度,故不满足性质①,所以若I 为()f x 的“美好区间”,必满足性质②),这只需S I ⋂=∅,即只需()f a a <或()f b b >,由()f x x =显然不恒成立,所以存在常数c 使得()f c c ≠,如()f c c <,取a c =，区间[],()I a b a b =<满足性质②；综上，函数()f x 一定存在“美好区间”；记()()g x f x x =-,则()g x 图象连续不断,下证明()g x 有零点:因为()f x 在R 上是减函数，所以()g x 在R 上是减函数,记()0f t =,若0t =,则00x =是()g x 的零点,若0t >,则()()0f t f t <=,即()00g >,()0g t <,由零点存在性定理,可知存在()00x ,t ∈,使得()00g x =,若0t <,则()()0f t f t >=,即()0g t >,()00g <,由零点存在性定理,可知存在()00x t ,∈,使得()00g x =,综上,()g x 有零点0x ,即()00f x x =,因为()f x 的所有“美好区间”I 都满足性质②,故0x I ∉,（否则()00f x x I =∈,与性质②不符),即0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”,证毕.。
上海市位育高级中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析
上海市位育高级中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“?n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是( )A．?n∈N*，f（n）?N*且f（n）＞n B．?n∈N*，f（n）?N*或f（n）＞nC．?n0∈N*，f（n0）?N*且f（n0）＞n0 D．?n0∈N*，f（n0）?N*或f（n0）＞n0参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：?n0∈N*， f（n0）?N*或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2. 函数和图象是（）．A．B．C．D．参考答案：C3. 已知不重合的直线、和平面,且,给出下列命题:①若∥，则；②若⊥，则;③若，则∥；④若，则.其中正确命题的个数是A．1 B． C． D．参考答案：B4. 已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为S1，S2，则（）A. 4B. 8C.D.参考答案：A【分析】根据离心率公式和双曲线方程的a，b，c的关系，可知，根据题意表示出点p和m的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解.【详解】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以．由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则．故选A.【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题.5. 对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则=（）（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013参考答案：A令，，则g（x）=h（x）+m（x）．则，令，所以h（x）的对称中心为（，1）．设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上，∴h（1﹣x0）=2﹣y0 ，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2．∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010．由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0．∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0．∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h （）+h（）+…+h（）+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=2010+0=2010，选A.6. 已知=A． B． C．D．参考答案：D由得，所以所以，选D.7. 某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（）A. 3B. 2C. 6D. 8参考答案：C【知识点】由三视图求面积、体积．G2解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选C．【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．8. （5分）角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），则sinα的值（）A．B．﹣C．D．参考答案：D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：先利用角α的终边求得tanα的值，进而利用点（﹣2sin60°，2cos30°），判断出α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．解答：依题意可知tanα==﹣1，∵2cos30°＞0，﹣2sin60°＜0，∴α属于第二象限角，∴sinα==．故选：D．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用．解题的关键是利用α的范围确定sinα的正负．9. 设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=( )A．3 B．5 C．7 D．21参考答案：A考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式，将条件进行化简，即可得结论．解答：解：在等差数列中，若S9=3a8，则=3a8．即9a5=3a8，∴a 8=3a 5，∴=3，故选：A ．点评：本题主要考查等差数列通项公式的应用，根据等差数列的性质是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10. 已知全集U ＝R,A ＝｛x ｜lgx≤0｝，B ＝｛x ｜x 2≤x ｝，则B∩＝（ ）A.B. ｛0｝C.（0，1］D.｛0，1｝参考答案： B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小正周期为______________ .参考答案：12. 在△中，已知D 是AB 边上一点，若，，则.参考答案：-13. 已知满足约束条件,则目标函数的最大值是___________参考答案：略14.若则＝参考答案：答案：15. 关于x ，y 的一元二次方程组的系数矩阵 ．参考答案：【考点】几种特殊的矩阵变换． 【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】直接利用方程组与系数矩阵写出结果即可．【解答】解：关于x ，y 的一元二次方程组的系数矩阵，故答案为：．【点评】本题考查方程组与系数矩阵的关系，是基础题．16. 边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，则这个定值为；推广到空间，棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和为___________________. 参考答案：略17. 阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的整数的最大值为 ．参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市位育中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
所以
AB
=
2(
OE
+
r)
=
2 æç è
0+
0-4 2
+1ö÷ ø
=
4
2+2，
故答案为： 4 2 + 2
答案第51 页，共22 页
( 12． 1, 3ùû
【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出 MF1 、 MF2 ，由勾股定理即可得到 e1 、 e2 的关系，
从而解出 e2 的范围．
【详解】由椭圆及双曲线定义得
3x2 【详解】双曲线
-
y2
=8 可化为
x2 8
-
y2 8
=1，
3
所以双曲线的渐近线方程为 y = ± 3x ，
所以直线 y = 3x 的倾斜角为 π ，直线 y = - 3x 的倾斜角为 2π ，
3
3
答案第11 页，共22 页
所以两条渐近线的夹角为 π . 3
故答案为： π 3
4． 240
【分析】根据二项式定理可得展开式通项，代入 r = 4 即可得到常数项.
14．直线 l1 : (a -1) x + y +1 = 0 ， l2 : 4x + (a + 2) y -1 = 0 ，则“ a = 2 ”是“ l1//l2 ”的（ ）
条件 A．必要不充分条件 C．充要条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
0< a <1
æ0 a 1ö
(0,1)
15．设
,
12 5
ù úû
【分析】根据条件得到点
P( x,
y)
在以
(1,
0)
2024-2025学年上海市位育中学高一数学上学期10月练习试卷及答案解析
2024学年第一学期位育中学阶段练习试卷高一年级数学学科（考试时间100分钟，总分100分）一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 用列举法写出所有小于13的素数组成的集合__________.【答案】{}2,3,5,7,11【解析】【分析】找出所有小于13的素数，即可用列举法表示集合.【详解】小于13的素数有2,3,5,7,11，所以所有小于13的素数组成的集合为{}2,3,5,7,11.故答案为：{}2,3,5,7,112. 已知{}240,2,a a∈，则实数a =___________.【答案】2-【解析】【分析】讨论24a =、24a =，结合集合的性质求参数a 即可.【详解】由题设，当24a =时2a =，则24a =，此时22a a =，不符合互异性；当24a =时2a =±，由上2a =不符合，而2a =-时24a =-，此时集合为{0,4,4}-.综上，2a =-.故答案为：2-3.集合{{}2,A x y B y y x ====，则A B = ____________.【答案】{0x x ≥或}1x ≤-【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，再根据并集定义即可得解.【详解】{{}{2101A x y x x x x ===-≥=≥或}1x ≤-，{}{}20B y y x y y ===≥，所以{0A B x x ⋃=≥或}1x ≤-.的故答案为：{0x x ≥或}1x ≤-.4. 不等式2111x x -≥-+的解集为______．【答案】()[),10,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可.【详解】由2111x x -≥-+可得：21101x x -+≥+，即211011x x x x x -++=≥++，所以()1010x x x ⎧+≥⎨+≠⎩，解得：0x ≥或1x <-.故答案为：()[),10,-∞-⋃+∞.5. 已知集合A 中元素x 满足2x ＋a>0，a ∈R.若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________．【答案】42a -<≤-【解析】【分析】根据已知条件列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】因为1∉A ，2∈A ，所以210220a a ⨯+≤⎧⎨⨯+>⎩，即42a -<≤-.故答案为：42a -<≤-6. 用反证法证明命题“若2x y +>，则1x >或1y >”的过程中，应当作出的假设是______________．【答案】1x ≤且1y ≤【解析】【分析】根据反证法的基本思想求解即可.【详解】用反证法证明命题“若2x y +>，则1x >或1y >”，应假设1x ≤且1y ≤.故答案为：1x ≤且1y ≤.7. 若11x y -<<<，则x y -的取值范围是__________．【答案】()20-，【解析】【分析】根据已知条件利用不等式乘法和加法性质计算得结论．【详解】因为11x y -<<<，所以1<<11<<1<x y x y --⎧⎪⎨⎪⎩，则1<<11<<1<0x y x y ----⎧⎪⎨⎪⎩，得20x y -<-<，因此x y -的取值范围是()20-，，故答案为：()20-，．8. 若不等式22230kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是____________.【答案】60k -<≤【解析】【分析】分情况讨论，当0k =时，满足题意；当0k ≠时，只需要满足()20Δ4830k k k <⎧⎨=-⨯-<⎩解不等式组即可.【详解】不等式22230kx kx +-<对一切实数x 都成立，当0k =时，30-<对一切实数x 都成立，满足题意；当0k ≠时，只需要满足()20Δ4830k k k <⎧⎨=-⨯-<⎩解得60k -<<综上结果为：60k -<≤.故答案为： 60k -<≤9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{1x x <-或2}x >，则不等式20bx ax c +-≤的解集是________．【答案】{}1|2x x -≤≤【解析】【分析】依题意可得1-、2为关于x 的方程20ax bx c ++=的两根且0a <，利用韦达定理，即可得到=-b a ，2c a =-，再代入目标不等式，解得即可.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{1x x <-或2}x >，所以1-、2为关于x 的方程20ax bx c ++=的两根且0a <，所以12120b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，则=-b a ，2c a =-，所以不等式20bx ax c +-≤，即220ax ax a -++≤，即220x x --≤，解得12x -≤≤，所以不等式20bx ax c +-≤的解集是{}1|2x x -≤≤.故答案为：{}1|2x x -≤≤10. 已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是___________.【答案】14m >【解析】【分析】α是β的必要条件，即B A ⊆，分31m m ->-，31m m -≤-两种情况讨论分析，即得解【详解】设{|31A x x m =<-或}x m >-，{|2B x x =<或4}x ≥若α是β的必要条件，则B A⊆（1）当31m m ->-时，即14m >，此时A R =，B A ⊆成立；（2）当31m m -≤-时，即14m ≤，若B A ⊆，此时3124m m -≥⎧⎨-<⎩，无解.综上：14m >故答案为：14m >11. 已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________【答案】2或32【解析】【分析】先求得方程的解为123,1,1x a x x a ===-，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解.【详解】由方程2()(1)0x a x ax a --+-=，可得化为()(1)[(1)]0x a x x a ----=，解得123,1,1x a x x a ===-，当1a =时，此时{1,0}M =，可得103+≠，不符合题意，舍去；当11a -=时，即2a =时，可得{2,1}M =，此时213+=，符合题意；当1a ≠且2a ≠时，可得113a a ++-=，解得32a =，符合题意，所以实数a 的值为2或32.故答案为：2或32.12. 若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．【答案】2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【详解】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2等价于2(4)410a x x -+-+<，其中40a ∆=>且有40a ->，故有04a <<x <<，所以1142<<解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374≥≤，解得2549916a ≤≤.考点：含参数的一元二次方程的解法.二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13. 如图表示图形阴影部分的是（ ）A. ()()A CBC B. ()()A B A C C. ()()A B B C D. ()A B C⋃⋂【答案】B【解析】【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B 的元素且C 的元素，或是A 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案．【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A 中的元素，或者是B 与C 的公共元素故可以表示为()A B C ，也可以表示为：()()A B A C .故选：B ．14. 已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ）A. 若,a b c d >>，则a d b c+>+ B. 若,a b c d >>，则ac bd >C. 若,0a b c d >>>，则a b d c > D. 若0,0ab bc ad >->，则c d a b >【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质结合反例说明选项A 、B 、C 错误，利用作差法说明选项D 正确.【详解】A.令4,3,2,1a b c d ====，则a d b c +=+，选项A 错误.B.令7,3,1,2a b c d ===-=-，则7,6ac bd =-=-，ac bd <，选项B 错误.C. a b ac bd d c cd--=.由0c d >>得0cd >.令1,2,7,3a b c d =-=-==，则7(6)10ac bd -=---=-<，此时0ac bd cd -<，即0a b d c -<，a b d c<，选项C 错误.D. c d bc ad a b ab --=.由0,0ab bc ad >->得，0bc ad ab ->，即0c d a b ->，c d a b>，选项D 正确.故选：D.15. 对于x ∀∈R ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，例如：[]π3=，[]2.13-=-，则“[][]x y >”是“x y >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解.【详解】当x y >时，如 3.2x =， 3.1y =，不能得到[][]x y >，由[][]x y >，则[][]x y y >≥，又[]x x ≥，所以一定能得到x y >，所以“[][]x y >”是“x y >”成立的充分不必要条件.故选：A .16. 对于集合{}()12,,,Z,3n A a a a n n =∈≥ ，A 中每个元素均为正整数，如果去掉A 中任意一个元素()11,2,,a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合()1,2,,i A i n = ，并且i A 都能分成两个集合B 和C ，满足,i B C B C A =∅= ，且B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.以下命题中，①{}1,2,3不是“可分集合”；②三元集{}123,,a a a 可能是“可分集合”；③{}1,2,3,4是“可分集合”；④四元集{}1234,,,a a a a 可能是“可分集合”；⑤五元集{}12345,,,,a a a a a 一定不是“可分集合”.真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用集合“可分集合”的定义，结合,i B C B C A =∅= ，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，集合{}1,2,3，当去掉元素1时，剩余元素组成的集合为{}2,3，此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{}1,2,3不是“可分集合”，所以①正确；对于②，对于三元集{}123,,a a a ，若去掉元素3a ，剩余的元素组成的集合为{}12,a a ，把集合{}12,a a 分成两个非空集合，可得集合{}1a ，{}2a ，根据集合元素的互异性，可得12a a ≠，所以分成两个的集合的元素之和不相等，所以三元集{}123,,a a a 可能“可分集合”，所以②不正确；对于③中，集合{}1,2,3,4，若去掉元素3，剩余元素组成集合{}1,2,4，此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{}1,2,3,4不是“可分集合”，所以③不正确；对于④中，若四元集{}1234,,,a a a a 是“可分集合”，不妨设1234a a a a <<<，若去掉1a ，则234a a a +=；若去掉2a ，则134a a a +=，所以12a a =，显然与12a a <矛盾，所以集合{}1234,,,a a a a 不可能是“可分集合”；对于⑤中，假设五元集{}12345,,,,a a a a a 是“可分集合”，不妨设123450a a a a a <<<<<，则必能将集合{}1245,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等，所以1534a a a a +=+或1345a a a a ++=，也必能将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等，所以有2534a a a a +=+或2345a a a a ++=，由1534a a a a +=+和2534a a a a +=+，可得12a a =，矛盾；由1534a a a a +=+和2345a a a a ++=，可得12a a =-，矛盾；由1345a a a a ++=和2534a a a a +=+，可得12a a =-，矛盾；由1345a a a a ++=和2345a a a a ++=，可得12a a =，矛盾，是所以假设不成立，所以五元集{}12345,,,,a a a a a 一定不是“可分集合”，所以⑤正确.综上可得，只有①⑤正确.故选：B.【点睛】方法点拨：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 求关于x 的不等式的解集：()21210m x mx m +-+-≥.【答案】答案见解析【解析】【分析】将不等式变形为()()(1)110x m x m -+--≥⎡⎤⎣⎦，然后根据12111m m m -=-++与1的关系进行分类讨论，求解即可．【详解】不等式()21210m x mx m +-+-≥，即()()(1)110x m x m -+--≥⎡⎤⎣⎦，当1m =-时，不等式为220x -≥，解得1x ≥，则不等式的解集[)1,+∞；当1m >-时，不等式变形为1(1)01m x x m -⎛⎫--≥ ⎪+⎝⎭，由于121111m m m -=-<++，解得1x ≥或11x m m ≤-+，故此时不等式的解集为[)1,1,1m m ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎦-+⎝；当1m <-时，不等式变形为1(1)01m x x m -⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭，由于121111m m m -=->++，解得111x m m ≤≤-+，故此时不等式的解集为11,1m m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．综上所述，当1m =-时，不等式的解集为[)1,+∞；当1m >-时，不等式的解集为[)1,1,1m m ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎦-+⎝；当1m <-时，不等式的解集为11,1m m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．18. 某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A 的年产销量减少10p 万件，同时将商品A 的销售金额的%p 作为新产品开发费（即每销售100元提出p 元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数p 的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发）【答案】26p ≤≤【解析】【分析】由题可得关于p 的不等式，解一元二次不等式即可得答案.【详解】由题，商品的年销量为()800000100000p -件，又每件售价80元，则()80000010000080%9600000p p -⋅⋅≥，即()80108096100p p -≥，所以()8896p p -≥，所以28120p p -+≤，解得26p ≤≤.19. 已知集合{}{}280,,10,A x x x m m B x ax a =-+=∈=-=∈R R ，且A B A = ．（1）若12m =，求实数a 组成的集合．（2）若全集为A ，{3}B =，求m ，a 的值．【答案】（1）110,,62⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （2）115,5m a ==【解析】【分析】（1）12m =，可得{}2,6A =，由A B A = 得B A ⊆，对B 分类讨论即可求；（2）由全集为A ，{3}B =，即{3}A B =ð得3,3A B ∈∉，代入280x x m -+=可得m ，{}3,5A =，即5∈B ，代入10ax -=可得a【小问1详解】12m =，{}{}281202,6A x x x =-+==，由A B A = 得B A ⊆，当B =∅，则0a =；当{}2B =，则12a =；当{}6B =，则16a =.综上可得实数a 组成的集合为110,,62⎧⎫⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】由全集为A ，{3}B =，即{3}A B =ð得3,3A B ∈∉，∴2383015m m -⨯+=⇒=，∴{}{}281503,5A x x x =-+==，∴155105B a a ∈⇒-=⇒=.综上，115,5m a ==20. （1）已知关于x 和y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）.当1k =时，求该方程组的解集；（2）记关于x 和y 方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，判断()121232y y y y +-是否为定值.若为定值，求出该值；若不是定值，说明理由；（3）已知12x x 、是关于x 的一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根.若满足12212Z x x x x +-∈，求整数k 的值.【答案】（1）10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）是定值，定值为4；（3）2-或3-或5-.【解析】【分析】（1）消去y 求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解；（2）消去y 整理得()222210k x kx ++-=，利用韦达定理得到12x x +，21x x ，即可求出12y y +、12y y ，从而得解；（3）首先可根据已知条件得出0k <，然后根据韦达定理得出1214k x x k +=、12414k x x k-+=-=，可将12212Z x x x x +-∈转化为4Z 1k -∈+，再根据k 为整数以及0k <即可得出结果.的【详解】（1）当1k =时22221x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得23210x x +-=，解得1x =-或13x =，当1x =-时，0y =，当13x =时，43y =，因此，方程组的解为10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（2）关于x 和y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，消去y 整理得()222210k x kx ++-=，显然220k +≠，且2880k ∆=+>，其两根为12x x 、，由韦达定理得12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以()12122422y y k x x k +=++=+，()2212121222212k y y k x x k x x k -+=+++=+，所以()2121222124432422k y y y y k k -++-=-=++，因此，()121232y y y y +-是定值，且定值为4.（3）因为1x 、2x 是关于x 的一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根，所以()()2044410k k k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯+≥⎪⎩，解得0k <，1214k x x k +=，12414k x x k-+=-=，则()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，因为12212Z x x x x +-∈，所以4Z 1k -∈+，因为k 为整数，所以11k +=±、2±、4±，因为0k <，所以整数k 的值为2-或3-或5-.21. 已知集合{}()12,,2,k A a a a k k N =≥∈ ，其中()Z 1,2,i a i k ∈= ，且满足：对任意的x A ∈，有x A -∉，则称集合A 具有性质G .由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：和集(){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈，差集(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素.（1）已知集合{}0,1,2,3J =，集合{}1,2,3K =-和集合{}222L y y x x ==-+，判断它们是否具有性质G .若是，则直接写出其对应的集合P 和集合Q ；若否，请说明理由；（2）试判断“集合A 具有性质G ”是“m n =”的什么条件，并证明.【答案】（1）集合,J L 不具有性质G ；集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；（2）充分不必要条件.【解析】【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合P ，Q .（2）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合P 与Q 集合个数的大小关系，推理得证.【小问1详解】①集合0J ∈，不符合定义故J 不具有性质G ；②集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；③集合L 不是整数集所以不具有性质G .【小问2详解】当集合A 具有性质G 时，①对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果(),a b ，(),c d 是P 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d +=+中至少有一个不成立，故(),a b b +和(),c d d +也是Q 中不同元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，②对于(),a b Q ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b b Q -∈，如果(),a b ，(),c d 是Q 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故(),a b b -和(),c d d -也是P 中不同元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，由①②可知m n=集合{1,1,2,3}A =-，则{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,1),(1,2),(2,1)}P =----，{(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(3,1),(2,1)}Q =--，满足m n =，而集合A 不具有性质G ，所以集合A 具有性质G 是m n =的充分不必要条件.的的。
2022-2023学年上海市位育中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市位育中学高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．已知集合{}2,{|1}A x x B x x =<=≥-，则A B =______． 【答案】{}12x x -≤<【分析】计算{}22A x x =-<<，再计算交集得到答案. 【详解】{}{}222A x x x x =<=-<<，{|1}B x x =≥-，故{}12A B x x ⋂=-≤<. 故答案为：{}12x x -≤<2．平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的几何可以用描述法表示______________【答案】{(,)|0x y x =或0}y =【分析】根据坐标轴上点的特点横坐标或纵坐标为0求解即可.【详解】因为x 轴上点的坐标的纵坐标为0，y 轴上点的坐标的横坐标为0，所以坐标轴上点的集合为：{(,)|0x y x =或0}y =.故答案为：{(,)|0x y x =或0}y =3．事件“对任意实数x 与y ，都有222x y xy +≥成立”的否定形式为________．【答案】存在实数x 与y ，使得222x y xy +<成立.【分析】“任意x M ∈，则()p x ”的否定形式为“存在x M ∈，则()p x ⌝ ”【详解】全称命题的否定为特称命题， 故“对任意实数x 与y ，都有222x y xy +≥成立”的否定形式为“存在实数x 与y ，使得222x y xy +<成立”.故答案为：存在实数x 与y ，使得222x y xy +<成立.4．设a ∈R ，若1x >，则x a >为真命题，则a 的取值范围是_____．【答案】1a ≤【分析】根据命题的真假性，得到两个范围作为集合的关系，进而求出a 的取值范围即可.【详解】解：由题知1x >，则x a >为真命题， 则{}{}1x x x x a >⊆>，故1a ≤.故答案为：1a ≤5．集合1{|0}2x A x x+=≤-，{|40}B x x p =+<，若B A ⊆，则实数p 的取值范围是_____. 【答案】4p ≥ 【分析】先化简集合{2A x x =>或}1x ≤-，4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，根据B A ⊆，列出不等式，即可得出结果.【详解】因为{1{|0}22x A x x x x +=≤=>-或}1x ≤-，{|40}4p B x x p x x ⎧⎫=+<=<-⎨⎬⎩⎭， 又B A ⊆，所以14p -≤-，解得4p ≥. 故答案为4p ≥ 【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，熟记集合间的基本关系，以及分式不等式的解法即可，属于常考题型.6．设12x x 、是方程230x x +-=的两个实数根，则2122020x x -+=_____________【答案】2024【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出12x x +，再将2122020x x -+转化后求出．【详解】1x ，2x 是方程230x x +-=的两个根，121x x ∴+=-，123x x =-，又21130x x +-=，2113x x ∴=-，21212122020320202023()2024x x x x x x ∴-+=--+=-+=故答案为： 20247．不等式20ax bx c ++>的解集是1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则不等式20cx bx a ++<的解集为___________ 【答案】{x |﹣2＜x 13＜}． 【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得 a ＜0，且12-+3b a =-，12-×3c a=，由此化简要求的不等式为 3x 2+5x ﹣2＜0，从而求出它的解集．【详解】∵不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴a ＜0，且12-+352b a ==-，12-×332c a =-=， ∴b ＞0，c ＞0，53b c =，23a c =-，∴不等式cx 2+bx +a ＜0，即 x 2b a x c c ++＜0，即 x 25233x +-＜0，即 3x 2+5x ﹣2＜0， 求得它的解集为 {x |﹣2＜x 13＜}， 故答案为{x |﹣2＜x 13＜}． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 8．若不等式210ax ax --<的解集为R ，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]4,0-【分析】考虑0a =与0a ≠两种情况，根据根的判别式得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】当0a =时，10-<，满足要求，当0a ≠时，要想满足210ax ax --<解集为R ，则要()20Δ40a a a <⎧⎪⎨=-+<⎪⎩，解得：40a ， 综上：实数a 的取值范围是(]4,0-.故答案为：(]4,0-9．运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，每人至多报两个项目．15人参加游泳，8人参加田径，14人参加球类．同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，则只参加一个项目的有______人．【答案】19【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的，同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次，所以1581433283++---=就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人．∵同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，∴只参加一个项目的有2833319---=人，故答案为19【点睛】本题主要考查集合关系的应用，根据人数关系求出同时参加田径比赛和球类比赛的有3人是解决本题的关键．10．设k 为实数，关于x 的不等式组221040x kx kx x k⎧++>⎪⎨-≤⎪-⎩的解集为A ，若2A ∉，则k 的取值范围是_______． 【答案】(]5,2,42⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦ 【分析】根据2A ∉，判断22210k ++≤或 22402k k->-或220k -=即可得解. 【详解】由题意210x kx ++>的解集不包含2，或240kx x k-≤-的解集不包含2， 所以22210k ++≤或 22402k k ->-或220k -=， 解得，52k ≤-或24k <<或4k =， 故答案为：(]5,2,42⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦. 11．若x A ∈，则2x A -∈，则称A 是“对偶关系”集合，若集合{},4,2,0,2,4,6,7a --的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数a 的取值集合为__________【答案】{}1,5-【分析】根据定义，列举集合{a ，4-，2-，0，2，4，6，7}的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数a 的取值即可．【详解】解：集合{a ，4-，2-，0，2，4，6，7}的所有的“对偶关系”有4-与6，2-与4，2与0，则a 与7，这些组合的“对偶关系”有4对，集合有42115-=个．那么27a -=，可得5a =-．当1a =时，则21a -=，也满足“对偶关系”．可得实数a 的取值集合为{}1,5-．故答案为：{}1,5-．【点睛】本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题12．已知关于x 的不等式22232x kx k x -≤+≤-有唯一解，则实数k 的取值集合为_______【答案】⎪⎩ 【解析】不等式化为2223kx x k ++，讨论0k =、0k >和0k <时，不等式有唯一解时对应k 的取值．【详解】不等式22232x kx k x -+-可化为2223kx x k ++；若0k =，不等式2223kx x k ++可化为223x ，不满足有唯一解；若0k >，则若不等式2223kx x k ++，令24434k k -=，解得k =即k = 若0k <，则若不等式组2223kx x k ++，令24424k k-=，解得1=±k即1k =综上知，k 的取值集合是{1．故答案为：{1． 【点睛】本题考查了一元二次不等式有唯一解的应用问题，也考查了二次函数有最值的应用问题，是中档题．二、单选题13．“1x >”是“11x<”的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【分析】根据充分不必要条件，利用作差法以及不等式性质，可得答案.【详解】由1x >，则10x ->，即1110x x x --=<，故11x<；由11x <，则0x <或1x >，故推不出1x >； 所以“1x >”是“11x <”的充分不必要条件. 故选：A.14．下列选项是真命题的是（ ）A ．若a b <，则22ac bc <B ．若a b <，c d <，则a c b d -<-C ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd >D ．若0b a <<，则11a b < 【答案】D【解析】取特殊值可判断ABC 错误，根据不等式的性质可判断D 正确.【详解】对于A ，若a b <，当0c 时，22ac bc =，故A 错误；对于B ，令1,4,0,3a b c d ====，此时a c b d -=-，故B 错误；对于C ，令2,1,2,1a b c d ===-=-，此时ac bd <，故C 错误；对于D ，若0b a <<，则11a b <，故D 正确. 故选：D.15．对于集合A 、B ，定义集合运算{|A B x x A -=∈且}x B ∉，给出下列三个结论：（1）()()A B B A -⋂-=∅；（2）()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂；（3）若A B =，则A B -=∅；则其中所有正确结论的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由韦恩图分别表示集合A B -，A B ⋂，B A -，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项.【详解】如图：若A ，B 不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合A B -，A B ⋂，B A -，若A ，B 具有包含关系，不妨设A 是B 的真子集，对于（1）: 图1中，()()A B B A -⋂-=∅，图2中A B -=∅，所以()()A B B A -⋂-=∅， 故（1）正确；对于（2）：图1中，()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂成立，图2中，()()A B B A B A -⋃-=-，()()A B A B B A ⋃-⋂=-，所以()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂成立，故（2）正确；对于（3）：若A B =，则A B -=∅；故（3）正确；所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3），故选：D.16．定义{}x 为不小于x 的最小整数（例如：{5.5}6=，{4}4-=-），则不等式2{}5{}60x x -+≤的解集为（ ）A ．[2,3]B ．[2,4)C ．(1,3]D ．(1,4]【答案】C【分析】先根据已知二次不等式求出{}x ，进而可求x 的范围【详解】2{}5{}60x x -+≤解得{}23x ≤≤，{}x 为不小于x 的最小整数，所以13x <≤.故选：C三、解答题17．已知a ，b ∈R ，比较22a b +与245a b --的大小．【答案】22245a b a b +≥--.【解析】利用作差法：作差、配方，从而可得答案.【详解】a ，b ∈R ，()()22245a b a b ∴+---222144a a b b =-++++22(1)(2)0a b =-++≥，22245a b a b ∴+≥--，当且仅当1a =，2b =-时，等号成立，两式相等．18．某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）【答案】{}110,120,130,140【分析】设每床每晚的租金提高10的n 倍，由题意可得()()50102001015000n n +->，解不等式可得n 的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.【详解】设每床每晚的租金提高10的n 倍，即为()5010n +元，出租的床位会减少10的n 倍张，即为()20010n -张，由题意可得该旅社每晚的收入为()()50102001015000n n +->，整理可得：215500n n -+<解得：510n <<，因为n ∈Z ，所以n 可取6，7，8，9，此时每个床位的定价5010n +即为110，120，130，140，所以每个床位的定价的取值范围是{}110,120,130,140，故答案为：{}110,120,130,140.19．解关于x 不等式:220x x a a -+-< (R a ∈).【答案】见解析【分析】先因式分解，比较,1a a -，分三种情况讨论解得不等式的解集.【详解】原不等式可化为：()()10x a x a --+<，令()()10x a x a --+=，则x a =或1x a =-，①当1a a <-即12a <时，原不等式的解集为{|1}x a x a <<-； ②当1a a =-即12a =时，原不等式的解集为∅； ③当1a a >-即12a >时，原不等式的解集为{|1}x a x a -<<. 20．设实数0a >，集合{||2|}A x x a =-<．(1)若集合A 中含有且仅含有3个整数，求实数a 的取值范围;(2)设集合{}2||3|2B x x =-<，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(1,2](2)2]【分析】（1）解得{}|22A x a x a =-<<+，由集合A 中含有且仅含有3个整数可限制2a -与2a +的范围求解即可；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，则A B ，列出关于a 的不等式组求解即可.【详解】（1）由|2|x a -<得22a x a -<<+，集合A 中含有且仅含有3个整数，这个整数只能是1，2，3，不能有0，4等其它整数，故满足324021a a <+≤⎧⎨≤-<⎩，解得(1,2]a ∈.（2）因为0a >，故集合A 一定是非空集合，由232x -<得()(1x ∈-⋃，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，所以A 是B 的真子集，所以212a a +≤-⎧⎪⎨-≥⎪⎩221a a ⎧+≤⎪⎨-≥⎪⎩2]a ∈. 21．若集合A 具有以下性质：（i ）0A ∈且1A ∈；（ⅱ）若,x y A ∈，则x y A -∈，且当0x ≠时，1A x∈，则称集合A 为“闭集”.(1)试判断集合{}1,0,1B =-是否为“闭集”，并说明理由；(2)设集合A 是“闭集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；(3)若集合M 是一个“闭集”，判断命题“若x M ∈，则2x M ∈”的真假，并说明理由.【答案】(1)不是，理由见解析(2)证明详见解析(3)真命题，理由见解析【分析】（1）根据“闭集”的性质进行判断.（2）根据“闭集”的性质证得结论成立.（3）根据“闭集”的性质进行判断.【详解】（1）{}1,0,1B =-，1,1,,x y x A y A =-=∈∈，但2x y A -=-∉，所以集合B 不是“闭集”.（2）依题意，集合A 是“闭集”，所以(),,0,0,x A y A A y y A x y x y A ∈∈∈-=-∈--=+∈（3）依题意集合M 是一个“闭集”，所以,1,1,x M M x M ∈∈-∈若0x M =∈，则20x M =∈；若1x M =∈，则21x M =∈；若0x ≠且1x ≠，则()11111,,111M M M x x x x x x ∈∈-=∈---， 所以()()21,1x x M x x x x M -∈-+=∈.所以命题“若x M ∈，则2x M ∈”是真命题.22．对于给定集合M ，若集合M 中任意两个不同元素之和仍是集合M 中的元素，则称集合M 是“封闭集合”．设,p q 为实常数且0q ≠，集合{|,N,1}C x x p nq n n ==+∈≥，证明：集合C 为“封闭集合”的充要条件是：存在整数2m ≥-，使得p mq =．【答案】证明见详解【分析】根据“封闭集合”的定义从充分性和必要性两个方面分别证明.【详解】对12,x x C ∀∈，不妨设11221212,,,N ,x p qn x p qn n n n n *=+=+∈≠，则()()121212p x x p qn p qn p q n n q ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭， 若集合C 为“封闭集合”，即12x x C +∈，则12N p n n q*++∈， ∵12,N n n *∈， ∴Z p q ∈， 设Z p m q =∈，即p mq =， 又∵对1212,N ,n n n n *∀∈≠，均有121n n m ++≥，则123n n +≥∴()1212m n n ≥-+≥-；故存在整数2m ≥-，使得p mq =；第 11 页 共 11 页 若存在整数2m ≥-，使得p mq =，则()121212p x x p q n n p q n n m q ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭， ∵1212,N ,,Z,2n n n n m m *∈≠∈≥-，则121231n n n n m +≥++≥，，且12N n n m *++∈， ∴12x x C +∈；综上所述：集合C 为“封闭集合”的充要条件是：存在整数2m ≥-，使得p mq =.。
2022-2023学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面【答案】B【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.故选B 项.【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.2．下列命题正确的个数是（ ）①若a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 共面；③若a ，b 共面，b ，c 共面，c ，a 共面，则a ，b ，c 共面；④若a ，b 不共面，b ，c 不共面，则a ，c 不共面；A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【分析】以正方体棱上的a ，b ，c 为例，逐个判断即可求解【详解】以正方体棱上的a ，b ，c 为例说明：对于①②：如图：11111,,,A B a B C b C C c ===a ，b 共面，b ，c 共面，而显然a ，c 异面，故a ，b ，c 不共面；所以①②都错误；对于③：如图：111,,,A A a B B b C C c ===a ，b 共面，b ，c 共面，c ，a 共面，而a ，b ，c 不共面，故③错误；对于④：如图：111,,,A B a C C b AB c ===a ，b 不共面，b ，c 不共面，而a ，c 共面，故④错误；综上，正确的个数为0故选：A3．在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【分析】根据异面直线的定义及直线的位置关系，逐一分析，即可得答案.【详解】当直线在AB 位置时，与其异面直线有111111,,,CC DD B C A D ，共4条，当直线在EF 位置时，除1111,,,AB BB A B AA 外，其他8条直线均与其异面，当直线在GH 位置时，GH AB ∕∕，与其异面直线有111111,,,,,CC DD B C A D BC AD ,共6条，当直线在AH 位置时，与其异面直线有11111111,,,,,,CC DD B C A D BC C D DC ，共7条，所以不可能是5条，故选：D4．a 、b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则下列结论中正确的是（ ）①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒．A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③【答案】A【分析】根据异面直线夹角的求解方法，结合题意，求解即可.【详解】对①②：以底面圆圆心为C ，高为AC 作圆锥，过C 作圆的直径，交圆于,M N ， 连接,,,AM AN BN MB ，如下所示：记直线,BN BM 分别为,a b ，不失一般性，直线,AB a 所成夹角为60︒，故60ABN ∠=︒，则直线AB 与b 所成夹角为ABM ∠，设底面圆半径为r ，根据题意可得2AN AB r ==，△ABN 为等边三角形，故2BN r =； 在△MNB 中，因为BN BM ⊥，2MN r =，故222BM MN BN r -，又△AMB 中，2AM AB r ==，故△ABM 为等边三角形，故60ABM ∠=︒，即直线,AB b 所成夹角为60︒，故①错误，②正确；对③④：当直线a 与AB 在底面圆中的投影BC 重合或平行时，直线a 与AB 所成夹角为45︒； 当直线a 与AB 在底面圆中的投影BC 垂直时，显然直线AB 与a 所成夹角为90︒；当直线a 不与底面圆中的投影BC 重合，也不平行时，记下图所示直线BN 为a ，过C 作CH BN ⊥，垂足为H ，连接AH .根据题意可得45ABC ∠=︒，则在△ABC 中cos 45BC AB︒=， 又在直角三角形BCH 中，cos BH CBH BC ∠=； 又AC ⊥面,BCN BH ⊂面BCN ，故BH AC ⊥，又BH CH ⊥，,,CH AC C CH AC ⋂=⊂面ACH ， 故BH ⊥面ACH ，又AH ⊂面ACH ，故BH AH ⊥，则在△ABH 中，直线a 与AB 所成角ABH ∠满足cos BH ABH AB∠=， 故cos cos45cos ABH CBH ∠=︒⨯∠，又()cos 0,1CBH ∠∈故cos cos45ABH ∠<︒，即45ABH ∠>︒；综上所述，直线AB 与a 所成角的最小值为45︒，故③正确，④错误.故选：A.二、填空题5．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的取值范围是___________. 【答案】(0,)2π 【分析】根据平面的一条斜线的定义和线面角的定义即可求解.【详解】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，所以斜线与平面所成角θ的取值范围是(0,)2π. 故答案为：(0,)2π. 6．设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为___________.【答案】45°或135°##135°或45°【分析】根据等角定理即可得到答案.【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 故答案为：45°或135°.7．从同一点出发的四条直线最多能确定______个平面．【答案】6【分析】根据任意两条相交直线都可以确定一个平面，把所有可能列出来即可.【详解】设这四条直线分别为a ，b ，c ，d ，则有a 与b ，a 与c ，a 与d ，b 与c ，b 与d ，c 与d ，共6种情况，故答案为：68．下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.【答案】④【分析】根据平面的公理及推论进行判断得解【详解】解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，又因三角形的三个顶点不共线，故④对；⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对． 故答案为：④．9．设a b 、为平面M 外的两条直线，且//a M ，那么//a b 是//b M 的___________条件（填：充分非必要､必要非充分､充要､既非充分也非必要）【答案】充分非必要【分析】判断由//a b 能否得到//b M ，再判断由//b M 能否得到//a b 即可．【详解】充分性：若//a b ，结合 // a M ，且b 在平面M 外，可得//b M ，是充分条件；必要性：若//b M ，结合 // a M ，且a ，b 是平面M 外，则a ，b 可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故//a b 是//b M 的充分非必要条件．故填：充分非必要.10．若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC 的直观图是111A B C △，则111A B C △的重心1G 到底边11A B 的距离是___________ 【答案】612 【分析】画出正三角形△ABC 的直观图111A B C △，根据重心分中线的比为2:1来计算重心1G 到底边11A B 的距离【详解】如图为正三角形△ABC 的直观图111A B C △，1G F 为重心1G 到底边11A B 的距离则113132222O C =⨯⨯=， 因为1G 为111A B C △的重心，11111336O G O C ∴==， 111326sin 456212G F O G ∴==⨯=. 故答案为：612.11．已知直线a 、b 是正方体上两条面对角线所在的直线，且a 、b 是异面直线，则直线a 、b 所成的角的大小为_____．【答案】60︒或90︒【分析】如图所示：不防设1AD 为直线a ，与1AD 异面的面对角线有11111,,,,A B C D BD AC B C ，根据平行性与正方体性质即可求解．【详解】正方体1111ABCD A B C D -共有12条面对角线，如图所示：不防设1AD 为直线a ，与1AD 异面的面对角线有11111,,,,A B C D BD AC B C因为1111111111//,//,//,//,//A B D C C D AB BD B D AC AC B C A D而且1AD 与1111,,,D C AB B D AC 的夹角均为60︒，与1A D 的夹角均为90︒．所以当b 为11111,,,,A B C D BD AC B C 其中一条直线时，直线a 、b 所成的角的大小为60︒或90︒．故答案为：60︒或90︒．12．在四面体PABC 中，二面角PAB C 、P BC A --、P CA B --的大小相等，则点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的______心．【答案】内心【分析】根据三个二面角相等得到点P 在底面ABC 的投影到三角形ABC 三边的距离相等，即可得到点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的内心.【详解】因为二面角P AB C 、P BC A --、P CA B --的大小相等，所以顶点P 在底面ABC 的投影到三角形ABC 三边的距离相等，所以点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的内心.故答案为：内心.13．在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角分别为1α，2α，3α，与平面ABCD ,平面11ABB A ，平面11ADD A 所成的角分别为1β，2β，3β，则下列说法中正确的是_______．①222123sin sin sin 1ααα++=；②222123sin sin sin 2ααα++=；③222123cos cos cos 1ααα++=；④222123sin sin sin 1βββ++=【答案】②③④【分析】分别求出角1α，2α，3α的正弦值和余弦值，求出1β，2β，3β的正弦值，结合所给结论可得答案.【详解】设1,,AB a AD b AA c ===，则2221AC a b c连接1BC ，221BC b c =+，由长方体性质可知，1AB BC ⊥，所以11C AB =∠α，所以22112221sin BC b c AC a b cα+==++，2221222sin b c a b c α+=++， 同理可得2222222sin a c a b c α+=++，2223222sin a b a b c α+=++； 所以222222222123222sin sin sin 2b c a c a b a b c ααα+++++++==++， 222222123123cos cos cos 1sin 1sin 1sin 321αααααα++=-+-+-=-=；所以②③正确，①错误.连接AC ，由长方体的性质可得1C AC ∠为1AC 与平面ABCD 所成角，即11C AC =∠β；112221sin CC c AC a b c β==++，221222sin c a b c β=++， 同理可得222222sin b a b c β=++，223222sin a a b c β=++； 所以222222123222sin sin sin 1c b a a b c βββ++++==++， 所以④正确.故答案为：②③④14．已知正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别为AB 、AD 的中点，PC ⊥平面ABCD ，且2PC =，则直线BD 到平面PEF 的距离为______．21121111【分析】根据BD //面PEF ，转化为求解点D 到面PEF 的距离，再用等体积法求解即可.【详解】根据题意，作四棱锥P ABCD -，连接,,,,,,PE PF EF BD CF CE DE 如下所示：在△ABD 中，因为,E F 分别为,AB AD 的中点，故BD //EF ，又BD ⊄面,PEF EF ⊂面PEF ， 故BD //面PEF ，则直线EF 到面PEF 的距离即为点D 到面PEF 的距离，设其为h ， 由题可得2225CF CD DF +PC ⊥面,ABCD CF ⊂面ABCD ，故PC CF ⊥，则 2242026PF PC CF ++6PE =1222EF BD == 故221122242211222PEF EF S EF PF ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭； 又1122222DEF S DF AE =⨯=⨯⨯=，点P 到面DEF 的距离为2PA =， 由D PEF P DEF V V --=，即1133PEF DEF S h S PA ⨯⨯=⨯⨯，也即21122h =⨯可得211h =， 则直线BD 到面PEF 的距离为1111. 21115．在120°的二面角α﹣l ﹣β内有一点P ，P 在平面α、β内的射影A 、B 分别落在半平面αβ内，且P A ＝3，PB ＝4，则P 到l 的距离为________．239【分析】P 在平面αβ、内的射影AB 、分别落在半平面,αβ内，且3,4,PA PB ==我们易求出 AB 的长，利用四点共圆及圆周角定理的推理，我们易得到P 到l 的距离即为PAB 的外接圆直径，利用正弦定理，求出圆的直径即可得到答案 .【详解】解：如图，平面PAB 交l 于D ,则,,PA l PB l PA PB P l ⊥⊥⋂=⇒⊥平面 P AB ，则,l AD l BD ADB ⊥⊥⇒∠是二面角α﹣l ﹣β的平面角，∵在120°的二面角α﹣l ﹣β内有一点P ，∴120,60ADB APB ︒∠=∠=︒,,,,A P B D 四点共圆.又∵P A ＝3，PB ＝4，∴AB 222cos PA PB PA PB APE +-⋅⋅∠13因为PA ⊥平面α，则,PA l ⊥同理PB l ⊥，PB PA P =，所以l ⊥平面P AB ，又PD ⊂平面PAB ，所以PD l ⊥P 到l 的距离为PD ，即为PAB 的外接圆直径，由正弦定理得2R ＝sin AB APB ∠＝1332＝2393， 故答案为：2393．16．空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832⨯=个，故答案为：32三、双空题17．空间中的距离有多种，包括两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、直线到平面距离、两平行平面中的距离等，其中两条异面直线的距离指的是公垂线(与两条异面直线都垂直相交的直线)的两个垂足之间的线段长度．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的所有棱长都为2,,A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥．（1）点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为__；（2）正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为__．【答案】 21##122【分析】如图所示，F 是AD 中点，连接,OF EF ，计算2EF 21OE OF FE ≤+=，得到距离的最值，确定A 与O 重合时面积最大，计算得到答案.【详解】如图所示：F 是AD 中点，连接,OF EF ，l ⊥平面α，OD ⊂平面α，故OA OD ⊥，112OF AD ==， 111222FE AD AB AC =-++，故2214FE AD AB AC =-- ()222122224AD AB AC AD AB AD AC AB AC =++-⋅-⋅+⋅=，故2EF =21OE OF FE ≤+=，当,,O E F 三点共线时等号成立.点O 到棱BC 中点E 21.BC l ⊥，故正四面体ABCD 在平面α上的射影为ABC 和DBC △在平面α的投影之和.即当AD 的投影最长时面积最大，即A 与O 重合时面积最大，此时12222S =⨯⨯=. 21；2四、解答题18．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D 、E 、F 、G 分别为1AA 、AC 、11A C 、1BB 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)判断直线FG 与平面BCD 是否相交．若相交，在图中画出交点P （保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见详解；(2)相交，交点见详解．【分析】（1）由等腰三角形性质得AC BE ⊥，由线面垂直性质得1AC CC ⊥,由三棱柱性质可得1//EF CC ，因此EF AC ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）因为//,BG FH BG FH ≠，则可判断直线FG 与平面BCD 相交，交点如图所示．【详解】（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∵CC 1⊥平面ABC ，∴四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，∴AC ⊥EF ．∵AB =BC ，E 为AC 的中点，．∴AC ⊥BE ，而BE EF B =，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴AC ⊥平面BEF ．（2）直线FG 与平面BCD 相交．19．（1）用中文表述两个平面平行的判定定理，并用数学符号写成“已知．．．，求证．．．”的形式后加以证明；（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1C DB ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据面面平行的判定定理写出中文表述，及数学符号表述，同时用反证法证明即可； （2）根据长方体的性质推出11AB DC ∥，11AD BC ∥，然后利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，已知a β⊂，b β⊂，a b P =，a α，b α，求证αβ∥，假设l αβ=，∵a α，a β⊂，∴a l ∥，同理可得b l ∥，∴a b ，这与a b P =矛盾，所以，假设不成立，因此αβ∥.(2)∵1111ABCD A B C D -为长方体，∴11AB D C ∥，11AB D C =，11AD B C ∥，11AD B C =，∴四边形11ABC D ，11AB C D 为平行四边形，11AB DC ∥，11AD BC ∥，∵1AB ⊄平面1C DB ，1AD ⊄平面1C DB ，1DC ⊂平面1C DB ，1BC ⊂平面1C DB ，∴1AB ∥平面1C DB ，1AD ∥平面1C DB ，∵1AB ⊂平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，11AB AD A ⋂=，∴平面11AB D ∥平面1C DB .20．某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm ，2三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O 分细钢管上下两段之比为2∶3，确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）【答案】（1）0.63；（2）对应于A 、B 、C 三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm .【分析】（1）设ABC 的重心为H ，连接OH ，根据OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，建立BH 与OH 的等量关系，解之即可；（2）设120B ∠=︒，ABC ∆的重心为H ，求出OH ，分别在Rt AHO ，Rt CHO △，Rt BHO 中求出OA 、OB 、OC ，再根据比例关系求出所求即可【详解】解：（1）设ABC 的重心为H ，连接OH ， 由题意可得，2033BH =， 设细钢管上下两段之比为λ， 已知凳子高度为30、则301OH λλ=+， 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 OBH ∴∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=︒，BH OH =，∴3020313λλ=+， 解得230.63923λ=≈-， 即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63；（2）设120B ∠=︒，24AB BC ∴==，243AC =设ABC 的重心为H ，则8,87BH AH ==，由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =，设过点A 、B 、C 的细钢管分别为AA '、BB '、CC '，则2255103760.822AA CC OA OH AH ''===+=≈， 2255101336.122BB OB OH BH '==+=≈， ∴对应于A 、B 、C 三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm .21．已知四面体-P ABC （如图1)的平面展开图（如图2)中，四边形ABCD 2ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，在四面体-P ABC 中：(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求二面角A PC B --的余弦值；(3)在图1中作出直线CA 与平面ABP 的所成角，并求出直线CA 与平面ABP 的所成角的大小．【答案】(1)答案见解析 3(3)答案见解析【分析】对于（1），取AC 中点为O ，证明PO 垂直于平面ABC 即可.对于（2），建立以O 为坐标原点的坐标系，利用向量方法计算即可.对于（3），取PB 中点为D ，则CAD ∠为CA 与平面ABP 的所成角，后利用余弦定理求CDA ∠即可.【详解】（1）取AC 中点为O ，连接BO ，PO .如下图所示.由题意P A =PB =PC 2OP =OA =OB =OC =1.∵在PAC △中，P A =PC ，O 为AC 中点∴PO ⊥AC∵在POB 中，PO =1，OB =1，PB 2∴PO ⊥OB∵AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC∴PO ⊥平面ABC又∵PO ⊂平面ABC∴平面P AC ⊥平面ABC（2）由（1），可得PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，故建立以O 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系.则由题可得()()()()000100010100,,，,,，,,，,,，O C B A -()0,0,1P . 注意到OB ⊥平面APC ，则平面APC 的法向量可取OB =()0,1,0.由()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =.则0000BC n x y x z PC n ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，取111，，x y z ===，则()1,1,1n = 故1333cos ,n OBn OB n OB ⋅===⋅. 又由图可知，二面角A PC B --的平面角为锐角，则二面角A PC B --的余弦值为33.（3）如图取PB 中点为D ，连接CD ，AD .由图2可得PBC ，PBA △为等边三角形，则CD ⊥PB ，AD ⊥PB ，又CD ，AD ⊂平面ACD ，CD ∩AD =D ，则PB ⊥平面ACD.又由题可得62CD AD AC ===， 由余弦定理有664440662cos CDA +-∠=<⨯⨯，则CDA 为钝角三角形， 故在AD 延长线上可找到点E ，使CE ⊥AD.因，E AD C ∈∈平面ACD ，则CE ⊂平面ACD ，又PB ⊥平面ACD ， 得CE ⊥PB .又AD ，PB ⊂平面APB ，AD ∩PB =D ，故CE ⊥平面ABP .即直线CA与平面ABP的所成角为CAD∠.由余弦定理有66464436222cos CAD+-∠==⨯⨯，故直线CA与平面ABP的所成角的大小为6 arccos3【点睛】关键点点睛：本题涉及证明面面垂直，面面角的向量求法，和用几何法做出线面角.（1）（2）问较为基础，（3）问关键为找到一过C点直线，并使其与平面APB垂直.。
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位育中学2014学年第二学期高二期中考试数学卷
2015-4-21
一、填空题（每题3分，共42分）
1、i 是虚数单位，i 2015+i 2016=____________．
2、正四面体相邻两个面所成的二面角的大小为____________．
3、若复数z 满足z =i(2-z )(i 是虚数单位)，则z 的模等于____________．
4、正三棱柱ABC —A ’B ’C ’的A ’A =AB =2，则点A 到BC ’的距离为____________．
5、在复数范围内，纯虚数i 的三个立方根为____________．
6、已知长方体的对角线的长为29，长、宽、高之和为9，则此长方体的表面积为________．
7、一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线与底面所成角大小为____________．
8、实系数一元二次方程x 2+ax +b =0有一个虚数根的模为2，则a 的取值范围是____________．
9、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =2，122CC =，E 为棱CC 1的中点，则直线AC 1与平面BDE 的距离为____________．
10、在复平面上，已知正方形OABC (按逆时针方向，O 表示原点)中的一个顶点B 对应的复数为1+2i ，则BC
所对应的复数z =____________．
11、P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，P A =AD 为定长，当AB 的长度变化时，异面直线PC 与AD
所成角的取值范围是____________．
12、已知关于x 的方程2
12i 0x zx +++=有实根，则复数z 的模的最小值为____________．
13、已知三棱锥底面是正三角形，给出下列条件：
(1) 三条侧棱长相等； (2) 三个侧面都是等腰三角形； (3) 三条侧棱两两垂直； (4) 三个侧面与底面所成的角相等； (5) 三个侧面都是等边三角形． 其中使三棱锥成为正三棱锥的充要条件．．．．的有______________（写出所有正确条件的序号）．
14、在xOy 平面上，将抛物线弧y =1-x 2(0≤x ≤1)、x 轴、y 轴围成的
封闭图形记为D ，如图中曲边三角形OAB 及内部．记D 绕y
轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0,y )(0≤y ≤1)作Ω的水平
截面，所得截面面积为(1-y )π，试构造一个平放的直三棱柱，
利用祖暅原理得出Ω的体积值为____________．
二、选择题（每题3分，共12分） 15、给出下列命题：
(1) 底面是矩形的平行六面体是长方体；(2) 底面是正方形的直平行六面体是正四棱柱； (3) 底面是正方形的直四棱柱是正方体；(4) 所有棱长都相等的直平行六面体是正方体． 以上命题中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
16、已知α、β是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
17、下列命题中，正确的是( )
A ．若z 是复数，则|z |2=z 2
B ．任意两个复数不能比较大小
C ．当b 2-4ac >0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a 、b 、c ∈C )有两个不相等的实数根
D ．在复平面xOy 上，复数z =m 2+m i(m ∈R ，i 是虚数单位)对应的点的轨迹方程是y 2=x
18、复数z 满足方程|z -1|+|z -i|=2，那么它在复平面内所表示的图形是( )
A ．线段
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
三、解答题（本大题共五题，满分46分） 19、（本题满分6分）
关于复数z 的方程z 2-(a +i)z -(i+2)=0(a ∈R )．证明对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根．
O x y
A
B y =1-x 2(0≤x ≤1) y
20、（本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分）
正三棱锥ABC
P-的侧面是底边长为a，顶角为30°的等腰三角形．过点A作这个三棱锥的截面AEF，点E、F分别在棱PB、PC上．
(1) 如图，作出平面AEF与平面ABC的交线；
(2) AEF
∆周长的最小值是否存在？若存在，求出其最小值，并指出此时直线BC与平面AEF的位置关系；若不存在，请说明理由．
21、（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
如图，长宽高分别为a、b、c的长方体的六条面对角线组成等腰四面体ABCD．
(1) 求证等腰四面体ABCD的每个面都是锐角三角形；
(2) 求等腰四面体的体积及其外接球的表面积．
22、（本题满分10分）
设复数z 满足4233i
z z
+=+，w=sinθ-icosθ (θ∈R)．求z的值和|z-w|的取值范围．A
B
C D
E
F
G
H P
B
C
A E F
23、（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
如图，等高的正三棱锥
P —ABC 与圆锥SO 的底面都在平面M 上，且圆O 过点A ，又圆O 的直径AD ⊥BC ，垂足为E ，设圆锥SO 的底面半径为1，圆锥体积为
3
3
π． (1) 求圆锥的侧面积；
(2) 求异面直线AB 与SD 所成角的
大小；
(3) 若平行于平面M 的一个平面N 截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为3
π
，求三棱锥的侧棱P A 与底面ABC 所成角的大小．
（2013年上海高考理）13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22
(1)1(1)x y x -+=≥和
22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，
如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(
0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2
418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个
平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________
A
P S
D
O
C E
B
M。