5.3线段的定比分点与平移

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5-4新田中学-线段的定比分点与平移

解析：设原来函数图象上任一点坐标为(x，y)，平移后其对应点坐标为(x′，y′)． π x′＝x－， 4 由平移公式，得 y′＝y－2， π 又∵y′＝sin(x′＋ )－2， 4
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2，化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时－1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝＝2，yQ＝＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．

启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学，则向量模的关系转化为解不等式，再由解不等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P

5.4 线段的定比分点与平移

1 ∵ | AP | | AB | ， 3
又A（-1，6），B（3，0），
1 3 1 2 x 1 3 1 1 2 λ = 时， 2 1 6 0 y 2 4 1 1 2
设P（x，y），则由定比分点坐标公式得
1 1 3 7 4 x 1 3 1 1 4 λ = 时, 1 4 6 0 y 4 8 1 1 4
思维启迪
（1）利用向量的夹角公式求解；
（2）先把c·d化简整理成Asin(ωx+φ )+B的形成，再利用角x的范围求最大值；（3）先化简f(x)=Asin(ωx+φ )，再设m的坐标，按平移公式理顺关系求解. π 解（1）∵x= , 4 ∴a= 6 ， 2 ）,b=(0, 2 ), （ 2 2 2 2 1 则a·b= （ 6 ， 2 ）（ 0，） , · 2 2 2 2 a· b cos〈a，b〉= |a|· |b|
1 , 2 2 2· 2 1 2
［1分］
［3分］
π ∴向量a、b的夹角为 . 3
［4分］
（2）c·d=(sin x,cos x)·(sin x,sin x) =sin2x+sin xcos x
1 cos 2 x sin 2 x 1 1 (sin 2x-cos 2x) 2 2 2 2 π 1 2 = sin(2x) 4 2 2 π π π 3π ∵x∈［0, ］,∴ 2 x . 2 4 4 4 π π 3π 当2x- ,即x= 时， 4 2 8 2 1 c·d取最大值 . 2
λ =1 P为中点内分点
λ >1 在中点与P2 之间
（2）线段定比分点坐标公式设点P分有向线段 P P 所成的比为λ ，即 P P PP ， 1 2 1 2 x1 x2 并且P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，则x= 1 ,y= y1 y2 1 (λ ≠-1)，特别地，当P(x,y)是 P P 的中点时， 1 2 x1 x2 y1 y2 有x= ,y= .2 2

线段的定比分点公式及图象的平移

| PP2 |
(
点P内分 1P2时，λ 0;点P外分 1P2时，λ 0 P P
)
二.线段定比分点坐标
公式： x1 λx2 x 1 λ ①设P分有向线段 P1P 2比λ，即 P1P λPP 2，P 1(x 1 ,y 1 ) P 2(x 2 ,y 2 ),P(x, y), 则： y y1 λy2 1 λ
2

1焦点坐标为____ _
__;
准线方程为_____
x1 x 2 λ 1时，中点公式： x 2 a λ b ②向量式： OP y y1 y 2 P 1 λ P1 2 P为中点时， OP a b a
P2
b
三.平移公式
/
2
/
O
●
设A(x, y), B(x ,y )
a
B
OB OA a / x x h / y y k
/ /
设 a (h,k)
/
x x h / y y k / / x 1 y 2 x h 1 yk 2
即：y 2
x h 1
k 1且h 1 0 k 1且h 1
法2：图象变换
y), 平移后对应点(x
,y )
y 2 1 y 2
_________
反思：平移公式解决三
类问题：
已知原解析式
a (h, k)
？
a (h, k) ? 新解析式 a ？新解析式已知原解析式
例2：(定比分点公式
应用) P1(3, y),
①如果P 1，P 2，P 3 三点在同一直线上，且 | P1P 3 |
P 2(x, 1), P 3(0, 3), 3,求P 2 坐标 | P 3 P 2 | ( 1, 1)及(1, 1) ②点A( 1,6)和B(3,0 )在直线AB上，求一使 | AP | 1 3 | AB | ( 点P，

高三数学线段的定比分点

《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史）提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：

x

y

xA yA

xB
3 yB

xC yC

3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，

两点间的距离公式

两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式：P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为=f （x +1）－2 =f （x －1）－2 =f （x －1）+2=f （x +1）+2解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2.答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a =（h ，k ），由平移公式得 ⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x 代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2，即y 2－2ky =4x －4h －k 2， ∴k =2，h =－1. ∴a =（－1，2）. 答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗提示：由y 2－4y =4x ，配方得（y －2）2=4（x +1），∴h =－1，k =2.（知道为什么吗）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分所得的比为A.83 B.38 C.－83D.－38解析：设A 点分BC 所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83. 答案：C4.若点P 分AB 所成的比是λ（λ≠0），则点A 分BP 所成的比是____________.解析：∵AP =λPB ，∴AP =λ（－AP +AB ）.∴（1+λ）AP =λAB . ∴AB =λλ+1AP .∴BA =－λλ+1AP .答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为（－32，34）. 答案：（－32，34）（文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x =231236++=515=3，y =2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y =mx －7得5=3m －7，∴m =4.答案：4 ●典例剖析【例1】已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使||=31||.剖析：||=31||，则=31或=31.设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x +1，y －6）=31（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）.若AP =－31AB ，则由（x +1，y －6）=－31（4，－6）得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）.综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41. A P B P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD 是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分所成的比即可.解：∵|BC |=25，|AB |=10，∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD |=22423259）（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BC BD BA BD BA ⋅⋅=⋅，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x +（2－32）y +92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x +1，y －2）， ∴（x －4）（y －2）=（x +1）（y －1）. ②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ，∴D 点坐标为（9－52，2），|BD |=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解请读者思考.【例3】已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将□ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O .（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. 解：（1）由□ABCD 可得AB =DC ，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x即C （29，2），D （27，0）.∴a =（－29，－2）. （2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）. ●闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y =sin x 按向量a =（－4π，3）平移后的函数解析式为=sin （x －4π）+3 =sin （x －4π）－3 =sin （x +4π）+3=sin （x +4π）－3 解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）. ∴y '=sin （x '+4π）+3，即y =sin （x +4π）+3.答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y =2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y =2sin （2x +3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1） B.（－6π，1） C.（3π，－1）D.（6π，1）解析：由y =2sin （2x +3π）+1得y =2sin2（x +6π）+1，∴a =（－6π，1）. 答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y =2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y +2=18x 2+1，即18x 2=3y +1，x 2=61y +181=61（y +31），∴p =121，焦点坐标为（0，－247）.答案：x 2=61（y +31）（0，－247） 4.把函数y =2x 2－4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =（1，－1），b ·c =4，则b =____________.解析：a =（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b =（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b =（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量=（3，1），=（－1，2），⊥，∥.试求满足+=的OD 的坐标.解：设OD =（x ，y ），则OC =（x ，y ）+（3，1）=（x +3，y +1），BC =OC －OB =（x +3，y +1）－（－1，2）=（x +4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x 所以⎩⎨⎧==，，611y x OD =（11，6）. 6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足=31，=3，=－41，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R .（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）（|m |＜2π）平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin （2x +6π），由1+2sin （2x +6π）=1－3，得 sin （2x +6π）=－23.∵|x |≤3π，∴－2π≤2x +6π≤6π5.∴2x +6π=－3π，即x =－4π. （2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即y =f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x +12π）+1.又|m |＜2π，∴m =－12π，n =1.8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x +4y +4=0按向量a =（2，1）平移后得到曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λMN ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x +2）2+2（y +1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2，即y 2=λλ432-. ∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1. 又∵λ＞0，故解得λ≥21. 故λ的取值范围为［21，+∞）. 思考讨论本题若设出直线l 的方程y =kx +2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）B 东北（1）求出发后3 h 两船相距多少海里（2）求两船出发后多长时间相距最近最近距离为多少海里解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.东x设在t 时刻甲、乙两船分别在P （x 1，y 12，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ，由θ=arctan21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105t sin θ=10t ， y 2=105t cos θ－40=20t －40.（1）令t =3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ |=2220453045）－（）（+-=850=534，即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知|PQ |=212212）（）（y y x x -+- =221540201510）（）（t t t t --+-=1600400502+-t t=8004502+-）（t ≥202. ∴当且仅当t =4时，|PQ |的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离.●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.1.线段的定比分点公式P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例【例1】（2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A +cos 22B －3sin2A －cos2B +2.（1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A +B =2π且A 、B ∈R 时，y =f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y =2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量p .解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1，由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或 ∴C =3π2或C =2π.（2）∵A +B =2π，∴2B =π－2A ，cos2B =－cos2A . ∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A +3=2cos （2A +3π）+3=2cos2（A +6π）+3. 从而p =（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）.。

定比分点和平移

x' x h
y'
y
. k
1段、P由1P下2 所列成条的件比，写出。点P分有向线
（1）点P为 P1P2 的三等分点；
(2)点P在线段 P1P2 上，且
| P1P | 2 | PP2 |
(3)点P在线段 P1P2 的延长线上，且
| P1P | 4 | PP2 |
(4)点P在线段 P2P1的延长线上，且
一、线段的定比分点：
1、点P分有向线段 P1P2的比为：
P1P PP2
2、关于的确定：
P为线段 P1P2
的内分点：
|
P1P
|
| PP2 |
P为线段 P1P2
的外分点：
|
P1P
|
| PP2 |
二、线段的定比分点的坐标公式：
1、点P分有向线段
P1P2
的比为
P1（x1,y1) P2(x2,y2) P(x,y)
|
P1P
|
4 5
|
PP2
|
2. (2005 全国卷II)已知点A( 3，1)，
B(0，0)，C( 3，0)，设BAC的平分线AE
与BC相交于E，那么有BC CE，其中
等于
A. 2 B. 1 2
C. 3 D. 1 3
3.已知点M1(6，2)和M 2 (1，7)，直线y mx 7与线段M1M 2的交点M分有向线段M1M 2的比为3：2，则m的值
为_____4____ .
4、已知两点A(x，5)，B(2，y)，点P(1，1)在直线AB上，且 AP 2 BP ，求x，y的值.
5、已知ABC的三个顶点坐标分别是A(4，1)，B(3，4)，C(1，2)， BD是ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.

高三数学线段的定比分点

（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
对应点P’(x’,y’’)，且 PP
' 的坐标为(h,k)，则有
， x' x h
y
'
y
k
这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每
一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
二、题型剖析
例1 .已知点A(1,4),B(5,2)，线段上的三等分点依次为 P1
（2）定比分点的向量表达式：
点PO分P有向1 线1 段OPP11P21所成O的P2比是，则
（O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x
y
x1 x 2 1
y1 y 2
,
1
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
x
Байду номын сангаас
y
x1 x 2 2
y1 y 2 2
怪芽疯速膨胀起来……一簇簇亮橙色糖块模样的腐烂巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵火橙色猩猩模样的受伤巨蕾恐怖地钻了出来……随着金红色鲇鱼模样的腐臭巨花狂速盛开，无数粉红色闪电模样的阴森花瓣和暗橙色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数绿宝石色恐龙模样的阴暗果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每个巨大果实上都骑着一个奖章铜翅仙的小替身，而那伙校精的真身也混在其中……“哇！真有小康性！”壮扭公主道。“还多少带点贿赂性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月光妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大奖章铜翅仙猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蜗牛，只见镊子驴脚鬼抖动活像香肠似的铃铛，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的金红色花蕾一样绽开……七条淡橙色瓜子模样的奇妙尾巴急速从里面伸出……接着，一颗鲜红色琵琶模样的恐怖巨大鹰头快速探了出来……一簇簇紫红色糖块模样的奇妙巨大翅膀飘然向外伸展……突然！两只浅黑色瓜子模样的受伤巨爪威武地伸了出来……随着金红色鲇鱼模样的奇特亮光的狂速飞舞，无数暗青色闪电模样的飘然羽毛和粉红色鳞甲飞一样射出…… 突然，无数亮橙色铁锅模样的明丽鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个奖章铜翅仙模样的武士……与此同时壮扭公主朝奖章铜翅仙变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……奖章铜翅仙的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看奖章铜翅仙的真身也被月光妹妹一顿飞拳云腿，直玩得满脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们还是走吧！”女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见无法取胜，急忙变成长着离奇大腿的亮白色古怪锁孔朝西南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！除非你们往回走！想过去是不可以的！”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异下巴的水红色超级小号追了上去……女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女“见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇犄角的纯红色古怪小旗朝正南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我的存货能让你们欣赏到万年以后……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异舌头的暗青色超级药片追了上去……只见Ｘ．妮什科招待和另外四个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的梨妖凤趾仙！这个巨大的梨妖凤趾仙，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分温柔的凤趾！这巨仙有着亮红色怪藤一般的身躯和淡橙色细

线段的定比分点

A
P
B
点评：解决本题的关键是首先要转化为两向量模的比再
加上一个正负号，当两向量方向相同取“+”号，反之取 “-”号：其次还要注意分子，分母的向量的次序，同时，可借助画图来得到向量模的关系。
2、线段定比分点坐标公式
我们把
x
y
x1 x2 1 y1 y2 1
( 1)
叫做有向线段 p1 p2
哦，酒罐哦，金掌；皇家国际客服：/ ；酒罐哦 ……『蓝鸟骨怪火腿宝典』！爷爷！爷爷！爷爷！”只见女政客Ｔ．克坦琳叶女士的身影射出一片水蓝色妖影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的深紫色光虾，似金辉一样直奔绿宝石色奇影而来……只听一声古怪虚幻的声音划过，五只很像晶鬼铲斗般的沥青状的片片闪光物体中，突然同时窜出五串整整齐齐的深白色飞沫，这些整整齐齐的深白色飞沫被光一窜，立刻化作闪耀的云丝，不一会儿这些云丝就闪动着飘向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上变成了轮廓分明的凸凹飘动的摇钱树……这时，沥青状的物体，也快速变成了钢轨模样的金橙色旋转物开始缓缓下降，只见女政客Ｔ．克坦琳叶女士疯力一旋仿佛铅笔般的脚，缓缓下降的金橙色旋转物又被重新晃向长空！就见那个圆乎乎、水嫩嫩的，很像树皮模样的旋转物一边旋转振颤，一边晃动升华着旋转物的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！果然不同凡响！这玩意儿也能整出思想和理论！知知爵士：“嗯嗯，老套路嘛，专业水准一般般啦！等会咱们也弄几个玩玩！” 蘑菇王子：“抓紧弄哦！别误了大事！”知知爵士：“嗯嗯，小菜一碟啦！只要换几个咒语单词马上高定……”这时，女政客Ｔ．克坦琳叶女士突然摆动平常的脸一嚎，露出一副悠闲的神色，接着甩动短小的腰带，像墨绿色的青肠奇峰蝎般的一喊，寒酸的胖胖的嘴唇突然伸长了五倍，高雅的深灰色药罐般的神态也立刻膨胀了五倍。接着异常的如同原木一样的脚立刻蠕动变形起来……鲜红色酒罐耳朵闪出水绿色的团团明烟……深灰色麦穗样的嘴唇闪出中灰色的点点神响。紧接着把柔软的屁股抖了抖，只见三道闪耀的极似铁砧般的褐影，突然从轻灵的淡红色榴莲般的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，淡白色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的鹿欢榆蕾味在震撼的空气中闪动！最后转起鲜红色酒罐耳朵一摆，萧洒地从里面飞出一道银辉，她抓住银辉恬淡地一摆，一组光闪闪、蓝冰冰的功夫『紫兽霜神辣椒腿』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边变异，一边发出“啾啾”的余响！飘然间女政客Ｔ．克坦琳叶女士陀螺般地让自己紫红色猫妖一样的牙齿跳动出淡绿色的板斧声，只

【精品含答案】高考一轮复习5.3线段的定比分点与平移基础训练题(理科)

2009届高考一轮复习5.3线段的定比分点与平移基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间45分钟。

第Ⅰ卷（选择题部分共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2007·辽宁高考）若函数)x (f y =的图象按向量a 平移后，得到函数2)1x (f y -+=的图象，则向量=a （）（A ）)2,1(-- （B ）)2,1(-（C ）)2,1(- （D ）)2,1(2. 设点P 在有向线段AB 的延长线上，且|BP |4|AP |=，则点A 分BP 所成的比为（）（A ）45- （B ）32-（C ）43- （D ）34- 3. 将函数x 1y =的图象按向量a 平移后，得到1x 12y ++=的图象，则（）（A ）)2,1(a = （B ）)2,1(a -= （C ）)2,1(a -= （D ）)2,1(a --= 4.（易错警示题）已知)1,2(P 1-，)5,0(P 2且点P 在21P P 延长线上，使P 2P 21=，则点P 的坐标是（）（A ）)11,2(- （B ）)3,34( （C ）)3,32( （D ）)7,2(- 5.（2008·长春模拟）若把一个函数的图象按)2,3(a -π-= 平移后，得到函数x cos y =的图象，则原图象的函数解析式是（）（A ）2)3x cos(y -π+= （B ）2)3x cos(y -π-= （C ）2)3x cos(y +π+= （D ）2)3x cos(y +π-= 6. 已知点)2,6(M 1和)7,1(M 2，直线7mx y -=与线段21M M 的交点M 分有向线段21M M 的比为2:3，则m 的值为（）（A ）23- （B ）32- （C ）41 （D ）4第Ⅱ卷（非选择题部分共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。

数学高考复习名师精品教案：第42课时：第五章平面向量-线段的定比分点及平移

数学高考复习名师精品教案第42课时：第五章平面向量——线段的定比分点及平移课题：线段的定比分点及平移一．复习目标：1．掌握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ，会用中点坐标公式解决对称问题；2．掌握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式．二．知识要点：1．线段的定比分点：内分点、外分点、λ的确定；2．定比分点坐标公式是；线段的中点坐标公式是；3．平移公式是．三．课前预习：1．若点P 分AB 的比为34，则点A 分BP 的比是． 2．把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =- 平移后，图象的解析式是（） ()A 12124y x =- ()B 11324y x =- ()C 11924y x =+ ()D 12124y x =-- 3．将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，则a = ．4．ABC ∆中三边中点分别是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，则ABC ∆的重心是．四．例题分析：例1．已知两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且||2||AP BP = ，求点A 和点B 的坐标．例2．已知(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 的坐标．例3．已知函数 22(2)1y x =---的图象经过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．例4．已知,,D E F 分比是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且使BD CE AF DC EA FB==，证明：ABC ∆与DEF ∆的重心相同．五．课后作业：1．已知点(1,3)按向量a 平移后得到点(4,1)，则点(2,1)按向量a 平移后的坐标是（）()A (5,1) ()B (5,1)-- ()C (5,1)- ()D (5,1)-2．平面上有(2,1)A -，(1,4)B ，(4,3)D -三点，点C 在直线AB 上，且12AC BC = ，连DC 并延长到E ，使1||||4CE ED = ，则E 点的坐标为（） ()A (0,1) ()B (0,1)或811(,33 ()C 811(,)33- ()D 5(8,)3-- 3．平移曲线()y f x =使曲线上的点(1,1)变为(2,3)，这时曲线方程为（）()A (1)2y f x =-+ ()B (1)2y f x =++()C (1)2y f x =-- ()D (2)1y f x =-+4．把一个函数的图象向量(,2)4a π= 平移后图象的解析式为sin(24y x π=++，则原来函数图象的解析式为．5．已知函数11x y x-=+，按向量a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，则向量a = ，化简后的函数式为．6．已知(1,0)A ，(0,1)B -，(,)P x y ，O 为坐标原点，若1OA OB OP λλ+=+ ，则P 点的轨迹方程为．7．已知三角形ABC 的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C ，（1）求三边的长；（2）求AB 边上的中线CM 的长；（3）求重心G的坐标；（4）求A∠的平分线AD的长；（5）在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC∆的面积分成4:5的两部分，求点P的坐标．8．如图已知三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C--，D点内分AB的比是1:3，E在BC上，且Array BDE∆的面积是ABC∆面积的一半，求E9．将函数2=-的图象进行怎样的平移，才能使平移后得到的图象与函数y x22y x x=--的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式。

高考数学一轮复习必备：第42课时：第五章平面向量线段的定比分点及平移

高考数学一轮复习必备：第42课时：第五章平面向量线段的定比分点及平移课题：线段的定比分点及平移一．复习目标：1．把握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ，会用中点坐标公式解决对称咨询题；2．把握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式．二．知识要点：1．线段的定比分点：内分点、外分点、λ的确定； 2．定比分点坐标公式是；线段的中点坐标公式是；3．平移公式是． 1．假设点P 分AB 的比为34，那么点A 分BP 的比是． 2．把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =-平移后，图象的解析式是〔〕 ()A 12124y x =- ()B 11324y x =- ()C 11924y x =+ ()D 12124y x =-- 3．将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，那么a = ． 4．ABC ∆中三边中点分不是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，那么ABC ∆的重心是．四．例题分析：例1．两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且||2||AP BP =，求点A 和点B 的坐标．例2．(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 的坐标．例3．函数 22(2)1y x =---的图象通过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．例4．,,D E F 分比是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且使BD CE AF DC EA FB==，证明：ABC ∆与DEF ∆的重心相同．五．课后作业：1．点(1,3)按向量a 平移后得到点(4,1)，那么点(2,1)按向量a 平移后的坐标是〔〕()A (5,1) ()B (5,1)-- ()C (5,1)- ()D (5,1)-2．平面上有(2,1)A -，(1,4)B ，(4,3)D -三点，点C 在直线AB 上，且12AC BC =，连DC 并延长到E ，使1||||4CE ED =，那么E 点的坐标为〔〕 ()A (0,1) ()B (0,1)或811(,)33 ()C 811(,)33- ()D 5(8,)3-- 3．平移曲线()y f x =使曲线上的点(1,1)变为(2,3)，这时曲线方程为〔〕()A (1)2y f x =-+ ()B (1)2y f x =++()C (1)2y f x =-- ()D (2)1y f x =-+4．把一个函数的图象向量(,2)4a π=平移后图象的解析式为sin()24y x π=++，那么原先函数图象的解析式为． 5．函数11x y x-=+，按向量a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，那么向量a = ，化简后的函数式为． 6．(1,0)A ，(0,1)B -，(,)P x y ，O 为坐标原点，假设1OA OB OP λλ+=+，那么P 点的轨迹方程为．7．三角形ABC 的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C ，〔1〕求三边的长；〔2〕求AB 边上的中线CM 的长；〔3〕求重心G 的坐标；〔4〕求A ∠的平分线AD 的长；〔5〕在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5的两部分，求点P 的坐标．8．如图三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --，D 点内分AB 的比是1:3，E 在BC 上，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求E 点的坐标．9．将函数2y x =-的图象进行如何样的平移，才能使平移后得到的图象与函数22y x x =--的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式。

线段的定比分点

1 2
3
y
y3
2
y1
2
y2
y1
y2
y3
1 2
3
yD G
O
即点G的坐标为
(
x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
)
A
C x
2．已知两点 A(x,5) ， B(2, y) ，点 P(1,1) 在直线 AB 上，且| AP | 2 | BP | ，求点 A 和点 B 的坐标
【解题回顾】要搞清楚起点,分点,终点的顺序,不可搞错P Pຫໍສະໝຸດ P1P1O
x
O
x
(2)
5.5 线段的定比分点
直线l上两点 P1 、P2 ，在l上取不同于 P1 、P2的任一点P，则 P点与 P1P2 的位置有哪几种情形？
P在之间 P1P2，P在 P1P2 的延长线上， P在P2 P1的延长线上.
P1
P
P2
P1 P2
P
0
1
P
P1 P2
1 0
存在一个实数λ，使 P1P PP2，λ叫做点P分有向线
PP2 ( x2 x, y2 y)
P1P PP2
( x x1, y y1 ) ( x2 x, y2 y)
xy
x1 y1
( (
x2 y2
x) y)
x
y
x1 x2 1
y1 y2 1
5.5 线段的定比分点
有向线段 P1 P2的定比分点坐标公式
x
x1 x2 1
4 向量坐标.
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则 AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )

高考第一轮复习数学：53两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移-教案(含习题及答案).

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式：P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y=f （x+1）－2B.y=f （x －1）－2C.y=f （x －1）+2D.y=f （x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f （x －1）+2. 答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y=4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a=（h ，k ），由平移公式得 ⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x 代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2，即y 2－2ky=4x －4h －k 2， ∴k=2，h=－1. ∴a=（－1，2）. 答案：A 思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示：由y 2－4y=4x ，配方得（y －2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为 A.83 B.38 C.－83 D.－38解析：设A 点分BC 所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83.答案：C4.若点P 分AB 所成的比是λ（λ≠0），则点A 分BP 所成的比是____________. 解析：∵=λ，∴=λ（－+）.∴（1+λ）=λ.∴=λλ+1.∴BA =－λλ+1. 答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为（－32，34）.答案：（－32，34）（文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y=mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x=231236++=515=3，y=2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y=mx －7得5=3m －7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析【例1】已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使||=31||.剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =31BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x+1，y －6）=31（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）.若AP =－31AB ，则由（x+1，y －6）=－31（4，－6）得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）.综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41.A PB P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD 是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC 所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（ ∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD|=22423259）（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线，∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BA ⋅=，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x+1，y －2），∴（x －4）（y －2）=（x+1）（y －1）.②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ，∴D 点坐标为（9－52，2），|BD|=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将 □ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O.（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. 解：（1）由□ABCD 可得=，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x即C （29，2），D （27，0）.∴a=（－29，－2）.（2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）.●闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx 按向量a=（－4π，3）平移后的函数解析式为A.y=sin （x －4π）+3B.y=sin （x －4π）－3C.y=sin （x+4π）+3 D.y=sin （x+4π）－3 解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）.∴y '=sin （x '+4π）+3，即y=sin （x+4π）+3.答案：C 2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y=2sin （2x+3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1）B.（－6π，1） C.（3π，－1）D.（6π，1）解析：由y=2sin （2x+3π）+1得y=2sin2（x+6π）+1，∴a=（－6π，1）. 答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y+2=18x 2+1，即18x 2=3y+1，x 2=61y+181=61（y+31），∴p=121，焦点坐标为（0，－247）.答案：x 2=61（y+31）（0，－247）4.把函数y=2x 2－4x+5的图象按向量a 平移后，得到y=2x 2的图象，且a ⊥b ，c=（1，－1），b ·c=4，则b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b=（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量=（3，1），=（－1，2），⊥，∥.试求满足+=的的坐标.解：设OD =（x ，y ），则OC =（x ，y ）+（3，1）=（x+3，y+1）， =－=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x所以⎩⎨⎧==，，611y x =（11，6）.6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足AC =31AB ，AD =3AB ，AE =－41AB ，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a=（2cosx ，1），b=（cosx ，3sin2x ），x ∈R.（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若y=2sin2x 的图象按向量c=（m ，n ）（|m|＜2π）平移后得到函数y=f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x+3sin2x=1+2sin （2x+6π），由1+2sin （2x+6π）=1－3，得sin （2x+6π）=－23.∵|x|≤3π，∴－2π≤2x+6π≤6π5.∴2x+6π=－3π，即x=－4π.（2）函数y=2sin2x 的图象按向量c=（m ，n ）平移后得到函数y=2sin2（x －m ）+n 的图象，即y=f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x+12π）+1.又|m|＜2π，∴m=－12π，n=1.8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2，即y 2=λλ432-.∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1.又∵λ＞0，故解得λ≥21.故λ的取值范围为［21，+∞）.思考讨论本题若设出直线l 的方程y=kx+2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新 9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）B❑ 东北（1）求出发后3 h 两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.APQB❑东北x y 设在t 时刻甲、乙两船分别在P （1122），则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ，由θ=arctan 21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105tsin θ=10t ，y 2=105tcos θ－40=20t －40.（1）令t=3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ|=2220453045）－（）（+-=850=534，即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知|PQ|=212212）（）（y y x x -+-=221540201510）（）（t t t t --+- =1600400502+-t t=8004502+-）（t ≥202.∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离. ●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ●教师下载中心教学点睛 1.线段的定比分点公式P P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例【例1】（2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A+cos 22B －3sin2A －cos2B+2. （1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A+B=2π且A 、B ∈R 时，y=f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1，由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或 ∴C=3π2或C=2π.（2）∵A+B=2π，∴2B=π－2A ，cos2B=－cos2A.∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A+3=2cos （2A+3π）+3=2cos2（A+6π）+3.从而p=（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）.【例2】设曲线C 的方程是y=x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平移t 、s 单位长度后，得到曲线C 1.（1）写出曲线C 1的方程；（2）证明：曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称.（1）解：C 1：y －s=（s －t ）3－（x －t ）. ①（2）分析：要证明曲线C 1与C 关于点A （2t ，2s）对称，只需证明曲线C 1上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 上，反过来，曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 1上即可.证明：设P 1（x 1，y 1）为曲线C 1上任意一点，它关于点A （2t ，2s）的对称点为 P （t －x 1，s －y 1），把P 点坐标代入曲线C 的方程，左=s －y 1，右=（t －x 1）3－（t －x 1）.由于P 1在曲线C 1上，∴y 1－s=（x 1－t ）3－（x 1－t ）.∴s －y 1=（t －x 1）3－（t －x 1），即点P （t －x 1，s －y 1）在曲线C 上. 同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C 1上.从而证得曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称.。

《线段的定比分点》课件

线段的相等与比较
相等
当两条线段的长度相同，它们是相等的。
比较
当两条线段的长度不同，可以通过比较它们的长度确定它们的大小关系。
线段的中点
线段的中点位于线段的正中间，将线段分成两个等长的部分。
定义线段的等分点
内分点
在线段的内部，将线段分成若干个等长的部分。
外分点
在线段的延长线上，将线段的延长线分成若干个等长的部分。
线段的内分点
等分点
线段上的内分点可以将线段分成不同的比例。
等分点
可以通过内分点将线段分成1:2、1:3、1:4等不同的比例。
线段的外分点
1
比例
外分点将线段延长，并将线段的延长部分分
应用
2
成1:2、1:3、1像变换等。
3
插值
外分点可以将线段分成多个等长的部分，用于插值计算。
线段的定比分点
本PPT课件将介绍线段的概念、作图方法、相等与比较、中点、等分点、内分点和外分点。
线段的概念
线段是由两个点之间连结起来的部分，具有起点和终点。
线段的作图方法
1 用尺规作图
使用尺子构造线段，用圆规确定线段的长度。
2 用坐标作图
根据给定的坐标点，在坐标系中绘制线段。
3 用徒手绘制
直接使用铅笔或画笔在纸上绘制线段。

线段的定比分点

2
（1）如图，点B 分有向线段 AC旳比为1 __3___ ，点C
分有向线段BA 旳比为为3 ____53_ ．
2
___52__
，点A分有向线段BC 旳比
A
B
C
（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点旳直线，和x轴
交点旳坐标是（6，0，）和y轴交点旳坐标是（0，．3）
5.5 线段旳定比分点
∴点D旳坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
CG 2 CG 2GD
B
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
x
x3
2
x1
2
x2
x1
x2
x3
1 2
3
y
y3
2
y1
2
y2
y1
y2
y3
1 2
3
yD G
O
即点G旳坐标为
( x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
)
A
C x
5.5 线段旳定比分点
练习：
B( x2 , y2 ) ，C( x3 , y3 )，D是边AB旳中点，G是CD上旳一点，
且CG 2，求点G旳坐标． GD
yD
A
解：∵D是AB旳中点
B
G
∴点D旳坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
C
CG 2 CG 2GD
O
x
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
5.5 线段旳定比分点
解：∵D是AB旳中点

5.3线段的定比分点与平移

5-4新田中学-线段的定比分点与平移

5.4 线段的定比分点与平移

最新-2018届高三数学一轮复习 53 线段的定比分点与平

线段的定比分点公式及图象的平移

高三数学线段的定比分点

两点间的距离公式

定比分点和平移

高三数学线段的定比分点

线段的定比分点

【精品含答案】高考一轮复习5.3线段的定比分点与平移基础训练题(理科)

数学高考复习名师精品教案：第42课时：第五章 平面向量-线段的定比分点及平移

高考数学一轮复习必备：第42课时：第五章平面向量线段的定比分点及平移

线段的定比分点

高考第一轮复习数学：53两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移-教案(含习题及答案).

《线段的定比分点》课件

线段的定比分点

数学高考复习名师精品教案：第42课时：第五章平面向量-线段的定比分点及平移