7. 对数函数及其性质_教学实录与反思_陶维林

师 :你们是怎样画对数函数图象的 ?
生 :列表 、描点 .
教师肯定了他们的做法 .这很自然 , 因为研究
指数函数就是先列表 、描点画出图象的 .教师接着
问 :“都是用列表 、描点的方法画对数函数的图象
的吗 ?” 有学生举手说 , 还可以利用指数函数的图
象来画对数函数的图象 .
师 :怎么画 ?
生 :把指数函数的图象关于直线 y =x 对称一下. 师 :为什么 ?
请 4 名学生板演 , 其他学生各自在自己的草稿 本上画起来 ,写起来 , 有的还与同伴进行了交流 .
待学生板演完毕 , 绝大多数学生都有了比较
充分的思考之后组织交流 .亮出
问题 3 你们是怎样研究对数函数 y =
lo gax (a >0 , a ≠1)性质的 ? 有学生说 , 先画出对数函数的图象 .
图象都经过点(0, 1)
y
=log ax
的图象与 y
= log 1 a
x 的图象关于 x
轴对称
y =ax 的图象与 y =(1 )x 的图象关于 y 轴 a
对称
学生发现的性质还有 : (1)当 a >1 时 , 若 x >1 , 则 y >0 , 若 0 < x <
1 ,则 y <0 ; 当 0 <a <1 时 , 若 x >1 , 则 y <0 , 若 0 < x <
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师 :很好 , 难不 倒你们 .前面我 们学 习过指 数函
数 .在指数函 数中 , y 是 因变 量 , 指数 函数 的值 域是 (0 , + ∞), 在这里 , y 成了自变量 , (0 , + ∞)成了定 义域 .(边说边利用几何画板画出指数函数的图象)
教学目标 : (1)经历 由指 数函 数 、对数 及其 运算 导出 对数 函数概念的过程 , 体验知识之间的联系 ;通 过举例感 受数学与生活 、科学研究的联系 ; (2)进一 步掌 握研 究函数 的一 般方 法 , 初 步掌 握利用指数与对数的联系研究对数函数 ; (3)初步 了解 对数 函数的 性质 , 并初 步运 用对
多 、表达是否有条理 ——— 有没有编号 、语言是否
准确等几个方面进行了评价 , 并进行了补充 .他们
几乎发现了对数函数的所有性质 , 其中有一些并不
是教学所要求的 .在教师的引导下 , 把对数函数的
性质与指数函数的性质进行比较 , 形成如下表格 .
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番 ?即利用 t = log1.08 N 计算年数 t .
2.2 绘制图象 , 研究性质 师 :今天我们结识了一个新朋友 ——— 对数函
数 , 接下来自然就是要研究它的性质 .
问题 2 请你研究对数函数 y =log ax(a > 0 , a ≠1), 获得它的性质 , 越多越好 .
留给学生充足的时间 .
14 含量).根据问题的实际意义 , 对于每一个碳 14
含量 P , 通过对应关系 t = log5730 1 P 都有唯一确 2
定的年代 t 与它对应 , 说明 t 是 P 的函数 .也有学
生举例 :如果我国 GDP 年平均增长率保持 8 %, 约
多少年后我国 的 GDP 在 2010 年的 基础上翻 两
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“对数函数及其性质”教学实录与反思
陶维林 (江苏省南京师大附中 210003)
作者简介 陶维林 , 江苏溧水人 .1982 年 1 月毕业 于南京师 范学院(今 南京师 范 大学)数学系 , 在南京师大附中从事高中数学 教学至 今 .2002 年被评 为江苏 省数学 特 级教师 , 2003 年被评为教授级中 学高级教师 .南 京师范 大学数 学系兼 职教授 ;人民 教 育出版社高中数学新课标教材(A 版)主要编 写人员 、教材 培训团 专家 ;《 中 小学数 学 (高中版)》 杂志编委 .在数学教育 、信息 技术与 数学教 学整合 方面有 所研究 , 在《 数 学 通报》等数学教育类核心期 刊发表 文章 30 余篇 , 累计 发表文 章 200 余 篇 .编著《 几 何 画板实用范例教程(第 2 版)》 由清 华大 学出版 社出 版 , 被 教育 部师 范教 育司 审定 为 “ 21 世纪师范院校计算 机技术规划教材” .在长期的 教学实 践中 , 逐渐形 成了“ 激发 兴 趣 、重视过程 、发展思维 、生动活泼” 的教学风格 .
1 基本情况 1.1 授课对象
学生来自四星级重点高中普通班 ,基 础较好 , 有 一定的推理能力及运算能力 . 1.2 教材分析
所用教材为《普 通高 中课 程 标准 实验 教 科书 · 数学(必修 1)》(人教 A 版),教学内容为“2.2.2 对数 函数及其性质” .这是 必修 1 第 2 章“ 基本初等 函数 (Ⅰ)” 中 , 继研究“指 数函 数及其 性质” 后 所研 究的 第二个函数 .学习基本初等函数 , 一方面可 以加深对 函数概念的理解 , 掌握研究函数的一般方 法 ;另一方 面 , 基本初等函数是常见的重要的函数模 型 , 是研究 其他函数的基础 , 与生活实践 、科学研究有 着密切的 联系 .学生已经学 习过函 数概念 , 函数的 单调性 、奇 偶性等性质 , 学习过指数函数的图象和性 质 , 学习过 对数的概念以及 对数 的运算 .这些 都构 成了学 生的 认知基础 .教学中 ,一方面利用研究指数函 数所获得 的经验 , 按照研究函数的一般方法来研究 对数函数 , 进一步体验研究函数的一般方法 ;另一方 面 , 加强与 指数函数的联系 , 在 知识与 知识间 的联 系中学 习新 知识 , 帮助他 们 形成 良 好的 知 识结 构 , 发 展 理性 思 维 , 提高认识能力 .
数的图象 .(图 2) 事实说明, 点
P(x , y)与 P′(y , x) 关于直线 y =x 对称 , 对数函数的 图象与 指
数函数的图 象关于 直
线 y = x 对称 .
图2
师 :我们来看黑板上几位同学写出的对数函
数的性质 , 你们说哪位同学写得最好 , 还有什么补
充的吗 ?
学生就内容是否丰富 ——— 是不是发现得最
性质
定义域 值域
奇偶性 单调性 图象过特殊点
对称
对数函数
指数 函数
y = lo ga x(a > 0, a ≠ 1)
y = ax(a > 0 , a ≠ 1)
(0 , + ∞)
R
R
(0, + ∞)
不是奇函数 , 也不是偶函数
在 a > 1 时单调增 ;在 0 < a < 1 时单调 减
图象都经过点(1 , 0)
象的交点 M , 过点 M 画 x 轴的垂线 , 与 x 轴交于一点 C , 点 C 的横坐标就是与 y 对应的 x 值 .(教师根据学 生所说用几何画板进行相应的制作 ,如图 1)
师 :她利用指数函 数的图
象 , 指出了怎 样由 给出 的 y 找
x 的过程 .实际上 , 对于给 出的
每一 个 正 数 y , 求 它 的 对 数
习过教科书之 前的一个 例题 :生物体 内碳 14 的“ 半
衰期” 为 5 730 年 , 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时
碳 14 的残余量约占原始含量的 76.7 %, 试推算马王
堆古墓的年代 .利用 t = log5730 1 P 可估算出土文物 2
或古遗址的年代(其中 t 表示死亡年数 , P 表示碳
要说明 x 是不是 y 的函 数 , 需 要运 用函数 的概
念来检测 .函数 概念中 , 最重要 的是“对 应法则” , 那
么在这个过程中 ,“对应法则” 到底指什么呢 ?
绝大多数学生不知道“对应法则” 指什么 , 因而不知
道该怎么解释 .教师等待了一会儿 ,有学生要求发言 .
生 :在 y 轴上画一点 D , 测量出它的纵坐标 y , 经 过点 D 画 y 轴的垂线 , 作出 这条垂线 与指数 函数图
logay , 这就 是与这个 x 对 应的
唯一确定的值 .
图1
习惯上 , 用 x 表示自变量 , 用 y 表示 x 的函数 , 写
成 y =loga x(a >0 , a ≠1).我们把这个函数叫做对 数函数 .
师 :在实际生活中 , 大家见过或者听说 过这样的
函数吗 ?
因为学习过指数函 数以及 对数知 识 , 学生 又学
生 :点 P(x , y)在 指数 函 数的 图 象上 , 点 P′(y , x)在对数函数的图象上 , 而点 P(x , y)与 P′(y , x)关于直线 y = x 对称 .
师 :画板 , 在指数函数的图象上画
点 P , 作出与点 P 关于直线 y =x 对称的P′, 同时 度量出点 P 与 P′的坐标 , 跟踪点 P′, 拖动点 P , 显 示点 P 与点 P′的坐标 , 点 P′的轨迹形成对数函
1 ,则 y >0 . (2)对数函数的 图象 分布 特点 是 , 在 x 轴 的上
方 , 自左而右 ,底数 a 越来越大 . 借助图象 , 验证了这些性质 .
2.3 证明性质 , 理性思维 师 :借助图象观察函 数的 性质是 研究 函数 性质
的好办法 , 但是 ,发现的性质必须经过严格 的证明才 能成为数学结论 .
数函数的性质解决 诸如 求函数 的定义 域 、比较大 小 等简单问题 .
教学重点 :建立对数函数的概念 , 画出对数 函数 的图象 , 初步了解对数函数的性质 .
教学难点 :利用 与指数 函数 的联系 来研 究对 数 函数的性质 . 2 教学过程 2.1 问题情境 , 构建概念
数学教学应当从问题开始 .首先提出 问题 1 我们已经学习过指数函数 y =ax(a > 0 , a ≠1),又知道 x = logay (a >0 , a ≠1), 那么 , 在 x =logay (a >0 , a ≠1)中 , 能否说 x 是 y 的函数呢 ? 为什么 ? 生众 :x 是 y 的函数 . 师 :还有“为什么” 呢 ? 生 :对于任意一个 y , 都有唯 一的实数 x 与 y 对 应. 师 :任意的一个 y ? 生 :噢 , y 要是正数 . 师 :到底该怎么说 ? 生 :对于任意一个正数 y , 都 有唯一 的一个实 数 x 与 y 对应 , 所以 x 是 y 的函数 .这 个函数的定 义域 是(0 , + ∞). 师 :你们 认为对 于“任 意一 个正 数 y , 都 有唯 一 的一个实数 x 与 y 对应” , 我认为有两个 x 与 y 对应 . 你们怎么反驳我 ? 生 :老师 , 指数函数 y =ax(a >0 , a ≠1)在 a > 1 时是单调增的 ;在 0 <a <1 时是单调减的 , 一个 x 只有一个 y 跟它对应 , 怎么会有两个呢 ?
问题 4 你能够证明你所发现的对数 函数的性 质吗 ?
学生就对数函数的 单调 性 , 以及“ y = loga x 的 图象与 y = log 1 x 的图象关于 x 轴对称” 进行了证
a
明 .(略) 2.4 性质应用 , 巩固练习
例 1 求下列函数的定义域 : (1)y = loga x 2 ;(2)y = loga(4 -x). 例 2 比较下列各组数中两个值的大小 : (1)log2 3.4 , log2 8.5 ;(2)log0.31.8 , log0.3 2.7 ; (3)loga 5.1 , loga 5.9(a >0 , a ≠1). 板演练习 .(过程略) 2.5 全课小结 , 布置作业 问题 5 下课后 , 如果 有人 问你 :“ 你 们这 堂课 学习了些什么东西 ?” 你怎么 回答 ?你 能说说 我们是 怎样研究对数函数的吗 ?还有其他什么收获吗 ? 布置作业 .(略) 3 回顾与反思 3.1 教学设计立意 (1)让学 生在 知识 的联系 中学 习知 识 .学 生已 经比较详细地学 习过 指数函 数 , 熟 悉指 数函数 的定 义 、图象 、性质 ;了解研究函 数的一般“套 路” ——— 先 画图象 , 借助图象研究函数的性质 , 以及先 研究定义 域 、值域 ,再 研究奇 偶性 、单 调性等 等 .不 仅如 此 , 又