2013年天津市高考数学试卷(文科)及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试文数天津卷pdf版含答案
(A) g(a) < 0 < f (b)
(B) f (b) < 0 < g(a)
(C) 0 < g(a) < f (b)
(D) f (b) < g(a) < 0
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.
若 S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本,
其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
·棱柱的体积公式 V = Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件 A, B 相互独立, 那么
P( AB) = P( A)P(B)
·球的体积公式V = 4 π R3.
3
其中 R 表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则 A ∩ B =
（9）5-5i
（10） 3
（11） x2 − y2 = 1 3
（12） 1 2
（13） 15 2
（14） 3 4
三、解答题
2013年天津文科数学试题及答案(精校版)
A3
A8 (2, 2,1)A5 (1, 2,1)
A10 (2,1, 2)
16.
cos B 2 ． 3
（I）求 b 的值；
（II）求
sin
在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 b sin A 3c sin B ， a 3 ，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的概率．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年天津市高考数学试卷(文科)教师版
2013年天津市高考数学试卷（文科）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1．（5分）（2013•天津）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选：D．2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7B．﹣4C．1D．2【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选：A．3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为（）A．7B．6C．5D．4【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4．【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序．故输出的n的值为4．故选：D．4．（5分）（2013•天津）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1C．2D．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．6．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1B．﹣C．D．0【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．【解答】解：由题意x∈，，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间，的最小值为．故选：B．7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．，B．[1，2]C．，D．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x ﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=＞，g（b）=0，∴＜＜．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i．故答案为5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线＞，＞的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线＞，＞的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线＞，＞的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD 的中点．若，则AB的长为．【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．【解答】解：∵，．∴===+﹣==1，化为，∵，∴．故答案为．13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=E B•EC，所以AE==6，在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，所以cosα=，AB=AD=5，所以BD=2×ABcosα=．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴，∴=，∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等），∴≥1，故当a＜0时，的最小值为．故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为．从而可估计该批产品的一等品率为0.6；（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种．（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编分别为A1，A2，A5，A7．则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以p（B）=．16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．17．（13分）（2013•天津）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值．【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC 与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y 得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为＞＞．∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．【分析】（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，变形为S4﹣S3=S2﹣S4，进而求出公比q 的值，代入通项公式进行化简；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出S n随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，得2a4=﹣a3，∴q=，∵，∴=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S n==1﹣，∴，当n为奇数时，==，当n为偶数时，=，∴随着n的增大而减小，即，且，综上，有成立．20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数，，＞（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明＞．【分析】（Ⅰ）令，＞．分别求导即可得到其单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间，内单调递减，在区间，内单调递增．已知曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得．不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而＜＜＜．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得＜＜．由＜，解得＜＜，于是可得＞，通过换元设t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，，故＞，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）令，＞．①，由于a∈[﹣2，0]，从而当﹣1＜x＜0时，＜，所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1时，＜；当x＞1时，＞，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间，内单调递减，在区间，内单调递增．因为曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且．不妨x1＜0＜x2＜x3，由+a=．可得，解得，从而＜＜＜．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，则＜＜．由＜，解得＜＜，所以＞，设t=，则，∵a∈[﹣2，0]，∴，，故＞，故＞．。
2013年高考文科数学天津卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：•如果事件A ,B 互斥,那么 •球的体积公式34π3V R =. ()()()P AB P A P B =+.•棱柱的体积公式V Sh =. 其中R 表示球的半径. 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|||2}A x x =∈≤R ,{|1}B x x =∈R ≤,则A B =( ) A .(,2]∞-B .[1,2]C .[]2,2-D .[12,]--2.设变量x ,y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最小值为( ) A .－7B .－4C .1D .23.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值 为( ) A .7 B .6 C .5D .44.设a ,b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切,且 与直线10ax y -+=垂直,则a = ( ) A .12-B .1C .2D .126.函数π()sin(2)4f x x =-在区间π[0,]上的最小值为( )A .1-B . CD .07.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .1(0,]2C .1[,2]2D .(0,2]8.设函数()e 2x f x x =+-,2()ln 3g x x x =+-.若实数a ,b 满足()0f a =,()0g b =, 则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.i 是虚数单位,复数(3i)(12i)+-= .10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 .11.已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .12.在平行四边形ABCD 中,1AD =,60BAD ∠=,E 为CD 的中点.若1AC BE =,则AB 的长为 .13.如图,在圆内接梯形ABCD 中,AB DC ∥.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5AB AD ==,4BE =,则弦BD 的长为 .14.设2a b +=,0b >,则1||2||a a b+的最小值为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S ≤,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （Ⅱ）在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, （i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin 3sin b A c B =,3a =,2cos 3B =.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求πsin(2)3B -的值.17.（本小题满分13分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1A A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,D ,E ,F 分别为棱AB ,BC ,11AC 的中点. （Ⅰ）证明：EF ∥平面1A CD ； （Ⅱ）证明：平面1A CD ⊥平面11A ABB ； （Ⅲ）求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若8AC DB AD CB +=,求k 的值.19.（本小题满分14分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为*()n S n ∈N ,且22S -,3S ,44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明1136n n S S +≤（*n ∈N ）. 20.（本小题满分14分）设[2,0]a ∈-,已知函数332(5),0,()3,0.2x a x x f x a x x ax x ⎧-+⎪=⎨+-+>⎪⎩≤（Ⅰ）证明()f x 在区间(1,1)-内单调递减,在区间()1,+∞内单调递增；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x (1,2,3)i =处的切线相互平行,且1230x x x ≠. 证明12313x x x ++>-.{=∈RA B x，再利用数轴进行集合的交集运算.【解析】π0,2x ⎡∈⎢⎣π4=-时，【解析】12log f a ⎛ ⎝又上单调递增，【解析】()e f x '=是(0,)+∞上的增函数(1)2g =-【提示】先判定出零点【考点】利用导数解决不等式问题【解析】由已知得AC =AD AB +，12BE AD AB =-， ∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-2111||22AB AD AB =+-211cos60||12AB AD AB ︒-=.1AB=.||【提示】用AB与AD用AC与BE表示，然后进行向量的数量积运算【考点】平面向量的应用15BE EC=+4(4，所以ABE△数学试卷第16页（共30页）ac B，cos cos5，进而得3数学试卷 第22页（共30页）所以AC DB ＋AD CB12222113,)(3,)(3,)3,y x y x y x y +--++--（）122y y3 1. 2n数学试卷第28页（共30页）。
2013年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）25．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线axB=26．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．∈，[在区间的最小值为7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（），即≤8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）（，∴二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．，所以正方体的体对角线长为：a，．故答案为：11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．，可得的一个焦点为（﹣曲线的离心率的计算公式可得=2，可得由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣，∴∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．，．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．由题意得，，1的最小值为故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．件，故样本的一等品率为=16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．中，有正弦定理，b=（Ⅱ）由sinB=﹣=17．（13分）（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．ACD=BG==，所成角的正弦值18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入，，∴；为奇数时，=，=，，且综上，有20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．（Ⅰ）令，）内单调递减，在区间单调递减，在区间利用导数的几何意义可得根据以上等式可得，从而，解得，于是可得t=，已知，①②时，时，，即函数在区间内单调递减，在区间互不相等，且．，解得，从而，则，解得，t=，则，，∴。
2013天津高考数学文科试题
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}|2A x R x =∈≤，{}|1B x R x =∈≤，则A B =（A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]-2．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- （C ）1 （D ）2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5(D) 44．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)126．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) 22-(C)22(D) 07．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<(C) 0()()g a f b <<(D) ()()0f b g a <<二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 .11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .EDCB A14．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级．若4S ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 1A2A3A4A5A质量指标(,,)x y z(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号 6A7A8A9A10A质量指标(,,)x y z(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)（I ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （II ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17． (本小题满分13分) 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11AC 的中点．（I ）证明：//EF 平面1ACD ； （II ）证明：平面1ACD ⊥平面11A ABB ； （III ）求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值． C 1B 1A 1ABC DEF18．(本小题满分13分) 设椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433．（I ）求椭圆的方程；（II ）设A ，B 分别为椭圆的左、右定点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．19． (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案一、选择题1．D 解：因为{22}A xx =-≤≤,所以{21}B A x x =-≤≤，选D.2．A 解：由2z y x =-得 。
2013年高考真题——文科数学(天津卷)赵老师解析版
高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！ 赵老师2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V = Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【答案】D【解析】因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B Ax x =-≤≤，选D.(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2【答案】A【解析】由2z y x =-得2y x z =+。
作出可行域如图，平移直线2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得53x y ==⎧⎨⎩，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A.(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4【答案】D【解析】第一次循环，1,2S n =-=；第二次循环，21(1)21,3S n =-+-⨯==；第三次循环，31(1)32,4S n =+-⨯=-=；第四次循环，42(1)42S =-+-⨯=，满足条件输出4n =，选D.(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。
2013年高考天津卷(文)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 2．设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 23．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5(D) 44．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)126．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) 2 (C)2 (D) 07．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =u u u r u u u r, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =4, 则弦BD 的长为 .14．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:产品编号A 1A 2A 3A 4A 5质量指标(x , y , z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)产品编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标(x , y , z ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅰ) (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17． (本小题满分13分)如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长43 (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r,求k 的值.19． (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．55i - 10．311．2213y x -=12．12 13．15214．3415．16．17．18．19．20．。
2013天津高考数学文科试题及解析
f ( x) 在 R 上为单调增函数， 0 f (a) f (b) ．
又 g ( x) 在 (0, ) 上为单调增函数， g (a) g (b) 0 ．
g (a) 0 g (b) ．
二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = . 【答案】 5 5i 【考点】本题主要考查复数的运算。 【解析】(3 + i)(1－2i) 3 2i 2 i 6i 5 5i 。 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 【答案】 3
1 范围是 , 2 ，选 C. 2
1 a 2 ，即 a 的取值 2
8．设函数 f ( x) e x x 2, g ( x) ln x x 2 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) 0, g (b) 0 , 则
(A) g (a) 0 f (b) (B) f (b) 0 g (a) (C) 0 g (a) f (b) (D) f (b) g (a) 0 【答案】A 【考点】本题主要考查函数的性质，意在考查考生数形结合的能力。 【解析】由 f ( x) e x x 2 0, g ( x) ln x x 2 3 0 得 e x x 2,ln x x 2 3 ，分别令
3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 n 的值为
(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 【答案】D 【考点】本题主要考查循环结构的程序框图，意在考查考生的读图能力。 【解析】第一次循环， S 1, n 2 ；第二次循环，
S 1 (1) 2 2 1, n 3 ；第三次循环， S 1 (1)3 3 2, n 4 ；
2013年高考真题——文科数学(天津卷)解析版(1) PDF版含答案(2013高考) (1)
绝密★ 启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至2 页，第Ⅱ卷3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2 本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么·球的体积公式V4 R3. 3P( A B ) P( A ) P(B)·棱柱的体积公式V Sh .其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.其中R 表示球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A x R|x |2，B x R x 1，则A B （）（A）, 2（B）1, 2（C）2, 2（D）2,1【命题立意】本题考查含绝对值不等式的解法与集合交集的运算。
【思路分析】解出集合A 后利用数轴求交集。
【解析】选D解|x |2得2x 2，所以A B 2,1。
54 3x+y-6=03 2 1 y-3=0 x-y-2=0–1–1–21 2 3 4 5 6x【方法技巧】利用| x | a （a 0 ）解出集合A 。
求交集时利用数轴。
3x y 6 0（2）设变量x ，y满足约束条件x y 2y 3 0，则目标函数z y 2x 的最小值为（（A）－7 （B）－4 （C）1 （D）2 y【命题立意】本题考查目标函数的最值。
【思路分析】作出可行域后利用目标函数的几何意义解。
【解析】选A作出可行域，如图。
由图可知，当目标函数通过直线x y 2 0 与直线y 3 的交点(5,3) 时取得最小值，z min 7 。
2013年高考文科数学天津卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V = Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = (A) 12-(B) 1(C) 2(D)12(6) 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1-(B)(C)(D) 0 (7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2] (B) 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2](8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b <<(B) ()0()f b g a << (C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 .(11) 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则:(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.(16) (本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(17) (本小题满分13分)如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .(20) (本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科) word解析版
是 a b 的充分而不必要条件，选 A.
(5) 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 (x 1)2 y2 5 相切, 且与直线 ax y 1 0 垂直, 则 a
(A) 1 (B) 1 2
(C) 2 (D) 1 2
【答案】C
【解析】设直线斜率为 k ，则直线方程为 y 2 k(x 2) ，即 kx y 2 2k 0 ，圆心 (1, 0)
1 2
a
2
，即
a
的取值范围是
1 2
,
2
，选
C.
(8) 设函数 f (x) ex x 2, g(x) ln x x2 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) 0, g(b) 0 , 则
(A) g(a) 0 f (b)
(B) f (b) 0 g(a)
(C) 0 g(a) f (b)
3x y 6 0,
(2) 设变量 x, y 满足约束条件 x y 2 0, 则目标函数 z y 2x
y 3 0,
的最小值为
(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2
【答案】A
【解析】由 z y 2x 得 y 2x z 。作出可行域如图，平移直线
y 2x z ，由图象可知当直线 y 2x z 经过点 D 时，直线
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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.
2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A B) P(A) P(B)
高考文科数学天津卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013天津，文1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]2．(2013天津，文2)设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )．A ．－7B ．－4C ．1D ．2 3．(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )．A ．7B ．6C ．5D ．44．(2013天津，文4)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013天津，文5)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )．A ．12-B ．1C ．2D ．126．(2013天津，文6)函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为( )．A ．－1 B． C． D ．07．(2013天津，文7)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋12(log )f a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(0,2]8．(2013天津，文8)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )．A ．g(a)＜0＜f(b)B ．f(b)＜0＜g(a)C ．0＜g(a)＜f(b)D ．f(b)＜g(a)＜0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013天津，文9)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________. 10．(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为__________．11．(2013天津，文11)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．12．(2013天津，文12)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC u u u r ·BE u u u r＝1，则AB 的长为__________．13．(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为__________．14．(2013天津，文14)设a＋b＝2，b＞0，则1||2||aa b+的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y ＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，(1)(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．16．(2013天津，文16)(本小题满分13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b sinA＝3c sin B，a＝3，cos B＝23.(1)求b的值；(2)求πsin23B⎛⎫-⎪⎝⎭的值．17．(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．18．(2013天津，文18)(本小题满分13分)设椭圆2222=1x y a b(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为3，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC u u u r ·DB u u u r＋AD u u u r ·CB u u ur ＝8，求k 的值．19．(2013天津，文19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明1136n n S S +≤(n ∈N *)．20．(2013天津，文20)(本小题满分14分)设a ∈[－2,0]，已知函数()3325030.2x a x x f x a x x ax x ⎧-(+)≤⎪⎨+-+>⎪⎩，，＝， (1)证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0.证明x 1＋x 2＋x 3＞13-.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：D解析：解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，即A ＝{x |－2≤x ≤2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，故选D. 2． 答案：A解析：作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域，如图所示，z ＝y －2x 可化为y ＝2x ＋z ，z 表示直线在y 轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l 0：y ＝2x ，平移l 0，当l 0过点A (5,3)时，z 取最小值，且为－7，选A. 3． 答案：D解析：由程序框图可知，n ＝1时，S ＝－1；n ＝2时，S ＝1；n ＝3时，S ＝－2；n ＝4时，S ＝2≥2，输出n 的值为4，故选D. 4． 答案：A解析：因为a 2≥0，而(a －b )a 2＜0，所以a －b ＜0，即a＜b ；由a ＜b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0可以为0，所以“(a－b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分而不必要条件． 5． 答案：C解析：由题意知点P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，设切线的斜率为k ，则2021k -⋅-＝－1，解得12k =-，直线ax －y ＋1＝0的斜率为a ，其与切线垂直，所以12a -＝－1，解得a ＝2，故选C.6． 答案：B解析：因为x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当ππ244x -=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值2-. 7． 答案：C解析：因为12log a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋12(log )f a ＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增， 所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1， 解得12≤a ≤2，故选C. 8．答案：A解析：由f (a )＝e a＋a －2＝0得0＜a ＜1.由g (b )＝ln b ＋b 2－3＝0得1＜b ＜2.因为g (a )＝ln a ＋a 2－3＜0， f (b )＝e b ＋b －2＞0，所以f (b )＞0＞g (a )，故选A.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i. 10．解析：由题意知349ππ32V R ==球，32R =.设正方体的棱长为a2R ，a，所以正方体的.11．答案2213y x -= 解析：抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c ＝2，离心率e ＝ca＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝3，所以双曲线的方程为2213y x -=. 12．答案：12解析：取平面的一组基底{AB u u u r ，AD u u u r}，则AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，BE u u u r ＝BC uuu r ＋CE u u u r ＝12-AB u u ur ＋AD u u u r ，AC u u u r ·BE u u u r ＝(AB u u u r ＋AD u u u r )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭u u ur u u u r ＝12-|AB u u u r |2＋|AD u u u r |2＋12AB u u u r ·AD u u u r ＝12-|AB u u u r |2＋14|AB u u u r |＋1＝1，解方程得|AB u u u r |＝12(舍去|AB u u u r |＝0)，所以线段AB 的长为12. 13．答案：152解析：因为在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，所以AD ＝BC ，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠ABE ＝∠BCD .所以∠BAD ＋∠ABE ＝180°. 又因为AE 为圆的切线，所以AE 2＝BE ·EC ＝4×9＝36，故AE ＝6. 在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝222128AB BE AE AB BE +-=⋅， cos ∠BAD ＝cos(180°－∠ABE )＝－cos ∠ABE ＝18-， 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ＝2254，所以BD ＝152.14．答案：34解析：因为a ＋b ＝2， 所以2a b+＝1， 1||2||a a b +＝||||22||4||4||a ba ab a a b a a b ++=++≥+14||4||a a a a +=，，当且仅当b ＝2|a |时，等号成立．当a ＞0时，5+1=4||4a a ，故1||52||4a a b +≥； 当a ＜0时，3+1=4||4a a ，1||32||4a ab +≥. 综上可得最小值为34.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：(1)其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝62105=. 16．解：(1)在△ABC 中，由sin sin a bA B=，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ， 又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，2cos 3B =，可得b =(2)由2cos 3B =，得sin B ＝3cos 2B ＝2cos 2B －1＝19-，sin 2B ＝2sin B cos B ＝9.所以πsin 23B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππsin 2cos cos 2sin 3318B B -=.17．(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ， 又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形， 所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ， 所以EF ∥平面A 1CD .(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ， 又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以A 1A ⊥CD ， 又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ， 所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)解：在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，连接CG . 由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线， 故BG ⊥平面A 1CD .由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A 1D， 由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG＝2.在Rt△BGC 中，sin ∠BCG＝BG BC =所以直线BC 与平面A 1CD18．解：(1)设F (－c,0)，由3c a =，知a =. 过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有2222()1c y a b-+=，解得y ==，解得b， 又a 2－c 2＝b 2，从而ac ＝1，所以椭圆的方程为22=132x y +. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝2262k -，x 1x 2＝223623k k-+. 因为A (0)，B0)，所以AC u u u r ·DB u r ＋AD u u u ·CBu u r＝(x 1，y 1x 2，－y 2)＋(x 2，y 2－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝22212623k k +++.由已知得2221263k k+++＝8， 解得k ＝.19． (1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是4312a q a ==-. 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n na --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭.(2)证明112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11112112n n nn S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n nn n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S +≤+. 当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S +≤+. 故对于n ∈N *，有1136n n S S +≤. 20．证明：(1)设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝3232a x x ax +-+(x ≥0)， ①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由a ∈[－2,0]，从而当－1＜x ＜0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)＜3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减．②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0＜x ＜1时，f 2′(x )＜0；当x ＞1时，f 2′(x )＞0.即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①，②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增． (2)由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间306a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递减，在区间36a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，内单调递增．因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．不妨设x 1＜0＜x 2＜x 3，由213x －(a ＋5)＝223x －(a ＋3)x 2＋a ＝233x －(a ＋3)x 3＋a ，可得222333x x -－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝33a +，从而0＜x 2＜36a +＜x 3. 设g (x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则36a g +⎛⎫⎪⎝⎭＜g (x 2)＜g (0)＝a . 由213x －(a ＋5)＝g (x 2)＜a，解得x 1＜0，所以x 1＋x 2＋x 3＞33a +， 设ta ＝2352t -，因为a ∈[－2,0]，所以t∈33⎣⎦， 故x 1＋x 2＋x 3＞2231111(1)6233t t t +-+=--≥-，即x 1＋x 2＋x 3＞13-.。
高考文科---高考天津卷文科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（天津卷）第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A 解析可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( ) A ．7 B ．6C ．5D ．4 答案 D解析 第一次运行：S ＝0＋(－1)1·1＝－1<2， 第二次运行：n ＝2，S ＝－1＋(－1)2×2＝1<2； 第三次运行：n ＝3，S ＝1＋(－1)3×3＝－2<2；第四次运行：n ＝4，S ＝－2＋(－1)4×4＝2，满足S ≥2， 故输出的n 值为4，选D.4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.5．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．－12B ．1C ．2 D.12答案 C解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴K OP ＝2－02－1＝2，又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝K OP ＝2，选C.6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 答案 B解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令n ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin n 在n ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22.选B. 7．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2 α)＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2] 答案 C解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2 a －1＝－log 2 a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2 a )＝f (－log 2 a )＝f (log 12a )．∵f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2 a )≤2f (1)，即f (log 2 a )≤f (1)．又因f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2 a |≤1，－1≤log 2 a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，选C.8．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0 答案 A解析 对于f (x )＝e x ＋x －2，f ′(x )＝e x ＋1>0，f (x )在R 上递增， 由于f (0)＝e 0－2＝－1<0， f (1)＝e ＋1－2＝e －1>0， ∴由f (a )＝0知0<a <1；对于g (x )＝ln x ＋x 2－3(x >0)，g ′(x )＝1x ＋2x >0(∵x >0)，∴g (x )在(0，＋∞)上也递增， 由于g (1)＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0， ∴由g (b )＝0知1<b <2.故f (b )>f (1)>0，g (a )<g (1)<0，∴g (a )<0<f (3)，选A.第Ⅱ卷二、填空题9．i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. 答案 5－5i解析 (3＋i)(1－2i)＝3×1－1×(－2)＋(1×1－2×3)i ＝5－5i. 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________． 答案3解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝⎛⎭⎫322＝3，∴a ＝ 3.11．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2.双曲线的左焦点为(－2,0)，c ＝2，又e ＝2，而ca ＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0， ∴|AB →|＝12.13．如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________． 答案152解析 由切割线定理得EB ·EC ＝EA 2， ∴4×(4＋5)＝EA 2，∴EA ＝6， 由于AB ＝AD ＝5，AE 为切线， ∴∠α＝∠β ＝∠v在△ABE 中，由余弦定理得， 42＝52＋62－2×5×6cos v ，∴cos v ＝62＋52－422×5×6＝34，而cos β＝34，∴BD ＝2AB cos β＝2×5×34＝152.14．设a ＋b ＝2b >0，则12|a |＋|a |b 的最小值为________．答案 34解析 ∵a ＋b ＝2，b >0，显然b ≠2(∵a ≠0)， ∴a ＝2－b .①当0<b <2时，a ＝2－b >0，f (b )＝12|a |＋|a |b ＝12(2－b )＋2－b b ＝12(2－b )－2b －1，f ′(b )＝12(2－b )2－2b 2， 令f ′(b )＝0，解得b ＝43.当b ∈⎝⎛⎭⎫0，43时，f ′(b )<0；当b >43时，f ′(b )>0. ∴当b ＝43时，f (b )最小＝54.②当b >2时，a ＝2－b <0， f (b )＝12(b －2)＋b －2b ＝12(b －2)－2b＋1，f ′(b )＝－12(b －2)2＋2b 2， 令f ′(b )＝0得b ＝4.当b ∈(2,4)时，f ′(b )<0，得b ∈(4，＋∞)时，f ′(b )>0. 故当b ＝4时，f (b )最小＝34.综上f (b )最小＝34.三、解答题15．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． (ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ)设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种． 所以P (B )＝615＝25.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cosB ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3的值． 解 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ， 又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝45＋318.17．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点． (1)证明：EF ∥平面A 1CD ；(2)证明：平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1； (3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值． (1)证明 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1. 又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD .(2)证明 由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)解 在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，连接CG .由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD .由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角． 设棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55. 所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55. 18．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明 S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.20．设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－(a ＋5)x ， x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ， x >0.(1)证明：f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0，证明：x 1＋x 2＋x 3>－13.证明 (1)设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)， f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)， ①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由a ∈[－2,0]，从而当－1<x <0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减．②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0<x <1时，f 2′(x )<0；当x >1时，f 2′(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增． 综合①，②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．(2)由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫0，a ＋36内单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫a ＋36，＋∞内单调递增．因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．不妨设x 1<0<x 2<x 3，由3x 21－(a ＋5)＝3x 22－(a ＋3)x 2＋a ＝3x 23－(a ＋3)x 3＋a ，可得3x 22－3x 23－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝a ＋33，从而0<x 2<a ＋36<x 3. 设g (x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则g ⎝⎛⎭⎫a ＋36<g (x 2)<g (0)＝a .由3x 21－(a ＋5)＝g (x 2)<a ，解得－2a ＋53<x 1<0，所以x 1＋x 2＋x 3>－ 2a ＋53＋a ＋33， 设t ＝2a ＋53，则a ＝3t 2－52，因为a ∈[－2,0]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤33，153， 故x1＋x2＋x3>－t ＋3t2＋16＝12(t －1)2－13≥－13，即x1＋x2＋x3>－13.。
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2013年天津市高考数学试卷（文科）及解析第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}|2A x R x =∈≤，{}|1B x R x =∈≤，则AB =（A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]-2．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- （C ） （D ）2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5(D) 44．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)126．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1-(B)(C) (D) 0 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =4, 则弦BD 的长为 .EDCB A14．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级．若4S ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表（II ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =.(Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17． (本小题满分13分) 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11A C 的中点．（I ）证明：//EF 平面1ACD ； （II ）证明：平面1ACD ⊥平面11A ABB ； （III ）求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值． C 1B 1A 1ABC DEF18．(本小题满分13分)设椭圆22221x y a b +=(0)ab >>的左焦点为F ，，过点F 且与x 轴垂． （I ）求椭圆的方程；（II ）设A ，B 分别为椭圆的左、右定点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．19． (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案一、选择题1．D 解：因为{22}A xx =-≤≤,所以{21}B A x x =-≤≤，选D.2．A 解：由2z y x =-得 。
作出可行域如图平移直线2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z 最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得53x y ==⎧⎨⎩，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A.3．D 解：第一次循环，1,2S n =-=；第二次循环，21(1)21,3S n =-+-⨯==；第三次循环，31(1)32,4S n =+-⨯=-=；第四次循环，42(1)42S =-+-⨯=，满足条件输出4n =，选D.4．A 解：若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。
若0a b =<时2()0a b a -=，所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件，选A.5．C 解：设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到直线的，解得12k =-。
因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =,选C. 6．B 解：当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，02x π≤≤，32444x πππ-≤-≤，所以当244x ππ-=-时，函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值为sin()4y π=-=，选B. 7．C解：因为函数()f x 是定义在R上的偶函数，且122log log a a =-，所以222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即2(log )(1)f a f ≤，因为函数在区间[0,)+∞单调递增，所以2(log )(1)f a f ≤，即2log 1a ≤，所以21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤，即a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选C.8．A解：由220,()ln (30)x x g x x e x f x +-==+=-=得22,ln 3x x x e x =-+=-+，分别令122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+。
在坐标系中分别作出函数122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+的图象，由图象知01,12a b <<<<。
此时21()()g a g a <，所以()0g a <又。
12()()f b f b >，所以()0f b >，即()0()g a f b <<，选A.法三： ()f x 在R 上为单调增函数，，01)1(>-=e f ， ∴()f x 的零点(0,1)a ∈．在(0,)+∞上为单调增函数，02)1(<-=g ，012ln )2(>+=g (2)0g >，∴()g x 的零点(1,2)b ∈． 所以 b a <<<10，则)()1(0)1()(b f f g a g <<<<.法四： 在同一直角坐标系下画出1x y e =，22y x =-+，3ln y x =，243y x =-+的图象，易得1y 与2y 的交点A ，及3y 与4y 的交点B ，显然A B a x b x =<=．()f x 在R 上为单调增函数，∴0()()f a f b =<．又()g x 在(0,)+∞上为单调增函数，∴()()0g a g b <=．∴()0()g a g b <<．9．55i - 解：(3 + i )(1－2i )232655i i i i =-+-=-。
10解：设正方体的棱长为a2r =，即球半径r =。
若球的体积为92π，即349)32ππ=，解得a = 11．2213y x -= 解：抛物线的准线方程为2x =-，因为双曲线的一个焦点在准线2x =-上，所以2c -=-，即2c =，且双曲线的焦点在x 轴上。
又双曲线的离心率为2，即22c e a a===，解得1a =，所以222413b c a =-=-=，所以双曲线的方程为2213y x -=。
12．12解：因为E 为CD 的中点，所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=-. AD AC AB =+因为·1AC BE =，所以22111·()()1222AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅=，即2111cos60122AB AB -+=，所以211024AB AB -+=，解得12AB =。
解法2 设AB x =.AC AD AB =+，1122BE AE AB AD AB AB AD AB =-=+-=-， 221122AC BE AD AB AD AB ⋅=-+⋅2111124x x =-+=，211,0,22x x x x ∴=≠∴=.解法3： 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建系如图则1(2D ，设(,0)B x则111((222E x C x ++， ABC111((222AC BE x x ⋅=+⋅-2111314424x x =+-+=， 211,022x x x x ∴=≠∴=. 13．152解：连结AC,则EAB ACB ADB ABD DCA ∠=∠=∠=∠=∠，所以梯形ABCD 为等腰梯形， EDCB A所以5BC AD ==，所以24936AE BE CE =⋅=⨯=，所以6AE =,所以2222226543cos 22654AE AB BE EAB AE AB ++-===⋅⨯⨯.又2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅,即222355254BD BD =+-⨯⋅⨯，整理得21502BD BD -=，解得152BD =。