六年级下册探索直角三角形全等的条件

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有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解

有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（）对全等三角形．A ．3B ．4C ．5D ．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠ 2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ；【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。

第3讲探索三角形全等的条件(二)

（AAS），正确；B 选项：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C， ∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE 故点 D 在∠BAC 的平分线上，正确；C 选项： ∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴ △BDF≌△CDE（AAS），正确.
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）
（2）一个锐角和斜边对应相等；
（）
（3）两直角边对应相等；
（）
（4）一条直角边和斜边对应相等．（）
【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SA根据全等三角形的判定来判断.
4、【答案】A 【解析】解：∵OM=ON，CM=CN，OC 为公共边， ∴△MOC≌△NOC（SSS）．∴∠MOC=∠NOC 故选：A．
5【答案】AH=CB；【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°，在 Rt△AEH 中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在 Rt△AEH 和 Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH， ∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据 AAS 添加 AH=CB 或 EH=EB；根据 ASA 添加 AE=CE．可证△AEH≌△CEB．
【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
例 3、如图，AB⊥AC 于 A，BD⊥CD 于 D，若 AC=DB，则下列结论中不正确的是（）
A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD 【答案与解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．解：∵AB⊥AC 于 A，BD⊥CD 于 D ∴∠A=∠D=90°（A 正确）又∵AC=DB，BC=BC ∴△ABC≌△DCB(HL) ∴∠ABC=∠DCB（B 正确） ∴AB=CD 又∵∠AOB=∠C ∴△AOB≌△DOC(AAS) ∴OA=OD（D 正确） C 中 OD、OB 不是对应边，不相等．故选 C．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

5.7探索直角三角形全等的条件课件

答：两个木桩离旗杆底部的距离相等。
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解：BC=BD ∵在Rt△ACB和Rt△ADB中
B
A
AB=AB, AC=AD. ∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)
D
∴BC=BD
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，
F D C
解：（1）图中共有三对全等的三角形，分别是： △BDE≌△CDF， △ADE≌△ADF， △ABD≌△ACD。（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠BED = ∠CFD = 90°。 ∵D是BC的中点，∴BD=CD 在Rt△BDE和Rt△CDF中 BD=CD 选最简单的一组证明哦！ BE=CF ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
作法: ⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A; ⑷ 连接AB. M △ABC即为所求作的三角形. B c a C A N
c
α
直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写：“斜边、直角边”或 “HL” A 数学表达式：在Rt△ABC Rt△ DEF中 A B=DE A C= DF
(直角三角形的两个锐角互余)
∴∠ABC+∠DFE=90°
2. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，
还需要补充的条件是
A D
。
B
答案： AB=AD 或 BC=DC 或
∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD。
C
一定要注意直角三角形不是只能用HL证明全等，但HL只能用于证明直角三角形的全等。

探索三角形全等的条件教学设计 (1)

《探索三角形全等的条件》教学设计一、教材分析：三角形全等的判定是本章乃至本学期的一个知识重点，它是建立在学生对图形的全等有了一定的认识，并在学习了全等三角形的概念和性质的基础上进行延伸的，并为接下来探索三角形全等的其他条件，探索直角三角形全等条件，以及将来的探索三角形相似的条件打下良好的基础，因此在整个初中教学中起到承上启下的作用。

二、学情分析：学生在前几节中，已经了解了三角形的有关概念，以及三角形三边之间的关系、图形的全等和全等三角形等，对本节课要学习的三角形的稳定性和三角形全等条件中的“边边边”来说已经具备了一定的知识技能基础。

在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索图形的全等和全等三角形的活动，通过拼图、折纸等方式解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

三、教学目标：1、知识与技能：在具体情境中经历探索三角形全等条件的过程，从而在操作活动中掌握全等三角形的“边边边“的条件，并用它解决一些实际问题。

2、过程与方法：（1）经历动手操作画图，了解三角形“边边边“全等的条件。

（2）善于发现问题，并能通过讨论交流解决问题。

（3）能结合具体问题进行有条理的思考，会进行简单的说明。

3、情感态度与价值观：培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣。

四、教学重难点：1、教学重点：了解两个三角形全等应有三个条件，掌握三角形全等的“边边边”条件，理解条件内涵并初步学会运用。

2、教学难点：对三角形全等条件的分析和探索。

五、教学资源：剪刀、纸、三角尺、三角板、量角器、多媒体。

探索三角形全等的条件

探索三角形全等的条件（1）栖霞市唐家泊中学衣龙涛教学目标：1.知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。

在探索的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

2.过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，通过小组合作探究得到相关结论。

3.情感态度与价值观：（1）使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验，让学生体验数学源于生活，服务于生活的辨证思想。

（2）培养学生勇于探索、团结协作的精神。

教学重点：三角形全等条件的探索过程。

教学难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要做出全面、正确的分析，并对各种情况进行讨论，对初二学生有一定的难度。

教具：硬纸板、直尺、圆规、自制三角形、四边形、多媒体课件教学方法：自主探索、合作交流教学过程：一、问题情境，导入新课：1、同学们，上一节课我们刚刚学习了全等三角形，那么什么是全等三角形？2、小明画了一个三角形，怎样才能画一个与他画的三角形全等？交流总结：我们知道全等三角形的三条边、三个角分别对应相等。

反过来，两个三角形如果要全等，需要六个条件其中的那些条件呢? 一个条件行吗？两个条件、三个条件呢？这就是我们这节课要探索的问题：板书课题---探索三角形全等的条件（1）二、探究发现，学习新知：（一）只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？注意：一个条件，指什么条件？（一条边或一个角）1．只给定一条边时：(学生操作，白板展示)2、只给定一个角时：(学生操作，白板展示)（二）给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．1、三种情况：一边一角、两边、两角2、具体情况：①一边一角：三角形一条边为15cm，一内角为30°．②两边：三角形两条边分别为15cm、16cm．③两角：三角形两内角分别为30°和60°．学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．3．总结讨论结果：(学生操作，白板展示)结论：可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．（三）给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗，它们全等吗？小组归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．1、在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．比如一个大直角三角尺与一个小直角三角尺。

探索三角形全等的条件(1)的教学设计

4.3 探索三角形全等的条件（1）大庆市第44中学刘畅一、教学目标1．知识与技能：掌握三角形全等的“SSS”条件，了解三角形的稳定性。

2．过程与方法：经历观察、猜想、操作，归纳的探究过程。

体会特殊到一般的分析问题方法，和分类的数学思想方法。

3．情感态度与价值观：会有条理的思考，感受逻辑推理的严谨性和数学的美。

二、教学重点、难点1．经历探索过程，从实践中得到三角形全等的“SSS“条件。

并能运用其解决简单问题。

2．对三角形全等条件的分析以及探索思路的选择三、教具、学具多媒体演示、直尺、圆规、量角器、剪刀、卡纸．四、教学过程（一）导入新课1．旧知回顾．教师：（1）上节课学习了图形的全等，回忆一下什么是全等三角形？（2）（参看幻灯片）如图，如果△ABC≌△DEF,那么它们的（）相等，（）相等。

即满足：AB=（），（）=EF,( )=( ), ∠A=( ),( )= ∠E，( )=( )。

2．情境创设教师：要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角有关的条件呢？同学们猜想一下，一定要六个条件都满足时，才会使得两个三角形全等吗？这就是本节课所要研究的问题．（回忆三角形全等的有关知识，以及全等三角形的性质。

以此为出发点启发学生大胆猜想：要判定三角形全等，是否需要三组边、三组角都分别相等，即从条件的数量着手来研究，自然进入本节课的探究活动。

）3．引出课题．（板书：4.3探索三角形全等的条件）（二）合作探究探究点一、探索两个三角形全等需要的条件（课前布置：依据下列要求画出并剪下三角形，标清题号。

在本节课的操作比较中，剪下的三角形可以灵活的移动、叠合，对比结果更加直观，便于观察。

）问题1：只给一个条件作三角形，大家画的三角形一定全等吗？问题2：给出两个条件作三角形，有几种可能的情况？每种情况下大家得到的三角形一定全等吗？（1）三角形一个内角30°，一条边长15CM.（2）三角形两个内角分别为30°和50°。

直角三角形全等的条件

证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD
D
∴∠C=∠D=90°(垂直的定义)
在Rt△ABC和Rt△BAD中
AB BA(公共边)
BC AD
A
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
C B
例2
已知：如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC，
AD是高求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是高
∴∠ADB=∠ADC=90°
2、如图是用两根长度相等的拉线固定电线杆的示意图．其中一根拉到B，另一根拉到C。那么C、
B两端点到D的距离DC和DB的大小有何关系？说明理由。
解： DC = DB
A
在Rt△ABD与Rt△ADC中，
AB= AC AD = AD
BD C
∴Rt△ABD ≌ Rt△ADC （HL）
∴DC = DB
判断两个直角三角形全等的方法有： (1)：SSS ；
(2)： SAS ； (3)： ASA； (4)： AAS； (5)： HL ；
1.判断两个三角形全等的方法有：
(1)：SSS ；
(2)： SAS ； (3)： ASA； (4)： AAS；
如何判定两个直角三角形全等?
你准备添上什么条件就可以证明这两个直角三角形全等呢?
A
A′
B
C
B′
C′
画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 一直角边CA=8cm,斜边AB=10cm.
B
B
∴ ∠B=∠E (全等三角形的对应角相等)
在△ABC和△DEF中
{ ∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E (已证)
E
∴△ABC≌△DEF (ASA)
A PC D QF

数学人教版六年级下册八年级数学—全等三角形的判定---斜边直角边

12.2全等三角形的判定（第课时）—“斜边、直角边”教学设计1.探索和了解直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.2.会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳的方法得出数学结论的过程.充分调动学生的积极性、主动性,增强学生的自信心.【重点】探究直角三角形全等的条件.【难点】灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.【教师准备】多媒体课件,直尺和圆规.【学生准备】直尺和圆规.导入一:【师】三角形全等的判定方法有哪些?【生甲】SSS(三边对应相等的两个三角形全等).【生乙】ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等).【生丙】SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等).【生丁】AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等).【师】有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等?你能通过画图说明理由吗?学生讨论.【教师举例】如图所示,举反例说明了三个角对应相等不能判定两个三角形全等.【师】SSA不能作为定理的根本原因是什么?【生】是AC不能固定,能够左右摆动.如图所示.【师】要是我们能使AC只有一种情况,就能证明全等了,应如何办呢?【生】过A作BC的垂线,则AC就只有一种情况.如图所示.【师】很好,本节课我们就学习两个直角三角形全等的判定定理(板书课题).[设计意图]通过复习和实践的情境导入,让学生产生学习的兴趣,从而能积极地投入到本节课的学习之中.一、“斜边、直角边”判定定理的探究思路一1.出示教材探究5.任意画出一个RtΔABC,使∠C=90°.再画一个RtΔA'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB.把画好的Rt ΔA'B'C'剪下来,放到RtΔABC上,它们全等吗?想一想,怎样画呢?按照下面的步骤做一做(如图所示):画一个RtΔA'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB.(1)画∠MC'N=90°;(2)在射线C'M上截取B'C' =BC;(3)以点B'为圆心,AB为半径画弧,交射线C'N于点A';(4)连接A'B'.ΔA'B'C'就是所求作的三角形吗?学生把画好的ΔA'B'C'剪下来放在ΔABC上,观察这两个三角形是否全等.由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).[知识拓展]对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了,如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形也全等.判定三角形全等的各个条件中,一个必要的条件为至少有一条边对应相等.[设计意图] 通过实际操作，锻炼学生的动手能力。

探索三角形全等的思路归纳

探索三角形全等的思路归纳“探索三角形全等的条件”是三角形的重点，又是进一步学习平面几何的基础.在具体应用三角形全等的识别方法时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了那些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系，从而选择适当的说明方法。

现将探索三角形全等的思路归纳如下：一、已知两边对应相等时的思路思路1：找已知两边的夹角对应相等，利用“SAS ”探索.例1．已知：如图1，AB ＝AC ，AE ＝AD ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．∠B 与∠C 相等吗？为什么？分析：欲知∠B=∠C ，应探索△CAD ≌△BAE. 由于已有AB＝AC ，AE ＝AD ，找一找是否对应边的夹角∠CAD =∠BAE ？它们是公共角. 所以△CAD ≌△BAE ，故∠B 与∠C 相等.思路2：找第三边对应相等，利用SSS 探索.例2．“三月三，放风筝”.图2是小明制作的风筝. 他根据DE = DF , EH = FH ，不用度量，就知道∠DEH =∠DFH. 请你用所学的知识给予证明. 分析：欲知∠DEH =∠DFH ，应探索△DEH ≌△DFH ，为此连结DH. 由于已有DE = DF , EH = FH ，找一找是否第三边DH = DH ？由于它们是公共边，故成立.二、已知有两角对应相等时的思路思路一、找出夹边相等，用（ASA ）例3．如图3，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，，且MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC 的周长。

解析：只要求出CM 和AC 的长即得△ABC 的周长，而△AMN ≌△CMN 可实现这一目的。

因为MN 平分∠AMC ，所以∠AMN=∠CMN ，D E F H 图2E D C B A 图1图3因为MN ⊥AC ，所以∠AMNA=∠CMNC=900，这样有两角对应相等，再找出它的夹边对应相等（MN 为公共边）即可。

在△AMN 和△CMN 中AMN CMN MN MN MNA MNC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以△AMN ≌△CMN （ASA ）所以AC=NC ，AM=CM （全等三角形的对应角相等），AN=2cm,所以AC=2AN=4 cm ，而△ABM 的周长为9cm,所以△ABC 的周长为9+4=13 cm 。

112直角三角形全等的条件HL课件

∟
⑷ 连接A´B´.
M B´
C´
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画 A
一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°，
B´C´=BC，A´B´= AB。
按照下面的步骤画一画
⑴ 作∠MC´N=90°;
B
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC;
⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交
射线C´N于点A´; ⑷ 连接A´B´.
答：全等，根据ASA
思考：
B
A
C
如图，△ABC中，∠C =90°，
直角边是__B__C_、_A__C__，斜边是__A_B___。
我们把直角△ABC记作 Rt△ABC。
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形适用。
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL） ∴ DA=EB （全等三角形对应边相等）
3.已知: AB BD, ED BD,C是BD上一点且AC EC, AC EC 求证：BD AB ED
A
E
BC
D
判断两个直角三角形全等的方法有： (1)：SSS ；
(2)： SAS ； (3)： ASA； (4)： AAS； (5)： HL ；
已知∠ACB =∠ADB=90，要证明 △ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？写出这些条件，并写出判定全等的理由。
（1）（2）（3）（4）
AD=BC BD=AC ∠ DAB= ∠ CBA ∠ DBA= ∠ CAB
（ HL

初中数学知识点精讲精析探索直角三角形全等的条件

5·7 探索直角三角形全等的条件1.判断三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS2.判断直角三角形全等的方法上述判定两三角形全等的方法对直角三角形同样适用.两直角三角形已具备一个直角对应相等，判定两三角形全等还差二个条件.分别是：二锐角、一边一锐角、二边.两个锐角对应相等的两直角三角形不一定全等。

两锐角对应相等后它们的三个角就对应相等，而三个角对应相等的两个三角形不一定全等.二边对应相等又有两种情况，一种情况是两直角边对应相等，利用SAS可得它们全等，另一种情况是一条直角边和斜边对应相等，这种情况两个直角三角形不一定全等，因为有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.一边和一锐角对应相等的两直角三角形全等.因为两直角三角形已有一个直角对应相等，这样它们就有二个角和一条边对应相等，利用前面学的判定两三角形全等的条件知这两个三角形全等.小结直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜.边、直角边”或“HL”1. 如图所示，已知：AC⊥BC，BD⊥AD，如果要得到△ABC≌△BAD，还需要补充一个条件，请你完成，至少写出3个不同的答案.补充的一个条件可以为：2. 如图所示，有一个Rt △ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过A 点且垂直于AC 的射线AE 上运动，问P 点运动到什么位置时，才能使△ABC 和△APQ 全等？点拨：要使△ABC 和△APQ 全等，由∠C=∠EAC=90°，已知这两个三角形都是直角三角形，又由AB=PQ ，根据“HL ”要判定两个三角形全等，只需AP=BC ，即P 是AC 的中点.【解析】∴P 为AC 的中点 ∴P 点运动到AC 的中点时，才能使△ABC ≌△QPA3. 如图所示，已知△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 边的中点.（1）D 到AB ，AC 的距离相等吗？为什么？（2）连结AD ，△AED 与△AFD 全等吗？为什么？（）1∠=∠CAB DBA （）2∠=∠CBA DAB （）3AC BD =（）4BC AD =C P A ∆∆ABC QPA PQ AB ≅=，∴=AP BC ()全等三角形的对应边相等又 BC =5∴=AP 5 AC =10∴==AP PC AC 12（3）如果P 点是AD 上的一个动点，那么P 到AB ，AC 的距离相等吗？为什么？【解析】（1）D 到AB ，AC 的距离相等理由：过D 点作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。

探索三角形全等的条件(HL)光明实验学校孙老师

A
B
C
练习
如图AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、 D，AC＝BD，Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？为什么？
2、如图，AB＝DF，CF＝EB， AC⊥CE，DE⊥CE，垂足分别为C、E， △ABC与△DFE全等吗？为什么？
D
3、已知：如图，AD为△ABC的高，BF交 AD于F，且BF＝AC，FD＝CD，试猜想BF 与AC关系如何？并证明你的结论.
1、使两个直角三角形全等的条件是（） A、一个锐角对应相等B、两个锐角对应相等 C、一条边对应相等 D、两条边对应相等 2、如图，在△ABC中，D为BC中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且 DE＝DF，试说明：AB＝AC.
独立训练
五、总结反思
1、证明两直角三角形全等应注意判定方法的选择. 2、引导学生关注‚HL‛的文字语言和图形语言相互转化.
如图，已知BE、CF是△ABC的高，且BP＝ AC，CQ＝AB，则AP⊥AQ吗？为什么？
拓展延伸
作用：用于判定两个直角三角形全等，进而解决有关线段或角度相等问题.
议一议
1、在图中，如果改变点C在OP上的位置，那么△AOC与△BOC仍然全等吗？AC=BC吗？
2、你能发现什么结论？
M A C O B P N
例题讲解
例1.如图，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°， BD和BC是否相等？并说明理由. D
结论：
知识梳理
符号语言：如图，在Rt△ABC 与Rt△A'B'C'中 AB＝A'B' ∵ BC＝B'C' ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成‚斜边、直角边‛或 ‚ HL” 剖析

直角三角形面积相等的必备条件

直角三角形面积相等的必备条件
①边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)。

②角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。

③角边角公理的推论:有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)。

④边边边公理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

⑤斜边、直角边公理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)。

利用三角形的全等可以得到四边形的许多性质;可以证明线段或角的相等;它还是三角形作图的理论根据。

证明直角三角形全等的条件

直角三角形全等的条件有哪些
直角三角形全等，方法如下：
当两个直角三角形三条边对应相等时，这两个直角三角形就全等。

当两个直角三角形，如果有两条边对应相等，且这两条边之间的角也对应相等时，这两个直角三角形也是全等的。

两个直角三角形，如果有两个角对应相等，且这两个角之间的一条边，或一个角的对边对应相等时，这两个直角三角形还是全等的。

两个直角三角形，如果斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等。

《探索直角三角形全等的条件》教学设计

《探索直角三角形全等的条件》教学设计
徐杰
【期刊名称】《黑河教育》
【年(卷),期】2011(000)005
【摘要】@@ 教学目标rn知识与技能:掌握直角三角形全等的条件,并能解决一些实际问题.rn过程与方法:通过尺规作图,获得判断直角三角形全等的特殊条件,了解全等三角形在实际生活中的应用.
【总页数】1页(P44)
【作者】徐杰
【作者单位】黑河市第四中学
【正文语种】中文
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5.探索直角三角形全等的条件说课
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《直角三角形全等的判定》参考教案

三角形全等的判定（四）直角三角形全等的判定教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学过程Ⅰ．提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）Ⅱ．导入新课（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a<c) 和一个直角α利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c ，CB= a1、按步骤作图： a c①作∠MCN=∠α=90°，②在射线CM上截取线段CB=a，③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，α④连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）（二）巩固练习：1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。