北京市潞河中学2017-2018学年高二文数学期末试题(解析版)

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北京市2018年潞河中学高二年级期末考试卷

本试卷共分为两部分。

第一部分选择题，四道大题（共75 分）；第二部分非选择题，两道大题（共25分）。

第一部分选择题（共75 分）一、听力理解(共15 小题，15 分)第一节：听下面八段对话或独白，从各题A、B、C 三个选项中，选出能回答问题的最佳答案。

每段对话或独白你将听两遍。

听下面一段对话，回答第1 题。

1. Where is the man going?A. To the cinema.B. To the park.C. To the classroom.听下面一段对话，回答第2 题。

2. Where does the conversation take place?A. In a hotelB. In a cinema.C. in a supermarket.听下面一段对话，回答第3 题。

3. What happened to the man?A. He had a car accident.B. He broke his leg.C. He fell into a lake.听下面一段对话，回答第4 题至第5 题。

4. Why is the woman late?A. She started late.B. She had a car accident.C. She went to a wrong place.5. What’s the relationship between the two speakers?A. Host and guest.B. Husband and wife.C. Father and daughter.听下面一段对话。

回答第6 题至第7 题。

6. How did the man get the dog?A. He bought it.B. He got it from his father.C. His neighbour gave it to him.7. What can the dog do?A. Shake hands.B. Hunt with the man.C. Look after the children.听下面一段对话，回答第8 题至第9 题。

2017-2018学年北京市东城区高二(下)期末数学试卷及答案(文科)

2017-2018学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则A∩B＝（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，1，2，3} 2．（3分）在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A．（1，2）B．（1，）C．（）D．（1，﹣2）3．（3分）如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（）A．B．C．D．4．（3分）下面几个推理过程是演绎推理的是（）A．在数列{a n}中，根据a1＝1，，计算出a2，a3，a4的值，然后猜想{a n}的通项公式B．某校高二共8个班，一班51人，二班52人，三班52人，由此推测各班人数都超过50人C．因为无限不循环小数是无理数，而π是无限不循环小数，所以π是无理数D．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质5．（3分）函数在定义域内的零点个数为（）A．0B．1C．2D．36．（3分）已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．﹣e C．D．﹣7．（3分）“a3＞b3”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”，首先应该（）A．假设直线AC，BD是共面直线B．假设直线AC，BD是相交直线C．假设直线AC，BD是平行直线D．假设直线AC，BD互相垂直9．（3分）使不等式成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，+∞）10．（3分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c＝0，则（）A．∀x∈（0，1），都有f（x）＞0B．∀x∈（0，1），都有f（x）＜0C．∃x0∈（0，1），使得f（x0）＝0D．∃x0∈（0，1），使得f（x0）＞011．（3分）给出下列四个命题：①函数y＝a x（a＞0且a≠1）与函数的定义域相同；②函数与函数y＝3x的值域相同；③函数y＝|x+1|与函数y＝2x+1在区间[0，+∞）上都是增函数；④函数与函数y＝|log2x|都有对称中心．则正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①③12．（3分）已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且y＝f'（x）的图象关于y轴对称，f'（3）＝0，若f（x）的极大值与极小值之和为4，则f（0）＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知函数f（x）＝sin x的导函数为f'（x），则＝．14．（3分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数z＝i（a﹣i），|z|＝2，则a＝．15．（3分）观察下列等式：1＝1；1﹣4＝﹣（1+2）；1﹣4+9＝1+2+3；1﹣4+9﹣16＝﹣（1+2+3+4）……根据上述规律，第6个式子为；第n个式子为．16．（3分）已知f（x）＝x2，能够说明“存在函数y＝g（x），当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，且f（x）•g（x）单调递减是真命题的一个g（x）为．17．（3分）函数，若存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≤a，则实数a的取值范围是．18．（3分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是y＝f（x）的导数，f''（x）是y＝f'（x）的导数，若f''（x）＝0有实数解x0，则称x0是函数y＝f（x）的拐点，经过研究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心．若，则f''（x）＝；＝．三、解答题（本题共4小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2+b，b∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，3），试确定b 的值并求该切线方程；（Ⅱ）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值．20．（12分）已知函数y＝f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间；（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．21．（12分）已知k∈R，k≠0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x（x∈R）（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求k的值；（Ⅱ）当k＜0时，试判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（Ⅲ）证明：当k＞0时，y＝f（x）是轴对称图形，且其对称轴方程为．22．（12分）若函数f（x）在定义域内存在x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质P，集合M是具有性质P的函数f（x）的全体．（Ⅰ）若函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）＝e x﹣x2，试说明f（x）∈M，并求使得f（x）具有性质P的x0的个数．2017-2018学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{0，2，4，6}，则A∩B＝{0，2}．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【解答】解：在复平面内，复数＝1+＝1﹣2i对应的点的坐标是（1，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则及其几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】BG：变量间的相关关系．【解答】解：根据题意，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的散点图，必须是散点分步比较集中，且大体接近某一条直线的，分析选项4个散点图可得，A中的散点杂乱无章，最不符合条件，故选：A．【点评】本题考查散点图，要求学生会根据散点图，分析数据的特征是基础题．4．【考点】F5：演绎推理．【解答】解：∵A与B都是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D：由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；故选：C．【点评】本题考查简单的演绎推理，易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念，属于基础题．5．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：函数在定义域{x|x＞﹣1且x≠0}内的零点个数，即为f（x）＝0，即y＝ln（x+1）和y＝的图象交点个数，作出y＝ln（x+1）和y＝的图象，可得有两个交点，故选：C．【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，考查转化思想和数形结合思想方法，属于基础题．6．【考点】62：导数及其几何意义；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：设切点坐标为（a，lna），∵y＝lnx，∴y′＝，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna＝（x﹣a），将（0，0）代入可得lna＝1，∴a＝e，∴切线的斜率是＝；故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．7．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：“a3＞b3”等价于a＞b，“”等价于a＞b＞0，“a3＞b3”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件与充要条件的概念及应用，理解掌握这些概念是判断的关键，属于基础题．8．【考点】FC：反证法．【解答】解：用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”应假设直线AC、BD是共面直线，故选：A．【点评】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的否定，是解题的突破口．9．【考点】7E：其他不等式的解法．【解答】解：根据题意，⇒，解可得：0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1）；故选：C．【点评】本题考查不等式的解法，关键是掌握常见不等式的解法，属于基础题．10．【考点】2H：全称量词和全称命题；51：函数的零点；52：函数零点的判定定理．【解答】解：因为函数f（x）＝ax2+bx+c，且a＞b＞c，所以二次函数的开口方向向上，并且c＜0，f（0）＝c＜0，又a+b+c＝0，所以f（1）＝a+b+c＝0，由零点判定定理，可知，∀x∈（0，1），都有f（x）＜0．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．11．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于①，函数y＝a x（a＞0且a≠1）的定义域为R，函数即y＝x，则①的定义域相同，故①对；对于②，函数的值域为[0，+∞），函数y＝3x的值域为（0，+∞），故②错；对于③，函数y＝|x+1|在（0，+∞）递增，函数y＝2x+1在区间[0，+∞）上递增，故③对；对于④，函数即y＝1+关于点（1，1）对称，函数y＝|log2x|在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，且函数y≥0，则y＝|log2x|无对称中心，故④错．故选：D．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是函数的定义域、值域和单调性、对称性的判断，考查化简能力和判断能力，属于基础题．12．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且y＝f'（x）的图象关于y轴对称，f'（3）＝0，则f'（﹣3）＝0，可设导函数为：f'（x）＝ax2﹣9a，函数的解析式设为：f（x）＝ax3﹣9ax+b，若f（x）的极大值与极小值之和为4，则f（3）+f（﹣3）＝4，可得：9a﹣27a﹣9a+27a+2b＝4，解得b＝2．则f（0）＝b＝2．故选：A．【点评】本题考查函数的极值以及函数的导数的应用，函数的奇偶性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．【考点】63：导数的运算．【解答】解：f′（x）＝cos x；∴．故答案为：0．【点评】考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法．14．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【解答】解：z＝i（a﹣i）＝1+ai，由|z|＝2，得，得a＝．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．15．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：由等式：1＝1，1﹣4＝﹣（1+2），1﹣4+9＝（1+2+3），1﹣4+9﹣16＝﹣（1+2+3+4），…可见第n个等式左侧是通项为（﹣1）n+1n2的前n项和，右侧为（﹣1）n+1（1+2+3+…+n），所以第6个式子为：1﹣4+9﹣16+25﹣36＝﹣（1+2+3+4+5+6）第n个等式为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1n2＝（﹣1）n+1（1+2+3+…+n）．故答案为：1﹣4+9﹣16+25﹣36＝﹣（1+2+3+4+5+6），1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1n2＝（﹣1）n+1（1+2+3+…+n）．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：根据题意，存在g（x）＝﹣，满足当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，且f（x）•g（x）＝﹣x，也是减函数，故答案为：g（x）＝﹣，（答案不唯一）【点评】本题考查函数单调性的性质与应用，注意结合常见函数的单调性进行分析，属于基础题．17．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：函数，可得﹣1≤x≤1时，f（x）递增，可得f（x）∈[，2]；1＜x≤2时，f（x）递减，可得f（x）∈[1，2），则f（x）在[﹣1，2]的最小值为，存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≤a，可得a≥，故答案为：a≥．【点评】本题考查分段函数的最值求法，考查存在性问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．18．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：由f（x）＝x3﹣x2+x，得f′（x）＝3x2﹣3x+，∴f′′（x）＝6x﹣3，由6x﹣3＝0得x＝，∴f（）＝0，∴f（x）的对称中心为（，0），∴f（1﹣x）+f（x）＝0，∴＝0，故答案为：6x﹣3，0．【点评】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题．三、解答题（本题共4小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（I）由已知得f'（x）＝﹣3x2+2x，f'（1）＝﹣1，故此切线方程为y＝﹣x+3，将x＝1代入切线方程得y＝2将（1，2）带入f（x）得b＝2（4分）（II）令f'（x）＝﹣3x2+2x＝0，解得x＝0，或（6分）当x＜0或时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．在时，f（x ）取得极大值，；又，所以当上的最大值为，即，解得（10分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．20．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】本题满分（12分）解：（I）由已知f（﹣2）＝﹣f（2），2∈（0，3]，所以（4分）（II）函数y＝f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，，单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）（8分）（III ）由，且0＜x≤3，解得又f（x ）为奇函数，可得另一个零点为综上：f（x ）的零点为和（12分）【点评】本题考查分段函数的应用幂函数的奇偶性以及函数值的求法，函数的零点的求法，考查计算能力．21．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（I）若f（x）为偶函数，则一定有f（1）＝f（﹣1），即解得k＝1（13分）第11页（共13页）（II）①因为，x∈R当k＜0时，，ln2＞0，所以f'（x）＞0在R上恒成立，即f（x）在R上单调递增（8分）②注：这里还可以利用函数单调性定义证明．任取x1，x2∈R，且x1＜x2则因为x1＜x2，所以，又k＜0，所以，所以f（x2）﹣f（x1）＞0即f（x）在R上单调递增；（III）当k＞0时，，因为，所以f（log2k﹣x）＝f（x）对任意x都成立，故y＝f（x ）是轴对称图形，其对称轴方程为（12分）【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．22．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（I）因为函数，存在x0∈R，使得即有实根故当a＝2时，符合题意；当a≠2时，由△≥0，得a2﹣6a+4≤0，得且a≠2综上：实数a 的取值范围是（5分）第12页（共13页）（II）函数f（x）＝e x﹣x2时，（8分）设g（x）＝e x（e﹣1）﹣2x﹣e，g'（x）＝e x（e﹣1）﹣2令g'（x）＝0，存在当x＞t时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜t时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＝t时，g'（t）＝0，g（x）取得最小值．因为，所以，所以又因为g（4）＞0，g（﹣2）＞0，故函数f（x）∈M且存在两个x0的值，使得f（x）具有性质P（12分）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．第13页（共13页）。

2017-2018学年北京市通州潞河中学高二上学期期中考试数学(文)试题解析版

2017-2018学年北京市通州潞河中学高二上学期期中考试数学（文）试题解析版第I 卷（选择题共40分）一、选择题（每小题5分，8道题，共40分）1．已知直线m 、n 与平面α、β，下列说法正确的是（）． A ．m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥B ．m α⊥，n β∥且αβ⊥，则m n⊥C ．m αβ= ，n m ⊥且αβ⊥，则m α⊥D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥【答案】D【解析】A ．m α∥，n β∥且αβ∥，m 与n 可以平行，相交或异面，故A 错误；B ．m α⊥，n β∥且αβ⊥，m 与n 可以平行，相交或异面，故B 错误；C ．m αβ= ，∴m α⊂，n m ⊥不能推出n α⊥，只有当n 垂直于α内两条相交直线才能推出n α⊥．故选D ．2．如果两条直线1:260l ax y ++=与2:(1)30l x a y +-==平行，则a =（）．A ．1-B ．2C ．1-或2D ．23【答案】A【解析】1e 与2e 平行的充要条件：(1)20236(1)0a a a --=⎧⎨⨯--≠⎩，∴1a =-．故选A ．3．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +-++=外切，则m =（）．A ．21B ．19C ．9D ．11-【答案】C【解析】圆1C 的圆心(0,0)，11r =，圆2C 的圆心(3,4)-，将2C 化作标准方程22(3)(4)25x y m -++=-， ∵两圆外切，∴221212||3(4)5r r C C +==+-=， ∴2254r m =-=，∴9m =．故选C ．4．已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（）．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】∵(,)a b 在圆221x y +=外， ∴221a b +>，圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离221d a b=+，∵221a b +>，∴1d <，故直线与圆相交，．故选B ．5．若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是（）．俯视图主视图322A ．4B ．4410+C ．8D ．4411+【答案】B【解析】由三视图还原该四棱锥的直观图如下：正方形ABCD 对角线长为22， ∴底面边长为2，∴正方形ABCD 的面积为4，四棱锥侧面积是4PAB S △，∵四棱锥高为3， ∴斜高为9110+=，∴表面积14421044102=+⨯⨯⨯=+．故选B ．CBDAP6．已知点A 在圆22(5)(3)9x y -+-=上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（）．A ．9B ．8C ．5D ．2【答案】D【解析】由已知圆半径3r =，从圆心向直线3420x y +-=作垂线，则垂线段与圆的交点A 即为所求距离最小时的点A ，圆心(5,3)到3420x y +-=的距离22|35432|534d ⨯+⨯-==+，∴A 到3420x y +-=的最小距离为2d r -=．故选D ．7．已知A 、B 为圆22(1)4x y +-=上关于点(1,2)P 对称的两点，则直线AB 的方程为（）．A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．370x y +-=D ．310x y --=【答案】A【解析】记圆心为(0,1)C ，由题意CP AB ⊥， 21110CP k -==-， ∴1AB k =-，又∵AB 过(1,2)P ，∴AB 方程为2(1)y x -=--即30x y +-=．8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P ，Q ，R 分别是1AA 、11A B 、11A D 的中点，以PQR △为底面作正三棱柱，若次三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱锥的高为（）．A ．22B ．33C ．32D ．233【答案】C 【解析】PEGQRDBB 1AC C 1A 1D 1F连结AC ，1A C ，1B C ，1D C 分别取AC ，1B C ，1D C 中点E ，F ，G ，连结EF ，EG ，FG ，在1AAC △中，112PE AC ∥，同理112RG AC ∥，112FG AC ∥，又∵1AC ⊥平面PQR ，∴多面体PQR EFG -是符合题意的正三棱柱，PE 为其高， 13AC =， ∴32PE =．故选C ．第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，6道题，共30分）9．直线2y kx k =++（期中k ∈R ）过定点__________．【答案】(1,2)-【解析】将直线方程整理为点斜式2(1)y k x -=+可看出直线过(1,2)-．10．已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__________．211123俯视图侧视图正视图3【答案】32【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，其底面积为133122⨯⨯=，高为3，∴体积为1333322⨯⨯=．11．已知点(3,5)A ，(1,)B x -，(4,7)C 三点共线，则x =__________．【答案】3-【解析】由已知，AC 直线存在斜率75243AC k -==-， ∴552134AB x xk --===--， ∴3x =-．12．已知直线:210l x y --=和圆22:210C x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦长AB =__________．【答案】2305【解析】由圆C 方可知其圆心坐标为(0,1)，半径2r =，弦心距22|2011|25521d ⨯--==+， ∴224230||22255AB r d =-=-=．13．过点(2,4)P 引圆22(1)(1)1x y -+-=的切线，则切线方程为__________．【答案】2x =或4340x y -+= 【解析】圆心坐标(1,1)，半径1r =， ∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离1d r ==，若直线无斜率，其方程为2x =符合题意，若直线存在斜率，设其方程为4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，22|142||3|111k k k d k k -+--===++，解得43k =． ∴切线方程为2x =或4340x y -+=．14．已知实数x ，y 满足22650x y x +++=，则1yx -的最大值为__________．【答案】33【解析】1yx -可看作圆上的点与(1,0)连线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， ∴设直线方程(1)y k x =-，圆心(3,0)-，半径2r =，圆心到直线距离2|4|21k d k-==+，∴33k =±， ∴最大值为33．三、解答题（6道题，共80分）15．（1分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为棱1CC 的中点．ED 1A 1C 1CAB 1BD（1）证明：1AC ∥平面BDE ．（2）证明1AC BD ⊥．【答案】见解析．【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于F ，连结EF ，正方形ABCD 中，AC 与BD 互相平分， ∴F 为AC 中点，在1ACC △中，∵E ，F 分别为1CC 与AC 中点， ∴112EF AC ∥，∵EF ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ， ∴EF ∥平面BDE ．FDBB 1ACC 1A 1D 1E（2）证明：在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中， 1CC ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ， ∴1CC BD ⊥， ∵1AC CC C = ，∴BD ⊥平面1ACC ， ∵1AC ⊂平面1ACC ， ∴1AC BD ⊥．16．（12分）已知点(2,1)A -．（1）求过点A 且与原点的距离为2的直线l 的方程．（2）求点A 关于直线1:2430l x y --=的对称点A '的坐标．【答案】（1）2x =或34100x y --=．（2）(1,1)．【解析】（1）若直线l 无斜率，则其方程为2x =，与原点距离为2，符合题意．若l 有斜率，设其方程为1(2)y k x +=-，原点到其距离2|21|21k d k +==+，解得34k =，此时方程为34100x y --=．（2）设A '坐标为00(,)x y ，则线段AA l '⊥， 1l 斜率为12， ∴AA '的斜率为2-，即00122y x +=--①，又∵A 与A '关于1l 对称，∴线段AA '的中点在1l 上1AA 中点坐标为0021,22x y +-⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入1l 方程0021243022x y +-⋅-⋅-=②，由①，②得01x =，01y =， ∴A '坐标为(1,1)．17．（14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ．112AA AC AC ===，1BC =，且AC BC ⊥，点D 、E 、F 分别为AC 、AB 、11AC 的中点．EFABCA 11B 1D（1）求证：1A D ⊥平面ABC ．（2）求证EF ∥平面11BB C C ．（3）求四棱锥111A BB C C -的体积．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵11AA AC =，D 为AC 中点， ∴1A D AC ⊥，∵平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =， 1A D ⊂平面11AAC C ，∴1A D ⊥平面ABC ．（2）取11B C 中点G ，连结FG ，BG ， ∵F 是11AC 中点， ∴1112FG A B ∥，∵1112EB A B ∥，∴FG BE ∥，∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF BG ∥， ∵BG ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ，∴EF ∥平面11BB C C ．G D B 11A 1CBAFE（3）设四棱锥111A BB C C -的体积为V ，棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱锥1A ABC -的体积为2V ，则12V V V =-， ∵AC BC ⊥， ∴1121122ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=△，由（1）可知，1A D ⊥平面ABC ，∴棱柱111ABC A B C -与棱锥1A ABC -的高均为1A D ， ∵112AC AC AA ===，1AD =， ∴13A D =，∴11133ABC V S A D =⨯=⨯=△， 211333ABC V S A D =⨯⨯=△，∴12233V V V =-=．18．（15分）根据下列条件求圆的方程．（1）(1,1)A -，(2,2)B ，(1,3)C ，三角形ABC 的外接圆．（2）圆心在直线2y x =-上，且与直线1y x =-相切于点(2,1)-．（3）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为27．【答案】（1）2230x y x y +--=．（2）22(1)(2)2x y -++=．（3）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．【解析】（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(1,1)A -，(2,2)B ，(1,3)C ，代入圆方程2228310D E F D E F D E F -++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，解得130D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴圆方程为2230x y x y +--=．（2）由已知：过点(2,1)-且与直线1:1l y x =-垂直的直线2l 与直线3:2l y x =-的交点即为圆心．∵12l l ⊥，∴2l 斜率为1，其方程为12y x +=-，即3x y -=，联立2l 与3l ：32x y y x -=⎧⎨=-⎩，解得圆心坐标为(1,2)-， ∴圆半径22(12)(21)2r =-+-+=，∴圆方程为22(1)(2)2x y -++=．（3）∵圆心在3y x =上，∴设圆心坐标为(,3)m m ，又∵圆与x 轴相切，∴半径|3|r m =，弦心距|3|2||2m m d m -==，又∵227r d =+即22927m m =+，∴1m =±，∴圆方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．19．（14分）在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，AC BC ⊥，D 为AB 的中点，M 为PD 的中点，N 在棱BC 上．N MDCBAP（1）当N 为BC 的中点时，证明：DN ∥平面PAC ．（2）求证：PA ⊥平面PBC ．（3）是否存在点N 使得MN ∥平面PAC ？若存在，求出CN CB 的值，若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵D ，N 分别为AB ，BC 中点， ∴DN AC ∥，∵AC ⊂平面PAC ，DN ⊄平面PAC ， ∴DN ∥平面PAC ．（2）证明：∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，又∵BC AC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，∵PA ⊂平面PAC ，∴BC PA ⊥，又∵PA PC ⊥，PC BC C = ，∴PA ⊥平面PBC ．（3）当14CN CB =时，MN ∥平面PAC ．证明：取AD 中点G ，连结GM ，作GN AC ∥交BC 于N ，连结MN ， ∵M ，G 分别为PD ，AD 中点，∴GM PA ∥，∴GM ∥平面PAC ，∵GN AC ∥，∴GN ∥平面PAC ．GN GM G = ，∴平面GMN ∥平面PAC ，∵MN ⊂平面GMN ，∴MN ∥平面PAC ，∴14CN AG CB AB ==． G PAB CD MN20．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ．90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =，M ，N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点． N P MB 1C 1A 1CB A（1）求证：平面APM ⊥平面11BB C C ．（2）若P 为线段1BB 的中点，求证：1A N ∥平面APM ．（3）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的值，若不能垂直，请说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：由已知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1CC ⊥平面ABC ，∵AM ⊂平面ABC ，∴1CC AM ⊥，∵AC AB =，M 为BC 中点， ∴AM BC ⊥，∵1BC CC C = ，∴AM ⊥平面11BB C C ， ∵AM ⊂平面APM ，∴平面APM ⊥平面11BB C C ．（2）证明：取11B C 中点Q ，连结1A Q ，NQ ，1B C ， ∵N ，Q 分别为1CC ，1BC 中点， ∴112NQ B C ∥，同理112PM B C ∥， ∴NQ PM ∥，∴NQ ∥平面APM ，连结QM ，∵Q ，M 分别为11B C 与BC 中点， ∴11QM CC AA ∥∥，∴四边形1AAQM 为平行四边形，∴1AQ AM ∥，∴1AQ ∥平面APM ，∵1AQ NQ Q = ，∴平面1A NQ ∥平面APM ， ∵1A N ⊂平面1A NQ ， ∴1A N ∥平面APM ．A 1C 1B 1MN QP C BA（3）若1BC ⊥平面APM ，则1BC PM ⊥， ∵190MPB C BP ∠+∠=︒， 1190C BP C BC ∠+∠=︒， ∴1C BC MPB ∠=∠，∴1C BC MPB △∽△， ∵2AC AB ==，90BAC ∠=︒， ∴22BC =，2BM =，∵1C BC MPB △∽△， ∴1C C BM BC BP =即3222BP =， ∴4333BP =>，与P 为棱1BB 上一点矛盾， ∴直线1BC 与平面APM 不能垂直．。

2017-2018学年北京市西城区高二下学期期末考试文数试题-解析版

绝密★启用前北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末考试文数试题一、单选题1．设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意，求得，利用集合的交集的运算，即可得到答案.详解：由题意可得，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合和准确把握集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．下列函数中，定义域为的单调递减函数是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据基本初等函数的性质，逐一判定即可得到答案.详解：由题意，函数在上不是单调函数，所以A不正确；函数在是单调递减函数，在上不是单调函数，所以B不正确；函数在上是单调递减函数，所以C正确；函数的定义域为，所以D不正确，综合可知，只有函数在上是单调递减函数，故选C.点睛：本题主要考查了函数的单调性的判定，其中熟记基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：利用复数的运算法则，求解，再根据复数的表示，即可得到答案.详解：由题意，复数，所以在复平面内对应点的坐标为，所以复数对应的点位于第三象限，故选C.点睛：本题主要考查了复数的运算与复数的表示，其中熟记复数的四则运算法则和复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．如果，那么下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据幂函数的单调性，即可判定得到答案.详解：当时，此时，但，且，所以A、C不正确；由函数为单调递增函数，当时，，所以D不正确，由函数是上的单调递增函数，所以当时，成立，所以B是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了不等式的比较大小问题，其中熟记幂函数的单调及其应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的属于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意，执行循环结构的程序框图，根据二次函数的性质，求解函数的值域，即可得到结果.详解：由题意，根据给定的程序框图可知：输入，不满足判断条件，计算，满足条件，计算的值域，输出，故选D.点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．6．已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因函数的定义域是,故,是充分条件；反之,若,则函数不一定是奇函数,不是必要条件,如函数,应选A.考点：充分必要条件.7．若，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据对数及其对数的运算的性质，利用作差比较法，即可得到的大小关系.详解：由题意，，则，所以，又由，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了对数式的比较大小问题，其中熟记对数的运算及对数函数的图象与性质，合理采用作差比较法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想方法的应用.8．某电影院共有个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人(同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一-场).已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么的可能取值有( )A. 12个B. 11个C. 10个D. 前三个答案都不对【答案】A【解析】分析：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则，依次验证即可得到答案.详解：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则，当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有12人在同一座位上；当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有11人在同一座位上；当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有1人在同一座位上；当时，则甲乙丙中学的学生可以没有人在同一座位上；所以当有取法，即有12个取值，故选A.点睛：本题主要考查了适应应用问题，其中解答中正确理解题意，合理选择方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知命题，则__________.【答案】.【解析】分析：根据全称命题和存在性命题的关系，即可作出命题的否定.详解：由题意，根据全称命题与存在性命题的关系可知：命题：“”的否定：“”.点睛：本题主要考查了命题的否定，其中熟记全称命题存在性命题的关系是正确作出改写的关键，着重考查了推理与论证能力.10．曲线在处切线的斜率为__________.【答案】.【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.11．当时，函数的最小值为__________.【答案】3.【解析】分析：由题意，函数化为，利用基本不等式的求解，即可得到答案.详解：由题意，函数，当且仅当，即取得等号，所以函数的最小值为.点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中熟记基本不等式的使用条件和合理对函数作出化简，构成基本不等式的使用条件是解答的关键，利用着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.12．已知实数满足，则__________.【答案】4.【解析】分析：由题意得出，再利用对数的运算公式化简，即可得到结果.详解：由题意满足，则，则.点睛：本题主要考查了实数指数幂的运算和对数的运算的综合应用，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.13．若函数则__________；使得方程有且仅有两解的实数的取值范围为__________．【答案】0..【解析】分析：要使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解.详解：由题意，函数，则，要使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，如图所示，结合图象可知，要使的方程有且仅有两解，只需，即实数的取值范围是.点睛：本题考查了分段的求值和分段函数的图象的应用，其中解答中把使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，是解答的关键，着重考查了数形结合思想和转化思想方法的应用.14．某个产品有若千零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序必须要在工序完成后才能开工，则称为的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下：现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__________小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.【答案】8.【解析】分析：由题意，根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品，确定好加工顺序，即可得到答案.详解：由题意，可确定如图所示的加工顺序，如图所示，可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品，要完成该产品的最短加工时间为8小时.点睛：本题主要考查了实际应用问题，其中解答中正确理解题意，分析工艺的流程，确定好加工的顺序，得出加工顺序的图形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.三、解答题15．已知函数，且.(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)写出能够说明“任给，”是假命题的一组的值.【答案】(1)-1.(2) 答案不唯一，如.【解析】分析：（Ⅰ）解：由题意，解得，确定函数的解析式，即可求解；(Ⅱ)根据对数函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，即可得出其中一组解.详解：（Ⅰ）解：由题意，所以，即.则.(Ⅱ)解：答案不唯一，如.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质以及对数的基本运算，其中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16．已知函数，其中.(Ⅰ)若，解不等式；(Ⅱ)记不等式的解集为，若，求的取值范围.【答案】(1) ，或.(2) .【解析】分析：（Ⅰ）解：由题意，当时，得不等式，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集；(Ⅱ) 由不等式的解集为，且，得，即，分类讨论，即可求解实数的取值范围.详解：（Ⅰ）解：由题意，得不等式，解得，或.所以不等式的解集为，或.(Ⅱ)解：因为不等式的解集为，且，所以，即当时，不等式不成立；当时，不等式等价于，解得.综上，的取值范围是.点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次函数的应用，其中熟记一元二次不等式的解法和一元二次函数的图像与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力和转化思想方法的应用.17．设，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅰ）求满足的关系；（Ⅱ）求证:.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】分析：(Ⅰ)求导，得，由题意可得，即可得到答案；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，可得函数，求得，分类讨论得出函数的单调性，即可证得结论.详解：(Ⅰ)解：求导，得.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以.即(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，得，即.所以，.当时，得当时，，此时，函数在上单调递增，这与题意不符.当时，随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.因为函数在区间上点掉递增，在区间上单调递减，所以时符合题意.综上，.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中熟记导函数与原函数的关系，准确运算是解答此类问题的关键，同时注意转化思想方法和数形结合思想的应用.18．现行的个税法修正案规定：个税免征额由原来的2000元提高到3500元，并给出了新的个人所得税税率表：例如某人的月工资收入为5000元，那么他应纳个人所得税为：（元）.（Ⅰ）若甲的月工资收入为6000元，求甲应纳的个人收的税；（Ⅱ）设乙的月工资收入为元，应纳个人所得税为元，求关于的函数；（Ⅲ）若丙某月应纳的个人所得税为1000元，给出丙的月工资收入.（结论不要求证明）【答案】(1) （元）.(2) .(3) 丙的月工资收入为11275元.【解析】分析：(Ⅰ)根据题意，利用表格中的要求，即可计算甲的月工资收入为6000元，其应纳的个人所得税；(Ⅱ)根据题意，借助表格总的要求，分别计算收入在不同的范围内的应用的函数解析式，最后利用分段函数表示应纳个人所得税与的函数关系式；（Ⅲ）由（2）中的函数的解析式，即可得到丙的月工资收入.详解：(Ⅰ)解：甲的月工资收入为6000元，其应纳的个人所得税为（元）.(Ⅱ)解：当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.所以（Ⅲ）丙的月工资收入为11275元.点睛：本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，根据题设的要求，找出合适的等量关系，建立函数解析式是解答的挂念，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．设函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：函数不可能存在两个零点.【答案】(1) 存在极小值，不存在极大值.(2)证明见解析.【解析】分析：(Ⅰ)由题意得，因为，所以，进而得出函数的单调性，求解函数的极值；(Ⅱ)由方程，得，由，得，得出函数的单调性与极值，即可判定函数至多在区间存在一个零点，得出结论.详解：(Ⅰ)解：求导，得，因为，所以，所以当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数.故当时，存在极小值，不存在极大值.(Ⅱ)证明：解方程，得.由，得.随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.又因为，所以函数至多在区间存在一个零点；所以，当时函数不可能存在两个零点.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20．已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方.【答案】(1) .(2) .(3)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算和的值，点斜式求出切线方程即可.（Ⅱ）设，并求导.将问题转化为在区间上，恒成立，或者恒成立，通过特殊值，且，确定恒成立，通过参数分离，求得实数的取值范围；(Ⅲ）设，将问题转化为证明，利用函数的导数确定函数最小值在区间，并证明. 即的图象在图象的下方.详解：解：（Ⅰ）求导，得，又因为所以曲线在点处的切线方程为（Ⅱ）设函数，求导，得，因为函数在区间上为单调函数，所以在区间上，恒成立，或者恒成立，又因为，且，所以在区间，只能是恒成立，即恒成立.又因为函数在在区间上单调递减，，所以.(Ⅲ）证明：设.求导，得.设，则（其中）.所以当时，（即）为增函数.又因为，所以，存在唯一的，使得且与在区间上的情况如下：所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，，所以，所以，即的图象在图象的下方.点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参数分离方法. 将的图象在图象的下方，通过构造新函数，转化恒成立是解题关键.。

北京市通州区潞河中学2018-2019学年高二文数学期末试题Word版含答案

北京市通州区潞河中学2018-2019学年上学期期末高二文数学试题本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题爱共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 抛物线28y x=的焦点坐标为（A）(1,0)（B）(0,1)（C）(2,0)（D）(0,2)2. 在复平面内,复数1+ii的对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3. 双曲线2219xy-=的渐近线方程为（A）3y x=±（B）13y x=±（C）y=（D）y=4. 下列三个命题中:①命题“若1x>且1y>,则2x y+>”的逆命题.②命题“若两个三角形面积相等,则它们全等”的否命题.③命题“若a b>,则11a b<”的逆否命题.其中真命题的个数是（A）0（B）1（C）2（D）35. 已知12(2,0),(2,0)F F -,满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为（A ）2213y x -=（B ）2213x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=6. “0m n >>”是“曲线221x y m n+=为焦点在x 轴上的椭圆”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 已知,A B 为双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左右顶点,点M 在双曲线C 上,ABM △是以AM为底边的等腰三角形,且顶角为120,则双曲线C 的离心率为（A （B ）2（C （D 8. 高二年级有甲、乙、丙三个班参加社会实践活动,高二年级老师要分到各个班级带队,其中男女老师各一半,每次任选两个老师,将其中一个老师分到甲班,如果这个老师是男老师,就将另一个老师分到乙班,否则就分到丙班,重复上述过程,直到所有老师都分到班级,则（A ）乙班女老师不多于丙班女老师（B ）乙班男老师不多于丙班男老师（C ）乙班男老师与丙班女老师一样多（D ）乙班女老师与丙班男老师一样多第二部分（非选择题爱共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 9. 命题:p “2001,10x x ∃>->”,则“p ⌝”为______.10. 若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点,则实数p =______.11. 已知ABC !的顶点,B C 均在椭圆2213x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,椭圆的另一个焦点在BC 边上,则ABC !的周长是______.12. 已知(,2)P m 是抛物线2:4C y x =上一点,则______m =;F 为抛物线C 的焦点,则||PF =______.13. 能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为______.14. 在平面直角坐标系xOy 中,动点(,)P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点(1,1)的距离,记点P 的轨迹为C .给出下面四个结论: ①曲线C 关于原点对称; ②曲线C 关于x 轴对称; ③点2(,1)()a a R -∈在曲线C 上;④在第一象限内,曲线C 与x 轴的非负半轴,y 轴的非负半轴围成的封闭图形面积为12. 其中所有正确结论的序号是______.三、解答题(共6小题，共80分。

北京通州潞河中学2017-2018学年高二上学期期中考试数

潞河中学2017-2018-1期中高二数学试题（文科）第I 卷（选择题共40分）一、选择题（每小题5分，8道题，共40分）1．已知直线m 、n 与平面α、β，下列说法正确的是（）． A ．m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥B ．m α⊥，n β∥且αβ⊥，则m n⊥ C ．m αβ=，n m ⊥且αβ⊥，则m α⊥ D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n⊥【答案】D【解析】A ．m α∥，n β∥且αβ∥，m 与n 可以平行，相交或异面，故A 错误；B ．m α⊥，n β∥且αβ⊥，m 与n 可以平行，相交或异面，故B 错误；C ．m αβ=，∴m α⊂，n m ⊥不能推出n α⊥，只有当n 垂直于α内两条相交直线才能推出n α⊥．故选D ．2．如果两条直线1:260l ax y ++=与2:(1)30l x a y +-==平行，则a =（）．A ．1-B ．2C ．1-或2D ．23【答案】A【解析】1e 与2e 平行的充要条件：(1)20236(1)0a a a --=⎧⎨⨯--≠⎩，∴1a =-．故选A ．3．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +-++=外切，则m =（）．A ．21B ．19C ．9D ．11-【答案】C【解析】圆1C 的圆心(0,0)，11r =，圆2C 的圆心(3,4)-，将2C 化作标准方程22(3)(4)25x y m -++=-， ∵两圆外切，∴1212||5r r C C +==，∴24r =，∴9m =．故选C ．4．已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（）．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】∵(,)a b 在圆221x y +=外， ∴221a b +>，圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离d =，1>，∴1d <，故直线与圆相交，．故选B ．5．若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是（）．俯视图A ．4B．4+C ．8D．4+【答案】B【解析】由三视图还原该四棱锥的直观图如下：正方形ABCD对角线长为 ∴底面边长为2，∴正方形ABCD 的面积为4，四棱锥侧面积是4PAB S △，∵四棱锥高为3，∴表面积144242=+⨯⨯+．故选B ．C BDAP6．已知点A 在圆22(5)(3)9x y -+-=上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（）．A ．9B ．8C ．5D ．2【答案】D【解析】由已知圆半径3r =，从圆心向直线3420x y +-=作垂线，则垂线段与圆的交点A 即为所求距离最小时的点A ，圆心(5,3)到3420x y +-=的距离5d ==，∴A 到3420x y +-=的最小距离为2d r -=．故选D ．7．已知A 、B 为圆22(1)4x y +-=上关于点(1,2)P 对称的两点，则直线AB 的方程为（）．A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．370x y +-=D ．310x y --=【答案】A【解析】记圆心为(0,1)C ，由题意CP AB ⊥， 21110CP k -==-， ∴1AB k =-，又∵AB 过(1,2)P ，∴AB 方程为2(1)y x -=--即30x y +-=．8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P ，Q ，R 分别是1AA 、11A B 、11A D 的中点，以PQR △为底面作正三棱柱，若次三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱锥的高为（）．ABCD【答案】C 【解析】PEGQRDBB 1ACC 1A 1D 1F连结AC ，1A C ，1B C ，1D C 分别取AC ，1B C ，1D C 中点E ，F ，G ，连结EF ，EG ，FG ，在1AAC △中，112PE AC ∥，同理112RG AC ∥，112FG AC ∥，又∵1AC ⊥平面PQR ，∴多面体PQR EFG -是符合题意的正三棱柱，PE 为其高，1AC∴PE =故选C ．第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，6道题，共30分）9．直线2y kx k =++（期中k ∈R ）过定点__________．【答案】(1,2)-【解析】将直线方程整理为点斜式2(1)y k x -=+可看出直线过(1,2)-．10．已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__________．俯视图侧视图正视图【答案】32【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，其底面积为133122⨯⨯=，高为3，∴体积为1333322⨯⨯=．11．已知点(3,5)A ，(1,)B x -，(4,7)C 三点共线，则x =__________．【答案】3-【解析】由已知，AC 直线存在斜率75243AC k -==-， ∴552134AB x xk --===--， ∴3x =-．12．已知直线:210l x y --=和圆22:210C x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦长AB =__________．【解析】由圆C 方可知其圆心坐标为(0,1)，半径r弦心距d =，∴||AB =13．过点(2,4)P 引圆22(1)(1)1x y -+-=的切线，则切线方程为__________．【答案】2x =或4340x y -+= 【解析】圆心坐标(1,1)，半径1r =， ∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离1d r ==，若直线无斜率，其方程为2x =符合题意，若直线存在斜率，设其方程为4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，1d ==，解得43k =． ∴切线方程为2x =或4340x y -+=．14．已知实数x ，y 满足22650x y x +++=，则1yx -的最大值为__________．【解析】1yx -可看作圆上的点与(1,0)连线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， ∴设直线方程(1)y k x =-，圆心(3,0)-，半径2r =，圆心到直线距离2d =，∴k =，三、解答题（6道题，共80分）15．（1分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为棱1CC 的中点．ED 1A 1C 1CAB 1BD（1）证明：1AC ∥平面BDE ．（2）证明1AC BD ⊥．【答案】见解析．【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于F ，连结EF ，正方形ABCD 中，AC 与BD 互相平分， ∴F 为AC 中点，在1ACC △中，∵E ，F 分别为1CC 与AC 中点， ∴112EF AC ∥，∵EF ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ， ∴EF ∥平面BDE ．FDBB 1ACC 1A 1D 1E（2）证明：在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中， 1CC ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ， ∴1CC BD ⊥， ∵1AC CC C =，∴BD ⊥平面1ACC ， ∵1AC ⊂平面1ACC ， ∴1AC BD ⊥．16．（12分）已知点(2,1)A -．（1）求过点A 且与原点的距离为2的直线l 的方程．（2）求点A 关于直线1:2430l x y --=的对称点A '的坐标．【答案】（1）2x =或34100x y --=．（2）(1,1)．【解析】（1）若直线l 无斜率，则其方程为2x =，与原点距离为2，符合题意．若l 有斜率，设其方程为1(2)y k x +=-，原点到其距离2d =，解得34k =，此时方程为34100x y --=．（2）设A '坐标为00(,)x y ，则线段AA l '⊥， 1l 斜率为12， ∴AA '的斜率为2-，即00122y x +=--①，又∵A 与A '关于1l 对称，∴线段AA '的中点在1l 上1AA 中点坐标为0021,22x y +-⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入1l 方程0021243022x y +-⋅-⋅-=②，由①，②得01x =，01y =， ∴A '坐标为(1,1)．17．（14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ．112AA AC AC ===，1BC =，且AC BC ⊥，点D 、E 、F 分别为AC 、AB 、11AC 的中点．EFBCA 11B 1D（1）求证：1A D ⊥平面ABC ．（2）求证EF ∥平面11BB C C ．（3）求四棱锥111A BB C C -的体积．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵11AA AC =，D 为AC 中点， ∴1A D AC ⊥，∵平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A D ⊂平面11AAC C ，∴1A D ⊥平面ABC ．（2）取11B C 中点G ，连结FG ，BG ， ∵F 是11AC 中点， ∴1112FG A B ∥，∵1112EB A B ∥，∴FG BE ∥，∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF BG ∥， ∵BG ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ，∴EF ∥平面11BB C C ．GD B 11A 1CBFE（3）设四棱锥111A BB C C -的体积为V ，棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱锥1A ABC -的体积为2V ，则12V V V =-， ∵AC BC ⊥， ∴1121122ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=△，由（1）可知，1A D ⊥平面ABC ，∴棱柱111ABC A B C -与棱锥1A ABC -的高均为1A D ， ∵112AC AC AA ===，1AD =，∴1A D∴111ABC V S A D =⨯=△2113ABC V S A D =⨯⨯=△∴12V V V =-=18．（15分）根据下列条件求圆的方程．（1）(1,1)A -，(2,2)B ，(1,3)C ，三角形ABC 的外接圆．（2）圆心在直线2y x =-上，且与直线1y x =-相切于点(2,1)-．（3）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为【答案】（1）2230x y x y +--=．（2）22(1)(2)2x y -++=．（3）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．【解析】（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(1,1)A -，(2,2)B ，(1,3)C ，代入圆方程2228310D E F D E F D E F -++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，解得130D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴圆方程为2230x y x y +--=．（2）由已知：过点(2,1)-且与直线1:1l y x =-垂直的直线2l 与直线3:2l y x =-的交点即为圆心．∵12l l ⊥，∴2l 斜率为1，其方程为12y x +=-，即3x y -=，联立2l 与3l ：32x y y x -=⎧⎨=-⎩，解得圆心坐标为(1,2)-，∴圆半径r ，∴圆方程为22(1)(2)2x y -++=．（3）∵圆心在3y x =上，∴设圆心坐标为(,3)m m ，又∵圆与x 轴相切，∴半径|3|r m =，弦心距|d m ，又∵227r d =+即22927m m =+，∴1m =±，∴圆方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．19．（14分）在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，AC BC ⊥，D 为AB 的中点，M 为PD 的中点，N 在棱BC 上．N MDCB AP（1）当N 为BC 的中点时，证明：DN ∥平面PAC ．（2）求证：PA ⊥平面PBC ．（3）是否存在点N 使得MN ∥平面PAC ？若存在，求出CN CB 的值，若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵D ，N 分别为AB ，BC 中点， ∴DN AC ∥，∵AC ⊂平面PAC ，DN ⊄平面PAC ， ∴DN ∥平面PAC ．（2）证明：∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，又∵BC AC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，∵PA ⊂平面PAC ，∴BC PA ⊥，又∵PA PC ⊥，PCBC C =， ∴PA ⊥平面PBC ．（3）当14CN CB =时，MN ∥平面PAC ．证明：取AD 中点G ，连结GM ，作GN AC ∥交BC 于N ，连结MN ， ∵M ，G 分别为PD ，AD 中点，∴GM PA ∥，∴GM ∥平面PAC ，∵GN AC ∥，∴GN ∥平面PAC ．GN GM G =，∴平面GMN ∥平面PAC ，∵MN ⊂平面GMN ，∴MN ∥平面PAC ，∴14CN AG CB AB ==． G PACD MN20．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ．90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =M ，N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．N P MB 1C 1A 1CB A（1）求证：平面APM ⊥平面11BB C C ．（2）若P 为线段1BB 的中点，求证：1A N ∥平面APM ．（3）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的值，若不能垂直，请说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：由已知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1CC ⊥平面ABC ， ∵AM ⊂平面ABC ， ∴1CC AM ⊥，∵AC AB =，M 为BC 中点， ∴AM BC ⊥，∵1BC CC C =，∴AM ⊥平面11BB C C ， ∵AM ⊂平面APM ，∴平面APM ⊥平面11BB C C ．（2）证明：取11B C 中点Q ，连结1A Q ，NQ ，1B C ， ∵N ，Q 分别为1CC ，1BC 中点， ∴112NQ B C ∥，同理112PM B C ∥， ∴NQ PM ∥，∴NQ ∥平面APM ，连结QM ，∵Q ，M 分别为11B C 与BC 中点， ∴11QM CC AA ∥∥，∴四边形1AAQM 为平行四边形， ∴1AQ AM ∥，∴1AQ ∥平面APM ， ∵1AQ NQ Q =，∴平面1A NQ ∥平面APM ， ∵1A N ⊂平面1A NQ ， ∴1A N ∥平面APM ．A 1C 1B 1MNQ P C B A（3）若1BC ⊥平面APM ，则1BC PM ⊥， ∵190MPB C BP ∠+∠=︒， 1190C BP C BC ∠+∠=︒， ∴1C BC MPB ∠=∠， ∴1C BC MPB △∽△， ∵2AC AB ==，90BAC ∠=︒，∴BC =，BM∵1C BC MPB △∽△，∴1C C BM BC BP =∴BP P 为棱1BB 上一点矛盾， ∴直线1BC 与平面APM 不能垂直．。

2017-2018学年北京市通州区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4，5}B．{3}C．{5}D．∅2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝cos x D．f（x）＝（）|x| 3．（5分）曲线y＝x2与y＝2x公共点的个数是（）A．1B．2C．3D．44．（5分）已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）lgx＞lgy”是“＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C27．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，则f（），f（﹣1），f（﹣）的大小关系为（）A．f（）＞f（﹣1）＞f（）B．f（﹣1）＞f（﹣）＞f（）C．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣）D．f（）＞f（﹣）＞f（﹣1）8．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．（5分）函数f（x）＝的定义域是．10．（5分）的值是．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝．12．（5分）已知，tan α＝2，则cosα＝．13．（5分）已知函数f（x）＝cos x，对于[﹣]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2，其中能使f（x1）＜f（x2）恒成立的条件的序号是．14．（5分）已知函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2有且只有一个零点，则a＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15．（13分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求f[f（2）]的值；（Ⅱ）求f（a2+1）（a∈R）的值；（Ⅲ）当﹣4≤x≤3时，求函数f（x）的值域．16．（13分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣sin2x+cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及取得最小值时所对应的x的值；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．17．（13分）已知△ABC的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝．（Ⅰ）若b＝4，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝4，求b，c的值．18．（13分）已知函数f（x）＝log2（4x+1）．（Ⅰ）求f（1）﹣f（﹣1）的值；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+kx（k∈R），当k为何值时，g（x）是偶函数？19．（14分）已知函数f（x）＝（x∈R）是奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性（不用证明）；（Ⅲ）若关于x的不等式f（﹣2x2+1）+f（x2﹣tx）≤0在x∈（1，2）恒成立，求t的最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝e x sin x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若x∈[0，]，f（x）≥ax，求实数a的取值范围．2017-2018学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4，5}B．{3}C．{5}D．∅【解答】解：A∩B＝{3}．故选：B．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝cos x D．f（x）＝（）|x|【解答】解：由于函数f（x）＝是奇函数，故排除A；由于f（x）＝x2是偶函数，但在（0，+∞）上单调递增，故排除B；由于函数f（x）＝cos x是偶函数，但不满足在（0，+∞）上单调递减，故排除C；由于y＝是偶函数，且又在（0，+∞）上单调递减，故D满足条件，故选：D．3．（5分）曲线y＝x2与y＝2x公共点的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：y＝x2与y＝2x公共点的个数即为方程x2﹣2x＝0的解的个数，显然x＝2，x＝4为方程的解，当x＜0时，由y＝x2﹣2x的导数y′＝2x﹣2x ln2＜0，可得函数y在x＜0递减，且x＝﹣1时，y＝1﹣＞0，x＝﹣时，y＝﹣＜0，可得函数y在x＜0只有一个零点，由y＝x2和y＝2x的图象可得它们均为递增函数，可得：它们在x＞0只有两个零点2，4，则曲线y＝x2与y＝2x公共点的个数是3，故选：C．4．（5分）已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α＝，∴sin2α＝﹣，故选：A．5．（5分）lgx＞lgy”是“＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵lgx＞lg y，∴x＞y．∴＞∴lgx＞lg y”是“＞”的充分条件．反之不成立．故选：A．6．（5分）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x+）＝cos（2x+）＝sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，则f（），f（﹣1），f（﹣）的大小关系为（）A．f（）＞f（﹣1）＞f（）B．f（﹣1）＞f（﹣）＞f（）C．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣）D．f（）＞f（﹣）＞f（﹣1）【解答】解：因为f（x）＝x sin x是偶函数，f（﹣1）＝f（1），f（﹣）＝f（），又x∈[0，]时，得f′（x）＝sin x+x cos x＞0，所以此时函数是增函数，而＜1＜，故f（）＜f（﹣1）＜f（﹣），故选：A．8．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x＝﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m＝f（0）﹣f（﹣）＝，故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m＝f（1）﹣f（﹣）＝1+a+，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．（5分）函数f（x）＝的定义域是[0，+∞）．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得x≥0所以函数的定义域是[0，+∞）故答案为：[0，+∞）10．（5分）的值是1．【解答】解：原式＝＝﹣1，故答案为：111．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝12．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，∴f（﹣2）＝﹣12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）＝12，故答案为：1212．（5分）已知，tan α＝2，则cosα＝．【解答】解：∵已知，∴sinα＞0，cosα＞0，∵tan α＝2＝，sin2α+cos2α＝1，则cosα＝，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝cos x，对于[﹣]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2，其中能使f（x1）＜f（x2）恒成立的条件的序号是②．【解答】解：函数f（x）＝cos x，∵[﹣]上的任意x1，x2，∴f（x）在[﹣，0]递增，在[0，]递增．∴f（x）＝cos x的值域范围是[0，1]．∴对任意x1，x2，f（x1）＜f（x2）恒成立的条件：对于①x1＞x2；显然不成立；对于：②x12＞x22＞0，单调递减，f（x1）＜f（x2）成立；对于：③|x1|＞x2，若＞x1＞，0＞x2＞，结合余弦函数的性质，显然不成立．故答案为：②．14．（5分）已知函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2有且只有一个零点，则a＝1．【解答】解：根据题意，对于函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2，有f（﹣x）＝（﹣x）2+a（e﹣x+e x）﹣2＝f（x），则函数f（x）为偶函数，若函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2有且只有一个零点，则有f（0）＝2a﹣2＝0，解可得a ＝1，当a＝1时，f（x）＝x2+（e x+e﹣x）﹣2，当x≥0时，f′（x）＝2x+（e x﹣e﹣x）≥0，函数f（x）在[0，+∞）为增函数，在函数f（x）在[0，+∞）上只有1个零点，即x＝0；又由函数f（x）为偶函数，则函数f（x）＝x2+a（e x+e﹣x）﹣2有且只有一个零点，符合题意；故a＝1；故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15．（13分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求f[f（2）]的值；（Ⅱ）求f（a2+1）（a∈R）的值；（Ⅲ）当﹣4≤x≤3时，求函数f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）＝，（Ⅰ）f[f（2）]＝f（4﹣4）＝f（0）＝2；（Ⅱ）f（a2+1）＝4﹣（a2+1）2＝﹣a4﹣2a2+3；（Ⅲ）当﹣4≤x＜0时，f（x）＝1﹣2x递减，可得f（x）∈（1，9]；当x＝0时，f（x）＝2；当0＜x≤3时，f（x）＝4﹣x2递减，可得f（x）∈[﹣5，4）．综上可得f（x）的值域为[﹣5，9]．16．（13分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣sin2x+cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及取得最小值时所对应的x的值；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣sin2x+cos2x＝，∴函数f（x）的最小正周期T＝；（Ⅱ）当2x+，即x＝k，k∈Z时，函数f（x）取得最小值﹣2；（Ⅲ）当2k，即k，k∈Z时，函数f（x）单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．（13分）已知△ABC的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝．（Ⅰ）若b＝4，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝4，求b，c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵cos B＝，∴sin B＝＝，由正弦定理，得sin A＝＝＝；（Ⅱ）∵a＝2，sin B＝，S△ABC＝4＝ac sin B＝，∴解得：c＝5，又∵cos B＝．∴b＝＝＝．18．（13分）已知函数f（x）＝log2（4x+1）．（Ⅰ）求f（1）﹣f（﹣1）的值；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+kx（k∈R），当k为何值时，g（x）是偶函数？【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝log2（4x+1），则f（1）﹣f（﹣1）＝log25﹣log2＝log24＝2，（Ⅱ）根据题意，函数g（x）＝f（x）+kx＝log2（4x+1）+kx，其定义域为R，若函数g（x）为偶函数，则g（﹣x）＝g（x），即log2（4x+1）+kx＝log2（4﹣x+1）﹣kx，变形可得2kx＝log2（4﹣x+1）﹣log2（4x+1），解可得k＝﹣1，此时g（x）＝log2（4x+1）﹣x，为偶函数．故k＝﹣1．19．（14分）已知函数f（x）＝（x∈R）是奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性（不用证明）；（Ⅲ）若关于x的不等式f（﹣2x2+1）+f（x2﹣tx）≤0在x∈（1，2）恒成立，求t的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：函数f（x）＝（x∈R）是奇函数．∴f（0）＝0．即﹣+＝0，∴a＝1．（Ⅱ）函数f（x）＝（x∈R）是R上的单调递增函数；（Ⅲ）f（﹣2x2+1）+f（x2﹣tx）≤0等价于f（﹣2x2+1）≤f（﹣x2+tx）．∵函数f（x）是R上的单调递增函数，∴﹣2x2+1≤﹣x2+tx．．即tx≤﹣x2+1，∴t∵g（x）＝﹣x+在（1，2）单调递减，∴，∴t的最大值为﹣．20．（14分）已知函数f（x）＝e x sin x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若x∈[0，]，f（x）≥ax，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝e x sin x，∴f′（x）＝e x（sin x+cos x），x∈R，故f′（0）＝1，又f（0）＝0，故曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程是y＝x；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，则g（x）≥0在[0，]恒成立，由（Ⅰ）知，g′（x）＝f′（x）﹣a＝e x（sin x+cos x）﹣a，令h（x）＝f′（x），则h′（x）＝2e x cos x，∵当x∈[0，]时，cos x≥0，∴当x∈[0，]时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，]递增，即f′（x）在[0，]递增，故g′（x）在[0，]递增，∵f′（0）＝1，f′（）＝，∴1≤f′（x）≤，当a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，]递增，故g（x）≥g（0）＝0，不合题意，当1＜a＜时，由于g′（0）＝1﹣a＜0，g′（）＝﹣a＞0，∴∃x0∈（0，），使得g′（x0）＝0，故在x∈[0，x0]时，g′（x）≤0，g（x）在[0，x0]递减，故g（x0）＜g（0）＝0，不合题意，综上，a∈（﹣∞，1]．。

北京通州区潞河中学2019-2020学年高二数学文上学期期末试题含解析

北京通州区潞河中学2019-2020学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆的焦点坐标是( )A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±3，0）D．（0，±3）参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把椭圆方程化为标准方程，再利用c=，即可求出焦点坐标．解答：解：由于椭圆，∴a2=25，b2=16，∴c===3．∴椭圆的焦点坐标为（0，3）与（0，﹣3）．故答案为：D．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．2. （多选题）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（）A. 答对0题和答对3题的概率相同，都为B. 答对1题的概率为C. 答对2题的概率为D. 合格的概率为参考答案：CD【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.【详解】选项，答对0题和3题的概率为，所以选项错误；选项，答对1题的概率为所以选项错误；选项，答对2题的概率为，所以选项正确；选项，至少答对2题的概率为，所以选项正确.故选:CD.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.3. 用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设的内容是()A. a，b都能被5整除B. a，b都不能被5整除C. a不能被5整除D. a，b有1个不能被5整除参考答案：B试题分析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．考点：反证法4. 极坐标方程所表示的曲线是（）A. 一条直线B. 一个圆C. 一条抛物线D. 一条双曲线参考答案：C试题分析：极坐标方程的两边同乘以可得，因为，所以上述方程化为直角坐标方程为，它表示的是一条抛物线，故选C.考点：抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.【方法点晴】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，把给出的极坐标方程化成直角坐标方程，就可以判断方程表示的曲线形状，属于基础题.直角坐标和极坐标的关系是，同时，转化时常常根据互化的需要对原有的方程进行变形，本题中在给出的极坐标方程两边同乘以极径就可以达到化为直角坐标方程的目的.5. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是A．在区间上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．当时，取极大值参考答案：C6. 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )A．B．C．D．参考答案：C【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】数形结合．【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．7. 某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差为A．10 B．20 C．30D．40参考答案：8. 下列命题是真命题的为 ( )A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则参考答案：A9. 已知数列{a n}对任意m，n∈N*，满足a m+n=a m?a n，且a3=8，则a1=（）A．2 B．1 C．±2D．参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用赋特殊值法：可令a n=2n满足条件a m+n=a m?a n，且a3=8，即可得到a1的值．【解答】解：由已知a m+n=a m?a n，可知a n符合指数函数模型，令a n=2n，则a3=8符合通项公式，则a1=2，a2=22，…，a n=2n，数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a1=2．故选：A．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，做题的方法是赋特殊值满足已知条件求出所求，是基础题．10. 在直角坐标系中，方程所表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆B．一条线段和一个圆C．一条直线和半个圆D．一条线段和半个圆参考答案：错因：忽视定义取值。

北京通州区潞河中学高二数学文下学期期末试题含解析

北京通州区潞河中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2=ac”在它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】四种命题的真假关系；等比数列的通项公式．【专题】简易逻辑．【分析】首先，写出给定命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac，为真命题逆命题：若b2=ac，则a，b，c成等比数列，为假命题，否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，为假命题，逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，为真命题，在它的逆命题、否命题，逆否命题中为真命题的有1个，故选B．【点评】本题重点考查了四种命题及其真假判断，属于中档题．2. 已知椭圆的离心率为，则b等于（）.A.3B.C.D.参考答案：B因为，所以，即该椭圆的焦点在轴上，又该椭圆的离心率为，则，解得；故选B.3. 如图所示的算法框图中，输出S的值为( ) A.10 B.12 C.15 D.18参考答案：B略4. 已知直线和双曲线相交于两点，线段的中点为 .设直线的斜率为，直线的斜率为 ,则 =( )A. B. C. D.参考答案：D略5. 将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有( ) A．B． C．D．参考答案：D6. 直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（）A．5x+6y﹣28=0 B．5x﹣6y﹣28=0 C．6x+5y﹣28=0 D．6x﹣5y﹣28=0参考答案：D【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，结合题意可得x1+x2=6，y1+y2=﹣4，可得G的坐标，再由A、B在椭圆上，可得，计算可得k，将G的坐标代入可求直线的方程．【解答】解：设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，而B（0，4），又△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点（2，0）上，故x1+x2=6，y1+y2=﹣4，则MN的中点G为（3，﹣2），又M、N在椭圆上，①﹣②，可得4（x1﹣x2）（x1+x2）+5（y1﹣y2）（y1+y2）=80，又由x1+x2=6，y1+y2=﹣4，可得k==，又由直线MN过点G（3，﹣2），则直线l的方程是6x﹣5y﹣28=0．故选D7. 是虚数单位，复数等于（）A.B.C.D.参考答案：D8. 给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在（0，）上不是凸函数的是（）A. B.C. D.参考答案：D9. 在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积最大值是（）A．36 B．12 C．24 D．18参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD=2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根据勾股定理得出：3h2=﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，利用函数求解即可【解答】解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD=∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴==2，即PD=2PC，设DO=x，PO=h，作PO⊥CD，∴，化简得：3h2=﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，根据函数单调性判断：x=6时，3h2最大值为36，h大=，∵在正方体中PO⊥面BCD，∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值：=12，故选：B【点评】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题．10. 若实数a、b、c＞0，且（a+c）?（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知不等式|x-a|﹥b的解集是{x|x﹥9或x﹤-3}，则a=＿＿＿ b=＿＿＿参考答案：略12. 设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．参考答案：[0，+∞）【考点】7J：指、对数不等式的解法；4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．13. 下面是一个算法的程序框图，当输入值为8时，则其输出的结果是参考答案：214. 如下茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是．参考答案：15. 已知函数有四个零点，则实数a的取值范围是__________．参考答案：(－2,0)【分析】由题意可知是偶函数，根据对称性问题转化为直线与曲线有两个交点. 【详解】因为是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，而，则当时，，当时，，所以函数在上是减函数，在上是增函数，于是，故故答案为：16. 顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为_________参考答案：略17. 若θ角的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是_____．参考答案：，，，.略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

北京高二高中数学期末考试带答案解析

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若命题p 是假命题，命题q 是真命题，则（）A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．¬p 是假命题D ．￢q 是假命题2.直线x+y+1=0的倾斜角是（）A ．B ．C ．D ．3.在正方体ABCD ﹣A′B′C′D′中，异面直线A′B 与AD′所成的角等于（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4.“a=3”是“直线ax ﹣2y ﹣1=0与直线6x ﹣4y+c=0平行”的（）A ．充分条件不必要B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积（）A ．5πB ．4πC ．3πD ．2π6.原点O （0，0）与点A （﹣4，2）关于直线l 对称，则直线l 的方程是（）A ．x+2y=0B ．2x ﹣y+5=0C ．2x+y+3=0D ．x ﹣2y+4=07.若直线x ﹣y ﹣m=0被圆x 2+y 2﹣8x+12=0所截得的弦长为，则实数m 的值为（） A ．2或6 B ．0或8 C ．2或0 D ．6或88.在下列命题中，真命题的个数是（）①若直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b ． ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α． ③若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面γ． ④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．A ．0B ．1C ．2D ．39.若椭圆的两个焦点是F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，那么|PF 2|=（） A ．2 B ．4 C ． D ．10.如图，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为2，动点E ，F 在棱D′C′上．点G 是AB 的中点，动点P 在棱A′A 上，若EF=1，D′E=m ，AP=n ，则三棱锥P ﹣EFG 的体积（）A ．与m ，n 都有关B ．与m ，n 都无关C ．与m 有关，与n 无关D ．与n 有关，与m 无关二、填空题1.命题“∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0”的否定是．2.已知平面α∩平面β=l ，a ⊂β，a ∥α，那么直线a 与直线l 的位置关系是．3.在空间直角坐标系中，点M （0，2，﹣1）和点N （﹣1，1，0）的距离是．4.双曲线的右焦点坐标是；焦点到渐近线的距离为．5.如图，当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时，测得水面宽4米．若水面下降0.5米，则水面宽米．6.已知曲线C ：|x|+|y|=m （m ＞0）．（1）若m=1，则由曲线C 围成的图形的面积是；（2）曲线C 与椭圆有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是．三、解答题1.已知抛物线y 2=2px 的焦点为F ，准线方程是x=﹣1．（I ）求此抛物线的方程；（Ⅱ）设点M 在此抛物线上，且|MF|=3，若O 为坐标原点，求△OFM 的面积．2.已知圆C 与x 轴的交点分别为A （﹣1，0），B （3，0），且圆心在直线2x ﹣y=0上．（I ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）求与圆C 相切于点B （3，0）的切线方程；（Ⅲ）若圆C 与直线y=x+m 有公共点，求实数m 的取值范围．3.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，且PA ⊥底面ABCD 中，AB=1，PA=2．（I ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求三棱锥B ﹣PAC 的体积；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ，使PC ⊥平面MBD ，若存在，请证明；若不存在，说明理由．4.如图，在正方形AG 1G 2G 3中，点B ，C 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，点E ，F 分别是G 3C ，AC 的中点，现在沿AB ，BC 及AC 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后记为G．（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；（Ⅱ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，并求证：EF∥平面ABG；（Ⅲ）求证：平面EFB⊥平面GBC．5.已知椭圆C：x2+3y2=4．（I）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断命题“若过点M（1，0）的动直线l交椭圆于A，B两点，则在直角坐标平面上存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N”的真假，若为真命题，求出定点N的坐标；若为假命题，请说明理由．北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若命题p是假命题，命题q是真命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是假命题D．￢q是假命题【答案】D【解析】根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．解：∵p是假命题，q是真命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是真命题，选项C错误；￢q是假命题，选项D正确．故选：D．【考点】复合命题的真假．2.直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，∴直线x+y+1=0的倾斜角α=．故选：C．【考点】直线的倾斜角．3.在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线A′B与AD′所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】利用异面直线所成的角的定义、正方体的性质即可得出．解：如图所示，连接CD′，AC．由正方体的性质可得A′B∥D′C．∴∠AD′C或其补角即为异面直线A′B与AD′所成的角．由正方体可得：AD′=D′C=AC，∴△AD′C是等边三角形．∴∠AD′C=60°．∴异面直线A′B与AD′所成的角为60°．故选C．【考点】异面直线及其所成的角．4.“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的（）A．充分条件不必要B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“a=3”成立，但当c=﹣1时，两直线重合，判断不出两直线平行；反之，当“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”成立时，有，得到a=3；利用充要条件的有关定义得到结论．解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x﹣2y﹣1=0与6x﹣4y+c=0，当c=﹣1时，两直线重合，所以两直线不一定平行；反之，当“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”成立时，有，所以a=3；所以“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的必要不充分条件，故选B．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积（）A．5πB．4πC．3πD．2π【答案】B【解析】根据几何体的三视图，得该几何体是圆柱，结合图中数据求出它的侧面积．解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，所以它的侧面积是2π××2=4π．故选：B．【考点】由三视图求面积、体积．6.原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x+2y=0B．2x﹣y+5=0C．2x+y+3=0D．x﹣2y+4=0【答案】B【解析】由题意可得直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为（﹣2，1），求出OA的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线．求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为=﹣，故直线l的斜率为2，故直线l 的方程为 y ﹣1=2（x+2 ），化简可得：2x ﹣y+5=0．故选：B ．【考点】待定系数法求直线方程．7.若直线x ﹣y ﹣m=0被圆x 2+y 2﹣8x+12=0所截得的弦长为，则实数m 的值为（）A ．2或6B ．0或8C ．2或0D ．6或8【答案】A【解析】由已知得圆心（4，0）到直线x ﹣y ﹣m=0的距离d==，即可求出实数m 的值．解：x 2+y 2﹣8x+12=0，可化为（x ﹣4）2+y 2=4∵直线x ﹣y ﹣m=0被圆x 2+y 2﹣8x+12=0所截得的弦长为， ∴圆心（4，0）到直线x ﹣y ﹣m=0的距离d===， ∴解得m=2或6，故选：A ．【考点】直线与圆的位置关系．8.在下列命题中，真命题的个数是（）①若直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b ． ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α． ③若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面γ． ④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】①根据线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可．②根据线面平行的定义进行判断． ③根据面面垂直的性质定理进行判断． ④根据面面垂直的判定定理进行判断．解：①平行同一平面的两条直线不一定平行，故①错误，②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α或l 与α相交，故②错误 ③垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故③错误， ④命题的逆否命题为α内存在直线垂直平面β，则α⊥β，则逆否命题为真命题．则原命题为真命题，故④正确，故正确的命题是④．故选：B ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．9.若椭圆的两个焦点是F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，那么|PF 2|=（） A ．2 B ．4 C ． D ．【答案】D【解析】求得椭圆的a ，b ，c ，由题意可得P 的坐标，再由椭圆的定义计算即可得到所求值．解：椭圆的a=，b=1，c=1，由PF 1⊥F 1F 2，可得y P =﹣1，x P =±=±，即有|PF 1|=，由题意的定义可得，|PF 2|=2a ﹣|PF 1|=2﹣=．故选：D ．【考点】椭圆的简单性质．10.如图，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为2，动点E ，F 在棱D′C′上．点G 是AB 的中点，动点P 在棱A′A 上，若EF=1，D′E=m ，AP=n ，则三棱锥P ﹣EFG 的体积（）A ．与m ，n 都有关B ．与m ，n 都无关C ．与m 有关，与n 无关D ．与n 有关，与m 无关【答案】D【解析】求出△EFG 的面积和P 到平面EFG 的距离，代入棱锥的体积公式计算．解：连结AD 1，A 1D ，则AD 1=2，A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴AA 1与平面ABC 1D 1所成的角为∠A 1AD 1=45°， ∴P 到平面ABC 1D 1的距离d=AP×sin45°=． ∵S △EFG ==．∴三棱锥P ﹣EFG 的体积V==．故选：D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积二、填空题1.命题“∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0”的否定是．【答案】【解析】根据命题的否定的规则进行求解，注意“任意”的“否定”为存在；解：∵命题“∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为：，故答案为：【考点】命题的否定．2.已知平面α∩平面β=l ，a ⊂β，a ∥α，那么直线a 与直线l 的位置关系是．【答案】a ∥l【解析】根据直线和平面平行的判定定理和性质定理进行判断证明即可．解：a 与b 的位置关系：平行．设过a 的平面γ有γ∩α=b ，∵a ∥α，γ∩α=b ， ∴a ∥b ， ∵a ⊂β， ∴b ∥β， ∵α∩β=l ， ∴b ∥l ， ∵a ∥b ，∴a ∥l【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．3.在空间直角坐标系中，点M （0，2，﹣1）和点N （﹣1，1，0）的距离是．【答案】【解析】根据所给的两个点的坐标和空间中两点的距离公式，代入数据写出两点的距离公式，做出最简结果，不能再化简为止．解：∵点M （0，2，﹣1）和点N （﹣1，1，0），∴|MN|==，故答案为：．【考点】空间两点间的距离公式．4.双曲线的右焦点坐标是；焦点到渐近线的距离为．【答案】（2，0），【解析】根据双曲线的方程解求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离．解：双曲线， ∴a 2=1，b 2=3，∴c 2=a 2+b 2=4，∴c=2，∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴双曲线的右焦点坐标是（2，0）， ∴双曲线的渐近线方程为y=±x ，即x ﹣y=0， ∴焦点到渐近线的距离d==，故答案为：（2，0），【考点】双曲线的简单性质．5.如图，当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时，测得水面宽4米．若水面下降0.5米，则水面宽米．【答案】【解析】可建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2=2py ，从而由题意知点（2，﹣2）在抛物线上，带入抛物线方程便可求出p=﹣1，这便得出抛物线方程为x 2=﹣2y ．而根据题意知点（x 0，﹣2.5）在抛物线上，从而可以求出x 0，从而水面宽度便为2|x 0|，即得出水面宽度．解：建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x 2=2py ；根据题意知，A （2，﹣2）在抛物线上；∴4=2p×（﹣2）； ∴p=﹣1； ∴x 2=﹣2y ；设B （x 0，﹣2.5）在抛物线上，则：；∴；∴水面下降0.5米，则水面宽为．故答案为：．【考点】抛物线的简单性质．6.已知曲线C ：|x|+|y|=m （m ＞0）．（1）若m=1，则由曲线C 围成的图形的面积是；（2）曲线C 与椭圆有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是．【答案】（1）2；（2）2＜m ＜3或【解析】（1）若m=1，曲线C ：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，可得曲线C 围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m ＜3时，曲线C 与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论．解：（1）若m=1，曲线C ：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，则由曲线C 围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m ＜3时，曲线C 与椭圆有四个不同的交点； x ＞0，y ＞0，x+y ﹣m=0与椭圆方程联立，可得13x 2﹣18mx+9m 2﹣36=0，∴△=（﹣18m ）2﹣52（9m 2﹣36）=0，∵m ＞0，∴m=．此时曲线C 与椭圆有四个不同的交点故答案为：2，2＜m ＜3或．【考点】曲线与方程．三、解答题1.已知抛物线y 2=2px 的焦点为F ，准线方程是x=﹣1．（I ）求此抛物线的方程；（Ⅱ）设点M 在此抛物线上，且|MF|=3，若O 为坐标原点，求△OFM 的面积．【答案】（Ⅰ）y 2=4x ；（Ⅱ）【解析】（I ）利用准线方程是x=﹣1，求此抛物线的方程；（Ⅱ）设点M 在此抛物线上，且|MF|=3，利用抛物线的定义求出M 的坐标，即可求△OFM 的面积．解：（Ⅰ）因为抛物线的准线方程为x=﹣1，所以得p=2所以，抛物线的方程为 y 2=4x（Ⅱ）设M （x 0，y 0），因为点M （x 0，y 0）在抛物线上，且|MF|=3，由抛物线定义知|MF|=x 0+=3得x 0=2由M （2，y 0）在抛物线上，满足抛物线的方程为y 2=4x 知y 0=±2所以△OMP 的面积为|y 0|==．【考点】抛物线的简单性质．2.已知圆C 与x 轴的交点分别为A （﹣1，0），B （3，0），且圆心在直线2x ﹣y=0上．（I ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）求与圆C 相切于点B （3，0）的切线方程；（Ⅲ）若圆C 与直线y=x+m 有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=8；（Ⅱ）x ﹣y ﹣3=0；（Ⅲ）﹣3≤m≤5【解析】（I ）设圆心C （a ，2a ），利用圆C 与x 轴的交点分别为A （﹣1，0），B （3，0），求出a ，即可求圆C 的标准方程；（Ⅱ）因为CB 与切线垂直，所以k BC ×k=﹣1，求出k ，即可求与圆C 相切于点B （3，0）的切线方程；（Ⅲ）若圆C 与直线y=x+m 有公共点，则圆C 的圆心到直线的距离d≤r ，即可求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）因为圆C 的圆心在直线2x ﹣y=0上，所以设圆心C （a ，2a ）．又因为圆C 与x 轴的交点分别为A （﹣1，0），B （3，0），所以a=1故圆心C （1，2），半径为，圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=8（Ⅱ）因为CB 与切线垂直，所以k BC ×k=﹣1）因为，所以 k=1故与圆C 相切于点B （3，0）的切线方程为：x ﹣y ﹣3=0（Ⅲ）圆C 与直线y=x+m 有公共点，即圆C 的圆心到直线的距离d≤r ，即，解得﹣3≤m≤5所以圆C 与直线y=x+m 有公共点，则﹣3≤m≤5．【考点】抛物线的应用．3.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，且PA ⊥底面ABCD 中，AB=1，PA=2．（I ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求三棱锥B ﹣PAC 的体积；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ，使PC ⊥平面MBD ，若存在，请证明；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）在线段PC 上存在一点M ，使PC ⊥平面DMB ，证明见解析【解析】（I ）由PA ⊥底面ABCD 得PA ⊥BD ，由正方形的性质得AC ⊥BD ，故BD ⊥平面PAC ；（II ）以△ABC 为棱锥底面，PA 为棱锥的高，代入体积公式计算即可；（III ）过D 作DM ⊥PC ，垂足为M ，则PC ⊥平面BDM ．解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，DB ⊂面ABCD ，所以PA ⊥DB ．又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥DB在平面PAC 中，PA∩AC=A ，所以DB ⊥平面PAC ．（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCD ，所以点P 到平面ABC 的距离为PA 的长．又因为四边形ABCD 是正方形，且AB=1，PA=2，所以=．（Ⅲ）在△PDC 中，过点D 作DM ⊥PC ，交PC 于点M ．由（Ⅰ）已证DB ⊥平面PAC ，因为PC ⊂面PAC ，所以DB ⊥PC ．因为在平面DMB 中，DM∩DB=D所以PC ⊥平面DMB ．所以在线段PC 上存在一点M ，使PC ⊥平面DMB ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．4.如图，在正方形AG 1G 2G 3中，点B ，C 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，点E ，F 分别是G 3C ，AC 的中点，现在沿AB ，BC 及AC 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后记为G ．（I ）判断在四面体GABC 的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；（Ⅱ）请在四面体GABC 的直观图中标出点E ，F ，并求证：EF ∥平面ABG ；（Ⅲ）求证：平面EFB ⊥平面GBC ．【答案】（Ⅰ）分别在平面AGB ，平面AGC 和平面BGC 的三角形是直角三角形（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）证明见解析【解析】（1）根据折叠前后折痕一侧的角不发生变化可知∠AGB=∠AGC=∠BGC=90°，（2）根据AG ⊥GB ，AG ⊥GC 可得AG ⊥平面GBC ，故而AG ⊥BC ；（3）连结EF ，则EF ∥AG ，故而EF ⊥平面GBC ，所以平面EFB ⊥平面GBC ．解：（Ⅰ）在正方形AG 1G 2G 3中，∠G 1，∠G 2，∠G 3都是直角．沿AB ，BC 及AC 把这个正方形折成四面体GABC 后，此三个角度数不变．即在四面体GABC 的四个面中，在△AGB 中，∠AGB=90°，在△AGC 中，∠AGC=90°，在△BGC 中，∠BGC=90°，△ABC 不是直角三角形．故分别在平面AGB ，平面AGC 和平面BGC 的三角形是直角三角形．（Ⅱ）在四面体GABC 的直观图中标出点E ，F ，证明：因为在△AGC 中，点E ，F 分别是GC ，AC 的中点，所以EF ∥AG ，因为EF ⊄平面ABG ，AG ⊂平面ABG ，所以EF ∥平面ABG ．（Ⅲ）证明：在四面体GABC 中，∠AGB=90°，∠AGC=90°，即 AG ⊥GB ，AG ⊥GC ，因为在平面BGC 中，GB∩GC=G所以AG ⊥平面BGC ．由（Ⅱ）已证EF ∥AG ，所以EF ⊥平面BGC ．因为EF ⊂平面EFB所以平面EFB ⊥平面GBC ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．5.已知椭圆C ：x 2+3y 2=4．（I ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断命题“若过点M （1，0）的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，则在直角坐标平面上存在定点N ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点N”的真假，若为真命题，求出定点N 的坐标；若为假命题，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在点N （2，0），使命题是真命题，理由见解析【解析】（Ⅰ）由题意求出a ，b 的值，结合隐含条件求得c ，则椭圆的离心率可求；（Ⅱ）假设存在定点N ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点N ，然后分直线AB 的斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及AN ⊥BN 列式求得N 的坐标；当斜率不存在时，验证AN ⊥BN 成立即可．解：（Ⅰ）由椭圆方程知a 2=4，， ∵a 2=b 2+c 2，∴，则，∴椭圆的离心率为；（Ⅱ）真命题．由椭圆的对称性知，点N 在x 轴上，设N （t ，0），①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由得，（1+3k 2）x 2﹣6k 2x+3k 2﹣4=0．∴△=4（9k 2+4）＞0，，，∵以线段AB 为直径的圆过点N ， ∴AN ⊥BN ，∴，则（x 1﹣t ）（x 2﹣t ）+y 1y 2=0，∴， ∴，则，即﹣4﹣6tk 2+t 2+3t 2k 2=0， ∴3tk 2（t ﹣2）+（t 2﹣4）=0，即（t ﹣2）（3tk 2+t+2）=0．∴若以线段AB 为直径的圆恒过点N （t ，0），则t ﹣2=0，即t=2，∴当直线AB 的斜率存在时，存在N （2，0）使命题是真命题； ②当直线AB 的斜率不存在时，其方程为x=1．A （1，1），B （1，﹣1），以线段AB 为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+y 2=1，∵N （2，0）满足方程（x ﹣1）2+y 2=1，∴当直线AB 的斜率不存在时，点N （2，0）也能使命题是真命题．综上①②知，存在点N （2，0），使命题是真命题．【考点】椭圆的简单性质．。

高二数学文科—2015-2016北京通州潞河中学高二(上)期末文科(含解析)

潞河中学2015-2016-1期末高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上）1.命题“p 或q ”为真命题（）A.命题p 为真B.命题q 为真C.命题p 和命题q 一真一假D.命题p 和命题q 至少一个为真2.已知m R ∈，则“5m ≠”是“曲线2215x y m +=为椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆上，2AF x ⊥轴，若12||5||3AF AF =，则椭圆的离心率等于（） A.2B.15C.12D.134.设抛物线2y px =的焦点与椭圆22162x y +=的左焦点重合，则p 的值为（）A.4-B.8-C.4D.85.已知点(4,8)A 是抛物线2:2C y px =与直线:(4)l y k x =+的一个交点，则抛物线的焦点到直线l 的距离是（）A.2B.22C.32D.426.已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:43110l x y -+=的距离和到2:1l x =-的距离之和的最小值为（）A.3716B.3C.2D.1157.已知双曲线2221(0)x y m m-=>与抛物线24y x =的准线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积等于１，则m =（）A.2B.１C.22D.128.若直线l 被圆224x y +=所截得的弦长不小于23，则l 与下列曲线一定有公共点的是（）A.2212x y +=B.22(1)1x y -+=C.2y x =D.221x y -=第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分共30分。

北京市通州潞河中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题含解析

潞河中学2016-2017—1期中高二年级数学文科试题一、选择题（共8道题，每个题5分,每题有且只有一个正确选项）1．若a∈R，则“2a a>”是“1a>”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20a>,所以“2a a>”是“1a>”的必要而不充分条a a a>⇔<或1件，故选B．2．抛物线24=的焦点坐标为（）．y xA．(0,2)B．(2,0)C．(0,1)D．(1,0)【答案】D，【解析】∵抛物线方程22(0)=>的焦点坐标为,02p⎛⎫y px p⎪⎝⎭∴抛物线24=的焦点坐标是(1,0)．故选D．y x3．命题“若a b>，则1a b+>”的逆命题是（）．A．若1a b+<，则a b>+≤，则a b>B．若1a bC．若1a b+<，则a b<+≤，则a b≤D．若1a b【答案】C【解析】命题若“p”则“q”的逆命题是“q⌝”则“p⌝”,所以“若a b>，则1a b+>”的逆否命题是：“若1a b+≤，则a b≤”，故选C．4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为( )．A．15B．14C．7D．6【答案】A【解析】根据框图的循环结构，依次：212a =⨯=，123S =+=； 224a =⨯=，347S =+=； 248a =⨯=,8715S =+=；跳出循环，∴输出结果15S =，故选A ．5．命题:p x ∀∈R ,220xax a ++≥,命题:q x +∃∈R ，使得12x x+<，则下列命题中为真命题的是（）．A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ⌝∨ 【答案】C【解析】:p x ∀∈R ，220x ax a ++≥，令22y xax a =++，222430aa a ∆=--<=,∴p 是真命题,:q x +∃∈R ，12x x +<， ∵x >，∴12x x +=≥，∴q 是假命题，∴p q ∨是真命题．故选C ．6．“8m <”是“方程221108x y m x -=--表示双曲线”的是( ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】方程221108x y m m -=--表示双曲线等价于(10)(8)0m m -->,即8n <或10m >，所以“8n <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线"的充分而不必要条件．故选A ．7．下列命题：①x ∀∈R ，2≥xx；②x ∃∈R ，2≥xx；③43≥；④“21x≠”的充要条件是“1x ≠且1x ≠-”中，其中正确命题的个数是（ )．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】2xx x ⇔≥≤或1x ≥,所以①错误,②正确;4343⇔>≥或43=,所以③正确； 211x x ≠⇔≠且1x ≠-，所以④正确；综上，正确命题的个数是3．故选D ．8．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O ，(1,0)A ,(1,1)B ,(0,1)C ，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是（）．A ．(1)(01)≤≤y x x x =-B ．(1)(01)≤≤x y y y =-C ．2(01)≤≤y x x = D ．21(01)≤≤y x x =-【答案】A【解析】设(0,)(01)D m m ≤≤，则(1,1)E m -,所以直线AD 的方程为1yx m+=，直线DE 的方程为：(1)y m x =-,设(,)G x y ，则由1(1)y x m y m x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得(1)x my m m=⎧⎨=-⎩，消去m 可得(1)(01)y x x m =-≤≤．故选A ．二、填空题(共6道题，每个题5分，请把答案直接填在答题纸上） 9．命题“若0m =,则22:20C xy x m +++=过原点”的否命题．．．是___________．【答案】若0m ≠，则圆22:20C x y x m +++=不过原点【解析】∵若P 则q 的否命题若p ⌝则q ⌝，所以“若0m =，则圆22:20C x y x m +++=过原点的否命题”是“若0m ≠，则圆22:20C xy x m +++=不过原点”．10．椭圆2244x y +=的离心率是___________．【答案】【解析】11．已知点F ，B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为___________．【答案】【解析】将2244xy +=化为标准方程2214x y +=，∴2a =，1b =，c =∴离心率c e a==12．已知M 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为抛物线焦点，过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ．若EO MF =,点M 的横坐标为3，则p =___________．【答案】3【解析】根据题意，可知(3,M，(.2pE -±,∵||||OE MF =，32p =+，∴2269344p p p p +=++，解得：3p =．13．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组（1~5号，6~10号,，196~200号），若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__________人．【答案】37；20【解析】因为每小组有5个人,第5组抽出的号码为22，所以第8组应抽出的号码为221537+=, 又因为40岁以下人数占50%，所以样本中也应点50%，故40岁以下年龄段应抽取20人．14．定义：如果对于实数m ，使得命题“P ∃∈曲线C ，点P 到直线l 的距离≤d m "为真命题,就把满足条件的m 的最小值对称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线21:C y xa=+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2Cx y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a =___________．【答案】94【解析】圆22(4)2x y ++=的圆心为(0,4)-圆心到直线y x ==，∴曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离为则曲线21:C y aα=+到直线:l y x =．令121y x ==解得12x =,故切点为11,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，切点到直线y x =即94a =或74a =-．∵当74a =-时，直线y x =与曲线21:C y x a=+相交，故不符合题意．综上所述，94a =．三、解答题（共6道题,每道题都要写出必要、规范的解答过程） 15．（本题满分13分）已知椭圆2244xy +=上每一点的横坐标构成集合A ,双曲线2222(0)xy m m -=≠实轴上任一点的横坐标构成集合B ．命题:p x A ∈，命题:q x B ∈．(Ⅰ）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）当4m =时，若命题p q ∧为假命题,命题p q ∨为真命题，求实数x 的取值范围．【答案】见解析【解析】(Ⅰ){|22}A x x -≤≤，{|||B x x m =-≤或||}x m ≥，若p 是q 的充分不必要条件，则A B，则：||2m -≤或||2m -≥，m 无解，故m φ∈．（Ⅱ）当4m =时，{|22}A x x -≤≤，{|4B x x =-≤或4}x ≥,若命题p q ∧为假命题，p q ∨为真命题,则p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，(){|22}{|44}x AB x x x x ∈=--<<R ≤≤，{|22}x x =-≤≤，当p 假q 真时,(){|2x A B x x ∈=<-R或2}{|4x x x >-≤或4}x ≥{|4x x =-≤或4}x ≥．综上所述,实数x 的取值范围是(][][),42,22,-∞--+∞．16．（本题满分13分）已知直线:4l x y +=与x 、y 轴交于A 、B 两点．（Ⅰ）若点A 、B 分别是双曲线E 的虚轴、实轴的一个端点，试在平面上找两点C 、D ，使得双曲线E 上任意一点到C 、D 这两点距离差的绝对值是定值．（Ⅱ）若以原点O 为圆心的圆O 截直线l 所得弦长是2，求圆O 的方程以及这条弦的中点．【答案】见解析【解析】（Ⅰ)∵直线l 与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴(4,0)A ，(0,4)B ，又A 、B 分别是双曲线E 的虚轴,实轴的一个端点， ∴双曲线中4a =,4b =,c = 由题可知C ,D 是双曲线的焦点， ∴(C -，D 或(0,C -，D ．（Ⅱ）圆心(0,0)到直线:4l x y +=的距离d =，∴3r ，∴圆O 的方程为229xy +=，设AB 的中点为(,)m n 则：14m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解22m n =⎧⎨=⎩，即弦AB 的中点为(2,2)．17．(本题满分13分）如图是一段圆锥曲线，曲线与两个坐标轴的交点分别是(2,0)A -,(2,0)B ，0,3)C ．（Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，设直线l 过点A 且斜率是1，求直线l 与这个椭圆的公共点的坐标．（Ⅱ)若该曲线表示一段抛物线，求该抛物线的方程．【答案】见解析【解析】(Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，则椭圆方程为22194y x +=，∵直线l 过(2,0)A -且斜率为l ， ∴直线l 的方程为：2y x =+，将2y x =+,代入22194y x +=，得22(2)194x x ++=,化简得：21316200xx +-=，解得2x =-或1013x =，将1013x =代入2y x =+，得3613y =，故直线l 与椭圆的公共点的坐标为(2,0)-,1036,1313⎛⎫⎪⎝⎭． (Ⅱ）若该曲线是一段抛物线,则可设抛物线方程为:(2)(2)y a x x =+-，将(0,3)代入得43a -=，解得：34a =-， ∴抛物线的方程为3(2)(2)4y x x =-+-，即2334y x =-+．18．（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为,设直线l 的斜率是1，且l 与椭圆G 交于A ,B 两点． (Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若直线l 在y 轴上的截距是m ，求实数m 的取值范围． (Ⅲ)以AB 为底作等腰三角形，顶点为(3,2)P -,求△PAB 的面积．【答案】见解析【解析】(Ⅰ）由已知得c =c a =解得：a =2224ba c =-=，∴椭圆的标准方程为221124x y +=．（Ⅱ）若直线l 在y 轴上的截距是m ，则可设直线l 的方程为y x m =+, 将y x m=+代入221124x y +=得：22463120x mx m ++-=，223616(312)0m m ∆=-->,解得：44m -<<，故实数m 的取值范围是：(4,4)-．（Ⅲ）设A 、B 的坐标分别为1122(,)(,)x y x y ，AB 的中点为00(,)E x y ,则1232m x x +=-，122m y y +=，034m x =-，04m y=,因为AB 是等腰PAB △的底边，所以PE AB ⊥，∴1KPE =-， ∴241334mm -=--+，解得：2m =,∴||AB =||PE =,∴119||||222PABSAB PE ==⨯=△．19．（本题满分13分）已知曲线222:E x ny n +=,直线:l y kx m =+（其中k E 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若n ∈R ，试判断曲线E 的形状．（Ⅱ）若2n =，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在曲线E 上，O 为坐标原点，求OP 的取值范围．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当0n =时,20x =,x =，曲线E 的形状为直线0x =，当0n <时,2221x y n n-=-，表示以焦点在x 轴上，以2n 为实轴，以当n >时，2221x y n n+=，当2n n>，即1n >时，表示焦点在x 轴上，以2n 为长轴，以椭圆,当2n n<,即01n <<时，表示焦点在y 轴上，以2n 为长轴,以椭圆，当2nn=，即1n =时，表示圆心在原点，以1为半径的圆．（Ⅱ)当2n =时,曲线方程为：22142x y +=，当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，计算得出m =∴||OP = 当0k ≠时,则22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简整理得： 222(12)4240k x kmx m +++-=，222222164(12)(24)8(42)0k m k m k m ∆=-+-=-->①，设A ，B ，P 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，0(,)x y ，则0122412km x x x k =+=-+，0121222()212my y y k x x m k =+=++=+，因为点P 在椭圆C 上，所以2200142x y +=，从而2222222421(12)(12)k m m k k +=++，化简得：22212mk =+，经检验满足①式,又||OP =∵0||k <<21122k<+≤,∴221212k <+≤，||OP综上，||OP的取值范围是．20．（本题满分14分）已知椭圆222:1x C y m+=（m 是大于1的常数）的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是椭圆上位于x 轴上方的动点,直线PA 、PB 与直线2:l x m =分别交于M 、N两点(设直线PA 的斜率为正数）．(Ⅰ）设直线PA 、PB 的斜率分别为1k ,2k ,求证12k k ⋅为定值．（Ⅱ)求线段MN 的长度的最小值．(Ⅲ）判断“2m =”是“存在点P ，使得△PMN 是等边三角形"的什么条件？(直接写出结果）【答案】见解析【解析】（Ⅰ)设0(,)P x y ，则220021x y m+=,即222200xm y m +=， ∴直线PA 的斜率010y k x m=+,直线PB 的斜率020y k x m=-，∴220000122222200001y y y y k k x m x m x m m y m =⋅===-+---,故12k k 为定值21m -．（Ⅱ）直线PA 方程为1()y k x m =+,∴M 点坐标221(,())m k mm +，直线PB 方程为2()y k x m =-，∴N 点坐标222(,())m k mm -,∴2212()()MN k mm k m m =+--，∴221211()()MN k mm m m k m=++-21111()1k m m k m ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭≥故线段MN长度的最小值为（Ⅲ）“2m=”是“存在点P，使得PMN△是等边三角形”的既不充分也不必要条件．。

北京潞河中学分校高二数学文期末试卷含解析

北京潞河中学分校高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数对应的点在虚轴上，则（）A．，或 B．，且C．，或 D．参考答案：C略2. 对于棱锥，下列叙述正确的是（）A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面C．六棱锥的顶点有六个 D．任何棱锥都只有一个底面参考答案：D略3. 向量=(－2,－3,1), =(2,0,4),=(－4,－6,2),下列结论正确的是( )A. ∥, ⊥B. ∥, ⊥C. ∥,⊥D. 以上都不对参考答案：C4. 若与的展开式中含的系数相等，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A略5. 用，，表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.其中真命题的序号是( ).A、①②B、②③C、①④D、③④参考答案：C略6. 曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1参考答案：C【考点】导数的几何意义．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．7. 函数的定义域是（）A. B. C. D.参考答案：B8. 若M点的极坐标为，则M点的直角坐标是( )A．（﹣，1）B．（﹣，﹣1）C．（，﹣1）D．（，1）参考答案：A考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用即可得出．解答：解：∵=﹣，y=2=1，∴M 点的直角坐标是．故选：A ．点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．－1参考答案：A 略10. 已知函数，若，有，则（i 是虚数单位）的取值范围为（）A ．(1,+∞)B ．[1,+∞)C ．(2,+∞)D ．[2,+∞)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的焦点坐标为▲ ．参考答案：略12. 如果关于x 的不等式的解集为，则实数a 的取值范围是 .参考答案： -113. 观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为.参考答案：.14. 设曲线C 的参数方程为(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_____________．参考答案：ρcos 2θ－sin θ＝0 15. 曲线上在点处的切线方程为 ▲ .参考答案：略16. 若，则函数的最小值为．参考答案：517. 已知集合S={﹣1，0，1}，P={1，2，3，4}，从集合S ，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有个．参考答案：23【考点】D3：计数原理的应用．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，S 集合中选出一个数字共有3种选法，P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标和纵标，因此要乘以2，去掉重复的数字，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先从S 集合中选出一个数字共有3种选法，再从P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标，也可以作为纵标，共还有一个排列， ∴共有C 31C 41A 22=24，其中（1，1）重复了一次．去掉重复的数字有24﹣1=23种结果，故答案为：23【点评】本题考查分步计数原理，是一个与坐标结合的问题，加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2018.7北京西城高二期末文科答案

北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2018.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. B2. C3. C4. B5. D6. A7. C8. A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2,21x x x ∃∈+R ≤10.11. 312. 413. 0，[0,1)14. 8注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） (Ⅰ)解：由题意1log 22a =，所以122a =，即4a =. ………………………… 3分则444123123()()()log log log 234234f f f ++=++4123log ()234=⨯⨯………………………… 6分41log 4= 1=-. ………………………… 8分 (Ⅱ)解：答案不唯一，如1k =-，1b =. ………………………… 13分16.（本小题满分13分）(Ⅰ)解：由题意，得不等式(2)(4)0x x -+>，解得2x >，或4x <-，所以不等式的解集为{|2x x >，或4}x <-. ………………………… 5分 (Ⅱ)解：因为不等式()0f x ≤的解集为M ，且3M -∉，所以(3)0f ->，即2(32)0m m -->，（*） ………………………… 8分当0m =时，不等式（*）不成立； ………………………… 10分当0m ≠时，不等式（*）等价于320m -->，解得32m <-.综上，m 的取值范围是3(,)2-∞-. ………………………… 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得2()2f x x ax b '=++. ………………………… 2分因为函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,3)上单调递减，所以(1)120f a b '=++=.即210a b ++= ………………………… 4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得120a b ++=，即21a b =--. 所以3211()32b f x x x bx +=-+，2()(1)()(1)f x x b x b x b x '=-++=--.………6分当1b ≤时，得当(1,)x ∈+∞时，()()(1)0f x x b x '=-->，此时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增. 这与题意不符. ……………………… 9分当1b >时，随着x 的变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(,1)-∞，(,)b +∞上单调递增，在(1,)b 上单调递减.………………………… 11分因为函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,3)上单调递减，所以3b ≥时符合题意.综上，3b ≥. ………………………… 13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：甲的月工资收入为6000元，其应纳的个人所得税为(50003500)3%(60005000)1-⨯+-⨯=(元). …………………… 3分（Ⅱ）解：当3500x ≤时，乙应纳个人所得税0y =元. ………………………… 4分当35005000x <≤时，乙应纳个人所得税(3500)3%0.03105y x x =-⨯=-元. ………………………… 6分当50008000x <≤时，乙应纳个人所得税(50003500)3%(5000)10%0.1455y x x =-⨯+-⨯=-元. ……………… 8分当800010000x <<时，乙应纳个人所得税(50003500)3%(80005000)10%(8000)20%0.21255y x x =-⨯+-⨯+-⨯=-元.所以0,3500,0.03105, 35005000,0.1455, 50008000,0.21255, 800010000.x x x y x x x x ⎧⎪-<⎪=⎨-<⎪⎪-<<⎩≤≤≤………………………… 10分（Ⅲ）丙的月工资收入为11275元. ………………………… 13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：求导，得()(1)e 22(1)(e 2)x x f x x ax a x a '=--+=--，…………………… 3分因为0a ≤，所以e 20x a ->，所以当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. ……………………… 5分故当1x =时，()f x 存在极小值(1)e f =-；()f x 不存在极大值. …………… 6分（Ⅱ）证明：解方程()(1)(e 2)0x f x x a '=--=，得11x =，2ln 2x a =. …………… 7分由e a >，得ln 21a >.随着x 的变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(,1)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(1,ln 2)a 上单调递减. ………………………… 10分又因为(1)e 0f =-<， ………………………… 12分所以函数()f x 至多在区间(ln 2,)a +∞存在一个零点；所以，当e a >时函数()f x 不可能存在两个零点. ………………………… 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：求导，得()ln 1f x x '=+， ………………………… 1分又因为(1)2f =，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………… 3分（Ⅱ）解：设函数()()ln 2F x f x ax x x ax =+=++，求导，得()ln 1F x x a '=++，因为函数()()F x f x ax =+在区间(,)e +∞上单调递增，所以()ln 10F x x a '=++≥在区间(e,)+∞上恒成立， ………………………… 4分即ln 1a x --≥恒成立. ………………………… 5分又因为函数()ln 1h x x =--在区间(e,)+∞上单调递减，所以()(e)2h x h <=-，所以2a -≥. ………………………… 8分（Ⅲ）证明：设2()()()ln 2h x f x g x x x x x=-=+-+，0x >. …………………… 9分求导，得22()ln h x x x '=-．设22()()ln m x h x x x '==-，则314()0m x x x '=+>（其中0x >）.所以当(0,)x ∈+∞时，()m x （即()h x '）为增函数. ………………………… 10分又因为(1)20h '=-<，22(e)10e h '=->，所以，存在唯一的0(1,e)x ∈，使得00202()ln 0h x x x '=-=． ………………… 11分且()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以0()()h x h x ≥． ………………………… 12分又因为0(1,e)x ∈，00202()ln 0h x x x '=-=，所以000002()ln 2h x x x x x =+-+0042x x =-+42e 0e>-+>，所以()0h x >，即()g x 的图象在()f x 图象的下方. ………………………… 14分。