2017-2018学年北京市顺义区高一(上)期末数学试卷(1)

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2018年北京市东城区高三第一学期期末数学(理)试题与答案

东城区 2017-2018 学年度第一学期期末教课一致检测高三数学（理科）本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

）（1 ）若会合 A { 2, 1,0,1,2,3} ， B { x | x1 或 x 2}，则AIB （A ） { 2,3} （B ）{2, 1,2,3}（ C ） {0,1}（D ） { 1,0,1,2}（ 2 ）函数 y 3sin(2 x ) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是4（ A ）（B ）（ C ）（ D ）24（3 ）履行以下图的程序框图，输出的x 值为开始（A ）1（B ）2（C ）3b=x 2（D ）7x= 1 ( x+ 3)42 xxb12否是输出 x结束 y ≥2 x,（4 ）若 x, y 知足 xy ≥3, 则 x y 的最小值为y ≤3,（A ） 5（B ） 3 （C ） 2（D ） 1（5 ）已知函数f (x)4x 1x ，则 f (x) 的2（ A ）图象对于原点对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ B ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 , ) 上是增函数（ C ）图象对于原点对称，在[ 0 , ) 上是减函数（ D ）图象对于 y 轴对称，且在 [ 0 ,) 上是减函数（6 ）设 a , b 为非零向量，则“a +b a - b ”是“ a b= 0”的（ A ）充足而不用要条件（B ）必需而不充足条件（ C ）充足必需条件（D ）既不充足也不用要条件（7 ）某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积为1（A ）1116正（主）视图侧（左）视图1（ B ）3（C ）12（D ）1俯视图（8 ）现有 n 个小球，甲乙两位同学轮番且不放回抓球，每次最少抓 1 个球，最多抓 3 个球，规定谁抓到最后一个球谁赢 . 假如甲先抓，那么以下推测正确的选项是（ A ）若（ C ）若n4 ，则甲有必赢的策略（ B ）若n 9 ，则甲有必赢的策略（ D ）若n 6 ，则乙有必赢的策略n 11 ，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题(含精品解析)

2017-2018学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. 40∘B. 140∘C. −130∘D. −310∘ 2. 设向量a⃗ =（0，2），b ⃗ =（√3，1），则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角等于（） A. π3B. π6C. 2π3D. 5π63. 已知角α的终边经过点P （4，-3），则sin(π2+α)的值为（）A. 35B. −35C. 45D. −454. 为了得到函数y =cos （2x -π3）的图象，只需将函数y =cos2x 的图象（）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为（） A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形6. 同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在[π6，π3]上是增函数”的一个函数是（）A. y =sin(x 2−π3) B. y =cos(2x +π6) C. y =sin(2x −π6)D. y =cos(2x +2π3)7. 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（） A. f (sinα)>f (cos β) B. f (sinα)<f (cos β) C. f (sin α)>f (sin β) D. f (cosα)<f (cos β)8. 若定义[-2018，2018]上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈[-2018，2018]有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2017，且当x ＞0时，有f （x ）＞2017，设f （x ）的最大值、最小值分别为M ，m ，则M +m 的值为（） A. 0 B. 2018 C. 4034 D. 4036 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若θ为第四象限的角，且sinθ=−13，则cosθ=______；sin2θ=______．10. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =√3，A +C =2B ，则△ABC的面积为______． 11. 已知tan x =2，则cos2x +sin （π+x ）cos （π2+x ）=______12. 已知α∈（0，π）且sin （α+π6）=13，则cos （α+π6）=______；sinα=______ 13. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //DC ，∠ABC =90°，AB =3，BC =DC =2，若E ，F分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______． 14. 已知函数f （x ）=2sin2x -2sin 2x -a ．①若f （x ）=0在x ∈R 上有解，则a 的取值范围是______；②若x 1，x 2是函数y =f （x ）在[0，π2]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）=______ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知函数f （x ）=4sin x cos （x +π6）+1．（1）求f （π12）的值；（2）求f （x ）的最小正周期；（3）求f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．16. 已知不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．（1）求a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）；（2）是否存在实数λ，使λa ⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线？（3）若（k a⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），求实数k 的值．17. 设锐角三角形的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin A -cos C =cos （A -B ）．（1）求B 的大小；（2）求cos A +sin C 的取值范围．18. 已知向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）．（1）若|θ−β|=π3，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；（2）若θ+β=π3记f （θ）=a ⃗ ⋅b ⃗ −λ|a ⃗ +b ⃗ |，θ∈[0，π2]．当1≤λ≤2时，求f （θ）的最小值．19. 借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数ℎ(x)={0(x <0)1(x≥0)，例如要表示分段函数g （x ）={x(x ＞2)0(x =2)−x(x ＜2)Z 可以将g （x ）表示为g （x ）=xh （x -2）+（-x ）h （2-x ）．（1）设f （x ）=（x 2-2x +3）h （x -1）+（1-x 2）h （1-x ），请把函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）已知G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）是R 上的减函数，求a 的取值范围；（3）设F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），求函数F （x ）的最小值．20. 一个函数f （x ），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在f （x ）的定义域内，就有f （a ），f （b ），f （c ）也是某个三角形的三边长，则称f （x ）为“保三角形函数”．（1）判断f 1（x ）=x ，f 2（x ）=log 2（6+2sin x -cos 2x ）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，求M 的最小值；（3）若函数h （x ）=sin x （x ∈（0，A ））是“保三角形函数”，求A 的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由50°的角终边相同的角的集合为{α|α=50°+k•360°，k∈Z}．取k=-1，可得α=-310°．∴与50°的角终边相同的角是-310°．故选：D．写出与50°的角终边相同的角的集合，取k=-1得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点P（4，-3），∴p到原点的距离为5∴sinα=，cosα=∴故选：C．利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．已知一个角的终边过某一个点时，利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值．4.【答案】B【解析】解：函数=cos2（x-），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，=，∴=，∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴B=C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cosA=，∴cosA=，A=，∴△ABC是等边三角形．故选：D．根据=得出B=C，得出A=，由此判断△ABC是等边三角形．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线x=对称，可得：2×+=，cos=-，排除选项B，2×+=，cos=-，排除选项D；对于C，函数y=sin（2x-），最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于x=对称；x∈[，]时，2x-∈[，]，∴y=sin（2x-）是单调增函数，C满足条件．故选：C．根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则有f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β＞，则有α＞-β，则有sinα＞sin（-β）=cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A ．根据题意，分析可得f （-x ）=f （x+2），即函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，据此分析可得f （x ）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f （x ）在（0，1）上是增函数即可得出f （sinα）＞f （cosβ），即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性． 8.【答案】C【解析】解：令x 1=x 2=0得f （0）=2f （0）-2017，∴f （0）=2017，令x 1=-x 2得f （0）=f （-x 2）+f （x 2）-2017=2017， ∴f （-x 2）+f （x 2）=4034，令g （x ）=f （x ）-2017，则g max （x ）=M-2017，g min （x ）=m-2017， ∵g （-x ）+g （x ）=f （-x ）+f （x ）-4034=0， ∴g （x ）是奇函数，∴g max （x ）+g min （x ）=0，即M-2017+m-2017=0， ∴M+m=4034．故选：C ．计算f （0）=2017，构造函数g （x ）=f （x ）-2017，判断g （x ）的奇偶性得出结论．本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．9.【答案】2√23；-4√29【解析】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×=-．故答案为：，-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】√32【解析】解：∵A+C=2B ，A+B+C=π， ∴B=，由余弦定理得cosB===，解得c=2或c=-1（舍）． ∴S △ABC =sinB==．故答案为：．利用三角形的内角和解出B ，使用余弦定理解出c ，代入三角形的面积公式计算．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题． 11.【答案】15【解析】解：∵tanx=2，则cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）=cos2x-sinx•（-sinx ）=+=+=+=，故答案为：．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】−2√23；√3+2√26【解析】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（），又sin （α+）=，∴cos （α+）=；则sinα=sin[（）-]=sin （）cos-cos （）sin==．故答案为：；．直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α+）；再由sinα=sin[（）-]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】[−1−√5，√5−1]；2√55【解析】解：f（x）=2sin2x-2sin2x-a=2sin2x-（1-cos2x）-a=2sin2x+cos2x-1-a=-1-a．其中tanθ=①f（x）=0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）=a+1有解，∵∴≤a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）=-1-a．其中tanθ=其对称轴2x+θ=+kπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．∴对称轴x==∴x1+x2=．则sin（x1+x2）=sin（）=cosθ．∵tanθ=，即，∴cosθ=，则sin（x1+x2）=．故答案为：．①利用三角函数的公式化简，f（x）=0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题． 15.【答案】解：函数f （x ）=4sin x （cos x cos π6-sin x sin π6）+1，=2√3sin x cosx-2sin 2x +1，=√3sin2x +cos2x ，=2sin （2x +π6），（1）f （π12）=2sin （2×π12+π6）=2sin π3=√3（2）周期T =2π2=π；（3）由x 在[0，π2]上，∴2x +π6∈[π6，7π6]，当2x +π6=7π6，即x =π2，f （x ）取得最小值为-1；当2x +π6=π2，即x =π6，f （x ）取得最大值为2．【解析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f （x ）化简为f （x ）=2sin （2x+），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x 在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题16.【答案】解：（1）不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．所以：2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅b ⃗ −3b ⃗ 2=20，解得：a⃗ ⋅b ⃗ =775，所以：a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =9−775=-325．（2）存在实数λ=12使λa⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线．由于：λa ⃗ +b ⃗ =λ(a ⃗ −2b ⃗ )，故：（1-2λ）b ⃗ =0⃗ ，所以：λ=12．（3）若（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），则：18k −775k 2+2⋅775−50k =0，整理得：k 2+16077k +2=0，由于△＜0，故方程无解．所以不存在实数，使（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ）．【解析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果．（2）利用向量的共线求出λ的值．（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.【答案】解：（1）设锐角三角形中，sin A -cos C =cos （A -B ），即sin A +cos （A +B ）=cos （A -B ），即sin A +cos A cos B -sin A sin B =cos A cos B +sin A sin B ，即sin A =2sin A sin B ，∴sin B =12，∴B =π6．（2）cos A +sin C =cos A +sin （π-A -B ）=cos A +sin （5π6-A ）=cos A +sin （π6+A ）=cos A +12cos A +√32sin A =√3sin （A +π3）． ∵B =π6，∴A ∈（π3，π2），A +π3∈（2π3，5π6），∴sin （A +π3）∈（12，√32），∴√3sin （A +π3）∈（√32，32），即cos A +sin C 的取值范围为（√32，32）．【解析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB 的值，可得B 的值．（2）化简要求的式子sin （A+），根据A ∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC 的取值范围．本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）， ∴a ⃗ -b ⃗ =（cosθ-cosβ）+（sinθ-sinβ），∴|a ⃗ -b ⃗ |2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos （θ-β）=2-2cos π3=2-1=1，∴|a ⃗ -b ⃗ |=1；（2）a ⃗ •b ⃗ =cosθcosβ+sinθsinβ=cos （θ-β）=cos （2θ-π3），∴|a ⃗ +b ⃗ |=√2+2cos(θ−β)=2|cos （θ-π6）|=2cos （θ-π6），∴f （θ）=cos （2θ-π3）-2λcos （θ-π6）=2cos 2（θ-π3）-2λcos （θ-π6）-1令t =cos （θ-π6），则t ∈[12，1]，∴f （t ）=2t 2-2λt -1=2（t -λ2）2-λ24-1，又1≤λ≤2，12≤λ2≤1，∴t =λ2时，f （t ）有最小值-λ24-1， ∴f （θ）的最小值为-λ24-1．【解析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f （θ）=2cos 2（θ-）-2λcos （θ-）-1，令t=cos （θ-），根据二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）当x ＞1时，x -1＞0，1-x ＜0，可得f （x ）=（x 2-2x +3）+0•（1-x 2）=x 2-2x +3；当x =1时，f （x ）=2；当x ＜1时，x -1＜0，1-x ＞0，可得f （x ）=1-x 2．即有f （x ）={x 2−2x +3，x ＞12，x =11−x 2，x ＜1；（2）G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）={log ax,x >1(3a−1)x+4a,x≤1，由y =G （x ）是R 上的减函数，可得{3a −1＜03a −1+4a ≥00＜a ＜1，解得17≤a ＜13；（3）F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），当x ＞a 时，x -a ＞0，可得F （x ）=x 2+x -a +1；若a ≥-12，可得F （x ）在x ＞a 递增，可得F （x ）＞F （a ）=a 2+1；若a ＜-12，可得F （x ）的最小值为F （-12）=34-a ；当x =a 时，可得F （x ）=2（a 2+1）；当x ＜a 时，x -a ＜0，a -x ＞0，则F （x ）=x 2-x +a +1．若a ≥12，可得F （x ）在x ＜a 的最小值为F （12）=a +34；若a ＜12，可得F （x ）在x ＜a 递减，即有F （x ）＞F （a ）=a 2+1．①当a ≥12时，F （x ）在区间（-∞，-12）上单调递减，在区间（-12，a ）上单调递增，在区间（a ，+∞）上单调递增，可得F （-12）为最小值，且为14-12+a +1=a +34；②当-12＜a ＜12时，F （x ）在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，+∞）上单调递增．F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1；③当a ≤-12时，在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，-12）上单调递减，在区间（-12，+∞）上单调递增．所以F （x ）的最小值为F （12）=-a +34；综上所述，得当a ≤-12时，F （x ）的最小值为-a +34；当a ≥12时，F （x ）的最小值为为a +34；当-12＜a ＜12时，F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1．【解析】（1）分当x ＞1、当x=1和当x ＜1时3种情况加以讨论，分别根据S （x ）的对应法则代入，可得f （x ）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G （x ），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a 的范围；（3）由题意，讨论x ＞a ，x=a ，x ＜a ，求得F （x ）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a≥、-＜a ＜和a≤-的4种情况进行讨论，最后综合可得F （x ）的最小值．本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.【答案】解：（1）不妨设a ≤c ，b ≤c ，由a +b ＞c ，可得f 1（a ）+f 1（b ）＞f 1（c ），即有f 1（x ）=x 为“保三角形函数”；由6+2sin x -cos 2x =sin 2x +2sin x +5=（sin x +1）2+4∈[4，8]，可得f 2（x ）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f 2（x ）为“保三角形函数”；（2）函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，可得a ≥M ，b ≥M ，a +b ＞c ，即有a -1≥M -1；b -1≥M -1，则（a -1）（b -1）≥（M -1）2，即ab ≥a +b -1+（M -1）2＞c -1+（M -1）2，只要-1+（M -1）2≥0，解得M ≥2，即M 的最小值为2；（3）A 的最大值是5π6．①当A ＞5π6时，取a =5π6=b ，c =π2，显然这3个数属于区间（0，A ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值12、12、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）不是保三角形函数．②当A =5π6时，对于任意的三角形的三边长a 、b 、c ∈（0，5π6），若a +b +c ≥2π，则a ≥2π-b -c ＞2π-5π6-5π6=π3，即a ＞π3，同理可得b ＞π3，c ＞π3，∴a 、b 、c ∈（π3，5π6），∴sin a 、sin b 、sin c ∈（12，1]．由此可得sin a +sin b ＞12+12=1≥sin c ，即sin a +sin b ＞sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．若a +b +c ＜2π，则a+b 2+c 2＜π，当a+b 2≤π2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2≤π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b 2≤1．当a+b 2＞c 2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2＜π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b2＜1．综上可得，0＜sin c 2＜sina+b2≤1．再由|a -b |＜c ＜5π6，以及y =cos x 在（ 0，π）上是减函数，可得cos a−b2=cos |a−b|2＞cos c 2＞cos 5π12＞0，∴sin a +sin b =2sin a+b2cos a−b2＞2sin c 2cos c2=sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．故当A =5π6时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）是保三角形函数，故A 的最大值为5π6．【解析】（1）不妨设a≤c ，b≤c ，由函数的值域，即可得到结论；（2）由对数函数的性质和对数的运算性质，可得M 的最小值；（3）A 的最大值是，讨论①当A ＞时；②当A=时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于综合题．。

XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷

XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=（）A.−2B.−1C.1D.2改写：向量a=(2,1)，向量b=(λ-1,2)，若a+b和a-b共线，则λ=（） A。

-2 B。

-1 C。

1 D。

22.已知3sinα+4cosα=2，则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。

- B。

C。

-2 D。

2改写：已知3sinα+4cosα=2，求1-sinαcosα-cos2α的值，答案为() A。

- B。

C。

-2 D。

23.已知在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，则AB·AC=() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-改写：在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，求XXX的值，答案为() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-4.在△ABC中，若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写：在△ABC中，如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanA-tanB=3，则△ABC的面积为() A。

3/33 B。

- C。

3 D。

33/2改写：已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c，且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanB=3，求△ABC的面积，答案为() A。

3/33 B。

- C。

2017-2018学年第一学期初二数学期末试题和答案

2017-2018学年第一学期期末测试卷初二数学一、选择题（每小题2分，本题共16分）1．剪纸是古老的汉族民间艺术,剪纸的工具材料简便普及，技法易于掌握，有着其他艺术门类不可替代的特性，因而，这一艺术形式从古到今，几乎遍及我国的城镇乡村，深得人民群众的喜爱.请你认真观察下列四幅剪纸图案, 其中不是．．轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．2. 若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是 A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠3. 实数9的平方根是A ．3B ．±3C．3± D ．814. 在下列事件中，是必然事件的是A ．买一张电影票，座位号一定是偶数B ．随时打开电视机，正在播新闻C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．阴天就一定会下雨5. 下列变形中，正确的是A. (23)2＝2×3＝6B.2)52(-＝－52C.169+＝169+ D. )4()9(-⨯-＝49⨯6. 如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍7. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是A. B. C. D.8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是A. B. C. D.二、填空题（每小题2分,本题共16分）9. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．10. 如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________；AE P BCD11. 一个不透明的盒子中装有6张生肖邮票，其中有3张“猴票”，2张“鸡票”和1张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“鸡票”的可能性为 .12. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为______________． 13.mn ＝______________． 14. 小明编写了一个如下程序：输入x →2x →立方根→倒数→算术平方根→21，则x 为 .15. 如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的中点. 如果点P 是AD 上的动点，那么EP+CP 的最小值为______________．16. 如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP ；再过1P 作121OP P P ⊥且21P P =1，得32=OP ；又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ，得 =3OP 2；…依此继续，得=2018OP ， =n OP （n 为自然数，且n ＞0）三、解答题（本大题共9小题，17—25小题，每小题5分，共45分） 17．计算：238)3(1230-+----π18. 计算：1)P 4P 3P 2PP 1O19. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上. AB ∥DE ，∠B =∠E ，AF=DC. 求证：BC =EF .20. 解分式方程：3x 3x 211x x +=-+21. 李老师在黑板上写了一道题目，计算：23311x x x---- .小宇做得最快，立刻拿给李老师看，李老师看完摇了摇头，让小宇回去认真检查. 请你仔细阅读小宇的计算过程，帮助小宇改正错误．23311x x x ----=()()33111x x x x --+-- （A ） =()()()()()3131111x x x x x x +--+-+- （B ） = 33(1)x x --+ （C ） = 26x -- （D ）（1）上述计算过程中，哪一步开始．．出现错误？；(用字母表示) （2）从（B ）到（C ）是否正确？；若不正确，错误的原因是；（3）请你写出此题完整正确的解答过程．D22.如图：在△ABC 中，作AB 边的垂直平分线，交AB 于点E ，交BC 于点F ，连结AF （1（2）你的作图依据是 .（3）若AC=3，BC=5，则△ACF 的周长是23. 先化简，再求值：121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ，其中13-=a ．24. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于 DE ⊥AB 于E, 当时，求DE 的长。

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。

A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。

A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。

A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。

A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。

则下列结论正确的是（）。

A) 若m//α，n//α，则 m//n。

B) 若 m//n，n//α，则m//α。

C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。

D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。

6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。

A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。

A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。

A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。

若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。

北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期末考试化学试卷(原卷版)

北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期末考试化学试卷1. 合金是一类用途广泛的金属材料。

下列物质中，不属于．．．合金的是A. 碳素钢B. 水银C. 青铜D. 黄铜2. 下列物质中，属于非电解质的是A. CO2B. NaOHC. HNO3D. Na2CO33. 下列各组物质，按单质、化合物、混合物顺序排列的是A. 氯水、生石灰、漂白粉B. 液氯、烧碱、氨水C. 生铁、氢氧化铁胶体、空气D. 氮气、盐酸、胆矾4. 下列气体既可以用浓硫酸干燥，又可以用固体氢氧化钠干燥的是A. SO2B. NH3C. Cl2D. O25. 下列各组中物质反应时，反应条件或反应物用量的改变对生成物没有．．影响的是A. 碳与氧气B. 氢氧化钠溶液与二氧化碳C. 钠与氧气D. 氢气与氯气6. 下列关于容量瓶的使用方法中，正确的是A. 使用前要检查是否漏水B. 溶液未经冷却即注入容量瓶中C. 用漏斗向容量瓶中转移溶液D. 可以在容量瓶中直接溶解固体7. 当光束通过下列分散系时，能观察到丁达尔效应的是A. 乙醇溶液B. 硫酸铜溶液C. 蔗糖溶液D. 氢氧化铁胶体8. 下列各组反应，最终一定能得到白色沉淀的是A. 向CaCl2溶液中通入CO2B. 向CuSO4溶液中加入NaOH溶液C. 向FeCl2溶液中加入过量NaOH溶液D. 向MgSO4溶液中加入足量NaOH溶液9. 利用焰色反应，人们在烟花中有意识地加入特定金属元素，使焰火更加绚丽多彩，下列说法中正确的是A. 非金属单质燃烧时火焰均为无色B. NaCl与Na2CO3灼烧时火焰颜色相同C. 焰色反应均应透过蓝色钴玻璃观察D. 只有金属单质灼烧时火焰才有颜色10. 下列解释事实的离子方程式正确的是A. 铁跟稀硝酸反应：Fe+2H+=Fe2++H2↑B. 氯气与水反应：Cl2+H2O=2H++Cl-+ClO-C. NaHCO3溶液与NaOH溶液反应：D. 将钠块投入水中：Na+2H2O=Na++OH-+H2↑11. 浓硫酸有许多重要的性质，在与含有少量水份的蔗糖作用过程中不能．．显示的性质是A. 酸性B. 脱水性C. 强氧化性D. 吸水性12. NaCl、Cl2、NaClO、ClO2、HClO4是按某一规律排列的，下列选项中也完全按照此规律排列的是A. CH4、Na2CO3、C、CO2、NaHCO3B. Na2S、S、SO2、Na2SO3、H2SO4C. FeCl3、Fe、FeCl2、Fe(OH)3、Fe(SCN)3D. NH3、N2、NO、NO2、NaNO313. 下列有关Na2CO3和NaHCO3性质的说法中，正确的是A. 热稳定性：Na2CO3<NaHCO3B. 相同温度下，在水中的溶解度：Na2CO3<NaHCO3C. 等质量的Na2CO3和NaHCO3最多产生CO2的量：Na2CO3<NaHCO3D. 等物质的量的Na2CO3和NaHCO3最多消耗盐酸的量：Na2CO3<NaHCO314. 氯化铁溶液常用做印刷电路时的“腐蚀液”，反应为2FeCl3+Cu=2FeCl2+CuCl2。

2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(A卷)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 以下程序中，输出时的值是输入时的值的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】D【解析】令初始值A＝a，则A＝2(a＋a)＝4a．故选D.2. 已知数列是等比数列，，且，，成等差数列，则（）A. 7B. 12C. 14D. 64【答案】C【解析】分析：先根据条件解出公比，再根据等比数列通项公式求结果.详解：因为，，成等差数列，所以所以，选C.点睛：本题考查等比数列与等差数列基本量，考查基本求解能力.3. 将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A. 0795B. 0780C. 0810D. 0815【答案】A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为所以抽取的第40个数为选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.4. 已知动点满足，则的最大值是（）A. 50B. 60C. 70D. 90【答案】D【解析】分析：先作可行域，根据图像确定目标函数所代表直线取最大值时得最优解.详解:作可行域，根据图像知直线过点A(10,20)时取最大值90，选D,点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头”与“乙不站排头”C. “甲站排头”与“乙站排尾”D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】A【解析】试题分析：事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级10月考试数学试卷本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题：本题共10小题，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（）A. B. C. D.3.设且，则“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面向量，满足，，且，则（）A.12B.4C.D.25.若，则（）A. B. C. D.6.已知函数的部分图象如图所示，则的值是（）B.1C. D.7.在中，若，，，则的面积是（）A.1 B.{2,1,0,1,2,3}U =--{|||2}A x Z x =∈<U A =ð{1,0,1}-{2,2,3}-{2,1,2}--{2,0,3}-3i z =-i z ⋅(1,3)-(3,1)-(1,3)(3,1)R x ∈0x ≠1x >12x x+>a r b r||2a =r ||1b =r 1a b ⋅=r r |2|a b +=r r 01a <<1132a a<23a a<11log log 23aa >sin cos a a>π()2sin()0,||2f x x ⎛⎫=+><⎪⎝⎭ωϕωϕ(π)f -1-ABC △4c =1b a -=1cos 4C =ABC △348.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.9.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（）图1 图2①②；③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.A.4B.3C.2D.1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______.12.设等差数列的前的和为，若，则______.13.在中，点，满足，，若，则______，2()3log 2(1)f xx x =--()0f x >(0,4)(,1)(4,)-∞+∞U (1,4)(0,1)(4,)+∞U R [0,)+∞R a +∈()313log log f a f a ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭2(2)f a 1,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,[9,)9⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U O ||1OA =u u rOB OB ⋅=u u u r u u u r||||OA OC DH -=u u r u u u r u u u r OA u u r OD u u u r r e r OD u u u r P AP AB ⋅u u u r u u u r1()lg 1f x x x =+-{}n a n n S 972S =249a a a ++=ABC △M N 2AM MC =u u u r u u u r BN NC =u u u r u u u rMN xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r x =______.14.已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为______.15.已知函数给出下列四个结论：①当时，存在唯一的零点；②当时，存在最小值；③当时，对任意，，；④的零点个数为，则函数的值域为；其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。

2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试题(解析版)

2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试题一、单选题1．计算：A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】．故选B．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.2．若0<a<1，则函数f（x）=ax+6的图象一定经过A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【答案】A【解析】根据函数y=a x经过第一、第二象限，可得函数f（x）=a x+6 的图象经过的象限．【详解】当0＜a＜1时，由于函数y=a x经过第一、第二象限，函数f（x）=a x+6 的图象是把y=a x 向上平移6个单位得到的，故函数f（x）的图象一定过第一、第二象限，故选：A．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的图象特征，属于基础题．3．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（）A．y=ex B．y=tanx C．y=lnx D．y=x3+x【答案】D【解析】选项A,y=e x 是非奇非偶函数,不合题意;选项B, y=tanx 在每个单调区间上分别递增,但是在定义域内不是增函数,不合题意; 选项C, y=lnx 是非奇非偶函数,不合题意; 故选D. 4．已知函数，若是偶函数，且，则A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】f （x ）是偶函数，且f （2）=1，则,所以g （-2）=,故选C.5．若向量，满足，则A ．0B ．mC ．D ．【答案】A 【解析】由两边平方，化简即可得结果.【详解】向量，满足，，，．故选A ．【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 6．不等式2633x x -+>的解集是（）A ．（-3，2）B ．（-2，3）C ．（-∞，-3）⋃（2，+∞）D ．（-∞，-2）⋃（3，+∞）【答案】A【解析】函数3xy =单调递增，原不等式等价于26x x -+>，即260x x +-<，解得-3<x<2,故选A.7．函数的减区间是 A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可. 【详解】令，求得，故函数的定义域为，且递增，只需求函数在定义域内的减区间．由二次函数的性质求得在定义域内的减区间为，所以函数的减区间是，故选B ．【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）. 8．已知函数sin()(0,0,||)2y A x B A πωφωφ=++>><的周期为T ，在一个周期内的图像如图所示，则正确的结论是（）A ．3,2A T π==B ．2,1=-=ωBC ．6,4πϕπ-==T D ．6,3πϕ==A【答案】C【解析】试题分析：由图知2(4)32A --==，2(4)12B +-==-，42()2233T πππ=--=，∴4T π=，把点4(,2)3π代入13sin()12y x φ=+-得2sin()13πφ+=，∴232k ππφπ+=+，即6k πφπ=-（k ∈Z ），又||2πφ<，∴k=0时，6πφ=-，故选C 【考点】本题考查了三角函数解析式的求法点评：根据图象写出解析式，一般通过图象的最高或最低点先求得函数的周期和振幅，再根据图象上的已知求得初相，进行可求得函数的解析式9．某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10％，但数学成绩每次都比上次降低了10％，期末时这两科分值恰好均为m 分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（） A ．提高了 B ．降低了C ．不提不降（相同）D ．是否提高与m 值有关系【答案】B【解析】设期中考试数学和英语成绩为a 和b,则()()22110%110%a b m -=+=,,, 2.0620.81 1.210.81 1.21m m m ma b a b m m ∴==+=+≈>,所以总成绩比期中降低了,故选B.10．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BEBC= λ， DF DC= μ。

XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷

XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1、已知全集$U=\mathbb{R}$，集合$A=\{x|y=\pi x\}$，则$C_UA=$ $\{x|x\notin A\}$2、函数$f(x)=x^{-1}$在$(-\infty,0)$内的零点为$x=-1$3、关于$x$的方程$2^x=3$的解集为$\{\log_2 3\}$4、函数$f(x)=\dfrac{1}{x+a}$为奇函数，则实数$a$的值为$0$5、集合$A=\{x|x<a\},B=\{x|x<1\}$，若$A\subseteq B$，则实数$a$的取值范围为$a\leq 1$6、比较两数大小: $2^{e^{5031}}$ $>$ $e^{2^{5031}}$7、函数$y=f(x)$的定义域为$(0,1)$，则函数$y=f(2x)$的定义域为$(0,\dfrac{1}{2})$8、幂函数$y=x^{-2}$的单调递减区间为$(0,+\infty)$9、函数$y=f(x)$过定点$(0,2)$，则函数$y=f(x-2)$过定点$(2,2)$10、不等式$|x|-a\geq 0$ 对任意$x\in[-1,2]$恒成立，则实数$a$的最大值为$a=2$11、若函数$f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$，则$f(x)-f(2-x)=\dfrac{4x-10}{x-2}$12、方程$f(x+2018)+f(\dfrac{e-|2-x|}{x-2x-1})-a=0$在$(-\infty,5)$内有两个零点，则实数$a$的取值范围为$a\in(-\infty,4)$二、选择题(每题3分,共12分)13.四个说法中,与“不经冬寒,不知春暖”意义相同的是() C.若知春暖，必经冬寒14、已知实数$x>y$，下列不等式中一定成立的是() B。

2020-2021学年北京市顺义区高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市顺义区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.在复平面内，复数3i−2对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中，正确结论的序号是()A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④3.cos75°=()A. 1+√22B. √6+√24C. √6−√24D. √3+√244.下列各组向量中，可以作为基底的一组是()A. e1⃗⃗⃗ =(0,0)，e2⃗⃗⃗ =(0,1)B. e1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e2⃗⃗⃗ =(3,−6)C. e1⃗⃗⃗ =(3,4)，e2⃗⃗⃗ =(−3,−4)D. e1⃗⃗⃗ =(2,1)，e2⃗⃗⃗ =(2,−34)5.已知复数z满足z⋅i=2+i，则z=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2−iD. 2+i6.为了得到函数y=cos(12x−π6)的图象，只需要将函数y=cos12x图象上所有的点()A. 向左平移π3个单位长度 B. 向左平移π6个单位长度C. 向右平移π3个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度7.一艘船向正北方向航行，速度为每小时20nmile，在A处看灯塔S在船的北偏东30°的方向上．行驶2小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75°的方向上．此时船与灯塔的距离为()A. 10√2nmileB. 10√6nmileC. 20√2nmileD. 20√6nmile8.已知直线a，b与平面α，β，满足α⊥β，α∩β=b，则a⊥b是a⊥β的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.设平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，满足|a⃗|=|b⃗ |，a⃗与b⃗ 的夹角为π，(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=0，则3关于|c⃗|的叙述正确的是()A. 无最大值，无最小值B. 有最大值，无最小值C. 无最大值，有最小值D. 有最大值，有最小值10.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点(点P在线段AC1上运动，包括线段两端点).则下面说法中正确的有()①对任意的点P，△A1DP是等腰三角形；②存在点P，使得AC1⊥平面A1DP；③对任意的点P，△A1DP的面积都不大于√3；2④对任意的点P，△A1DP的面积都不等于√3．6A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）)=______．11.已知tanα=2，则tan(α+π412.以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是______．13.向量a⃗，b⃗ 在正方形网格中的位置如图所示，则cos<a⃗，b⃗ >=______．14.已知四棱锥P−ABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是______(写出所有正确结论的序号)．①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形．15.已知函数f(x)=√3sinx+acosx(a为常数)的一条对称轴为x=π，若x1，x2∈R，3且满足f(x1)+f(x2)=0，f(x)在区间(x1,x2)上是单调函数，则|x1+x2|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,x)，c⃗=(y,1)，且a⃗//b⃗ ，a⃗⊥c⃗．(Ⅰ)求向量b⃗ 和c⃗；(Ⅱ)若d⃗=a⃗+c⃗，求d⃗⋅c⃗．17.已知sinα−cosα=1，0≤α≤π，在下面3个问题中任选2个问题作答：5)的值；①求sin(α−π4②求sin2α的值；③求cos2α的值．18.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，B1B⊥底面ABCD，AD=2BC，AD//BC，∠ABC=π，AB=BC，E为A1D的中点．2(Ⅰ)求证：A1B⊥BC；(Ⅱ)求证：CE//平面A1BA；(Ⅲ)直接写出三棱锥A1−ACD的四个面中直角三角形的个数．19.在△ABC中，cosC=1，c=8．7(Ⅰ)若a=7，求b的值；(Ⅱ)若cosB=11，求角A的大小和△ABC的面积．14)+√3．20.已知函数f(x)=4cosxsin(x−π3(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．(Ⅱ)若当x∈[0,π221.对于给定的正整数n(n≥2)若有限集合A={a1,a2,…,a n}⊆M，且满足a1+a2+....+a n=a1⋅a2…⋅a n，则称A为集合M的n元“调和子集”．(Ⅰ)写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；(Ⅱ)证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；(Ⅲ)求出自然数集N的所有3元“调和子集”．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在复平面内，复数3i−2对应的点的坐标为(−2,3)，在第二象限．故选：B．直接由已知求得复数3i−2对应的点的坐标，再确定其所在的象限即可．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由斜二测画法规则可知，相交不变，故选项①正确；平行线不变，故选项②正确；正方形的直观图是平行四边形，故选项③错误；因为平行于y轴的线段长减半，平行于x轴的线段长不变，故选项④错误．故选：A．利用斜二测画法的规则，对四个选择逐一分析判断即可．本题考查了斜二测画法的理解与应用，其中熟记斜二测画法的规则是解题的关键，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°−sin45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24．故选：C．由75°=45°+30°，利用两角和的余弦公式求解即可．本题考查了两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：选项A：因为0×1=0×0，所以向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 共线，故A错误，选项B：因为−1×(−6)=2×3，所以向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 共线，故B错误，选项C：因为3×(−4)=4×(−3)，所以向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 共线，故C错误，选项D：因为2×(−34)≠1×2，所以向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 不共线，故D正确，故选：D．利用向量共线定理对应各个选项逐个判断即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线定理的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由z⋅i=2+i，得z=2+ii =(2+i)ii⋅i=1−2i．故选：A．按照复数除法运算公式计算即可．本题考查复数除法运算，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵y=cos(12x−π6)=cos12(x−π3)，∴把函数y=cos12x的图形向右平移π3个单位可得到函数y=cos(12x−π6).故选：C．根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．本题考查了三角函数的平移，需要学生牢记“左加右减”准则，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由条件有∠BAS=30°，AB=40，∠SBA=180°−75°=105°，∠BSA= 180°−105°−30°=45°．由正弦定理有ABsin∠BSA = BSsin∠BAS，代入数据得40sin45∘=BSsin30∘，解得BS=20√2．故选：C．利用条件求出△ABS中的已知量，利用正弦定理列式求解．本题考查正弦定理的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：当a ⊂平面β内满足a ⊥b 时，a ⊥β不成立，即充分性不成立，若a ⊥β，则必有a ⊥b ，即必要性成立，即“a ⊥b ”是“a ⊥β”的必要不充分条件，故选：B ．根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质是解决本题的关键，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：如图所示，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， ∵(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，∴CA ⊥CB ，可得点C 在以AB 的中点D 为圆心，AB 为直径的圆上，当且仅当直线OC 过圆心D 时，|c ⃗ |取到最值，即|c ⃗ |的最小值为OC 1=√32|a ⃗ |−12|a ⃗ |，|c ⃗ |的最大值为OC 2=√32|a ⃗ |+12|a ⃗ |．故选：D ．将原条件转化为，点C 在以AB 的中点D 为圆心，AB 为直径的圆上，且当直线OC 过圆心D 时，|c⃗ |取到最值，即可求解．本题主要考查了向量的垂直，考查了数形结合的思维，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：对于①如图建立空间直角坐标系， A 1(1,0，0)，B 1(1,1，0)，C 1(0,1，0)，A(1,0，1)，B(1,1，1)，C(0,1，1)，D(0,0，1)，因为点P 在AC 1上，设P(x,y ，z)，因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(x −1,y ，z −1)=λ(−x ，1−y ，−z)，得x =11+λ，y =λ1+λ，z =11+λ，所以P(11+λ,λ1+λ,11+λ)，所以PA 1=√(11+λ−1)2+(λ1+λ)2+(11+λ)2=√2λ2+1|1+λ|，PD =√(11+λ)2+(λ1+λ)2+(11+λ−1)2=√2λ2+1|1+λ|，所以PA 1=PD.故①正确．对于②：当点P 为平面A 1BD 与直线AC 1的交点时AC 1⊥平面A 1DP ，故②正确；对于由①可知三角形A 1PD 是等腰三角形，所以PA 1与△A 1DP 的面积成正比关系，在Rt △AA 1C 1中，当P 点与C 1重合时，此时PA 1最大，△A 1DP 的面积最大，最大值为△A 1DC 1的面积√34⋅(√2)2=√32，所以③正确；PA 1的最小值即点A 1到直线AC 1的距离，设点A 1到直线AC 1的距离为h ，则ℎ⋅AC 1=AA 1⋅A 1C 1⇒ℎ=AA 1⋅A 1C 1AC 1=1⋅√2√3=√63，所以PA 1的最小值为√63，此时△A 1DP 的面积最小，最小值为12⋅A 1D ⋅√PA 12−(12A 1D)2=12⋅√2⋅√23−12=√36．所以④错误．故选：A ．对于①，建系可证明PA 1=PD ，进而判断①正确；对于②，当点P 为平面A 1BD 与直线AC 1的交点满足AC 1⊥平面A 1DP ；对于③④，根据PA 1与△A 1DP 的面积成正比关系可以求出△A 1DP 的面积的最大最小值，进而判断③④．本题考查线面位置关系的判定，考查三角形面积的最值问题，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．11.【答案】−3【解析】解：∵tanα=2，∴tan(α+π4)=tanα+11−tanαtanπ4=2+11−2×1=−3，故答案为：−3．由条件利用两角和的正切公式计算求得结果．本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．12.【答案】6π【解析】解：边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的几何体为圆柱，该圆柱的底面半径为1，高为1，所以该圆柱的表面积是S=2π×1+2×2π×1=6π．故答案为：6π．求出圆柱的底面半径以及高，利用表面积公式求解即可．本题考查了旋转体的理解与应用，主要考查了圆柱的几何性质的应用以及表面积公式的应用，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．13.【答案】−√22【解析】解：根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则a⃗=(3,1)，b⃗ =(−1,−2)，故|a⃗|=√9+1=√10，|b⃗ |=√1+4=√5，a⃗⋅b⃗ =−3−2=−5，故cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=−√22；故答案为：−√22．根据题意，设正方形网格的边长为1，建立坐标系，表示出a⃗、b⃗ 的坐标，进而求出a⃗、b⃗ 的模以及a⃗⋅b⃗ 的值，由此计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标表示方法，属于基础题．14.【答案】①②③【解析】解：已知四棱锥P−ABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是：如图所示：点E、F、G为AB、BC、的中点，AB，故①正确；所以EF=EG=12对于②：如图所示：分别取PB、PC、AB的中点，所以：构成的平面EFG交CD的中点，故四边形EFGH为等腰梯形，故②正确；对于③，如上图：分别取PA、PB、PC的中点作平面KFG，交PD于点M，得到的四边形KFGM为正方形，故③正确；对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故④错误．故答案为：①②③．直接利用正四棱锥的定义，平面的定义和性质判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：正四棱锥的定义，平面的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】π3【解析】解：∵x=π3是f(x)的对称轴，∴f(π3)=32+12a=±√3+a2，化简可得，a2−2a+1=0，即a=1，∴f(x)=√3sinx+cosx=2sin(x+π6)，对称中心横坐标x+π6=kπ,k∈Z，即x=kπ−π6,k∈Z，∵x1，x2∈R，且满足f(x1)+f(x2)=0，f(x)在区间(x1,x2)上是单调函数，又∵对称中心x=x1+x22，∴|x1+x2|=2×|kπ−π6|，当k=0时，|x1+x2|取得最小值π3．故答案为：π3．根据已知条件x=π3是f(x)的对称轴，可得a=1，再结合对称中心的性质，即可求解．本题考查了三角函数的图像与性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】解：(Ⅰ)因为向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,x)，c⃗=(y,1)，由a⃗//b⃗ ，可得x−4=0，解得x=4，由a⃗⊥c⃗ .可得y+2=0，解得y=−2，所以b⃗ =(2,4)，c⃗=(−2,1)．(Ⅱ)因为d⃗=a⃗+c⃗=(−1,3)，所以d⃗⋅c⃗=(−1)×(−2)+3×1=1．【解析】(Ⅰ)利用向量平行和垂直的坐标运算可得关于x，y的方程，解方程可得x，y 的值，进而可求得向量b⃗ 和c⃗；(Ⅱ)利用向量的坐标运算及数量积运算即可求解．本题主要考查向量共线和垂直的坐标表示，向量的数量积运算，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．17.【答案】解：因为{sinα−cosα=1 5sin2α+cos2α=1，又0≤α≤π，所以解得sinα=45，或−35(舍去)，所以cosα=sinα−15=35，所以：①sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)=√22×(45−35)=√210；②sin2α=2sinαcosα=2×45×35=2425；③cos2α=2cos2α−1=2×925−1=−725．【解析】已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，①利用两角差的正弦公式即可求解；②利用二倍角的正弦公式即可求解；③利用二倍角的余弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：由B1B⊥底面ABCD，可得B1B⊥BC，由∠ABC=π2，可得BC⊥AB，由AB∩B1B=B，可得BC⊥平面A1ABB1，则A1B⊥BC；(Ⅱ)证明：取AD的中点F，连接EF，CF，由AD=2BC，AD//BC，可得AF=BC，且AF//BC，可得四边形ABCF为平行四边形，即有AB//CF，AB⊄平面CEF，可得AB//平面CEF，由EF为△AA1D的中位线，可得AA1//EF，AA1⊄平面CEF，所以AA1//平面CEF，所以平面CEF//平面A1BA，而CE⊂平面CEF，可得CE//平面A1BA；(Ⅲ)直角三角形有△A1AC，△A1AD，△ACD，△A1CD4个．【解析】(Ⅰ)由线面垂直的判定和性质，可得结论；(Ⅱ)取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，由线面平行的判定可得AB//平面CEF ，AA 1//平面CEF ，进而得到平面CEF//平面A 1BA ，可得结论；(Ⅲ)由线面垂直的性质和判定可得结论．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查转化思想和推理能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)若a =7时，cosC =17，c =8，利用c 2=a 2+b 2−2abcosC ，整理得b 2−2b −15=0，解得b =5或−3(负值舍去)，解得b =5．(Ⅱ)若cosB =1114，所以sinB =√1−cos 2B =5√314，由cosC =17，所以sinC =√1−cos 2C =4√37，所以cosA =−cos(B +C)=−1114×17+5√314×4√37=12，由于A ∈(0,π)，所以A =π3．所以S △ABC =12bcsinA =12×5×8×√32=10√3．【解析】(Ⅰ)利用余弦定理的应用求出结果；(Ⅱ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，sin C 的值，利用两角和的余弦公式可求cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值，进而根据三角形的面积公式即可求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20.【答案】解：(I)∵f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx ⋅(sinx ⋅cos π3−cosx ⋅sin π3)+√3=sin2x −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3(1+cos2x)+√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，∴函数f(x)的最小正周期为T =2π2=π，令−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ ,k ∈Z ，解得−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z ，∴函数f(x)的单调增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z．(II)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，由(I)可知，f(x)=2sin(2x−π3)，当x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴当2x−π3=π2，即x=5π12，f(x)取得最大值2，∴m≤2，∴实数m的取值范围(−∞,2]．【解析】(I)运用三角函数的恒等变换，将f(x)化简为2sin(2x−π3)，再结合周期公式和正弦函数的单调性，即可求解．(II)当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，等价于m≤f(x)max，结合x的值与正弦函数的图象，可得函数f(x)的最大值为2，即可求解．本题考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的性质，需要学生较强的综合能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)因为−1+12=−1×12，又{−1,12}⊆Q，所以A={−1,12}是有理数集Q的一个2元“调和子集”；(Ⅱ)证明：设A={a1,a2}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1<a2，①若a1=0，则a2∈N∗，故a1+a2=a1a2不成立；②若a1∈N∗，由a1+a2=a1a2，可得a1=a1a2−a2=a2(a1−1)，所以a1−1=a1a2，因为a1，a2∈N∗，且a1<a2，所以0<a1a2<1，a1−1∈N，故a1−1=a1a2不成立，综上所述，自然数集N不存在2元“调和子集”；(Ⅲ)设A={a1,a2,a3}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1<a2<a3，①若a1=0，则a2∈N∗，故a1+a2+a3=a1a2a3不成立；②若a1∈N∗，则a1a2a3=a1+a2+a3<3a3，可得a1a2<3，满足a1a2<3的正整数只能是a1=1，a2=2，代入a1a2a3=a1+a2+a3，可得a3=3，所以自然数集N的所有3元“调和子集”为{1,2，3}．【解析】(Ⅰ)根据“调和子集”的定义求解即可；(Ⅱ)设A={a1,a2}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1<a2，分a1=0和a1∈N∗两种情况，分别进行讨论求解，即可证明；(Ⅲ)设A={a1,a2,a3}是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1<a2<a3，分a1=0和a1∈N∗两种情况，分别求解即可．本题考查了集合的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．。

2017-2018学年北京市顺义区高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合M={x|-1＜x＜1}，N={x|x≥0}，则集合M∩N=（）A. B. C. D.2.若向量=（0，-1），=（3，2），则向量2的坐标是（）A. B. C. D.3.下列各组函数中表示同一函数的是（）A. 和B. 和C. 和D. 和4.sin15°cos45°+sin75°sin135°的值为（）A. B. C. D.5.如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.函数f（x）=的零点一定位于下列哪个区间（）A. B. C. D.7.设函数f（x）=3sin（2x-）的图象为C，有如下三个论断：①图象C关于直线x=对称②函数f（x）在区间（，）内是减函数③将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C以上三个论断中，正确的论断个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 38.已知a＞0且a≠1，f（x）=x2-a x，当x∈（-1，1）时恒有f（x）＜，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. ，二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.函数y=的定义域为______．10.已知a=（）π，b=，c=logπ，则这三个数从小到大用“＜”；连接的顺序是______．11.已知幂函数f（x）的图象经过（-2，-8），那么f（3）=______．12.已知向量与的夹角为45°，且||=，||=1，则|3|=______．13.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n（n∈N*）年后，则批设备的价值为______万元．14.已知f（x）满足如下关系（1）f（x+）=f（x-）（2）当x∈，]时，f（x）=sin x给出下列四个命题①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的图象在区间（，）（k∈Z）上单调递增；④方程f（x）=|lg x|解的个数为4．其中正确说法的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知集合A={x|-2＜x＜5}，B={x|m＜x＜m+3}．（Ⅰ）若A B=A，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．16.计算：log2-lg4-lg25-2（）．17.已知tanα=2，sinβ=，β∈（，）．（Ⅰ）求cosβ和tan2α的值（Ⅱ）求tan（2α-β）的值．18.已知对数函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过的（9，2）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）如果不等式f（x+1）＜1成立，求实数x的取值范围．19.已知函数f（x）=sin2x-2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值及相应的x值．20.已知函数f（x），φ（x）满足关系f（x）=φ（x）•φ（x+α）（其中α为常数）．（Ⅰ）如果α=1，φ（x）=3x-1，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）如果，φ（x）=cos x，且对任意的x∈R，存在x1，x2∈R，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值；（Ⅲ）如果φ（x）=A sinωx（A＞0，ω＞0），求函数f（x）的最小正周期（只需写出结论）答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|-1＜x＜1}，N={x|x≥0}，则集合M∩N={x|0≤x＜1}=[0，1），故选C．运用交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法解题，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：根据题意，向量=（0，-1），=（3，2），则2=（0，-2）则2=（3，0）；故选：D．根据题意，由向量的坐标计算公式可得2=（0，-2），进而由向量加法的坐标计算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系．根据偶次根号下被开方数大于等于0求出A、C中函数的定义域；对B、D中函数的解析式进行化简后，根据相同函数的定义进行判断．【解答】解：A、由于函数y=的定义域是[0，+∞），即两个函数的定义域不同，则A不对；B、由于函数y==x，即两个函数的解析式不同，则B不对；C、由于函数y=2log a x的定义域是(0，+∞），即两个函数的定义域不同，则C不对；D、由于函数y=log a a x=x，则D对．故选D．4.【答案】A【解析】解：sin15°cos45°+sin75°sin135°=sin15°cos45°+cos75°sin45°=sin（15°+45°）=sin60°=，故选：A．由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，∴，∴角θ所在的象限是第二象限．故选：B．直接由点P（sinθ，cosθ）位于第四象限求出sinθ和cosθ的符号，则答案可求．本题考查了三角函数值的符号，是基础的会考题型．6.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）==（）x-，其定义域为[0，+∞），且在其定义域上为减函数，则f（0）=（）0-0=1＞0，f（1）=（）1-1=-＜0，则f（0）f（1）＜0．则函数的零点在（0，1）上，故选：A．根据题意，由函数的解析式计算可得f（0）f（1）＜0，由函数的零点判定定理分析可得答案．本题考查函数的零点判定定理，注意二分法的运用，7.【答案】C【解析】解：函数f（x）=3sin（2x-），对于①：当x=时，可得f（x）的值为-3，取得最小值．∴①对；对于②：由≤2x-≤，可得：，∴函数f（x）在区间（）内是减函数，②对；对于③：函数y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到：y=3sin2（x-）=3sin（2x-），∴③不对．故选：C．根据正弦函数的图象及性质即可判断各选项．本题考查了正弦型三角函数的图象及性质的综合应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意可知，a x＞x2-在（-1，1）上恒成立，令y1=a x，y2=x2-，由图象知：0＜a＜1时a1≥1-，即≤a＜1；当a＞1时，a-1≥1-，可得1＜a≤3．∴≤a＜1或1＜a≤3．故选B．由题意可知，a x＞x2-在（-1，1）上恒成立，令y1=a x，y2=x2-，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．本题考查不等式组的解法，体现了数形结合和转化的数学思想．9.【答案】{x|x≤1且x≠0}【解析】解：由，得x≤1且x≠0．∴函数y=的定义域为{x|x≤1且x≠0}．故答案为：{x|x≤1且x≠0}．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．10.【答案】c＜a＜b【解析】解：a=（）π∈（0，1），b=＞1，c=logπ＜0，则这三个数从小到大为：c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．利用函数的单调性即可得出．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】27【解析】解：设幂函数f（x）=xα，其图象过点（-2，-8），∴（-2）α=-8，解得α=3；∴f（x）=x3，∴f（3）=33=27．故答案为：27．利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再计算f（x）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．12.【答案】【解析】解：根据题意，向量与的夹角为45°，且||=，||=1，则•=×1×=1，则（3-4）2=92+162-12•=；则|3-4|=，故答案为：．根据题意，由数量积的计算公式分析可得（3-4）2=92+162-12•，代入数据计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．13.【答案】a（1-b%）n【解析】解：∵每年比上一年价值降低b%，∴每年的价值是上一年价值的（1-b%），则则n（n∈N*）年后，则批设备的价值为a（1-b%）n，故答案为：a（1-b%）n根据函数的应用，建立比例关系进行求解即可．本题主要考查函数的应用问题，结合指数函数的模型是解决本题的关键．14.【答案】①②③④【解析】解：∵f（x）满足如下关系：（1）f（x+）=f（x-），（2）当x]时，f（x）=sinx，∴f（x+π）=f[（x+）+]=f[（x+）-]=f（x），∴函数f（x）是周期为π的周期函数，故①正确．根据（2）以及函数f（x）是周期为π的周期函数，画出f（x）的图象，如图：可得②③都正确．再画出y=|lgx|的图象（图中红色曲线），数形结合可得f（x）的图象和y=|lgx|的图象有4个交点，故④正确，故答案为：①②③④．利用已知条件可得函数f（x）是正确为π的函数，先画出当x∈[-，]时f（x）=sinx的图象，进而据周期再画出定义域内的图象；根据偶函数的性质可画出函数f（x）=lg|x|，即可得出答案．本题综合考查了函数的周期性、单调性及函数的交点，利用数形结合并据已知条件正确画出图象是解题的关键，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵集合A={x|-2＜x＜5}，B={x|m＜x＜m+3}．A B=A，∴B⊆A，∴ ，解得-2≤m≤2，∴实数m的取值范围是[-2，2]．（Ⅱ）∵A∩B≠∅，∴m＜-2＜m+3或m＜2＜m+3，解得-5＜m＜2．∴实数m的取值范围是（-5，2）．【解析】（Ⅰ）由A B=A，得B⊆A，由此列出不等式组，能求出实数m的取值范围．（Ⅱ）由A∩B≠∅，得m＜-2＜m+3或m＜2＜m+3，由此能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.【答案】解：原式=-lg（4×25）+2-2×=-2+2-2×=-1．【解析】利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了对数与指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）由sinβ=，β∈（，），得cosβ=-．由tanα=2，得tan2α=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，tanβ=，又tan2α=，∴tan（2α-β）===．【解析】（Ⅰ）由已知利用平方关系求得cosβ，由二倍角正切求得tan2α的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得tanβ，然后展开两角差的正切求得tan（2α-β）的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角差的正切，是基础的计算题．18.【答案】解：（Ⅰ）因为log a9=2，所以a2=9，因为a＞0，所以a=3．（Ⅱ）因为f（x+1）＜1，也就是log3（x+1）＜1，所以log3（x+1）＜log33，所以，解得：-1＜x＜2，所以实数x的取值范围是{x|-1＜x＜2}．【解析】（Ⅰ）根据log a9=2，求出a的值即可；（Ⅱ）根据函数的单调性问题转化为关于x的不等式组，解出即可．本题考查了对数函数的性质以及函数的单调性问题，是一道基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，∴f（）=sin-2×=-．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x-∈[-，]，函数f（x）=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，故当2x-=，即x=时，函数f（x）取得最大值为-1．【解析】（Ⅰ）根据f（x）的解析式，直接求得f（）的值．（Ⅱ）当x∈[0，]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值及相应的x值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）因为α=1，φ（x）=3x-1，所以f（x）=（3x-1）（3x+1-1）=3•（3x）2-4•3x+1，令t=3x（t＞0），所以是求函数y=3t2-4t+1（t＞0）的值域，且f（）=3×-4×+1=-，所以f（x）的值域为[-，+∞）；（Ⅱ）因为α=，φ（x）=cos x，所以f（x）=cos x•cos（x+）=-sin x cosx=-sin2x，因为对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，所以f（x1），f（x2）应该分别为函数φ（x）在R上的最大值和最小值，所以|x1-x2|的最小值就是函数φ（x）的半周期，也就是|x1-x2|的最小值为；（Ⅲ）φ（x）=A sinωx（A＞0，ω＞0），∴f（x）=A sinωx•A sinω（x+α）=A2sinωx•（sinωx cosα+cosωx sinα）=A2（sin2ωx cosα+sinωx cosωx sinα），由α为常数，利用二倍角公式化简，求出函数f（x）的最小正周期为=．【解析】（Ⅰ）α=时，求得f（x）的解析式，利用换元法，结合二次函数的单调性求得f（x）的值域；（Ⅱ）α=时，求得f（x）的解析式，利用三角函数的图象与性质，求得|x1-x2|的最小值；（Ⅱ）由φ（x）=Asinωx求得f（x）的解析式，利用二倍角公式化简求出f（x）的最小正周期．本题考查了抽象函数的周期性单调性与值域、三角函数的图象与性质应用问题，是中档题．。

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高一(下)月考数学试卷(4月份)+答案解析

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的值为()A. B. C. D.2.在平面直角坐标系xOy中，若角的终边经过点，则，分别为()A.，3B.3，C.，D.，3.设O，A，B，C为平面四个不同点，它们满足，则()A.A，B，C三点共线B.O，B，C三点共线C.A，O，C三点共线D.A，B，O三点共线4.下列条件满足为直角三角形的个数为()①；②；③A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知，那么下列命题成立的是()A.若，是第一象限角，则B.若，是第二象限角，则C.若，是第三象限角，则D.若，是第四象限角，则6.函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是()A. B. C. D.二、填空题：本题共9小题，共41分。

7.两个非零向量，共线，则______.8.设，为方程的两个根，且，则m的值为______.9.函数在上的值域为______.10.已知，，则与的夹角为______.11.函数图像上的点向右平移个单位后得到，若落在函数上，则s的最小值为______.12.若，则的值______.13.如图，函数，则______；______.14.若是奇函数，则有序实数对可以是______写出你认为正确的一组数即可15.在平面直角坐标系xOy中，，集合，下列结论正确的是______.①点；②若，则；③若，则的最小值为三、解答题：本题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题13分已知函数的最小正周期为Ⅰ求的值；Ⅱ求函数的单调递增区间．17.本小题13分在中，角A，B，C对应边长分别为a，b，c，其中，，求c；求18.本小题14分在中，角A，B，C对应边长分别为a，b，设AD，BE，CF是的三条中线，用，表示，，；设，，求证：用向量方法证明19.本小题15分设是方程的一组解，计算：；求的值.20.本小题15分已知函数，求，的值并直接写出的最小正周期；求的最大值并写出取得最大值时x的集合；定义，，求函数的最小值.21.本小题15分已知集合…，，，，2，…，，对于…，，…，，定义A与B的差为…，，A与B之间的距离为直接写出中元素的个数，并证明：任意A，，有；证明：任意A，B，，有是偶数；证明：，B，，有答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.由，及特殊角的三角函数值解之．【解答】解：，故选2.【答案】D【解析】解：因为角的终边经过点，由三角函数的定义可知，，故选：根据三角函数的定义计算可得．本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，，即，，则，可得A，B，C三点共线．故选：根据平面向量线性运算法则得到，即可判断．本题考查平面向量的加减运算，考查共线向量基本定理的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：对于①：，所以，所以，，所以，又，所以，则为直角三角形，故①正确；对于②：，则，即，又，所以，则，即为直角三角形，故②正确；对于③：当，，则，，满足，但是为钝角三角形，故③错误．故选：利用和差角公式判断①②，利用特殊值判断③．本题主要考查了和差角公式的应用，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：因为，A：若，是第一象限角，，在为减函数，则，故A选项错误，B：若，是第二象限角，，在为减函数，则，故B选项错误，C：若，是第三象限角，，在为增函数，则，故C选项错误，D：若，是第四象限角，，在为增函数，则，故D选项正确．故选：根据已知条件，可知角的大小，再根据角的大小判断选项即可．本题考查了三角函数线相关的知识，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题知，，，均在上，，，，故有：，，两等式联立，解得，，，，，综上选项B正确．故选：根据，在上，可得出，，再联立，得到s的值，根据缩小s的取值范围，进而代入求值即可．本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．7.【答案】1【解析】解：根据题意，因为，共线，故，故或，而当时，，与题意不合，舍，故，故答案为：根据题意，根据共线向量的坐标形式可求x的值，即可得答案．本题考查向量平行的判断，注意零向量的定义，属于基础题．8.【答案】8【解析】解：因为，为方程的两个根，所以即，且，又，所以，所以，解得故答案为：8利用韦达定理计算可得．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．9.【答案】【解析】解：由余弦函数的性质，可得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，又因为，所以函数的值域为故答案为：根据题意结合余弦函数的图象与性质即可求解．本题考查了余弦函数的图象与性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．10.【答案】【解析】解：已知，，，，故答案为由内积公式知将两向量的坐标代入即可求得两向量夹角的余弦，再由三角函数值求角本题考查向量的内积公式，用内积公式的变形形式求两个向量的夹角．11.【答案】【解析】解：因为点在函数图像上，所以，由题意可知，又落在函数上，所以，解得或，即或，又，所以，即s的最小值为故答案为：先把点代入求出，再把代入，求出s值，结合求出其最小值即可．本题主要考查了三角函数图象的变换的应用，属于中档题．12.【答案】【解析】解：因为，则，即，所以所以故答案为：利用两角和的正切公式计算可得．本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：由图象可知，函数的周期为，所以，根据五点法，当时，，所以，因为，所以故答案为：；由周期的定义结合图象可得，代入点后再结合余弦函数值可得，即可得解．本题考查了由的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：因为，，若是奇函数，则即可，可以取，故答案为：答案不唯一首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数a，b应该满足的条件，按等式关系选取答案即可．本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用，还考查了奇函数的定义，属于基础题．15.【答案】②③【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，，，，集合，，，，点P在边长为2的正方形OBEF区域内包括边界上的点，如图所示：显然，①错误；若，即P在OE上，则，又，，又、不共线，，②正确；又，则N在以原点为圆心，半径为1的圆上，由图可知当P在E点且N在EO的延长线与圆的交点时，取得最小值，即的最小值为，③正确．综上所述，①错误．正确的为②③．故答案为：②③．首先求出点P所在的平面区域，再数形结合即可判断．本题考查平面向量数量积的性质及其坐标运算，考查方程思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．16.【答案】解：Ⅰ的最小正周期为，且，从而有，故Ⅱ由Ⅰ知，令，，有，，解得，故得的单调递增区间为，【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．Ⅰ利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，再利用周期公式求的值Ⅱ将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；17.【答案】解：因为，，，由余弦定理得，即，解得负值舍去，故c值为；由正弦定理可得：，即故值为【解析】利用余弦定理求解即可；利用正弦定理求解即可．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．18.【答案】解：在中，，BE，CF是的三条中线，；；证明：在中，，，令，，，则，，，；，，，即【解析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；根据题意，得到，结合向量的数量积的运算公式和数量积的几何意义，即可得证．本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查数形结合思想的运用，属于中档题．19.【答案】解：因为是方程的一组解，所以，即，即，则因为，又，所以原式，即【解析】依题意可得，即，再将所求式子化简，最后整体代入即可；由将所求式子展开，再代入计算可得．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．20.【答案】解：，又，而的最小正周期为，故的最小正周期为因为，故，故，此时即即，此时即即综上，，对应的x的集合为；，对应的x的集合为当时，，由可得；当时，，由可得；当时，，综上，，故【解析】根据特殊角的三角函数值可求，的值，而，故可求的最小正周期．先求出，结合的化简结果可得何时取何最值．利用的结合可求的解析式，故可求其最小值．本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：因为，，2，，n，，可知均为2个值可取，所以中元素的个数为，对于任意，，可知，，，2，，n，，则的结果如下表所示：01001110可得，所以证明：设，，，由题意知：，，，当时，；当时，；综上所述：，所以；设，，，，可知，，，则，所以中1的个数为k，中1的个数为l，设t是使成立的i的个数，则，可得，由此可知：k，l，h三个数不可能都是奇数，即，，三个数中至少有一个是偶数．故任意A，B，，有是偶数．证明：设，，由可知：，，，由题意知：，，，当时，；但，可得，即；当时，，但，可得，即；综上所述：，由i的任意性可得：，所以【解析】根据题意分析可知中元素的个数为，结合定义可得，即可证明结论；根据题意先证，设，，，，t是使成立的i的个数，可知，即可分析证明；根据题意分析可得，进而可得结果．本题考查数列的综合应用，属于难题．。

2023-2024学年北京市顺义区高一(下)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市顺义区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量，，那么向量可以是()A. B. C. D.3.在中，已知，，，则()A. B. C. D.4.已知，则()A. B.2 C. D.15.以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为2，则该几何体的体积为()A. B. C. D.6.已知直线m，n，l与平面，则下列四个命题中正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则7.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是()A. B. C. D.8.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了xkm到达B地，然后由B地向北偏西方向骑行了到达C地，此时这个人由A地到C地位移的大小为3km，那么x的值为()A.3B.6C.3或6D.9.已知，且点P是所在平面内的动点，满足则的最小值为()A.2B.C.1D.10.如图，在扇形OMN中，半径，圆心角，B是上的动点点B不与M、N及的中点重合，矩形ABCD内接于扇形OMN，且，设矩形ABCD的面积S与的关系为，则最大值为()A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设复数z满足，则______.12.在锐角中，，，的面积为，则______.13.在长方形ABCD中，，，点P满足，则______，______.14.已知函数为常数，的部分图象如图所示，则______；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点Q，且点Q仍在函数的图象上，则t的最小值为______.15.已知正方体的边长为2，且M为棱的中点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD所成的角为，给出下列四个结论：①存在点P使得；②点P的轨迹长度为；③三棱锥的体积的最小值为；④线段长度最小值为其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。

2021-2022学年北京市顺义区高一上学期数学期末考试卷带讲解

对于B，当时，则一定成立，当时，由，得，则，所以B正确，
对于C，若时，满足，而不满足，所以C错误，
对于D，若时，则满足，而不满足，所以D错误，
故选：B
9.已知函数，则函数在上单调递增，是恒成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
又，所以，
所以函数在上单调递减.
【小问3详解】
因为为奇函数，所以，
由得
，
即，
由（2）可知,函数在上单调递减，
所以，
即，解得或，
所以的取值范围为 .
20.为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题.
(2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，当时，设，因函数的图象经过点A，即，解得，
又当时，，解得，而图象过点，则，因此，
所以与的函数关系式是 .
【小问2详解】
由(1)知，因药物释放完毕后有，，
则当空气中每立方米的药物含量降低到 mg以下，有，解得：，
根据集合的交集的概念及运算，可得 .
故选：B.
2.下列函数中为奇函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】利用奇函数的定义逐个分析判断
【详解】对于A，定义域为，因为，所以是偶函数，所以A错误，

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，则M ∩N ＝（） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{0，1}2．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（） A ．y ＝x 3+xB ．y ＝9+x 2C ．y ＝|x |D ．y =1x3．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，则“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tan α＝﹣2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝5，b ＝6，满足条件的△ABC （） A ．有无数多个 B ．有两个 C ．有一个D ．不存在5．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是（） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．a 3＜b 3D ．e a ﹣b ＜e b6．在△ABC 中，AD →=32DC →，P 是直线BD 上的一点，若AP →=tAB →+25AC →则实数t 的值为（）A ．−13B ．13C ．−23D ．237．已知正项等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC ＝100m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m9．已知函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，若定义max{a，b}={a，a≥bb，a＜b，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}在区间(π2，3π2)内的图象是（）A．B．C．D．10．过直线x+y＝4上一动点M，向圆O：x2+y2＝4引两条切线，A、B为切点，则圆O上的动点P到直线AB距离的最大值等于（）A．1+√2B．2+√2C．√3+√2D．3+√2二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为．12．已知复数z＝2+i，则z•z=．13．已知方程x2m+2+y21−m=1表示椭圆，则实数m的取值范围．14．如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧CÊ的中点，H是圆弧DF̂上的动点（含端点），给出下列四个结论：①存在点H，使得EH⊥BG；②不存在点H，使得EH∥BD；③存在点H，使得EH∥平面BDG；④不存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°．其中，所有正确结论的序号为．15．首项为正数的数列{a n}满足a n+1=14(a n2+3)，n∈N+，若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，则a1的取值范围是．三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a 的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调递减区间；（3）求使f （x ）≥0成立的x 的取值集合．17．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b （√3sin C +cos C ）．（1）求B ；（2）已知BC ＝2√3，D 为边AB 上的一点，若BD ＝1，∠ACD =π2，求AC 的长．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝1．在底面ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2．（Ⅰ）求证：AB ∥平面POC ；（Ⅱ）求二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值．19．（14分）已知函数f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，令g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ），x ∈[1，2]，求证：g(x)≥12． 20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且点T （2，1）在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）判断|OM |+|ON |的值是否为定值，并证明你的结论．21．（15分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0}D．{0，1}解：集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：D．2．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3+x B．y＝9+x2C．y＝|x|D．y=1x解：y＝x3+x为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，A满足条件．y＝9+x2为偶函数，B不满足条件；y＝|x|是偶函数，C不满足条件；y=1x在（0，+∞）上单调递减，D不满足条件．故选：A．3．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，则“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tanα＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：当角α的终边过点（﹣1，2）时，根据三角函数的定义，可得tanα＝﹣2，充分性成立；当tanα＝﹣2时，α为第二象限角或第四象限角，若α为第四象限角，则角α的终边不过点（﹣1，2），必要性不成立．所以“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tanα＝﹣2”的充分不必要条件．故选：A．4．在△ABC中，∠A＝60°，a＝5，b＝6，满足条件的△ABC（）A．有无数多个B．有两个C．有一个D．不存在解：∵A＝60°，a＝5，b＝6，∴由正弦定理可得5sin60°=6sinB∴sin B =6×√325=3√35＞1，故∠B 不存在．故选：D ．5．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是（） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．a 3＜b 3D ．e a ﹣b ＜e b解：a ＜b ＜0，则1a＞1b，故A 错误；ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＞0，即ab ＞b 2，故B 错误； y ＝x 3在R 上单调递增，a ＜b ，则a 3＜b 3，故C 正确；令a ＝﹣2，b ＝﹣1，满足a ＜b ＜0，但e a ﹣b ＝e b ，故D 错误．故选：C ．6．在△ABC 中，AD →=32DC →，P 是直线BD 上的一点，若AP →=tAB →+25AC →则实数t 的值为（）A ．−13B ．13C ．−23D ．23解：因为AD →=32DC →，且AP →=tAB →+25AC →，所以AP →=t AB →+25AC →=t AB →+23AD →；因为B ，P ，D 三点共线，所以t +23=1，所以t =13．故选：B ．7．已知正项等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，正项等比数列{a n }的公比为q ，若0＜q ＜1，则数列{a n }为递减的等比数列，则有a 8＜a 7，即S 9﹣S 8＜S 8﹣S 7，变形可得S 7+S 9＜2S 8，故“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的充分条件，当q ＝1时，数列{a n }为常数列，有S n ＝na 1，则有S 7+S 9＝16a 1＝2S 8，故“0＜q ＜1”不是“S 7+S 9≤2S 8”的必要条件，故“0＜q＜1”是“S7+S9≤2S8”的充分不必要条件．故选：A．8．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m解：如图，设球的半径为R，则AB=√3R，∵BC=Rtan10°−√3R=100，∴R=1001tan10°−√3=100sin10°cos10°−√3sin10°=100sin10°2sin(30°−10°)=50sin10°sin20°=50sin10°2sin10°cos10°=25cos10°=250.985，∴2R=500.985≈50.76，故选：B．9．已知函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，若定义max{a，b}={a，a≥bb，a＜b，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}在区间(π2，3π2)内的图象是（）A．B．C．D．解：根据题意，函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，即f（x）＝2tan（ωx）的周期为π，必有πω=π，则ω＝1，则f（x）＝2tan x，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}＝max{2tan x，2sin x}={2sinx，π2＜x＜π2tanx，π≤x＜3π2，分析选项：A符合；故选：A．10．过直线x+y＝4上一动点M，向圆O：x2+y2＝4引两条切线，A、B为切点，则圆O上的动点P到直线AB距离的最大值等于（）A．1+√2B．2+√2C．√3+√2D．3+√2解：由题意知，设点M（a，b）在直线x+y＝4上，则a+b＝4，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则MA⊥OA，MB⊥OB，所以点A，B在以OM为直径的圆上，且该圆的方程为(x−a2)2+(y−b2)2=14(a2+b2)，又圆O的方程为x2+y2＝4，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为ax+by＝4，即ax+by﹣4＝0．因为a+b＝4，所以b＝4﹣a，所以a（x﹣y）+4y﹣4＝0．当x＝y且4y﹣4＝0，即x＝y＝1时，该方程恒成立，所以直线AB恒过定点N（1，1），所以点P到直线AB距离的最大值即为点O，N之间的距离加上圆O的半径．又O（0，0），r＝2，所以|ON|=√2，即动点P到直线AB距离的最大值为√2+2．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}．解：要使函数f（x）＝log2（1﹣x）有意义，则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}12．已知复数z＝2+i，则z•z=5．解：z＝2+i，则z•z=（2+i）（2﹣i）＝5．故答案为：5．13．已知方程x2m+2+y21−m=1表示椭圆，则实数m的取值范围(−2，−12)∪(−12，1)．解：已知方程x 2m+2+y 21−m=1表示椭圆，则{m +2＞01−m ＞0m +2≠1−m，则−2＜m ＜−12或−12＜m ＜1，则实数m 的取值范围(−2，−12)∪(−12，1)．故答案为：(−2，−12)∪(−12，1)．14．如图所示的几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，设G 是圆弧CE ̂的中点，H 是圆弧DF ̂上的动点（含端点），给出下列四个结论： ①存在点H ，使得EH ⊥BG ； ②不存在点H ，使得EH ∥BD ； ③存在点H ，使得EH ∥平面BDG ；④不存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°．其中，所有正确结论的序号为 ①②③ ．解：由题意可将图形补全为一个正方体ADMF ﹣BCNE ，如图所示：对于①，因为EF ⊥平面BCNE ，BG ⊂平面BCNE ，所以EF ⊥BG ，所以当F ，H 重合时，有EH ⊥BG ，故①正确；对于②，因为BD ∥EM ，若EH ∥BD ，则EH ∥EM ，又EH ∩EM ＝E ，则EH ，EM 重合，因为H 是圆弧DF̂上的动点，EH ，EM 不可能重合，所以EH ∥BD 不成立，故②正确；对于③，以A 为原点，AD ，AF ，AB 所在直线为x ，y ，z 轴的建立如图所示的空间直角坐标系，设BC ＝2，则A （0，0，0），D （2，0，0），E （0，2，2），F （0，2，0），B （0，0，2），C （2，0，2），G(√2，√2，2)，H （m ，n ，0）（m 2+n 2＝4，m ＞0，n ＞0），所以BD →=(2，0，−2)，BG →=(√2，√2，0)，EH →=(m ，n −2，−2)，设平面BDG 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=2x −2z =0n →⋅BG →=√2x +√2y =0，令x ＝1，得y ＝﹣1，z ＝1，所以n →=(1，−1，1)，假设EH ∥平面BDG ，则n →⋅EH →=m −n +2−2=0，所以m ＝n ，因为m 2+n 2＝4，m ＞0，n ＞0，所以m =n =√2，即H 是圆弧DF ̂的中点，符合题意，所以存在点H ，使得EH ∥平面BDG ，故③正确；对于④，当点H 与点F 重合时，直线EH 与平面BDG 所成角最大，因为EF →=BA →=(0，0，−2)，所以cos ＜n →，EF →＞=n →⋅EF→|n →||EF →|=−2√3×2=−√33，此时直线EH 与平面BDG 的所成角的正弦值为√33，由√33＞12，得直线EH 与平面BDG 的所成角的最大角大于30°，所以存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°，故④错误．故答案为：①②③．15．首项为正数的数列{a n }满足a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n +1＞a n ，则a 1的取值范围是 0＜a 1＜1或a 1＞3 ．解：由a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n +1＞a n ，得：14(a n 2+3)＞a n 解得：a n ＜1或a n ＞3又∵首项为正数 ∴0＜a 1＜1或a 1＞3 故答案为：0＜a 1＜1或a 1＞3三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a 的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调递减区间；（3）求使f （x ）≥0成立的x 的取值集合．解：（1）由题意：函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a ，化简得：f （x ）＝sin x cos π6+cos x sin π6+sin x cos π6−cos x sin π6+cos x +a=√3sin x+cos x+a＝2sin（x+π6）+a，∵sin（x+π6）的最大值为1，∴f（x）＝2×1+a＝1，解得：a＝﹣1．（2）∵由（1）可知f（x）＝2sin（x+π6）﹣1．根据三角函数的性质可得：x+π6∈[2kπ+π2，2kπ+3π2]（k∈Z）．即2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，（k∈Z）∴解得：2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+π3，2kπ+4π3]（k∈Z）；（3）∵由题意：f（x）≥0，即2sin（x+π6）﹣1≥0，可得：sin（x+π6）≥12．∴2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6，（k∈Z）．解得：2kπ≤x≤2kπ+2π3．∴f（x）≥0成立的x的取值范围是{x|2kπ≤x≤2kπ+2π3}，（k∈Z）．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b（√3sin C+cos C）．（1）求B；（2）已知BC＝2√3，D为边AB上的一点，若BD＝1，∠ACD=π2，求AC的长．解：（1）因为a＝b（√3sin C+cos C），所以sin A＝sin B（√3sin C+cos C），即sin B cos C+cos B sin C=√3sin B sin C+sin B cos C，所以cos B sin C=√3sin B sin C，因为sin C＞0，所以cos B =√3sin B ，所以tan B =√33，因为B ∈（0，π），所以B =π6．（2）因为BC ＝2√3，BD ＝1，∠B =π6，根据余弦定理得CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD •cos B ＝1+12﹣2×1×2√3×√32=7，所以CD =√7，因为∠BDC =π2+∠A ，所以sin ∠BDC ＝sin （π2+∠A ）＝cos A ，在△BDC 中，由正弦定理知，BC sin∠BDC =CD sin∠B ，所以2√3cosA =√712，所以cos A =√217，tan A =2√33=CD AC ，所以AC =√212．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝1．在底面ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2．（Ⅰ）求证：AB ∥平面POC ；（Ⅱ）求二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值．（Ⅰ）证明：在四边形ABCD 中，因为BC ∥AD ，BC =12AD ，O 是AD 的中点，则BC ∥AO ，BC ＝AO ，所以四边形ABCO 是平行四边形，所以AB ∥OC ，又因为AB ⊄平面POC ，CO ⊂平面POC ，所以AB ∥平面POC ；（Ⅱ）连结OB ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥OB ，PO ⊥OD ，又因为点O 时AD 的中点，且BC =12AD ，所以BC ＝OD ，因为BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ，所以四边形OBCD 是正方形，所以BO ⊥AD ，建立空间直角坐标系如图所示，则A （0，﹣1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），P （0，0，1），所以AB →=(1，1，0)，AP →=(0，1，1)，设平面BAP 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AB →=0m →⋅AP →=0，即{x +y =0y +z =0，令y ＝1，则x ＝z ＝﹣1，故m →=(−1，1，−1)，因为OB ⊥平面P AD ，所以OB →=(1，0，0)是平面P AD 的一个法向量，所以|cos ＜m →，OB →＞|=|m →⋅OB →||m →||OB →|=|−1|3×1=√33，由图可知，二面角B ﹣AP ﹣D 为锐角，所以二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值为√33． 19．（14分）已知函数f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，令g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ），x ∈[1，2]，求证：g(x)≥12．解：（1）已知f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)，函数定义域为（0，+∞），可得f ′(x)=a −a x −2x 2+2x 3=(ax 2−2)(x−1)x 3，若a ＝0，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；若0＜a ＜2，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当1＜x ＜√2a 时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞√2a 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；若a ＝2，此时√2a =1，则f ′（x ）≥0，f （x ）单调递增，综上，当a ＝0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；当0＜a ＜2时，f （x ）在（0，1）和（√2a ，+∞）上单调递增，在（1，√2a ）上单调递减；当a ＝2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（2）证明：当a ＝1时，f （x ）＝（x ﹣lnx ）+2x−1x 2，可得f ′（x ）＝1−1x −2x 2+2x 3，此时g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ）=x −lnx +2x−1x 2−(1−1x −2x 2+2x 3)−（x ﹣lnx ） =3x +1x 2−2x 3−1，函数定义域为[1，2]，可得g ′(x)=−3x 2−2x+6x 4，不妨设h （x ）＝﹣3x 2﹣2x +6，函数定义域为[1，2]，易知函数h （x ）是开口向下的二次函数，对称轴x =−13，所以函数h （x ）在[1，2]上单调递减，因为h （1）＝1，h （2）＝﹣10，所以∃x 0∈（1，2），使得h （x 0）＝0，当1＜x ＜x 0时，h （x ）＞0，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当x 0＜x ＜2时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，又g （1）＝1，g （2）=12，所以g （x ）≥g （2）=12，当且仅当x ＝2时，等号成立．20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且点T （2，1）在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）判断|OM |+|ON |的值是否为定值，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由题意{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32，解得：a =2√2，b =√2，c =√6故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；（Ⅱ）根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为（2，﹣1），直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2．联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2，得x 2﹣4x +4＝0，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意．故直线TP 和TQ 的斜率存在．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线TP ：y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，直线TQ ：y −1=y 2−1x 2−2(x −2) 故|OM|=2−x 1−2y 1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT ：y =12x ，设直线PQ ：y =12x +t （t ≠0）联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t ⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当Δ＞0时，x 1+x 2＝﹣2t ，x 1⋅x 2=2t 2−4，|OM |+|ON |=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)⋅(−2t)+(t−1)2=4．21．（15分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．解：（1）由题可知，数列A n必满足：a1＝l，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1，对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t．i，j，s，t∈{1.2...…．n}且两两不相等，对①，a1+a2＝2，不满足a i+a j＝a s+a t，故①不符合；对②，当a i+a j＝2时，存在a s+a t＝2，同理当a i+a j＝4时，存在a s+a t＝4，当a i+a j＝3时，存在a s+a t＝3，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；（2）证明：当m＝3时，设数列A n中1，2，3出现的频次为q1，q2，q3，由题意知，q i≥1，假设q1＜4时，a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，故q1≥4，同理可证q3≥4，假设q2＝1，数列A n可表示为：1，l，l，1，2，3，3，3，3，显然，a4+a5≠a s+a t，故q2≥2，经验证q2＝2时，显然符合a i+a j＝a s+a t，所以q1≥4，q2≥2，q3≥4，数列A的最短数列可表示为：1，1，1，1，2，2，3，3，3，3，故S＝4+4+12＝20；解：（3）由（2）知，数列A n首尾应该满足B n：1，1，1，1，2，2，3，…，998，999，999，1000，1000，1000，1000，假设中间3.4.5，…，998各出现一次，此时n＝1008，显然满足a k+1﹣a k＝0或l，对a i＝a j＝1或a i＝a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q1000＝4）；对a i＝1，a j＝2或a i＝999，a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q2＝2，q999＝2，q1000＝4）；对a i＝1，a j＞2时，则可选取a s＝2，a k＝a j﹣1，满足a i+a j＝a s+a t，同理若a i＝1000，a j＜999，则可选取a s＝999，a i＝a j+1，满足a i+a j＝a s+a t；如果1＜a i≤a j＜1000，则可取a d＝a i﹣1，a t＝a j+1，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2..…．n}且两两不相等，故n的最小值为1008．。