基于分组数据的对数正态分布的参数估计

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分组数据情形下对数正态分布参数的最大似然估计

264Vol.26No.4 200310ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Oct.,2003(100076)1ab(a b0<a<b),[a,b]WeibullWeibullK.F.Cheng C.H.Chen[1]Weibull[2]()F(t;µ,σ)=⎧⎨⎩t1√2πσuexp−(ln u−µ)22σ2d u,t>0,0,t≤0,(1.1)σ>0,µ∈(−∞,+∞),µ,σX∼F(t;µ,σ),n X1,X2,···,X n,X1,X2,···,X n F(t;µ,σ);(0,+∞]q(a i−1,a i] 200110302002112473826(i =1,2,···,q ),0≡a 0<a 1<···a q −1<a q ≡+∞,ni n i ,n i nX 1,X 2,···,X n(a i −1,a i ]n =qi =1n i ,(n 1,n 2,···,n q )L (µ,σ)=q i =1n i lna ia i −11√2πσtexp −(ln t −µ)22σ2 d t.(1.2)n 1,n 2,···,n qn i 1,n i 2,···,n i m ,(a i 1−1,a i 1],(a i 2−1,a i 2],···,(a i m −1,a i m ],n ∗k =n i k ,b k =a i k −1,c k =a i k ,k =1,2,···,m,(1.3)α=1,β=µ,L (µ,σ)=l (α,β),l (α,β)=m k =1n ∗klnαln c k −βαln b k −βg (x )d x,(1.4)g (x )=1√2πexp −x 22,ln 0∆=−∞,ln ∞∆=∞.L (µ,σ)l (α,β)l (α,β),l (α,β)[2]22.1g (x )=1√2πexp−x 22,G ∆=G (u,v )=vug (x )d x (−∞<u <v <∞),ln GHessianH (u,v )=⎛⎜⎝∂2ln G ∂u 2,∂2ln G ∂u∂v ∂2ln G ∂u∂v ,∂2ln G∂v 2⎞⎟⎠(2.1)g (x )=−xg (x ),∂2ln G∂u 2=g (u )G 2 uG −g (u ) ,∂2ln G ∂v 2=−g (v )G 2 vG +g (v ) ,∂2ln G ∂u∂v =g (u )g (v )G 2,H (u,v ) =∂2ln G ∂u 2·∂2ln G ∂v 2− ∂2ln G ∂u∂v 2=g (u )g (v )G 3ψ(u,v ),(2.2)ψ(u,v )=vg (u )−ug (v )−uvG.(2.3)u <v ,uG (u,v )−g (u )<0.(2.4)4739ϕ(u,v )=uG (u,v )−g (u ),∂ϕ=G (u,v )>0(v >u ).v ,ϕ(u,v )ulim u ↑vϕ(u,v )=−g (v )<0,u <v ,ϕ(u,v )<0,(2.4)∂2ln G ∂u 2<0.∂ψ(u,v )∂v=g (u )−uG (u,v )>0(2.4),ψ(u,v )vlim v ↓uψ(u,v )=0,u <v ,ψ(u,v )>0,(2.2)H (u,v )>0,H (u,v )2.12.2g (x )=1√2πexp−x 22,−∞<c <d <∞,α∈(0,∞),β∈(−∞,∞),A 1=A 1(α,β)=lnαd −βαc −βg (x )d x,A 2=A 2(α,β)=lnαd −β−∞g (x )d x,A 3=A 3(α,β)=ln∞αc −βg (x )d x,A 1HessianH 1(α,β)A 2A 3Hessian H 2(α,β)H 3(α,β)u 1=u 2,(u 1,u 2)H 1(α,β)u 1u 2<0,(u 1,u 2)H i (α,β)u 1u 2≤0,i =2,3.H (u,v )lnvug (x )d xHessian2.1,H (u,v )H 1(α,β)=c,d −1,−1H (αc −β,αd −β)c −1,H 1(α,β)Φ(x )v =αd −β,∂2A 2∂α=−d2g (v )(Φ(v )) v Φ(v )+g (v ) ,∂2A 2∂β2=−g (v )(Φ(v ))2v Φ(v )+g (v ) ,∂2A 2∂α∂β=d g (v )(Φ(v ))2v Φ(v )+g (v ) ,H 2(α,β) =∂2A 2∂α2·∂2A 2∂β2−∂2A 2∂α∂β2=0;∂2A 2∂α2=−d 2g (v )Φ(v )ψ(v ),ψ(v )=v Φ(v )+g (v ),ψ(v )=Φ(v )>0,ψ(v )vlim v →∞ψ(v )=0,vψ(v )>0,∂2A 2∂α2≤0,H 2(α,β)u =αc −β,∂2A 3∂α2=c 2g (u )(1−Φ(u ))2u (1−Φ(u ))−g (u ) ,∂2A 3∂β2=g (u )(1−Φ(u ))2u (1−Φ(u ))−g (u ) ,74026∂2A 3∂α∂β=−cg (u )(1−Φ(u ))2u (1−Φ(u ))−g (u ) ,H 3(α,β) =0,∂2A 3∂α2≤0.∂2A 3∂α2=c 2g (u )(1−Φ(u ))2ϕ(u ),ϕ(u )=u 1−Φ(u )−g (u ).ϕ (u )=1−Φ(u )>0,ϕ(u )ulim u →∞ϕ(u )=0,uϕ(u )<0,∂2A 3∂α2≤0,H 3(α,β)2.22.3l (α,β)(1.4)mn 1,n 2,···,n qb kc k (1.3)1)m ≥3;2)m =2,c 1<b 2b 1>0;3)m =2,c 1<b 2c 2<∞l (α,β)Hessian H(α,β)(0,∞)×(−∞,∞)l (k )(α,β)∆=ln αln c k −βαln b k −βg (x )d x (k =1,2,···,m ),g (x )=1√2πexp −x 22 ,l (k )(α,β)HessianH (k ),(1.4)H(α,β)=m k =1n ∗k H(k ).(2.5)(1)(3)0<b 2<c 2<∞,2.2H (2)k =2,H (k )(2.5)H(α,β)(2)0<b 1<c 1<∞,2.2H (1)k =1,H (k )(2.5)H(α,β) 2.32.4f (θ)ΘΘR k ∇f Θf (θ)HessianH (θ)Θf (θ)ΘΘ[3],3n in(a i −1,a i ]n 1,n 2,···,n q .3.1µσ1)m >2;2)m =2,c 1<b 2b 1>0;3)m =2,c 1<b 2c 2<∞,m n 1,n 2,···,n q(b 1,c 1](b 2,c 2](b k ,c k(1.3)).l (α,β)(1.4)l (α,β)47413.11)–3)lim α→0supβ∈Rl(α,β)=−∞,(3.1)lim α→∞supβ∈Rl(α,β)=−∞.(3.2)1)–3)i00<b i0<c i<∞,α∈(0,∞),β∈R=(−∞,∞),l(α,β)≤ln αln ci0−βαln b i−βg(x)d x,ε>0,δ>0,0<b−a<δ, bag(x)d x<ε,α(ln c i−ln b i)<δl(α,β)<lnε,supβl(α,β)≤lnε,limα→0supβl(α,β)≤lnε,ε→0,(3.1)1)–3)i0<j0,n∗i0>0,n∗j>0,c i<b j((1.3)),α,βl(α,β)≤ln αln ci0−βαln b i−βg(x)d x+lnαln cj0−βαln b j−βg(x)d x≤ln αln ci0−β−∞g(x)d x+ln∞αln b j−βg(x)d x.ϕ(α,β),Φ(x)∂ϕ(α,β)∂β=−g(αln c i−β)Φ(αln c i−β)+g(αln b j−β)1−Φ(αln b j−β).β= β=α2(ln c i0+ln b j)∂ϕ∂β=0, 2.2,ϕ(α,β)Hessianϕ(α,β)βsup βϕ(α,β)=ϕ(α, β)=lnΦα2(ln c i−ln b j)+ln1−Φα2(ln b j−ln c i),lim α→∞supβl(α,β)=−∞,(3.2)(3.1)(3.2)0<α1<α2<∞supα>0supβl(α,β)=supα1≤α≤α2supβl(α,β).(3.3)k00<b k<c k<∞,α∈[α1,α2],l(α,β)≤lnαln ck0−βαln b k−βg(x)d x≤lnλ2−βλ1−βg(x)d x,λ1=α1ln b k,ln b k≥0,α2ln b k,ln b k<0,λ2=α2ln c k,lnc k≥0,α1ln c k,lnc k<0,limβ→±∞supα1≤α≤α2l(α,β)=−∞.(3.4)74226(3.3)(3.4)−∞<β1<β2<∞,sup α>0sup βl (α,β)=sup α1≤α≤α2,β1≤β≤β2l (α,β).(3.5)l (α,β)[α1,α2]×[β1,β2]( α, β),(3.5)( α, β)l (α,β)D =(0,∞)×(−∞,∞)( α, β)D∇l ( α, β) 2.3,l (α,β)Hessian2.4l (α,β)3.13.11)–3)(1)m =1.l (α,β)=n lnαln c 1−βαln b 1−βg (x )d x .b 1=0,l (α,β)=lnαln c 1−β−∞g (x )d x <0,lim β→−∞l (α,β)=0,l (α,β)b 1=0,c 1=∞,l (α,β)b 1=0,c 1=∞,l (α,β)=n lnαln c 1−βαln b 1−βg (x )d x <0,sup βl (α,β)=n lnα2(ln c 1−ln b 1)−α2(ln c 1−ln b 1)g (x )d x ,sup α>0sup βl (α,β)=0,l (α,β)(2)m =2,0=b 1<c 1<b 2<c 2=∞.l (α,β)=n ∗1ln αln c 1−β−∞g (x )d x +n ∗2ln ∞αln b 2−βg (x )d x ,u =αln c 1−β,v =αln b 2−β,∂l ∂α=n ∗1g (u )ln c 1Φ(u )−n ∗2g (v )ln b 21−Φ(v ),∂l ∂β=−n ∗1g (u )Φ(u )+n ∗2g (v )1−Φ(v ),c 1=b 2,“∂l∂α=0,∂l∂β=0”l (α,β)(3)m =2,0=b 1<c 1=b 2<c 2=∞.u =αln c 1−β,l (α,β)=n ∗1ln u −∞g (x )d x +n ∗2ln ∞ug (x )d x ,z =Φ(u ),l (α,β)=n ∗1ln z +n ∗2ln(1−z ),h (z ),h (z )=n ∗1−n ∗21−z(0<z <1),h (z )<0.z =z ∗=n ∗1∗1+n ∗2=n ∗1h (z )supα>0,β>0l (α,β)=h (z ∗)=n ∗1lnn ∗1+n ∗2lnn ∗2,α∗,β∗Φ(α∗ln c 1−β∗)=n ∗1n ,(α∗,β∗)l (α,β)l (α,β)(4)m =2,c 1=b 2,b 1>0c 2<∞.l (α,β)=n ∗1lnαln c 1−βαln b 1−βg (x )d x +n ∗2ln αln c 2−βαln b 2−βg (x )d x<n ∗1lnαln c 1−β−∞g (x )d x +n ∗2ln∞αln c 1−βg (x )d x≤h (z ∗)=n ∗1ln n ∗1n +n ∗2ln n ∗2n.sup α>0,β∈Rl (α,β)=h (z ∗).u ∗Φ(u ∗)=n ∗1n ,β(α)=αln c 1+u ∗,l α,β(α) =n ∗1ln u ∗αc g (x )d x +n ∗2ln αdu ∗g (x )d x ,c =ln b 1−ln c 1<0,d =4743ln c 2−ln c 1>0,lim α→∞l α,β(α) =n ∗1ln u ∗−∞g (x )d x +n ∗2ln ∞u ∗g (x )d x =h (z ∗),l (α,β)<h (z ∗),l (α,β)1)–3)l (α,β)µσ3.14[2]X F (x,θ),θ∈Θ,ΘR kX 1,X 2,···,X n(Ω,F ,P θ)(θ∈Θ)P θ(X 1≤x )=F (x,θ),0=a 0<a 1<···a q −1<a q =+∞,n i =nl =1I X l ∈(a i −1,a i ) ,ψ(i,θ)=F (a i ,θ)−F (a i −1,θ)(i =1,2,···,q ),I (A )Aψ(i,θ)1)1≤i ≤q θ∈Θ,ψ(i,θ)>0;2)ψ(i,θ)θ2)’ψ(i,θ)θ3) ∂ln ψ(i,θ)j,j =1,2,···,k 4)n 1,n 2,···,n qk ,∂ln L n (n 1,n 2,···,n q ,θ)∂θj=0,j =1,2,···,k.L n (n 1,···,n q ,θ)=qj =1ψ(j,θ) n j . θ(n ) θ(n )=θ∗,θ∗Θθ(n )θ()[2]1),2),3),4)θ0=(θ01,···,θ0k )∈Θ,P θ0lim nθ(n )=θ=1;1),2’,3),4)θ0=(θ01,···,θ0k )∈Θ,P θ0limnn 2ln ln n (θ(n )s −θ0s )=ϕ(s )=1,P θ0limnn 2ln ln n(θ(n )s −θ0s )=−ϕ(s )=1,s =1,2,···,k,ϕ(s )=k i,j =1αsi αsj g ij (θ0)12,g ij (θ0)=q l =1∂ln ψ(l,θ0)∂θi ∂ln ψ(l,θ0)∂θjψ(l,θ0),(αij )k ×kg ij (θ0)k ×k.744264.1q2,()( µ, σ)( µ, σµ=0, σ=1)1Cheng K F,Chen C H.Estimation Of the Weibull Parameters With Grouped mun.Statist.-Theor.,1988,17(2):325–34121993(Zhang Baoling.Asymptotic property of the Maximum Likelihood Estimate With Grouped Data.Beijing University Technicial Report,1993)3M¨a kel¨a inen T,Schmidt K,Styan G P H.`On the Existence and Uniqueness of the Maximum Likelihood Estimate of a Vector-valued Parameter in Fixed-Size Samples.Ann.Statist.,1981,9:758–767 4,1980,3(4):306–321 (Chen Jiading.The Maximum Likelihood Estimate About Tailed Data.Acta Appl.Math.Sinica, 1980,3(4):306–321)5,1989,5(3):226-233 (Chen Jiading.The Maximum Likelihood Estimate Of the parameters in the Weibull Distribution With Stochastic-tailed Data.Applied Probability and Statistic,1989,5(3):226–233)THE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATE OF THEPARAMETERS IN THE LOGARITHMIC NORMAL DISTRIBUTION WITH GROUPED DATAWang Jing(Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering,Beijing100076)Abstract The necessary and suﬃcient conditions for the existence and uniqueness of the Maximum Likelihood Estimate(MLE)for the parameters in the logarithmic normal distri-bution with grouped data are given.Furthermore,we get the strong consistency and the convergence rate in the law of the iterated logarithm of the MLE.Key words Grouped data,logarithmic normal distribution,maximum likelihood estimate。

对数正态分布的几个性质及其参数估计

２参数和２的点估计
２．参数和的矩估计１
设总体服从参数为和的对数正态分布，。，， … 为来自总体的简单随机样本。：记和的矩估计量分别为和。根据矩估计法的原理［，２要求和的矩估计量，］。需要知道的数学期望ＥＸ和方差Ｄ为此先求的ｋＸ，阶原点矩
可得
＝
和 ∑ （ — ），（）ｉ由１式和（式，２有）
２
一
：，
ｎ
∑ｌｎ
ｉ
了 ×ｎｌｌ＝０，
一
１
奎（一ｅ一））：２（１，
ｎ１＋
：
骞＝１（
．
耋）ｉ
０．５３，６８
．
解得／ａ和的矩估计量分别是
分布函数和概率密度，中其
９（）＝ｙｅ一，一 ∞ ＜ｙ＜＋ ∞，
算转换为正态分布的计算。
１２主要结果．
对数正态分布有以下几个常用的性质。
命题１设随机变量Ｘ～Ｎ（，，Ｙ＝ｔＡ盯）则
ｅ
ｍ口ｂ为常数且ｏ≠ ０服从参数为（，）
服从参数为∑ ａｋ和∑ ｎ的数正，ｕ对态分布。
命题３设随机变量与ｙ相互独立，且服
．ｓ２ｙ＝
：
从参数为和盯的对数正态分布，ｙ服从参数为
：
骞－耋：（ｎ）ｎ。
＝
和盯的对数正态分布，ｚ＝ＸＹ（，为不全；则ａｂ
第１卷第５１期

对数正态分布参数的最大似然估计

对数正态分布参数的最大似然估计
李斌
【期刊名称】《盐城工学院学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2000(013)001
【摘要】对数正态分布是工程、医学、生物学中常见的分布之一.讨论分组数据情况下,对数正态分布参数的最大似然估计,给出分布函数似然方程组解的唯一性的一种证明方法.
【总页数】4页(P18-20,65)
【作者】李斌
【作者单位】盐城工学院学生处,江苏,盐城,224003
【正文语种】中文
【中图分类】O212.1
【相关文献】
1.三参数对数正态分布最大熵参数估计方法探讨 [J], 臧红霞;郑华山;陈长茵
2.对数正态分布参数的最大似然估计 [J], 于洋;孙月静
3.定时截尾样本数据有缺失情形下单参数对数正态分布的参数估计 [J], 官飞;邵敏;郭桐
4.零膨胀对数正态分布左删失的过敏原的最大似然估计 [J], 崔晓霞;林燧恒
5.对数正态分布参数的最大似然估计 [J], 李斌
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对数正态分布参数

对数正态分布参数
对数正态分布是一种常见的概率分布，其参数包括均值和方差。

均值和方差分别影响着分布的形状和分布范围。

对于对数正态分布，其均值和方差的计算公式如下：
均值：μ = exp(μ+σ^2/2)
方差：σ^2 = (exp(σ^2)-1)*exp(2μ+σ^2)
其中，μ表示对数正态分布的自然对数的均值，σ表示对数正态分布的自然对数的标准差。

对数正态分布的参数估计是一种重要的统计方法，可以利用极大似然估计或贝叶斯方法进行。

极大似然估计是常用的参数估计方法之一，通过最大化样本的似然函数来估计参数值。

贝叶斯方法则是一种更加灵活的方法，通过引入先验知识和后验概率来估计参数值。

在实际应用中，对数正态分布常用于描述随机变量的对数值分布，例如金融、生物学和环境科学等领域。

对数正态分布的参数估计对于这些领域的研究具有重要的意义。

- 1 -。

基于数据分组与右删失情形下对数正态分布的参数估计

第四期
刘欣陈惠费鹤良: 基于数据分组与右删失情形下对数正态分布的参数估计
373
2.1
若干引理的介绍
√ 设g (x) = (1/ 2π ) · exp{−x2 /2}, G
v
引理 2.1[5]
G(u, v ) =
u
g (x)dx, (−∞ <
u < v < +∞), 则ln G的Hessian矩阵 ∂ 2 ln G ∂u2 H (u, v ) = ∂ 2 ln G ∂u∂v 是负定的. 引理 2.2 [5] β ∈ (−∞, +∞),
N i=1
(di Hd (α, β ) + λi Hλ (α, β )).
(i)
(i)
374 (i)
应用概率统计 (1) (i)
第二十四卷
由引理2.2知, Hd (α, β ), i = 2, · · · , N 都是负定的; Hd (α, β )与Hλ (α, β ), i = 1, · · · , N 都是半负定的, 从而只要至少存在一个i, 2 i N 使di > 0, H (α, β )就是负定的. 若条件1成立, 有d2 > 0, 所以H (α, β )是负定的. 若条件2成立, 有j > 2, 使dj > 0, 所以H (α, β )是负定的. 若条件3成立, 有1 < i1 < i2 若条件4成立, 有1 < i1 < i2 N , 使di1 > 0, λi2 > 0, 所以H (α, β )是负定的. N , 使di1 > 0, di2 > 0, 所以H (α, β )是负定的.
N i=1 α ln Ti −β α ln Ti −β N i=1 α ln Ti −β

基于分组数据的对数正态分布的参数估计

基于分组数据的对数正态分布的参数估计摘要本文介绍了一种对基于分组数据的对数正态分布进行参数估计的方法。

所得估计具有良好的收敛性, 同时模拟结果也表明该方法的可行性。

关键词分组数据; 对数正态分布; 参数估计一、问题的提出经典统计分析中, 总假设随机样本的观测值为一个确定的数值; 然而在实际应用中, 观测到的经常是分组数据。

例如, 在生存分析的研究中, 就时常出现这种情况。

记0110=...k k T T T T -<<<<=∞,j n 为落在区间1[,)j j T T -中的样本数, 其中j =1, 2, ⋯,k 。

假设样本来自于某个包含未知参数的分布, 所要解决的问题就是估计分布中的未知参数。

但是对于大多数的分布族而言, 要解决这类问题都是比较困难的。

近年来, 对于区间数据的分析研究有很大的发展, 一些针对区间数据的参数估计方法也应运而[15] 生。

这些研究为进行分组数据的参数估计提供了更多的方法和思路。

样本为威布尔分布时, 这类问题已经得到解[6]决。

本文将讨论当样本来自对数正态分布时, 这类问题该如何解决。

二、参数最大似然估计及其算法记 (1,2,...,)i X i n =为独立同分布随机变量,其密度函数为22(ln )],,02x a x a σσ-->；它们分别落入区间1[,)j j T T -,只能观测到落在该区间中的随机变量i X 的数目j n , 其中,j = 1, 2, ⋯, k , 0110=...k k T T T T -<<<<=∞。

所要解决的问题是估计参数,a σ。

取ln i i U X =,ln j j T T '=; 则 (1,2,...,)i U i n =仍为独立同分布随机变量, 其密度函数为22()]2u a σ-- 它们分别落入区间1[,)j j T T -'' , 而j n 则为落在区间1[,)j j T T -'' 中的随机变量i U 的数目。

对数正态分布参数的精确估计及其应用

：ｘ＋ｚｓ］ｅｓ）（
收稿日期：０８０ — ７２０．３２。作者简介：志国（９１，，龙江齐齐哈尔人。张１８一）男黑
维普资讯
・
２０・７
辽宁科技大学学报
为参数ｅｐａ）ｘ（ｐ＋的一致最小方差无偏估计，中ａｂ已知。由近似关系（）其，１得到如下结论：
推１ｅ（）修极似估ｅ（）ｐｒｒ，中２论ｘｐ＋的正大然计ｘａｅ［（］ｒｐＸｘ）其＝
ｓ，
≥，√ ２竿ｓ３０＜＜。
维普资讯
第３１卷第３４期－
２００８年６月
辽宁科技大学学报
ＪｕｎｌｆＵｎｖｒｉｆＳｉｃｎｃｎｌｇａｎｎｏｒａｉｅｓｔｏｃｅｅａｄＴｅｈｏｏｙＬｉｉｇｏｙｎｏ
了对数正态分布参数的精确估计问题。
１预备知识
假设随机变量Ｙ＞０服从两参数的对数正态分布，做ｙ～Ｌ，）ｙ一，是来自总体容记Ｎ（ｕ，，
量一样，ｌｙ，，ｌ。＝言叉ｎ，＝ｎ为的个本令ｘ＝（）＝（记，＝ｓ（ｎ … ｎ）ｘｘ一
由论可，正分的原距ｅ（２的正大然计推１得对态布阶点＝ｐ数ｘ＋）修极似估
Ｖ＝ｘｍ）［ｒ『）ｅ（ｅ（］ｐＸｘＦｒｐｊ
其中：ｍＳ２０ｒ＝（，＜ｍＳ＜３。

对数正态分布的参数估计

对数正态分布的参数估计在介绍对数正态分布的参数估计之前，我们先来了解一下对数正态分布的概率密度函数和累积分布函数。

$$f(x ; \mu, \sigma)=\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left[-\frac{\left(\ln (x)-\mu\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right] $$其中，$\mu$是对数正态分布的均值，$\sigma$是对数正态分布的标准差。

$$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t ; \mu, \sigma) d t$$我们可以通过样本数据来估计对数正态分布的参数。

常用的参数估计方法有最大似然估计和方法一致估计。

最大似然估计是通过找到使得观察到的样本数据出现的概率最大化的参数值来估计参数。

对于对数正态分布，最大似然估计的思路是找到使得样本数据的对数服从正态分布的参数值。

具体步骤如下：1. 假设样本数据$X_1, X_2, \ldots, X_n$是独立同分布的对数正态分布样本。

2. 计算样本数据的对数值$Y_1 = \ln(X_1), Y_2 = \ln(X_2),\ldots, Y_n = \ln(X_n)$。

3. 根据样本数据的对数值计算均值和标准差的样本估计量$\hat{\mu}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{i}$和$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\hat{\mu}\right)^{2}}$。

4. 最大似然估计的参数估计量为$\hat{\mu}$和$\hat{\sigma}$。

方法一致估计是通过等价估计来估计参数。

对于对数正态分布，方法一致估计的思路是采用等价估计$\log(b)=\hat{\mu}$和$b^{2} \exp\left(\hat{\sigma}^{2}\right)=\hat{\mu}^{2}+\hat{\sigma}^{2}$，其中$b$是对数正态分布的中位数。

正态总体参数的区间估计

总体均值μ的区间估计是一种基于抽样调查的方法，通过样本均值和标准差来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先需要收集样本数据，计算样本均值和标准差。然后，根据样本数据的大小和置信水平，选择适当的分布（如t分布或z分布）来计算置信区间。最后，根据置信区间的大小和分布特性，可以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分广泛，如股票价格、收益率等金融变量的分布通常被假定为正态分布。
生物医学
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实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。

统计学中的参数估计方法

统计学中的参数估计方法统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。

在统计学中，参数估计是其中一个重要的概念，它允许我们通过样本数据来推断总体的特征。

本文将介绍统计学中常用的参数估计方法，包括点估计和区间估计。

一、点估计点估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法。

在点估计中，我们选择一个统计量作为总体参数的估计值。

常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计是一种基于样本数据的估计方法，它通过选择使得观察到的数据出现的概率最大的参数值来估计总体参数。

最大似然估计的核心思想是找到一个参数估计值，使得观察到的数据在该参数下出现的概率最大化。

最大似然估计方法在统计学中被广泛应用，它具有良好的渐进性质和统计学性质。

矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩的性质来估计总体参数。

矩估计的核心思想是将样本矩与总体矩相等，通过求解方程组来得到参数的估计值。

矩估计方法相对简单，易于计算，但在样本较小或总体分布复杂的情况下，可能会出现估计不准确的问题。

二、区间估计区间估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法，它提供了参数估计的置信区间。

在区间估计中，我们通过计算样本数据的统计量和抽样分布的性质，得到一个包含真实参数的区间。

置信区间是区间估计的核心概念，它是一个包含真实参数的区间。

置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和抽样分布的性质。

常见的置信区间计算方法有正态分布的置信区间和bootstrap置信区间。

正态分布的置信区间是一种常用的区间估计方法，它基于样本数据的统计量服从正态分布这一假设。

通过计算样本数据的均值和标准差，结合正态分布的性质，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。

Bootstrap置信区间是一种非参数的区间估计方法，它不依赖于总体分布的假设。

Bootstrap方法通过从原始样本中有放回地抽取样本，生成大量的重采样数据集，并计算每个重采样数据集的统计量。

通过分析这些统计量的分布，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。

正态分布参数区间估计

正态分布N (μ,σ)参数区间估计允许μ为任意的实数,σ为任意的正实数。

基于Wolfram Mathematica ,给出了正态分布N (μ,σ)抽样定理,从而得到参数μ,σ2,σ的区间估计。

在σ已知和未知情形下,通过均值分布、中位值分布、卡方分布三种方法估计总体均值μ,区间长度均值分布最短,卡方分布次之,中位值分布最长,但当样本量n 较大时,区间长度趋于接近。

在μ已知和未知情形下,通过卡方分布可以估计总体方差的置信区间,通过卡分布、卡方分布可以估计总体标准差的置信区间。

最后给出不同情形下不同方法的MMA 程序及运行结果。

◼抽样分布定理引理1：X Ν(μ,σ)⇔X -μσΝ 0,1 .转换分布TransformedDistributionX -μσ,X 正态分布NormalDistribution [μ,σ]NormalDistribution [0,1]转换分布TransformedDistribution [μ+X σ,X 正态分布NormalDistribution [],假设Assumptions →σ>0]NormalDistribution [μ,σ]引理2:X χ(ν)⇔X 2 χ2(ν).转换分布TransformedDistribution X 2,X 卡分布ChiDistribution [ν]ChiSquareDistribution [ν]转换分布TransformedDistribution X ,X 卡方分布ChiSquareDistribution [ν]ChiDistribution [ν]引理3:X Ν 0,1 ,Y χ2(n )⇒Xt (n ).=转换分布TransformedDistributionX,{X 正态分布NormalDistribution [],Y 卡方分布ChiSquareDistribution [n ]} ;概率密度函数PDF [ ,x ]==⋯PDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],x ]//幂展开PowerExpand //完全简化FullSimplify [#,n >0&&x ≠0]&True定理1：X i Ν(μ,σ)⇒X -Νμ,σn⇔X --μσnΝ 0,1 .CharacteristicFunction NormalDistribution [μ,σ],t nn;特征函数CharacteristicFunction 正态分布NormalDistribution μ,σn,t ;%⩵%%//完全简化FullSimplify [#,n >0&&n ∈整数域Integers ]&True定理2：X i Ν(μ,σ)⇒ i =1nX i -μσ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2χ2(n )⇔σχ(n ).转换分布TransformedDistributionX [i ]-μσ,X [i ] 正态分布NormalDistribution [μ,σ]NormalDistribution [0,1]n =7;=转换分布TransformedDistribution i =1nY [i ]2,数组Array [Y,n ] 联合分布ProductDistribution [{正态分布NormalDistribution [],n }]ChiSquareDistribution [7]定理3:X i Ν(μ,σ)⇒(n -1)S 2σ2χ2 n -1⇔σχ n -1 .令Y i =X i -μσ,则(n -1)S 2σ2=i =1n2=i =1n-= i =1nY i -Y 2= i =1nY i 2-2Y Y i +Y 2= i =1nY i 2-2Y i =1nY i +n Y 2= i =1nY i 2-n Y 2χ2n -1 ⇒σχ n -1 .2 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbn =n0=35;=转换分布TransformedDistribution i =1nY [i ]2-1ni =1nY [i ]2,数组Array [Y,n ] 联合分布ProductDistribution [{正态分布NormalDistribution [],n }] ;Block {n =n0},显示Show 直方图Histogram 伪随机变数RandomVariate ,2×106 ,500,"概率密度函数PDF" ,绘图Plot [⋯PDF [卡方分布ChiSquareDistribution [n -1],x ],{x,5,65},绘图样式PlotStyle →粗Thick ]定理4:X i Ν(μ,σ)⇒X --μSnt n -1 .根据定理1,得X iΝ(μ,σ)⇒X --μσnΝ 0,1 ,根据定理3,得(n -1)S 2σ2χ2 n -1 ,根据引理3,X --μσn=X --μSnt n -1 .定理5：F Xn +12=正则化的不完全贝塔函数BetaRegularized12补余误差函数Erfc-x +μ2σ ,1+n2,1+n 2,n =2k +1.次序分布OrderDistribution {正态分布NormalDistribution [μ,σ],n },n +12;累积分布函数CDF [%,x ]//完全简化FullSimplifyBetaRegularized 12Erfc ,1+n 2,1+n 2推论：μ=x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized q,1+n 2,1+n 2.In[2]:=解方程Solve 正则化的不完全贝塔函数BetaRegularized12补余误差函数Erfc-x +μ2σ ,1+n 2,1+n 2⩵q,μOut[2]=μ→x +2σInverseErfc 2InverseBetaRegularized q,1+n 2,1+n 2定理6：-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σχ2 2n .正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb3In[5]:=转换分布TransformedDistribution -2对数Log12补余误差函数Erfc-X +μ2σ,X 正态分布NormalDistribution [μ,σ] ;概率密度函数PDF [%,x ]⩵⋯PDF [卡方分布ChiSquareDistribution [2],x ]//完全简化FullSimplify [#,x >0]&Out[6]=True**参数区间估计**In[7]:=需要Needs ["HypothesisTesting`"]μ0=20;σ0=3;X =伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [μ0,σ0],10001];n =长度Length [X ];S =标准偏差StandardDeviation [X ];α=0.01;"参数的极大似然估计:"清除Clear [μ,σ]{μ1,σ1}={μ,σ}/.求分布参数FindDistributionParameters [X,正态分布NormalDistribution [μ,σ]]"一、总体均值μ的区间估计""(一)均值分布U =X --μσnＮ(0,1)——σ已知"σ=σ0;Sw =σn ;m =平均值Mean [X ];"1.计算法"Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }"2.MeanCI"MeanCI X,KnownVariance →σ2,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [m,Sw ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m "(二)均值分布T =X -μSnt (n -1)——σ未知""1.计算法"Sw =S n ;m =平均值Mean [X ];Q =分位数Quantile 学生t 分布StudentTDistribution [n -1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }4 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb"2.MeanCI"MeanCI [X,KnownVariance →无None,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"3.StudentTCI"StudentTCI [m ,Sw ,n -2,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m"(三)均值近似分布U =X --μσn~Ｎ[0,1]——σ未知""1.计算法"σ=σ1;Sw =σn ;m =平均值Mean [X ];Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }"2.MeanCI"MeanCI X,KnownVariance →σ12,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [m,Sw ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m"(四)中位值分布F Xn +12=正则化的不完全贝⋯BetaRegularized [12补余误差函数Erfc [-x +μ2σ],1+n 2,1+n2],n =2k +1——σ已知""1.等尾区间："σ=σ0;x =中位数Median [X ];μL =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized 1-α 2,1+n 2,1+n 2;μU =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized α 2,1+n 2,1+n 2;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL "(五)中位值分布F Xn +12=正则化的不完全贝⋯BetaRegularized [12补余误差函数Erfc [-x +μ2σ ],1+n 2,1+n2],n =2k +1——σ未知""1.等尾区间："σ=σ1;x =中位数Median [X ];正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb5中位数μL =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized 1-α 2,1+n 2,1+n 2;μU =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized α 2,1+n 2,1+n 2;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL"(六)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——σ已知"清除Clear [μ]σ=σ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];μL =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]==α2,{μ,μ1} ;μU =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{μ,μ1} ;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL"(七)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ ]]~χ2(2n )——σ未知"清除Clear [μ]σ=σ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];μL =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]==α2,{μ,μ1} ;μU =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{μ,μ1} ;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"6 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbr =2L μU +μL"二、总体方差σ2的区间估计""(一)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2χ2(n )——μ已知"μ=μ0;T =n 平均值Mean (X -μ)2 ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU "(二)卡方分布χ2=(n -1)S 2σ2χ2(n -1)——μ未知"T = n -1 S 2;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n -1];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU "(三)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ )2σ2~χ2(n )——μ未知"μ=μ1;T =n 平均值Mean (X -μ)2 ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU"三、总体标准差σ的区间估计""(一)卡分布χ(n )——μ已知"μ=μ0;T =n Mean (X -μ)2 ;F =卡分布ChiDistribution [n ];"1.等尾区间："正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb7QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(二)卡分布χ(n -1)——μ未知"T =n -1S;F =卡分布ChiDistribution [n -1];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(三)卡分布χχ(n )——μ未知"μ=μ1;T =n Mean (X -μ)2 ;F =卡分布ChiDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(四)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——μ已知"清除Clear [σ]μ=μ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];σL =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{σ,σ1} ;σU =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵α2,{σ,σ1} ;{σL,σU }8 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU"(五)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——μ未知"清除Clear [σ]μ=μ1;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];σL =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{σ,σ1} ;σU =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵α2,{σ,σ1} ;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σUOut[11]=参数的极大似然估计:Out[13]={19.9803,3.00134}Out[14]=一、总体均值μ的区间估计Out[15]=(一)均值分布U =X --μσnＮ(0,1)——σ已知Out[17]=1.计算法Out[19]={19.9031,20.0576}Out[20]=2.MeanCIOut[21]={19.9031,20.0576}Out[22]=3.NormalCIOut[23]={19.9031,20.0576}Out[24]=区间长度：Out[25]=0.154542Out[26]=相对区间长度:Out[27]=0.00773471Out[28]=(二)均值分布T =X -μSn t (n -1)——σ未知正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb9Out[29]= 1.计算法Out[32]={19.903,20.0577} Out[33]= 2.MeanCIOut[34]={19.903,20.0577} Out[35]= 3.StudentTCIOut[36]={19.903,20.0577} Out[37]=区间长度：Out[38]=0.154648Out[39]=相对区间长度:Out[40]=0.00774003Out[41]=(三)均值近似分布U=X--μσ n~Ｎ[0,1]——σ未知Out[42]= 1.计算法Out[45]={19.903,20.0576} Out[46]= 2.MeanCIOut[47]={19.903,20.0576} Out[48]= 3.NormalCIOut[49]={19.903,20.0576} Out[50]=区间长度：Out[51]=0.154611Out[52]=相对区间长度:Out[53]=0.00773817Out[54]=(四)中位值分布F X n+12=BetaRegularized[12Erfc,1+n2,1+n2],n=2k+1——σ已知Out[55]= 1.等尾区间：Out[59]={19.8529,20.0466} Out[60]=等尾区间长度：Out[61]=0.193686Out[62]=相对区间长度:Out[63]=0.00970872Out[64]=(五)中位值分布F X n+12=BetaRegularized[12Erfc,1+n2,1+n2],n=2k+1——σ未知Out[65]= 1.等尾区间：Out[69]={19.8529,20.0466}Out[70]=等尾区间长度：10正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbOut[71]=0.193773Out[72]=相对区间长度:Out[73]=0.00971306Out[74]=(六)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——σ已知Out[78]={19.9015,20.0722}Out[79]=等尾区间长度：Out[80]=0.170753Out[81]=相对区间长度:Out[82]=0.00854324Out[83]=(七)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——σ未知Out[87]={19.9015,20.0722}Out[88]=等尾区间长度：Out[89]=0.170753Out[90]=相对区间长度:Out[91]=0.00854324Out[92]=二、总体方差σ2的区间估计Out[93]=(一)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2 χ2(n )——μ已知Out[95]= 1.等尾区间：Out[98]={8.68869,9.34535}Out[99]=等尾区间长度：Out[100]=0.656658Out[101]=相对区间长度:Out[102]=0.0728243Out[103]=(二)卡方分布χ2=(n -1)S 2σ2 χ2(n -1)——μ未知Out[105]= 1.等尾区间：Out[108]={8.68917,9.3459}Out[109]=等尾区间长度：Out[110]=0.656728Out[111]=相对区间长度:Out[112]=0.0728279Out[113]=(三)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ )2σ2~χ2(n )——μ未知正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb 11Out[115]= 1.等尾区间：Out[118]={8.68832,9.34495}Out[119]=等尾区间长度：Out[120]=0.65663Out[121]=相对区间长度:Out[122]=0.0728243Out[123]=三、总体标准差σ的区间估计Out[124]=(一)卡分布χ(n )——μ已知Out[126]= 1.等尾区间：Out[129]={2.94766,3.05702}Out[130]=等尾区间长度：Out[131]=0.109358Out[132]=相对区间长度:Out[133]=0.0364242Out[134]=(二)卡分布χ(n -1)——μ未知Out[136]= 1.等尾区间：Out[139]={2.94774,3.05711}Out[140]=等尾区间长度：Out[141]=0.109366Out[142]=相对区间长度:Out[143]=0.0364261Out[144]=(三)卡分布χχ(n )——μ未知Out[146]= 1.等尾区间：Out[149]={2.9476,3.05695}Out[150]=等尾区间长度：Out[151]=0.109355Out[152]=相对区间长度:Out[153]=0.0364242Out[154]=(四)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——μ已知Out[158]={2.89486,3.15965}Out[159]=等尾区间长度：12 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbOut[160]=0.264793Out[161]=相对区间长度:Out[162]=0.0874698Out[163]=(五)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——μ未知Out[167]={2.86679,3.12718}Out[168]=等尾区间长度：Out[169]=0.260386Out[170]=相对区间长度:Out[171]=0.0868828正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb 13。

对数正态分布的参数估计

ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｎｄＢａｙｅｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｐａｐｅｒａｌｓｏｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓｉｎｔｅｒｖａｌ
ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｉｔｓｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｏｇｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｍｏｍｅｎｔｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；Ｂａｙｅｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｉｎｔｅｒｖａ】
Ｘ服从对墨数正态分，布廿ｌｎＸ农￣．＃Ｎ（ｐ，ａ＇则随机变量１点估计其密度函数为 ‘ “
．
Ｉ＿＝一ｅபைடு நூலகம்＿ ‘
一
／２，ｚ＞０
ｚ≤ 。
１．１矩估计
～＾，
）
作者简介：黄超（１９６９－－），男，湖北公安人，博士，讲师，主要从事应用
统计研究．Ｅ— ｍａｉｌ：ｃｈａｏｈｕａｎｇ＠ｍａｉｌ．ｃｃｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
摘要给出对数正态分布的数字特征，分别计算了对数正态分布参数的矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计，并讨论了参数的区间估计．关键词对数正态分布；矩估计；极大似然估计；区间估计；贝叶斯估计

对数正态分布概率密度函数推导

（文章标题）深度解析：对数正态分布概率密度函数的推导与应用一、引言在统计学和概率论中，常常会遇到各种概率密度函数的推导和应用。

其中，对数正态分布概率密度函数作为一种重要的分布模型，具有广泛的应用价值。

本文将围绕对数正态分布概率密度函数展开深入探讨，逐步推导和展示其应用场景，帮助读者全面理解这一概念。

二、概念理解1. 什么是对数正态分布？在开始推导对数正态分布概率密度函数之前，我们首先需要理解对数正态分布的概念。

对数正态分布是指随机变量的对数服从正态分布的分布。

换言之，如果一个随机变量X服从对数正态分布，那么ln(X)服从正态分布。

对数正态分布在描述生物学、金融学和环境科学等领域的现象时具有重要作用。

2. 对数正态分布的特点对数正态分布的特点包括：对数正态分布呈右偏态，即概率密度函数的长尾在右侧；对数正态分布的期望值、方差和其他参数都与正态分布相关。

这些特点使得对数正态分布在实际应用中具有一定的灵活性和适用性。

三、对数正态分布概率密度函数的推导在推导对数正态分布概率密度函数时，我们首先需要了解自然对数和正态分布概率密度函数的相关概念。

此处省略了推导过程。

四、对数正态分布的应用对数正态分布作为一种重要的分布模型，在许多领域都有着广泛的应用。

以金融领域为例，股票价格的对数收益率往往被建模为对数正态分布，这在风险管理和投资决策中具有重要意义。

另外，在环境科学中，某些环境因素的浓度、质量等也常常呈现出对数正态分布的特性。

这些应用场景都彰显了对数正态分布在实际问题中的重要性。

五、个人观点和总结通过对对数正态分布概率密度函数的深入探讨和应用场景的分析，我对这一概念有了更加深刻的理解。

对数正态分布不仅仅是数学理论，更是实际问题的抽象和概括，具有着广泛的现实意义。

在今后的学习和工作中，我将更加注重对数正态分布的应用，将其运用到实际问题中，为解决现实挑战提供有力支持。

总结回顾：本文从对数正态分布概念的理解开始，逐步推导了对数正态分布概率密度函数，并展示了其在金融和环境科学中的应用场景。

正态分布的参数估计及假设检验教学指导书

正态分布的参数估计及假设检验一、实验目的掌握参数估计和假设检验的 MATLAB 的有关命令。

二、实验内容及要求1、掌握参数估计和假设检验的 MATLAB 的有关命令；2、熟练掌握单个正态总体期望和方差的区间估计；3、熟练掌握两个正态总体期望差和方差比的区间估计的命令；4、熟练掌握对单个正态总体均值、方差的假设检验；5、掌握对两个正态总体均值、方差有关的假设检验；6、对统计结果能进行正确的分析。

三、实验的重点和难点实验的重点和难点是要求学生掌握基本的MATLAB 软件的编程语言，掌握基本的调用命令。

四、实验准备掌握假设检验的相关步骤；(1) 根据问题提出合理的原假设0H 和备择假设；(2) 给定显著性水平α, 一般取较小的正数, 如0.05,0.01等； (3) 选取合适的检验统计量及确定拒绝域的形式； (4) 令P{当0H 为真拒绝0H }α≤, 求拒绝域；(5) 由样本观察值计算检验统计量的值, 并做出决策: 拒绝0H 或接受0H . 五、实验步骤下面是MATLAB 软件提供的一些常用的参数估计函数命令. 一、矩估计命令：mu_ju=mean(X) % 返回样本X 的均值sigma2_ju =moment(X,2) % 返回样本X 的2阶中心矩例1. 来自某总体X 的样本值如下：232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30，求X 的均值与方差的矩估计。

解：x=[232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 232.48,232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30];mu_ju=mean(X)sigma2_ju= moment(X,2)输出：mu_ju =232.4025sigma2_ju =0.0255二、单个总体极大似然估计与区间估计（参数均未知）命令1: [a,b]=namefit (X, ALPHA) % 返回总体参数的极大似然估计a与置信度为100(1- ALPHA)%.的置信区间，若参数为多个，ab也是多个，若省略ALPHA，置信度为0.95常用分布的参数估计函数表3-1 参数估计函数表函数名调用形式函数说明binofit PHAT= binofit(X, N)[PHA T, PCI] = binofit(X,N)[PHA T, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)二项分布的概率的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间poissfit Lambdahat=poissfit(X)[Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)[Lambdahat,Lambdaci]=poissfit(X, ALPHA)泊松分布的参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的λ参数和置信区间normfit [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,ALPHA)正态分布的最大似然估计，置信度为95%返回水平α的期望、方差值和置信区间betafit PHAT =betafit (X)[PHA T, PCI]= betafit (X, ALPHA)返回β分布参数a和b的最大似然估计返回最大似然估计值和水平α的置信区间unifit [ahat,bhat] = unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)均匀分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间expfit muhat =expfit(X)[muhat,muci] = expfit(X)[muhat,muci] = expfit(X,alpha)指数分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计和置信区间gamfit phat =gamfit(X)[phat,pci] = gamfit(X)[phat,pci] = gamfit(X,alpha)γ分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回最大似然估计值和水平α的置信区间weibfit phat = weibfit(X)[phat,pci] = weibfit(X)[phat,pci] = weibfit(X,alpha)韦伯分布参数的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的参数估计及其区间估计Mlephat = mle('dist',data)[phat,pci] = mle('dist',data)[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)分布函数名为dist的最大似然估计置信度为95%的参数估计和置信区间返回水平α的最大似然估计值和置信区间仅用于二项分布，pl为试验总次数说明：各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%的置信区间。

正态分布与参数估计

正态分布与参数估计正态分布是一种对连续随机变量的分布进行描述的数学模型。

在正态分布中，随机变量的概率密度函数呈钟形曲线，其特征包括对称性和峰值集中在均值处。

正态分布具有许多重要的性质和应用。

利用正态分布，可以进行参数估计、假设检验、预测等统计推断的分析。

参数估计是指在给定样本数据的情况下，利用统计方法来估计总体的参数值。

参数估计可以分为点估计和区间估计。

点估计是根据样本数据，直接估计总体参数的取值。

常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。

最大似然估计是选择使样本观测值出现的概率最大化的参数值作为估计值。

矩估计则是根据样本矩与理论矩之间的对应关系来估计参数的值。

区间估计是在给定置信水平下，根据样本数据来估计总体参数的一个区间范围。

常见的区间估计方法有正态分布的区间估计和非正态分布的区间估计。

对于正态分布的区间估计，可以利用样本均值和标准差来构建置信区间。

在正态分布的参数估计中，最常用的是对均值和方差的估计。

均值的点估计可以通过样本均值来估计，而方差的点估计可以通过样本方差来估计。

对于均值的区间估计，可以使用t分布或者正态分布来构建置信区间。

而对于方差的区间估计，可以使用$\chi^2$分布来构建置信区间。

在正态分布的参数估计中，需要注意的是样本的大小对估计的精确度的影响。

当样本较小的时候，对总体参数的估计会更加不准确。

因此，在进行参数估计时，需要对样本大小进行充分的考虑，确保估计的结果具有统计显著性和实际可靠性。

除了参数估计，正态分布还具有其他应用。

例如，正态分布在假设检验中被广泛应用。

假设检验是根据样本数据来对总体的一些参数提出假设，并通过计算统计量的值来判断该假设是否成立。

假设检验的结果可以帮助我们进行决策，例如接受或者拒绝一些假设。

正态分布还可以用于预测。

根据已知的样本数据，可以利用正态分布来预测未来的概率分布。

这种预测可以在风险管理、金融投资、生产计划等领域中得到广泛应用。

总之，正态分布是一种重要的数学模型，在统计分析中具有广泛的应用。

正态分布与参数估计

2
standard normal distribution
如果进行变量变换，u = σ ，并使µ＝0，σ＝1，正态分布曲线的中心位置就由µ移到0，正态分布即可转化为标准正态分布。标准正态分布也称为u分布， u称为标准正态变量或标准正态离差。标准正态分布的概率密度函数为：
x−µ
ϕ (u ) =
22
t 界值
如由表查出单侧t0.05,10=1.812，表示从正态总体作样本例数为11的随机抽样，其t值服从 ν=n-1=11-1=10的t 分布，理论上 P(t≤-1.812)=0.05，或P(t≥1.812)=0.05 P(t≤-1.812)=0.05 P(t≥1.812)=0.05 用一般的表示法为
x − uα / 2 ⋅ s / n < µ < x + uα / 2 ⋅ s / n
26
总体均数之差的可信区间
[x − x ]− t
1 2
α / 2 ,( n1 + n2 −2 )
⋅ S x1− x2 < µ1 − µ 2 < x1 − x 2 + tα / 2,(n1 +n2 −2 ) ⋅ S x1 − x2
样本k
x1
x2
xk
x 1 x 2 …… x k
x
µ
σx
13
standard error
σ x 是样本均数的标准差称为均数标准误标准误
（简称标准误），它反映了样本均数与总体均数之间的接近程度，常用以说明均数抽样误差的大小。标准误的计算：
σx = σ
n
14
n 1 1 n Var ( x) = Var ( i =1 ) = 2 × Var (∑ xi ) = 2 × ∑ Var ( xi ) n n n i =1 i =1

基于EM算法的对数正态分布参数估计

ｆ（ｙKμ（ｉ），σ（ｉ））ｄｙ
ｚｊ
ｋ
ｎ
& & ＝（ｚｊ－ μ）２＋（ｂｉｊ－２μａｉｊ＋μ２）
（８）
ｊ＝１
ｊ＝ｋ＋１
Ｍ步，求Ｑ（ θ｜θ（ｉ））的最大值点。为此分别对 μ和 σ求偏
导并令其为零，联立求解，得
,& & - (*μ（ｉ＋１）
１ｎ
ｋ
ｎ
ｚｊ＋ａｉｊ
ｊ＝１ｊ＝ｋ＋１
我们的目的是，在得到不完全数据Ｚ的情况下使用极大
似然准则估计模型参数 θ，也就是求θ＾使得
ｌｎｆ（Ｚ（Ｚ θ＾）＝）
θ
我们可以这样来描述ＥＭ算法的思想：因为有部分数据
出现删失，所以在做参数估计之前，首先我们应该修复那些
出现删失的数据，使之尽量接近真实数据，最好的修复办法
失。Ｙ与Ｚ有如下关系：
%ｙｊ＝ｚｊ
ｊ＝１， …，ｋ
（５）
ｙｊ ≥ｚｊｊ＝ｋ＋１， …，ｎ
我们需要在得到不完全数据Ｚ的情况下，使用ＥＭ算法
估计模型参数 θ＝（ μ， σ）。注意到
ｎ
& ｌｎｆ（Ｙ｜θ）＝－ｎｌｎ !２π －ｎｌｎσ－
１
２
２
（ｙｊ－ μ）
２σ ｊ＝１
通过一定的积分运算，由（７）容易得到
ａｉｊ＝τｉｊ＋μ（ｉ）ｂｉｊ＝（ｚｊ＋μ（ｉ））τｉｊ＋σ（ｉ）２＋μ（ｉ）２
则（９）式可以相应地写为
.& & # (μ（ｉ＋１）＝１
*ｎ
ｋ
ｎ
ｚｊ＋（ｎ－ｋ）μ（ｉ）＋ τｉｊ

基于分组数据的对数正态分布的参数估计

分组数据情形下对数正态分布参数的最大似然估计

对数正态分布的几个性质及其参数估计

对数正态分布参数的最大似然估计

对数正态分布参数

基于数据分组与右删失情形下对数正态分布的参数估计

基于分组数据的对数正态分布的参数估计

对数正态分布参数的精确估计及其应用

对数正态分布的参数估计

正态总体参数的区间估计

统计学中的参数估计方法

正态分布参数区间估计

对数正态分布的参数估计

对数正态分布概率密度函数 推导

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正态分布与参数估计

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基于EM算法的对数正态分布参数估计

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