概率论与数理统计期末总结
2024年学习概率与数理统计总结（4篇）
2024年学习概率与数理统计总结一、引言2024年，我在大学学习了概率与数理统计这门课程。
这是一门基础的数学课程，旨在帮助学生理解和应用概率和统计的原理和方法。
在学习过程中，我深入学习了概率和统计的基本概念、模型和技巧，并通过实例分析和数学推导等方法，全面掌握了概率与数理统计的基本理论和方法。
本文旨在对我在2024年学习概率与数理统计的学习过程和收获进行总结。
二、概率与数理统计的基本概念在学习概率与数理统计的过程中，我首先了解了概率与数理统计的基本概念。
概率是研究随机现象规律的一门数学学科，它描述了事件发生的可能性大小。
数理统计是研究从具体数据去推断总体特征的方法和理论。
概率与数理统计是密切相关的，概率的理论和方法是数理统计的基础。
三、概率的基本概念和性质学习概率的基本概念和性质是概率与数理统计的重要基础。
我通过学习，掌握了概率的基本概念如样本空间、随机事件、事件的概率等，以及概率的基本性质如非负性、规范性和可列可加性等。
在学习过程中，我还学习了概率的计算方法，包括古典概型、切比雪夫不等式、贝叶斯公式等。
四、随机变量及其分布随机变量是概率与数理统计中的重要概念，它是定义在样本空间上的实值函数。
学习随机变量及其分布的过程中，我深入了解了离散型随机变量和连续型随机变量的定义、分布律和分布函数，并学习了常见的离散型分布如伯努利分布、二项分布和泊松分布，以及连续型分布如均匀分布、指数分布和正态分布。
五、多维随机变量及其分布多维随机变量是概率与数理统计中的重要概念，它扩展了一维随机变量的概念。
学习多维随机变量及其分布的过程中，我了解了二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布，并学习了多维随机变量的独立性和相关性。
此外，我还学习了常见的二维随机变量的分布如二维正态分布和二项分布等。
六、大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率与数理统计的核心内容，它们描述了大样本情况下随机变量的行为。
学习大数定律和中心极限定理的过程中，我了解了大数定律的弱收敛和强收敛的概念和数学表达，并学习了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
2024年学习概率与数理统计总结(二篇)
2024年学习概率与数理统计总结概率与数理统计是一门应用广泛且重要的学科，对于各个领域的研究和应用起着至关重要的作用。
在2024年的学习中，我对概率与数理统计有了更深入的了解和理解，下面是我对于2024年学习概率与数理统计的总结。
一、基础知识的学习在学习概率与数理统计的过程中，我首先系统地学习了该学科的基础知识。
我通过课堂上的讲解和自主学习，掌握了概率论的基本概念、条件概率与独立性、随机变量与分布函数、多维随机变量及其分布等内容，为后续的学习打下了坚实的基础。
二、概率模型与统计推断在学习概率与数理统计的过程中，我深入学习了概率模型与统计推断的理论知识。
我了解了概率模型的构建和参数估计方法，掌握了点估计和区间估计的原理和方法。
在学习统计推断时，我进一步了解了假设检验的原理和应用，以及常见的检验方法，如t检验、卡方检验等。
通过学习这些内容，我能够利用概率模型和统计推断对实际问题进行建模和分析。
三、案例分析与实践应用在学习概率与数理统计的过程中，我也参与了一些案例分析和实践应用的实践活动。
通过实际操作和应用概率与数理统计的方法，我深入了解了理论知识在实际问题中的应用。
例如，我们进行了一次市场调研，并利用统计方法对收集到的数据进行了分析和解读。
这次实践活动不仅加深了我对概率与数理统计的理解，还提高了我解决实际问题的能力。
四、思维的培养和拓展在学习概率与数理统计的过程中，我也注重培养和拓展思维能力。
概率与数理统计是一门需要逻辑思维和创造性思维相结合的学科，因此培养这些思维能力对于学习和应用概率与数理统计至关重要。
我在学习过程中注重培养自己的逻辑思维能力，通过练习题和解题过程，提高了自己的问题分析和解决能力；同时，我也注重拓展自己的创造性思维能力，通过参与一些实践活动和自主学习，提高了自己的创新能力和解决实际问题的能力。
总之，在2024年的学习中，概率与数理统计是我非常重要的一门学科。
通过对基础知识的学习、概率模型与统计推断的掌握、案例分析与实践应用的实践活动以及思维能力的培养和拓展，我对概率与数理统计有了更深入的了解和理解。
概率论与数理统计总结
概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B nk p p C k X P k n k k n,,1,0,)1()( =-==- 泊松定理 0lim >=∞→λnn np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p Ckkn n knk nn λλ(3) 泊松分布 )(λP =,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。
3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x ex x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt tex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布： （1）分布函数法；(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X yYdxx f dx x f l X P y F y)()()(（2）设随机变量X 具有概率密度f X (x )，又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ，则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f XY 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数，()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,m ax ,,m in βα 3、 二维连续型随机变量（1）联合分布函数为dudvv u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f（2）基本二维连续型随机向量分布均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布：+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律：4、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X⎰∞+∞-= dx y x f y f Y⎰∞+∞-=),()(F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律： （3）条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布 （1）条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x YX du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成，（2）条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x fY Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).泊松分布：若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。
第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为 ， ，则A=B= ；X 的密度函数为 。
概率论与数理统计学期总结和感想
概率论与数理统计学期总结和感想
这学期我学习了概率论与数理统计课程，整个学期的学习，有许多新的想法，以及我的深刻的总结。
首先，对概率论的学习，使我对概率的概念有了更深刻的认识，了解了概率的定义以及概率的基本表示方法，并且了解了如何使用概率论来分析和解决实际问题。
概率论中，最重要的部分是期望和方差，期望和方差是我们分析系统性能和随机现象的两个主要指标，学习期望和方差上，让我更加了解了概率论中的许多概念，让我有能力用数学的方法解决实际问题。
其次，我学习了数理统计课程，数理统计是概率论的一个重要的分支，它的主要用途是用统计方法来分析和求解基本的理论问题，而不只是实际应用。
在学习数理统计课程中，我学习了不同类型的统计量，以及如何求取和应用它们，并且学习了分布和卡方检验、假设检验和拟合等方法，进一步让我系统的了解了如何用统计的方法分析和求解实际问题。
最后，这学期学习概率论与数理统计课程让我对数学中的概率论有了更深入的认识，使我有能力用数学的方法分析和求解实际问题，并且，更重要的是，这学期的学习让我更加加深了对于概率论和数学的热爱。
回顾这学期，我经历了许多有意义的事情，无论是学习知识，还是与老师老师和同学交流，都是我本学期最宝贵的经历。
在未来的学习和工作中，我一定会利用所学到的知识和技能，成为一名优秀的科
学研究者。
小结：
总的来说，这学期的学习概率论与数理统计使我更加深入的了解了概率的概念，并有能力用数理工具来分析和求解真实问题，此外，本学期的学习也让我对概率论和数学的热爱更加深厚，未来的学习和工作中，我一定会还会利用所学知识和技能，成为一名优秀的科学研究者。
概率论与数理统计期末复习公式总结
概率论与数理统计期末复习公式总结概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=?，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
概率论与数理统计期末总结
第1章概率论的基本概念1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。
1.2 样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。
样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。
必然事件在每次试验中必然发生。
随机试验的样本空间不一定唯一。
在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。
所以应从试验的目的出发确定样本空间。
样本空间的子集称为随机事件，简称事件。
在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。
1.3 事件的关系及运算（1）包含关系BA⊂，即事件A发生，导致事件B发生；（2）相等关系BB⊂；A⊂且AA=，即B（3）和事件（也叫并事件）=，即事件A与事件B至少有一个发生；C⋃BA（4）积事件（也叫交事件）==，即事件A与事件B同时发生；C⋂ABAB（5）差事件=-=，即事件A发生，同时，事件B不发生；C-AABAB（6）互斥事件（也叫互不相容事件）A、B满足φAB，即事件A与事件B不同时发生；=（7）对立事件（也叫逆事件）=，即φΩA-AAA,。
A=Ω=⋃A1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =⋃=⋃,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃,； （4）幂等律 A AA A A A ==⋃,；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ⋃==⋂=⋂=⋃,。
1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ；（3）若事件 ，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=⋃⋃⋃⋃)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。
概率论与数理统计末总结
第六章 极限理论§6.1随机变量序列的收敛性§6.1.1以概率1收敛设{}n X 是随机变量序列，若存在随机变量X ，使得{}1lim ==∞→X X P n n ，则称随机变量序列{}n X 以概率1收敛于X ，即{}n X 几乎处处收敛于X §6.1.2依概率收敛设{}n X 是随机变量序列，若存在随机变量X ，对于任意0>ε，有{}0lim =≥-∞→εX X P n n ，则称随机变量序列{}n X 依概率收敛于X §6.1.3依分布收敛设随机变量Λ,,,21X X X 的分布函数分别为()()()Λ,,,21x F x F x F ，如果对()x F 的每个连续点x 都有()()x F x F n n =∞→lim ，则称分布函数列(){}x F n 弱收敛于分布函数()x F ，{}n X 依分布收敛于X§6.1.4三种收敛的关系以概率1收敛⇒依概率收敛⇒依分布收敛§6.2特征函数§6.2.1特征函数定义设X 是一个随机变量，()()()+∞<<∞-=t e E t itXϕ称为随机变量X 的特征函数1.离散型随机变量的特征函数设离散型随机变量X 的分布律为()()Λ,2,1===k x X P p k k ，则X 的特征函数为()()+∞<<∞-=∑∞=t p e t k k itx k1ϕ2.连续型随机变量的特征函数设连续型随机变量X 的密度函数为()x p ，则X 的特征函数为()()()+∞<<∞-=⎰+∞∞-t dx x p e t itx ϕ3.常用分布的特征函数（1）单点分布()1==c X P 的特征函数为()itce t =ϕ（2）10-分布()p B X ,1~的特征函数为()()p pe t it-+=1ϕ（3）二项分布()p n B X ,~的特征函数为()()[]nit p pe t -+=1ϕ （4）泊松分布()λP X ~的特征函数为()()1-=itee t λϕ（5）均匀分布()b a U X ,~的特征函数为()()a b it e e t iatibt --=ϕ均匀分布()a a U X ,~-的特征函数为()atatt sin =ϕ （6）正态分布()2,~σμN X 的特征函数为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2exp 22t t i t σμϕ标准正态分布()1,0~N X 的特征函数为()22t et -=ϕ（7）指数分布()λE X ~的特征函数为()11-⎪⎭⎫⎝⎛-=λϕit t§6.2.2特征函数的性质 1.()()10=≤ϕϕt 2.()()t t ϕϕ=-3.若b aX Y +=，其中b a ,为常数，则()()at e t X ibtY ϕϕ=4.若Y X ,相互独立，则()()()t t t Y X Y X ϕϕϕ=+5.若()l X E 存在，()t ϕ为X 的特征函数，则()()()()l k X E i kk k ≤≤=10ϕ§6.2.3特征函数唯一决定分布函数 1.随机变量X 的特征函数()t ϕ一致连续 2.随机变量X 的特征函数()t ϕ非负定3.设随机变量X 的分布函数为()x F ，特征函数为()t ϕ，则对()x F 的任意两个连续点21x x <，有()()()dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰---∞→-=-2121lim124.设连续型随机变量X 的密度函数为()x p ，特征函数为()t ϕ，如果()+∞<⎰+∞∞-dt t ϕ，则()()⎰+∞∞-=dt t e x p itx ϕπ215.随机变量X 的分布函数()x F 由其特征函数()t ϕ唯一决定 §6.2.4分布函数的再生性 1.二项分布设()p n B X ,~与()p m B Y ,~相互独立，则()p n m B Y X ,~++ 2.正态分布设()2,~X X N X σμ与()2,~Y Y N Y σμ相互独立，则()22,~Y X Y X N Y X σσμμ+++ 3.泊松分布设()1~λP X 与()2~λP Y 相互独立，则()21~λλ++P Y X 4.2χ分布设()n X 2~χ与()m Y 2~χ相互独立，则()m n Y X ++2~χ§6.3大数定理设{}k X 是随机变量序列，数学期望()()Λ,2,1=k X E k 存在，若对于任意0>ε,有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εnk k n k k n X E n X n P ，则称随机变量序列{}k X 服从大数定理 利用契比雪夫不等式，有()21111111lim 1εε⎪⎭⎫⎝⎛-≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥∑∑∑∞===∞→i i nk k n k k n X n D X E n X n P即当∞→n 时，有0121→⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=εi i X n D ，则随机变量序列{}kX服从大数定理§6.3.1契比雪夫大数定理若随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 满足以下两个条件，则称随机变量序列{}k X 服从大数定理 （1）随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 两两不相关 （2）()c X D i ≤，即方差有界证明：由于()0lim 1lim 1lim 221221=≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞=∞→∞=∞→∑∑εεεn c X D n X n D n i in i i n ，而0121≥⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=εi i X n D 恒成 立则有0121→⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=εi i X n D 契比雪夫大数定理说明，当n 足够大时，只要满足定理条件，()∑∑∞=∞=→1111i i i i X E n X n§6.3.2辛钦大数定理若随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 满足以下两个条件，则称随机变量序列{}k X 服从大数定理 （1）随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布（2）数学期望()()Λ,2,1==i X E i μ，即数学期望存在证明：设{}k X 独立同分布，其相同的特征函数记为()t ϕ，记∑==nk k n X n Y 11由于()tX E k ⎪⎭⎫ ⎝⎛==0'ϕμ，因而()()()()t t t οϕϕϕ++=00'则()nnY n n t i n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=11ομϕϕ对于任意t ，有()ti nn Y n e n n t i t n μομϕ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→∞→11lim lim由于ti eμ是退化分布{}1==μX P 的特征函数，故有{}1lim =<-∞→εμn n Y P§6.3.3伯努利大数定理设A n 是n 重伯努利试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意0>ε，有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n §6.3.4马尔可夫大数定理 对随机变量序列{}n X ，若满足01lim 12=⎪⎭⎫⎝⎛∑=∞→n i i n X D n ，则对任意0>ε，有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εnk k n k k n X E n X n P §6.4中心极限定理§6.4.1中心极限定理设{}k X 为相互独立的随机变量序列，数学期望()k k X E μ=和方差()2k k X D σ=都存在，令⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑∑===n k k n k k nk k n X D X E X Y 111*，若对于一切实数x ，有{}()x dt ex Y P xt nn Φ==≤⎰∞--∞→2*221lim π，则称随机变量序列{}k X 服从中心极限定理 §6.4.2独立同分布的中心极限定理设随机变量序列{}n X 独立同分布，且()μ=i X E ，()()Λ,2,102=>=i X D i σ，若记σμn n X X D X E X Y ni i n i i n i i ni i n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑∑∑====1111* 则对于任意实数x ，有(){}()x dt ex Y P x F xt n n n n Φ==≤=⎰∞--∞→∞→2*221lim lim π§6.4.3De Moivre-Laplace 中心极限定理设随机变量()()Λ,2,1,~=n p n B Z n ，则对于任意实数x ，有()()x dt e x p np np Z P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→22211lim π。
概率论与数理统计期末考试复习
j 1
此公式即为贝叶斯公式;
P(Bi ) ,i 1,2 ,…,n ,通常叫先验概率; P(Bi / A) ,i 1,2 ,…,n ,通常 称为后验概率;贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由
果朔因”的推断;
我们作了n 次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生；
n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样；
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥;基本事件是互不相容的;
-A 称为事件A 的逆事件,或称A 的对立事件,记为 A ;它表示A 不发生 的事件;互斥未必对立;
②运算：
结合率：ABC=ABC A∪B∪C=A∪B∪C
分配率：AB∪C=A∪C∩B∪C A∪B∩C=AC∪BC
7 概率 的公 理化 定义
2° PΩ =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1, A2 ,…有 常称为可列完全可加性;
则称 PA 为事件 A 的概率;
1° 1,2 n ,
2°
P(1 )
P( 2
)
P( n
)
1 n
;
设任一事件 A ,它是由1,2 m 组成的,则有
PA=(1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
则称 X 为连续型随机变量; f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函
数,简称概率密度;
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ;
2° f (x)dx 1;
3 离散与 积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与
连续型 P(X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似; 随机变
用;
Φ-x＝1-Φx 且 Φ0＝ 1 ;
概率论与数理统计总结
概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B nk p p C k X P k n k k n,,1,0,)1()(Λ=-==- 泊松定理 0lim >=∞→λnn np有Λ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk nn λλ(3) 泊松分布 )(λP =Λ,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1Λ dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。
3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a Uf (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f（2）基本二维连续型随机向量分布均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布：+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律：3、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X⎰∞+∞-= dx y x f y f Y⎰∞+∞-=),()(F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律： （3）条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布 （1）条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x YX du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成，（2）条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x fY Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).泊松分布：若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。
概率论与数理统计 期末复习总结
1统计量与抽样分布1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体X 的样本X 1，X 2，…，X n ，则T(X 1，X 2，…，X n )即为统计量 样本均值X =μ样本方差212)(1∑=-=ni i nX X n S修正样本方差212*)(11∑=--=n i i nX X n S样本k 阶原点矩,...)2,1(,11==∑=k X n A n i ki k样本k 阶中心矩,...)2,1(,)(11=-=∑=k X X n B n i ki k经验分布函数)(,)()(+∞<<-∞=x nx v x F n n 其中V n (x)表示随机事件}{x X ≤出现的次数,显然))(,(~)(x F n B x V n ,则有)()]([x F x F E n = )](1)[(1)]([x F x F nx F D n -=补充： ⏹DX nn ES n 12-=DX ES n =2* 22)(EX DX EX += ⏹22211n ni i S X X n ==-∑● 二项分布B(n,p): ),...,1,0(,)1(}{n k p p C k X P kn k k n =-==-EX=np DX=np(1-p) ● 泊松分布)(λP :,...)1,0(,!}{===-k e k k X P kλλλ=EX λ=DX● 均匀分布U(a,b):)(,1)(b x a ab x f <<-=2b a EX +=2)(121a b DX -= ● 指数分布:(),(0)()1,(0)x x f x e x F x e x λλλ--=>↔=->λ1=EX 21λ=DX● 正态分布),(2σμN :}2)(ex p{21)(22σμσπ--=x x f μ=EX 2σ=DX22221()1nnnS n E n ES n σσ-=-⇒= 224222(1)()2(1)n n nS n D n DS n σσ-=-⇒= 当0=μ时，0=EX 22σ=EX 443EX σ= σπ2=X E 2)21(σπ-=X D1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族 T 是θ的充分统计量⇔),...,,(21t T x x x f n =与θ无关 T 是θ的完备统计量⇔要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0));,...,,((),...,,();()(21211θθθn n i ni x x x T g x x x h x f L ==∏=且h 非负⇔T 是θ的充分统计量),...,,()},...,,()(ex p{)();(21211nnni ix x x h x x x T b C x f θθθ=∏=⇔T 是θ的充分完备统计量),...,,()},...,,()(),...,,()(ex p{)();(21212221111n n nni ix x x h x x x Tb x x x T b C x f θθθθ+=∏=⇔),(21T T 是),(21θθθ=的充分完备统计量1.3抽样分布：2χ分布，t 分布，F 分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布2χ分布：)(~ (2)222212n X X X nχχ+++= )0()2(21)(1222>Γ=--x xe n xf n x nn E =2χ n D 22=χT 分布：)(~/n t nY X T =当n>2时，ET=0 2-=n nDTF 分布：),(~2121n n F n Yn XF =),(112n n F F= 补充：⏹ Z=X+Y 的概率密度⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f z ),(),()( f(x,y)是X 和Y 的联合概率密度 ⏹ XYZ =的概率密度dx x xz x f z f z ⎰+∞∞-=),()(⏹)(x g y =的概率密度)]'([))(()(11y g y g f y f x y --=●Γ函数：⎰+∞--=Γ01)(dx e x x αα )()1(αααΓ=+Γ 1)1(,)!1()(=Γ-=Γn n● B 函数：⎰---=111)1(),(dx x x B βαβα )()()(),(βαβαβα+ΓΓΓ=B1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数°X 、样本极差R X (k)的分布密度：),...,2,1(),()](1[)]([)!()!1(!)(1)(n k x f x F x F k n k n x f k n k x k =---=--X (1)的分布密度：1)](1)[()()1(--=n x x F x nf x f X (n)的分布密度：1)]()[()()(-=n x x F x nf x f n2参数估计2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计$θ的均方误差：$$$$22(,)()()MSE E D E θθθθθθθ=-=+- 若$θ是无偏估计，则$$(,)MSE D θθθ= 对于θ的任意一个无偏估计量$θ，有$$*D D θθ≤，则$*θ是θ的最小方差无偏估计，记MVUE相合估计(一致估计):lim n n E θθ→∞= $lim 0n n D θ→∞=2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法矩估计法：① 求出总体的k 阶原点矩:12(;,,...,)kk k m a EX x dF x θθθ+∞-∞==⎰② 解方程组11n kk i i a X n ==∑ (k=1,2,...,m)，得$$12(,,...,)k k n X X X θθ=即为所求最大似然估计法：① 写出似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，求出lnL 及似然方程$ln 0i Lθθθ=∂=∂ i=1,2,...,m② 解似然方程得到$12(,,...,)i n x x x θ，即最大似然估计$12(,,...,)i n X X X θ i=1,2,...,m补充：似然方程无解时，求出θ的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计2.3MVUE 和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计T 是θ的充分完备统计量，$θ是θ的一个无偏估计⇔$$*(|)E T θθ=为θ的惟一的MVUE最小方差无偏估计的求解步骤：① 求出参数θ的充分完备统计量T② 求出()ET g θ=，则$1()g T θ-=是θ的一个无偏估计 或求出一个无偏估计，然后改写成用T 表示的函数 ③ 综合，11[()]()E g T T g T --=是θ的MVUE或者：求出θ的矩估计或ML 估计，再求效率，为1则必为MVUET 是()g θ的一个无偏估计，则满足信息不等式'2[()][()]()g D T X nI θθ≥，其中2ln (;)()f X I E θθθ∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦或22ln (;)()0f X I E θθθ⎡⎤∂=->⎢⎥∂⎣⎦，(;)f X θ为样本的联合分布。
2024年学习概率与数理统计总结范文(二篇)
2024年学习概率与数理统计总结范文概率与数理统计是现代数学的重要分支，也是应用科学中的基础学科。
在2024年的学习中，我深入学习了概率与数理统计的基本理论和方法，并将其应用于实际问题的解决。
通过系统的学习和不断的实践，我对概率与数理统计有了更深入的理解，并积累了丰富的实践经验。
下面我将对2024年学习概率与数理统计的主要内容、学习方法和应用实践进行总结。
首先，我在2024年的学习中主要学习了概率论的基本概念、概率分布、随机变量、随机过程等内容。
我通过学习概率分布函数、概率密度函数、随机变量的性质等基本理论，对概率的计算和应用有了更深入的理解。
同时，我还学习了随机变量的数学期望、方差、协方差等统计量的计算方法，以及常见的概率分布如二项分布、正态分布等的特点和应用。
通过学习这些基本理论，我对概率的计算和分析能力得到了提升。
其次，在学习数理统计的过程中，我主要学习了样本统计量、参数估计、假设检验等内容。
我通过学习样本统计量的定义、性质以及其与总体参数的关系，了解了样本统计量在总体参数估计中的重要作用。
在参数估计方面，我学习了点估计和区间估计的基本原理、方法和应用。
通过学习假设检验的基本原理、假设检验的步骤和拒绝域的确定方法，我能够对问题提出相应的假设并进行假设检验。
通过系统的学习，我对数理统计的数据处理和分析能力有了较为全面的提升。
在学习概率与数理统计的过程中，我主要采用了理论学习和实践应用相结合的方法。
在理论学习方面，我通过阅读教材和相关参考书籍，积极参加课堂讨论和学术讲座，加深对概率与数理统计基本理论的理解。
在实践应用方面，我通过大量的习题训练和实际问题分析，将所学的概率与数理统计的理论知识应用于实际问题的解决，提高了解决实际问题的能力。
同时，我还参与了一些研究项目，并应用所学的概率与数理统计知识进行数据分析和统计建模，在实践中进一步巩固了理论知识，并积累了实践经验。
在应用实践方面，我主要应用概率与数理统计的知识解决了一些实际问题。
概率论与数理统计期末总复习小结
第二、三、四章随机变量的分布及数字特征习题课一、小结1.一维随机变量的概率分布⑴随机变量X 的分布函数{}()()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念与性质⑵离散型随机变量的概率分布与性质 ⑶连续型随机变量的概率密度与性质⑷重要分布（01-分布、二项分布、超几何分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布）2.二维随机变量的概率分布⑴分布函数的概念与性质、边缘分布函数⑵二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布 ⑶二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度、条件密度 ⑷重要分布（二维均匀分布、二维正态分布） ⑸随机变量的独立性 3.随机变量的函数的概率分布 ⑴离散型随机变量函数的概率分布 ⑵连续型随机变量函数的概率分布 4.随机变量的数字特征 ⑴数学期望定义、公式与性质 ⑵方差的定义与性质 ⑶原点矩与中心矩⑷协方差定义与性质 ⑸相关系数的定义与性质 ⑹不相关的充要条件 5.极限定理 ⑴切比雪夫不等式 ⑵大数定律 ⑶中心极限定理二、习题1.每次试验成功的概率为p （01p <<），重复进行试验直到 第n 次才取得r （1r n ≤≤）次成功的概率是【B 】(A)(1)r r n r n C p p --(B)11(1)r r n r n C p p ----(C)(1)r n r p p --(D)111(1)r r n r n C pp -----2.设随机变量2(,)X N μσ，则随着2σ的增大，概率{}P X μσ-<【C 】(A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 3.设两个独立的随机变量X 与Y 的分布函数分别(),()X Y F x F y ，则{}max ,Z X Y =的分布函数是【C 】(A)()max{(),()}Z X Y F z F z F z =(B)()max{(),()}Z X Y F z F z F z =(C)()()()Z X Y F z F z F z =⋅(D)都不是4.设随机变量129,,X X X 相互独立且同分布，1i EX =，1i DX =，（1,2,,9i =），令91ii S X==∑，则对任意的0ε>，有【B 】(A){}2111P S εε-<≥-(B){}2991P S εε-<≥-(C){}2191P S εε-<≥-(D)211119P S εε⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭5．某事件的概率为1/4,如果试验8次,则该事件就【D 】(A)一定出现两次(B)一定出现6次(C)至少出现1次(D)出现次数不能确定6.设两个相互独立的随机变量X 与Y 的方差分别是4DX =，2DY =，则随机变量34X Y -的方差是.【68】7.设有5枚1分硬币、3枚2分硬币和2枚5分的硬币，从中任取5枚.求取出金额超过1角的概率为.【0.5】8.设X 与Y 相互独立且都服从(1,0.5)B ，则{}P X Y ==.【0.5】9.设随机变量X 的概率密度为1,[0,1],32,[3,6],()90,x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩其他.若{}23P X k ≥=，则k 的取值范围是.【[1,3]】10.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.5，0EX EY ==，222EX EY ==，则2()E X Y +=.【6】11.盒中放有6个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时，从中任取2个来用，比赛后放回盒中；第二次比赛时再从盒中任取2个.（1）求第二次取出的两球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的两球都是新球，则第一次取出的两球是一新一旧的概率.【⑴0.16；⑵0.67】12.设X 服从区间(0,1)上的均匀分布，求 ⑴e XY =的分布密度；⑵2ln Y X =的分布密度. 【⑴⑵()21,0,20,yY e y f y ⎧⎪<=⎨⎪⎩其它.】13.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克，⑴设每100个螺丝钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过5100克的概率；⑵若这样的螺丝钉装有500袋，求500袋中最多有4%的重量超过5100克的概率.已知(2)0.9772Φ=，(2.59)0.995Φ=.【⑴0.02275；⑵0.995】14.假定到某服务单位办事的等待时间X （单位：分钟）服从以101为参数的指数分布，而某人等待时间超过15分钟就会离去.设此人一个月要去该处10次，试求：⑴此人离去的概率；⑵一个月里至少有两次离去的概率.【0.2231；⑵0.6899】15.设(X，Y)在区域D内服从均匀分布，D为0≤y≤1，y≤x ≤1，⑴求关于X和Y的边缘分布密度；⑵X与Y是否相互独立，为什么？⑶求X与Y的协方差Cov(X，Y).⑵()2,01 0,X x xf x<<⎧=⎨⎩其它；22,01,()0,Yy yf y-<<⎧=⎨⎩其它.⑵不独立；⑶()1,36 Cov X Y=】第五、六、七章习题课一、小结（一）样本与抽样分布 1.基本概念△总体、个体、样本、样本容量△简单随机样本：若样本n X X X ,,,21 满足：它们相互独立，且与总体X 具有相同的分布.△统计量：样本n X X X ,,,21 的函数12(,,,)n g X X X ，且不含任何未知参数.△样本数字特征：⑴样本均值11ni i X X n ==∑；⑵样本方差2211()n i i S X X n ==-∑，修正样本方差*2211()1n i i S X X n ==--∑； ⑶样本k 阶原点矩11n k k i i A X n ==∑；样本k 阶中心矩11()nk k i i B X X n ==-∑.定理 若总体X 的期望为μ，方差为2σ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则2*22,,EX DX ES nσμσ===.2.抽样分布定理1（生成原理）⑴独立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量；⑵独立的标准正态变量的平方和21ni i X =∑服从自由度为n 的2χ分布；⑶设U ，V 相互独立，且~(0,1)U N ，2~()V n χ，则T =服从自由度为n 的t 分布；⑷设U ，V 相互独立，且2~()U m χ，2~()V n χ，则//U mF V n=服从自由度为(,)m n 的F 分布.△ 若2~()X n χ，则EX n =，2DX n =.定理2（一个正态总体抽样分布）设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，则 ⑴2~(,)X N nσμ；⑵~(0,1)X U N =； ⑶*2222(1)~(1)n S n χχσ-=-；⑷X 与2S 相互独立；⑸~(1)X T t n =-. 定理3（两个正态总体抽样分布）设112,,,n X X X 与212,,,n Y Y Y 是分别来自正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的简单随机样本，且这两个样本相互独立，则⑴*221112*2222/~(1,1)/S F F n n S σσ=--；⑵当22212σσσ==时，12)~(2)X Y T t n n =+-，其中*2*2222112211221212(1)(1)22wn S n S n S n S S n n n n -+-+==+-+-. 3.分位数△设{}P X x αα≤=，称x α为X 的α下侧分位数；设{}P X x αα>=，称x α为X 的α上侧分位数.△它们的关系是：x α（上）＝1x α-（下）.△会画2(0,1)N t F χ、、、分布的密度曲线，会查它们的分位数表，其中112211(,)(,)F n n F n n αα-=（颠倒自由度，查表取倒数）.（二）参数估计 1.点估计方法△矩估计法：用样本原点（中心）矩及其函数估计总体相应原点（中心）矩及其函数.例如 估计一个参数θ，令X EX =，解出θ；估计两个参数12,θθ，令2211,n i i X EX X EX n ===∑，解出12,θθ.△最大似然估计法：选取参数，使样本12,,,n X X X 取值12,,,n x x x 的概率（密度）最大. 其步骤如下：⑴写出似然函数{}{}{}1122()n n L P X x P X x P X x θ====（离散型）， 12()(,)(,)(,)n L f x f x f x θθθθ=（连续型）； ⑵取对数ln ()L θ；⑶求出ln ()L θ（即()L θ）的最大值点ˆθθ=； ⑷θ的最大似然估计为ˆθ. 2.点估计的评价标准⑴无偏性：ˆE θθ=； ⑵有效性：12ˆˆE E θθθ==且12ˆˆD D θθ<，则称1ˆθ比2ˆθ有效； ⑶一致性（相合性）：若{}ˆlim 1n n P θθε→∞-<=，则称ˆnθ是θ的一致估计量. 3.区间估计△概念 若{}12ˆˆ1P θθθα<<=-，则称12ˆˆ(,)θθ为参数θ的置信概率为1α-的置信区间.△概率意义 等式{}12ˆˆ1P θθθα<<=-表示随机区间12ˆˆ(,)θθ包含参数θ的概率为1α-.△置信概率1α-反映可靠性，越大越好；置信区间12ˆˆ(,)θθ的长度21ˆˆθθ-反映精确度，越小越好.△求置信区间的原则：对于给定的置信概率1α-，使置信区间12ˆˆ(,)θθ的长度21ˆˆθθ-越小越好. 4.一个正态总体2(,)N μσ均值与方差的置信区间（其中分位数均为下侧分位数）：⑴2σ已知，μ的置信区间为12X uα-±⑵2σ未知，μ的置信区间为*12(X t n α-±-；⑶μ已知，2σ的置信区间为221122122()(),()()n ni i i i X X n n ααμμχχ==-⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑； ⑷μ未知，2σ的置信区间为*2*222122(1)(1),(1)(1)n Sn S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. （三）假设检验1.小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生.2.假设检验的步骤：⑴提出待检假设0H 和备择假设1H ；⑵选择检验统计量并确定其分布；⑶根据给定的显著水平α，查概率分布表，确定否定域；⑷利用样本值计算统计量的值并判断其是否落入否定域，若是，则拒绝0H ，否则接受0H .3两类错误△0H 真而拒绝0H ，称为第一类（弃真）错误，犯第一类错误的概率{}0P T W H α=∈，△0H 假而接受0H ，称为第二类（纳伪）错误，犯第二类错误的概率记作{}1P T W H β=∉.4.一个正态总体2(,)N μσ参数的假设检验（拒绝域均采用下侧分位数） ⑴2σ已知，关于μ的检验（U 检验） 检验假设00:H μμ=统计量X U =拒绝域12U u α->检验假设00:H μμ>统计量X U =拒绝域1U u α-<- 检验假设00:H μμ<统计量X U =拒绝域1U u α-> ⑵2σ未知，关于μ的检验（t 检验） 检验假设00:H μμ=统计量X t =拒绝域12(1)t t n α->- 检验假设00:H μμ>统计量X t =拒绝域1(1)t t n α-<-- 检验假设00:H μμ<统计量X t =拒绝域1(1)t t n α->- ⑶μ未知，关于2σ的检验（2χ检验） 检验假设2200:H σσ= 统计量*2220(1)n S χσ-=拒绝域2212(1)n αχχ->-或者222(1)n αχχ<-检验假设2200:H σσ> 统计量*2220(1)n S χσ-=拒绝域22(1)n αχχ<-检验假设2200:H σσ< 统计量*2220(1)n S χσ-=拒绝域221(1)n αχχ->-5.两个正态总体21(,)N μσ、22(,)N μσ均值的假设检验（t 检验，拒绝域均采用下侧分位数）检验假设012:H μμ=统计量X Yt =拒绝域1212(2)t t n n α->+-检验假设012:H μμ>统计量X Yt =拒绝域112(2)t t n n α-<-+-检验假设012:H μμ<统计量X Yt =拒绝域112(2)t t n n α->+-6.两个正态总体211(,)N μσ、222(,)N μσ方差的假设检验（F 检验，拒绝域均采用下侧分位数）检验假设22012:H σσ= 统计量*21*22S F S = 拒绝域1212(1,1)F F n n α->--或者122(1,1)F F n n α<--检验假设22012:H σσ> 统计量*21*22S F S = 拒绝域12(1,1)F F n n α<-- 检验假设22012:H σσ< 统计量*21*22S F S = 拒绝域112(1,1)F F n n α->-- 注 检验两个正态总体均值相等时，应先检验它们的方差相等.二、习题1. 10部机床独立工作，因检修等原因，每部机床停机的概率为0.2，则同时有3部机床停机的概率为（）.【733108.02.0⋅⋅C 或0.201】2. 设总体X 服从(,1)N μ 分布，12,X X 是一个样本，则两个无偏估计量11211ˆ22X X μ=+，21213ˆ44X X μ=+中有效的是（）. 【1ˆμ】 3.若总体X 服从(,1)N μ ，由来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则μ的双侧0.95置信区间（0.975 1.96u =）为（）.【（4.804，5.196）】4. 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有{2}P X EX -≥≤．【1/2】5．在假设检验问题中，显著性水平α的意义是（）A.原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率；B.原假设0H 成立,经检验不能拒绝的概率；C.原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率；D.原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率．【A 】6．设总体2~(,)X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 是取自X 的一个样本，则下列表达式中不是统计量的是（）A.123X X X ++；B.123max(,,)X X X ；C. 2321i i X σ=∑；D. 12X μ-．【 C 】7. 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布(0,1)N ，则下列各式中正确的是（） A 22/X Y 服从F 分布；B.22X Y +服从2χ分布；C ．2X 和2Y 都服从2χ分布；D.X Y +服从正态分布．【C 】8. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2DX σ=，记11ni i X X n ==∑，*2211()1ni i S X X n ==--∑，下列命题中正确的是（） A.*S 是σ的无偏估计量；B.*S 是σ的极大似然估计量；C. *S 与X 相互独立；D.*2S 是2σ的无偏估计量．【D 】9．设4DX =，2DY =且X 与Y 不相关，则(32)D X Y -=（）A. 6；B. 16；C. 28；D.44．【 D 】10.袋中装有N 只球，但其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为n ，试求从该袋中任取一球为白球的概率．解 用X 表示袋中的白球数，则1()N k EX n kP X k ====∑设A ={取出白球}，由全概率公式00()()()()N N k k k P A P X k P A X k P X k N=======∑∑11()N k n k P X k N N==⋅==∑. 11．设总体X 的分布密度为(1),01()0,x x p x θθ⎧+≤≤=⎨⎩其它，其中0θ>是未知参数，1,,n X X 是来自X 的样本．求（1）似然函数；（2）极大似然估计量．解（1）似然函数θθθθθθnn n i iX X X L 11)1()1()(+=+=∏= （2）∑=++=n i i Xn L 1ln )1ln())(ln(θθθ，令0ln 1))((ln 1=++=∑=n i i X n d L d θθθ， 得 11ln n ii nXθ==--∑ ， 故极大似然估计量1ln ˆ1--=∑=n i iXnθ. 12.设连续型随机变量Y 服从(0,5)上的均匀分布，求关于x 的一元二次方程24420x xY Y +++=有实根的概率．解 令A ={方程有实根}，则}1{}2{}0)2(44)4{(2-≤≥=≥+⨯⨯-=Y Y Y Y A因为~(0,5)Y U ，故52(2)0.65P Y -≥==，(1)0P Y ≤-= 所以 6.0}1{}2{)(=-≤+≥=Y P Y P A P ．13.中药厂从某种中药材中提取某种有效成分．现对同一质量的药材，用两种方法各做了10次试验，两种方法下的总体分别用X 与Y 表示，211~(,)X N μσ,222~(,)Y N μσ，且X 与Y 相互独立，从观测值得 *2*276.23, 3.325,79.43, 2.225x y x s y s ====，现取0.01α=. 问（1）两种方法方差有无差异；（2）两种方法均值有无差异．（F 0.995(9,9)=6.54, t 0.995(18)=2.8784）解（1）检验2221122210:,:σσσσ≠=H H 统计量*2*2 3.325 1.492.225x y S F S ===， 拒绝域W ：0.995(9,9) 6.54F F >=或者0.0050.99511(9,9)(9,9) 6.54F F F <==， 因为 1 1.49 6.546.54F <=<，故接受假设0H ，即认为 2221σσ=； （2）检验211210:,:μμμμ≠=H H统计量 4.2954x y T ===-， 拒绝域W ：8784.2)18(995.0=>t T ， 由于 4.2954 2.8784T =>，故拒绝假设0H ，即认为两种方法均值有差异.。
《概率论与数理统计》复习总结(已完成)
大学教案总结之《概率论与数理统计》期末复习目录第一章 (4)定义：一般的，称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件。
.......................... 4 事件间的关系与运算 ....................................................................................................... 4 定义： ............................................................................................................................... 4 概率的性质： ................................................................................................................... 4 古典概率 ................................................................................................................................... 4 条件概率 .. (4)定义： (4)⑴条件概率的乘法公式：()()()A P A B P AB P |= (5)⑵全概率公式 ................................................................................................................... 5 ⑶贝叶斯公式 ................................................................................................................... 5 随机事件的独立性 ................................................................................................................... 5 第二章 一维随机变量及其分布 .. (6)定义：一维随机变量。
2024年学习概率与数理统计总结
2024年学习概率与数理统计总结
2024年，对于学习概率与数理统计的总结，可以有以下几个方面的内容。
1. 基础概念和理论：在学习过程中，我对于概率论和数理统计的基础概念和理论有了更深入的理解。
学会了如何计算概率、理解随机变量和概率分布等内容，并能够进行统计推断和假设检验。
2. 应用技巧和方法：通过学习，我掌握了一些概率与数理统计的应用技巧和方法，例如最大似然估计、贝叶斯统计等，能够灵活运用这些方法解决实际问题。
同时，我也学会了使用统计软件来进行数据分析和统计建模。
3. 数据分析能力：学习概率与数理统计，对于提高数据分析能力有着重要的作用。
通过分析和解释数据，能够从中发现规律和趋势，并作出合理的预测和决策。
4. 统计思维和逻辑：在学习过程中，我逐渐培养了统计思维和逻辑分析的能力。
学会了如何从大量数据中提取有用信息，避免了盲目的推断和错误的决策。
5. 合作与交流能力：学习概率与数理统计的过程中，我也锻炼了合作与交流的能力。
与同学一起完成课程作业和项目，通过讨论和合作，互相学习和促进。
总的来说，2024年的概率与数理统计学习让我收获了扎实的基础知识和技能，提高了数据分析能力和统计思维，为将来的学习和工作打下了坚实的基础。
2024年学习概率与数理统计总结(三篇)
2024年学习概率与数理统计总结概率与数理统计是一门研究随机现象及其规律的数学学科，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
____年，我在学习概率与数理统计的过程中，深入理解了其基本概念、理论框架和应用方法，逐渐掌握了分析和解决实际问题的能力。
以下是我的总结，共____字。
第一部分：概率论基础1. 概率的基本概念1.1 随机试验与样本空间1.2 事件与事件的概率1.3 概率的性质与运算1.4 条件概率与独立性1.5 贝叶斯定理与全概率公式2. 概率分布2.1 随机变量与概率分布函数2.2 离散型随机变量与概率质量函数2.3 连续型随机变量与概率密度函数2.4 随机变量的函数的分布2.5 多维随机变量的联合分布3. 随机变量的数字特征3.1 期望、方差和标准差3.2 协方差、相关系数与独立性3.3 经典概型的数字特征4. 大数定律与中心极限定理4.1 大数定律的概念和类型4.2 中心极限定理的概念和形式第二部分：数理统计基础1. 统计推断的基本思想1.1 参数估计和假设检验的基本概念1.2 点估计与区间估计1.3 假设检验的步骤和原理2. 参数估计2.1 最大似然估计方法及其性质2.2 矩估计方法及其性质2.3 无偏估计与有效估计2.4 偏差和均方误差3. 置信区间估计3.1 单个参数的置信区间3.2 多个参数的置信区间4. 假设检验4.1 基本概念和步骤4.2 正态总体的参数假设检验4.3 非正态总体的参数假设检验4.4 假设检验中的错误和功效函数第三部分：数理统计方法1. 统计分布检验1.1 卡方分布及其检验1.2 t分布及其检验1.3 F分布及其检验2. 方差分析2.1 单因素方差分析2.2 多因素方差分析2.3 协方差分析3. 相关与回归分析3.1 相关分析3.2 简单线性回归分析3.3 多元线性回归分析4. 非参数统计方法4.1 秩和检验4.2 秩和检验4.3 秩和检验4.4 Wilcoxon检验第四部分：实际应用及案例分析1. 生物医学领域的概率与数理统计应用1.1 生物样本分析的统计方法1.2 临床试验的统计设计和分析1.3 遗传学研究中的统计方法2. 社会科学领域的概率与数理统计应用2.1 调查数据的统计分析2.2 社会行为与态度的统计分析2.3 教育统计与评估分析3. 工程技术领域的概率与数理统计应用3.1 可靠性分析与维修3.2 质量控制与工艺改进3.3 金融与风险管理的统计分析通过学习概率与数理统计，我深刻认识到其在实际问题中的重要性和应用广泛性。
2024年学习概率与数理统计总结范文
2024年学习概率与数理统计总结范文概率与数理统计是一门重要的数学学科，对于理解和运用概率统计思想、方法和技术在实际问题中的作用具有重要的意义。
在2024年的学习中，我通过系统学习概率与数理统计的理论知识，掌握了基本的概率计算与统计分析的方法，培养了独立思考和问题解决的能力。
下面，我将对2024年的学习进行总结。
首先，我通过学习概率与数理统计的基础理论知识，对概率与数理统计的相关概念和公式有了较为深入的理解。
在概率方面，我学习了基本的概率公式、条件概率、随机变量与分布函数、随机变量的数学期望和方差等内容。
在数理统计方面，我学习了样本与总体的概念、统计量与抽样分布、参数估计与假设检验、方差分析与回归分析等内容。
这些理论基础为我后续的学习和实际问题的解决提供了坚实的基础。
其次，我通过进行大量的习题练习，提高了解决实际问题的能力。
在习题练习中，我遇到了许多具体的问题，需要根据所学的概率与数理统计的知识进行分析和解决。
通过思考和实践，我逐渐掌握了问题求解的思路和方法。
例如，在参数估计与假设检验的学习中，我学会了选取合适的统计量、构造相应的检验统计量，并对检验统计量的分布进行分析，以进行参数的估计和假设的检验。
这些习题让我更好地理解了概率与数理统计的应用，并提高了解决实际问题的能力。
此外，我还通过参与课堂讨论和小组合作学习，提升了自己的团队合作和交流能力。
在课堂上，我积极参与问题的讨论和解答，与同学们一起分享自己的思考和理解。
通过与同学们的交流和讨论，我不仅深入理解了概率与数理统计的知识，还学会了倾听和欣赏不同观点的价值。
在小组合作学习中，我与同学们共同解决复杂问题，互相协作和提供帮助。
这些团队合作的经历不仅培养了我的领导才能和组织能力，也提高了我在小组中的沟通和合作能力。
总的来说，2024年学习概率与数理统计是一次全面、深入的学习过程。
通过学习基础理论知识、进行习题练习和参与课堂讨论与小组合作学习，我不仅掌握了概率与数理统计的基本概念和方法，还培养了独立思考和问题解决的能力。
2024学习概率与数理统计总结
____学习概率与数理统计总结概率与数理统计是一门应用广泛且重要的学科，它涉及到我们生活中的方方面面。
在____年的学习过程中，我对概率与数理统计的基本概念、理论框架和应用方法有了更深入的理解和掌握。
通过学习概率与数理统计，我得以更好地了解和分析现实世界中的随机现象，为决策和问题解决提供科学依据。
下面我将对____年学习概率与数理统计的过程和所掌握的内容进行总结、回顾和展望。
一、基本概念和理论框架1. 概率的基本概念：通过学习，我明确了概率的定义，了解了事件、样本空间、随机变量和概率的关系。
通过概率的计算和性质探讨，我能够准确地描述和分析随机事件的可能性和规律。
2. 概率分布函数与密度函数：在学习中，我掌握了离散随机变量和连续随机变量的概率分布函数及其性质。
通过学习正态分布、指数分布、泊松分布等典型概率分布，我能够运用数学模型对实际问题进行建模和分析。
3. 随机变量的数字特征与抽样分布：通过学习，我掌握了随机变量的数字特征，如均值、方差、标准差等，了解了它们描述了随机变量的集中趋势和离散程度。
同时，我也学习了抽样分布的基本概念和性质，包括均值的抽样分布、比例的抽样分布等，从而能够基于样本对总体进行推断和估计。
4. 参数估计和假设检验：在这一部分的学习中，我了解了参数估计和假设检验的基本原理和方法。
通过最大似然估计、置信区间估计和假设检验的推导和计算，我能够根据样本进行总体参数的估计和假设的检验，为决策提供科学依据。
二、应用方法和实际案例1. 统计数据的收集和整理：在概率与数理统计的学习中，数据的收集、整理和描述是非常重要的环节。
通过学习，我掌握了问卷设计、数据抽样和调查方法等技巧，能够合理获取和处理统计数据。
2. 数据的描述和分析：通过学习统计学中的描述统计方法，我掌握了对数据进行整体和局部的描述和分析，包括频数分布、频率分布、累积频数分布、直方图、散点图等。
这些方法能够帮助我对数据的特征和规律进行概览和总结。
2024年学习概率与数理统计总结范本（4篇）
2024年学习概率与数理统计总结范本学习概率与数理统计的过程中，我掌握了以下的知识点和技能总结：1. 概率的基本概念和原理：学习了概率的基本定义、概率的性质以及概率计算的方法，包括古典概型、几何概型和统计概型等。
2. 随机变量和概率分布：了解了随机变量的定义和性质，学习了离散随机变量和连续随机变量的概率分布，如二项分布、正态分布等。
3. 大数定律和中心极限定理：学习了大数定律和中心极限定理的基本概念和定理，理解了大数定律的强收敛性和中心极限定理的应用。
4. 参数估计和假设检验：掌握了参数估计的基本思想和方法，包括点估计和区间估计，学习了假设检验的原理和步骤，包括参数假设检验和非参数假设检验。
5. 与统计实践相关的技能：通过实践，学习了概率与数理统计在实际问题中的应用，如数据收集、数据分析和模型建立等。
6. 数理统计的软件应用：熟练掌握了一些统计软件的使用，如R、SPSS等，可以通过统计软件进行数据分析和统计推断。
总体而言，通过学习概率与数理统计，我不仅掌握了理论知识，也培养了数据分析和问题解决的能力。
概率与数理统计的应用广泛，可以应用于各个领域，对我的个人和职业发展都有很大的帮助。
2024年学习概率与数理统计总结范本（2）学习、总结1.概率与数理统计包括概率论和数理统计概率论的基本问题是：已知总体分布的信息，需要推断出局部的信息；数理统计的基本问题是：已知样本（局部）信息，需要推断出总体分布的信息。
（1）参数估计a）点估计，估计量检验，矩估计b）无偏估计；有偏估计：岭估计（2）假设检验预先知道服从分布，非参数假设检验（3）统计分析（包括多元统计分析）n 方差分析n 偏度分析n 协方差分析n 相关分析n 主成分分析n 聚类分析n 回归分析，检验统计量（4）抽样理论（5）偏最小二乘回归分析（6）线性与非线性统计2.随机过程定义3.统计信号处理假设检验和参数估计属于统计推断的两种形式。
3.1信号检测3.2估计理论估计理论是统计的内容；估计理论包括静态参数估计和动态参数估计，动态参数估计也称状态估计或波形估计（信号有连续和离散之分）。
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第1章 概率论的基本概念1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。
1.2 样本点 样本空间 随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。
样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。
必然事件在每次试验中必然发生。
➢ 随机试验的样本空间不一定唯一。
在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。
所以应从试验的目的出发确定样本空间。
样本空间的子集称为随机事件，简称事件。
在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。
1.3 事件的关系及运算（1）包含关系 B A ⊂，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ⊂且A B ⊂； （3）和事件（也叫并事件）B AC ⋃=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件）B A ABC ⋂==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件）A 、B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=⋃A A A A ,。
1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =⋃=⋃,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃,； （4）幂等律 A AA A A A ==⋃,；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ⋃==⋂=⋂=⋃,。
1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ；（3）若事件 ，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=⋃⋃⋃⋃)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。
1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ；（2）若事件n A A A ，，， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃ ；（3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。
特别地，若B A ⊂，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。
1.7 古典概型 古典概率 设随机试验E 满足：（1）E 的样本空间Ω只有有限个样本点； （2）每个样本点的发生是等可能的， 则称此试验为古典概型或等可能概型。
古典概率中所包含的样本点总数样本空间所包含的样本点数Ω=A A P )(。
1.8 事件的独立性 伯努利概型若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。
若()()()C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ====)()()()()()()()()()(，则称事件A 、B 、C 相互独立。
若前三式成立，则称事件A 、B 、C 两两相互独立。
若事件A 与事件B 相互独立，则B A B A B A 与，与，与也相互独立。
设随机试验E 满足：（1）在相同条件下可重复进行n 次；（2）每次试验只有两个可能结果，A 发生或A 不发生，且每次A 发生的概率相同；（3）每次试验是相互独立的，则称这种试验为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
n 重伯努利试验中A 发生k 次的概率为)1;,,2,1,0()(=+==-q p n k q p C k P k n k k n n ，其中p A P =)(。
1.9 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 （1）条件概率 0)()()()(>=A P A P AB P A B P ，； （2）乘法公式 0)()()()(>=A P A P A B P AB P ，；（3）全概率公式 ()()())()()()(2211n n B P B A P B P B A P B P B A P A P +++= ，其中),,2,1(0)(n i B P i =>，1B ，2B ，…，n B 是Ω的一个分割；（4）贝叶斯公式 ∑===ni i i i i i i B P B A P B P B A P A P AB P A B P 1)()()()()()()(（n i ,,2,1 =）第2章 随机变量及其分布2.1 随机变量 分布函数随机变量X 是样本点的实值函数，定义域为样本空间，值域为实数。
分布函数为)()(x X P x F ≤=，其中x 为任意实数。
2.2 分布函数的性质（1）1)(0≤≤x F ，且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim =+∞→x F x ；（2）)(x F 单调不减，即若21x x <，则()()21x F x F ≤； （3）)(x F 右连续，即)()0(x F x F =+。
2.3 离散型随机变量离散型随机变量X 的分布律为),3,2,1()( ===k p x X P k k 。
也可以用表格表示也可以用矩阵表示，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛ n n p p p x x x X 2121～ 分布律的性质（1）0≥k p （ ,3,2,1=k ）； （2）11=∑∞=k k p 。
2.4 几种常见的离散型随机变量的分布（1）（0-1）分布（也叫两点分布） ),1(p B X ～的分布律为)1,0()1()(1=-==-k p p k X P k k ，其中10<<p 为参数。
（2）二项分布 ),(p n B X ～的分布律为),,12,0()1()(n k p p C k X P k n kk n =-==-，其中10<<p 为参数。
（3）泊松分布 )(λP X ～ 或)(λπ～X 的分布律为),12,0()( ===-k e k k X P kλλ！，其中0>λ为参数。
2.5 连续型随机变量连续型随机变量X 的分布函数为⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(，其中0)(≥x f 且)(x f 可积，)(x f 称为X 的概率密度。
)(x f 的性质：（1）0)(≥x f ； （2）⎰+∞∞-=1)(dx x f ；（3）⎰-==≤<baa Fb F dx x f b X a P )()()()(；（4）)(0)(为常数a a X P ==；（5）当)(x f 在点x 处连续时，)()(x F x f '=。
2.6 几种常见的连续型随机变量的分布 （1）均匀分布 ),(b a U X ～X 的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他，01)(b x a a b x fX 的分布函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(（2）指数分布 )(λE X ～X 的概率密度 ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ，其中0>λ为常数。
X 的分布函数 ⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ （3）正态分布 ),(2σμN X ～X 的概率密度 ()22221)(σμσπ--=x ex f （+∞<<∞-x ）其中μ，0>σ为常数。
X 的分布函数 ()dt ex F xt ⎰∞---=22221)(σμσπ（4）标准正态分布 )1,0(N X ～X 的概率密度 2221)(x ex -=πϕ（）X 的分布函数 dt e x xt ⎰∞--=Φ2221)(π若),(2σμN X ～，则)1,0(N X Y ～σμ-=，且有计算公式)()()()()(σμσμ-Φ--Φ=-=≤<a b a F b F b X a P 。
2.7 随机变量的函数的分布（1）离散型随机变量的函数的分布已知X 的分布律为),3,2,1()( ===k p x X P k k ，)(X g Y =的分布律有以下两种情形：①当)(k k x g y =的值互不相等时，则),2,1()()( =====k p x X P y Y P k k k②当)(k k x g y =的值有相等时，则应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概率相加，即得出)(X g Y =的分布律。
（2）连续型随机变量的函数的分布已知X 的概率密度为)(x f X ，且)(x g y =有连续的导函数，求)(X g Y =的概率密度，通常使用以下两种方法： ①分布函数法：先求Y 的分布函数⎰≤=≤=≤=yx g XY dx x fy X g P y Y P y F )()())(()()(，再对y 求导数，可得Y 的概率密度)()(y F y f Y Y '=。
②公式法：如果)(x g y =严格单调，其反函数)(y h 有连续的导数，则)(X g Y =也是连续型随机变量，且其概率密度为[]⎩⎨⎧<<'=其他,0,)()()(βαy y h y h f y f X Y其中(){}∞+-∞=g g ),(m in α，(){}∞+-∞=g g ),(m ax β（此时)(x f 在+∞<<∞-x 上不为0）；或(){}b g a g ),(m in =α，(){}b g a g ),(m ax =β（此时)(x f 在[]b a ,之外全为0.）第3章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量 联合分布函数设X 、Y 是两个随机变量，称有序数组()Y X ,为二维随机变量。
联合分布函数为),(),(y Y x X P y x F ≤≤=，其中x ，y 为任意实数。
3.2 联合分布函数的性质（1）1),(0≤≤y x F ，且0),(),(),(=-∞-∞=-∞=-∞F x F y F ，1),(=+∞+∞f 。
（2）),(y x F 对每一个变量单调不减，即对任意固定的y ，当21x x <时，),(),(21y x F y x F ≤；对任意固定的x ，当21y y <时，),(),(21y x F y x F ≤。