北师大版初一数学上册 5.3应用一元一次方程--水箱变高了课件
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北师大版七年级上册数学《应用一元一次方程―水箱变高了》一元一次方程PPT教学课件
课堂达标
等量关系：周长不变
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的
钉去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？
10
解：设长方形的长为xcm
10
10
6
10
6
则 2(10+x)=10×4+6×2
解得
x=16
答：长方形的长为16cm，宽为10cm。
小结
4米
4 米
（2）设新水箱的高度是x米，填写下表：
3.2米
旧水箱
新水箱
x 底面半径/米
2
1.6
米
高/米
4
x
体积/立方米 π×22×4 π×1.62×x
4米
4 米
3.2米
（3）规范的解题过程： x
米 解：设新水箱的高度是x米
由题意，得 π×22×4= π×1.62×x 解方程，得 16π= 2.56πx
化而变化，当__长__=_宽____（即为_正__方_形__）时，面积最大。
2.练习变式 小华的父亲养了一群鸡，把它们圈在用80米篱笆围成的长为30米、
宽为10米的鸡圈内．为了扩大养鸡规模，利用现有的篱笆把鸡圈面积扩 大，你能帮他想想办法吗？
解：将80米的篱笆围成正方形时，面积最大 这时，正方形的边长为80÷4=20米。
2.列方程解应用题的步骤：
（1）审清题意，找准“__等__量___关系”； （2）设_未__知__数___； （3）列__方__程____； （4）正确求__解_____； （5）判明方程解的__合__理__性__；
（6）答。
3.下列过程中，哪些量变了？哪些量没变？根据不变量找出等量关系。 （1）用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱，然后把它变矮，变成一
北师大版数学七年级上册课件：5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 (共12张PPT)
5.3Βιβλιοθήκη 应用一元一次方程——水箱变高了
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！
七年级数学上册 5.3 应用一元一次方程水箱变高了课件 (新版)北师大版
第十四页，共24页。
3.一只长方体水箱，其底面是边长为5米的正方形，箱内盛
水，水深4米，现把一个棱长为3米的正方体沉入箱底(xiāngdǐ)，
水的深
度将是( )
A.5.4米Leabharlann B.7米C.5.08米
D.6.67米
【解析】选C.设水的深度为x米，根据题意得：
5×5x=5×5×4+3×3×3.解得：x=5.08.
(duànyā)
(duànyā)
_______的体积=_______的体积.
前
后
第五页，共24页。
二、常见的体积、面积公式
V正方体=a3，V长方体=abh.
V圆柱=πr2h，V圆锥1(yru2há.nzhuī)= 3
S正方形=a2，S长方形=ab，S梯(a形=b)h .
S三角形1= ah ,S圆=πr2.
第十九页，共24页。
8.用两根长为24cm的铁丝分别围成一个(yī ɡè)长与宽之比为2∶1的 长 方形和一个(yī ɡè)正方形,求长方形和正方形的面积. 【解析】设长方形的长为2xcm,宽为xcm, 则2(x+2x)=24,解得x=4,所以长方形的面积为32cm2.正方形的 边长为6cm,则面积为36cm2.
答案：4×3×2=π·1.52·x
第十八页，共24页。
7.把一块棱长是0.5米的正方体钢坯(gāngpī)锻压成橫截面面积是0.1平 方米的长方体钢材,锻压成的钢材有多长? 【解析】设锻压成的钢材长x米, 由题意得:0.1x=0.5×0.5×0.5, 解方程得:x=1.25. 答:锻压成的钢材有1.25米长.
第二十页，共24页。
9.将内径为12厘米的圆柱形杯子装满水后倒入内径为30厘米、
北师大版初中数学七年级上册应用一元一次方程--水箱变高了课件
xm
(x+1.4 +x) ×2 =10.
解得
x =1.8.
1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(x+1.4) m
新知探究
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长
和宽各为多少米？它所围成的长方形与(1)中所围
成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+0.8) m
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
所以圆的面积大．
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
新知探究
归纳总结
(1)形状、面积产生了变化，而周长没变；
(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长
之间的关系，把这个关系作为等量关系．解
决问题的关键是通过分析变化过程，发掘其
升部分的水的体积
形状改变，
=
r
体积不变.
思考：在这个过程中什么没有产生变化？
h
新知探究
合作探究
例1 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆
柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有
储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为
3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由本
来的4 m变为多少米？
答：这一支牙膏能用25次．
新知探究
合作探究
例2用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的
长、宽各是多少？
长方形的周
长(或长与宽
的和)不变
在这个过程
中什么没有
新北师大版数学七上课件：5.3应用一元一次方程——水箱变高了 (共16张PPT)
练一练
要锻造一个直径为70 mm，高为45 mm
的圆钢，那么应截取直径为50 mm圆钢
的长度是( )
A．63 mm
B．88.2 mm
等长变形问题 等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图 形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变． 此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等 关系列出方程． 面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公 式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、 圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变 的特征是解决等长变形问题的关键．
展示自我
1．长方形的长是宽的3倍．如果宽增加了4 m 而长减少了5 m，那么面积增加了15 m2.设 长方形原来的宽为x m，所列方程是( ) A．(x＋4)(3x－5)＋15＝3x2 B．(x＋4)(3x－5)－15＝3x2 C．(x－4)(3x＋5)－15＝3x2 D．(x－4)(3x＋5)＋15＝3x2
方法归纳
等积变形问题 等积变形问题是指物体的形状(如正方 体变为长方体)发生变化，但是物体的体 积不变的应用题． 解决这一类问题的基本思想是：变形 前的体积＝变形后的体积．
自主探究
例1 内径为120 mm的圆柱形玻璃杯和内径 为300 mm、内高为32 mm的圆柱形玻璃盘可以 盛同样多的水，求玻璃杯的内高．
知识回顾
1.列方程的一般步骤是什么？ 2.解一元一次方程的一般步骤是什么？
想一想
形积变化问题中，图形的形状和体积 会发生变化，但应用题中一定有相等关系， 你能找出其中的等量关系吗？
填一填
1．列方程解应用题的基本步骤是： 审题、设元、找出_等__量__关系、列方程、 解方程、检验作答．
2．圆柱底面半径为r，高为h，则圆 柱的体积为πr_2h____ ．
北师大版初中数学七年级上册5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 课件
想一想 什么发生了变化？
什么没有发生变化？
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
等量关系： 锻压前的体积=锻压后的体积 解：设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：
锻压前
底面半径
高
9 cm
体积
锻压后
x cm
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
根据等量关系，列出方程： π× 102×9 = π× 52×x
（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此 时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面 积相比，又有什么变化？
解：设正方形的边长为x米. 由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米； 面积为：2.5×2.5=6.25(平方米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.
长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条．如果
两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是
(B)
A．20 cm
B．24 cm
C．48 cm
D．144 cm
课堂检测
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
基础巩固题
2.从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为 5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉 水杯的水面将下降( B ) A．8cm B．2cm C．5cm D．4cm
北师大版 数学 七年级 上册 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
5.3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
导入新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地 方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
5.3应用一元一次方程水箱变高了课件北师大版数学七年级上册
解：设每颗钢珠的体积为x立方厘米
5x 52 (2518)
解得：x 35
答：每颗钢珠的体积是35立方厘米
知识讲解
2.图形的等长变化
前后的周长相等
例 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. m，此时长方形的长、宽各是多少？
在这个过程中什么 没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
知识讲解
xm
围成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+0.8) m
知识讲解
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为 （x）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
xm
解得 x
(x+0.8) 此时长方形的长为m，宽为m，面积为2.m9
×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 ×
(m2).
（2）形状、面积发生了变化，周长不变.
其相等关系是变化前图形的周长＝变化后图形的周长.
（3）形状、体积不同.根据题意找出体积之间的关 系，即为相等关系.
随堂训练
1．墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示 (单位：cm)．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳钉 成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各 为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方
课堂小结
审 设
应用一元
列
一次方程
解
检
答
通过审题找出等量关系. 设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 依据找到的等量关系，列出方程. 求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. 注意单位名称.
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)，
5x 52 (2518)
解得：x 35
答：每颗钢珠的体积是35立方厘米
知识讲解
2.图形的等长变化
前后的周长相等
例 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. m，此时长方形的长、宽各是多少？
在这个过程中什么 没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
知识讲解
xm
围成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+0.8) m
知识讲解
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为 （x）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
xm
解得 x
(x+0.8) 此时长方形的长为m，宽为m，面积为2.m9
×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 ×
(m2).
（2）形状、面积发生了变化，周长不变.
其相等关系是变化前图形的周长＝变化后图形的周长.
（3）形状、体积不同.根据题意找出体积之间的关 系，即为相等关系.
随堂训练
1．墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示 (单位：cm)．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳钉 成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各 为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方
课堂小结
审 设
应用一元
列
一次方程
解
检
答
通过审题找出等量关系. 设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 依据找到的等量关系，列出方程. 求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. 注意单位名称.
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)，
最新北师版七上数学5.3 应用一元一次方程----水箱变高了 课件
例1一个底面内直径为 30cm、高为 50cm 的圆柱形瓶里装满了饮料, 现把饮料倒入底面内直径为 10cm的圆柱形小杯中, 刚好倒满 20杯, 求小杯的高.
二、 合作探究
变式练习在做科学实验时,老师将第一个量简中的水全部倒入 第二个量筒中,如图所示,请根据图中给出的信息,可得正确的方 程是 ( )
二、 合作探究
变式练习一个长方形的周长是 40cm, 若将长减少 8 cm,宽增 加 2 cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为 ( )
二、 合作探究
变式练习一个长方形的周长是 40cm, 若将长减少 8 cm,宽增 加 2 cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为 ( B )
三、 达标训练
二、 合作探究
变式练习在做科学实验时,老师将第一个量简中的水全部倒入 第二个量筒中,如图所示,请根据图中给出的信息,可得正确的方 程是 ( A )
二、 合作探究
例2用一根 5.2m长的铁丝围成一个长方形,使得长比宽多 0.6米, 求围成的长方形的宽.
二、 合作探究
例2用一根 5.2m长的铁丝围成一个长方形,使得长比宽多 0.6米, 求围成的长方形的宽.
三 达标训练
3. 程大位,明代珠算发明家,被称为珠算之父、卷尺之父) 少年时,读书 极为广博,对数学颇感兴趣,60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简 称《算法统宗》))《算法统宗》中有这样一 道题,其大意为:有 一 群 人分银 子,若每人分七两,则剩余四两:若每人分九两,则还差八两,请 问:这一群人共有多少人？
四、 反思感悟
三、 达标训练
3. 程大位,明代珠算发明家,被称为珠算之父、卷尺之父) 少年时,读书 极为广博,对数学颇感兴趣,60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简 称《算法统宗》))《算法统宗》中有这样一 道题,其大意为:有 一 群 人分银 子,若每人分七两,则剩余四两:若每人分九两,则还差八两,请 问:这一群人共有多少人？
二、 合作探究
变式练习在做科学实验时,老师将第一个量简中的水全部倒入 第二个量筒中,如图所示,请根据图中给出的信息,可得正确的方 程是 ( )
二、 合作探究
变式练习一个长方形的周长是 40cm, 若将长减少 8 cm,宽增 加 2 cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为 ( )
二、 合作探究
变式练习一个长方形的周长是 40cm, 若将长减少 8 cm,宽增 加 2 cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为 ( B )
三、 达标训练
二、 合作探究
变式练习在做科学实验时,老师将第一个量简中的水全部倒入 第二个量筒中,如图所示,请根据图中给出的信息,可得正确的方 程是 ( A )
二、 合作探究
例2用一根 5.2m长的铁丝围成一个长方形,使得长比宽多 0.6米, 求围成的长方形的宽.
二、 合作探究
例2用一根 5.2m长的铁丝围成一个长方形,使得长比宽多 0.6米, 求围成的长方形的宽.
三 达标训练
3. 程大位,明代珠算发明家,被称为珠算之父、卷尺之父) 少年时,读书 极为广博,对数学颇感兴趣,60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简 称《算法统宗》))《算法统宗》中有这样一 道题,其大意为:有 一 群 人分银 子,若每人分七两,则剩余四两:若每人分九两,则还差八两,请 问:这一群人共有多少人？
四、 反思感悟
三、 达标训练
3. 程大位,明代珠算发明家,被称为珠算之父、卷尺之父) 少年时,读书 极为广博,对数学颇感兴趣,60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简 称《算法统宗》))《算法统宗》中有这样一 道题,其大意为:有 一 群 人分银 子,若每人分七两,则剩余四两:若每人分九两,则还差八两,请 问:这一群人共有多少人？
北师大版初一数学上册5.3应用一元一次方程—水箱变高了课件
等量关系:2(长+宽)=周长
x
篱笆
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为（x+1.4）米，
根据题意得 2（x+1.4+x）=10
大猪
解得
x=1.8
长方形的长 x+1.4=1.8+1.4=3.2
答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米。
我要建一个长方形的鸡圈， 使得这个长方形的长比宽多 0.8米，那么长和宽分别是多 少呢？同学们可以帮帮我吗？
减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它 的底底面面直直径径由4m减少为为33..22mm。。在容容积积不不变变的 前提下，水水箱箱的的高高度度由原先的4m变变为为多多少少米米？？
4
3.2
4
x
等量关系：旧水箱容积=新水箱容积
等量关系： 旧水箱容积=新水箱容积 解：设水箱的高为 x m,填写下表：
旧水箱
2021/7/7
• 给我一个支点，我可以撬动地球。
•
------阿基米德
阿基米德洗澡的故事
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙的方法 测出了 皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变。
=
r h
【探究活动一】形状改变，体积不变
某居民楼顶有一个底底面面直直径径和和高高均均为为44mm 的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为
新水箱
底面半径 （m）
高（m）
4米
x米
容积
(m³)
3.2 根据等量关系，列出方程： 4
4
x 解得： x=6.25
答：高变成了 6.25 米
分享格式写法： 解：设水箱的高变为x米。 根据题意得 解得 x=6.25 答：高变成了 6.25 米
x
篱笆
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为（x+1.4）米，
根据题意得 2（x+1.4+x）=10
大猪
解得
x=1.8
长方形的长 x+1.4=1.8+1.4=3.2
答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米。
我要建一个长方形的鸡圈， 使得这个长方形的长比宽多 0.8米，那么长和宽分别是多 少呢？同学们可以帮帮我吗？
减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它 的底底面面直直径径由4m减少为为33..22mm。。在容容积积不不变变的 前提下，水水箱箱的的高高度度由原先的4m变变为为多多少少米米？？
4
3.2
4
x
等量关系：旧水箱容积=新水箱容积
等量关系： 旧水箱容积=新水箱容积 解：设水箱的高为 x m,填写下表：
旧水箱
2021/7/7
• 给我一个支点，我可以撬动地球。
•
------阿基米德
阿基米德洗澡的故事
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙的方法 测出了 皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变。
=
r h
【探究活动一】形状改变，体积不变
某居民楼顶有一个底底面面直直径径和和高高均均为为44mm 的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为
新水箱
底面半径 （m）
高（m）
4米
x米
容积
(m³)
3.2 根据等量关系，列出方程： 4
4
x 解得： x=6.25
答：高变成了 6.25 米
分享格式写法： 解：设水箱的高变为x米。 根据题意得 解得 x=6.25 答：高变成了 6.25 米
北师大版七年级数学上册5.3 《应用一元一次方程——水箱变高了》课件
【跟踪训练】
1.把一块长、宽、高分别为5cm,3cm,3cm的长方体木块， 浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将 增高多少？（不外溢）
温馨提示： 等量关系：水面增高体积=长方体体积
2.小明要用一根长10米的铁丝围成一个长方形，开始他想 使得长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为 多少米？面积呢？
温馨提示： 等量关系：铁丝的长度不变.
学以致用：
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的
装饰物，小影将梯形下底的钉子去掉，
并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，
小影所钉长方形的长和宽各为多少厘米？
10
10
10
6 10 6
温馨提示：
等量关系：彩绳的长度不变.
1.下表为某月的日历.（1）在此日历上用一个矩形任意圈
解:不可能. 如果设中间那个数为x,则上一个数为(x-7),下一个数为
(x+7),根据题意得方程: (x-7)+x+(x+7)=75, x=25,
因此:x-7=18 , x+7=32. 因为日历中没有32号,与实际不符.所以不可能. 注意：列方程解应用题必须根据实际意义检验解
的合理性.
2.用一个长方形任意圈出2×2个相邻的4个数，把它们的 和告诉你，你能够求出这4个数吗？
a r
正方形
周长l=___4_a_
a
面积S=___a_2_
圆周长l =_2__r__ r
面积S=____r_2__
h
正方体体积 V=__a_3___.
圆柱体体积
V=___r__2_h___.
钢铁工人正在锻造车间工作
加工
思考：在加工过程中只 是发生了什么变化，而 没有变化的是什么？
5.3应用一元一次方程-水箱变高了七年级数学上册课件(北师大版)
二、新知探究
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多
少？它围成的正方形的面积解与：(2设)中正相方比形，的又边有长什为么xm同以变.样围化长更？的大铁的丝地可方. 根据题意，得 4x =10
xm
解得
x
正方形的边长为m
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2) 比(2)中面积增大 （m2）
六、作业布置
习题
2.(1)长方形的周长= 2a+2b ;面积= ab (a,b分别表示长方形的长和宽). (2)圆的周长= 2πr ，面积= πr2 (r表示圆的半径). 3.(1)长方体的体积= abc (a,b,c分别表示长方体的长、宽、高); (2)圆柱的体积= πr2h (r表示圆柱底面圆的半径，h表示圆柱的高).
三、典例精析
例1：要锻造一个直径为12 cm，高为8 cm的圆柱形毛坯，应截取多少直 径为8 cm的圆钢？(不计锻造时的损耗) (1)本题建立方程的相等关系是_圆__钢__体__积__＝__毛__坯_；体积 (2)设截取直径为8 cm的圆钢x cm，根据数量关系填表：
底面半径(cm) 高(cm)
体积(cm3)
2．用5.2 m长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6 m，求围成的长
方形的宽为多少．设长方形的宽为x m，可列方程为( C )
A．x＋(x＋0.6)＝5.2
B．x＋(x－0.6)＝
C．2(x＋x＋0.6)＝5.2
D．2[x＋(x－0.6)]＝
四、当堂练习
3.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就
在这个过程 中什么没有 发生变化？
二、新知探究
等量关系：
初中数学北师版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了公开课优质课课件.ppt
解：设圆的半径为r m，则正方形的 边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4. 所以铁丝的长为2πr＝8π(m)． 所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)， 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)． 因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2， 所以圆的面积大． 答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
解这个方程，得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
思考： 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？ 关键是什么？ 1.审——通过审题找出等量关系. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符 合实际问题. 6.答——注意单位名称.
例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙 都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次， 该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这 样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得
π×2.52×10×36＝π×32×10x.
（x-1）+x+（x+5）=10
门
x
墙面
铁线
课堂小结
图形等长变化
应用一元 图形等积变化
审
一次方程
设
{应用一元一次方程解 列
{ 决实际问题的步骤
④解
⑤检
2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D. 9 cm
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(x+1.4 +x) ×2 =10. 解得 x =1.8. 1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
xm (x+1.4) m
新知探究 (2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长 和宽各为多少米？它所围成的长方形与(1)中所围 成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+0.8) m
x=2.5
正方形的边长为2.5m, 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2).
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16(m2).
同样长的铁丝可 以围更大的地方
新知探究 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，
已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两 根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D. 9 cm
C
课堂小结
图形等积变化
应用一元
{ { 一次方程
审
图形等长变化
设
应用一元一次方程解 列 决实际问题的步骤 ④解
⑤检
⑥答
课堂小测
1.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( A )
A.π×42x=π×32×(x+5) B.π×42x=π×32×(x-5) C.π×82x=π×62×(x+5) D.π×82x=π×62×(x-5)
新知探究
归纳总结
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变； (2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长 之间的关系，把这个关系作为等量关系．解 决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其 等量关系，从而可列方程．
新知探究
思考： 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关 键是什么？
1.审——通过审题找出等量关系. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符 合实际问题. 6.答——注意单位名称.
新知探究
1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米 的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米 的圆钢__1_6___厘米.
2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米， 要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、 10厘米的长方体，则应截取这种钢锭__3_0___ 厘米.
巩固练习
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加
新知探究
合作探究
例2用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的
长、宽各是多少？
长方形的周 长(或长与宽 的和)不变
在这个过程 中什么没有 发生变化？
新知探究
等量关系：（长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长 为(x+1.4)m. 根据题意，得
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的 等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本 题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
新知探究
解：设圆的半径为r m，则正方形的 边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4. 所以铁丝的长为2πr＝8π(m)． 所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)， 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)． 因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2， 所以圆的面积大． 答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
新知探究
一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙 都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次， 该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这 样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得 π×2.52×10×36＝π×32×10x. 解这个方程，得x＝25. 答：这一支牙膏能用25次．
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－ 5.76=0.33(m2).
新知探究 (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一
个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成 的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？
xm
新知探究
解：设正方形的边长为xm. 根据题意，得
(x +x) ×2 =10
解得
课堂小测
2.小明的爸爸想用10米长的铁线在墙边围成一个鸡棚， 使长比宽大4米，问小明的爸爸围成的鸡棚的长和宽 各是多少呢？
x x+4
墙面 铁线
课堂小测
2.小明的爸爸想用10米长的铁线在墙边围成一个鸡棚， 使长比宽大4米，问小明的爸爸围成的鸡棚的长和宽 各是多少呢？
解：设鸡棚的宽为x米，则长为(x+4)米.由题意得
新知探究
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m. 根据题意，得(x+ຫໍສະໝຸດ .8 +x) ×2 =10.
xm
解得 x=2.1.
2.1+0.8=2.9.
(x+0.8) m
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
新知探究
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径/m 高/m 体积/m
2 4 π×22×4
1.6 x π×1.62×x
2.根据表格中的分析，找出等量关系. 旧水箱的容积=新水箱的容积
3.列出方程并求解. π×22×4=π×1.62×x, 解得x=6.25. 因此，水箱的高度变成了6.25 m.
x+x+x+4=10
解得x=2 x+4=6 答：鸡棚的长为6米，宽为2米.
课堂小测
2-变式：若小明的爸爸用10米长的铁线在墙边围成一个 长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇1 米宽的门，那么，请问小明的爸爸围成的鸡棚的长和 宽又是多少呢？
门
x
墙面
铁线
课堂小测
2-变式：若小明的爸爸用10米长的铁线在墙边围成一个 长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇1 米宽的门，那么，请问小明的爸爸围成的鸡棚的长和 宽又是多少呢？
解：设鸡棚的宽为x米，则长为(x+5)米.由题意得
（x-1）+x+（x+5）=10
解得x=2 x+5=7 答：鸡棚的长为7米，宽为2米.
第五章 一元一次方程
5.3应用一元一次方程—水箱变高了
情景导入
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，
你知道他是如何测量的吗？
把皇冠放到圆柱形水桶里，求上 升部分的水的体积
=
形状改变，
r h
体积不变.
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
新知探究
合作探究
例1 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆 柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有 储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为 3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原 先的4 m变为多少米？
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
xm (x+1.4) m
新知探究 (2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长 和宽各为多少米？它所围成的长方形与(1)中所围 成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+0.8) m
x=2.5
正方形的边长为2.5m, 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2).
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16(m2).
同样长的铁丝可 以围更大的地方
新知探究 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，
已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两 根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D. 9 cm
C
课堂小结
图形等积变化
应用一元
{ { 一次方程
审
图形等长变化
设
应用一元一次方程解 列 决实际问题的步骤 ④解
⑤检
⑥答
课堂小测
1.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( A )
A.π×42x=π×32×(x+5) B.π×42x=π×32×(x-5) C.π×82x=π×62×(x+5) D.π×82x=π×62×(x-5)
新知探究
归纳总结
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变； (2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长 之间的关系，把这个关系作为等量关系．解 决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其 等量关系，从而可列方程．
新知探究
思考： 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关 键是什么？
1.审——通过审题找出等量关系. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符 合实际问题. 6.答——注意单位名称.
新知探究
1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米 的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米 的圆钢__1_6___厘米.
2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米， 要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、 10厘米的长方体，则应截取这种钢锭__3_0___ 厘米.
巩固练习
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加
新知探究
合作探究
例2用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的
长、宽各是多少？
长方形的周 长(或长与宽 的和)不变
在这个过程 中什么没有 发生变化？
新知探究
等量关系：（长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长 为(x+1.4)m. 根据题意，得
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的 等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本 题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
新知探究
解：设圆的半径为r m，则正方形的 边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4. 所以铁丝的长为2πr＝8π(m)． 所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)， 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)． 因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2， 所以圆的面积大． 答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
新知探究
一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙 都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次， 该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这 样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得 π×2.52×10×36＝π×32×10x. 解这个方程，得x＝25. 答：这一支牙膏能用25次．
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－ 5.76=0.33(m2).
新知探究 (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一
个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成 的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？
xm
新知探究
解：设正方形的边长为xm. 根据题意，得
(x +x) ×2 =10
解得
课堂小测
2.小明的爸爸想用10米长的铁线在墙边围成一个鸡棚， 使长比宽大4米，问小明的爸爸围成的鸡棚的长和宽 各是多少呢？
x x+4
墙面 铁线
课堂小测
2.小明的爸爸想用10米长的铁线在墙边围成一个鸡棚， 使长比宽大4米，问小明的爸爸围成的鸡棚的长和宽 各是多少呢？
解：设鸡棚的宽为x米，则长为(x+4)米.由题意得
新知探究
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m. 根据题意，得(x+ຫໍສະໝຸດ .8 +x) ×2 =10.
xm
解得 x=2.1.
2.1+0.8=2.9.
(x+0.8) m
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
新知探究
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径/m 高/m 体积/m
2 4 π×22×4
1.6 x π×1.62×x
2.根据表格中的分析，找出等量关系. 旧水箱的容积=新水箱的容积
3.列出方程并求解. π×22×4=π×1.62×x, 解得x=6.25. 因此，水箱的高度变成了6.25 m.
x+x+x+4=10
解得x=2 x+4=6 答：鸡棚的长为6米，宽为2米.
课堂小测
2-变式：若小明的爸爸用10米长的铁线在墙边围成一个 长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇1 米宽的门，那么，请问小明的爸爸围成的鸡棚的长和 宽又是多少呢？
门
x
墙面
铁线
课堂小测
2-变式：若小明的爸爸用10米长的铁线在墙边围成一个 长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇1 米宽的门，那么，请问小明的爸爸围成的鸡棚的长和 宽又是多少呢？
解：设鸡棚的宽为x米，则长为(x+5)米.由题意得
（x-1）+x+（x+5）=10
解得x=2 x+5=7 答：鸡棚的长为7米，宽为2米.
第五章 一元一次方程
5.3应用一元一次方程—水箱变高了
情景导入
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，
你知道他是如何测量的吗？
把皇冠放到圆柱形水桶里，求上 升部分的水的体积
=
形状改变，
r h
体积不变.
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
新知探究
合作探究
例1 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆 柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有 储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为 3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原 先的4 m变为多少米？