第1部分 第4单元 第15课时 二次函数的应用
二次函数的简单应用PPT
经济学中收益与成本分析
总收益与总成本模型
01
在经济学中，总收益和总成本往往可以表示为产量的二次函数，
通过分析这些函数可以找出最大利润点。
边际收益与边际成本
02
利用二次函数的导数表示边际收益和边际成本，进而分析企业
的盈利状况。
价格与需求关系
03
在某些情况下，价格与需求之间的关系可以近似为二次函数，
通过分析这种关系可以制定合适的定价策略。
运动学问题中速度与时间关系
1 2
匀加速直线运动
根据匀加速直线运动的速度与时间关系，构建二 次函数模型求解位移、速度等参数。
竖直上抛运动
利用竖直上抛运动的速度、时间和高度之间的关 系，建立二次函数模型分析运动过程。
3
曲线运动中的速度与时间关系
在某些曲线运动中，速度与时间的关系可以近似 为二次函数，从而进行求解和分析。
在给定速度、距离等条件下，通过二次函数模型求解使得时间最短 的运动方案。
06 总结与展望
二次函数简单应用知识点总结
二次函数的对称轴
$x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的判别式
$Delta = b^2 - 4ac$，用于 判断二次方程的根的情况。
二次函数的一般形式
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中 $a neq 0$。
周长问题
对于某些特定形状的几何图形（如抛物线型、椭圆型等），可以通过二次函数表示其周长 ，并讨论周长的性质和最值问题。
综合应用
结合多种几何图形和二次函数的性质，可以解决更复杂的面积、周长等问题，如最优布局 、路径规划等实际问题。
05 二次函数在优化问题中的 应用
二次函数的应用课件
02
二次函数在实际生活中的应用
最大利润问题
总结词
通过求解二次函数的最大值，可以解决实际生活中的最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要通过合理安排生产数量或优化资源配置等方式来获得最大利润。这可以通过建立 二次函数模型，求解最大值来实现，从而为决策者提供最优方案。
抛物线型拱桥的跨度问题
通过对历史股票数据进行分析和处理，可以建立二次函数模型来描述股票价格的走势。通过求解这个 二次函数，可以预测未来一段时间内的股票价格，为投资者提供决策依据。
03
二次函数与其他数学知识的结合
二次函数与一次函数的交点问题
01
02
03
交点坐标
通过解二次函数与一次函 数的联立方程，可以找到 它们的交点坐标。
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。对于任意一个二次 函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果有一个点$(x_1, y_1)$满足该函数，那么对 称轴上的对称点$(x_2, y_2)$也满足该函数。
绘制对称轴
绘制与坐标轴的交点
二次函数的对称轴为$x = -frac{b}{2a}$。
令$x = 0$，解得与$y$轴的交点为$(0, c)$ ；令$y = 0$，解得与$x$轴的交点为$(frac{b}{a}, 0)$和$(+frac{b}{a}, 0)$。
二次函数的单调性
单调增区间
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a}]$上单调递增 ；当$a < 0$时，函数在区间$[frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 。
2015年河北中考数学总复习课件(第15课时_二次函数的应用)
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第15课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的图像与系数的关系
项目 字母 a b
字母的符号 a>0 a<0 b＝0 ab>0(b 与 a 同号) ab<0(b 与 a 异号)
图像的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧
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第15课时┃ 二次函数的应用
2．[2014· 柳州] 小兰画了一个函数 y＝x2＋ax＋b 的图像 如图 15－1，则关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解是 ( D )
图 15－1 A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1 或 x＝4
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第15课时 二次函数的应用
第15课时┃ 二次函数的应用
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考点梳理 常考题型 年份 2015 热度预测 y＝ax2＋bx＋c 的 ☆☆ 图像与 a，b，c 选择、填空 2013 之间的关系 二次函数与一元 选择、填空 ☆ 二次方程的关系 二次函数与直线 选择、填空、 2013 ☆☆☆☆☆ 的交点问题 解答 二次函数的 解答 2012 ☆☆☆☆☆ 实际应用
图 15－2 ①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④当 x＞ －1 时，y 的值随 x 的值的增大而增大． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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第15课时┃ 二次函数的应用
b 根据，抛物线的对称轴为直线 x＝－ ＝2，则 2a 有 4a＋b＝0；观察函数图像得到当 x＝－3 时，函数值小于 0， 则 9a－3b＋c＜0，即 9a＋c＜3b；由于 x＝－1 时，y＝0，则 a －b＋c＝0，易得 c＝－5a，所以 8a＋7b＋2c＝8a－28a－10a ＝－30a，再根据抛物线开口向下得 a＜0，于是有 8a＋7b＋2c ＞0；由于对称轴为直线 x＝2，根据二次函数的性质得到当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而减小．故正确的结论为①③.故选 B.
中考数学复习 第三单元 函数 第15课时 二次函数的实际应用数学课件
25 + 5 + = 0.5.
如图15-3记录了三次实验的数据.根据上述
= -0.2,
函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时
解得 = 1.5,
间为(
)
= -2,
A.3.50分钟
即 p=-0.2t2+1.5t-2,
[解析]设售价定为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元.
∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,
∴每天的销售量为200-20(x-4.1)÷0.1=-200x+1020(千克).
设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)
=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50.
图15-1
2.某品牌钢笔每支进价8元,按10元1支出售
[答案] D
时每天能卖出20支,市场调查发现,如果每支 [解析]设每天的利润为w元,涨价x元.
涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最 由题意得,每天利润为:
大利润,其售价应定为(
)
w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40
A.11元
后 4 s 滑行 24 m.
7.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,
小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨0.1
元,则每天少卖出20千克,则蔬菜售价定为
中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的综合应用
的形状为开口向下的抛物线,其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米,距地面的
高度为2.4米,灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米,则灯罩顶端D距地面的
高度为
米.
图15-7
[答案] 1.95 [解析]如图,以点B为原点,建立直角坐标系. 根据题意,点A(0,1.6),点C(0.8,2.4),则设抛物线解析式为y=a(x-0.8)2+2.4. 将点A的坐标代入上式,得1.6=a(0-0.8)2+2.4,解得a=-1.25. ∴该抛物线的解析式为y=-1.25(x-0.8)2+2.4. ∵点D的横坐标为1.4, ∴y=-1.25×(1.4-0.8)2+2.4=1.95. 故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米.
关系式是y=-x2+3x+4.请问:若不计其他因素,
水池的半径至少要
米,
才能使喷出的水流不至于落在池外.
图15-5
[答案]4 [解析]在y=-x2+3x+4中, 当y=0时,-x2+3x+4=0, ∴x1=4,x2=-1, 又∵x>0, ∴x=4, 即水池的半径至少要4米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
2
3.[2018·绵阳]图15-4是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下
降2 m,水面宽度增加
m.
图15-4
[答案] (4 2-4)
[解析]如图所示,建立平面直角坐标系,横轴 x 通过 AB,纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过抛物线 顶点 C,O 为原点.则抛物线以 y 轴为对称轴,A(-2,0),B(2,0),C(0,2), 通过以上条件可设抛物线解析式为 y=ax2+2,代入 A 点坐标(-2,0),解得 a=-0.5, 所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2, 当水面下降 2 m 时,水面的宽度即为直线 y=-2 与抛物线相交的两点之间的距离, 把 y=-2 代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2, 解得:x=±2 2,故水面此时的宽度为 4 2 m, 比原先增加了(4 2-4)m.故答案为(4 2-4).
初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的应用》教学设计35321212++-=x x y 3532121-2++=x x y 教学环节教学内容 学生活动环节目标 创设情境问题引入 1.已知二次函数 ，求出抛物线的顶点坐标与对称轴。
2.已知二次函数图象的顶点坐标是（6,2.6），且经过点（0,2），求这个二次函数的表达式 。
3.抛物线 c bx x y ++=261-经过点（0,4）经过点（3,217），求抛物线的关系式。
问题：（1）求二次函数顶点坐标的方法 （2）设表达式的思路（3）如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标课前布置，独立完成，上课时没完成的继续完成，之后组内批阅，找学生上台板演，并回答老师提出的问题。
这三个小题是后面实际应用问题的答案，学生在复习二次函数基础知识的同时，把后面的计算提到前面来，便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上，减少学生的计算量。
探索交流获得新知1例题解析例 1 ：这是王强在训练掷铅球时的高度y （m)与水平距离x(m)之间的函数图像，其关系式为 ，则铅球达到的最大高度是_____米，此时离投掷点的水平距离是____米。
铅球出手时的高度是_____米，此次掷铅球的成绩是____米。
2、跟踪练习：如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从1、学生独立思考后回答问题答案。
2、根据图像回答解题思路。
（前面已经求过前两个空，只计算后面两个即可）引导学生得到解决问题的方法：这四个问题都是求线段的长度，共同点为已知点的一个坐标，可将其代入表达式求另一个坐标，再把坐标转化成线段的长。
O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，出手后水平运行6米达到最大高度2.6米，(1) 运行的高度记为y(m)，运行的水平距离记为x(m)，建立平面平面直角坐标系如图，求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2) 若球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m。
第15课 二次函数的应用(3)——抛物线型问题 -2020年中考数学专项突破课之二次函数
中考专项突破课 二次函数第15课 二次函数的应用(3)——抛物线型问题一、典例分析例1：羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动．某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度是多少？【解析】22 1.5h t t =-++Q ， 1t ∴=时，12 1.5 2.5h m =-++=.例2：如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系是21251233y x x =-++，则此运动员把铅球推出多远？【解析】令212501233y x x =-++= 则：28200x x --= (2)(10)0x x ∴+-= 12x ∴=-（舍)，210x =由题意可知当10x =时，符合题意.例3：一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ，该运动员身高1.9m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手球出手时，他跳离地面的高度是？【解析】Q 当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5)， ∴设抛物线的表达式为2 3.5y ax =+．由图知图象过以下点：(1.5,3.05)． 2.25 3.5 3.05a ∴+=，解得：0.2a =-，∴抛物线的表达式为20.2 3.5y x =-+．设球出手时，他跳离地面的高度为hm ， 因为20.2 3.5y x =-+，则球出手时，球的高度为 1.90.25( 2.15)h h m ++=+，22.150.2( 2.5) 3.5h ∴+=-⨯-+， 0.1()h m ∴=．二、知识点小结：适当建立平面直角坐标系求解与二次函数相关的抛物线型问题的步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出表达式； (5)利用表达式求解问题． 三、知识点检测1．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为( ) A ．35mB ．3mC ．10mD ．12m【解析】令函数式21251233y x x =-++中，0y =， 即212501233x x -++=， 解得110x =，22x =-（舍去）， 即铅球推出的距离是10m ． 故选：C ．2．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数表达式为：21(25)1250y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．14【解析】21(25)1250y x =--+Q ， 顶点坐标为(25,12)， 1050-<Q ， ∴当25x =时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．3．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线20.2 3.5y x =-+的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l 是( )A ．3mB ．3.5mC ．4mD ．4.5m【解析】如图，把C 点纵坐标 3.05y =代入20.2 3.5y x =+中得： 1.5x =±（舍去负值），即 1.5OB =，所以 2.5 1.54l AB ==+=． 故选：C ．4．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为( )A ．2316h t =-B ．2316h t t =-+ C ．2118h t t =-++D ．21213h t t =-++【解析】根据题意，设二次函数的表达式为2(4)3h a t =-+， 抛物线过(0,1)即代入，解得18a =-．这个二次函数的表达式为：21(4)38h t =--+2118t t =-++．故选：C ．5．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4,3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为 21(4)332y x =--+ ．【解析】根据题意，得设抛物线对应的函数式为2(4)3y a x =-+ 把点5(0,)2代入得：51632a +=，解得132a =-， ∴抛物线对应的函数式为21(4)332y x =--+. 6．铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，铅球推出后最大高度是 3 m ，铅球落地时的水平距离是 m ． 【解析】21251233y x x =-++Q ，21(4)312y x ∴=--+ 因为1012-< 所以当4x =时，y 有最大值为3． 所以铅球推出后最大高度是3m ． 令0y =，即210(4)312x =--+， 解得110x =，22x =-（舍去） 所以铅球落地时的水平距离是10m ． 故答案为3、10．7．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度()h m 与时间()t s的关系式为212h v t gt =-，一般情况下，29.8/g m s =．如果09.8/v m s =，那么经过 1 s 竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m ． 【解析】由题意，得当 4.9h =时， 214.99.89.82t t =-⨯，解得：121t t ==．故答案为：1．8．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y （米)关于水平距离x （米)的函数解析式2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米．【解析】Q 函数解析式为：2113822y x x =-++，223114()428221448ac b y a ⎛⎫⨯⨯-- ⎪-⎝⎭∴===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最值．故答案为：2．9．一斜坡上有一高尔夫球场．斜坡的坡度为1:10i =．一球从斜坡底部O 点被击起，飞行轨道是一条抛物线，轨迹最高点H 离开O 点的水平面高度是8米，离O 点的水平距离是4米．则该球落地点A 与O 点的距离为3910150（结果保留根号）【解析】Q 抛物线顶点坐标为(4,8)，∴设抛物线解析式为2(4)8y a x =-+，把(0,0)代入得：1680a +=，解得：12a =-，∴抛物线解析式为2211(4)8422y x x x =--+=-+，Q 斜坡的坡度为1:10i =，∴设A 的坐标为(10,)b b ，代入抛物线得：21100402b b b -⨯+=，解得：3950b =或0b =（舍去）， 由勾股定理得：2239101(10)101OA b b b =+==； 故答案为：39101． 10．如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，且飞行的路线是抛物线一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：437)≈ （1）求足球的飞行高度()y m 与飞行水平距离()x m 之间的函数关系式；（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）（3）若对方一名1.7m 的队员在距落点3C m 的点H 处，跃起0.3m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？【解析】（1）当4h =时，2(6)4y a x =-+， 又(0,1)A ，21(06)4a ∴=-+， 112a ∴=-，21(6)412y x ∴=--+； （2）令0y =，则210(6)412x =--+， 解得：143613x =≈，2360x =-<（舍去）∴球飞行的最远水平距离是13米；（3）当13310x =-=时，81.70.323y =>+=， ∴这名队员不能拦到球．11．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度()y m 与它的飞行时间()x s 满足二次函数关系，y 与x 的几组对应值如下表所示： ()x s0 0.5 1 1.5 2⋯()y m0 8.75 15 18.75 20⋯（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （Ⅱ）问：小球的飞行高度能否达到22m ？请说明理由． 【解析】（Ⅰ）0t =Q 时，0h =，∴设h 与t 之间的函数关系式为2(0)h at bt a =+≠，1t =Q 时，15h =；2t =时，20h =， ∴154220a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得520a b =-⎧⎨=⎩，h ∴与t 之间的函数关系式为2520h t t =-+；（Ⅱ）225205(2)20h t t t =-+=--+，∴小球飞行的最大高度为20m ，2220>Q ，∴小球的飞行高度不能达到22m ．12．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x 轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？ 【解析】（1）依题意得抛物线顶点为(4,4)， 则设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+ 依题意得抛物线经过点(0,2)2(04)42a ∴-+= 解得18a =-∴抛物线的解析式为21(4)48y x =--+（2）当7x =时，2123(74)4 3.1988y =--+=≠ ∴这个球员不能投中．13．在一次高尔夫球的练习中，小成在O 处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中()y m 是球的飞行高度，()x m 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的顶点坐标． （2）请求出球洞离击球点的距离．（3）若小成再一次从O 处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【解析】（1）2218116(4)5555y x x x =-+=--+∴抛物线21855y x x =-+的顶点为16(4,)5；（2）令0y =，得：218055x x -+=解得：10x =，28x =，∴球飞行的最大水平距离是8m ， ∴球洞离击球点的距离为8210m +=；（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为直线5x =，顶点为16(5,)5 设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+又Q 点(0,0)在此抛物线上，162505a ∴+=，16125a =-， 21616(5)1255y x ∴=--+，即其解析式为2163212525y x x =-+．。
中考数学复习第三单元函数及其图象第15课时二次函数的实际应用
【温馨提示】 (1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称 轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得. (2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.
考点二 图象信息类问题
1.表格类 观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性 质求解. 2.图文类 根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.
解:(1)设 AD=m 米,则 AB=1002-������米, 依题意,得1002-������·m=450,解得 m1=10,m2=90.因为 a=20 且 m≤a, 所以 m2=90 不合题意,应舍去.故所利用旧墙 AD 的长为 10 米.
图15-4
1. [2018·福建A卷]如图15-4,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人 利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边 靠墙,另三边一共用了100米木栏. (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
(2)设苗圃园的面积为 y 平方米,
则 y=x(30-2x)=-2x2+30x=-2 x-125 2+2225,
图15-3
∵30-2x≥8,∴x≤11,又 x≥6,∴6≤x≤11.∴苗圃园的面积 y 有最大值和最小值,
∴当 x=125时,y 最大=112.5 平方米;当 x=11 时,y 最小=88 平方米.
=-1.5(t-20)2+600,
∴当t=20 s时,飞机才能停下来,此
时s=600 m.
2. [九上P51探究3改编]如图15-1是抛 [答案] (2 6-4)
物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水 [解析]如图,建立平面直角坐标系,
《二次函数的应用》PPT课件
-b
4ac-b2
当横坐标为__2_a_时，纵坐标有最大（小）值___4_a ___
例1.修建有一条边靠墙的矩形菜园，不靠墙的的三边的长度之 和为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大面积是多少？
解：如图，设菜园的宽为x（m）,矩形菜园的面积为 y(m2)则菜园的长为（60-2 x ）（m）依题意y与x之间的 函数解析式为
用画函数图象的方法 解二元一次方程组的主要步
骤:
1、变成函数式 2、画图像
3、找交点
4、写出解
例1、用画图像的方法解二元一次方程组：
｛ x+y=5 5x-2y=4
解：由x+y=5，得y=-x+5. 由5x-2y=4，得y= 5 x-2.
2
在同一直角坐标系中，画出一次函
数y=-x+5与y=
5 2
x-2的图像。
解：设AM的长为x(m),则BM的长为（2-x)m,以AM和MB为边的两块正方形面积之
和为y.依题意得y与x之间的函数解析式为
D
2m
C
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x2-2x)+4
=2(x2-2x+1-1)+4 =2(x-1)2+2
A Xm M
B
∵a=2＞0∴当x=1时，y有最小值，最小值为2.
=-(x-5)2+25 ∵a=-1＜0 ∴当x=5时，y有最大值，最大值为25. 所以，当矩形的一边长为5m时，广告牌面积最大，最大面积为 25m2
4、如图所示，已知等腰直角△ABC的直角边长与正
方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线
上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm
北师大版九年级下册数学《二次函数的应用》二次函数教学说课复习课件
探究活动
解：设少年宫人数为x人,营业额为y元,则 营业额 = 人数 x 票价 y=x[800-10(x-20)] =x[800-10x+200] =800x-10x2+200x =-10(x-50)2+25000答：当少年宫的人数为 50人时，少年宫可以获得最大的营业额。
导入新课
讲授新课
典例精析
例1 写出下列抛物线的最值.（1）y=x2-4x-5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）, ∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)y=-x2-3x+4.
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x= ,顶点坐标为（ ， ）, ∴当x= 时，y取最大值，最大值为 ;
最大利润问题
问题分析
总利润=每件商品利润×销售数量每件商品利润=售价-进价
【解析】 (1) 设：每件商品的售价为x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元。上涨后每件利润：(50+x-40)=(x+10)元，销售量为(210-10x)件商品（2) 根据题意可知y=(50+x-40)(210-10x)=(10+x)(210-10x) =-10(x-5.5)2+2402.5, 当x=5.5时，y有最大值, ymax = 2402.5（3) 设y=2200,解得x的值。然后分情况讨论解决
-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)
4米
讲授新课
解：建立如图所示坐标系,
由抛物线经过点（2，-2），可得
● (2,-2)
设二次函数解析式为
讲授新课
知识要点
解决拱桥问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第15课时二次函数的应用(共23张PPT)
归类探究
பைடு நூலகம்
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
考点3
建立二次函数模型解决问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问 题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐 标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式， 通过解析式解决一些测量问题或其他问题． [注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系 是关键．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解 析 (1)利用 h＝2.6， 并将点(0， 2)代入关系式求出即可； 1 (2)利用当 x＝9 时，y＝－ (x－6)2＋2.6＝2.45，当 60 1 y＝0 时，－ (x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可； 60
方法点析 利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问 题的特点建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
探究二
二次函数在销售问题中的应用
命题角度： 二次函数在销售问题中的应用．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
例 2 [2014· 常州] 某小商场以每件 20 元的价格购进一种服 装， 先试销一周， 试销期间每天的销量 t(件)与每件的销售价 x(元 /件)如下表所示： x(元/件) 38 36 34 32 30 28 26 t(件 ) 4 8 12 16 20 24 28 假定试销中每天的销售量 t(件)与销售价 x(元/件)之间 满足一次函数关系． (1)试求 t 与 x 之间的函数解析式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，每件服装的 销售定价为多少时， 该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最 大？每天的最大毛利润是多少？(注：每件服装销售的毛利润＝ 每件服装的销售价－每件服装的进货价)
二次函数的应用
二次函数的应用一、简介二次函数是一种具有一定特征的函数形式，常用于描述各种实际问题，并在众多领域得到广泛应用。
本文将介绍二次函数的基本概念、性质以及其在几个常见应用领域中的实际应用。
二、二次函数的基本概念和性质1. 二次函数的定义二次函数的定义为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b则决定了二次函数的对称轴位置；c则代表二次函数与y轴的截距。
2. 二次函数的图象和特征点二次函数的图象一般为一个开口向上或向下的抛物线。
其中，最高（最低）点也称为抛物线的顶点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
抛物线与x轴的交点称为根，其个数与二次函数的判别式（b²-4ac）有关。
3. 二次函数的单调性当a>0时，二次函数开口向上，且在顶点左右是单调递增的；当a<0时，二次函数开口向下，且在顶点左右单调递减。
三、二次函数的应用领域1. 物理学中的应用二次函数在物理学中有广泛应用，例如用二次函数描述物体的弹道轨迹，通过分析二次函数的顶点可以确定物体的最大高度和飞行时间；又如利用二次函数描述物体的自由落体运动，通过解析二次函数的根可以计算物体下落的时间。
2. 金融学中的应用在金融学中，使用二次函数可以进行风险管理和资产定价等方面的分析。
例如，对于某一投资组合的收益-风险关系，可以通过二次函数的顶点来找到最佳投资组合，以最小化风险并最大化收益。
3. 工程学中的应用二次函数在工程学中也有多种应用。
例如，在物体自由落体问题中，可以通过解析二次函数的根来计算物体落地的时间，进而设计合适的减震装置；又如在桥梁设计中，通过分析二次函数的顶点来确定桥梁的最大荷载，保证桥梁的结构安全。
4. 经济学中的应用经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等经济指标与某一变量之间的关系。
例如，通过分析二次函数的根和顶点，可以确定最小化成本或最大化收益的最优产量。
二次函数的简单应用课件
THANKS
感谢观看
二次函数的对称性
对称轴
二次函数的对称轴是x=-b/2a。
对称性
二次函数图像关于其对称轴对称。
最值位置
如果二次函数图像开口向上，那么最小值在对称轴上；如果图像开 口向下，那么最大值在对称轴上。
03
二次函数的应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
最大值和最小值问题
物理中的二次函数问题
总结词
在物理学科中，二次函数经常被用来描述和解决一些常见的 物理问题，如物体运动、振动等。
详细描述
在物理学中，二次函数经常被用来描述和解决一些常见的物 理问题，如物体自由落体运动、振动等。通过建立二次函数 模型，可以更好地理解和预测物理现象。
运动中的二次函数问题
总结词
在运动学中，二次函数可以用来描述 和解决一些与运动相关的问题，如抛 物线运动、曲线运动等。
生活中的二次函数问题
总结词
将生活中的问题转化为二次函数模型
详细描述
通过建立数学模型，将生活中的问题（如 物体运动、经济问题等）转化为二次函数 问题，并求解。
方法
举例
根据实际情况选择合适的变量和参数，建 立二次函数模型。
求一个物体在重力作用下的运动轨迹，通 过建立二次函数模型解决。
04
实际案例分析
二次函数的性质
01
最小值
如果二次函数图像开口向上，那么它在顶点处取得最小值；如果图像开
口向下，那么它在顶点处取得最大值。
02 03
单调性
如果二次函数图像开口向上，那么它在对称轴左侧单调递减，在对称轴 右侧单调递增；如果图像开口向下，那么它在对称轴左侧单调递增，在 对称轴右侧单调递减。
《二次函数的应用》PPT课件下载
1.让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化. 2.让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题. 3.掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务
于生活.
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它
的对称轴是 直线x=h ，顶点坐标是__(_h_，__k_)__.
验证猜想
【解析】y=(600-5x)(100+x )=5x²+100x+60000
∵当=x-5=(1x0-1时0，)2y+最6大0=5060500 ∴增种10棵树时， 总产量最多，是60500个橙子
“二次函数应用” 的思路
回顾本课“最大利润”和 “最高产量”解决问题的过程， 你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？
件;
销售额可表示为:
x500 20013.5 x
元;
所获利润可表示为: x 2.5500 20013.5 x 元;
当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最大利润是
___9_1_12_._5___元.
何时橙子总产量最大？ 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备 多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间 的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计, 每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 如果增种x棵树，果园橙子的总产量为y个,那么y与x之间 的关系式为： y=(600-5x)(100+x ) =-5x²+100x+60000
一个人只有保持快乐和满足，才能远离痛苦；一个人只有保持青春活力，才能激流勇进；一个人只有坚持学习，才能与时俱进；一个人只有坚 持奋进，才能永远年轻。 爬上最高的境界，你会陡然发现：那里的景色竟然是你司空见惯的。 士搏出惊涛骇流而不沉沦，懦夫在风平浪静也会溺水。 我为你今天的表现感到骄傲。
二次函数的应用ppt
余弦定理同样可以将二次函数与三角函数联系起来，通过余弦定理可以推导出一 些关于二次函数的性质和结论。
二次函数在微积分中的应用
导数
在微积分中，导数是研究函数性质的重要工具之一。二次函 数的导数可以用来研究其图像的切线性质以及极值点等重要 信息。
积分
积分是微积分的另一个重要组成部分，二次函数在积分中也 扮演着重要的角色。例如，利用积分可以计算出二次函数与 坐标轴所围成图形的面积等等。
日常生活中的二次函数
金融理财
在日常生活中，二次函数被广泛应用在理财和投资中。例如 ，计算固定收益产品的现值和未来值，可以通过二次函数进 行计算。
交通运输
在交通运输中，二次函数也被广泛应用。例如，计算最优路 径或时间表安排时，可以通过二次函数来求解最优化问题。
05
二次函数的扩展应用
二次函数与其他函数的图像比较
线性函数
二次函数与线性函数的图像在形式上有很大的区别，二次函数呈现出曲线特 性，而线性函数则是直线特性。
反比例函数
二次函数与反比例函数的图像在性质上也有很大的不同，反比例函数在整个 区间上的值域都是非负的，而二次函数的值域则可能是正数或负数。
二次函数与三角函数的结合应用
正弦定理
通过利用正弦定理，可以建立二次函数与三角函数之间的联系，从而将二次函数 问题转化为三角函数问题。
二次函数的应用
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 二次函数图像和性质 • 二次函数的应用场景 • 实际应用案例 • 二次函数的扩展应用 • 总结与展望
01
引言
课题介绍
二次函数作为数学学科中的重要内容，在初等 数学中占有重要地位。
二次函数具有丰富的性质和多种应用，是解决 实际问题的重要工具。
第15讲 二次函数的实际应用-中考数学一轮复习知识考点习题课件
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(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向 某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的 利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围. 3≤m≤6.
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10.(202X·青岛)某公司生产A型活动板房，成本是每个425元.图1表示A型活动
润w(元)最大，最大利润是19 200元．
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(2)当月利润为8 750元时，每千克水果售价为多少元？
解：设每千克水果售价为x元． 由题意，得(x－40)[500－10(x－50)]＝8 750， 解得x1＝65，x2＝75. 答：每千克水果售价为65元或75元．
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(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元． 由题意，得y＝(m－40)[500－10(m－50)]＝－10(m－70)2＋9 000， ∴当m＝70时，y有最大值，最大值为9 000. 答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大．
(1)求y与x的函数解析式；(不求自变量的取值范围)
解：设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
把x＝4，y＝10 000和x＝5，y＝9 500代入，得
4k b 10 000, 5k b 9500,
解得
k b
500, 12 000,
∴y＝－500x＋12 000.
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解：设小丽出发第x min时，两人相距s m， 则s＝(－180x＋2 250)－(－10x2－100x＋2 000)＝10x2－80x＋ 250＝10(x－4)2＋90， ∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90. 答：小丽出发第4 min时，两人相距最近，最近距离是90 m．
二次函数的应用ppt
斜坡行驶问题
要点一
总结词
通过二次函数模型研究汽车在斜坡上 行驶时的加速度、速度和位移等动力 学问题。
要点二
详细描述
在汽车行驶过程中，会遇到各种斜坡 和坡道，不同斜率会对汽车的动力学 性能产生影响。通过二次函数模型可 以分析和优化汽车在不同斜坡上的行 驶性能，提高行车安全性和舒适性。
要点三
实际应用案例
2023
二次函数的应用
目录
• 引言 • 二次函数的图像和性质 • 常见的二次函数应用 • 不同类型的二次函数 • 解决实际问题 • 二次函数的应用进阶
01
引言
课程背景
1
二次函数是初中数学的重要知识点之一，是数 学建模的基础。
2
通过学习二次函数，能够提高学生解决实际问 题的能力。
3
本课程旨在让学生掌握二次函数的应用，为后 续数学学习和实际应用打下基础。
03
常见的二次函数应用
最大利润问题
总结词
在各种不同的条件下，通过求解 二次函数最大值，得到利润最大 化的解决方案。
详细描述
在商业和工业生产中，通常会遇 到在一定成本范围内，如何分配 资源以获得最大利润的问题。在 实际情况下，还需要考虑市场、 竞争对手和政策等多种因素。
实际应用案例
比如开一家小卖部，需要考虑如 何进货、定价、促销等，使得利 润最大化。
根据极值点附近函数的单调性判 断极值的类型，包括极小值和极 大值。
求出极值
将极值点代入二次函数中，计算得 到极值。
如何利用导数研究二次函数的性质
求出导函数
研究单调性
对二次函数求导，得到导函数。
通过导函数的正负符号，判断原函数的单调 性。
研究极值点
《二次函数的应用》数学教学PPT课件(5篇)
A(1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为点B(0，
3.5)．以点C表示运动员投篮球的出手处．
设以y轴（直线x=0）为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k，
即y=ax2+k，而点A，B在这条抛物线上，所以有
解得
2.25a k 3.05， k 3.5.
a 0.2， k 3.5.
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
解：设AM的长为x(m),则BM的长为（2-x)m,以AM和MB为边的两块正方形面积之
和为y.依题意得y与x之间的函数解析式为
D
2m
C
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x2-2x)+4
=2(x2-2x+1-1)+4 =2(x-1)2+2
A Xm M
B
∵a=2＞0∴当x=1时，y有最小值，最小值为2.
因为两条直线相交于点（2,3),
｛X=2
所以原方程组的解是
交流思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， ➢然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最 小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的
。 自变量的值必须在自变量的取值范围内
例2：如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取 一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料。当 AM的长为何值时，截取的板料面积最小？
何时窗户通过的光线最多
用长为6m的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的 矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
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第15课时二次函数的应用
1．(2017·泰安)如图15-1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B 以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时两点均停止)．在运动过程中，四边形PABQ的最小面积为()
A．19 cm2B．16 cm2
C．15 cm2D．12 cm2
图15-1
2．(2018·绵阳)图15-2是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m时，水面宽度增加________m.
图15-2
3．(2018·滨州)如图15-3，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行的时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
图15-3
4．(2017·绍兴)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图15-4①，饲养室的长为多少时，占地面积最大？
(2)如图15-4②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
图15-4
5．(2019·毕节)某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：
x/元152030…
y/袋252010…
若日销售量y是销售价
(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数解析式；
(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
6．(2017·潍坊)如图15-5，工人师傅用一块长为10 dm ，宽为6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四个角各裁掉一个正方形．(厚度不计) (1)当长方体的底面积为12 dm 2时，裁掉的正方形的边长是多少？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器的外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，则当裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最低？最低费用为多少？
图15-5
7．如图15-6，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y ＝－1
6x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线
上的点C 到墙面OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为17
2
m.
(1)求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形的拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
图15-6
8．(2018·黔西南州)某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图15-7①，成本y2与销售月份x之间的关系如图15-7②(图①的图象是线段，图②的图象是抛物线)．
(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本)
(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由；
(3)已知市场部销售该种蔬菜4,5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4,5两个月的销售量分别是多少万千克．
①②
图15-7
参考答案
第15课时二次函数的应用
课时作业
1．C 2.42－4
3．(1)1 s或3 s(2)4 s(3)当x＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20 m 4．(1)25 m(2)小敏的说法不正确，理由略．
5．(1)y＝－x＋40
(2)要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
6．(1)2 dm
(2)当裁掉的正方形的边长为2.5 dm时，总费用最低，最低费用为25元．
7．(1)函数关系式为y＝－1
6x
2＋2x＋4，拱顶D到地面OA的距离为10 m.
(2)这辆货车能安全通过．
(3)4 3 m
8．(1)2元
(2)5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，理由略．
(3)4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．
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