泉州市晋江市安溪一中等四校2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)

泉州市晋江市安溪一中等四校2019-2020学年高三上学期期中数学试

卷2

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合M ={x|1x ≤1}，N ={x|y =lg(1−x)}，则下列关系中正确的是( ) A. (∁R M)∩N =⌀

B. M ∪N =R

C. M ⊇N

D. (∁R M)∪N =R

2. 已知复数z =2i 1+i ，则z 的共轭复数为( ) A. 1+i B. 1−i C. 2+2i D. 12−12i

3. sin45°cos15°−cos45°sin15°等于( )

A. −1

B. −12

C. 12

D. 1

4. 下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是( )

A. y =1x

B. y =e −x

C. y =1−x 2

D. y =x 2 5. 为了得到函数y =sin(2x +2π5

)的图象，只要把函数y =sin(x +π5)的图象( ) A. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π10个单位长度

B. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π5个单位长度

C. 横坐标缩短到原来的12倍，向左平移π10个单位长度

D. 横坐标缩短到原来的12倍，向左平移π5个单位长度

6. 设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b +c b =2”，那么( ) A. 甲是乙的充分不必要条件

B. 甲是乙的必要不充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 是乙的既不充分也不必要条件

7. 设实数x 、y ，满足约束条件{x +y ≤10

x −y ≤2x ≥4

，则z =2x +3y +1的最小值为( )

A. 27

B. 25

C. 17

D. 15

8. 由曲线y =x 2+1，直线y =−x +3及坐标轴所围成图形的面积为( )

A. 73

B. 83

C. 103

D. 3 9. 函数f (x )=sin (ωx +ϕ)(x ∈R,ω>0,0≤ϕ<2π)的部分图象如图所示，则( )

A. ω=π2,ϕ=π4

B. ω=π3,ϕ=π6

C. ω=π4,ϕ=π4

D. ω=π4,ϕ=5π

4

10. 在边长为2的等边三角形ABC 中，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )

A. 2

B. 83

C. 103

D. 4

11. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0，公差d <0，a 10⋅S 21<0，则S n 最大时，n 的值

为( )

A. 11

B. 10

C. 9

D. 8 12. 若函数f (x )=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )

A. (−1e ,1)

B. (−1e ,+∞)

C. (−1,+∞)

D. (−∞,1

e ) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知α∈(0,π4)，sin(α+π4)=4

5，则tanα=__________．

14. 已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3，则a ⃗ ⋅b ⃗ =____________．

15. 若数列{a n }满足a n+1−2a n =0(n ∈N ∗)，a 1=2，则a 2=________；{a n }的前6项和等于

________．

16. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，cosA =34且c =2b ，则a b =______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知函数f(x)=√3cosxcos(x −π2)+sin 2x −12．

(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)若x∈[0,π

4]，f(x)=√3

3

，求cos2x的值．

18.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且(1+a n)2=4S n+4，等比数列{b n}的首项为1，公比为

q(q≠1)，且3b1，2b2，b3成等差数列．

(1)求{a n}的通项公式；

(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．

19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=4，

四边形ABCD是边长为4的菱形，∠DAB=60°，E是AD的中点．

(1)求证：BE⊥平面PAD；

(2)求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

20.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2−a2=bc，

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)设函数f(x)=sinx+2cos2x

2

，a=2，f(B)=√2+1时，求边长b．

21.已知函数f(x)=x2lnx．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：lnx>1

e x −3

4x2

．

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√3+√7cosα

y=2+√7sinα

(α为参数)，直线l1的方程

为y=√3

3

x，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

(Ⅰ)求曲线C1和直线l1的极坐标方程

(Ⅱ)设直线l2的极坐标方程为：θ=π

3

(ρ∈R)，若直线l1,l2分别交曲线C1于A，B两点(其中A，